Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Вольский медицинский колледж имени З. И. Маресевой»
Учебно - методическое пособие для студентов
Просто о сложном в математике. Решение уравнений.
г. Вольск - 2014 г.
Данный сборник рекомендуется для самостоятельной подготовки для специальностей
«Сестринское дело» очной формы обучения.
Составитель: Антонова Е.В.
Содержание.
1.Иррациональные уравнения.
2.Решение простейших показательных уравнений.
3. Понятие логарифма числа.
5.Решение простейших логарифмических уравнений.
6. Формулы тригонометрии.
7. Решение простейших тригонометрических уравнений.
8. Возвратные уравнения
Решение уравнений.
1. 1.Иррациональные уравнения.
Уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х)
иррационально, называется иррациональным.
Примерами таких уравнений могут служить:
2х36х
Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют
так же, как и для рациональных.
Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.
Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен
смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если
подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.
Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых
действительных значениях подкоренного выражения.
Функции у = 2 n х и y= 2 n 1 x являются возрастающими на всей области определения.
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не
имеет решения, не прибегая к преобразованиям.
Задача 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.
2х31. Арифметический корень не может быть отрицательным, уравнение не
имеет корней.
Задача 2.Почему уравнение не может иметь корни?
2
х
3
6

х
0
.Сумма двух не отрицательных выражений не равна 0.
2.Причина появления посторонних корней.
Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении:
а) Если п>0, п-нечетное число , п =2k+1 ,то Аn(х)=Вn(х) и А(х)=В(х) равносильны;
Если п>0, п-четное число , п =2k ,то Аn(х)=Вn(х) удовлетворяет хотя бы одному из
уравнений : А(х)=В(х) или А(х)=-В(х).
Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения
приходилось возводить обе части в степень с четным показателем. Но могут появиться
посторонние корни уравнения, т.е. корни уравнения А(х)=В(х).
Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней:
а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного
уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).
б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по
абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.
3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием
( с последующей проверкой корней) можно производить следующим образом:

Найти ОДЗ исходного уравнения.



Перейти от уравнения к его следствию.
Найти корни полученного уравнения.
Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.
4.Проверка корней.
4) Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные
корни в данное уравнение. Рассмотрим два вида уравнений:
2х36х
6-х≥0,
2х+3= (6-х)2 ;
х ≤6,
2х+3= 36-12х+х2 ;
х ≤6,
х2-14х+33=0;
х ≤6,
х=3,
х=11.
Ответ: 3
1.2. Решение простейших показательных уравнений.
Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и
выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это
важно.
Вот примеры показательных уравнений:
а)5х+2=125
б) 3х  2х 36
6
3
27

0
в) 3 
Ну, и так далее.
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа. В показателях
степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если в уравнении х
находится в другой постановке, не в показателе, например:
2х = 3-х,
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил
решения. Уместно представить как
у=2х
у=3-х и построить графики функций.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда.
Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно
и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
3х= 9
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак,
верно!? Никакое другое значение икса не устраивают. А теперь обратим внимание на
запись решения этого хитрого показательного уравнения:
2
х
х
3х = 32
х=2
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки).
По свойству возрастающей функции и теореме существования единственного корня,
приравняем показатели степеней. Действительно, если в показательном уравнении
слева и справа стоят одинаковые основания в каких угодно степенях, то показатели так
же будут равными.
Однако, запомним: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа
числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и
коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
◄2х+2х+1 = 33, или
◄2·2х = 1024- необходимо сделать незначительные преобразования.
А следующее уравнение не так просто.
22х - 8х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! 2 и 8. Но впадать в уныние рано. Самое время вспомнить, что 8 = 23 , 8х+1 = (23)х+1 или 23(х+1), то вообще отлично
получается:
22х - 23(х+1) = 0
Переносим 23(х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!),
получаем:
22х = 23(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
2х = 3(х+1)
Ну а корень линейного уравнения находим без затруднения х = -3
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке
зашифрованную двойку. Этот приём очень важный приём в показательных
уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других
чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение
общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
3(2х+4) -11·9х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и
девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание
вполне исполнимое!) Потому, что:9х = (32)х = 32х - по тем же правилам действий со
степенями:32х+4 = 32х·34,значит,
32х·34 - 11·32х = 210 мы привели уравнения к одинаковым основаниям. И что дальше!?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех
математических заданий:
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится
вынесение за скобки! Общий множитель 32х явно намекает на это. Попробуем, а
дальше видно будет:
32х(34 - 11) = 210
32х ·70= 210
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо
всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70,
получаем:
32х = 3
32х = 31
2х = 1
х = 0,5
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их
ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим
этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений.
Примеры.
Решить уравнение:4х - 3·2х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию 2.
Получаем уравнение:
22х - 3·2х +2 = 0 . В этом случае предыдущий способ применить не получается,
применим другой способ. Называется он - замена переменной .Этот универсальный
способ знаком был при решении возвратных и биквадратных уравнений.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае 2х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена
приводит к быстрому результату!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
2х = t
Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
t2 - 3t+2 = 0
Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант или уместно
применить теорему Виета, получаем:
t=2
t =1
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нас интересует не t.
Возвращаемся к х, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:
t = 2 = 2х
Стало быть,
2х = 2
х=1
Один корень нашли. Ищем второй, из :
t= 1 = 2х
2х = 1
Значит:
2х = 20
х=0
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
х=1
х=0
Это ответ.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать
одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не
забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят
одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и
разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге
может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или
дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел
знать "в лицо".
Решить показательные уравнения:
◄6х = 216
◄8х+1 = 0,125
◄2х+3 - 2х+2 - 2х = 48
◄9х - 8·3х = 9
◄24х+2  5-3х-1=6,25  2х+2
◄ 2х = 7 - В этом случае при решении в конце иногда получается какое-то
неудобное выражение (x = log27 пока трудно, о таких уравнениях в грядущей теме)
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
3x = 9
Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе
степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них
ничего не слышали - не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало.
Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.
А теперь решите почти то же самое:
3x = 8
Что, что-то не так? Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается
в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?!
Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не
буквально, конечно….
Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и
двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Математика решает
вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма.
Итак, что такое логарифм?
Вернёмся к нашему загадочному примеру:
3x = 8.
х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если не
понятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.
Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот
как:
х = log38
Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".
Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в
логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно - оно,
обычно, внизу бывает.
И это правильный ответ!
Вот и всё.
Мы решили показательное уравнение 3x = 8!
Ответ: х = log38 .
И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!
Как решить пример:
5x = 12 ?
Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической
записи:
х = log512
Ещё пример:
2x =135 ?
х = log2135
И ещё:
19x = 0,352 ?
х = log190,352
Это все верные ответы!
На вопрос: чему равен х в уравнении
3x = 8 ?
Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8!
Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:
х = log38
Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами?
Это конкретное число:
х = log38 = 1,892789260714.....
И это число никогда не кончается. Иррациональное оно...
х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать.
Собственно, это и есть решение логарифма.
И чему же равен log24?
log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что
надо возвести 2, чтобы получить 4!?
Да! Во вторую:
log24 = 2
А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:
log327 = 3
Усвоили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
◄log381 =
◄log416 =
◄log55 =
◄log6216 =
Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они
не опасны. Но есть, есть особенность! Самая важная - это ограничения.
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать
корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную
роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения,
связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
c = logab
или, что едино:
logab = c
Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.
а > 0; a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим...
Да! Положительное число и получим. Отсюда:
b > 0.
Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.
При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но
при решении логарифмических уравнений и неравенств - это важно.
Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный
логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10
и основание е.
Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.
log10b = lgb
Основание 10 не пишется, буква "о" пропадает. Такие логарифмы называются
десятичными. И
logeb = lnb
Логарифмы по основанию "е" называются натуральными.
Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по
свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!
Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам
логарифмов. Популярное выражение "Решение логарифмов" предполагает не только
вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.
Запишем знакомое нам выражение:
logab = c
Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим
число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:
ac = b
А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:
с = logаb
Подставим это в предыдущую формулу, и получим: ac = b и с = logаb, значит , a logаb
= b –основное свойство логарифмов
Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.
Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из
определения логарифма и элементарной логики.
Чему равняется выражение:
logа1 = ?
В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужели забыли? Нет? Ну,
хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:
Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:
logаа = 1
Свойства логарифмов.
a logаb = b –основное свойство логарифмов,
logа1 = 0,
logаа = 1,
logа (ху)=logах+ logау ,
х
logа у =logах- logау,
рlogах = logа хр.
Ещё нужно знать формулу перехода
log
nr
log
r

a
log
na
Первые три - понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать обязательно.
Причем слева направо и справа налево. Обратите внимание - действия с логарифмами
(формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания
разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.
Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В
числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули
использовать.
log142 + log147 = ?
Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы - свойства и выбираем
нужную. Это четвёртая формула, только справа налево.
log142 + log147 = log14(2·7) = log1414 = 1
Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения
к числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея
математики вообще!) - использование правил, свойств для преобразования выражений.
◄log9243 =
◄2log63+log64 =
◄log28+log48 =
1.3. Решение простейших логарифмических уравнений.
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а  0 , a  1 ,
называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
Примеры:
loga b  c , так как a c  b
а  0 , a  1; b  0 .
3
1) log2 8  3, т.к. 2  8 ;
3
27

3

x

27

x

3
x
2) log
x  0 , x  1;
b  0 , т.к. a 0  1
loga a 1, т.к. a1  1
Основное логарифмическое тождество:
аloga b  b
а  0 , a  1; b  0 .
2
x

2

x

5

x

25
5
3) log
x  0;
0
4) log2 1  0 , т.к. 2  1 ;
1
5) log2 2 1, т.к. 2  1 ;
log2 8
8
6) 2
Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от
уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот
переход осуществляется в один шаг.
Решаем первый пример:
log3х = log39
Для решения этого примера нужно знать теорему существования единственного корня.
х=9
Так можно и нужно делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом - один
из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В
математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на
такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:
Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:
а) одинаковые числовые основания
в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом
одиночестве.
Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,
log3х = 2log3(3х-1)
убирать логарифмы нельзя. Коэффициент 2 не позволяет. В примере
log3х+log3(х+1) = log3(9+х) - тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет
одинокого логарифма. Их там два.
Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:
logа(.....) = logа(.....)
В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, или
сложные. Важно то, что после потенцирования логарифмов у нас остаётся более
простое уравнение. Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные,
дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.
Теперь легко можно решить второй пример:
log7(2х-3) = log7х
Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:
2х-3 = х
х=3
Решаем третий пример:
log7(50х-1) = 2
Видим, что слева стоит логарифм:
log7(50х-1)
Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание
(т.е. семь), чтобы получить подлогарифмическое выражение, т.е. (50х-1).
Но это число равно двум! Стало быть:
72 = 50х-1
Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:
50х-1 = 49.
х = 1.
Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма.
Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:
logх-18 = 1
(х-1)1 = 8
х-1 = 8
х=9
Решить уравнения:
◄ln(7х+2) = ln(5х+20)
◄log2(х2+32) = log2(12x)
◄log2х = 4
◄log16(0,5х-1,5) = 0,25
◄log0,2(3х-1) = -3
◄ln(е2+2х-3) = 2
◄logх5 = 0,5
◄log2(14х) = log27 + 2
Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей.
Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части
решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном
этапе решения.
Практические советы:
1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.
2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с
условий ОДЗ.
3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.
4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты
уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и
взять за ответы.
1.4Решение простейших тригонометрических уравнений
Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком
тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Частные случаи решения тригонометрических уравнений осуществляются по
следующему принципу

sin
t 0,t n,nZ
cos
t 0,t  n,nZ
2

sin
t 1
,t  2n,nZ
cos
t 1,t 2n,nZ
2

sin
t 1
,t  2n,nZ
2
cos
t 1,t 2n,nZ
Формулы для нахождения корней тригонометрических уравнений вида
сost

a
;
t

arccos
a

2

k
n
sint  a ,значит, t
(

1
)arcsin
a


n
,
n

Z
Примеры:
◄ cost 
1
2

t

2

n
,n

Z
3
1


(

)
2

n
,n

Z
◄ cost   - здесь   0 ,то t
2
3
◄ sint 
2
2

2
k
t
(

1
)
arcsin

k
,
k

Z
2
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического
уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его
простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического
уравнения. Существуют основные методы решения тригонометрических уравнений.
Пример.
3х
2
3х


1
2
2 4
2 sinx-cos 4
sin
3х
3х

2
sin2 4
cos2 4 = sinx+
2
2
sin
х
2
x=(-1) arcsin(
2
)+ n
2
x=(-1)n+1 4 +  n
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки ).
Пример.
6 cos2 х + cos х -1=0
Обозначим cosх  t ,тогда уравнение примет вид:
6 t2+t-1=0, а такое уравнение решаем без затруднений.
1
1
t=или t= . И вот теперь самое время вернуться к cosх  t .
2
3
1

cosх  , х


(

)
2

n
,n

Z
.
2
3
1
1
cosх  , х


arccos

2

n
,n

Z
.
3
3
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
х
sin x -2 sin 2 2 = 0
х
х
х
2 sin 2 cos 2 - 2 sin 2 2 = 0
х
х
х
2 sin 2 (cos 2 - sin 2 )=0
1)
sin
х=
0 или
2

2n, nZ
2
х  2n, nZ
х
2)
х
х
сos 2 - sin 2 =0
х
 х
cos  cos (  ) 0
2
2 2
х  х
х  х
 
 
-2sin 2 2 2 sin 2 2 2 =0
2
2

х 
-2sin sin(  ) =0
4
2 4
х 
sin( - )=0
2 4
х 
- =  n , n  
2 4
х

=
+  n, n 
2
4
х 
x= - + +   n , n  
2 4
x=-

4
+  n, n .
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
А корни таких уравнений были найдены ранее .
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Решение.
cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
2cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
- cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1) cos 4x = 0 ,
2) sin 3x = 0 ,
3)sin x = 0 ,
Решение частных случаев выведут к верным корням уравнений.
3.
Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным
относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin
и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени,
которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.
*
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
1) tg x = –1,
*
2) tg x = –3,
Кстати, эти формулы тоже важны:
x
arctga


k
,k

arctg
(

a
)

k
,k

Z. x
Z.
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tg ² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
Заменим tg ( x / 2 ) =z , то получим уравнение с новой
переменной: z - 3z+6=0,так мы добились встречи со знакомыми…
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
2
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие
формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x -sin 3x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x =
x=

2

 т ,


16 8
т.
7.Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .
2 tg
Т.к. sinx =
1  tg 2
x
2
и cosx =
x , тогда
1  tg 2
2
1  tg 2
x
2
x
2
3
- 4
=3, применив свойство к решению уравнений, заметим2 x
2 x
1  tg
1  tg
2
2
2 tg
x
2
x
2
1  tg 2
6 tg
x
2 x
2 x
- 4+4 tg
= 3+3 tg
,
2
2
2
tg 2
x
x
+ 6 tg - 7=0. А вот и опять знакомое уравнение, завершить его по примеру
2
2
1.5Возвратные уравнения.
*
Уравнения вида a0x2n+1+a1x2n+ … +anxn+1+an+1xn+…+a2nx+a2n+1=0 называют
возвратными уравнениями нечетной степени,
Уравнения вида a0x2n+a1x2n−1+…+an−1xn+1+anxn+…+a2n−1x+a2n=0 называют
возвратными уравнениями четной степени,
Пример: Уравнение 2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2=0 степени 5 (нечетное число), тогда
один из корней x = -1.
Разделим левую часть уравнения на x+1 , получим симметрическое уравнение 4
степени.
2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2
х+1
2х5+2х4
2х4+3х3-16 x2+3х+2
4
3
3х -13х
3х4+3х3
-16х3-13 x2
-16 x3-16 x2
3 x2+5х
3 x2+3х
2х+2
2х+2
0
2х4+3х3-16 x2+3х+2=0 – Разделим уравнение на х2
3 2
2х2+3х-16+ + 2 =0
х х
1
1
1 2
1
2(х2+ 2 )+3(х + )-16=0, что -то видим родственное ( х +
) = х2+ 2 +2,а нам
х
х
х
х
1
необходима только сумма из 2-х слагаемых - х2+ 2 .Значит, нужно исключить 2,
х
но не забываем умножить на коэффициент 2. Теперь самое время ввести новую
1
переменную: у= х +
х
2
2у -4 +3у-16=0
2у2+3у-20=0
D=32-4  2  (-20)=169
у=-8 или у=5 . Возвращаемся к замене
1
х + =-8 и снова получим знакомое уравнение, если умножим на х.
х
1
х2+1+8х=0
или
х + =5
х
D=16-1=15
х2-5х+1=0
5  21
х=-4
х=
.
2
Задания для самостоятельной работы
Тема № 1. Решение целых уравнений и рациональных неравенств.
1) Решить уравнения:
2
2
)230,г) х4х
(
1
)497
10
х25
0, в) (х 2
а) х2-2х-8=0, б) х 
.
2)Решить неравенства:
х2 9
4
3
2
2
0
х

3
х

х

3
х

2

0
а) х -2х-8<0, б)
, в) 2
х 5х6
Тема № 1. Решение показательных уравнений и неравенств.
x 1
1) Построить график функции у= 3 и описать его свойства.
2)Решить показательные
а)16х-50*22х= -441,
6х
3х2
б) 3 3 ,
2х
в) 7  4 ,
х
1
х
г) 4 4 320
.
10
х
3)
2
2
х2
1
3
Решить показательное неравенство:   64
4
Тема № 2. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
)(log
)
1) Вычислить : (log
327
525
а) 52;
б) 6;
в) 8.
log
2) Найдите значение выражения : log
672
612
а) 6;
б) 60;
в) 1.
log 2 32
3) Чему равно частное log 32 ?
4
а) 0,5;
б) 2;
в)1.
7
x

5
)
lg(
3
x

7
)
4) Найдите корень уравнения : lg(
а) 3;
б) 1;
в) 0,5.
5)Построить график функции у = log3 x 1
6)Решить показательные и логарифмические уравнения:
2


4

5
log
7) log
3х
3х
1
log
log
8)
4x
421
2
log
(
x

1
)
log
169
9) 2
.
4
4
10) Найдите решение неравенства: lg(2х-3)  lg(х+1).
Тема № 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
1) Укажите тригонометрическое уравнение:
(x5
) 3
 ;
б) cos
6
2
2) Какая из тригонометрических формул является основной?
log
а) х2= log
;
672
612
2
2
2
2
x
sin
x
1
x

sin
x

cos
2
x
а) cos
; б) cos
; в) tg
х
1
х
в) 5 5 500
.
 1cos


2 1cos

8sin27o
3) Найдите значение выражения:
.
sin333o
3
а)
;
б) -8;
в) 8.
37
(x5
) 3

4) Найдите наименьший положительный корень уравнения: cos
6
2
а) 30о;
б) 5;
в) -4.
5) построить график функции:
у = sin x+2
6) Решить уравнения:
1
2
4 
30
а) cos 2x=-1, б) sin (- х)  1 , в) sinx=cos x , г) cos хсosx
.
3
7) Решить неравенства:
2
,5
сosx
0
а)sinx< - cos x, б) cos х0
Тема № 4. Решение целых уравнений и рациональных неравенств.
1) Решить уравнения:
2
2
)230,г) х4х
(
1
)497
10
х25
0, в) (х 2
а) х2-2х-8=0, б) х 
.
2)Решить неравенства:
х2 9
4
3
2
0
3
х

х

3
х

2

0
а) х2-2х-8<0, б) х
, в) 2
х 5х6
Литература
Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам
математического анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 712 с.
Быков А. А. Тематические тесты по математике. Для учащихся 10-х классов
М. Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006
Говоров В. М.. Дыбов П. Т., Мирошин Н. В.. Смирнова С. Ф. Сборник
конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и
решениями). - М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1983. —384 с.
Дыбов П. Т., В. А. Осколков Задачи по математике (с указаниями и
решениями). - М.: ООО «Издательство Оникс», 2006. - 464 с: ил. (Поступающим в вузы)
Иванов А. А., Иванов А. П. Тематические тесты для систематизации знаний
по математике. - ч. II: Учебн. пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.:
Физматкнига, 2005. - 176 с.
Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных
задач по математике. 5-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624с.
Ляпин А.А, Родионов Е.М, Синякова С.Л. Математика. Сборник задач. 4-е
изд., перераб. и доп. - М.: Ориентир, 2006. - 392с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2.
Задачник для общеобразовательных учреждений / 8-е издание, М. :
математика, 2007. - 315 стр.