Методические указания и задания к выполнению контрольных

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
высшая математика
Методические указания и задания
к выполнению контрольных работ 7, 8, 9
для студентов специальности 120100
заочной формы обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2009
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые
начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.
Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер
которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для
замечаний рецензента. В заголовке работы должны быть ясно написаны
фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь
же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные
конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно
и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как незачтенной, так
и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и
недочеты.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при
2
выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.
Контрольная работа № 7
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Литература: [1], гл 7, гл. 8; [2], гл 5, гл. 6, гл. 7; [4], т.I, гл. X, гл. XI;
[5], ч.I, гл. IX, гл. X; [6], ч.1, гл. VII, гл. VIII.
Основные теоретические сведения
1. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на отрезке [a,b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F/(x)=f(x) .
Если F(x) является первообразной для f(x) , то выражение F(x)+с (совокупность всех первообразных) называется неопределенным интегралом от
функции f(x) и обозначается символом
 f ( x)dx; таким образом,
 f ( x)dx  F ( x)  c .
2. Свойства неопределенного интеграла:


 f ( x)dx  f ( x)dx.

1.  f ( x)dx  f ( x).
2.d
3. dF ( x)  F ( x)dx.
4. af ( x)dx  a  f ( x)dx,
где a  const.
5.  f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx.
6. f (u )du  F (u )  c,
где u   ( x).
3. Таблица основных интегралов:
1. dx  x  c.
8.
dx
 tgx  c.
cos2 x
x n1
2. x dx 
 c, (n  1).
n 1
9.
dx
 ctgx  c.
sin 2 x
n
3.
dx
 ln x  c.
x
10.
3
dx
a2  x2
 arcsin
x
 c.
a
ax
4. a dx 
 c.
ln a
11.
5. e x dx  e x  c.
12.
6. sin xdx   cos x  c.
13.
x
dx
1
x

arctg
 c.
a
a2  x2 a
dx
x a
2
2
 ln x  x 2  a 2  c.
dx
1
xa

ln
c
x 2  a 2 2a x  a
7. cos xdx  sin x  c.
4. Основные методы интегрирования:
1. Непосредственное (табличное) интегрирование. Если
то

f (ax)dx 
1
F (ax)  c,
a
 f ( x)dx  F ( x)  c ,
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  c ,
(1)
где а и b – некоторые постоянные.
2. Подведение под знак дифференциала:
 f ( ( x)) ( x)dx   f ( ( x))d ( ( x))   f (u)du,
(2)
так как  ( x)dx  d ( x) , u   (x) .
3. Формула интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu .
(3)
Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не
вызывало особых затруднений. За u , как правило, принимается такая
функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся функции вида: P(x)eax,
P(x)sin ax, P(x)cos ax, P(x)ln x, P(x)arcsin x, P(x)arctg x, где P(x ) – многочлен
от x.
4. Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов Pk(x) и Qn(x) (соответственно к-й и n-й степени): R(x)=Pk(x)/Qn(x),
сводится к разложению подынтегральной функции R(x) на элементарные,
всегда интегрируемые дроби вида:
4
A
Mx  N
, 2
,
l
( x  a) ( x  px  q) m
(4)
где l, m – целые положительные числа, а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби предварительно должна быть выделена целая часть.
5. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Если
x   (t ) , где  (t ) - монотонная непрерывно дифференцируемая функция
новой переменной t . Формула замены переменной в этом случае:
 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt.
(5)
Выбор функции  (t ) , не всегда очевиден. Но для некоторых часто
встречающихся классов функций можно указать стандартные подстановки:
 R ( x,
 R ( x,
 R ( x,
a 2  x 2 )dx,
x  a sin t
или
x  a cost ;
x 2  a 2 dx, x  a  tg (t ),
или
x  a  ctg (t ) ;
 R(sin x, cos x)dx,
x 2  a 2 dx, x  a / sin t ;
x  2arctg (t ),
где R- символ рациональной функции.
5. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеb
грала имеет вид:

b
f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
(6)
a
если F/(x)=f(x) и первообразная непрерывна на отрезке a,b.
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=в, у=0 и частью графика функции
у=f(x), взятой со знаком плюс, если f ( x)  0, и со знаком минус, если
f(x)≤0.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x)≤f2(x)] и
5
b
прямыми x=a и x=b, находится по формуле: S   [ f 2 ( x)  f 2 ( x)]dx .
(7)
a
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в
полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ) и двумя полярными радиусами

1
ρ=α , ρ=β (α≤β), находится по формуле: S    2 d .
2
(8)
6. Если интервал интегрирования a, b не ограничен ( например, b   )
или функция f(х) не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (например, при х=в), то по определению полагают:

b
f ( x)dx
 f ( x)dx  blim
 
a
a
b
b 
f ( x)dx
 f ( x)dx  lim
0 
a
(9)
(10)
a
Интегралы в левых частях равенств называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств. Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
7. Пусть кривая y=f(x) на отрезке a, b - гладкая( т.е. f (x) непрерывна),
то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
b
L   1  ( f ( x)) 2 dx .
(11)
a
Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), α≤φ≤β,

то длина дуги равна: L    2    2 d .
(12)

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) длина дуги кривой,
соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычис-
6
t2
ляется по формуле: L   x 2  y 2 dt .
(13)
t1
8. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми х=а, х=в, у=0
и частью графика кривой у=f(x), вращается вокруг оси Ох. Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле:
b
b
V    y dx    ( f ( x)) 2 dx
2
a
(14)
a
3  2x4  3 x2
dx.

4
x
Пример 1. Найти
Решение. Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и, используя таблицу основных неопределенных интегралов, получим:
3  2x4  3 x2
1 / 4
15 / 4
5 / 12
dx

3
x
dx

2
x
dx

x
dx 




4
x
 4x3/ 4 
8 19 / 4 12 17 /12
8
12
x
 x
 C  44 x 3  4 x19  12 x17  C.
19
17
19
17
Проверка.
(4 x 3 / 4 
8 19 / 4 12 17 /12
3
8 19
12 17
x
 x
 C )'  4  x 1/ 4   x15 / 4   x 5 /12 
19
17
4
19 4
17 12
 3x 1/ 4  2 x15 / 4  x 5 /12 .
Пример 2. Найти
Решение. Так как
dx
dx
 (3x  1) ln 5 (3x  1) .
dx
1
 d (ln( 3x  1)), то по формуле (2) находим
3x  1 3
 (3x  1) ln 5 (3x  1)   (ln( 3x  1))
Пример 3. Найти
5
d (ln( 3x  1))  1

(ln( 3x  1)) 4  C.
3
12
 ( x  7) sin 5xdx.
Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим u=x-7,
7
dv=sin5xdx тогда du=dx, v=-(cos5x)/5 . Используя формулу (3), имеем
1
1
1
1
 ( x  7) sin 5xdx   5 ( x  7) cos5x  5  cos5xdx   5 ( x  7) cos5x  25 sin 5x  C.
7x  x2  4
Пример 4. Найти 
dx.
( x  1)( x 2  5 x  6)
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную
рациональную дробь. Разложим ее знаменатель на множители:
(x+1)(x-2)(x-3). В разложении правильной дроби на простейшие каждому
множителю знаменателя вида x-a соответствует слагаемое
A
. Поэтому
xa
в данном случае имеем
7x  x2  4
7x  x2  4
A
B
C




.
2
( x  1)( x  5 x  6) ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и
приравняв числители дробей, получим тождество:
7 x  x 2  4  A( x  2)( x  3)  B( x  1)( x  3)  C ( x  1)( x  2).
Коэффициенты A,B,C определим с помощью метода неопределенных
коэффициентов:
x=-1
-12=12A
x=2
6=-3B
x=3
8=4C,
откуда A=-1, B=-2, C=2. Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим
7x  x2  4
1
2
2
 ( x  1)( x 2  5x  6) dx   ( x  1  x  2  x  3)dx 
( x  3) 2
  ln x  1  2 ln x  2  2 ln x  3  C  ln
 C.
x  1 ( x  2) 2
Пример 5. Найти
dx
 3sin x  2 cos x  1.
Решение. Используем метод замены переменной – универсальную три
8
x
2t
1 t2
гонометрическую подстановку. Полагая t  tg , sin x 
, cos x 
,
2
1 t2
1 t2
dx 
2dt
,
1 t 2
x  2arctgt.
dt 
dx
dt
 3sin x  2 cos x  1  2  6t  2  2t 2  1  t 2  2 3t 2  6t  1 


2 3 t 1 2/ 3
2
dt
2
dt
ln
C 
 
 

3 t 2  2t  1 3 (t  1) 2  4 3 4 t  1  2 / 3
3
3
1
2 3
ln
3tg ( x / 2)  3  2
 C.
3tg ( x / 2)  3  2
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или показать его расхо
2
dx
1)  ;
x
2
димость:
2) 
1
dx
.
x 1
Решение. Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (9)

имеем:

2
b
b
dx
dx
1 1 1
 1
 1 1

lim

lim


lim




lim
  .




b  b
2 2
x 2 b 2 x 2 b x  2 b b 2 
Следовательно, данный интеграл сходится.
Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции: f ( x) 
1
терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе
x 1
при х= 1. Согласно определению (10), получаем:
2
2
2
dx
dx
ln x  1   lim
ln 1  ln     lim

lim
ln    ,
 x  1  0  x  1  lim
0
0
0
1
1
1
т.е. этот несобственный интеграл расходится.
Пример 7. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми у1=2х-х2, у2=-х, х=2.
9
Решение.
y
2
2
1
0



S   ( y1  y 2 )dx   2 x  x 2   x  dx 
2

0

0
х
А
2

1 
3
1
10
3
3x  x dx   x 2  x 3    4   8  .
3 0 2
3
3
2
2
-2 -
В
Пример 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох кривой у1=1+х2, у2=2, х=0 ( x  0) .
Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле (14):
1
V 
1
( y22

1
  (4  (1  x ) )dx   (3  2 x 2  x 4 )dx 
y12 )dx 
0
2 2
0
0
1
2 1  32

2
1 

.
   3x  x 3  x 5      3    
3 5  15

3
5 0

Контрольная работа № 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Литература: [1], гл 15; [3], гл 1; [4], т.2, гл. XII; [5], ч.II, гл. IV;
[6], ч.2, гл. I .
Основные теоретические сведения
1. Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой
искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой
функции. Порядок дифференциального уравнения совпадает с порядком
наивысшей производной, входящей в это уравнение. В общем случае дифференциальное уравнение n-порядка имеет вид:
f(x,y,y’,…y(n))=0 или y(n)= f(x,y,y’,…y(n-1))
(1)
2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
вида F ( x, y, y )  0 или y   f ( x, y ) называется дифференцируемая функция
y=φ(x,C), которая при любом значении произвольной постоянной С явля-
10
ется решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения y=φ(x,C) при определенном значении произвольной постоянной С,
называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y  y 0 при x  x0 , называется задачей Коши.
График всякого решения y=φ(x) данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости xOy, называется интегральной кривой этого уравнения.
3. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
называется уравнение вида P1(x)Q1(y)dx+Q2(y)P2(х)dy=0. Если ни одна из
функций P1(x), Q1(y), Q2(y), P2(х) не равна тождественно нулю, то в результате деления уравнения на Q1(y)P2(х) оно приводится к уравнению с разделенными переменными
P1 ( x)
Q ( y)
dx  2
 0 . Почленное интегрирование
P2 ( x)
Q1 ( y )
последнего уравнения приводит к соотношению
P1 ( x)
Q2 ( y )
dx

 P2 ( x)  Q1 ( y) dy  C ,
которое и определяет решение исходного уравнения.
4. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение
вида P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 , если P( x, y) и Q( x, y) – однородные функции одного измерения. Функция f ( x, y) называется однородной измерения
m, если f (x, y )  m f ( x, y ). Однородное уравнение может быть приведено к виду y /  f ( y / x). С помощью подстановки y  tx однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t.
5. Уравнение вида
y /  A( x) y  B( x) называется линейным. Если
B( x)  0 , то уравнение называется однородным; если B( x)  0 – неодно-
родным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается
из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью
11
вариации произвольной постоянной интегрирования С.
Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены y  uv , где u, v – две неизвестные функции.
6. Дифференциальное уравнение n-порядка, разрешенное относительно
производной, имеет вид y ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ).
Задача нахождения решения y=φ(x) данного уравнения, удовлетворяющего
начальным
условиям
( n1)
,
y / x x  y0 ; y / x x  y0 ;... y ( n1) / x x  y0
0
0
0
называется задачей Коши.
Решение уравнения вида y ( n )  f ( x) находится n- кратным интегрированием, а именно
y ( n1)   f ( x)dx  C1  f1 ( x)  C1 , y ( n2)   [ f1 ( x)  C1 ]dx  f 2 ( x)  C1 x  C2 ,...,
y  f n ( x) 
Так как
C1
C2
x n1 
x n2  ...  Cn1 x  Cn .
(n  1)!
(n  2)!
C1
C2
,
,... являются постоянными величинами, то общее
(n  1)! (n  2)!
решение может быть записано так:
y  f n ( x)  С1 x n1  С2 x n2  ...  Cn1 x  Cn .
7. Дифференциальные уравнения вида F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0, не содержащие искомой функции допускают понижение порядка, если взять за
новую переменную неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т. е. полагая y ( k )  z . Тогда получим уравнение
F ( x, z , z ,..., z ( nk ) )  0.
8. Дифференциальные уравнения вида F ( y, y , y ,..., y ( n ) )  0, не содержащие независимой переменной, допускают понижение порядка, если положить y   z , а за новый аргумент принять сам y . В этом случае y , y ,...
выразятся по формулам (они выводятся по правилам дифференцирования
12
 d 2 z  dz  2 
dz
сложной функции) y   z , y   z  z 2    ,
dy
 dy
 dy  
через z и производ-
ные от z по y, причем порядок уравнения понизится на единицу.
9. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид a0 y   a1 y   a2 y  f ( x) , где a0 , a1 , a 2 –
числа, причем a0  0 . Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, а
если f(x)≠0 – неоднородным.
Квадратное уравнение a0 k 2  a1k  a2  0 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 .
Пусть D  a12  4a0 a2 дискриминант квадратного уравнения. Возможны
следующие случаи:
1) D  0 – общим решением уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 является
функция y  C1e k x  C2 e k x ( k1 и k 2 – корни характеристического уравне1
2
ния);
2) D  0 – общим решением служит функция y  (C1  C2 x)e kx ( k – корень характеристического уравнения);
3) D  0 – общим решением является функция
y  ex (C1 cos x  C2 sin x) , где k1      i ; k 2      i – корни харак-
теристического уравнения.
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
ТЕОРЕМА. Если y* – некоторое частное решение неоднородного уравнения a0 y ' ' a2 y  f ( x) и Y – общее решение соответствующего однородного уравнения a0 y ' ' a1 y ' a2 y  0 , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид y  Y  y * .
Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравне-
13
ния методом неопределенных коэффициентов.
1. Если f ( x)  b0 x 2  b1 x  b2 , то:
а) y *  Ax 2  Bx  C , если нуль не является корнем характеристического
уравнения;
б) y *  Ax 3  Bx 2  Cx , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;
в) y *  Ax 4  Bx 3  Cx 2 , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.
2. Если f ( x)  bex , то:
а) y *  Ae x , если число  не является корнем характеристического
уравнения;
б) y *  Axe x , если число  является простым корнем характеристического уравнения;
в) y *  Ax 2 ex , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.
3. Если f ( x)  ex ( M cos x  N sin x) , то:
а) y *  ex ( A cos x  B sin x) , если число   i не является корнем характеристического уравнения;
б) y *  xex ( A cos x  B sin x) , если число   i является корнем характеристического уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения y  x
Решение. Из данного уравнения находим
dy
dy
x y .
dx
dx
dy
:
dx
dy y  x

.
dx x  y
Исходное уравнение является однородным уравнением первого поряд14
ка. Решаем его с помощью подстановки y  x  u (x). Далее находим:
y '  u ' x  u, u ' x  u 
ux  x
u 1
, u' x  u 
,
x  ux
1 u
u 1
 u2 1
du
u2 1
u' x 
u 
, x

.
u 1
u 1
dx
u 1
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем его:
u 1
dx
du   ,
2
x
u 1
1 2udu
du
 2
  ln x  ln C ,
2

2 u 1
u 1
arctdu  ln
C
x u2 1
,
arctg
u 1
dx
 u 2  1 du   x ,
1
ln( u 2  1)  arctgu  ln C / x ,
2
C
y
 ln
,
2
2
x
x y
т.е. нашли общий интеграл исходного уравнения.
Пример 2.Найти частное решение дифференциального уравнения
dy  e  x dx  ydx  xdy  xydx ,
y(0)  ln 5.
Решение. Преобразуем уравнение, выделив производную:
dy xy  e  x  y dy 1  x
e x

,

y
.
dx
1 x
dx 1  x
1 x
Уравнение
dy
e x
– линейное первого порядка. Решаем его ме y
dx
1 x
тодом Бернулли , полагаем y  u( x)v( x). Имеем: y '  u ' v  uv' ,
e x
u ' v  uv'uv 
,
1 x
dv
e x
u ' v  u (  v) 
.
dx
1 x
Находим функцию v(x) из условия
dv
v
   dx,
dv
dv
 v  0:
  v,
dx
dx
ln v   x, v  e  x .
Подставляем полученное выражение для v(x) в уравнение:
15
dv
 dx,
v
du  x e  x
e 
,
dx
1 x
u   ln 1  x  ln C ,
Тогда
y  uv  e  x ln
du
1

,
dx 1  x
u  ln
du 
dx
,
1 x
 du  
dx
,
1 x
C
.
1 x
C
является общим решением исходного урав1 x
нения. Находим С, используя начальное условие: y(0)  ln C  ln 5, C  5.
Итак, частное решение: y  e  x ln
5
.
1 x
Пример 3.Найти общее решение дифференциального уравнения
y ' ' (e x  1)  y '  0,
Решение. Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение
порядка. Сделаем подстановку y'  z ( x). Тогда y ' ' 
dz x
(e  1)   z ,
dx
dz
dx
 x
,
z
e 1
dz
dz x
и
(e  1)  z  0,
dx
dx
dz
dx


 z  e x  1.
Путем замены переменной e x  1  t находим:
ln z  ln( e x  1)  ln e x  ln C1.
ex  1
Потенцируя последнее выражение, получаем: z  C1 x ,
e
dy
ex  1
 C1 x ,
dx
e
ex  1
y  C1  x dx  C1 ( x  e  x )  C2 ,
e
т.е. нашли общее решение исходного уравнения.
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:
y ' '16 y  (34 x  13)e  x , y (0)  1, y' (0)  5.
Решение. Характеристическое уравнение 2  16  0 имеет мнимые
корни: 1, 2  4i. Общее решение соответствующего однородного уравне-
16
ния определяется формулой: y  С1 cos4 x  C2 sin 4 x, а частное его решение имеет вид: y *  ( Ax  B)e  x .
Находим: y * '  Ae  x  ( Ax  B)e  x , y * ' '  2 Ae  x  ( Ax  B)e  x .
Подставим выражения y * ' и y * ' ' в исходное уравнение и из полученного тождества:  2 A  Ax  B  16 Ax  16 B  34 x  13 найдем А=2, В=1. Тогда y *  (2 x  1)e  x и общее решение исходного уравнения имеет вид
y  C1 cos 4 x  C2 sin 4 x  (2 x  1)e  x .
Используя начальные условия y (0)  1, y' (0)  5, составляем систему
для вычисления значений C1 и C 2 :
y (0)  1  C1  1,
y ' (0)  5  4C2  2  1,
решение которой: C1  2, C 2  1. Подставив значения C1 и C 2 в общее
решение, найдем частное решение исходного уравнения:
y  sin 4 x  2 cos 4 x  (2 x  1)e  x .
Контрольная работа № 9
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
Литература: [2], гл 2, гл. 3; [3], гл 7, гл. 8; [4], т.2, гл. XIV, гл. XV;
[5], ч.2, гл. V; [6], ч.2, гл. II, гл. III, гл. VII .
Основные теоретические сведения
1. Вычисление двойного интеграла от функции f(x,y), определенной в
плоской области D, сводится к вычислению двукратного интеграла вида:
b
f2 ( x )
 f ( x , y )dxdy   dx  f ( x , y )dy,
D
a
(1)
f1 ( x )
если область D определяется условиями a  x  b , f1( x )  y  f 2 ( x ) , или
вида:
d
2 ( y )
с
1 ( y )
 f ( x , y )dxdy   dy  f ( x , y )dx,
D
17
(2)
если область D определяется условиями c  y  d , 1( y )  y  2 ( y ) . Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка
интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.
2. Вычисление тройного интеграла от функции f(x,y,z), определенной в
области V, сводится к вычислению интеграла вида:
 2 ( x,y )
 f ( x , y , z )dxdydz   dxdy  f ( x , y , z , )dz ,
V
(3)
 1( x , y )
D xy
где Dxy – проекция области V на плоскость Оху, а z   1( x , y ) и
z   2 ( x , y ) – уравнения поверхностей, ограничивающих область V соот-
ветственно снизу и сверху. В тройном интеграле, так же как и в двойном,
порядок интегрирования может быть изменен.
3. Наряду с прямоугольной системой координат в пространстве могут
быть введены цилиндрическая, сферическая системы координат (рис.1).
Прямоугольные
z
(х,у,z) точки М связаны с ее ци-
M


х
линдрическими
r

координаты
координатами
(  , , z ) и сферическими ( r , , )
у
x
координатами соотношениями:
y
Рис. 1
 x   cos  ,

 y   sin  ,
 z  z;

 x  r sin  cos  ,

 y  r sin  sin  ,
 z  r cos  .

(4)
Тройной интеграл записывается в виде

V
  f ( x , y , z )dddz  в цилиндрической системе,

f ( x , y , z )dxdydz   V
(5)
2
f
(
r
,

,

)
r
sin

d

d

dr

в
сферическо
й
системе
.


V
18
4. Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций,
определенных по кривой Г, сводится к вычислению определенного интеграла вида:
b
 Р( х , у , z )dx  Q( x , y , z )dy  R( x , y , z )dz   P( x( t ), y( t ),z( t ))x( t ) 
Г
a
Q( x( t ), y( t ), z( t )) y( t )  R( x( t ), y( t ), z( t )) z( t )dt ,
(6)
если кривая Г задана параметрически: х=х(t), y=y(t), z=z(t) и t=a соответствует начальной точке кривой Г, а t=b – ее конечной точке.
5. Вычисление поверхностного интеграла от функции F(x,y,z), определенной на двусторонней поверхности  , сводится к вычислению двойного
интеграла, например, вида:  F ( x , y , z )d 


F ( x , y , f ( x , y ))
Dxy
dxdy
,
cos 
(7)
если поверхность  , заданная уравнением z  f ( x , y ) , однозначно проектируется на плоскость Оху в область Dxy . Здесь  - угол между осью Оz и

единичным вектором нормали n к поверхности:

n
f  f  
i
j k
x
y
2
2
.
(8)
 f   f 
      1
 x   y 
Требуемая условиями сторона поверхности  определяется выбором соответствующего знака в формуле (8).
6. С помощью тройных интегралов можно вычислить объем V тела и
его массу m:
V   dxdydz ,
m   ( x , y , z )dxdydz ,
V
(9)
V
где  - объемная плотность распределения массы.

7. Векторным полем а( М ) называется векторная функция точки М
вместе с областью ее определения:
19




a( M )  P( x , y , z )i  Q( x , y , z ) j  R( x , y , z )k .

Векторное поле а( М ) характеризуется скалярной величиной – диверген-
 P Q R
diva 


x y z
цией:
(10)
и векторной величиной – ротором:



i
j
k
 R Q   P R    Q P  




i  
k .
(11)
rot a 
 



j 
x y z  y z   z x   x y 
P Q R

8. Потоком векторного поля a (М) через поверхность σ называется по 
П   а , n d ,
верхностный интеграл :
(12)


где n - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности σ,
 
 
а а , n - скалярное произведение векторов a и n .



9. Циркуляцией векторного поля a  Px , y , z i  Qx , y , z  j  Rx , y , z k называется криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г:




 
Ц   Pdx  qdy  Rdz   adr , где dr  dxi  dyj  dzk .
(13)
Г
10. Формула Остроградского устанавливает связь между потоком век
торного поля a через замкнутую поверхность σ и дивергенцией поля:
 (a , n )d   diva dV ,

(14)
V
где V- объем, ограниченный поверхностью  .
11. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторно 

го поля a и его ротором:  Pdx  Qdy  Rdz   rot a , n d ,
(15)

Г

где  - поверхность, ограниченная замкнутым контуром Г, а n - единич-
ный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно
быть согласовано с направлением обхода контура Г.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
20
y  x 2  3 x,
Решение.
3 x  y  4  0.
Данная плоская фигура ограничена снизу параболой
y  x 2  3x , сверху прямой
2
S   dxdy   dx
D
2
43 x
3x  y  4  0 (рис. 1) . Следовательно,
 dy   (4  3x  x
x 2 3 x

2
2

 3x)dx  4 x  x / 3
3
2
2
2
Рис.1

32
.
3
Рис. 2
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x  0 ,
y  0 , z  0 , x  y  2, 2z  x2  y 2 .
Решение. Уравнение 2 z  x 2  y 2 определяет параболоид вращения,
остальные поверхности – плоскости. Искомое тело изображено на рисунке
(рис. 2). Его объем вычисляем по формуле (9):
2
2 x
( x2  y ) / 2
2
2 x
( x2  y 2 ) / 2
0
0
0
0
0
0
V   dxdydz   dx
V
 dy  dz   dx  z
2
2 x
1
dy   dx  ( x 2  y 2 )dy 
20
0
2
2
1  2
y 3  2 x
1
1
   x y  
dx   ( x 2 (2  x)  (2  x) 3 )dx 
2 0
3  0
20
3
2
2
1  2
1
1 2 3 x4 1
4
3
3
4
   2 x  x  (2  x) dx  ( x 
 (2  x) )  .
2 0
3
2 3
4 12
3

0
21
 xdl , где ОВ – отрезок прямой от точки О(0;0)
Пример 3. Вычислить
OB
до точки В(1;2).
Решение. Находим уравнение прямой ОВ по двум точкам: y  2 x . Тогда dl  1  ( y x ) dx, dl  5dx,
2
1
x2
 xdl  5  xdx  5 2
OB
0
1

0
5
.
2
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 7
I. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием.
3  3 x2  2x
dx;
1. a )
x


d ) cos(ln x)dx;
e)
b)



d ) ln xdx;
3. a)

4

2x 2  3 x  1
4. a)
dx;
2x

d)

b)
arcsin x
dx;
x 1
3
ln (2 x  1)
2
 (1  x)
dx
3
ln (1  x)
2
;
f)
;

12
e)
dx;
( x 2  2 x  3)( x  2)
x  2x  5
dx;
x2
d ) x  arctg 2 xdx;
dx
3x 2  20 x  9
dx;
( x 2  4 x  3)( x  5)
3 x  4x 2  5
2. a)
dx;
2x 2
2
 (2x  1)
c)

f)
c)
43 x  67
dx;
( x  x  12)( x  1)
f)

2
b)
e)



3
ln( 3x  1)dx
;
3x  1
8x
dx;
( x  6 x  5)( x  3)
2
22
 cos 3x ;
sin 3xdx
4
1 x 1
dx.
(1  3 x  1) x  1
ln 3 (1  x)dx
b)
;
x 1

e)
c)
c)
3



3
3
x4 x
dx.
x 1
cos2 x sin 2 xdx;
x 1
dx.
x 1  6 x 1
tg 3 x dx
;
cos2 x

f)
sin xdx
;
cos x  1

3
x3
dx.
x36 x3
2 x  x2  3
5. a)
dx;
3
x


b)

x
d ) x 2 cos dx;
3
7. a)
6

b)
e)

x 5  5x 2  3
dx;
x

e)
3x 2  x 3  7
8. a)
dx;
x3

e)
x  2x3  4
dx;
x2
b)



7

x  2x3  6
dx;
x
1  9x2
;

dx
;
(1  4 x 2 ) arctg 2 x
c)

6x 2
e)
dx;
( x 2  3x  2)( x  1)



arccos6 3xdx

ln 5 ( x  7)dx
b)
;
x7
d ) x  cos x  sin xdx;

dx
.
3  2 cos x  sin x
f)

2
x 1
dx.
x  1) x
3
arctg 6 3 x dx
;
1  9x2
c)
ln 2 (6 x  1)dx
;
6x  1
dx
;
x  ctg 3 x
ctg 4 x dx
;
sin 2 4 x
f)
6x
dx;
x3  2x 2  x  2
2
3 sin x  2 cos x
dx.
1  cos x
2 x 2  41x  91
e)
dx;
( x 2  2 x  3)( x  4)
d ) x  ctg xdx;
10. a)
c)
3x 2  15
dx;
( x 2  5 x  6)( x  1)
(


dx
b)
;
( x  2) ln( x  2)


f)
ln 7 (2 x  1)dx
;
2x  1

d ) ( x 2  x)e  x dx;

c)


9. a)

 sin
f)
ln 3 ( x  1)dx
;
x 1
37 x  85
dx;
( x 2  2 x  3)( x  4)
b)
d ) x 2 sin 2 x  3dx;
5
c)

2x3  x5  1
dx;
x2


6x 2  6x  6
e)
dx;
( x 2  x  2)( x  1)
2
d ) x arcctgxdx;
6. a)
ln 5 ( x  1)dx
;
x 1
dx
.
5  3 cos x
f)

dx
.
5 cos x  10 sin x
c)

5
arctg 3 x dx
;
1  x2

dx
dx.
5  4 sin x
f)
II. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

11.

0
x 3 dx
16x 4  1
1/ 3
. 12.

1
(e 3  1/ x)dx
. 13.
x2
23


1
xdx
16x 4  1
3
. 14.

1
dx
3
(3  x ) 5
.
0
15.

(x  4)
2

2/3
18.

0
1
xdx
3
.
3
16.


ln( 3 x  1)dx
.
3x  1

17.
1/ 3
ln( 2  3 x)dx
.
2  3x

19.

4
xdx
x  4x  1
2
0
 /6
20.
.

x 2 dx
3
(x  8)
3
4
.
cos3 xdx
6
0
(1  sin 3 x)
5
.
III. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
21.   3 cos 2 .
22. y  x 2 ,
y  3  x.
23.   4 cos3.
24. y  x,
y  x3.
25.   3cos2.
26. y 2  x  1,
27.   2 sin 2.
28.. y  1 /( x 2  1),
29.   3sin 4.
30. y  x  1,
y 2  9  x.
y 2  x 2 / 2.
y  cos x,
y  0.
IV. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги
данной линии.
31. y  1  ln(cos x), 0  x   / 6.
32. x  2(cos t  t sin t ),
y  2(sin t  t cos t ), 0  t   .
33. y 2  ( x  1) 3 , отсеченной прямой x=4.
34.   3cos.
35. y 2  x 5 , отсеченной прямой x=5.
36.   3(1  cos ).
37. y 2  ( x  1) 3 ,от точки А(2;-1) до точки В(5;-8).
38. x  5 cos 2 t ,
y  5 sin 2 t , 0  t   / 2.
39. y 2  x 3 , от точки А(0;0) до точки В(4;8).
40.   3sin .
V. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела,
полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат.
24
41. Ф: y 2  4  x, x  0, Oy.
42. Ф: y  sin x,
y  0, (0  x   ), Ox.
43. Ф: y 2  x, x 2  y,
Ox.
44. Ф: y 2  4 x, x 2  4 y,
45. Ф: y  e x , x  0,
Ox.
y  0, x  1,
46. Ф: y 2  4 x / 3, x  3,
47. Ф: y  2 x  x 2 ,
48. Ф: y  x  x 2 ,
Ox.
y  0,
Ox.
y  0,
49. Ф: y  x 3 , x  0,
Ox.
Ox.
y  8, Oy.
50. Ф: y  2  x 2 / 2, x  y  2,
Oy.
Контрольная работа № 8
I. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
51. a)( y 2  3x 2 )dy  2 xydx  0;
b)( x 2  1) y   4 xy  3.
52. a)( x  2 y)dx  xdy  0;
b) y  y  x y .
53. a)( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  0;
b) y   y  tgx  1 / cos x.
54. a) y 2  x 2 y   xyy ;
b) y   2 y  y 2 e x .
55. a ) xy   y  x  tg ( y / x);
b) y   2 x( x 2  y ).
56. a)( y  xy )dx  xdy;
b) xy 2 y   x 2  y 3 .
57. a) y   y / x  1;
b) y   y  e x .
58. a) y x  x  y  0;
b) xy   y   xy 2 .
59. a) xy  y 2  (2 x 2  xy ) y ;
b)( x  1) y   y  x 3  x 2 .
60. a)(2 x  y)dx  ( x  y)dy  0;
b) y   xy  x 3 y 3 .
II. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения.
25
61. y   y e y ,
y (0)  0,
62. y   arctgx ,
64. y   x / e 2 x ,
68. y   cos 4 x,
y (0)  1.
y (0)  1,
y (0)  1 / 4.
y (0)  1 / 4,
65. yy   y  2  0,
67. y tgy  2 y  2 ,
y (0)  0.
y (0)  0,
63. y  2  2 yy   0,
66. y   x sin x,
y (0)  1.
y (0)  1.
y (0)  1,
y (0)  y (0)  0.
y (0)  0,
y (1)  2.
y (1)   / 2,
y (0)  15 / 16,
y (0)  2,
69. 2 yy   y  2 ,
y (0)  1,
y (0)  1.
70. y   6 / x 3 ,
y (1)  0,
y (1)  5,
y (0)  0 .
y (1)  1.
III. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.
71. y   2 y   y  12 cos 2 x  9 sin 2 x,
72. y   6 y   9 y  9 x 2  39 x  65,
73. y   2 y   2 y  2 x 2  8 x  6,
74. y   4 y   20 y  16 xe 2 x ,
y (0)  2,
y (0)  1,
y (0)  1,
y (0)  1,
y (0)  4.
y (0)  2,
76. y   8 y   16 y  16 x 2  16 x  66,
y (0)  3,
77. y   10 y   25 y  e 5 x ,
y (0)  0.
78. y   12 y   36 y  72 x 3  18,
79. y   y   12 y  (16 x  22)e 4 x ,
80. y   16 y  32e 4 x ,
y (0)  2,
y (0)  1.
y (0)  2.
75. y   12 y   36 y  32 cos 2 x  24 sin 2 x,
y (0)  1,
y (0)  0.
y (0)  1,
y (0)  3,
y (0)  4.
y (0)  0.
y (0)  0.
y (0)  5.
y (0)  0.
IV. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка (метод
исключения); б) с помощью характеристического уравнения.
26
 dx
 dt  2 x  y,
81. 
dy
  3x  4 y.
 dt
 dx
 dt  x  y,
82. 
dy
  4 x  y.
 dt
 dx
 dt   x  8 y,
83. 
dy

 x  y.
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y,
84. 
dy

 x
.
 dt
 dx
 dt  x  y,
85. 
dy
  4 x  4 y.
 dt
 dx
 dt  2 x  y,
86. 
dy
  3x  2 y.
 dt
 dx
 dx
 dx
 dx

y
,

2
x

y
,

6
x

y
,



  x  2 y,
87.  dt
88.  dt
89.  dt
90.  dt
dy
dy
dy
dy
  x.
  6 x  3 y.
  3x  2 y.
  3x  6 y.
 dt
 dt
 dt
 dt
V. Решить следующие задачи.
91-96. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(x0;y0), если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз.
91. А(0;2), к=3.
92. А(0;5), к=7.
93. А(-1;3), к=2.
94. А(-2;4), к=6.
95. А(-2;1), к=5.
96. А(3;-2), к=4.
97-100. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(x0;y0), если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз
больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
97. А(2;5), n=8.
98. А(3;-1), n=3/2. 99. А(-6;4), n=9.
100. А(-8;-2), n=3.
Контрольная работа № 9
I. С помощью двойных интегралов вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями ( в п. b) вычислить в полярных координатах) .
101. a) y 2  4 x, x  y  3,
y  0;
b)( x 2  y 2 ) 2  a 2 (4 x 2  y 2 ).
102. a) y  6 x 2 , x  y  2, x  0;
b)( x 2  y 2 ) 3  a 2 x 2 y 2 .
103. a) y 2  x  2, x  2;
b)( x 2  y 2 ) 3  a 2 x 2 (4 x 2  3 y 2 ).
27
104. a) y 2  4 x,
x 2  4 y;
b)( x 2  y 2 ) 2  a 2 (3x 2  2 y 2 ).
105. a) 2 y  x , x  y  5, x  0;
b)( x 2  y 2 ) 2  a 2 (2 x 2  3 y 2 ).
106. a) y  x 2  1, x  y  3;
b)( x 2  y 2 ) 2  a 2 (5 x 2  3 y 2 ).
107. a) y  x 2  4 x,
b)( x 2  y 2 ) 2  a 2 (7 x 2  5 y 2 ).
108. a) y 2  4  x,
109. a) y  x 2 ,
y  x  4;
y  x  2,
y  2,
y  2 ;
y  3 / 4 x 2  1;
110. a) yx  1, x 2  y,
b)( x 2  y 2 ) 2  2a 2 xy ).
b)( x 2  y 2 ) 3  4 x 2 y 2 ).
y  2,
x  0;
b)( x 2  y 2 ) 3  a 2 ( x 4  y 4 ).
II. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.
111. z 2  4  x, x 2  y 2  4 x.
112. z  4  y 2 , x 2  y 2  4, z  0.
113. x 2  y 2  1, z  2  x  y, z  0.
114. z  x 2
x  2 y  2  0,
x  y  7, z  0.
115. x  0, z  0, z  y, x  4,
y  25  x 2 .
116. x 2  y 2  4, z  4  x  y, z  0.
117. y  0, z  0, 2 x  y  0, x  y  9,
118. x  0, z  0,
119. x  0,
y  2 x,
y  3,
z  x2.
z  y.
y  0, z  0, x  y  2,
z  x2  y2.
120. z  0, x 2  y 2  9, z  5  x  y.
III. Вычислить данные криволинейные интегралы.
121.
 (x
2
 2 xy )dx  ( y 2  2 xy )dy, где АВ дуга параболы y  x 2 от точки
AB
А(-1;1) до точки В(1;1).
122.

2  z 2 (2 z  x 2  y 2 dl, где L дуга кривой x  t cost , y  t sin t ,
L
z  t , 0  t  2 .
28
123.

x 2 dy  y 2 dx
3
AB
x 3 y
5
5
, где AB дуга астроиды x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t , от точки
А(2,0) до точки В(0,2).
124.  ( x 2  y 2 )dl, где L - окружность x 2  y 2  4 .
L
125.
 (x
2
 y 2 )dx  2 xydy, где ОА - дуга кубической параболы y  x 3 , от
OA
точки О(0,0) до точки А(1,1).
126.

OB
dl
8 x  y
2
2
, где ОВ - отрезок, соединяющий точки О(0,0) и
В(2,2).
127.  ( x  2 y )dx  ( x  y )dy, где L - окружность x  2 cost , y  2 sin t при
L
положительном направлении обхода.
128.
 (43 x  3
y )dl, где АВ - отрезок, соединяющий точки А(-1,0);
AB
В(0,1).
129.  ( x 2 y  x)dx  ( y 2 x  2 y )dy, где L – дуга эллипса x  3cost , y  2 sin t
L
при положительном направлении обхода.
130.

L
y
x2  y2
dl, где L дуга кардиоиды   2(1  cos ), 0   

2
.
IV. Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk и плоскость Ax+By+Cz+D=0,
которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V.
Пусть S – основание пирамиды, принадлежащее плоскости; λ – контур,
ограничивающий S; n – нормаль к S, направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить: а) поток векторного поля F через поверхность S в
направлении нормали n; b) циркуляцию векторного поля F по замкнутому
контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и
29
ограниченной им поверхности S с нормалью n; c) поток векторного поля F
через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к
ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского.
Сделать чертеж.
131. F=(x-z)k, (p): x+3y+z=3.
132. F=(y-x+z)j, (p): 2x-y-2z=2.
133. F=xi, (p): 3x+3y+z=3.
134. F=(z-x)j+(xx+2y+z)k, (p): x+y+z=2.
135. F=(y+2z)i, (p): 2x+y+2z=2.
136. F=(x+z)i+(x+y-z)k, (p): x+2y+z=2.
137. F=(2y+z)j, (p): 2x-3y+z=6.
138. F=(2y+z)i+(x-y)j, (p): x-y+z=2.
139. F=3yj+(y-z)k, (p): 2x-y-2z=-2.
Вариант
140. F=(x+y-z)i, (p): x+2y+z=2.
Контрольная рабо-
Контрольная работа
Контрольная рабо-
та
№8
та №9
№7
1
1
11 21 31 41 51 61 71 81
91
101 111 121 131
2
2
12 22 32 42 52 62 72 82
92
102 112 122 132
3
3
13 23 33 43 53 63 73 83
93
103 113 123 133
4
4
14 24 34 44 54 64 74 84
94
104 114 124 134
5
5
15 25 35 45 55 65 75 85
95
105 115 125 135
6
6
16 26 36 46 56 66 76 86
96
106 116 126 136
7
7
17 27 37 47 57 67 77 87
97
107 117 127 137
8
8
18 28 38 48 58 68 78 88
98
108 118 128 138
9
9
19 29 39 49 59 69 79 89
99
109 119 129 139
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
100 110 120 130 140
Литература
1.Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1985.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
30
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного . – М.: Наука, 1989.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
вузов. – М.: Наука, 1970- 1985. – Т.1.,2.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980. – Ч.1.,2.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.:
Рольф, 2000. – Ч.1.,2.
31
высшая математика
Методические указания и контрольные задания
к выполнению контрольных работ 7, 8, 9.
для студентов специальности 120100
заочной формы обучения
Составили: Новикова Евгения Александровна
Думина Наталья Алексеевна
Рецензент Т. Д. Побежимова
Редактор Л. В. Максимова
Подписано в печать 16.03.09.
Бумага тип.
Тираж 150 экз.
Формат 60×84 1/16
Усл. печ. л. 2,0
Заказ
Уч. – изд. л. 2,0
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Копипринтер БИТТиУ, 413840, г. Балаково, ул. Чапаева, 140