Основные приемы решения тригонометрических уравнений

Основные приемы решения тригонометрических уравнений.
Данная памятка призвана помочь учащимся старших классов в подготовке к ЕГЭ по математике по
теме «Тригонометрические уравнения», а так же преподавателям для систематизации и
обобщению знаний по указанной теме.
1) Уравнения вида a sin2x + b sin x + c = 0; в которые входит только один вид
тригонометрических функций.
Решение:
1. Замена sin x=t,
2. Решение квадратного уравнения относительно t,
3. Возвращение к переменной х
2) Уравнения вида a sin2x + b cos x + c = 0; в которые входят разные виды тригонометрических
функций.
Решение:
1. Замена sin2 x=1- cos2 x ,
2. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= cos x
3. Возвращение к переменной х
3) Уравнения вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2 x = 0;
Решение:
1. Деление на cos2 x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями
уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не
могут равняться нулю)
2. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x
3. Возвращение к переменной х
4) Уравнения вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2 x = d; (a не равно d)
Решение:
a sin2x + b sin x cos x + c cos2 x = d(sin2x+ cos2 x) , т.к. sin2x+ cos2 x=1
a sin2x + b sin x cos x + c cos2 x – d sin2x- d cos2 x=0
(a-d) sin2x + b sin x cos x +( c-d) cos2 x =0
Деление на cos2 x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями
уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно
не могут равняться нулю)
5. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x
6. Возвращение к переменной х
1.
2.
3.
4.
5) Уравнения вида a sin x + b cos x = 0;
Решение:
1. Деление на cos x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями
уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус
одновременно не могут равняться нулю)
2. Решение простейшего уравнения а tg x + b=0
6) Уравнения вида a sin а x + b cos в x = 0;
Решение:
1. Использовать формулы суммы(разности) тригонометрических функций
2. Применить правило равенства нулю произведения
Уравнения вида a sin x + b cos x + с = 0;
Решение:
1. Введем вспомогательный аргумент t=x/2, получим a sin 2t + b cos 2t + с = 0;
2. Применяя формулы двойных углов и приведя подобные слагаемые получаем
уравнение третьего вида (из данной памятки)
8) Уравнения вида sin а x + sin в x = sin cx + sin dx ;
Решение:
1.Использовать формулу понижения степени,
2. Применяя формулы суммы(разности) тригонометрических функций и вынося общий
множитель за скобки, получаем уравнение шестого вида (из данной памятки)
7)