Решение нестандартных уравнений

Отдел образования и молодежной политики администрации Урмарского района
Муниципальное образовательное учреждение «Большеяниковская средняя
общеобразовательная школа»
Рассмотрено на заседании
ШМО учителей естественнонаучного цикла
протокол №1 от 26 августа 2010 г
Согласовано
Зам.директора по УВР
29 августа 2010 г
Дзюба Л.Я.
Утверждаю
Директор школы
31 августа 2010 г.
Архипова Г.И.
Приказ №___от____
Элективный курс
по математике для 11 класса
на 2010 - 2011 учебный год
Способы решения нестандартных уравнений
Автор:
учитель математики Гурьева Р.Т.
д.Большое Яниково – 2010 г
Пояснительная записка
Элективный курс «Способы решения нестандартных уравнений» разработан для
обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента Базисного
учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс «Способы
решения нестандартных уравнений» позволяет осуществлять задачи профильной подготовки
старшеклассников. Курс рассчитан на 34 академических часа и ориентирован на учащихся 11
классов естественнонаучного направления, где математика не является профилирующим
предметом.
Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных
образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике,
способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах
решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном
курсе математики и не дублирует программу алгебры и начал анализа. Именно поэтому при
изучении данного элективного курса у старшеклассников повысится возможность намного
полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании. Элективный
курс «Нестандартные способы решения уравнений» займёт значимое место в образовании
старшеклассников, так как может научить их применять свои умения в нестандартных
ситуациях, дать возможность «поучиться не для аттестата», а для реализации последующих
жизненных планов. С другой стороны, курс позволяет выпускнику средней школы приобрести
необходимый и достаточный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к
обучению в ВУЗе и ССУЗе, где математика является профилирующим предметом.
Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание
курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой
потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность
работать на уровне повышенных возможностей. Элективный курс «Способы решения
нестандартных уравнений» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению,
развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.
Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский
характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности
прогнозирования результатов деятельности.
Материал курса «Способы решения нестандартных уравнений» разбит на модули,
каждый из которых посвящён специальному виду нестандартных уравнений.
В курсе
систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений «линии
уравнений», рассматриваются комбинированные уравнения, уравнения, в которых
присутствуют элементы прогрессий.
Цель курса :
углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых
математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;
формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков
самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.
Задачи курса :
1. Классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление
теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.
2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления,
характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной
жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать,
сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
3.
Воспитание личности в процессе освоения математики и математической
деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать
следующие формы учебных занятий: лекции, практикумы.
Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая
обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового
знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить
проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем
выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях
организуется обсуждение результатов этой работы.
Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью можно провести на урокахпрактикумах. Урок-практикум – своеобразная самостоятельная работа, вариант, объем заданий
учащиеся выбирают сами, исходя из уровня усвоения материала, мотивации развития, норм
оценок. Каждому ученику предоставляется право проверить правильность решения каждого
задания, получить консультацию учителя. Учитель выступает как субъект педагогической
деятельности, помощник, а не контролер. Ученик управляет своей деятельностью, своим
развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.
Требования к уровню освоения содержания курса
В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и
способами деятельности:
· имеют представление о математике как форме описания и методе познания
действительности;
· умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
· умеют самостоятельно работать с математической литературой;
· знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические
основы способов решения уравнений;
· умеют решать нестандартные уравнения различными методами;
· умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
· умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Формы контроля
1.
Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных
учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для
самостоятельной работы», т.к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов
происходит с помощью рефлексивных заданий. Подбор индивидуальных заданий
осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики,
оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.
2.
Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем
задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как
деятельности.
Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности,
предлагается:
· Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.
· Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной
математической литературы.
Тематический план курса
№
1
2-4
Тема
1.Умножение уравнения на
функцию
2.Уравнения, при решении
которых используется
ограниченность функции
5-7
3.Уравнения, при решении
которых используется
монотонность функции
8-9
4.Функциональнографический метод решения
уравнений
10-12
5.Методы решения
Кол.
Требования к уровню подготовки обучающихся
часов
1 Знать: область определения, область значения функций.
Уметь: решать уравнения методом умножения на какую-либо функцию.
3 Знать:· таблицу множеств значений элементарных функций; определения
ограниченной функции (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на
промежутке; теорему, позволяющую заменить данное уравнение
системой уравнений, учитывая ограниченность функций, входящих в
исходное уравнение; обобщённый алгоритм решения уравнений методом
оценки и критерии его применения.
Уметь: исследовать функции на ограниченность;
определять тип
уравнения, к которому применим метод оценки; применять метод оценки
к решению уравнений;
решать нестандартные системы уравнений
методом оценки.
3 Знать: определения возрастающей, убывающей, монотонной функций;
теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в
уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения;
обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования
монотонности функций; виды уравнений, решаемых с использованием
монотонности функций.
Уметь: находить область определения функций; исследовать функцию на
монотонность; применять обобщённый алгоритм решения уравнений
методом использования монотонности функции к соответствующим
видам уравнений.
2 Знать: теорему о корне (одна из функций
Формы
контроля
проверка задач
для самостоятельного решения
СР
проверка задач
для самостоятельвозрастает, а другая — убывает, то уравнение
либо не
ного решения;
имеет корней, либо имеет один корень); идею графического метода:
нужно построить графики функций
и найти точки
их пересечения.
Уметь: применять функционально-графический метод к решению
некоторых уравнений.
3 Знать: основные методы решения тригонометрических уравнений.
СР
тригонометрических
уравнений
Уметь: выполнять преобразование уравнения для получения его
простейшего вида
и
решение полученного простейшего
тригонометрического уравнения.
Знать: тождества, связывающие обратные тригонометрические функции проверка задач
равносильные переходы.
для самостоятельУметь: решать уравнения, содержащие аркфункции
ного решения
Знать: метод решения уравнений такого типа.
проверка решеУметь: решать уравнения вида(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m
ния уравнений
Знать: одним из корней возвратных уравнений нечетной степеней проверка задач
является 1
для самостоятельУметь: решать симметрические уравнения
ного решения
Знать: ·определения, свойства степенной и показательной функций; проверка задач
способы и особенности решения показательно-степенных уравнений.
для самостоятельУметь: анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать;
ного решения
исследовать показательно-степенные уравнения; сводить их к
совокупности систем уравнений и неравенств; решать системы уравнений
и неравенств.
Знать: метод решения уравнения, при решении которых используется СР
ограниченность функции; монотонность функции, метод введения новой
переменной
Уметь: применять рассмотренные методы к решению иррациональных
уравнений
Знать: свойства логарифмов.
тестовая работа
Уметь: выполнять преобразования логарифмических выражений.
Знать: разные методы решения уравнений.
СР
Уметь: решать различными методами уравнения.
13-14
6.Решение уравнений,
содержащих аркфункции.
2
15-16
7.Метод решения уравнения
вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m
8.Метод решения
симметрических уравнений
и возвратные уравнения
9.Показательно
-степенные уравнения
2
22-23
10.Решение иррациональных
уравнений
2
24-26
11.Методы решения
логарифмических уравнений
Практикум по решению
некоторых уравнений.
3
Общие приемы и методы
решения систем уравнений.
Зачет
3 Уметь: применять на практике методы решения уравнений к решению
систем
2 Учащиеся демонстрируют умения решать нестандартные уравнения
17-18
19-21
27-28
29-32
33-34
Всего
2
3
2
34
Математическое содержание курса
Тема 1. Умножение уравнения на функцию.
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если
умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом
надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который
умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и
получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда
каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить,
является ли это число его корнем.
Пример1. Решить уравнение:
х3 – х6 + х4 – х 2 + 1 = 0.
(1)
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен х2 + 1, не имеющий
корней, получим уравнение:
(х2 +1) (х8 – х 6 + х4 – х 2 + 1) = 0
(2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:
х10 + 1= 0
(3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не
имеет.
Ответ: нет решений.
Пример 2. Решить уравнение:
6х3 – х 2 – 20х + 12 = 0
(4)
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен х + ½, получим уравнение:
6х4 + 2х3 – 41/2х2 + 2х + 6 = 0
(5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся
корнем уравнения (4).
Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не
является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2х2 и перегруппировав его
члены, получим уравнение:
3(х2 +1/х2) + (х +1/х) – 41/4 = 0
(6)
равносильное уравнению (5). Обозначив у= х + 1/х, перепишем уравнение (6) в виде
3у2 + у – 65/4 =0
(7)
уравнение (7) имеет два корня: у1= -5/2 и у 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно
совокупности уравнений:
х + 1/х = 15/6,
х + 1/х = -5/2.
Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым
и уравнения (5)
х1 =2/3,
х2 = 3/2,
х3 = -2,
х4 = -1/2.
Так как корень х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда
получаем, что уравнение (4) имеет три корня: х1, х2, х3.
Ответ: х1 =2/3, х2 = 3/2, х3 = -2.
Тема 2. Занятия 2-3. Уравнения, при решении которых используется ограниченность
функции
Множество значений функции. Понятие ограниченности функции.
Метод замены исходного уравнения системой уравнений.
Виды уравнений, при решении которых используется ограниченность функции.
.
При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху на некотором
множестве часто играет определяющую роль.
.
Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.
Если имеем
f(x) = g(x) и известно ОДЗ,
и если
M  f ( x),
M  g ( x).
Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака
функции f(х) и g(х) на множестве М
Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства fх)>А и
g(х)<А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение f(х)=g(х) решений не имеет.
f ( x)  M , g ( x)  M , то
Пример1: Решите уравнение.
Sin(х3+2х2+1)=х2+2х+3.
Решение: Для любого действительного числа х имеем sin(х3+2х2+1)≤1,
2
х +2х+3=(х+1)2+2≥2. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не
превосходит единицы, а правая часть всегда меньше двух, то данное уравнение не имеет
решений.
Ответ: Нет решений.
Пример2: Решить уравнение.
3
х – х – sinпх=0. (1)
Решение: Очевидно, что х=0, х=1, х= - 1 являются решениями уравнения (1). Для
нахождения других решений уравнения (1) в силу нечетности функции f(х)=х3 – х – sinпх
достаточно найти его решения в области х >0, х≠1, поскольку если х0 >0 являются его
решением, то и ( - х0) также являются его решением.
Разобьем множество х>0, х≠1, на два промежутка: (0;1) и (1;+~).
Перепишем уравнение (1) в виде х3 – х=sinпх. На промежутке (0;1) функция g(х)=х3 – х
принимает только отрицательные значения, поскольку х3<х, а функция h(х)= sinпх только
положительные значения ⇒ на этом промежутке уравнение (1) не имеет решений.
Пусть х принадлежит промежутку (1;+~). Для каждого из таких значений х функция
g(х)=х3 – х принимает положительные значения, функция h(х)= sinпх принимает значения
разных знаков, прием на промежутке (1;2] функция h(х)= sinпх неположительная на
промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.
Если же х>2, то sinпх ≤1, х3 – х=(х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке
(2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, х=0, х=1 и х= - 1и только они
являются решениями исходного уравнения.
Ответ: х1=0, х2=1, х3= -1.
Пример3: Решить уравнение.
2 sinпх= х – п/2 – х+п/2 . (2)
Решение: Обозначим = х – п/2 – х+п/2 через f(х). Из определения
абсолютной величины следует, что f (х)=п при х≤ - п/2, f(х)= -2х при – п/2<х<п/2 и f (х)= п при х≥п/2. Поэтому, если х≥ - п/2, то уравнение (2) можно переписать в виде 2пsinх=п,
т.е. в виде sinх=1/2. Это уравнение имеет решения хх=( -1)пп/6+Пn, n= - 1, - 2,…Если
х≥п/2, то уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпх= - п т.е. в виде sinх= - 1/2 это
уравнение имеет решение имеет решение х=(-1)м+1п/6+ Пm, Из этих значений х условию
х≥п/2 удовлетворяют только х=( -1)пп/6+Пm, m=1,2,…
Рассмотрим х из промежутка ( - п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно
переписать в виде 2 sinпх= - 2х, т.е. в виде.
sinх= - х/п. (3)
Ясно, что х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что
других решений уравнение (3) на промежутке ( - п/2;п/2) не имеет.
Для х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению.
Sinх= - 1/п.
Для любого значения х из (- п/2;0)U(0;п/2), функция f(х)=sinх/х принимает только
положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве
(- п/2;0)U(0;п/2).
Ответ: х=0; х=( -1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=( -1)m+1п/6+Пm, m=1,2…
Пример 4. Решить уравнение cosx = х 2 + 1
Решение:
Рассмотрим функции
Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:
cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.
Число 0 единственный корень данного уравнения.
Ответ: 0.
Тема 3. Занятия Уравнения, при решении которых используется монотонность
функций
Теорема, устанавливающая связь монотонности функций, входящих в
уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.
Виды уравнений, при решении которых используется монотонность функций.
Применение монотонности функции.
1.3.1. Решите уравнение :
x  x  3  x  8  x  24  11
x  0,
ОДЗ : x  0 , т.к
.
x  3  0,
x  8  0,
 x 0.
x  24  0.
Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.
Левая часть представляет собой y  x  x  3  x  8  x  24 возрастающую
функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация
подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.
Доказательство:
Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется
x1  1 , т.к. х1 >1,
x1  3  2 ,
x1  8  3 ,
x1  24  5 .
x  x  3  x  8  x  24  11 .Делаем вывод, что корней больших единицы нет.
Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.
Значит x=1 – единственный корень.
Ответ: x = 1.
1.3.2. Решите уравнение:
( x  2)(2 x  1)  3 x  6  4  ( x  6)(2 x  1)  3 x  2
( x  2)(2 x  1)  0,
ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . ( x  2)  0,
т.е. x  0,5 .
x  6  0;
Преобразуем уравнение
( x  2)(2 x  1)  3 x  6  ( x  6)(2 x  1)  3 x  2  4 ,
2 x  1( x  2  x  6 )  3( x  6  x  2 )  4 ,
( x  2  x  6 )( 2 x  1  3)  4 .
Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих
функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация
показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно
найти подбором, х = 7.
Проверка: ( 7  2  7  6 )( 14  1  3)  4(верно).
Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).
Ответ: х = 7.
Тема 4. Тема Функционально-графический метод решения уравнений
Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких - либо свойств
функций.
Идея графического метода решения уравнения
проста и понятна: нужно
построить графики функций
и найти точки их пересечения.
Корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить
число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и
точные значения корней.
В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на
какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о
функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из
функций
возрастает, а другая — убывает, то уравнение
либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно
угадать).
Еще одна разновидность функционально-графического метода: если на множестве
наибольшее значение одной из функций
равно и наименьшее
значение другой функции тоже равно
множестве
, то уравнение
равносильно на
системе уравнений
1.loq 2x=-x+1
2.log 3 x=2-1/3x2
Тема 5. Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование
уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего
тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения
тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Решение.
cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
1) sin x=0
х1 =  k
2) cos x - sin x=0
tg x=1
х2=  /4+  n
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 ,
2). sin 3x = 0 ,
3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным
относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно
sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени,
которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1
y2
1) tg x = –1,
2) tg x = –3,
отсюда
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tg ² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно:
модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна
1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый
вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x
k,
x
k/8.
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .
Таким образом, решение даёт только первый случай.
Метод оценки левой и правой частей уравнения.
1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.
Первый способ..
0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1,
cos x + cos 5x = -2.
Поскольку cos x  - 1 , cos 5x  - 1,
заключаем, что cos x + cos 5x > -2, отсюда
следует система уравнений
cos x = -1,
cos 5x = - 1.
Решив уравнение cos x = -1, получим х =  + 2к ,где kZ.
Эти значения х являются также решениями уравнения
cos 5x = -1, т.к.
cos 5x = cos 5 ( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = -1.
Таким образом , х =  + 2к , где kZ , - это все решения системы, а значит и исходного
уравнения.
Ответ: х =  ( 2k + 1 ), kZ.
Второй способ.
Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем
cos 2x = - 1,
cos 3x = 1.
cos 2x = 1,
cos 3x = - 1.
Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.
Ответ: x = ( 2к + 1 ), kZ.
Для самостоятельной работы.
Решите уравнения:
4.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7.
Ответ: нет решений.
4.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8.
Ответ: нет решений.
4.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4.
Ответ: х = 2к, kZ.
4.1.5. sin x sin 3 x = -1.
Ответ: х = /2 + к, kZ.
4.1.6. cos8 x + sin7 x = 1.
Ответ: х = m, mZ; х = /2 + 2n, nZ.
4.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.
Поскольку  cos 3x   1 и cos 5x/2  1 , то данное уравнение равносильно
системе
cos 3x = 1,
cos 5x/2 = 1;
Ответ: 4m, mZ.
x = 2n / 3,
x = 4k / 5.
4.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0.
Ответ: 8к, kZ .
2
2
4.1.9. cos (2 x + /3 ) + cos (  / 12 - x ) = 0. Ответ: 7/12 + к, kZ.
4.1.10. cos 6x + sin 5x / 2 = 2.
Ответ:  + 4к, kZ.
2. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.
4.2.1. Решите уравнение  х + 5 sin x = x + 5.
Данное уравнение равносильно совокупности систем
x  - 5,
или
x < -5,
( x + 5 ) ( sin x - 1 ) = 1.
( x + 5 ) ( sin x + 1 ) = 0.
Решением первой системы является
Решением второй системы являются
х = -5, а также корни уравнения
корни уравнения sin x = -1
sin x = 1, удовлетворяющие
удовлетворяющие условию
условию x  -5,т.е.
х < -5, т.е.
sin x = 1,
sin x = -1,
x = /2 + 2k, k  Z.
x = - /2 + 2m, mZ.
/2 + 2k  -5, полагая
- /2 + 2m < -5, полагая
-5  5/3 , имеем
-5  -5/3, имеем
/2 + 2к  - 5 /3,
- /2 + 2m < -5/3,
2к  -5/3 - /2,
m < - 7/12, mZ.
к  -13/12, k  Z.
m = -1 ,-2, -3,… .
к = -1, 0, 1, … .
Ответ: -5; /2 + 2к ( к = -1, 0, 1 ,…);
-/2 + 2m ( = -1, -2, -3,…).
Для самостоятельного решения.
4.2.2.  х + 3  sin x
= х + 3.
Ответ:
-3, /2 + 2к ( к = 0, 1, 2, …),
-/2 + 2m ( m = -1, -2, -3,…)
.
4.2.3. 2 x - 6  cos x = x - 6.
Ответ: 6, 4/3, 7/3, + /3 + 2к ( к = 2, 3,
4,…),
2/3 + 2m ( m = 0, -1, -2, …).
4.2.4.
( x  18) cos x 
x  18
.
cos x
О Д З : ( x + 18 ) cos x  0.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
( x  18) cos x 
x  18
x  18
, ( x  18) cos x 
=0.
cos x
cos x
Решим данное уравнение.(cosx  0,см. ОДЗ).
cos2 x (x + 18) - (x + 18) = 0,
(cos2 x - 1) (x + 18 ) = 0,
или
cos x = + 1,
cos x = - 1,
x = 2k, k  Z.
x =  + 2m, m  Z.
x = - 18.
Произведем отбор корней в соответствии с О Д З.
1) х = -18,
( 18 + 18 ) cos 18  0,
cos 18  0 ( заметим, что угол, выраженный
в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18  5,7 ).
cos 18  0 - верно.
2) х = 2к,
(2k + 18 ) cos2k  0,
т.к. cos 2k = 1, то
2k  - 18,
2k  - 5,7 ,
k
 - 2,85
k = -2,-1, 0, 1,… .
3) х =  + 2m, ( + 2m + 18 ) cos ( + 2m )  0,
т.к.
cos ( + 2m ) = -1, то
 +2m + 18  0,
 +2m

- 18,
2m  - 5,7  - ,
Ответ: - 18, 2к, к
m

m
= -4, -5 , -6,… .
-3,35
= -2, -1, 0, 1 ,…;  + 2m, m = -4, -5, -6, -7,… .
Тема 6. Занятия 11-12. Решение уравнений, содержащих аркфункции.
Для решения некоторых уравнений, содержащих обратные тригонометрические
функции (аркфункции) достаточно знать их определения.
Сведём эти определения в таблицу:
Y = arcsin x
Y = arccos x
Если
Если
1) sin y =x, x 
cos y = x,

  1;11)
2) y   ; 
x   1;1
 2 2
2)
y  0;2 
Y = arctg x
Если
1)
tg y = x
2)
  y 
 ; 
 2 2
Y = arcctg x
Если
1)ctg y = x
2)  0;  
Если 0 < х < 1, то символы Y = arcsin x, Y = arccos x, Y = arctg x, Y = arсctg x могут
служить обозначениями острых углов, обладающих соответствующими свойствами.
Если -1 < х < 0, то символы Y = arccos x и Y = arсctg x могут служить
обозначениями
тупых углов.
Функция Y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке  1;1
Функция Y = arcсоs x определена и монотонно убывает на отрезке  1;1
Функция Y = arctg x определена и монотонно возрастает на R.
Функция Y = arcctg x определена и монотонно убывает на R.
Приведём тождества, связывающие обратные тригонометрические функции.

arcsin x + arccos x = 
arctg x + arcctg x1 = 2
2
arctg x = arcctg 1
х
arctg x = - arcctg(
)
 хx
аrcsin(- x ) = - arcsin
аrctg( - x ) = - arctg x
аrсcos(- x ) =  - arccos x
аrсctg(- x ) =  - arcctg x
X   1;1
х   ;
х  0;
х  (;0)
x   1;1
х   ;
x   1;1
х   ;
Решения простейших уравнений с аркфункциями приведены в таблице:
Уравнение
  
arcsin x = a,
а   ; 
 2 2
arccos x = a,
а  0;   
arctg x = a,
а   ; 
 2 2
arcctg x = a,
а  0;  
Решение
X = sin a
X =cos a
X = tg a
X = ctg a
Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих
уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют
собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов,
справедливы следующие равносильные переходы:
 f ( x)  g ( x),
 f ( x )  g ( x, )
1. а) arcsin f(x) = arcsin g(x)  

 f ( x)  1
 g ( x)  1;
 f ( x)  g ( x),

б) arcsin f(x) ≤ arcsin g(x)
  f ( x)  1,
 g ( x)  1.

 f ( x)  g ( x),
 f ( x )  g ( x, )

 
 f ( x)  1
 g ( x)  1;
 f ( x)  g ( x),

б) arcсоs f(x)  arccos g(x)
  f ( x)  1,
 g ( x)  1.

2. а) arcсоs f(x) = arccos g(x)
3. а) arctg f(x) = arctg g(x)
 f(x) = g(x).
б) arctg f(x)  arctg g(x)
4. а) arcсtg f(x) = arcсtg g(x)
б)arcсtg f(x)  arcсtg g(x)
 f(x)  g(x).
 f(x) = g(x).
 f(x)  g(x).
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти
аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение уравнения к его алгебраическому
следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической
функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом посторонние корни
отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбираются тангенс или
котангенс, то решения, не входящие в область определения этих функций, могут быть
потеряны. Поэтому перед вычислением тангенса или котангенса от обеих частей
уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения
этих функций, нет корней исходного уравнения.
Приведём примеры решения уравнений, содержащих аркфункции.
I. Уравнения, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные
тригонометрические функции различных аргументов.
1  2 х  2 х 2  х  1,
2
1. arcsin(1+2х) = arcsin(2х - х – 1). Запишем равносильную систему: 
 1  1  2 х  1.
2х 2 - 3х -2 = 0, х 1  0,5; х2  2 .
Неравенство мы можем не решать, а подставить в него найденные корни.
Итак, х 1  0,5 удовлетворяет неравенству системы, а х 2  2 не удовлетворяет ему.
Ответ:  0,5
II. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

2
  
2
1. arcsin x – arcsinх +
= 0.
Пусть arcsin x = y, y   ; 
2
18
 2 2
2
2
2
2







 0,
 4

у2 y 
D=
,
y 1  , y2 
3
6
2
18
4
18 36


arcsin x =
или
arcsin x =
3
6
3


1
1 3
x=sin
, x=
x=sin , x = . Ответ: ;
.
2
2 2
2
3
6
3
2
2. arccos2x –
arccos x +
=0.
Пусть arcros х = y,
у  [0;  ]
4
8
3


2
9 2 4 2  2
y1  , y 2 


y2 –
y+
=0,
D=
,
4
2
4
16
8
16
8


arccos x =
или
arccos x =
2
4
2
2


x = cos , х=0
x = cos , x=
Ответ; 0;
.
2
2
2
4
 
3. arctq2(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0.
Пусть arctq (3x + 2)=y, y  ( ; )
2 2
 
y2 + 2y=0,
y (y + 2 )=0,
y=0 или
y=-2 , -2  (  ; )
2 2
2
2
arctq (3x + 2)=0,
3x + 2=tq 0, 3x + 2=0,
х= 
Ответ: 
3
3
4. arcsin2x –
3
2
arcsinx +
= 0.
4
4
Пусть arcsin x=y,
  
y   ;  .
 2 2
3
2
9 2
y –
y+
= 0, D =
Ответ: корней нет
  2 < 0. Корней нет.
4
4
16
5
 
2
5. arctg2x –
arctg x+
= 0.
Пусть arctg x=y, y  ( ; )
12
2 2
24
2
2
5




y2 –
y+
= 0,
D=
,
y 1  , y2 
12
4
6
144
24


arctg x= ,
arctg x=
4
6
3
3


x=tg , х=1
x=tg , x=
Ответ: 1;
4
3
3
6
III. Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических
функций.
1. arcsin (x2 – 4x + 3)=0
x2 – 4x + 3= sin 0, а + в + с = 0,
X1=1, X2=3
Проверка: x=1, arcsin 0=0 – верно, x =1 – корень уравнения
x=3, arcsin 0=0 – верно, x=3 – корень уравнения
Ответ: 0;3
2
2
2. 4 arctq ( x – 3x – 3 ) -  =0 .
4 arctq ( x - 3x – 3 ) = 

arctq ( x2 – 3x – 3 ) =
4

x2 – 3x – 3= tq
,
x2 – 3x – 3 = 1,
x2 – 3x – 4 = 0, x1= -1,x2= 4
4
Проверка: x=-1, 4 arctq (1 + 3 – 3) –  = 0 – верно, x= -1 – корень уравнения
x=4, 4 arctq (16 – 12 – 3) –  = 0-верно, x=4 – корень уравнения .
Ответ: -1;4
2
2
2
2
3. arrcos (x – 2) =  ,
x – 2 = cos  ,
x – 2= -1, x =1, x 1, 2 =±1
2
Проверка: x=1, arrcos (1 – 2)=  – верно, x=1 – корень уравнения
x= -1, arrcos (1 – 2)=  – верно, x= -1 – корень уравнения.
Ответ: -1; 1
1

1

4. arcsin (x2 – 3x + )= .
x2 – 3x + =sin
, x2 – 3x = 0, x (x – 3)=0, x1=0,
2
2
6
6
x2=3
Ответ: 0;3

5. 6arcsin (x2 – 6x + 8,5) =  .
arcsin (x2 – 6x + 8,5) =
6

x2 – 6x + 8,5 = sin
, x2 – 6x + 8,5 = 0,5, x2 – 6x + 8 = 0, D =36 – 32=4,
6
x 1  4, x2  2
Тема 7. Занятия 13-14. Уравнения вида (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)=m
Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а +
с = b + d, или а + d = b + c.
(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=120
(17)
Присмотревшись к этому примеру, видим, что сумма свободных членов в 1-ой и 4-ой
скобках равна сумме свободных членов во 2-ой и 3-ей скобках. Это наводит на мысль, что
целесообразны следующие преобразования:
(17) ⇔ [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120 ⇔
⇔ (х²+5х+4)(х²+5х+6)=120
Теперь уже нет сомнений, что разумна подстановка: t=x²+5x+4.
При этом получим:
t(t+2)-120=0 ⇔ t²+2t-120=0 ⇔ t=-12 ∨ t=10
Таким образом,
(17) ⇔ х² +5х+4=-12 ∨ х²+5х+4=10
х² +5х +16=0 ∨ х² 5х-6=0 ⇔ х∊Ø ∨ (х=-6 ∨ х=1) , х=-6 ∨ х=1
Ответ: {-6; 1}
Решить уравнения:
1. (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40
2.16х(х+1)(х+20(х+3)=9
3.(х-2)(х-3)(х-4)=6
Тема 8.Симметрические уравнения и возвратные уравнения
Литература. Литература. Ю.Н.Макарычев. Дополнительные главы к школьному учебнику.
-М.:Просвещение, 1997.
Определение. Способ решения возвратных уравнений 4-й степени
Примеры.
1.Решить уравнение 3х4-5х3-30х2-10х+12=0
х4 -2х3-9х2-6х+9=0
3.Известно, что каждое из уравнений х2+ах+в=0 и х2+вх+а=0 имеет корни. Найти их
общий корень.
Тема 9 Показательно-степенные уравнения
Определение: Показательными уравнениями называют уравнения вида a f(x) = a g(x),
где a > 0 и a ≠ 1, а также уравнения, сводящиеся к этому виду.
Так как равенство at = as, где a > 0, a ≠ 1, справедливо тогда и только тогда, когда t = s,
сформулируем следующее
утверждение.
Теорема: Показательное уравнение a
уравнению f(x) = g(x).
f(x)
= a
g(x)
(где a > 0, a ≠ 1) равносильно
При решении показательных уравнений выделяют три основных метода решения
показательных уравнений:
1. Ф у н к ц и о н а л ь н о - г р а ф и ч е с к и й м е то д.
Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких - либо свойств
функций.
2. М е т о д у р а в н и в а н и я п о к а з а т е л е й.
Он основан на теореме о том, что уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению (x) = g(x),
где a - положительное число, отличное
от 1. Этот метод применен в примерах 1 - 3, 5.
3. М е т о д
введения
н о в о й п е р е м е н н о й.
52x2-1-3 · 5(x+1)(x+2)-2· 56(x+1)=0
Раскроем скобки в показателях степеней:
52x2-1-3· 5x2+3x+2-2· 56x+6=0
Вынесем 56x+6 за скобки:
56x+6· (52x2-6x-7-3· 5x2-3x-4-2)=0
56x+6=0
52x2-6x-7-3· 5x2-3x-4-2=0
Выражение 56x+6=0 не имеет решения, т.к. an≠0. Представим 52x2-6x-7 как 52(x2-3x-4)+1 и
обозначим 5x2-3x-4 переменной t. Получим:
5t2-3t-2=0
По теореме Виета получим корни:
t1=1
t2=-2/5
Корень t2=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т.к. положительное число в любой
степени больше нуля. Подставим вместо t - 5x2-3x-4
5x2-3x-4=1
Заметим, что 1=50
5x2-3x-4=50
Приравниваем показатели:
x2-3x-4=0
D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:
x1=(3-5)/2=-1
x2=(3+5)/2=4
Ответ: x=-1 и x=4.
Пример №2
x/(√x+2)
4/(√x+2)
x-4
x-2
5
*0,2
=125 *0,04
Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0
Заметим, что 0,24/(√x+2)=5-1(4/(√x+2))=5-4/(√x+2); 125x-4=53(x-4)=53x-12; 0,04x-2=5-2(x-2)=54-2x
Обозначим √x переменной t>0
5t2/(t+2)*5-4/(t+2)=53t2-12*54-2t2
Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. При умножении складываем
показатели степеней:
5(t2-4)/(t+2)=5t2-8
Приравниваем показатели степеней
(t2-4)/(t+2)=t2-8
(t2-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2)
Упростим:
(t+2)*(t-2)/(t+2)=t2-8
Получим:
t-2=t2-8
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
t2-t-6=0
D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
t1=(1+5)/2=3
t2=(1-5)/2=-2
t2=-2 не удовлетворяет уравнению, т.к. в случае 5(t2-4)/(t+2)=5t2-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление
на 0 не определено. Подставим вместо t - √x
√x=3
Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:
x=9
Ответ: х=9.
Пример №3
3· 4x+(1/3) · 9x+2=6· 4x+1-(1/2) · 9x+1
Перенесем 3*4x в правую часть уравнения, а (1/2)*9x+1 - в левую:
(1/3)*9x+2+(1/2)*9x+1=6*4x+1-3*4x
В левой части уравнения 9x+1 вынесем за скобки, а в правой - 4x :
9x+1 * (1/3 * 9 + 1/2)=4x * (6*4-3)
Сложив действия в скобках, получим:
7/2 * 9x+1=4x*21
Поделим левую и правую часть уравнения на 21/2 :
9x+1 * 1/3=4x*2
Заметим, что 9x=32x,4x=22x и 1/3=3-1
32x+2*3-1=2x*2
Сложим показатели степеней при умножении:
32x+1=22x+1
32x+1=22x+1 лишь в том случае, если 2x+1=0, т.к. любое число в нулевой степени - 1.
2x+1=0
2x=-1
x=-1/2
Ответ: x=-1/2
Пример №4
1+√x-2
√x-2
49
-344· 7 =-7
Напишем сразу ОДЗ: x-2≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, x≥2
Представим 491+√x-2 как 72√x-2*49 и перенесем -7 в левую часть уравнения с
противоположным знаком:
72*√x-2*49-344*7√x-2+7=0
Обозначим 7√x-2 переменной t>0, т.к. положительное число в любой степени больше нуля.
49t2-344t+7=0
D=118336-1372=116964, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:
t1=(344-342)/108=1/49
t2=(344+342)/108=7
t1=1/49 не удовлетворяет уравнению, т.к. t должно быть больше 0 . Подставим вместо t 7√x-2
7√x-2=7
Приравниваем показатели:
√x-2=1
Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:
x-2=1
Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
x=3
Ответ: х=3
Пример №5
(0,25)|x|· √(3)2x2-8-(27/4)|x|=0
Представим (0,25)|x| как(1/4)|x|, √(3)2x2-8 как 3x2-4, а (27/4)|x| как 33|x|*(1/4)|x|:
(1/4)|x|*3x2-4-33|x|*(1/4)|x|=0
Вынесем (1/4)|x| за скобки:
(1/4)|x|*(3x2-4-33|x|)=0
Получим:
(1/4)|x|
3x2-4-33|x|=0
(1/4)|x| не удовлетворяет, т.к. любое положительное число в любой степени больше нуля.
Модуль раскроется в двух случаях:
A. a≥0
B. a<0.
Рассмотрим случай A:
3x2-4-33x=0
Перенесем 33x в правую часть уравнения с противоположным знаком:
3x2-4=33x
Приравниваем показатели:
x2-4=3x
Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:
x2-3x-4=0
По теореме Виета получим корни:
x1=4
x2=-1
Корень t2=-1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a≥0.
Рассмотрим случай B:
3x2-4-3-3x=0
Перенесем 3-3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:
3x2-4=3-3x
Приравниваем показатели:
x2-4=-3x
Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:
x2+3x-4=0
По теореме Виета получим корни:
x1=-4
x2=1
Корень t2=1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a<0.
Ответ: х=4 и х=-4
Пример №6
(25x2-5x2)√-x=52x2+1-5x2+1+20√-x-100
Напишем сразу ОДЗ: √-x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, -x≥0, тогда x≤0.
Представим 25x2 как 52x2:
(52x2-5x2)√-x=52x2+1-5x2+1+20√-x-100
Вынесем 5x2, 20 и 5x2+1 за скобки:
5x2(5x2-1)√-x=5x2+1(5x2-1)+20(√-x-5)
Перенесем 5x2+1(5x2-1)+20(√-x-5) в левую часть уравнения с противоположными знаками:
5x2(5x2-1)√-x - 5x2+1(5x2-1)-20(√-x-5)=0
Вынесем 5x2(5x2-1) за скобки:
5x2(5x2-1)(√-x-5)-20(√-x-5)=0
Вынесем (√-x-5) за скобки:
(√-x-5)(5x2(5x2-1)-20)=0
(√-x-5)=0
(5x2(5x2-1)-20)=0
Решим их по отдельности:
(√-x-5)=0
Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
√-x=5
Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:
-x=25
Домножим левую и правую часть уравнения на -1:
x=-25
(5x2(5x2-1)-20)=0
Раскроем скобки:
52x2-5x2-20=0
5x2 обозначим переменной t, тогда 52x2 будет t2:
t2-t-20=0
Получили квадратное уравнение:
D=1+80=81, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
t1=(1+9)/2=1
t2=(1-9)/2=-4
Корень t2=-4 не будет удовлетворять уравнению, т.к. любое положительное число в любой
степени больше нуля.
Подставим вместо t - 5x2:
5x2=1
Заметим, что 50=1:
5x2=50
Приравним показатели:
x2=0
x=0
Ответ: x=0 и x=-25
Пример №7
x2-2x+2
0,5*x2-x+1
(3-2√2)
+(17+√288)
=6
Заметим, что (17+√288)0,5*x2-x+1=(3+2√2)2(0,5*x2-x+1)
(3-2√2)x2-2x+2+(3+2√2)2(0,5*x2-x+1)=6
Раскроем скобки в показателе степени 2(0,5*x2-x+1)
(3-2√2)x2-2x+2+(3+2√2)x2-2x+2=6
Введем подстановку: (3-2√2)x2-2x+2 обозначим переменной t. А (3+2√2)x2-2x+2 домножим на
сопряженные и получим:
((3+2√2)x2-2x+2*(3-2√2)x2-2x+2)/(3-2√2)x2-2x+2=(32-2√22)x2-2x+2=(9-8)x2-2x+2/(3-2√2)x2-2x+2=1x22x+2
/(3-2√2)x2-2x+2=1/(3-2√2)x2-2x+2
Следовательно, 1/(3-2√2)x2-2x+2=1/t:
t+1/t=6
Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:
t2+1=6t
Перенесем 6t в левую часть уравнения с противоположным знаком:
t2-6t+1=0
Решим квадратное уравнение:
D=36-4=32, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Отметим,
что √32=4√2
t1=(6+4√2)/2=3+2√2
t2=(6-4√2)/2=3-2√2
Заменим t1 на (3-2√2)x2-2x+2
3+2√2=(3-2√2)x2-2x+2
Домножим 3+2√2 на сопряженные и получим:
(3+2√2)*(3-2√2)/(3-2√2)=(9-8)/(3-2√2)=1/(3-2√2)
Следовательно:
1/(3-2√2)=(3-2√2)x2-2x+2
Заметим, что 1/(3-2√2)=(3-2√2)-1
Следовательно:
(3-2√2)-1=(3-2√2)x2-2x+2
Приравняв показатели, получим:
-1=x2-2x+2
Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
x2-2x+3=0
D=4-8=-4, D<0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней
Заменим t2 на (3-2√2)x2-2x+2
3-2√2=(3-2√2)x2-2x+2
Приравняв показатели, получим:
1=x2-2x+2
Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
x2-2x+1=0
Сложив формулу, получим:
(x-1)2=0
Следовательно:
x-1=0
Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком. Получим:
x=1
Тема 10. Методы решения логарифмических уравнений:
Функционально- графический
Метод потенцирования
Метод введения новых переменных
Метод логарифмирования
Метод перехода к одному основанию
Нестандартный метод
Классификация логарифмических уравнений по методам решения:
1
Log5зх – 0,5х+0,5=0
Функционально-графический
2
2
Logх+4(х -1)= Logх+4(5-х)
Потенцирования
3
Log3 (2х2-х+3)=Log3(х+7)
Потенцирования
2
4
Log3 х-2Log3х-3=0
Введение новой переменной
Lgх-3
5
х
=0,01
Логарифмирования
6
Log16х+ Log4х+Log2х=7
Переход к одному основанию
Lgх-5
7
х
=0,000001
Логарифмирования
8
х-1=Log2х
Функционально-графический
9
Lgх=2+ Lg21- Lg(2х+10)
Потенцирования
2
10
Потенцирования
Log2(1-х )=3
3
11
Lg(20-х)= Lg х
Нестандартный метод
1. Функционально- графический
х-1=Log2х
2. Решите уравнение (x+3)logx+3(x+2)2=9.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
(x+2)2=9,
 x+3 > 0
x+3  1.
Решим уравнение (x+2)2=9:
x+2=3, или х+2=-3
Из чисел 1 и 5 неравенствам системы удовлетворяет только
число 1.
2.Метод оценки левой и правой частей.
.1. Решите уравнение: log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.
Дадим оценку левой части уравнения.
2х - х2 + 15 = - (х2 - 2х - 15 ) = - ( ( х2 - 2х + 1 ) - 1 - 15 ) = - ( х - 1 ) 2 + 16
16.
Тогда log2 (2х - х2 + 15 )  4.
Оценим правую часть уравнения.
x2 - 2х + 5 = (х2 - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) 2 + 4  4.
log 2 (2 x  x 2  15)  4,
( x  1) 2  4  4.
Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.
log 2 (2 x  x 2  15)  4,
x  2 x  5  4;
2
значит
x  1,
x  1.
Ответ: х = 1.
2. .№1 Решите уравнение:
,
х = 4 - решение уравнения.
№2 Решить уравнение
Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
а)
б)
, так как
, так как
,а
;
.
Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при
любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно
системе
Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе
уравнение, получаем верное числовое равенство:
Ответ: х=-2.
№2
№3
Для самостоятельной работы.
3.1.2. log4 (6х - х 2 + 7 ) = х2 - 6х + 11
Отв.: х = 3.
3.1.3. log5 ( 8x - x 2 + 9 ) = x2 - 8x + 18
Отв.: х = 6.
3.1.4. log4 (2x - x 2 + 3 ) = x 2 - 2x + 2
Отв.: х = 1.
3.1.5. log2 ( 6x - x2 - 5 ) = x 2 - 6x + 11
Отв.: х = 3.
3. Использование монотонности функции, подбор корней.
Решите уравнение : log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.
Выполним замену 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогда
x2 - 2x + 5 = 20 - t, значит
log2 t = 20 - t .
Функция
y = log2 t - возрастающая, а функция
y = 20 - t - убывающая.
Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет
единственный корень, который нетрудно найти подбором
t = 16.
Решив уравнение 2х - х2 + 15 = 16, находим, что х = 1.
Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.
Ответ: х = 1.
4. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.
 x  15 
3.3.1. Решите уравнение log 3 (( x  15) cos x)  log 3 
.
 cos x 
ОДЗ: ( x - 15 ) cosx > 0.
Перейдем к уравнению
( x  15) cos x 
x  15
,
cos x
( x  15) cos x 
( x  15) cos x cos x  ( x  15)
x  15
0,
0,
cos x
cos x
( x  15)(cos 2 x  1)
 0.
cos x
Перейдем к равносильному уравнению
(x - 15) (cos2 x - 1) = 0,
или
x - 15 = 0,
cos2 x = 1 ,
x = 15.
cos x = 1
или
cos x = -1,
x = 2 k, kZ .
x =  + 2l, lZ.
Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.
1) если
x = 15 , то
(15 - 15) cos 15 > 0,
0
> 0, неверно.
x = 15 – не является корнем уравнения.
2) если
x = 2k, kZ, то (2 k - 15) l > 0,
2k > 15,
заметим, что
15  5. Имеем
k > 2,5 , kZ,
k = 3, 4, 5, … .
3) если x =  + 2l, lZ, то
( + 2l - 15 ) ( - 1 ) > 0,
 + 2l < 15,
2l < 15 - , заметим, что
Имеем:
15  5 .
l < 2,
l = 1, 0 , -1, -2,… .
Ответ: х = 2k (k = 3,4,5,6,…); х =  +21(1 = 1,0, -1,- 2,…).
Пример. Решите уравнение log(x+6)2(x3+3x24x)=logx+6 x3+2x27x+10
Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов, избавимся от степени основания
в левой части уравнения и от знака корня — в правой части:
1/2logx+6(x3+3x24x)=1/2 logx+6(x3+2x27x+10)
Сократив на 1/2, перейдем к равносильной системе
x3+3x24x=x3+2x27x+10,
x3+3x24x > 0
 x+6 > 0
x+6  1
Корни уравнения x2+3x10=0 найдем по теореме, обратной теореме Виета: их
произведение равно 10, а сумма равна 3.
Это числа: x=5; x=2.
Всем трем неравенствам системы удовлетворяет только один корень: x=2.
Ответ:
x=2.
4.Решить уравнение
Log 2 x –log 4 x +7/6=0
См. в книгу В Г Агаков. Элементарная математика и начал анализа
Ч.: Издательство чувашского университета, 1991.
Разобрать примеры 5,6,7 стр. 51-54
Задачи для самостоятельного решения
Стр. 53-54
Тема 10. Занятия . Методы решения иррациональных уравнений.
Метод подстановки.
1.1 Решите уравнение 3 9  х  3 7  х  4 .
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
3
Тогда,
9 х  a ,
3
7 х b.
9  x  a3 ,
7  x  b3.
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения
Имеем систему уравнений
16  a 3  b 3 .
a  b  4,
a  b  4,
a 3  b 3  16;
(a  b)( a  ab  b )  16;
2
a  b  4,
2
Т.к. а + в = 4, то (a  b) 2  16, a 2  b 2  16  2ab,
a  b  4,
16  3ab  4;
a  b  4,
16  2ab  ab  4;
Значит:
a  2,
b  2;
3
9  x  2,
3
7  x  2;
2. Решите уравнение
4
a  b  4,
ab  4.
9 – x = 8  х = 1. Ответ : х = 1.
17  x  4 17  x  2 .
Введем обозначения: 4 17  x  a , a  0 ; 4 17  x  b , b  0 .
Значит:
17  x  a 4 ,
17  x  b 4 .
Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем a 4  b 4  34 .
a 2  ab  b 2  4.
Имеем систему уравнений
a  b  2,
a 4  b 4  34.
a 2  2ab  b 2  4 ,
а + в = 2,
a 2  b 2  4  2ab ,
a 4  2a 2 b 2  b 4  16  16ab  4a 2 b 2 ,
a 4  b 4  16  16ab  2a 2 b 2 .
a  b  2,
Вернемся к системе уравнений:
16  16ab  2a 2 b 2  34.
 16ab  2a 2 b 2  18 , a 2 b 2  8ab  9  0 .
Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень,
т.к. a  0 , b  0 .).
a  b  2,
ab  9.
Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не
имеет решения.
Ответ : нет решений.
x  2 x 1  x  3  4 x 1  1 .
3.Решите уравнение:
Введем обозначение
x 1  a , где a  0 . Тогда x  1  a 2 , x  a 2  1 .
a 2  1  2a  a 2  4  4a  1 ,
(a  1) 2  (a  2) 2  1 ,
a 1  a  2  1 .
Рассмотрим три случая:
1) 0  a  1 .
2) 1  a  2 .
- а + 1 - а + 2 = 1,
3) a  2 .
а - 1 - а + 2 = 1,
a = 1, 1  [ 0;1 ).
[ 1 ; 2 ).
Решение: [ 1 ; 2 ].
Если 1  a  2 , то
1  x 1  2 ,
1  x 1  4 , 2  x  5 .
Ответ: 2  x  5 .
Метод оценки левой и правой частей.
1. Решите уравнение:
x  2  4  x  x 2  6 x  11 .
ОДЗ: 2  x  4 .
Рассмотрим правую часть уравнения.
а - 1 + а - 2 = 1,
а = 2.
Введем функцию y  x 2  6 x  11 . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).
Наименьшее значение функции
то есть y  x 2  6 x  11  2 .
у(3) = 2,
Рассмотрим левую часть уравнения.
Введем функцию y  x  2  4  x . С помощью производной нетрудно найти максимум
функции, которая дифференцируема на x  ( 2 ; 4 ).
g 
1
2 x2
g   0 при

1
2 4 x

4 x  x2
2 ( x  2)( 4  x)
.
4 x  x2  0,
4 x  x2 ,
4  x  x  2 , x=3.
+
g`
-
2
3
4
g
max
g(3) = 2.
Имеем, g  x  2  4  x  2 .
В результате y (3)  2 , g (3)  2 , то
y (3)  2,
g (3)  2.
Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :
x 2  6 x  11  2,
x  2  4  x  2.
Решая первое уравнение системы , имеем
х = 3. Подстановкой этого значения во
второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.
Ответ: х = 3.
Применение монотонности функции.
1.. Решите уравнение :
x  x  3  x  8  x  24  11
x  0,
ОДЗ : x  0 , т.к
.
x  3  0,
x  8  0,
x  24  0.
 x 0.
Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.
Левая часть представляет собой y  x  x  3  x  8  x  24 возрастающую
функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация
подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.
Доказательство:
Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется
x1  1 , т.к. х1 >1,
x1  3  2 ,
x1  8  3 ,
x1  24  5 .
x  x  3  x  8  x  24  11 .Делаем вывод, что корней больших единицы нет.
Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.
Значит x=1 – единственный корень.
Ответ: x = 1.
2. Решите уравнение:
( x  2)(2 x  1)  3 x  6  4  ( x  6)(2 x  1)  3 x  2
( x  2)(2 x  1)  0,
ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . ( x  2)  0,
т.е. x  0,5 .
x  6  0;
Преобразуем уравнение
( x  2)(2 x  1)  3 x  6  ( x  6)(2 x  1)  3 x  2  4 ,
2 x  1( x  2  x  6 )  3( x  6  x  2 )  4 ,
( x  2  x  6 )( 2 x  1  3)  4 .
Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих
функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация
показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно
найти подбором, х = 7.
Проверка: ( 7  2  7  6 )( 14  1  3)  4(верно).
Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).
Ответ: х = 7.
Тема 11. Практикум по решению уравнений нестандартными методами.
.№1 Решите уравнение:
,
х = 4 - решение уравнения.
№2 Решить уравнение
Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
а)
б)
, так как
, так как
,а
;
.
Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при
любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно
системе
Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе
уравнение, получаем верное числовое равенство:
Ответ: х=-2.
№2
№3
Тема 12. Системы уравнений. Общие приемы и методы решения систем уравнений.
Общие приемы решения систем уравнений
Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное
решение.
Несовместной называется линейная система, не имеющая решения. Неопределенной
называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.
Существуют различные приёмы решения систем уравнений.
Метод подстановки заключается в следующем:
1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х
(или х через y);
2. Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение.
В результате получается уравнение с одной переменной;
3. Находят корни этого уравнения;
4. Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят
соответствующие значения х (или y).
Метод сложения основан на следующих теоремах:
1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение
системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить
уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна
заданной;
2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение
системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или
разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна
заданной.
Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с
двумя переменными одним из следующих способов:
1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно
в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек
пересечения этих графиков.
Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем
утверждении: если обе части уравнения
одновременно не обращаются в нуль, то системы
равносильны.
ни при каких значениях
Решите систему уравнений:
  1  x y
3 x y
2   2 2 
2  2 x  y  16 3 x  y ,
 24
,
  
 x y

 
9
 3 x  y  72;

x y
 32
 3 x  y  72  0;
 
 
 
21 0,5 x  y   2 43 x  y  ,
 x y 2
 3
 3 x  y  72  0;

 

для решения системы уравнений необходимо в первом уравнении использовать метод
уравнивания показателей, а второе уравнение решить, используя метод введения новой
переменной.
1  0,5 x  y   43 x  y ,
2
t  t  72  0;
1  0,5 x  0,5 y  12 x  4 y,
2
t  t  72  0;
11,5 x  4,5 y  1,
2
t  t  72  0.
t 2  t  72  0,
D   1  4  1   72  1  288  289,
2
1  289 1  17

,
2
2
t1  9;
t1; 2 
t 2  8.
3   9,
3   3 ,
x y
x y
3   8,
x y
или
2
уравнение корней не имеет.
x  y  2.
Значит
16 x  10,

 y  2  x;
11,5 x  4,5 y  1,

 x  y  2;
11,5 x  4,52  x   1,

 y  2  x;
5

 x  8 ,

y  2  5 ;
8

 5 3
Ответ :  ; 1 .
8 8
10

x  ,
16

 y  2  x;
5

 x  8 ,

y  13.
8

11,5 x  9  4,5 x  1,

 y  2  x;
Методические рекомендации
Оценивание учащихся на протяжении курса не предусматривается и основной
мотивацией является познавательный интерес и успешность ученика при изучении
материала повышенной сложности. Поэтому для определения степени усвоения материала
на последних занятиях целесообразно провести итоговую зачетную работу по решению
учащимися всех изученных типов задач, по результатам которой, знания и умения
учащихся оценить в форме “зачтено / не зачтено”.
Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня
подготовленности учеников. Материал по каждой теме в указанной литературе
достаточное количество задач. Подбор системы задач не является трудоемкой работой,
в указанной литературе достаточное количество задач. В зависимости от уровня
подготовленности
школьников
каждый
учитель
вправе
внести
в программу
элективного курса необходимые, с его точки зрения, коррективы Выбор задач для
решения на занятиях предоставляется учителю, который знает уровень подготовки и
интересы своих учеников.
Литература
1. Литература. Литература. Ю.Н.Макарычев. Дополнительные главы к школьному
учебнику.
-М.:Просвещение, 1997.
2.Потапов М. К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю. В. «Задачи вступительных экзаменов по
математике».
-М.: Наука, 1986.
3.Н.Я.Виленкин, Р.С.Гутер и др. Алгебра. М.:Просвещение, 1972.
4. Н.Я.Виленкин, О.С.Иашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и математический анализ
для 10 класса. –М.:Просвещение, 1992.
5.Сборник задач для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави. Мн.: Высш.
шк., 1990.
6.А.Д.Кутасов. Т.С.Пиголкина и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы
-М.: Наука, 1982.