11 класс. Уравнение колебаний. Волны. (электив) х

11 класс. Уравнение колебаний. Волны. (электив)
1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см, периодом 4 с
и начальной фазой π/4. Найти смещение х колеблющейся точки от положения равновесия при t=0
и t=1,5 с. Постройте график этого движения.
2. Определить начальную фазу колебаний тела, если через 0,25 с от начала движения смещение
равно половине амплитуды. Период колебания 6 с.
3. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Написать уравнение колебаний точки,
уравнения колебаний скорости и ускорения, найти наибольшие значения скорости и ускорения.
4. Смещение гармонического осциллятора в зависимости от времени дается выражением x = 2?4
cos (2πt/4 + π/6). Найти период и частоту колебаний, смещение и скорость в момент времени t=0,
скорость и ускорение в момент t = 10 с.
5. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением
υ(t) = - 6 sin 2πt. Записать зависимость смещения этой точки от времени.
6. Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой 10 см по одной и той же прямой. Частоты их движений составляют ωА = 20 Гц, ωВ = 21 Гц соответственно. В
момент t =0 обе частицы проходят точку ч = 0 в положительном направлении. На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент t = 0,350 с? Какова скорость частицы В относительно частицы А в этот момент?
7. Частица движется с постоянной скоростью 24 м/с по окружности с центром в начале координат.
В момент t = 0 частица находится в точке с координатами х = 3,0 м, y = 4,2 м. Напишите уравнение колебаний частицы. Каким выражением описывается траектория частицы в плоскости х;у?
8. Уравнение колебания материальной точки массой 16 г имеет вид х = 0,1sin (πt/8 +π/4). Построить график зависимости от времени (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку.
Найти максимальную силу Fmax.
9. Уравнение колебаний материальной точки массой 10 г имеет вид х = 0,05 sin(πt/5 + π/4). Найти
максимальную силу F, действующую на точку и полную энергию колебаний.
10. Уравнение колебаний материальной точки массой 16 г имеет вид х = 0,02 sin(πt/4 + π/4). Построить график зависимости от времени (в пределах одного периода) кинетической, потенциальной и полной энергии точки.
11. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее
потенциальной энергии для моментов времени t = T/12, t = T/8, t = T/6. Начальная фаза равна 0.
12. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебание, равна 30 мкДж, максимальная
сила, действующая на тело, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период
колебаний 2 с и начальная фаза φо = π/3.
13. К резиновому шнуру длиной 40 см и радиусом 1 мм подвешена гиря массой 0,5 кг. Зная, что
модуль Юнга резины Е = 3 МПа, найти период вертикальных колебаний гири.
14. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания незатухающими,
найти плотность жидкости, в которой плавает ареометр. Диаметр трубки ареометра 1 см.
15(МФТИ). Конструкция из жестко соединенных легкого стержня и небольшого по размерам шарика массой m может совершать колебания под действием пружины жесткостью k, двигаясь при вращении без трения вокруг горизонтальной оси O в вертикальной плоскости (рис.). Пружина легкая, ее
точка прикрепления к стержню делит его длину в отношении 1:2, считая от
шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины
вертикальна. 1) Найдите удлинение пружины в положении равновесия системы. 2) Найдите период малых колебаний конструкции.
16(НГУ). Около вертикальной стены стоят два человека на расстояниях L1 и L2 соответственно от
нее и на расстоянии r друг от друга. Первый громко произносит короткое слово. За какое время он
должен произнести это слово, чтобы второй человек услышал его конец совпадающим с началом
эха? Скорость звука в воздухе υ.
17(МФТИ). Если груз прикрепить к первой пружине, то период колебаний будет 1 с. На второй пружине период колебаний этого же
груза будет 2 с. Каким будет период колебаний груза, прикреплен-
ного к двум пружинам вместе, как показано на рисунке 2? Трения нет.
18(МФТИ). Чашка пружинных весов массой m1 совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой A (рис.). Когда чашка находилась в крайнем нижнем положении, на нее положили груз массой m2. В результате колебания прекратились. Определите первоначальный период колебаний чашки.
19(МФТИ). Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной
поверхности стола (рис.). Система совершает колебания под действием упругой
пружины вдоль прямой с периодом T = 1 с и максимальным значением
скорости vm = 0,5 м/с. При этом доска и брусок неподвижны друг относительно друга. При каких значениях коэффициента трения скольжения
между доской и бруском такие колебания возможны?
Сложение колебаний
20. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 2 см. Разность фаз между этими колебаниями φ2 – φ1 = π/4. Начальная фаза одного из
этих колебаний равна нулю.
21. Найти амплитуду А и начальную фазу φ гармонического колебания, полученного от сложения
одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями х1 = 0,02sin(5πt+π/2) x2 =
0,03sin(5πt+π/4).
22. Найти амплитуду и начальную фазу колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями x1 = 0,04sinπt и x2 = 0,03sin(πt+π/2). Написать уравнение
результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.
23. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух
взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой ν = 5 Гц и одинаковой начальной
фазой π/3. Амплитуды колебаний А1 = 0,1 м и А2 = 0,05 м.
24. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = cos πt y = cos (π/2t). Найти
траекторию результирующего движения точки.
25. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = sin(πt) y = 2 sin (πt+π/2).
Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Домашнее задание.
1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см и периодом 8
с, если начальная фаза колебаний φ равна: а) 0; б) π/2; в) π; г) 3π/2; д) 2π. Начертить график этого
движения во всех случаях.
2. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами 2 см и
одинаковыми периодами 8 с, но имеющими разность фаз φ2 – φ1, равную: а) π/4; б) π/2; в) π.
3. Колебания точки происходят по закону x = 0,03.sin(π(t+0,5)). Чему равна фаза колебания через 5
с от начала движения? Написать уравнения колебаний скорости и ускорения, найти наибольшие
значения скорости и ускорения.
4. Дано уравнение движения точки x = 2 sin (π/2t+π/4). Найти период колебаний, максимальную
скорость и максимальное ускорение точки.
5. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, апмлитуда 50 мм, начальная
фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент, когда смещение ее от положения равновесия
равно х = 25 мм.
6. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебания 0,3
мкДж. При каком смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила
22,5 мкН?
7*. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами.
Амплитуды колебаний А1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если
колебания совершаются: а) в одном направлении, б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
8*. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=2sin(ωt) и y=2cos(ωt). Найти
траекторию результирующего движения точки.