Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ.
I. Кратные интегралы
1. Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L.
Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей S1 , S 2 ,..., S n , а
соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих
частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части S i точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1),
f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму
произведений вида f(Pi)ΔSi :
n
Vn   f ( Pi )S i ,
(1)
i 1
называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при n   и
max d i  0 , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни
от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от
функции f(x, y) по области D и обозначается
 f ( x, y )dxdy 
D
n
lim
max di 0
 f ( P )S
i 1
i
i
.
(2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями
y  1 ( x), y   2 ( x) (1 ( x)   2 ( x)), x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х)
непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению
двух определенных интегралов, или так называемого двукратного
интеграла:
Рис. 1
2 ( x)
b  2 ( x)
b

 f ( x, y )dy dx
dx f ( x, y )dy.
a  
 = a  ( x )
1
 1 ( x )

(3)
3
2. Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой
поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию
f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем
каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида
 f ( P )v
i
i
,
(4)
V
Предел при   0 интегральных сумм (11), не зависящий от способа
разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области,
называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
 f ( P )v
 f ( x, y, z)dxdydz  lim

V
0
i
i
.
(5)
V
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному
интегралу по той же области:
b   2 ( x )  ( x, y )
 


dy dx .

f
(
x
,
y
,
z
)
dz
f
(
x
,
y
,
z
)
dv
(6)





 

a  1 ( x )   ( x , y )
V
 
3. Кратные интегралы в криволинейных координатах
Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными.
Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2
Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ
и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек
плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать
4
положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и
отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно
задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а
положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ,
у
2
2
у=ρsinφ . Отсюда   х  у , tg   .
х
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ <
φ2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
Рис. 4
Тогда
  2 ( )

f
(

,

)
d

d


f
(

,

)

d


 d .
(7)
D
 

1   1 ( )

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические
координаты.
2
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты
ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z
(рис.5).
Рис.5
Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно
задать следующим образом:
5
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z.
(8)
В сферических координатах положение точки в пространстве
определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала
декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ –
полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки
на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и
отрезком OP (рис.6). При этом
r  0, 0    2 , 0     .
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ.
(9)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим
координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
2
 2 ( )
z2 (  , )
1
1( )
z1 ( , )
 f ( x, y , z)dxdydz   d    d   F (  , , z)dz 
1
V
2
  sin  d
1
 2 ( )
r2 ( , )
,
d  F ( r ,  ,  )r dr

 

(10)
2
2
1(
)
r1 ( , )
где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо
x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9)
координаты.
4. Геометрические и физические приложения
кратных интегралов
1) Площадь плоской области S:
S   dxdy.
(11)
S
Пример 1.
5
x
x
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями y  , y  4 e ,
у = 2, у = 5.
Решение.
6
у
у=5
у = 4ех
у=2
у = 5/х
х
Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда
границы области задаются уравнениями x 
y
5
, x  ln , и
y
4
 y5 
5
5
5


y
S   dy  dx    x
dy    y  ln 4 dy  5 ln y  I 2 ,
y
2
y

2
2
2
ln
ln 
4
4 

5
y
I

где 2  ln dy вычисляется с помощью интегрирования по частям:
4
2
5
5
y
5
u  ln
y
I 2  y ln
4
Следовательно,
5
2
y
1
, du  dy , dv  dy , v  y ,
4
y
5
  dy  5 ln
2
5
1
 2 ln  3  5 ln 5  8 ln 2  3.
4
2
S  5ln 5  5ln 2  5ln 5  8ln 2  3  5ln 2  3.
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z
= f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на
плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими
каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:
Vцил   f ( x, y )dxdy.
(12)
D
3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z =
f(x,y), ограниченной контуром L:
S   1  f x2  f y2 dxdy ,
(13)
D
где D – проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной
плоской фигуры D:
7
I 0    ( x 2  y 2 )dxdy.
(14)
D
Пример 2.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.
у
C(a,b)
b
a – 2b
а
х
a + 2b
Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.
Уравнения границ пластинки имеют вид
y  b  4b 2  ( x  a)2 .

2
a 2 b
D
a2 b
 2
y3 
  dx  x y  
3 

a 2 b
a2 b

b  4 b 2 ( x  a )2

b  4 b 2 ( x  a )2
a2 b

b  4 b 2 ( x  a )2
a2 b
I 0    ( x  y )dxdy 
2
dx

( x 2  y 2 )dy 
b  4 b 2 ( x  a )2


x 2 b  4b 2  ( x  a )2  b  4b 2  ( x  a )2 dx 
a 2 b
1
   b  4b 2  ( x  a )2
3 a 2 b 
 
3
 b  4b 2  ( x  a )2
  dx  I  I .
3
1
2
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: x  a  2b sin t ,


x  a  2b cos t , dx  2b cos tdt , при x = a – 2b t   , при x = a + 2b t  .
2
2
8

I1  2
a2 b

x
2
a 2 b
2



2
2
 cos
 8a b
2 2

2
4b  ( x  a ) dx 2   a  2b sin t  4b 2 cos 2 tdt 
2
2
tdt  32ab

2

2

 cos
3
t sin tdt  32b
2


2
2

3

2
4
2
 sin

2
 (1  cos 2t )dt  32ab  cos
 4a b
2 2
2
2
t cos 2 tdt 
2

td cos t  8b
2
4
2
 sin

2
2
2tdt 
2

 4 a b  0  4b
2 2
2
 (1  cos 4t )dt  4 a b
4

2 2
 4 b 4 ;
2
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по
формуле разности кубов:
b 
4b 2  ( x  a )2
  b 
3
4b 2  ( x  a )2

3

 2 4b 2  ( x  a )2 (7 b 2  ( x  a )2 ).
Тогда
I2 

a2b
2
2
4b 2  ( x  a )2  7 b 2  ( x  a )2 dx 

3 a 2 b
3


56 4
b
3
2


2
 4b

2
cos2 t  7 b 2  4b 2 sin 2 t  dt 
2

cos2 tdt 
2
32 4
b
3
2
 sin

2
t cos2 tdt 
28 4 4 4
 b   b  8 b 4 .
3
3
2
Следовательно, I 0  I 1  I 2  4 b  a 2  3b 2  .
2
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
I xx   y 2 dxdy, I yy   x 2 dxdy
D
(15)
D
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х,
у):
M    ( x , y )dxdy.
(16)
D
Пример 3.
 x2  y 2  4
Найти массу пластинки D плотности γ = ух , если D : 
 x  0, y  0.
3
Решение.
9
у
2
0
2
2
M    ( x , y )dxdy   dx
D
х
4  x2
0

0
2
y2
yx dy   x dx 
2
0
3
3
4  x2

0
2
2
1 3
1  4 x6 
8
2
  x (4  x )dx   x    .
20
2
6 0 3
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной
плотности γ = γ (х, у):
D  ( x, y ) xdxdy М у
D  ( x, y ) ydxdy М х
xc 

, yc 

(17)
М
М

(
x
,
y
)
dxdy

(
x
,
y
)
dxdy


D
D
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 =
ах и y  2 2a2 x2 .
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять
ее за единицу.
у
y  2 2a2 x2
а
y  ax
D
1
2a
х
10
Му
 xdxdy
М
D
, yc  х 
Тогда xc  М 
М
 dxdy
D
 ydxdy
D
 dxdy
.
D
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки
пересечения ограничивающих ее линий:
ax  2 2a 2 x 2 , ax  8a 4 x 4 , ax  8a 3 x 3  1  0, x  0, x 
M
1
2a
 dx
0
My 
1
2a

0
ax

dy 
2 2a 2 x2
1
2a

0
 2 a 23 2 2 2 3 
ax  2 2a x dx  
x 
ax 
3
 3

2
2

1
2a
3
 2 a 25

2 2 4
2 3
2
xdx  dy    ax  2 2a x  dx  
x 
ax 
2

 5

0 
2 2a 2 x2
ax
xc 
Соответственно
1
2a
1
2a

2
;
12a

3 2
;
160a 2
0
1
2a
0
3 2
2
9
:

.
2
160a 12a 40a
1
2a
ax
1
.
2a
1
ax
 a 2 4a 4 5  2 a
3

4 4
M x   dx  ydy     4a x  dx   x 
x  
,
2
4
5
80
a


2 2


0
0
2 2a x
0
yc 
6) Объем тела V:
V   dxdydz.
3
2 9 2
:

.
80a 12a
40
(18)
V
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями x  y  2, x  y ,
z
9x
, z  0.
5
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость
z
9x
проектируется на эту плоскость в виде прямой
5
х = 0):
11
у
у = х2
х+у=2
х
1
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
x 2  2  x , x 2  x  2  0, x1  1, x2  2  0  посторонний корень. Тогда,
используя формулу (18), получаем:
1
2x
0
x2
V   dxdydz   dx
V

9x
5
2x
1
9
dy  dz   xdx  dy 
50
0
x2
1
1
9
9  2 x3 x4 
9 5 3
2
  x(2  x  x )dx   x     
 .
50
5
3
4  0 5 12 4
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
M    ( x, y, z )dxdydz.
(19)
V
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала
координат:
I xx   ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
V
I yy   ( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
(20)
V
I zz   ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
V
I 0   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y , z )dxdydz,
(21)
V
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz,
Oxz, Oxy:
12
M yz   x ( x , y , z )dxdydz ,
V
M xz   y ( x , y , z )dxdydz ,
(22)
V
M xy   z ( x , y , z )dxdydz.
V
9) Координаты центра масс тела:
x ( x, y , z )dxdydz

M
xc  V
 yz ,
  ( x, y, z )dxdydz M
V
yc 
 y ( x, y, z )dxdydz
V
  ( x, y, z )dxdydz

M xz
,
M
(23)
V
zc 
 z ( x, y, z )dxdydz
V
  ( x, y, z )dxdydz

M xy
M
.
V
II. Криволинейные и поверхностные интегралы
1. Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f,
определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi
длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину
si .
наибольшего отрезка кривой: d  max
1i  n
Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L
n
 f (M
называется предел интегральной суммы
i 1
i
)si , не зависящий ни от
способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
n
 f ( M )ds   f ( x, y , z)ds  lim f ( M )s
L
L
d 0
i 1
i
i
(24)
Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),
t0 ≤ t ≤ T,
то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается
формулой
T
 f (M )ds   f ( (t ), (t ),  (t ))
L
( (t )) 2  ( (t )) 2  (  (t )) 2 dt. (25)
t0
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
13
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
x2
 f ( M )ds   f ( x,  ( x))
L
1  ( ( x )) 2 dx .
(26)
x1
Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на
проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечный предел при d  0 интегральной суммы
n
 f (M
i 1
i
)xi , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и
выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго
рода от функции f(M) по кривой L и обозначается


f ( M )dx 
L
f ( x, y, z )dx  lim
d 0
( AB )
n
 f (M
i 1
i
) x i .
(27)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го
рода вида

f ( x, y, z )dy,
( AB )
 f ( x, y, z )dz.
( AB )
Если вдоль кривой L определены функции
P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),

которые можно считать компонентами некоторого вектора F  {P, Q , R} , и
существуют интегралы
 P( x, y, z )dx, 
( AB )
Q( x, y, z )dy,
( AB )
 R( x, y, z )dz ,
( AB )
тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода
(общего вида) и полагают
 Pdx  Qdy  Rdz   P(x, y , z)dx   Q(x , y , z)dy   R(x , y , z )dz . Если
( AB)
( AB)
( AB)
( AB)
кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то


f ( x, y, z )dx   f ( (t ), (t ),  (t )) (t )dt .
(28)

( AB )
Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода
задается формулой Грина:
 Q P 
(29)
D  x  y  dxdy  L Pdx  Qdy ,
где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.
Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного
интеграла
 Pdx  Qdy  Rdz
(MN )
14
от пути интегрирования являются:
R Q P R Q P

,

,

.
(30)
y z z x x y
При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является
полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести
вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и
в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
 Pdx  Qdy  Rdz   du  u( N )  u(M ).
( MN )
( MN )
При этом функцию и можно найти по формуле
y
x
z
u   P( x, y, z )dx   Q( x0 , y, z )dy   R( x0 , y 0 , z )dz  C ,
x0
y0
(31)
z0
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
2. Поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и
разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже
обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение
функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку
Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
n
n
i 1
i 1
   f ( M i ) S i   f ( xi , y i , z i ) S i .
Если существует конечный предел при   0 этой интегральной суммы, не
зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi,
то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции
f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

S
n
f ( M )dS   f ( x, y, z )dS  lim  f ( M i ) S i .
 0
S
i 1
(32)
Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z =
φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к
вычислению двойного интеграла:
2
2
 f ( x, y , z)dS   f ( x, y , ( x, y )) 1  ( x ( x, y))  ( y ( x, y)) dxdy , (33)
S

где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.
Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку
Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху.
Если существует конечный предел суммы
15
n
n
i 1
i 1
   f ( M i ) Di   f ( xi , y i , z i ) Di ,
не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то
он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M)
по выбранной стороне поверхности S и обозначается
(34)
 f (M )dxdy   f ( x, y, z)dxdy.
S
S
Подобным образом можно проектировать части поверхности на
координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных
интеграла 2-го рода:
 f ( x, y, z)dxdz и  f ( x, y, z)dydz .
S
S
Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности
соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим
поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(35)
 P( x, y, z)dxdy  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dydz.
S
Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz
и Oyz, то
 P( x, y , z)dxdy  Q( x, y , z)dxdz  R( x, y , z)dydz 
S
   P( x , y , z( x , y )dxdy   Q( x , y( x , z ), z )dxdz 
D
D
(36)
  R( x( y , z), y , z)dydz.
D
Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным
интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V,
задается формулой Гаусса-Остроградского:
 P Q R 

dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy,


(37)


x

y

z

V 
S
где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по
внешней стороне поверхности S.
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по
ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:
 R Q 
 P R 
Pdx

Qdy

Rdz


  y  z  cos(n, x)   z  x  cos(n, y) 


 Q P 


 cos( n, z) d  
 x y 


cos( n, x) cos( n, y ) cos( n, z)



d .
x
y
z
P
Q
R
(38)
16
3. Геометрические и физические приложения
1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения
криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен
длине кривой, по которой ведется интегрирование:
l   ds.
(39)
l
2) Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность
каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
M    ( x, y, z )ds.
(40)
l
Пример 6.
Найти массу кривой с линейной плотностью  
координатах уравнением ρ = 4φ, где 

3
 

3

2
, заданной в полярных
.
Решение.
Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных
координатах:
2
M      ( ),    2     d 
2
1
2
3
4



4
 4  2  1d 
2
3
8
  1d(  1)   2  1
3
2
2
3
2
3
3
2
2
3

3
3
8 

2
2
2
2
   4  9     9   .
81 

3
3) Моменты кривой l:
M x   y ( x, y )ds, M y   x ( x, y, z )ds l
-
(41)
l
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
I 0   ( x 2  y 2  z 2 )ds (42)
l
момент инерции пространственной кривой относительно начала
координат;
I x   ( y 2  z 2 )ds, I y   ( x 2  z 2 )ds, I z   ( x 2  y 2 )ds (43)
l
l
l
моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
17
xc 
 x ( x, y, z)ds
l
M
, yc 
 y ( x, y, z)ds
l
M
, zc 
 z ( x, y, z)ds
l
. (44)
M

F
 {P, Q, R} , действующей на точку, движущуюся по
5) Работа силы
кривой (АВ):
 
Pdx

Qdy

Rdz

F
(45)

  dr ,
( AB )
( AB )
Пример 7.
Вычислить работу векторного поля F  x 2 y 3 , y 2 z 3 , xyz вдоль отрезка
прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).
Решение.
Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
y  y1
x  x1
z  z1
x2 y3 z1


t


 t,
x2  x1 y 2  y1 z2  z1
3
7
1
 x  3t  2, dx  3dt ;

 y  7t  3, dy  7 dt ;
 z  t  1, dz  dt.

A

Fx dx Fy dy  Fz dz 
( AB )
1

t( A)  0,

t( B)  1 
x 2 y 3dx y 2 z 3dy  xyzdz 
( AB )

  3  3t  2   7t  3   7  7 t  3   t  1    3t  2  7 t  3  t  1  dt 
2
3
2
3
0
1
  9604t
5
 6056t 4  25305t 3  8177 t 2  993t  261 dt 
0
1
 9604t 6 6056t 5 25305t 4 8177 t 3 993t 2






 261t   4225, 55.
5
4
3
2
 6
0
6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
S   dS   1  f x 2  f y 2 dxdy
S
(46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).
7) Масса поверхности
M    ( x, y, z )dS .
(47)
S
Пример 8.
18
 x 2  y 2  z 2  16

y0
Найти массу поверхности G : 
с поверхностной плотностью γ

0z3

= 2z2 + 3.
Решение.
z
G
y
х
На рассматриваемой поверхности z  16  x 2  y 2 ,
y
z
x
z

,

. Тогда
x
16  x 2  y 2 y
16  x 2  y 2
x2
x2
4

dxdy

dxdy.
2
2
16  x2  y 2 16  x2  y 2
16  x  y
Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является
полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов
3 и 4.
dS  1 
у
D
3 4
х
Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:
19
M  4 
2(16  x 2  y 2 )  3
16  x 2  y 2
D

4
dxdy  4  d 
0
2(16   2 )  3
16   2
3
 d 
0
7
1
1
 
 21
 4 23
7
1  2t  3

2
2
 4    
dt  2   2t  3t dt  2  t  6t  
t
 27

3
0
0
28
92 7
 2 
7  6 7  
.
3
 3

8) Моменты поверхности:
Mxy   z ( x, y , z)dS, Mxz   y dS, Myz   x dS 
S
S
(48)
S
статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей
Oxy, Oxz, Oyz;
I x   ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )dS , I y   ( x 2  z 2 )dS , I z   ( x 2  y 2 )dS
S
-
S
S
(49)
моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
I xy   z 2 ( x, y, z )dS , I xz   y 2dS , I yz   x 2dS (50)
S
S
S
моменты инерции поверхности относительно координатных
плоскостей;
I 0   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dS (51)
S
-
момент инерции поверхности относительно начала координат.
9) Координаты центра масс поверхности:
M yz
M xy
M
xc 
, y c  xz , z c 
.
M
M
M
(52)
20
III. Теория поля
Если в каждой точке М определенной пространственной области задано
значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что
задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).
Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор
 U U U 

g  gradU  
,
,


x

y
z 

(53)
называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле A  { Ax ( x, y, z ), Ay ( x, y, z ), Az ( x, y, z )} . Интеграл
 
A
dx

A
dy

A
dz

A
(54)
y
z
 x
  dr
L
L

называется линейным интегралом от вектора А вдоль кривой L. Если

кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора А
вдоль кривой L.
Пример 9.
Вычислить циркуляцию векторного поля
F  2 x  3 y ; 2 x  x 2  y по
контуру Г, состоящему из частей линий y  x, y  x  1, y  1 (направление
обхода положительно).
Решение.
у
х
Воспользуемся формулой Грина:
2
  2 x  3y  dx   2 x  x  y  dy    2  2x  3  dxdy 
Г
D
1
   dy
1
y 1
1
  2 x  1 dx    dy  x
y
2
 x
y
1
 y  2y
y 1
1
2
1
    2 y  2  dy 
1
 4.
1
21
Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay,
Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим
образом:
 A Ay Ax Az Ay Ax 
rotA   z 
;

;

(55)
.

y

z

z

x

x

y


Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной
области G, ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных
нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.
Поверхностный интеграл 1-го рода
 AndS   A dS,
(56)
n
S
S
где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап –
проекция вектора А на направление нормали, называется потоком
векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.
Пример 10.
Найти поток векторного поля F  x 2 ; y 2 ; 2 z 2  через часть плоскости
P : 2 x  y  2z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости образует острый угол с осью Oz).
Решение.
Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является
треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем
координаты единичной нормали к плоскости:
2 1 2
N  2; 1; 2 , |N| 2 2  12  2 2  3, n  eN  ; ; .
3 3 3
Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):


22
2
 2 x 2  1 y 2  2  2 z 2  dS  1  2 x 2  y 2  4  1  2 x  y   1  1  1 dxdy 


 
P  3 3 3 
3 
2
4

 
D 
1
2
1 3
   dx
3 20
12 x
  2x
1
  dx
20

 y 2  1  4 x  4 x 2  2 y  4 xy  y 2  dy 
0
1
2

2
1 2 x
  6x
2
 2 y 2  1  4 x  2 y  4 xy  dy 
0
1
2
1
2
dx  6 x 2 y  y 3  y  4 xy  y 2  2 xy 2 

20 
3

1 2 x
0

1
2
1  2
2
3
3
3
2
 6 x  12 x  (1  2 x)  1  2 x  4 x  8 x   1  2 x   dx 

2 0
3

1
1
4
  2 x 3  3 x 4  x  3 x 2   1  2 x  
2
24

1
2
0

7
.
96

Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от
x, y, z, называется
 A Ay Az
divA  x 

.
x
y
z
Пример 11.
Найти дивергенцию
и
ротор
векторного
(57)
поля
a  c , grad u ,
где
c  2 i  3 j  5k , u  x 2 y  y 2  xz.
Решение.
Найдем координаты вектора а:
 u u u 
grad u   ; ;   2 xy  z ; x  2 y ; x ,
 x y z 
i
j
k
3
5 
c , grad u  2
2 xy  z x  2 y x
 8 x  10 y ; 2 x  10 xy  5 z ; 2 x  4 y  6 xy  3 z.
Тогда
23
div a 
ax ay az


 8  10 x  3  10 x  5;
x y z
 a ay ax az ay ax 
rot a   z 
;

;


 y z z x x y 
 4  6 x  5; 6 y ; 10 y  2  10  6 x  1; 6 y ; 10 y  8.
Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А
является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):
 u  u
j
k
.
x
y
z
 u
A = grad u = i
(58)
При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.
Пример 12.
Проверить, является ли векторное поле
a  yz(1  sin xy); xz(1  sin xy); cos xy  xy  1
потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и,
считая, что в начале координат он равен нулю.
Решение.
Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:
ay ax
ax az
az ay

,

,

.
x
y
z
x
y
z
В нашем случае
ay ax

 z(1  sin xy )  xyz cos xy ,
x y
ax az
az ay

 y(1  sin xy ),

 x(1  sin xy ).
z
x
y
z
Следовательно, поле a  потенциальное. Найдем его потенциал и, считая,
что и(0;0;0) = 0:
x
y
z
0
0
u   ax ( x , y , z )dx   ay (0, y , z)dy   az (0, 0, z)dz 
0
x
y
z
0
0
0
 yz  (1  sin xy )dx   0dy   2dz  xyz  z cos xy  z  2 z  z( xy  cos xy  1).
Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D,
если в каждой точке этой области
div A = 0.
(59)
24
ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант №1
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2
, y  4 e x , y  3, y  4.
x
5( x2  y 2 )
, ограниченного поверхностями
2. Найти массу тела плотности  
4
64( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4, y  0, z  0.
y
3. Найти центр тяжести сегмента параболы y 2  ax , y  a , если плотность γ = 1.

4. Найти массу кривой r  2 sin  , 0    с линейной плотностью   cos  .
2
5. Вычислить работу векторного поля F  { x2 , 3yz, xy 2 } вдоль отрезка АВ от
точки А(1,2,3) до точки В(0,0,0).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2 y  x  y , 2x  y 2 } по контуру
Г, состоящему из частей кривых у = х2 + 1 и у = 2 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  2 z  1, x  0, y  0, z  0 с поверхностной
плотностью γ = z.
8. Найти поток векторного поля F  { x, y , z} через часть плоскости
P : x  y  z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {  x  y 2 , 2 x 2  y , z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { xz 2 , x 2 y , y 2 z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  1, z  0 ( z  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  j  k , u  xy  yz  2y.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  y( z cos xy  1)i  x( z cos xy  1) j  sin xyk
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №2
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
25
x 2  y 2  72, 6 y   x 2 ( y  0).
2. Найти объем тела, заданного неравенствами
x2  y 2
.
3
3. Найти центр тяжести верхней половины окружности x 2  y 2  1, отсеченной
1  x2  y 2  z 2  49, 
осью Ох, если плотность γ = 1.
4. Найти массу кривой r  3 cos  , 0   
x2  y 2
z
35

с линейной плотностью   tg  .
4
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  y  z,10y  x2 , x  yz 2 } вдоль
отрезка АВ от точки А(0,0,0) до точки В(-5,4,2).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  {3xy  y , 2x  y 3 } по контуру
Г, состоящему из частей кривых у = х2 и у = 1 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  z 2 , 0  z  1 с поверхностной
плотностью γ = z2.
8. Найти поток векторного поля F  {1, 1,  z} через часть плоскости
P : x  y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  y , x  y 2 , z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  2, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2 , y 2 , z 2 } через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  1, z  0, z  2 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  j  k , u  xy  yz  xz.
12. Проверить, является ли векторное поле
2( xi  yj )
a 2
 2 zk
x  y2  1
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №3
1. Найти массу пластинки с плотностью γ = у2, занимающую область
y2
D: x 
 1.
4
2
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  9  x2  y 2 ,
9
z  x2  y 2 .
2
26
3. Найти момент инерции треугольника АВС: А(1,1), В(2,1), С(3,3) относительно
оси Ох, если плотность γ = 1.
r

    с линейной плотностью   .
4. Найти массу кривой r  5 ,
2
2
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  yz, 4x  y , x} вдоль отрезка
АВ от точки А(2,1,0) до точки В(-5,3,1).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  y 2 , x2  y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = х2 и у = х (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  z 2  1, x  0, z  0 с поверхностной
плотностью γ = 2z.
8. Найти поток векторного поля F  {1, y , z2 } через часть плоскости
P : x  y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  2 y 2 , 3 y 2  2 x 3 , z} вдоль контура
2
2
3
Г : x 2  y 2  3, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {3 x 2 , 2 y 2 , z 2 } через замкнутую
поверхность  : 3x  2y  z  6, x  0, y  0, z  0 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c   i  j  k , u  y 2  3xy  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
xzj  xyk
a  arctg yzi 
1  y 2z2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №4
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  2 y  x2  0, y 2  4 y  x2  0, y 
1
x, y  3x.
3
2. Найти массу тела плотности   4|z|, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  1, x  0 ( x  0, x 2  y 2  1).
3. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограниченной линиями
x y
  1, x  0, y  0, относительно начала координат.
a b
4. Найти массу кривой r  8 , 

4
 

4
с линейной плотностью
27

1
12
.
5. Вычислить работу векторного поля F  {5x2  2xy , x2 y  y 2 , x  z 3 } вдоль
отрезка АВ от точки А(0,0,0) до точки В(4,2,-3).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  {2xy  x3 , y 3  x2 } по контуру
Г, состоящему из частей кривых y  x , y  x 3 ( x  0) (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x2  y 2  1  z2 , 1  z  2 с поверхностной
плотностью γ = 8z.
8. Найти поток векторного поля F  { x , 1,  z 2 } через часть плоскости
P :  x  y  z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {2 x 2  y ,  x 2  y , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  4, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля
2
2
2
поверхность  : x  y  z 
a  { xy , yz, xz}
через замкнутую
25
, x  0, z  0 ( x  0, z  0) в направлении внешней
4
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  j  k , u  z 2  2yz  x.
12. Проверить, является ли векторное поле
3 xyz  3 xy  1
a  (2 x  3 yz)i  (2 y  3 xz) j 
k
1 z
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №5
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x2  4 x  y 2  0, x2  8x  y 2  0, y  0, y 
1
x.
3
2. Найти объем тела, заданного неравенствами
4  x2  y 2  z 2  64,
x2  y 2
z
15
x2  y 2
.
3
3. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограниченной линиями
y  4  x 2 , y  0, относительно начала координат.
4. Найти массу кривой r  e 3 , 0     с линейной плотностью    .
28
5. Вычислить работу векторного поля F  {3xy 2z, 5x2  y 2 , 3xyz2 } вдоль
отрезка АВ от точки А(0,0,0) до точки В(3,2,-1).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x  y 2 , 3x2 y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x , y  x 3 ( x  0) (направление обхода
положительное).
7.
Найти
массу
поверхности
G : x 2  y 2  2 z  2, x  0, y  0,
1
z1
2
с
поверхностной плотностью γ = z3.
8. Найти поток векторного поля F  {x, y ,1} через часть плоскости
P : x  y  z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {3 x  y 2 , x  y 2 , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x  0 ( x  0), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { xz  y 2 , xz  xy , yz} через замкнутую
1
4
2
2
поверхность  : x  y  , z  1, z  2 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  k , u  x2  2yz.
12. Проверить, является ли векторное поле a 
yzi  xzj  xyk
1  x2 y 2z2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №6
1. Найти массу пластинки с плотностью γ = 7х2 + у, занимающую область
D : x  1, y  0, y 2  4 x ( y  0).
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x2  y 2  2y , z 
5
 x 2 , z  0.
4
3. Найти центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму у = х2,
х = 4, у = 0.

4. Найти массу кривой r  2(1  sin  ),     0 с линейной плотностью
3
  .
5. Вычислить работу векторного поля F  {3x2  2y 2  z, 5x2 y , x  y 2 } вдоль
отрезка АВ от точки А(1,1,-2) до точки В(3,-2,4).
29
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x3 y  x  y ,  2xy 2  y} по
контуру Г, состоящему из частей кривых у = -х2 и у = -3 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности
1
z1
2
G : 2z  x2  y 2 ,
с поверхностной
плотностью γ = 6z.
8. Найти поток векторного поля F  { x2 , z, y} через часть плоскости
P : x  y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  2 y , x 2  y 3 , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, y  0 ( y  0), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {2 x  e y  z , 4 y 2 , e x y } через замкнутую
поверхность  : x  y  2z  2, x  0, y  0, z  0 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 j  k , u  xy  yz  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
2 yz
a  (2 xz  z 2 )i 
j   2 xz  x 2  ln(1  y 2 )  k
2
1 y
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №7
1. Найти массу пластинки D с плотностью  
xy
, ограниченной кривыми
x2  y 2
x 2  y 2  1, x 2  y 2  4, x  0, y  0 ( x  0, y  0).
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  y , x 2  y 2  4 y , z  x 2  y 2 , z  0.
3. Найти центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму у2 = ах,
у = х.

4. Найти массу кривой r  7(1  cos  ), 0   
с линейной плотностью
  sin  .
2
5. Вычислить работу векторного поля F  {4x2 y , x2  z2 , x  yz} вдоль отрезка АВ
от точки А(2,1,0) до точки В(-3,2,-1).
30
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x  y , x  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = -х2 и у = -1 (направление обхода
положительное).
3  z  2 с поверхностной
7. Найти массу поверхности G : x2  y 2  z2  4,
плотностью   z .
8. Найти поток векторного поля F  { x , 1, z} через часть плоскости
P : x  y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {3 x  y 3 , 2 x 2  y ,  z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, y  0,
лежащего в плоскости z = 0, в поло-жительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2 , y 2 , z 2  1} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  9, z  0 ( z  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2k , u  xy  xz  y.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  (3x2 y  y 3 )i  ( x3  3xy 2 ) j
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №8
1. Найти массу пластинки D : x 2  y 2  1 с плотностью γ = у2.
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  16 2x , y  2x , z  0, z  x  2.
3. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями
x 2  y 2  a 2 , y  0 ( y  0).
3

    с линейной плотностью    2 .
4. Найти массу кривой r  2 e , 
2
5.Вычислить работу векторного поля F  { x  y 2  z3 , x3  y  z, x2  y 3  z} вдоль
отрезка АВ от точки А(2,4,7) до точки В(0,0,-1).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  xy  y 2 , x2  xy  y 2 } по
контуру Г, состоящему из частей кривых у = х2 и у = -х (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : z2  4  x2  y 2 , x  0, 2  z  5 с поверхностной
плотностью   3 z3 .
31
векторного поля F  {1, xy , z} через часть плоскости
P : x  y  z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { 2 x 2  3 y , x  y 2 ,  z} вдоль контура
8.
Найти
поток
Г : x 2  y 2  , y  0 ( y  0),
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {x  sin y , y  cos x, 1  tgx} через
замкнутую поверхность  : x 2  y 2  2, 25, x  0, z  0, z  1 ( x  0) в направлении
внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  j  2k , u  x2  y 2  z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
 x2  1

a  2 x arctgyi   2
 z  j  yk
y 1

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №9
1. Найти массу пластинки с плотностью γ = у, занимающую область
D: y 
2
x , y  0, 1  x 2  y 2  2.
3
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x2  y 2  4x,
9
z  10  y 2 , z  0.
2
3. Найти момент инерции однородной пластинки, ограниченной линиями
y
x
, x  a , y  a , относительно оси Ох.
2
4. Найти массу кривой r  cos  ,

6
 

с линейной плотностью  
1
.
r2
3
5. Вычислить работу векторного поля F  { xy  z, x  yz, x  y 2  z} вдоль отрезка
АВ от точки А(2,4,7) до точки В(0,-1,-2).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  y 2 , x2  y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = -х2 и у = -х (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  4 z  4, x  0, z  0 с поверхностной
плотностью γ = 7|z|.
8. Найти поток векторного поля F  { y , xy , z} через часть плоскости
P : x  y  2z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
32
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  y 3 , x 2  2 y ,  z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  3, x  0, y  0,
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {3xy ,  3xy , 4} через замкнутую
поверхность  : x  2y  3z  6, x  0, y  0, z  0, x  2 в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2 j , u  y 2  z 2  x2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
2 y(1  y 2  xz)
z
x
a
i

j

k
1  y2
(1  y 2 )2
1  y2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №10
1. Найти массу пластинки плотности γ = 1, ограниченной линиями
x2  y 2  1, y  3 2  18  x2 .
2. Найти массу тела плотности   90y , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  6z , x 2  y 2  1, x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0).
3. Вычислить момент инерции относительно начала координат для однородной
прямоугольной пластинки, ограниченной прямыми х = 0,
х = а, у = 0, y = b.

4. Найти массу кривой r  2 , 0    с линейной плотностью
2


.
12
5. Вычислить работу векторного поля F  { x3 y 3 , y 2z2 , xyz} вдоль отрезка АВ от
точки А(-2,-3,-1) до точки В(1,4,2).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy 2 ,  x2 y} по контуру Г,
состоящему из отрезков прямых х = ±1 и у = ±1 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  9 z 2  0, x  0, 0  z  1 с поверхностной
плотностью   z .
8. Найти поток векторного поля F  { x, xy , z} через часть плоскости
P : x  2y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
33
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {  x 2  y , 2 x  y 2 ,  z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  4, x  0, y  0, лежащего в плоскости z = 0, в поло-жительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2 , y 2 , z 2 } через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  4, x  0, z  0 ( x  0, z  0) в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j , u  x2  y 2  z 2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
2z 
a  (3x2  y 3  3x2 z)i  3xy 2 j   x 3 
k
1  z2 

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №11
1. Найти массу пластинки плотности  
2( x  y )
, заданной неравенствами
x2  y 2
1  x 2  y 2  16, x  0, y  0.
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  3 y , x 2  y 2  6z , z  x 2  y 2 , z  0.
3. Найти центр тяжести кругового сектора радиуса а с углом раствора ,
принимая биссектрису его угла за ось Ох, а вершину – за начало координат, если
плотность γ = 1.

4. Найти массу кривой r  1  cos  ,     0 с линейной плотностью
 |sin  |.
2
5. Вычислить работу векторного поля F  { x2 y , sin x} вдоль отрезка АВ от точки
А(0,0) до точки В(π,2π).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  {2x  y , 2x  x2  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x, y  x  1, y  1 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  z 2  25, 0  x  3, y  0 с поверхностной
плотностью γ = 2z2 + 1.
8. Найти поток векторного поля F  { x2 , y 2 , z2 } через часть плоскости
P : 2x  y  z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
34
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  y 3 , 3 x 2  y ,  z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  4, x  0, y  0,
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {xy, yz, xz} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  4, z  1 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2 j  k , u  xy  y  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  y(1  z sin xy)i  x(1  z sin xy) j  cos xyk
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №12
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x 2  4 x  y 2  0, x 2  8 x  y 2  0, y  0, y  x.
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
30
y , z  0.
11
3. Найти центр тяжести правой половины круга x 2  y 2  a 2 , если плотность γ =
x 2  y 2  8, x  2 y , x  0, z 
1.
2
4. Найти массу кривой r  5e ,

2
    с линейной плотностью   sin  .
5. Вычислить работу векторного поля F  {cos y , sin x} вдоль отрезка АВ от точки
  
А   ,   до точки В(0,0).
 2 
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  y 3 , 2x2 y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = х, х = 1 и у = 0 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : z 2  9  x 2  y 2 , x  0, 3  z  5 с поверхностной
плотностью γ = 4z.
8. Найти поток векторного поля F  { x2 , y , z} через часть плоскости
P : x  y  2z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {2 x 2  y , x 2  2 y 2 , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  2, x  0, y  0 ( x  0, y  0),
лежащего в
положительном направлении относительно орта k.
плоскости
z
=
0,
в
35
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2  y 2 , y 2  z 2 , x 2  z 2 } через
замкнутую поверхность  :  x  y  2z  2, x  0, y  0, z  0 в направлении
внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2 j  k , u  yz  x  y.
12. Проверить, является ли векторное поле
 1  z(1  x  y ) i   1  2 y(1  x  y ) j  xk
a
1 x  y
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №13
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x  36  y 2 , x  6  36  y 2 .
2. Найти массу тела плотности  |z|, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  9, x 2  y 2  4, y  0 ( y  0).
3. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной петлей кривой
r 2  a 2 cos 2 ( x  0) если плотность γ = 1.
3
4. Найти массу кривой r  4(1  sin  ),    
с линейной плотностью
2
  .
3
5. Вычислить работу векторного поля F  {x cos y, y sin x} вдоль отрезка АВ от
точки А(0,0) до точки В(π,2π).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  y 2  x, 3x2  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = х, х = -1 и у = 0 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  2 z  1, x  0, y  0, z  0 с поверхностной
плотностью γ =|1 – 2z|.
8. Найти поток векторного поля F  { x, y 2 , z2 } через часть плоскости
P : x  2y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { 2 x 3  3 y , 2 x 2  y 3 , 2z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x  y ( x  y ), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { z 2 , z 2 , y 2 z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  9, x  0, z  0 ( x  0, z  0) в направлении внешней
нормали.
36
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  k , u  xyz.
12. Проверить, является ли векторное поле
y( z  1)i  x( z  1) j
a
 arctg xy k
1  x2 y 2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №14
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x2  2 x  y 2  0, x2  8x  y 2  0, y 
x
, y  x 3.
3
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  18, x  3 y , x  0, z  0, z 
10 y
.
11
3. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной кардиоидой
r  a(1  cos ).
ln 
.
4. Найти массу кривой r  8sin  , 1    e с линейной плотностью  

5. Вычислить работу векторного поля F  {cos y , sin x} вдоль отрезка АВ от точки
  
А(0,0) до точки В   ,   .
 2 
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  x  y ,  xy  x  y} по
контуру Г, состоящему из частей кривых у = -х, х = 1 и у = 0 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : 4 x 2  4 y 2  z 2 , y  0, 0  z  2 с поверхностной
плотностью γ = z2 + z.
8. Найти поток векторного поля F  {1, xy 2 , z2 } через часть плоскости
P :  2x  y  z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  y , 3 x 3  y 2 , 2z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  2, x  y ( x  y ), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2 , x 2 y , 10 xz} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  1, z  0, z  1 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  k , u  3x 2  2 y 2  z 2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
37
1 
a   3yz 
 i  (2 y  3xz) j  (2z  3xy )k
1 x 

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №15
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  18  x2 , y  3 2  18  x2 .
2. Найти массу тела плотности   90y , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  1, x 2  y 2  6z , x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0).
3. Вычислить момент инерции относительно начала координат для однородной
прямоугольной пластинки, ограниченной прямыми х = 0,
х = а, у = 0, y = b.
4. Найти массу кривой r  4cos , 0    1 с линейной плотностью   1   .
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  y , cos x} вдоль отрезка АВ от точки
  
А(π,2π) до точки В   ,  .
 2 2
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  x  y ,  xy  x  y} по
контуру Г, состоящему из частей кривых у = -х, х = 1 и у = 0 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  z 2  9, x  0, 0  z  3 с поверхностной
плотностью   z .
8. Найти поток векторного поля F  { xz, yz, z} через часть плоскости
P :  2x  y  z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {4 x 2  y , x 2  2 y , 2 z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  3, x  y ( x  y ), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {xz, xy, xz} через замкнутую
поверхность  : x  y  z  1, x  o, y  0, z  0 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2 j  2k , u  2x2  yz  4z.
12. Проверить, является ли векторное поле
2 yz
a  (3 x 2 y  x)i  ( x 3  ln(1  z 2 )) j 
k
1  z2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
38
Вариант №16
1. Найти массу пластинки плотности  
x  2, y  0, y 2 
x
( y  0).
2
7 2
x  y , , ограниченной линиями
2
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  15x , y  x 15, z  0, z  15(1  x ).
x2 y 2
3. Вычислить момент инерции однородного эллипса 2  2  1 относительно
a
b
оси Ох.
4. Найти массу кривой r  10 , 0     с линейной плотностью   1   2 .
5. Вычислить работу векторного поля F  {sin y , x  y} вдоль отрезка АВ от точки
А(0,0) до точки В(-π,π).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  1, xy  3x2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = -х, х = 1 и у = 0 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  16  z 2 , 4  z  5 с поверхностной
плотностью   3z  z 3 .
8. Найти поток векторного поля F  { xy , yz, xz} через часть плоскости
P :  2x  y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { y 2  2 x 3 , 2 x  y 3 , z 3 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  4, x   y ( x   y ), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {2xy  1, 4yz  1, xz} через замкнутую
поверхность  : 4 x 2  4 y 2  4 z 2  9, z  0 ( z  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  2k , u  3y 2  xz  y.
12. Проверить, является ли векторное поле
2 xy 
2 xz
2
a   ln(1  z 2 ) 
i

ln(1

x
)
j

k

1  x2 
1  z2

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №17
39
1. Найти массу пластинки плотности  
2x  3y
, ограниченной линиями
x2  y 2
x 2  y 2  4, x 2  y 2  25, x  0, y  0 ( x  0, y  0).
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
17
 y2.
4
x2 y 2
3. Вычислить момент инерции однородного эллипса 2  2  1 относительно
a
b
x 2  y 2  2 x  0, z  0, z 
начала координат.
4. Найти массу кривой r  6 , 0   

с линейной плотностью   5 .
2
5. Вычислить работу векторного поля F  { xy 2 , cos x} вдоль отрезка АВ от точки
А(-π,π) до точки В(0,0).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x3  y , 3x3  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = х, х = 0 и у = 1 (направление обхода
положительное).
1
2
2
2
7. Найти массу поверхности G : z  ( x  y ), y  0, z  2 с поверхностной
плотностью γ =3z2.
8. Найти поток векторного поля F  { x2 , y 2 , yz} через часть плоскости
P : 2x  y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {2 y  x 3 , x 2  4 y , z 3 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x |y|( x |y|), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { y 2 , x 2 , 3 x  z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  25, z  1, z  2 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 j  3k , u  2xy  4yz.
12. Проверить, является ли векторное поле

y2 
x2
a  ( yz  xy )i   xz   yz 2   j  ( xy  y 2 z )k
2
2 

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №18
1. Найти массу пластинки плотности   x  y , ограниченной линиями
x 2  y 2  1, x  0, y  0 ( x  0, y  0).
40
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  2, z 
9
 x 2 , z  0.
4
3. Вычислить момент инерции относительно полюса для однородной круглой
пластинки с границей r  2a cos  .

4. Найти массу кривой r  3(1  cos  ), 0   
с линейной плотностью
2

1
.
tg
5. Вычислить работу векторного поля F  { x sin y , sin x} вдоль отрезка АВ от
  
точки А(0,0) до точки В   ,  .
 2 2
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy , x  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых у = х2 и у = х (направление обхода положительное).
2
2
2
7. Найти массу поверхности G : x  y  2 z , y  0, 0  z 
1
с поверхностной
2
плотностью γ = z2 +1.
8. Найти поток векторного поля F  { x, xy 2 , xz} через часть плоскости
P : x  2y  2z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  y , 2 x  y 3 ,  z 3 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  2, x |y|( x |y|), лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {2 x  sin y , 3 y  tgx , z 2 } через
замкнутую поверхность  : x  y  z  1, x  0, y  0, z  0 в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  3i  2k , u  x2  y 2  3z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
(1  y  z)i  (1  x  z) j
2 xz
a

k
1 z
(1  z)2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №19
9
2
2
1. Найти массу пластинки плотности   16 x  y , ограниченной линиями
x
1
, y  0, y 2  16 x ( y  0).
4
41
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  5 x 2  2, y  7, x  0, z  3 y 2  2, z  3 y  7 x  5.
3. Вычислить момент инерции относительно полюса для однородной пластинки,
ограниченной кардиоидой r  a(1  cos ).
1


.
4. Найти массу кривой r  1  sin  ,     с линейной плотностью  
2
2
r
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  y , cos x} вдоль отрезка АВ от точки
  
А   ,  до точки В(π,2π).
 2 2
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  x2 , x2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x, y  x  1, x  1 (направление обхода
положительное).
2
2
2
7. Найти массу поверхности G : x  y  z  1, 0  z 
3
2
с поверхностной
плотностью γ = z + 5.
8. Найти поток векторного поля F  { x, yz, z} через часть плоскости
P : 2x  y  2z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  y 3 , 3 y 2  2 x 2 ,  z 3 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x  |y|,
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { y 2  1, y  yz 2 , z  x 2 z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  1, y  0 ( y  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  3 j  k , u  x2  3y 2  xz.
12. Проверить, является ли векторное поле
2 x(1  x 2  yz )i  (1  x 2 )zj  (1  x 2 )yk
a
(1  x 2 )2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №20
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  4y  x2  0, y 2  4y  x2  0, y  x 3, x  0.
2. Найти массу тела плотности   2|z|, заданного неравенствами
x 2  y 2  z 2  16, x 2  y 2  4.
3. Вычислить момент инерции круглой пластинки
относительно оси Оу, если плотность γ = 1.
( x  a)2  ( y  b)2  2a 2
42

4. Найти массу кривой r  4e 2 ,      0 с линейной плотностью   1  cos  .
5. Вычислить работу векторного поля F  {cos y , cos x} вдоль отрезка АВ от точки
А(0,0) до точки В(-π,π).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2 y , xy 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x, y  0, x  0 (направление обхода
положительное).
G : 4( x2  y 2 )  z2  4, y  0, 2  z  8
7. Найти массу поверхности
с
поверхностной плотностью   4 z 3 .
8. Найти поток векторного поля F  { x, yz, z} через часть плоскости
P : 2x  2y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  2 y , 4 x 3  y 3 ,  z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  2, x |y|, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { z , xz , z 2 } через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  16, x  0, z  0, z  3 ( x  0) в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  k , u  x2  z2  4y.
12. Проверить, является ли векторное поле
x2  y
a  2 x ln(1  z)i  ln(1  z) j 
k
1 z
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №21
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
25
5
 x2 , y  x  .
4
2
2. Найти массу тела плотности   5 x , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  8z , x 2  y 2  4, x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0).
y
3. Вычислить момент инерции относительно полюса для круглой пластинки с
границей r  2a sin  , если плотность γ = 1.
5

4. Найти массу кривой r  e 2 , 0    с линейной плотностью   1   .
2
Вычислить работу векторного поля F  { x2  y 2 , 3xy 3 }
Г : y  x 3  5 x от точки А(1,6) до точки В(2,18).
5.
вдоль
линии
43
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  {2x  3y 2 , xy 3 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x, y  2, x  0 (направление обхода
положительное).
2
2
7. Найти массу поверхности G : 6z  9  x  y , y  0,
3
25
z
с поверхностной
2
6
плотностью   z .
8. Найти поток векторного поля F  { yz, y , z2 } через часть плоскости
P : 3x  2y  z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {3 x 2  y ,  x 3  y , z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1,|x| y , лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { yz , 2y  xz , 3z xy } через
замкнутую поверхность  : x  2y  4z  8, x  0, y  0, z  0 в направлении
внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  3 j  k , u  x2  y 2  3z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
a  ( x  y sin 2 y)i  (1  x sin 2 y  xy sin 2y) j
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №22
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2
, y  7 e x , y  2, y  7.
x
2. Найти массу тела плотности   const , заданного неравенствами
y
36  x2  y 2  144, 
x2  y 2
x
 z  0, y  x 3, y 
.
24
3
3. Вычислить момент инерции пластинки, ограниченной
y  ax, x  a, относительно прямой у = -а, если плотность γ = 1.
4. Найти массу кривой r   , 0     с линейной плотностью  
кривыми
2r
1  r2
.
5. Вычислить работу векторного поля F  { x2  3xy 2 , x  4y 2 } вдоль линии
Г : y  x 3 от точки А(1,1) до точки В(2,8).
44
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  {3x  xy  x2 , x  x2  y  y 2 } по
контуру Г, состоящему из частей кривых y  x 3 , y  1, y  2, x  0 (направление
обхода положительное).
7. Найти массу поверхности G : z  4 x 2  y 2 , 1  z  4 с поверхностной
плотностью   z 3 .
8. Найти поток векторного поля F  { x, y , z} через часть плоскости
P :  3x  2y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {2 x 3  y 3 ,  y 2  x , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  2,|x| y , лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 3 , xz , 3 y 2 z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  16, y  0, z  0 ( y  0, z  0) в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 j  3k , u  xy  y  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  ( exy  xye xy  2)i  ( x2e xy  1) j
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №23
1. Найти массу пластинки плотности   4 x  9 y 2 , , ограниченной линиями
x
1
, y  2 x , y  0 ( y  0).
2
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  3 x 2  4, y  7, z  5 2 x 2  3 y 2 , z  1  2 x 2  3 y 2 .
3. Найти центр тяжести однородной пирамиды, ограниченной плоскостями
x  0, y  0, z  0,
x y z
   1.
a b c
4. Найти массу кривой r  6(1  cos  ), 
  tg .

4
 

4
с линейной плотностью
5. Вычислить работу векторного поля F  { x2  5y , 3x4 y 2 } вдоль линии
Г : y  x 2  1 от точки А(2,5) до точки В(3,10).
45
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  y 2 ,  xy 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x, y  2x, y  1 (направление обхода
положительное).
G : x2  y 2  z2  16, x  0, 7  z  4
7.
Найти
массу
поверхности
с
поверхностной плотностью   z 2  2z.
8. Найти поток векторного поля F  {x, xy 2 , z} через часть плоскости
P : x  3y  3z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {4 x 2  y 2 , 3 x  y 3 ,  z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  3,|x|  y ,
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 3 , y 3 , x 3 y 3 } через замкнутую
поверхность  : 9 x 2  9 y 2  25, z  0, z  2 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  2 j  3k , u  xy  yz  2y.
12. Проверить, является ли векторное поле




y
x
a 

2
x
i


6
y


j
 1  x2  y 2

 1  x2  y 2





потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №24
1. Найти массу пластинки плотности  
x
, заданной неравенствами
y
1  x 2  y 2  4, x  0, y  2.
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x  2 y 2  3, x  5, z  1  9 x 2  4 y 2 , z  4  9 x 2  4 y 2 .
3.
Вычислить
x  0, y  0, z  0,
момент
инерции
пирамиды,
4. Найти массу кривой

.
2  3 2
плоскостями
x y z
   1, относительно начала координат, если плотность γ
a b c
= 1.

ограниченной
r  5 sin  , 0   
2
3
с линейной плотностью
5. Вычислить работу векторного поля F  {2xy , x2  y} вдоль линии Г : y  x 2 от
точки А(0,0) до точки В(1,1).
46
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2  xy  y , x  y 2  2xy} по
контуру Г, состоящему из частей кривых y  x, y  2x, y  1 (направление
обхода положительное).
2
2
2
7. Найти массу поверхности G : x  y  1  4 z ,
1
 z  1 с поверхностной
2
плотностью   z5  z3 .
8. Найти поток векторного поля F  { x, yz, z2 } через часть плоскости
P : x  2y  3z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  y 3 , 2 x 2  3 y 2 ,  z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  4,|x|  y ,
лежащего в плоскости z = 0, в положительном
направлении относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {8x  1, y  x, z  xy} через замкнутую
поверхность
:
x y
  z  1, x  0, y  0, z  0, x  1
2 4
в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  j  3k , u  x2  2xyz.
12. Проверить, является ли векторное поле




y
x
a  1 2 2
 1 j
i  2 2
x y  1

x y 1 
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №25
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  11  x 2 , y  10.
2. Найти массу тела плотности   1, заданного неравенствами
y  x 3, 0  z 
x2  y 2
x
, 4  x 2  y 2  z 2  64, y 
.
24
3
3. Вычислить момент инерции прямого кругового конуса относительно его оси,
если плотность γ = 1.
4. Найти массу кривой r  e 4 ,      0 с линейной плотностью   ( 2  1).
5. Вычислить работу векторного поля F  { xy , x  y 2 } вдоль линии Г : y 2  x от
точки А(0,0) до точки В(1,1).
47
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x  y 2 , x  y  y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых
y
положительное).
7. Найти массу поверхности
поверхностной плотностью   4z 2 .
1
x , y  2 x , y  1
2
(направление обхода
G : 2 z  4  x 2  y 2 , x  0, y  0, 2  z  3
с
8. Найти поток векторного поля F  { y 2 x, z2 y , z2 } через часть плоскости
P : x  4y  3z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  y , 3 x 3  y 3 , z 3 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x 
1
, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
2
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 3  ln y , y 3  ln x , z 3 } через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  1, z  0 ( z  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 j  3k , u  x2  y 2  z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
2
2
2
2
a  2 xe x y  sin x i  2 ye x y  sin y j

 

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №26
1. Найти массу пластинки плотности   4 x  6 y 2 , ограниченной линиями
x  2, y  0, y 2 
x
( y  0).
2
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  4  9 x 2  5 y 2 , y  5 x 2  2, y  4 x 2  7, z  1  9 x 2  5 y 2 .
3. Вычислить момент инерции кругового конуса относительно диаметра
основания, если плотность γ = 1.


   с линейной плотностью   tg 2 .
4. Найти массу кривой r  10 cos  ,
6
3
Вычислить работу векторного поля F  { x  y 2 , x2  y}
Г : y  2 x 2  3 от точки А(0,3) до точки В(2,11).
5.
вдоль
линии
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  1, x2  y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых
положительное).
y
1
x, y  2 x, x  1
2
(направление обхода
48
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  25z 2  0, x  0, 0  z  1 с поверхностной
плотностью   5z.
8. Найти поток векторного поля F  { y , xy , z2 } через часть плоскости
P : x  4y  z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 3  y ,  x 3  y , z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x 
1
, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
2
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2  z 2 , y 2 , 7 z} через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  16, y  0, z  0, z  1 ( y  0) в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  k , u  3x2  yx  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
 1
cos x 
1  sin x
a 

j
i 
2
x

1
y

1
(
y

1)


потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №27
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x 2  6 x  y 2  0, x 2  2 x  y 2  0, y  0, y  x.
5 2
2
2. Найти массу тела плотности   ( x  y ), ограниченного поверхностями
3
2
2
2
2
2
9( x  y )  z , x  y  4, x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0, z  0).
3. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
az  a 2  x 2  y 2 , z  0.
4. Найти массу кривой r  1  cos  , 0   

с линейной плотностью   cos  .
4
5. Вычислить работу векторного поля F  { xy 3 , x  y 2 } вдоль линии Г : y 2  x от
точки А(1,1) до точки В(4,2).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy  x  y ,  2x2 y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  x 2 , y  1 (направление обхода положительное).
7. Найти массу поверхности G : x 2  y 2  z 2  25, y  0, 3  z  4 с поверхностной
плотностью   z 3 .
49
8. Найти поток векторного поля F  { x, y 2 , z3 } через часть плоскости
P :  2x  3y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {3 x  y 3 ,  x  y 2 ,  z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, y 
1
, лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
2
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  { x 2  y , y  z , x  z} через замкнутую
поверхность  : x  y  z  1, x  0, y  0, z  0 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  k , u  xy 2  y  yz.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  ex cos yi  e x sin yj
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №28
1. Найти массу пластинки плотности   35 x 4 y 3 , заданной неравенствами
x2 
1 2
y  1, y  0.
9
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  9  x2  y 2 ,
9
z  x2  y 2 .
2
3. Вычислить момент инерции относительно оси Оz для однородного тела,
ограниченного поверхностями x  0, y  0, z  0, x  z  a, если плотность γ = 1.
cos 

.
4. Найти массу кривой r  7 sin  , 0    с линейной плотностью  
sin 
2
5. Вычислить работу векторного поля F  {3x  y 2 , x2 } вдоль линии Г : y  x 3  3
от точки А(0,3) до точки В(1,4).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { xy , x2 y 2 } по контуру Г,
состоящему из частей кривых y   x 2  1, y  x (направление обхода
положительное).
7.
Найти
массу
поверхности
G : 25z 2  16  x 2  y 2 , x  0, y  0,
4
z1
5
с
поверхностной плотностью   z  8 z 3 .
8. Найти поток векторного поля F  {xy , yz, z} через часть плоскости
P : 3x  y  2z  4, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
50
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x 2  2 y , 2 x 2  y 3 ,  z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, y 
1
, лежащего в плоскости z = 0, в положи-тельном направлении
2
относительно орта k.
10. Вычислить поток векторного поля a  {5 x  y 2 , 4 x 2  y , 8 x 3  z} через
замкнутую поверхность  : x 2  y 2  z 2  36, z  0 ( z  0) в направлении внешней
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  j  3k , u  xyz  xy  z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле a 
yi  xj
потенциальным. В случае
1  2 xy
положительного ответа найти его потенциал и, предполагая, что в начале
координат и = 0.
Вариант №29
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x2  y 2  12, y  x 6 ( y  0).
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  2( x 2  y 2 )  1, z  4 y  1.
3. Вычислить момент инерции относительно оси Oz для однородного тела,
ограниченного поверхностями x  y  z  a 2, x2  y 2  a2 , z  0, если плотность
γ = 1.




2
r

2
e
,
   с линейной плотностью   3 .
4. Найти массу кривой
6
3
5. Вычислить работу векторного поля F  {x2  y , xy} вдоль линии Г : y  x 2  2
от точки А(1,3) до точки В(3,11).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x  y , x  y} по контуру Г,
состоящему из частей кривых y   x 2 , y  1 (направление обхода
положительное).
7.
Найти
массу
поверхности
G : x 2  y 2  4  8z  0, x  0,  1  z  
1
2
с
поверхностной плотностью   1  2 z.
8. Найти поток векторного поля F  { x 2 , 1,  z} через часть плоскости
P : x  y  3z  1, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
51
9. Найти циркуляцию векторного поля a  { x  y 3 , 3 x 2  y 3 , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x 
1
, y  0, лежащего в плоскости z = 0, в положительном
2
направлении относительно орта k.


1 2
2
2
10. Вычислить поток векторного поля a  8x  1, 4 x y , z  5 через замкнутую
2
2
2
поверхность  : x  y  36, z  0, z  2 в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 i  j  2k , u  x2  2y 2  3z2 .
12. Проверить, является ли векторное поле
2 xyi  (1  x 2  y 2 ) j  2 yzk
a
(1  x 2  z 2 )2
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
Вариант №30
1. Найти массу пластинки плотности  
x  0, y 
x
, заданной неравенствами
y5
x
, 1  x 2  y 2  4.
2
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z  3 x 2  y 2 , z  10  x 2  y 2 .
3. Найти центр тяжести однородного полушара z  0, x 2  y 2  z 2  a 2 .
4. Найти массу кривой r  11cos , 0    1 с линейной плотностью   arctg .
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  y , x  y} вдоль линии Г : y 3  x от
точки А(0,0) до точки В(1,1).
6. Вычислить циркуляцию векторного поля F  { x2 y  xy , 2xy} по контуру Г,
состоящему из частей кривых y  0, y  1, x  2 (направление обхода
положительное).
7. Найти массу поверхности G : z  2 x 2  y 2 , x  0, 0  z  1 с поверхностной
плотностью   4 z  3.
8. Найти поток векторного поля F  { yz, xy , z} через часть плоскости
P : x  2y  3z  2, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к
плоскости Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля a  {2 x6  3 y 2 ,  x 2  2 y 3 , z} вдоль контура
Г : x 2  y 2  1, x 
1
, y  0, лежащего в плоскости z = 0, в положительном
2
направлении относительно орта k.
52


1 2
1
1
x  5, x2  z 2 , z 2  5 через
2
2
2
замкнутую поверхность  : x  y  z  3, x  0, y  0, z  0 в направлении внешней
10. Вычислить поток векторного поля a 
нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  i  j  2k , u  xz  yz  xy.
12. Проверить, является ли векторное поле
2z 
a  (3x2  y 3  3x2 z)i  3xy 2 j   x 3 
k
1  z2 

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и,
предполагая, что в начале координат и = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
М.: Наука, 1969.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.:
Наука, 1981.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы
математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и
Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.
8. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.
9. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.
53