Тригонометрические функции и тригонометрические выражения Готовимся к ЕГЭ Справочный материал

Готовимся к ЕГЭ
Тригонометрические функции и
тригонометрические выражения.
Цель: Актуализировать знания о тригонометрических функциях, тригонометрических
выражениях и способах их упрощения.
Справочный материал.
1. Рисунок единичной окружности с основными обозначениями, который
используется в качестве опорного материала

2
tg  =
sin 
cos 
x(-) 
2
3
2
ctg  
cos 
sin 
tg   ctg  1
sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1
2. Таблица значений тригонометрических функций
Задание:
Вычислить: sin2 45o +cos60o +ctg2 30°
2
 2
1
  
Разбор задания: sin 45  cos 60  ctg 30  

2
 2 
Ответ: 4
Задание:
2
o
o
Вычислить самостоятельно: cos
2
o
 3
2

1 1
 3 4
2 2

 1

 2 sin  tg 2  ctg
6 2
3
4
3
 
2
1
1 1
 2 
3 1  2
2
2 2
После выполнения этого обучающиеся возвращаются
к анализу рисунка
единичной окружности: записывается теорема Пифагора в тригонометрической форме
sin2α +cos2α=1 (основное тригонометрическое тождество), а затем формулы для
вычисления синуса и косинуса, получаемые из нее:
Разбор задания:
sin    1  cos 2  ;
cos    1  sin 2 
Задание:
4

 
и
5
2
Разбор задания: используем формулу
Вычислить cos  , если sin  
cos    1  sin 2    1 
т.к.

2
16
9
3


25
25
5
     угол α находится в 3 четверти, значит, знак косинуса отрицательный.
Ответ: cos α = 
3
5
Задание:
5
3
  
и
12
2
Разбор задания: Среди повторенных формул нет такой, которая связывает синус и
тангенс угла. Обратимся к формуле sin2α +cos2α = 1
разделим обе части уравнения почленно сначала на sin2α, а затем на соs2α, получим две
новые формулы, одна из которых связывает косинус и тангенс, а вторая — синус и
котангенс:
sin 2   cos 2   1: sin 2   0
Вычислить sin α, если tg α =
1
*
sin 2 
sin 2   cos 2   1: cos 2   0
1  ctg 2 
1  tg 2 
1
* *
cos 2 
Если tg 
5
12
, то ctg 
. Тогда, используя формулу (*), можем вычислить
12
5
sin α:
144
1
169
1
25
5



 sin 2  
 sin   
2
2
25 sin 
25 sin 
169
13
3
Поскольку    
, угол α находится в 3 четверти, где его синус отрицателен.
2
5
Ответ: sin α = 
13
Задание:
1
Вычислить tgα, если cos α =
1
5
и


2
   0 (ЕГЭ, демонстрационный вариант)
Разбор задания: Используя формулу(**):1+ tg α =
1  tg 2 
1
2
1
cos 2 
 1  tg 2  5  tg 2  4  tg  2
 1 


 5

Поскольку     0 , угол α расположен в 4 четверти, значит его тангенс
2
отрицателен.
Ответ: tg α = -2.
Задания:



1) 1  sin 2  tg 2  1
sin 2


2)
 sin     (ЕГЭ 2001, А6)
sin 
2

6
4
3) sin   3 sin   cos 2   3 sin 2   cos 4   cos 6  (ЕГЭ 2003, А6)
cos     sin   sin 
4)
(ЕГЭ 2003, А7)
cos 
5) 2 sin 2   3  2 cos 2  (ЕГЭ 2004, А2)
Разбор задания:
1
 1 (формулы * и **)
1) 1  sin 2  tg 2  1  cos 2  
cos 2 
sin 2


2)
 sin     - для упрощения этого выражения понадобится формула двойного
sin 
2

аргумента:
sin 2  2 sin   cos  (* * *) ;
cos 2  cos 2   sin 2  (* * **)
2 sin   cos 




 sin      2 cos   sin     .
по формуле (***)
sin 
2

2

Далее понадобится применение формул приведения.

3
Если необходимо изменить аргумент тригонометрической функции на
или
,
2
2
то ее название изменится на название ко функции (sin на cos и т.п.), а знак новой функции
следует ставить по приводимой функции 9по первоначальной). Если же аргумент
изменится на π или 2π, то название не изменится. Знак ставится таким же образом (по
первоначальной функции).





Например: sin      cos  (аргумент первоначальной функции находился во 2
2

четверти, где sin положителен);
cos      cos  (аргумент первоначальной функции находился в 3 четверти,
где cos отрицателен).
Применяя эти правила к заданию, получаем:


2 cos   sin      2 cos   cos   cos 
2

6
4
2
3) sin   3 sin   cos   3 sin 2   cos 4   cos 6  - задание содержит формулу куба
суммы в применении к тригонометрическим составляющим. После применения к этому
выражению, оно «сворачивается» в выражение: (sin2α + cos2α)3 = 1/
cos     sin   sin 
4)
- задание требует применение формул сложения: косинус
cos 
суммы. Поскольку в 2005 году эти формулы даны как справочный аппарат к экзамену,
используем их в готовом виде:
cos     cos   cos   sin   sin 
sin      sin   cos   cos   sin 
cos     sin   sin  cos   cos   sin   sin   sin   sin  cos   cos 


 cos 
cos 
cos 
cos 
5) 2 sin 2   3  2 cos 2  = 2 sin 2   cos 2   3  2  3  5


Дополнительное задание:
1) Вычислить: tg(-1035o)
3 



2) Упростить выражение: sin2(π-α)+sin2  2     tg  tg    2 




3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x =
Ответы: 1) 1;
2) 0;
3)
4
3
7
.
18
Разбор заданий:
1) tg(-1035o) – исключим из данного значения аргумента сколько возможно периодов,
при этом функция не изменится. Период тангенса равен 180о.
2) tg(-1035o) = tg(-1035o + 180o . 6) = tg(-1035o + 180o) = tg 45o = 1
3 



sin 2      sin 2      tg  
 - по формуле приведения:
2 
2


sin 2   cos 2   tg   ctg   1  1  0
4
4) 3) Найти sin x . cos x, если sin x + cos x =
3
4
Задание требует неожиданного хода: (sin x cos x)2 =  
3
16
16
sin 2 x  2 sin x  cos cos 2 x 
 1  2 sin x  cos 
9
9
16
7
7
2 sin x  cos 
 1   sin x cos x 
9
9
18
2
Дополнительное задание:
3
5
 
, а cos     
и    0;  . Найти cos β.
5
13
 2
Разбор задания:
1) Используем формулу синуса разности, для чего представим 15о в виде разности
(45о – 30о), для которых значения синуса и косинуса известны:
sin 15o = sin(45o – 30o) = sin 45o cos 30o – sin 30o cos 45o =
2 3
2 1
6 2


 
2 2
2 2
4
2

2

sin 27  sin 63
sin 27   sin 63 sin 27   sin 63
2)
- на первом шаге была

sin 18 cos18
sin 18 cos18
применена формула разности квадратов, далее применим формулу разности синусов и
суммы синусов:
2
2
 2
2



 2 sin 18 cos 45  2 sin 45 cos  18
2
2  2



1
sin 18 cos18
поскольку синус – функция нечетная (минус выводится вперед), а косинус – функция
четная (минус опускается).
2 sin 31cos 31
sin 62 

3)Найти:
1
sin 38 sin 66  cos 38 sin 24 1
cos 28  cos104   sin 62   sin 14 
2
2
На первом шаге применялась формула двойного аргумента для синуса и мало
известные формулы:
sin   cos   0,5(sin(    )  sin(    ))
sin   sin   0,5(cos(   )  cos(   ))
Эти формулы можно вывести на доске, поскольку они легко получаются из суммы
и разности формул синуса суммы и синуса разности, а также косинуса суммы и косинуса
разности. Вывод формул очевиден, поэтому здесь приводиться не будет. Конечно,
запомнить эти формулы трудно, но возможно, сильный школьник предпочтет вывести их
в трудный момент, помня, каким образом это делается.
В этом задании можно было пойти и другим путем: дадим замену sin 38
 sin 66

Известно, что cos  









 
 

 
2
2
1
sin   cos  
2






 66
    132
2

 2  208    104    28 .

    76

 38
2
Таким образом, выражение sin 38 sin 66 можно заменить на выражение
1
сos 28  cos104.
2
Далее повторим этот прием cos 38

 sin 24
 
 
2
2




1
sin sin  
2
  
 2  38     76

 2  124    62    14 .

    24     48
 2
Таким образом, выражение sin24 cos38 можно заменить на выражение
1
sin 62  sin 14.
2
Внесем результаты замен в исходное выражение, выполнив замены
sin 62 
преобразуем числитель и знаменатель, чтобы
1
1




cos 28  cos 104  sin 62  sin 14
2
2
убрать из знаменателя дробные коэффициенты, раскроем скобки и представим
полученные значения аргументов в виде сумм и разностей, удобных для дальнейшего
2 sin 62 
применения формул приведения:
.
cos 90   62   cos 90   14   sin 62   sin 14 
Далее применяем формулы приведения:
2 sin 62 
2 sin 62 

 1 Ответ: 1
sin 62   sin 14   sin 62   sin 14  2 sin 62 








Необходимо запомнить следующие формулы.