Loeng 1 Sissejuhatus. Pohimoisted metroloogia alalt._e_
advertisement
Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 https://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=13117522 Mõõteseadus http://www.nntu.sci-nnov.ru/RUS/fakyl/VECH/metod/metrology/oglavl.htm Основы метрологии и организации метрологического контроля Sissejuhatus Mõõtmine on olnud maailma infrastruktuuri üks oluline osa juba iidsetest aegadest alates. Kõik teaduse, tehnika, kaubanduse, riikliku kontrolli jne vallas tehtud järeldused ja otsused tuginevad andmetele, mis on saadud mõõtmiste põhjal. Õigete otsuste langetamiseks peavad mõõtetulemused olema piisavalt usaldusväärsed ( достоверными). Eriti oluline on see valdkondades, mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset. Näiteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete, toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse määramise ja kontsentratsiooni mõõtmise ebatäpsed tulemused võivad põhjustada väga tõsiseid tagajärgi. Mõõtetulemuse usaldatavuse tõstmise huvides tuleks mõõtmine läbi viia kompetentses laboris, kus kasutatakse kalibreeritud mõõtevahendeid ja aktsepteeritud mõõtemeetodeid. Mõõtesuurus ( peab seejuures olema tellija ja täitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt täpselt määratletud ning saadav mõõtetulemus koos määramatusega (неопределённость) tuleb esitada üldtunnustatud mõõtühikutes. Mõõtmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum, mille eesmärgiks on mõõdetava suuruse väärtuse määramine. Измерение – международно определенная совокупность процедур, целью которой является определение значения измеряемой величины. Teadusharu, mis käsitleb suuruste mõõtmist, nimetatakse metroloogiaks. Kõrvalseisjale paistab mõõtmine võrdlemisi lihtsa toiminguna, eriti veel siis, kui see teostatakse täpselt kindlaksmääratud mõõteprotseduuri kohaselt. Probleemid tekivad aga tavaliselt siis, kui on vaja hinnata saadud mõõtetulemuse usaldatavust ( оценить достоверность полученного результата измерений). SUURUSED JA ÜHIKUD Величины и их единицы 1.1 Mõõdetavad suurused Измеряемые величины Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid ümbritseva maailma esemed, ained ja nähtused ning nende omadused. Nii võib selleks olla meid ümbritsev ruum, mille omaduseks on tema ulatus (величина, масштабность) . Viimast võib iseloomustada mitmel viisil ning üheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus. Samal ajal on reaalse füüsikalise ruumi ulatus üsna keeruline omadus, mida ei saa mõne juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega. Ruumi täielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) või kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk, pindala, maht jne. Seega võib ruumi iseloomustada mitme suuruse järgi. Igasugused sündmused ja nähtused (события и явления) reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt (мгновенно). Nende toimumise kestus on omadus, mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg. Füüsikast on teada, et keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt ( равномерно и прямолинейно), kui puudub temale mõjuv välisjõud. Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass. 1 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 Aine või keha paljud omadused sõltuvad suurel määral tema kuumutusastmest, mida võib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega. Praktikas kаsutatakse aga aine või keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termodiinaamiline temperatuur. Seega suurused iseloomustavad meid ümbritseva keskkonna esemeid, aineid, nähtusi ja protsesse ning nende omadusi. Величины характеризуют вещи, вещества, явления и процессы в окружающей нас среде. Ülaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon: Suurus on nähtuse, keha või aine oluline omadus, mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt üheselt määrata [1]. Величина – важное свойство явления, тела или вещества, которое можно выделить по качеству и определить количественно. Esitatud mõiste suurus võib tähendada 1. suurust üldiselt, st füüsikalist suurust, nagu pikkus, mass, temperatuur, takistus, ainehulga kontsentratsioon jne 2. või mingit konkreetset suurust, nagu teatud varda pikkus, teatud keha mass, teatud keha temperatuur antud tingimustel, antud traadi elektriline takistus, etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne. Mõistet füüsikaline suurus kаsutatakse uuritavate materiaalsete süsteemide, objektide, nähtuste, protsesside jne kirjeldamisel teaduse kõikides valdkondades. Kuid mõistet suurus ei ole õige rakendada vaadeldava nähtuse, keha või aine konkreetse omaduse väljendamiseks. Nii ei ole õiged sellised väljendid, nagu massi suurus (величина массы), pikkuse suurus, radionukiiidi aktiivsuse suurus, pinge suurus jne, sest mass, pikkus, radionukiiidi aktiivsus ja pinge on ise füüsikalised suurused. Sellistel juhtudel tuleb kаsutada mõisteid suuruse väärtus- значение величины, näiteks massi väärtus, pikkuse väärtus jne. Siinjuures peab märkima, et ühe või teise mõiste kasutuselevõtt sõltub veel ka lause kontekstist. Näiteks, pikkus, mass ja aeg on füüsikalised suurused üldises mõttes, aga mingi keha pikkus ja mass, teatud radionukiiidi aktiivsus ioniseeriva kiirguse allikas või konkreetse vooluallika pinge on suurused individuaalses mõistes, st nad on konkreetsete objektide konkreetsed suurused. Materiaalset objekti kirjeldatakse füüsikalise süsteemi mudeli kujul paljude füüsikaliste suuruste väärtuste etteandmise teel. Näiteks mõõdetakse ideaalse gaasi termodünaamiliste põhikarakteristikute kindlaksmääramiseks selle gaasi rõhku, tema energiat ja entroopiat. Материальный объект описывают в виде физичекой системы, задавая значения физических величин. Например, для определения основных характеристик идеального газа измеряют его давление, энергию и энтропию. Olenevalt püstitatud ülesandest valitakse süsteemi või objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see, mis on kõige olulisem. Nii näiteks lähtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajärjekorras selle objekti massist, sest antud ülesande puhul on just see suurus kõige määravam. Eespool kirjeldatust järeldub ka see, et mõiste füüsikaline suurus asendamine mõistega suurus on lubatud juhtudel, kui lause kontekstist selgub, et tegu on ikka füüsikalise, mitte matemaatilise või mingi muu suurusega. See märkus kehtib ka kõikide teiste mõistete kohta, kui nendes kаsutatakse sõna füüsikaline suurus mõisteelemendi tähenduses. Kuid elukeskkonna objekte, aineid, nähtusi ja protsesse ei iseloomusta mitte ainult füüsikalised suurused. Näiteks majanduses eksisteerib mõiste maksumus, mis on kõikide kaubaliikide üldine omadus, kuid koguseliselt on ta iga kaubaartikli jaoks erinev. Siit vallast veel näiteks mõiste hind. Kaubavahetuse arengu lätetel iseloomustati hinda naturaalses väljenduses toiduks vajaliku toodete hulga ekvivalendiga, nagu näiteks lehmade või 2 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 lammaste arvuga jms. Üleüldise ekvivalendi raha kasutuselevõtuga ja üleminekuga kaubandus-rahalistele suhetele hakati hinda väljendama rahaühikutes. Seega mõisted maksumus ja hind iseloomustavad kaupade erinevaid omadusi ning neid suurusi võib nimetada majanduslikeks suurusteks. Tootmise ja teeninduse valdkonnas on hakatud viimasel ajal üha enam tähelepanu osutama kvaliteedile. Kvaliteet on aga määratletud kui määr, milleni olemuslike karakteristikute kogum täidab nõudeid [2]. Seejuures terminit kvaliteet saab kаsutada koos omadussõnaga nagu halb, hea, suurepärane jms. Määratlusest tulenevalt iseloomustavad kvaliteeti kvaliteedi-karakteristikud ehk nõuetest tulenevad toote, protsessi või süsteemi olemust eristavad suurused. Järelikult on kvaliteet nagu ruumgi iseloomustatav mitme suuruse järgi. Tänapäevale on iseloomulik ka see, et sellistes valdkondades nagu psühholoogia, kujutav kunst, sport, bioloogia, meditsiin, pedagoogika jt on üle mindud kvantitatiivsetele mõõteinfot kаsutavatele uurimismeetoditele. Igapäevaseks on saanud õpilaste teadmiste, sportlaste meisterlikkuse, taidurite talendi jne mõõtmine. Sealjuures kаsutatakse nimetatud omaduste iseloomustamiseks vastavaid kokkuleppelisi suurusi, nagu pallid, punktid, hinded jne. Suurusi, mida saab üksteise suhtes järjestada kvantitatiivse kasvu alusel, nimetatakse sama liiki suurusteks. Samaliigilisteks suurusteks on näiteks töö, soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus, laius, paksus ja ümbermõõt. Величины, которые в отношении друг друга можно расположить по количественному возрастанию, называют величинами одного вида. Например, работа, теплота, энергия или длина, ширина, толщина, периметр. Galileo Galilei on öelnud: "Mõõda, mis on mõõdetav, ja tee mõõdetavaks see, mis ei ole veel mõõdetav" [3]. Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee mõõtmise ennetavast tähtsusest kaasaegsetes uuringutes. Mõõtmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse mõõtesuuruseks. – величина измерения или измеряемая величина. Võib kаsutada ka mõistet mõõdetav suurus [1]. Näiteks, mõõtesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rõhk 20 °C juures. Ristküliku pindala mõõtmisel on mõõtesuuruseks pindala, mille mõõtetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius mõõtmise põhjal. Esimene samm mõõtmise sooritamisel on mõõtesuuruse täpne kindlaksmääramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel. Praktikas sõltub mõõtesuuruse defineerimise viis ja täiuslikkus vajalikust mõõtetäpsusest. Mõõtesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse mõõtmisega seotud praktilise eesmärgi jaoks niivõrd üksikasjalikult, et mõõtesuurusel oleks ühene väärtus. Первый шаг при выполнении измерений – определение измеряемой величины или определение её описательным путем. На практике от способа и полноты определения измеряемой величины зависит точность измерений. Измеряемая величина должна быть определена для каждого конкретного измерения, связанного с практической целью настолько подробно-детально, чтобы у измеряемой величины была однозначная ценность. Mõõtesuuruse määratlus võib vajaduse korral sisaldada ka nõudeid teiste mõõtesuuruste kohta. Näiteks pikkusotsmõõdu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka mõõteobjekti ja keskkonna temperatuuri, aga ka rõhu, niiskuse jms väärtuste vahemiku määramine, mille puhul see pikkus kehtib. Mõõtesuuruse puudulik defineerimine annab alati mõõtetulemuse määramatusse lisakomponendi, mis võib nõutava mõõtetäpsusega võrreldes sageli küllaltki oluliseks osutuda. Определение измеряемой величины при необходимости может содержать требования по другим измеряемым величинам. Например, при определении длины отрезка становится необходимым и замерить температуру объекта и среды, и 3 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 определить интервал давления, влажности и т.д., при котором эта длина отрезка действительна. Недостаточное определение измеряемой величины всегда прибавляет дополнительный компонент неопределенности к результату измерений, что при сравнении с требуемой точностью измерений может стать довольно таки важным. Põhi- ja tuletatud suurused Основные и производные величины 1.2 Loodusnähtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi, nagu pikkus, aeg, kiirus, kiirendus, jõud jne. Füüsikavalemid väljendavad seoseid nende suuruste vahel. Selgub, et enamasti on võimalik mingit suurust väljendada teiste suuruste kaudu, mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost. Neid suurusi nimetataksegi põhisuurusteks ([1] järgi ka baassuurusteks). Seega põhisuurus on üks suurustest, mida mingis suuruste süsteemis käsitletakse leppeliselt üksteisest sõltumatuna [1]. Основная величина – одна из величин, которую в некоторой системе величин рассматривают как условно независимую от другой величины. Põhisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne, kuid piiratud praktiliste kaalutlustega. Põhisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi. Tuletatud suurus on seega niisugune suurus, mis on mingis suuruste süsteemis defineeritud süsteemi põhisuuruste funktsioonina [1]. Näiteks suuruste süsteemis, mille põhisuurusteks on pikkus, mass ja aeg, ( методика К. Гаусса, система единиц как совокупность основных и производных) on keha liikumise kiirus tuletatud suurus, mis on määratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena, st funktsiooniga v = l/t (1.1) kus v - keha liikumise kiirus l - teepikkus t - keha poolt teepikkuse l läbimiseks kulunud ajavahemik Kehale mõjuv jõud on samuti tuletatud suurus, mis on määratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena, st funktsiooniga F = m·a (1.2) kus F- jõud m - keha mass a - jõu F mõjust tingitud keha kiirendus Mistahes tuletatud suuruse mingis süsteemis saame seega põhisuuruste kaudu järgmise üldistatud valemi abil: avaldada n Q = ξ ∏ Aiαi (1.3) i=1 4 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 kus Q- tuletatud suurus ξ -tegur Ai - põhisuurus αi - positiivne või negatiivne täis- või murdarv Põhisuuruse Ai all võivad esitatud valemis (1.3) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused. Näiteks sõltuvuses F = m·a (vt valem (1.2)) on mass põhisuurus, kiirendus aga tuletatud suurus. Praktikas kasutatakse valemi (1.3) asemel ka suurustele kohaselt valitud ühikute väärtustevahelisi seoseid. Tegurid nendes valemites sõltuvad siis juba valitud ühikutest. На практике вместо формулы (1.3) используют также выбранные с точки зрения величин промежуточные зависимости единиц. Коэффициенты в этих формулах зависят уже от выбранных величин. Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte, aineid, nähtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid, on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste süsteemidesse. Seega on suuruste süsteem kogum omavaheliste sõltuvustega määratletud suurusi. Система величин – совокупность определенных взаимосвязанных величин. Suuruste süsteemi tähistamiseks kasutatakse üldiselt põhisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitähti. Mehaanikas kuuluvad põhisuuruste hulka pikkus, mass ja aeg ning need märgitakse üldistatult tähtedega L (lad.k. longitudo - pikkus), M (lad.k. mässa - mass) ja T (lad.k. tempus - aeg). Selle järgi tuleb suuruste süsteemi tähiseks LMT. Süsteem tähisega LMT1θNJ on aga kogum põhi- ja tuletatud suurustest, milles põhisuurused on: pikkus - L, mass - M, aeg - T, elektrivoolu tugevus - I, termodünaamiline temperatuur - θ, aine hulk - N ja valgustugevus (сила света) - J. Suurusi tähistatakse ladina või kreeka tähestiku tähtedega. Tähis on alati ühetäheline. Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega, mis võivad ka viidata objektidele, mis pole suurused. Suuruse tähised kirjutatakse alati kaldkirjas. 1.3 Suuruse dimensioon Размерность величин Tähistades valitud suuruste süsteemis põhisuurusi ladina tähestiku järjestikuste suurte tähtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks üldistatud valemit (1.3), milles tegur ξ =1 on võetud võrdseks ühega, saame määrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga Размерность любой производной величины dimQ = Aα Bβ Cγ (1.4) kus A, B, C, ... - põhisuuruste A, B, C, ... dimensioonid α,β, γ - dimensioonide astmenäitajad, mis on positiivsed või negatiivsed ratsionaalarvud (täis- või murdarvud) 5 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 Näiteks LMT (длина, масса, время) süsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni määrata järgmise valemiga dimQ = Lα Mβ Tγ kus (1.5) L,M,T - tähised, mis tähistavad põhisuuruste pikkus, mass ja aeg dimensioone α, β, γ - dimensioonide astmenäitajad Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 [4] kohaselt tähistatakse suuruse Q dimensioon tähisega dim Q. Seega suuruse dimensioon on avaldis, mis väljendab süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuurusi tähistavate tegurite astmete korrutisena. Размерность величины – выражение, которое отражает величину принадлежащую этой системе произведением степеней коэффициентов, которыми обозначены основные величины. Kui tuletatud suurus valemis (1.4) ei sõltu mõnest kõnealloleva suuruste süsteemi põhisuurusest. siis öeldakse, et selle tuletatud suuruse dimensioon sõltumatu põhisuuruse suhtes on üks. Võib ka juhtuda, et tuletatud suurus ei sõltu ühestki valitud suuruste süsteemi põhisuurusest. Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste süsteemis suuruseks dimensiooniga üks. Kasutatakse ka mõistet dimensioonita suurus, mis viitab dimensiooni astmenäitajale null. Käesolevas raamatus me seda mõistet ei tarvita. Suurust, mille dimensioon on üks, väljendatakse arvuliselt. Если производная величина в формуле (1.4) не зависит от основных величин рассматриваемой системы, тогда говорят, что размерность этой производной величины в отношении независимой основной величины равна единице. Может быть, когда производная величина не зависит ни от одной основной величины выбранной системы величин. Такую производную величину наз. в данной системе величин величиной размерностью единица. Используют также понятие безразмерной величины, что говорит о том, что размерность показателя степени равен нулю. Suuruse dimensioon on palju üldisem mõiste kui nähtub seda suurust iseloomustavast üldistatud valemist (1.4). Nii võivad ühte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused, milledel on erinev omaduslik külg ja ka erinev suurustevaheline seos. Näiteks, jõu F poolt tehtud töö, mis on määratud valemiga W=F·l (1.6) kus W – töö F – jõud l – teepikkus ja liikuva keha kineetiline enеrgia, mis määratud valemiga E = mv2/ 2 (1.7) kus E – kineetiline energia m – keha mass v – keha kiirus 6 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 omavad ühesugust dimensiooni, st dim W = dim E = L2MT-2. Dimensioonidega võib teha matemaatilisi tehteid: korrutamine, jagamine, astendamine ja juurimine. Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma mõtet. Põhisuuruse astmenäitaja enda suhtes on võrdne ühega. Põhi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud süsteemis moodustab dimensioonisüsteemi, mille baasiks on põhisuuruste dimensioonid. Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste süsteemis LMTIθNJ üldiselt määratav seosest dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (1.8) Näiteks jõu F dimensioon süsteemis LMTIθNJ on dimF=LMT . Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste süsteemist. Näiteks εQ - vaakumi dielektriline läbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste süsteemis on dimensiooniga üks, aga süsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon: dimε 0 = L-3 M -1 T4 I2 [5]. Eelpoolkirjeldatu põhjal tekib ka küsimus, kas tuletatud suuruse dimensiooni võib alati käsitleda kui selle suuruse valemi (1.4) kohast põhisuurustest sõltuvuse väljendit, olenemata sellest, missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks. Можно ли размерность приведенной (производной) величины всегда рассматривать, исходя из формулы этой величины (1.4), как выражение зависимости от основной величины, не зависимо от того, какие законы использовали для обнаружения этой связи? Kui iga tuletatud suuruse määratlus seostaks teda vahetult põhisuurustega, siis võib püstitatud küsimusele vastata jaatavalt. Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning põhi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see väga pikk) vahepealseid suuruste määratlusi. Näiteks rõhk määratud jõuga, mis mõjub ühele pinnaühikule. Jõud on omakorda väljendatud massi ja кiirenduse korrutisena (vt valem (1.2)), pindala aga kаhe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena, кiirendus on kiiruse tuletis aja järgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja järgi. Seda ahelat võib antud juhul väljendada järgmise dimensioonide reaga: Если определение каждой производной величины было непосредственно связано с основной величиной, то тогда – да. Но в большинстве своем такая непосредственная связь отсутствует, а также между основной и производной величинами существует целая цепь ( зачастую очень длинная) определения промежуточных величин. Например, давление определяется силой, которая действует на единицу поверхности. Сила в свою очередь выражается через произведение массы и ускорения (см. ф. 1.2), площадь – произведение двух линейных величин, ускорение – производная скорости по времени, а также скорость - производная положения по времени. Эту цепь в данном случае можно представить следующим рядом измерений ( размерностей): dim p = dim F· dim A-1 = M ·dim a · L-2 = M ·dim v ·T-1· L-2 = M·L·T -1 ·T-1· L-2 = L-1MT-2 (1.9) Seega rõhu dimensioonivalem omandas kuju, mille järgi on raske näha seost põhisuurustega. õnnestub leida ratsionaalset seletust sellele, et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut. Seega, kui vahepealseid suurusi, võib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenäitajate liitmise ja lahutamise teel valem (1.4) lõpuks võtta hoopis kummalise (причудливый) kuju. 7 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 Toome näiteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni: dimC = L -2 M-1 T4 I2 . Dimensioonivalemite piiratud sisust kõneleb ka see asjaolu, et mitmel juhul on erisugustel suurustel ühesugune dimensioon. Seda ei tohi mingil juhul tõlgendada niimoodi, et neil on ühesugune füüsikaline olemus. Eriti käib see nende suuruste kohta, mis ei oma dimensiooni. Näiteks võiks tuua niisugused suurused, nagu tasanurk, ruuminurk, hõõrdetegur, suhteline pikenemine, Machi arv, murdumisnäitaja, moolosa (ainehulga osa) ja massiosa. Mõnel juhtudel võimaldab dimensioonivalemite ühtelangemine oletada seost eri suuruste vahel või nenede allumist üldistele seaduspärasustele. Nii näiteks rõhu ja energia ruumtiheduse dimensioonide ühtelangemine peegeldub faktis, et ideaalgaasi rõhk on võrdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega. Совпадение размерностей давления и объемной плотности энергии отражается из факта, что давление идеального газа равно объемной плотности энергии направленного движения молекул газа. Niisuguseid näiteid on siiski vähe ja seega võib väita, et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega, eriti põhisuurustega. Dimensioonivalemi muutumatus antud süsteemi piires nõuab, et iga erinevaid suurusi seostava võrduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid ühesugused. Seepärast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul, kui see väljendab meid huvitavate suuruste sõltuvust teistest suurustest, kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide ühtelangemist. Kui dimensioonid ei ühti, on tuletamisel päris kindlasti tehtud viga ning võrdus ei kehti. Kuid mõistagi ei taga dimensioonide ühtivus veel saadud võrrandi õigsust. Kokkuvõttes võib öelda, et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt. Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost põhisuurustega ja sõltub nende valikust. Nagu märkis Max Planck [6], küsimus meelevaldse suuruse "tõelisest" dimensioonist ei oma rohkem mõtet kui küsimus mistahes eseme "tõelisest" nimetusest. Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analüüs humanitaarteadustes, kunstis, spordis, kvaliteedihinnangutes jms, kus põhisuuruste nomenklatuur ei ole määratletud, veel efektiivset kаsutamist. Неизменность формулы размерности в пределах данной системы требует, чтобы размерность правой и левой частей при сопоставлении различных величин была одинакова. Поэтому необходимо для приведенной (производной) величины, полученной по формуле, если она выражает интересующую нас зависимость от других величин, контролировать совпадение размерности правой и левой частей формулы. Если размерности не совпадают, то при приведении величин была сделана ошибка, а также равенство не действительно. Но и совпадение единиц размерности ещё не доказывает правильность полученного выражения. В заключение можно сказать, что размерность характеризует величину качественно. Она характеризует зависимость приведенной величины с основной величиной и зависит от их выбора. Как отметил Макс Планк, вопрос «истинной» размерности произвольной величины имеет не больше смысла, чем вопрос «истинного» наименования любой вещи. Отсюда следует, что анализ размерности в гуманитарных науках, искусстве, спорте, в оценках качества и т.д., где номенклатура основных величин не определена, ещё не находит эффективного применения. 1.4 Suurustevahelised seosed ( соотношения, взаимозавимости величин) 8 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 Dimensioonivalemeid ei kasutata üksnes suuruste vaheliste võrrandite õigsuse kontrollimisel. Kui eelnevalt on teada, mis suurustega on uuritava protsessi korral tegemist, siis võib paljudel juhtudel dimensioonide analüüsi abil leida antud suuruste omavahelise sõltuvuse iseloomu. Paljudes valdkondades, nagu füüsika, soojustehnika ja hüdrodünaamika, rakendatakse dimensioonide analüüsi meetodit küllaltki laialt [7], Формулы размерности не используют исключительно для контроля правильности промежуточных уравнений величин. Если заранее известны величины, с которыми имеем дело при исследовании процесса, тогда в большинстве случаев возможно при помощи анализа размерностей найти характер взаимозависимости данных величин. В большинстве областей, таких как физика, теплотехника и гидродинамика, применяют метод анализа размерностей довольно часто. Eriti viljakaks osutub ülalnimetatud meetod juhtudel, kui tuletatud suuruse sõltuvuse leidmine teoreetiliste kaalutluste põhjal on seotud märgatavate matemaatiliste raskustega või eeldab teadmisi protsessist, mida veel ei tunta. Kuigi mõnel juhul võib dimensioonivalemi analüüsi meetodil jõuda tulemuseni üsna kiiresti, pole see meetod siiski kõikvõimas ja mõnikord osutuvad selle võimalused üsna piiratuiks. algolek Особенно эффективен такой метод в случаях, когда нахождение зависимости производной величины на основе теоретических рассуждений связано со значительными математическими трудностями или предполагает знания о процессе, который ещё не известен. Несмотря на то, что методом анализа размерностей достичь результата довольно быстро, этот метод все же не является всеобъемлющим, иногда возможности этого метода оказываются довольно ограниченными. Dimensioonivalemi (1.4) kasutamist ülesande lahendamisel demonstreerib järgmine näide. Vedru külge on riputatud koormus massiga m (sele 1.1). Koormus tasakaalustatakse vedru jõuga. Vedru pikendamiseks tasakaaluasendi suhtes suuruse h võrra tuleb rakendada lisajõudu F, mis on võrdeline pikenemisega h (F = k ·h). Sama suur, kuid vastassuunaline jõud püüab taastada algolekut. Kui jõud F lakkab mõjumast, naaseb koormus mingi aja t vältel tagasi algolekusse. Ülesandeks on leida aja t sõltuvus suurustest h, m ja k. Seega ülesande lahendamiseks tuleb esitada aeg t tuntud suuruste h, m ja k funktsioonina. On näha, et suuruste süsteemis LMT ei saa suurustest h, m ja k = F/h, mille dimensioonid on vastavalt L, M ja MT-2, koostada dimensioonitut kombinatsiooni. Использование формулы размерности (1.4) при решении задачи демонстрирует следующий пример. К пружине подвешен груз массой m. Груз уравновешивается силой пружины. Для удлинения пружины на величину h до состояния равновесия следует приложить дополнительную силу F, которая равна удлинению h, т.е. (F = k ·h). Такую же (силу), как сила противодействия, стремящаяся восстановить начальное состояние. Если действие силы F прекращается, то груз возвращается в первоначальное состояние за некоторое время t. Задачей является найти зависимость времени t от 9 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 величин h, m ja k. Таким образом, для решения задачи следует представить время функцией известных величин h, m и k. Видно, что в системе величин LMT невозможно из величин h, m ja k = F/h, размерности которых соответственно L, M ja MT-2 составить безразмерную комбинацию. Et T kuulub ainult suuruse k dimensiooni, siis k ei saa olla suurus dimensiooniga üks, ning suurused h ja m mõistagi ei saa anda ühendit dimensiooniga üks. Seega t, h, m ja k vahelise seose ainsaks võimalikuks kujuks on algebraline funktsioon. Tundub loomulikuna otsida seda funktsiooni kujul Поскольку Т принадлежит только к размерности величины k , тогда k не может быть величиной размерностью единица 1, также понятно, что величины h и m не могут дать при сочетании размерность единица 1. Поэтому единственно возможна зависимость в виде алгебраической функции. Естественным кажется представить эту функцию в виде t = C hαmβkγ (1.10) kus C - tundmatu võrdetegur dimensiooniga üks ( неизвестный сравнительный коэффициент размерностью единица ) α,β , γ - tundmatud astmenäitajad ( неизвестные показатели степени) Võrdsustame valemi (1.10) vasaku ja parema poole dimensioonid: Уравняем размерности правой и левой частей формулы (1.10) : T = L α·M β·(MT-2)γ = Lα· Mβ+γ · T -2γ (1.11) Võrrand (1.11) osutub põhisuuruste suhtes invariantseks, st ei muutu põhisuuruste suurcndamisel või vähendamisel, juhul kui põhisuuruste dimensioonide astmenäitajad nii vasakul kui ka paremal poolel jäävad võrdseks. Sellest tingimusest lähtudes saame astmenäitajate jaoks võrrandid: Уравнение (1.11) является в отношении основных (базовых) величин инвариантным, т.е. не изменяется при увеличении или уменьшении базовых величин в случае, если показатели степеней размерностей базовых величин остаются равными как в правой, так и левой частях уравнения. Исходя из этого условия получаем уравнения для показателей степеней: α = 0, β + γ = 0, -2γ = 1 ( 1.12) kust откуда γ=-½ ja β=½ (1.13) Järelikult aja t saame avaldada seosest 10 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 Следовательно, время t может выразить зависимостью t = C √ m/k (1.14) Nagu valemist (1.14) on näha, ei sõltu aeg t pikenemisest h. Selle ülesande täpne, mehaanika seadustele tuginev lahendamine annab samasuguse tulemuse, ainult et leiame ka võrdeteguri C arvväärtuse π/2. Seega valem, mis iseloomustab loodusseadusi ja milles täheliste sümbolite, st tähiste all mõistetakse suurusi, on suurustevahelise seose valem. Näiteks valem (1.1): v = l/t, kus l teepikkus ja t- ajavahemik, iseloomustab kiiruse v sõltuvust teepikkusest ja ajast. Samas tuleb märkida, et kõneallolev valem kehtib niihästi füüsikaliste suuruste kohta üldiselt kui ka konkreetsete suuruste ning nende kvantitatiivmäärangute kohta, st suuruste väärtuste kohta teatud kontekstis. Kuna suuruse väärtusi saab väljendada suvalistes ühikutes, ei sõltu valem suuruste jaoks valitud ühikutest. Näiteks võime teatud teepikkust l väljendada kas meremiilides, kilomeetrites või meetrites ning vastavat ajavahemikku t kas minutites, tundides või sekundites. Lähtudes oletusest, et teepikkus on 5 meremiili ja sellele vastav ajavahemik 15 minutit, saame Таким образом, формула, которая характеризует естественные законы и в которой под буквенными символами подразумевают величины, является формулой зависимости между величинами. Например, формула (1.1) v = l/t, где l – длина пути и t- время (прохожения телом пути ), характеризует зависимость скорости v от длины пути и времени. В тоже время следует отметить, что данная формула действительна для физических величин вообще также хорошо, как и для конкретных величин, а также их количественных определений, т.е. числовых значений в определенном контексте. Поскольку значения величин можно представить в произвольных единицах, то формула величин не зависит от выбранных единиц. Например, можем представить известную длину пути l в морских милях, километрах или метрах, а также соответственно время t в минутах, часах или секундах. Исходя из предположения , что длина пути составляет 5 морских миль и длине этого пути соответствует время 15 минут, получим v = l / t = 5miil / 15min = 9,620km / 0,25t = 9620m / 900s Seega on kiiruse võrdväärseteks väljendusteks selles näites 0,33 miil/min (20 sõlme), 37 km/h ja 10,3 m/s. Siinjuures on põhjust toonitada, et suurustevahelistes valemites ei tohi ühegi dimensiooniga suuruse kvantitatiivmäärangut asendada selle arvväärtusega, sest arvväärtuse dimensioon on üks ning sisuliselt muutuks valem seega olenevaks kаsutatud ühikust. Füüsikaliste suuruste seoste valemiteks on tavaliselt kõik tuletatud suurusi iseloomustavad valemid. Nii näiteks valemis (1.1) on kiirus v tuletatud suurus, sest ta on määratud põhisuuruste l ja t kaudu. Arvutustes asendatakse tähised vastavate konkreetsete suuruste kvatintatiivmäärangutega, st nende suuruste väärtustega, mitte aga pelgalt arvväärtustega. Näiteks, kui l= 26,18 m ja t = 2 s, siis v = 26,18m / 2s = 13,09 m/s. Cледовательно, для выражения скорости одинаково действительны в этом примере 0,33 miil/min (20 sõlme), 37 km/h ja 10,3 m/s. Здесь следует отметить, что в формулах величин нельзя ни одно количественное определение размерной величины заменить её численным значением, потому что размерность числового значения – одна, а также по существу изменила бы формулу в зависимости от использованной единицы измерения. Формулами зависимости физических величин обычно являются все формулы производных (приведенных) величин. Так, например, в формуле (1.1) скорость v 11 Loeng on koostatud R. Laaneots, O. Mathiesen Mõõtmise alused, TTÜ Kirjastus 2002 является производной величиной, т.к. она определена через базовые величины l и t. В расчетах заменяют буквенные обозначения соответствующими конкретными количественными определениями величин, т.е. значениями величин, а не числовыми значениями. Например, если l= 26,18 m и t = 2 s, тогда v = 26,18m / 2s = 13,09 m/s. 12
