SLC
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
М.Л. Тай
САМОСБОРКА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией института информационных
технологий, математики и механики
для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» и
01.04.02 «Прикладная математика и информатика»
Нижний Новгород
2015
УДК 62-50
ББК В16
Т 14
Т 14 Тай М.Л. САМОСБОРКА ЛИНЙНЫХ ЦЕПЕЙ: Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,
2015. – 29 с.
Рецензент: д. ф.-м. н., доцент Н.Ю. Золотых
В пособии основное внимание уделено построению и исследованию
математических моделей, отражающих наиболее важные особенности,
процесса самосборки средствами теории колебаний. Показано использование
различных математических средств и предположений
для описания
взаимодействия между компонентами развивающегося объекта, которое
приводит к динамическим системам с непрерывным временем. На примере
взаимодействия линейных компонент составленных из копий произвольного
конечного числа различных типов элементов построена нелинейная
динамическая система, с помощью функции Ляпунова доказана глобальная
устойчивость ее состояния равновесия и обнаружено инвариантное
многообразие в многомерном фазовом пространстве.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов и
магистрантов института информационных технологий, математики и механики
ННГУ в качестве пособия при подготовке к лекциям и практическим занятиям
по курсам «Динамика процессов самосборки» и «Математическое
моделирование»
УДК 62-50
ББК В16
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2015
2
Введение. Представление о самосборке линейных цепей
Рассмотрим модель самосборки, отражающей одну важную особенность
структуры и строения полипептидных и нуклеиновых цепей, в которых в
каждой цепи количество копий различных типов элементов во много раз
больше, чем общее число всех различных типов элементов. Это свойство может
выполняться при самосборке только тогда, когда нет такого жёсткого запрета
на порядок соединения копий элементов, как это было при самосборке
отрезков, и они могут соединяться друг с другом не только в порядке номеров
типов элементов, а в соответствии с некоторой дополнительной информацией.
Абстрагируясь от деталей такой информации, будем считать, что соединение
копий элементов может происходить в произвольном порядке, так что от типов
непосредственно столкнувшихся элементов может зависеть только скорость
образования новой связи и её среднее время жизни, т.е. прочность.
Проще всего предположить также, что образующиеся компоненты могут
быть сколь-угодно длинными, хотя, строго говоря, это предположение не
вполне адекватно реальным полипептидным и нуклеиновым цепям, поскольку
они всегда содержат только конечное число копий элементов. С другой
стороны, общее число копий в таких цепях во много тысяч раз превышает
число участвующих в самосборке типов элементов, и, кроме того, аналогичное
допущение широко применяется для создания математических моделей
различных объектов и изучения их математическими средствами. В частности,
оно используется для изучения синтетических полимеров, разнообразные
свойства которых получаются в зависимости от конкретных условий их синтеза
и в значительной степени определяются некоторыми
особенностями
возможных взаимодействий между мономерами и компонентами полимерных
структур. Возможно, именно это обстоятельство стало причиной того, что и в
природе, во всех живых клетках содержатся различные полимерные
структуры. Поэтому исследование процессов связанных с образованием и
функционированием полимерных систем различной природы и, прежде всего,
изучение математических моделей таких
систем, представляет огромный
интерес и весьма актуально в настоящее время.
Представление о самосборке возникло после обнаруженного
экспериментально появления активных вирусных частиц в смеси белковой и
нуклеиновой компонент вируса табачной мозаики [1]. В [2] сделана попытка
объяснить возможность таких экспериментальных фактов. Несколько теорем о
самосборке доказаны в [3]. Математическая модель самосборки предложена и
исследована в [4]. Эта модель стимулировала работы [4-10]. Оказалось, что
появляющиеся при описании самосборки нелинейные динамические системы
обладают интересными свойствами [4-10], которые удаётся исследовать
аналитически, несмотря на многомерность и нелинейность соответствующих
систем дифференциальных уравнений. Исследования и использование
некоторых моделей самосборки [13 -15] также показали, что они интересны и
полезны для приложений.
3
1. Основные особенности структуры белков
Прежде чем перейти к математической модели рассматриваемых
процессов, напомним основные особенности структуры белков. Они
представляют собой связанные друг с другом достаточно длинные
полипептидные цепи, объединяющиеся обычно в крупные субъединицы.
Особенности специальных взаимодействий между субъединицами зависят от
их укладки и взаимного пространственного расположения, обеспечивающих
выполнение белками различных специальных функций и нормальное
существование клеток, тканей и организмов. Отдельные белковые цепи всех
живых организмов на нашей планете представляют собой полимерные
молекулы, мономерами которых служат аминокислотные остатки двадцати
типов, хотя кроме этих двадцати типов, иногда встречаются и незначительные
модификации типовых аминокислотных остатков.
По
современным
представлениям
аминокислотные
остатки
соединяются в полипептидные цепи в соответствии с порядком определённым
наследственной информацией, которая задаётся кодонами - тройками
нуклеотидов в дезоксирибонуклеиновой (ДНК) или рибонуклеиновой кислоте
(РНК). Использование наследственной информации в живых клетках приводит
к образованию из относительно простых строительных блоков, способных
узнавать друг друга и связываться между собой и с другими молекулами.
Таким образом, образование происходит по принципу “ от малого к большому”
без каких-либо чертежей, как это делается в технике. Длинные молекулярные
цепи аминокислотных остатков двадцати типов, соединённых достаточно
прочными пептидными связями выполняют разнообразные функции
необходимые для выполнения потребностей живых организмов. Подчеркнём
специально, что длина таких пептидных линейных цепей оказывается в тысячи
раз больше их толщины.
Существенная особенность белковых пептидных цепей заключается в
направленности связей, которая обусловлена структурой аминокислотных
остатков. Направление связей в пептидных цепях определяется углеродными и
азотными концами аминокислотных остатков, так называемыми С и N
концами, т.е. аминокислотные остатки, несмотря на их относительную
простоту, уже имеют достаточно сложную структуру, обеспечивающую их
собственную внутреннею направленность. Поэтому представляет интерес
изучение возникновения, образования и взаимодействия линейных цепей из
достаточно сложно устроенных элементов, которые могут соединяться друг с
другом направленными связями. Как уже было сказано, в случае
аминокислотных остатков каждый из них имеет внутреннее направление от
начального углеродного конца (С конец) к конечному азотному концу ( N
концу).
Здесь уместно подчеркнуть, что наследственная информация,
хранящаяся в ДНК ядра клетки, считывается только небольшими порциями.
Это неизбежно происходит потому, что огромная информация в длинных
4
молекулах ДНК может использоваться только отдельными порциями, рабочими копиями для синтеза полипептидных цепей в рибосомах клеток. Во
всех клетках для синтеза полипептидных цепей используются матричные РНК,
мономеры которых незначительно отличаются от мономеров ДНК, а длина во
много раз меньше, чем длина ДНК. Проще всего понять, почему короткие цепи
РНК используются в клетках при считывании информации со свёрнутой в
клубок ДНК, если представить себе распутывание любого достаточно
большого клубка, которое неизбежно сопровождается многочисленными
разрывами.
Для считывания информации и разрезания макромолекулы ДНК на
части, в клетках существуют специальные ферменты, которые первоначально
образуются в каждой клетке и их появление всегда предшествует началу
считывания РНК. При этом тщательно проверяется готовность ДНК к
передаче информации, её зрелость, прочность и отсутствие сомнительных
комбинаций, которые могут появиться при хранении и обработке информации
из-за неизбежного воздействия разнообразных внешних факторов. Сигнал для
начала считывания наследственной информации с ДНК означает конец
достаточно длинного этапа постепенного развития каждой отдельной клетки и
переход к новому этапу – делению клетки. Всё это происходит под
управлением и жёстким контролем специальной ферментативной системы.
2. Компоненты самосборки линейных цепей
Построим модель самосборки, описывающую абстрактный процесс,
отражающий некоторые характерные особенности образования линейных
цепей внутри живых клеток. Ради простоты, пренебрежём управляющими
ферментами и будем рассматривать только взаимодействие между элементами,
способными соединяться друг с другом направленными связями.
Пусть, как и при самосборке отрезков, имеются элементы n различных
типов. Все отдельные копии элементов каждого из n типов A1, A2 ,..., An будем в
дальнейшем всегда обозначать, для краткости и простоты, символами
k 1,2,..., n или другими греческими символами. Будем предполагать, что
копии элементов могут попарно соединяться в произвольном порядке
направленными связями в сколько угодно длинные линейные цепи. Здесь
одновременно сделано три совершенно разных предположения, которые
представляют собой идеализацию реальных процессов и приводят к
упрощенной математической модели.
Во-первых, это тождественность всех имеющихся копий каждого из n
типов элементов. В действительности свойства отдельных копий элементов
могут, хотя и весьма незначительно, отличаться и даже изменяться во времени.
Однако изменения свойств и отличия между копиями элемента одного типа
проявляются достаточно редко. Поэтому в модели самосборки линейных
цепей они учитываться не будут.
5
Во-вторых, предположение о возможности образования сколь угодно
длинных цепей противоречит тому, что общее число копий элементов всегда
ограничено, хотя и может быть очень большим. Это предположение
существенно упрощает описание и анализ взаимодействий в математической
модели самосборки, поскольку позволяет рассматривать соединение линейных
цепей независимо от того, сколько копий элементов имеется в каждой из них.
В противном случае пришлось бы для каждого столкновения цепей специально
рассматривать возможность их соединения в зависимости от длины каждой из
них, а не только от типа элементов на концах цепей, т.е. от непосредственно
взаимодействующих при самосборке концевых элементов. В оправдание
допущения сколь угодно длинных цепей заметим, что оно есть применение
хорошо известного математического приёма, который часто используется в
различных сходных ситуациях, например при вероятностном подходе к
задачам страхования, продолжительности жизни и возникновении редких
событий. Это типичный переход от реального, конечного объекта, к его
бесконечно большому идеализированному образу.
Наконец, последнее предположение о возможности объединения
элементов в произвольном порядке чаще всего тоже неверно, так как иногда
бывает невозможно образование связей между некоторыми типами элементов.
Для того чтобы устранить такую возможность, достаточно учесть различие
между скоростями образования разных связей между копиями элементов,
которые могут очень значительно различаться, и очень существенны для
результата процесса самосборки. Поэтому в описание взаимодействий
возможных при самосборке, приходится ввести аналоги скоростей химических
реакций - интенсивности образования связей и интенсивности разрыва связей.
А для тех типов элементов, между которыми невозможно образование связи,
принять соответствующие интенсивности образования связи равными нулю.
Для того чтобы задать состав каждой линейной цепи, будем указывать
типы элементов на всех её местах, т.е. просто перечислять последовательность
типов элементов в линейной цепи. Разумеется, будем предполагать, что ни
одна из линейных цепей не может замкнуться в кольцо или цикл, хотя в
природе известны кольцевые молекулы, и они используются как в живых
клетках, так и при исследованиях в молекулярной биологии и генной
инженерии.
Здесь уместно подчеркнуть, что определение последовательности
соединения
элементов
(аминокислотных
остатков,
мономеров)
в
полипептидных цепях ещё сравнительно недавно требовало огромных усилий,
поскольку для этого использовалось разрезание исходной молекулы на части с
помощью специальных химических соединений, для которых были точно
известны все возможные порождаемые разрезы. После определения строения
полученных коротких фрагментов и совмещения результатов их строения,
решая комбинаторные задачи, находили порядок элементов в исходных
линейных цепях. В последние десятилетия эта экспериментальная техника
автоматизирована: она использует созданный природой специальный
6
биологический аппарат для определения последовательности мономеров в
нуклеиновых линейных цепях живых клеток.
Состав и строение каждой линейной цепи будем определять
однозначным соответствием между номерами мест в цепи и типами элементов,
т.е. указывать номер типа элемента на каждом месте линейной цепи. При этом
номер каждого места в линейной цепи при последовательной нумерации мест в
порядке возрастания зависит от произвола в выборе номера места одного из
концевых элементов. Такой произвол означает введение эквивалентности
цепей, которые имеют одинаковый состав, а отличаются только нумерацией
мест. Он порождается существом процесса самосборки и обусловлен тем, что
после
объединения столкнувшихся цепей совершенно не существенна
нумерация мест в каждой из объединившихся линейных цепей.
Действительно, в линейной цепи, которая образовалась после соединения двух
линейных цепей, неизбежно содержится больше элементов и, следовательно,
появляются новые номера мест. Кроме того,
нумерация мест может
изменяться и после разрыва связи между элементами в линейной цепи и
распадения исходной цепи на две новые линейные цепи. Таким образом,
произвол в нумерации мест в линейных цепях по существу есть аналог
произвола в координатизации, обычно возникающий при постановке любой
математической задачи.
Будем нумеровать места элементов в каждой линейной цепи, начиная с
номера места на её левом или правом конце. Чаще всего будем приписывать
левому концу номер i , а остальным местам - последовательно номера i 1 ,
i 2 ,.... Номер i будем каждый раз доопределять подходящим образом, если
это окажется необходимо. Соответственно, будем обозначать символом j номер места правого конца в линейной цепи и при необходимости будем
уточнять его, изменяя в соответствии с этим номера всех мест элементов в
линейной цепи и, в частности, номер места элемента на другом конце
линейной цепи. Заметим, что номера мест i и j могут быть как
положительными, так и отрицательными, так же как и номера всех остальных
мест. В частности, отдельные ни с кем не связанные копии элементов, для
единообразия обозначений, будем рассматривать как линейные цепи ( k ),
составленные из одного элемента. Таким образом, при самосборке, каждая
линейная цепь имеет как номера мест i , i +1, ..., j -1, j , причём i j , так и
номера типов элементов 1, 2, ..., n , которые находятся на всех местах этой
цепи.
Для указания типа элемента на месте с номером k , i k j в линейной
цепи чаще всего будем использовать греческую букву с индексом, например
k , k или без индекса , , , если номер места очевиден из контекста.
Повторим, что здесь индекс указывает номер места k , i k j , а номера типов
элементов k , k , , могут принимать только значения 1, 2, ..., n . Поэтому
все линейные цепи представляют собой упорядоченные наборы ( i , i 1 ,..., j ),
7
составленные из j i 1 элементов. Каждый из элементов может быть одного
из n типов. Следовательно, число различных линейных цепей, имеющих длину
l , т.е. составленных из l копий элементов, равно n l . Концевые элементы i и
j линейной цепи ( i , i 1 , ..., j ) будем называть соответственно, начальным
(стартовым s) и последним (финальным f), а все остальные элементы i 1 ,
..., j 1 - внутренними. Концевые элементы связаны только с одним элементом
линейной цепи, а каждый внутренний - с двумя. Исключение представляют
собой только линейные цепи, содержащие всего один элемент ( k ).
Детальное различение состава линейных цепей
порождает
существенную проблему с описанием динамики процесса самосборки. Она
заключается в том, что очень быстро растёт число разных линейных цепей,
которые отличаются составом и, в силу ограниченности общего числа копий
элементов, число линейных цепей почти с каждым фиксированным составом
неизбежно мало. Это означает необходимость учитывать дискретность числа
цепей, так как изменение числа цепей на единицу становится сравнимо с
числом линейных цепей каждого отдельного строения. Следовательно, со
строгой математической точки зрения, изменения концентраций линейных
цепей во времени нельзя рассматривать не только дифференцируемыми
функциями, но даже и непрерывными функциями.
Для того, чтобы преодолеть указанную трудность, необходимо ввести
факторизацию линейных цепей. Наличие факторизации, несомненно, присуще
и компонентам других реальных процессов развития независимо от их
материальной природы. В частности, для процессов самосборки одна из
причин заключается в сложности детального различения состава элементов в
линейной цепи, когда их больше трёх. Не исключено, что это обстоятельство
обусловило структуру кода ДНК - белок и его вырожденность. По крайней
мере, существующее в природе различение последовательности трёх
нуклеотидов для определения соответствующего аминокислотного остатка в
коде ДНК-белок, т.е. трёх соседних элементов в линейных цепях,
представляется вполне возможным, поскольку для линейных цепей с большим
числом элементов распознавание их детального состава неизбежно связано с
дополнительными трудностями.
Можно сказать, что теоретическое предсказание длины нуклеотидной
последовательности, кодирующей каждый отдельный аминокислотный остаток
в полипептидной цепи, обусловлено не только их необходимым числом , но и
сравнительно простой возможностью различения трёх последовательно
расположенных нуклеотидов в цепях ДНК и РНК. Возможно, что эта простота
оказалась одной из причин возникновения и сохранения в природе того
механизма создания кода, который в настоящее время точно установлен и
является универсальным для всего живого на нашей планете.
Конечно, в реальных полимерных цепях, независимо от их природы,
неизбежно возникают специфические свойства, которые определяются
составом отдельных линейных цепей и значительно упрощают определение их
8
структуры. Однако и свойства цепей с близким составом должны иметь
незначительные различия и не должны заметно отражаться на дальнейших
взаимодействиях линейных цепей.
3. Описание процесса самосборки линейных цепей
Рассмотрим процесс самосборки линейных цепей в предположении, что
из-за независимых перемещений и столкновений всех компонент в замкнутом
объёме возможны как образование связи между последним и начальным
элементами двух столкнувшихся линейных цепей, так и разрывы связей между
смежными элементами каждой линейной цепи. Ещё раз подчеркнём, что
возможность образования связи между последним и начальным элементами
двух столкнувшихся линейных цепей, запрещает появление циклов и цепей с
разветвлениями, тем самым обеспечивая линейность всех цепей, возникающих
при самосборке.
Пренебрегая дискретностью числа линейных цепей в системе, будем
характеризовать состояние процесса самосборки в каждый момент времени t ,
t 0, совокупностью концентраций x(t , i ,..., j ) всех возможных цепей
( i ,..., j ), i j.
x (t ) { x(t , i ,..., j ) : k 1,..., n , k i,..., j , i j }.
Здесь x(t , i m ,..., j m ) = x(t , i ,..., j ) , если k m k при всех i k j , так
как в этом случае имеем концентрацию одной и той же линейной цепи, а их
различие обусловлено только сдвигом на любое целое число m нумерации всех
мест.
Будем считать справедливой «гипотезу хаоса» о столкновениях
элементов и составленных из них компонент. Согласно этой гипотезе число
столкновений любых двух линейных цепей (i ,..., k ) и ( k 1,..., j ) в любой
момент времени равно произведению их концентраций. Такое допущение
широко используется в химической кинетике для описания и исследования
различных реакций, хотя у химиков оно чаще называется законом
взаимодействующих масс.
Пусть процесс самосборки не имеет последействия и ординарен, как это
обычно предполагается в теории массового обслуживания, и было
использовано для самосборки отрезков. Отсутствие последействия означает,
что все параметры, определяющие изменения концентраций связей между
элементами, не зависят от предшествующих изменений связей. Условие
ординарности означает существование такого , >0, что за время с
вероятностью 1- о( ) может произойти не более одного разрыва или
образования связи между какими-нибудь линейными цепями или отдельными
элементами, т.е. линейными цепями составленными из одного элемента..
В силу ординарности и отсутствия последействия все изменения связей
между элементами и линейными цепями в процессе самосборки определяются
интенсивностями образования и разрыва связей. Обозначим p(i; j ) и q (i; j )
9
соответственно интенсивности образования и разрыва связей между
элементами типов i и j , т.е. примем, что за время в доле q( k ; k 1 ) +о( )
линейных цепей ( i ,..., k , k 1,..., j ) происходит разрыв связи между элементами
k и k 1 , где о( ) бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .
При этом цепь ( i ,..., k , k 1,..., j ) распадается на две линейных цепи ( i ,..., k ) и
( k 1 ,..., j ). Аналогично p( k ; k 1 ) +о( ) есть доля тех столкнувшихся
линейных цепей ( i ,..., k ) и ( k 1 ,..., j ), в которых за время произошло
образования связи между их концевыми элементами k и k 1 и объединение
линейных цепей ( i ,..., k ) и ( k 1 ,..., j ) в линейную цепь ( i ,..., k , k 1 ,..., j ).
При этом, конечно, обе линейные цепи ( i ,..., k ) и ( k 1 ,..., j ) одновременно
исчезли. Здесь для простоты предполагается, что интенсивности образования и
разрыва связей зависят только от тех элементов, между которыми образуется
или разрывается связь. Введённое при этом условие независимости
интенсивности образования и разрыва связей между непосредственно
взаимодействующими элементами от того, в каких линейных цепях они
находятся, широко используется в химической кинетике для описания
кинетики полимерных систем и расчёта реакций высокомолекулярных
соединений.
В действительности интенсивности образования и разрыва связей могут
зависеть от взаимодействующих цепей, от времени и состояния процесса
самосборки, т.е. в общем случае
p ( i ,..., k ; k 1 ,..., j , x (t ), t ) , q ( i ,..., k ; k 1 ,..., j , x (t ), t ) ,
где точка с запятой, как и выше, обозначает место изменения связи, k i,..., j 1 ,
а x (t ) - совокупность концентраций всех возможных цепей в момент времени t ,
т.е. состояние процесса самосборки линейных цепей. Таким образом,
предположение независимости изменения связи между элементами от того, с
какими элементами они связаны, означает, что всюду верно
p( k ; k 1 ) = p ( i ,..., k ; k 1 ,..., j , x (t ), t ) ,
(1)
q( k ; k 1 ) = q ( i ,..., k ; k 1 ,..., j , x (t ), t )
Условие (1) означает зависимость всех интенсивностей образования и
разрыва связей только от тех элементов, между которыми происходит
изменение связи. В химической физике это условие называется обычно
называется условием отсутствия « эффекта соседа».
В силу отсутствия последействия и ординарности процесса самосборки
линейных цепей при введённых предположениях и обозначениях
концентрации линейных цепей удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений:
10
x (t , i ,..., j ) =
j 1
{x(t, ,...
i
k i
{x(t ,
k 1
i k ,...,
+
i k
k
(2)
) p( k ; k 1 )x(t , k 1 ,... j ) x( t , i ,..., j )q( k ; k 1 )} +
,..., j ) q( i 1 ; i ) - x(t , i ,..., j ) p( i 1 ; i ) x(t , i k ,...,ii 1 )} +
i 1
{x(t , ,...,
k 1 j 1 ,..., j k
i
j k
) q ( j ; j 1 ) - x(t , i ,..., j ) p( j ; j 1 ) x(t , j 1 ,..., j k )} ,
i ,..., j =1,2,..., n ,
причём суммирования по i k ,..., i 1 , j 1 ..., j k всюду производятся в пределах
от 1 до n .
При написании системы уравнений (2) использованы условия
ординарности и отсутствия последействия. На основании первого из этих
предположений в правые части вошли суммы всех возможных изменений
связей, а второе сделало возможным описание процесса самосборки
концентрациями линейных цепей. Структура уравнений не изменится, если
отказаться от предположения о зависимости интенсивностей образования и
разрыва связей только от непосредственно взаимодействующих элементов,
хотя в общем случае запись интенсивностей становится сложнее. Подчеркнём,
что наличие сумм бесконечного числа слагаемых в правых частях уравнений
системы (2) обусловлено допущением бесконечной длины линейных цепей.
Наличие в правой части каждого нелинейного дифференциального уравнения
системы (2) по две бесконечных суммы обусловлено тем, что у любой
линейной цепи ( i ,..., j ) имеется два концевых элемента и к каждому из них
могут присоединяться любые другие цепи сколь-угодно большой длины и
произвольного состава. Именно с этим связано суммирование по всем типам
элементов i k ,..., i 1 , j 1 ..., j k в присоединяющихся цепях.
Бесконечная система нелинейных дифференциальных уравнений (2)
определяет оператор динамической системы, состояния которой представляют
собой совокупность концентраций всех возможных линейных цепей.
Поскольку ни одна из концентраций не может быть отрицательной в любой
момент времени фазовое пространство построенной динамической системы
есть
= { x(t , i ,..., j ) : x(t , i ,..., j ) 0 при всех k 1,..., n , k i,..., j , i j }. (3)
При t = 0 это требование накладывает ограничение на необходимые для
решения системы (2) начальные условия
x(0, i ,..., j ) r ( i ,..., j ) , r ( i ,..., j ) 0 , i ,..., j =1,2,..., n .
(4)
Оператор этой динамической системы определяется бесконечной
системой нелинейных дифференциальных уравнений (2).
11
4. Свойства динамической системы, описывающей изменения
концентраций линейных цепей
С формальной точки зрения, можно сказать, что бесконечная система
дифференциальных уравнений (2) - объект не математический, а представляет
собой формальную запись интуитивного представления о том, как изменяются
концентрации линейных цепей при введённых предположениях с помощью
введённых математических символов: производных, рядов с положительными и
отрицательными членами. Можно сказать, что решение системы бесконечного
числа дифференциальных уравнений с бесконечным числом слагаемых в
каждом уравнении представляет собой по существу качественно новую задачу
и её нельзя решать методом усечения, который обычно применяется в
подобных случаях. Поэтому приходится искать новые подходы, позволяющие
освободиться от бесконечностей иными методами.
В то же время нетрудно убедиться, что несмотря на указанные
трудности, решения системы (2) обладают двумя свойствами, которыми
должны обладать концентрации линейных цепей.
Справедлива следующая
Лемма 1. Все решения системы уравнений (2), удовлетворяющие
начальным условиям (4), неотрицательны при всех t 0 .
Доказательство. Перепишем систему (2) в виде
dx(t , i ,..., j )
dt
= g ( t , i ,..., j ) x(t , i ,..., j ) + h ( t , i ,..., j ),
(5)
где
g ( t , i ,..., j )=
k 1 i k ,...,
+
j 1
p ( i 1 ; i ) x(t , i k ,...,ii 1 ) + q( k ; k 1 )
k i
i 1
k 1 j 1 ,..., j k
h ( t , i ,..., j ) =
p ( j ; j 1 ) x(t , j 1 ,..., j k ),
j 1
x(t, ,...
i
k i
x(t,
k 1 i k ,...,
i k
,..., j ) q( i 1 ; i ) +
i 1
k
) p( k ; k 1 )x(t , k 1 ,... j ) +
{x(t , ,...,
k 1 j 1 ,..., j k
i
j k
(6)
(7)
) q ( j ; j 1 ) .
Согласно (4) в начальный момент времени функции g и h не
отрицательны при всех i ,..., j =1,2,..., n . Поэтому
x (t , i ,..., j ) =0 и, следовательно,
dx(t , i ,..., j )
0, если
dt
ни одна из функций x(t , i ,..., j ) не может
убывать, когда она равна нулю, т.е. x(t , i ,..., j ) 0 для всех i ,..., j =1,2,..., n и
t 0 . Лемма 1 доказана.
12
Кроме того, система уравнений (2) по физическому смыслу
поставленной задачи о самосборке должна иметь n первых интегралов, так как
при самосборке элементы не исчезают, не изменяются и не появляются вновь, а
только взаимодействуют друг с другом специальным образом. Поэтому должна
быть справедлива
Лемма 2. Система уравнений (2) имеет n первых интегралов
x(t ,
k 0
i 1 ,...,
i k
m 0
i 1 ,...,
i k
,..., i 1 , i , i 1 ,..., i m ) = a( i ) , i , i 1,2,..., n,
(8)
im
где
a( i ) =
x(0,
k 0
i 1 ,...,
ik
m 0
i 1 ,...,
i k
,..., i 1 , i , i 1 ,..., i m )
(9)
im
общая концентрация элемента типа i , i =1,2,..., n во всех линейных цепях в
начальный момент времени.
Доказательство этой леммы проводится так же, как доказательство
соответствующей леммы для самосборки отрезков, хотя оно осложняется тем,
что как уравнения системы (2), так и первые интегралы записываются
достаточно громоздко. Утверждение леммы будет доказано ниже.
5. Концентрации связей процесса самосборки линейных цепей
Используя результаты, полученные ранее при исследовании самосборки
отрезков, будем описывать самосборку линейных цепей с помощью общих
концентраций элементов (9), а также концентраций отдельных связей и блоков
связей, которые будут введены ниже.
Обозначим концентрацию блока связей, составленного из элементов
i , i 1 ,..., j в момент времени t , функцию
y (t , i , i 1 ,..., j ) =
x (t ,
k 0 i 1 ,..., i k m 0 i 1 ,..., i m
i k
,..., i ,..., j ,..., j m ) . (10)
При j = i выражение в правой части (10) совпадает с (8) и,
следовательно, выражает общую концентрацию элемента каждого типа
i , i =1,2,..., n во всех линейных цепях в начальный момент времени. При
j = i +1 (10) определяет общую концентрацию связанных элементов i и i 1 ,
i , i 1 1,2,..., n в момент времени t . Они, в отличие от концентраций элементов
(8), изменяются в процессе самосборки. При j>i+1 правые части (10)
определяют концентрации блоков связей элементов i , i 1 ,..., j .
В правой части (10) суммирование при k 0 даёт
yS (t , i , i 1 ,..., j ) =
x(t , ,...,
m 0 i 1 ,..., i m
i
j
,..., j m )
(11)
и означает сумму концентраций всех тех цепей, которые имеют на левом конце
блок связей i , i 1 ,..., j , т.е. цепей начинающихся с этого блока связей. По
этой причине обозначенной yS (t , i , i 1 ,..., j ) (индекс s здесь от английского start)
13
Её будем называть общей концентрацией блока связей i , i 1 ,..., j в начале всех
линейных цепей в момент времени t и обозначать так же s(t , i , i 1,..., j )
Соответственно, суммирование в (10) при m 0 даёт
y f (t , i , i 1 ,..., j ) =
x(t,
k 0 i 1 ,..., i km
ik
, i k 1 ,..., i 1 , i ,..., j ,..., j m )
(12)
Здесь суммируются концентрации всех тех линейных цепей, которые
имеют блок связей i , i 1 ,..., j на правом конце, т.е. заканчиваются этим блоком
связей.
Поэтому
сумму
концентраций
(12)
будем
обозначать
y f (t , i , i 1 ,..., j ) или f (t , i , i 1 ,..., j ) (индекс f здесь от английского finish) и
называть общей концентрацией блока связей i , i 1 ,..., j на правом конце всех
линейных цепей в момент времени t .
Заметим, что в (10) – (12) суммирование по каждому из типов элементов
i k ,..., i 1 , j 1 ..., j k производится в пределах от 1 до n при фиксированном
блоке связей элементов i , i 1 ,..., j . Таким образом, y (t , i , i 1 ,..., j ) есть общая
концентрация связанных элементов блока i , i 1 ,..., j во всех линейных цепях в
момент времени t , причём для всех k , удовлетворяющих i k j , значение
каждого k фиксировано и принимает одно из значений 1,2, ..., n .
В частности, при j = i сумма правой части (10) совпадает с суммой в (8)
и имеет смысл общей концентрации элемента i во всех линейных цепях, а в
(11) и (12) - общей концентрации элемента типа i в начале и на конце всех
линейных цепей. Таким образом, y(t , i ) = a( i ) - общие концентрации
элементов типа i =1,2,..., n , а функции y f (t , j ) f (t , j ) и ys (t , j ) s(t , j ) общие концентрации каждого из этих элементов на правом и на левом концах
всех линейных цепей в момент времени t соответственно.
Для j = i +1 в (10) имеем концентрацию связи между элементами i и
i 1 , каждый из которых может быть одного из n типов. Поэтому таких
концентраций связей n 2.
Будем называть концентрации y(t, i , i 1 )
концентрациями связей или концентрациями отдельных связей, и обозначать их
y (t , , ) . В частности, y (t , i , i ) концентрация гомосвязи элемента типа
i ,. i =1,2,…, n .
При любом j > i +1 в (10) имеем блок, содержащий j i связей, т.е. не
менее двух связей. Поэтому y (t, i , i 1 ,..., j ) с j > i +1 будем называть
концентрациями блока связей i , i 1 ,..., j в момент времени t .
Безусловно, значительное упрощение от введения концентраций связей
получится только при условии, что все возможные связи образуются и
разрываются независимо от того, в каких цепях они находятся, т.е. между
какими элементами имеются связи у непосредственно взаимодействующих
элементов. Только в этом случае описание взаимодействия связей совершенно
не зависит от того, в каких цепях они взаимодействуют, и изменения
14
концентраций связей определяются достаточно простой нелинейной
динамической системой. В то же время в силу принципа включения исключения Мёбиуса, знание концентраций элементов, концентраций связей и
достаточно длинных блоков связей позволяет однозначно определить
концентрации всех достаточно длинных линейных цепей.
Концентрации связей можно рассматривать как новые переменные. Они
оказываются более удобными для описания и изучения самосборки в тех
случаях, когда связи образуются и рвутся независимо от того, с какими
элементами имеются связи у непосредственно взаимодействующих элементов.
В живых системах использование концентраций связей и блоков связей всегда
удобнее и проще, чем использование концентраций цепей, поскольку оно не
требует информации о полном составе линейных цепей.
По смыслу введённых концентраций связей в любой момент времени
выполняются условия
y f (t , i , i 1 ) = y (t , i , i 1 ) -
n
I 2 1
y (t , i , i 1 , i 2 ) 0.
(13)
Действительно, y (t , i , i 1 )
есть общая концентрация связанных
элементов i , i+1 во всех линейных цепях в момент времени t , а y (t , i , i 1 ,
i 2 ) - такая же концентрация, но для трёх связанных элементов типов i , i 1 ,
i 2 , т.е. для той части цепей со связанными элементами i , i 1 , в которых есть
ещё хотя бы один элемент справа. Поэтому сумма в правой части (13) равна
концентрации всех тех линейных цепей, которые содержат связанные
элементы типа i , i 1 и справа от них ещё хотя бы один элемент. Это означает,
что после вычитания в правой части (13) остаётся только общая концентрация
линейных цепей со связанными элементами типа i , i 1 на правом конце.
Аналогично
y f (t , i , i 1 ,..., j )= y (t , i , i 1 ,..., j )-
n
y ( t, ,
i
i 1
,..., j , j 1 )
(14)
j 1 1
y s ( i , i 1 ,..., j
= y (t , i , i 1 ,..., j ) -
n
y (t ,
i 1 1
i 1
i , i 1 ,..., j )
представляют собой соответственно общие концентрации блока связей
i , i 1 ,..., j на правом и на левом конце всех линейных цепей в момент времени
t , В частности,
n
y f (t , i ) a(i ) y(t , i , ),
1
n
ys (t , i ) a(i ) y(t , , i )
(15)
1
есть общие концентрации элемента типа i на правом и на левом концах всех
линейных цепей в момент времени t .
15
Имеет место
Лемма 3. Состояние процесса самосборки цепей x (t ) однозначно
определятся концентрациями элементов,
концентрациями связей и
концентрациями блоков связей, причём справедливы равенства
x(t , i ,..., j ) y s (t , i ,..., j )
n
y
j 1 1
x(t , i ,..., j ) y f (t , i ,..., j )
s
(t , i ,..., j , j 1 ) ,
n
y
i 1 1
f
(t , i 1 , i ,..., j ) .
(16)
Доказательство. Формальное доказательство получается сравнением
правых частей (16) после подстановки в них (14).
Содержательно, доказательство первого равенства (16) следует из того,
что все линейные цепи, концентрации которых входят в правую часть первого
равенства (16) начинаются с блока связей элементов типа i , i 1 ,..., j и в
линейной цепи левой части элемент типа j является конечным (последним).
При этом в правой части (16) из общей концентрации цепей с тем же блоком
связей i , i 1 ,..., j на правом конце, вычитается общая концентрация всех
цепей, в которых на правом конце имеется блок связей i , i 1 ,..., j , j 1 , со всеми
возможными типами элемента j 1 . Аналогично доказывается справедливость
второго равенства (16).
Следствие. Утверждение леммы 3 вместе с (10) и первыми интегралами
(8) означает взаимную однозначность концентраций линейных цепей и
концентраций связей, т.е. возможность описания процесса самосборки
линейных цепей концентрациями связей и блоков связей вместе с общими
концентрациями всех типов элементов (с учётом первых интегралов (8)).
6. Динамическая система, описывающая поведение концентраций
связи и блоков связи
Введённые концентрации связей и блоков связей можно рассматривать
как новые переменные для бесконечной системы уравнений (2) и использовать
их для новой вспомогательной динамической системы, состоянием которой
является совокупность всех концентраций связей и блоков связей при
фиксированных концентраций элементов всех типов, играющих роль
параметров. При этом преобразовании оператор динамической системы
значительно упрощается, так как каждое новое переменное (концентрация
связи и концентрация блока связей) представляет собой бесконечную сумму
исходных концентраций линейных цепей и по этой причине правые части
системы (2) могут оказаться суммами конечного числа слагаемых. Кроме того,
если ограничиться концентрациями элементов, концентрациями связей и
только концентрациями блоков связей конечной длины, останутся системы
конечного числа дифференциальных уравнений. Это значит, что число
состояний и оператор новой вспомогательной динамической системы
16
определяется системой дифференциальных уравнений с конечным числом
слагаемых в правых частях каждого уравнения.
Справедлива следующая
Теорема 1. При выполнении условий (1) концентрации связей и блоков
связей удовлетворяют системе уравнений:
j
t , i ,..., j )= ( y f (t , i ,..., k ) p( k ; k 1 ) y s (t , k 1 , k 2 ,..., j )y(
k i
q( k ; k 1 ) y (t , i , i 1 ,..., j )), i ,..., j =1,2,..., n .
(17)
Доказательство Заметим сначала, что в силу (10) - (12) исходные уравнения
(5)-(7) можно записать в виде:
dx(t , i ,..., j )
dt
= g (t , i ,..., j ) x(t , i ,..., j ) + h ( t , i ,..., j ),
(18),
где
g ( t , i ,..., j )=
n
p( i 1 ; i )y f (t , i 1 ) +
i 1 1
n
p( ;
j
j 1 1
j 1
) ys (t , j 1 )
j 1
+ q( k ; k 1 ),
(19)
k i
h ( t , i ,..., j )=
n
q( i1 ; i ) y f ( i1 ,... j ) +
i 1 1
n
q(
j 1 1
j
; j 1 ) y s ( i ,..., j 1 ) +
j 1
x(t , i ,... k ) p( k ; k 1 )x(t , k 1,... j ) .
(20)
k i
Поэтому, собирая слагаемые с одинаковыми интенсивностями q( k ; k 1 )
и p( k ; k 1 ) , которые получаются после подстановки (18)-(20) в (10), получаем:
t , i ,..., j )=
y(
[q(
k k
k
; k 1 )Q k , k 1 ( i ,..., j ) p( k ; k 1 ) P k , k 1 ( i ,..., j )] . (21)
В последней сумме слагаемые с интенсивностями q( j ; j 1 ) появляются
во всех g ( i k ,..., i ,..., j ,..., j m ) и h( i k ,..., i ,..., j ) с противоположными знаками.
При k 0 их общий вклад равен
n
y s ( i ,..., j , j 1 )
j 1 1
x( ,...,
r 1 j 1 ,..., j r
i
jr
) 0.
При всех k 0 общий вклад слагаемых с интенсивностями
q( j ; j 1 ) точно так же равен нулю.
Аналогично, анализируя слагаемые правой части уравнений (21),
находим, что среди них отличны от нуля только такие слагаемые, которые
относятся к внутренним связям блока связей i ,..., j , т.е. со значениями k ,
удовлетворяющими i k j . Кроме того, все слагаемые с интенсивностями
17
разрыва связи q( k ; k 1 ) входят в (21) с одним и тем же множителем
y(t , i ,..., j ) – концентрацией блока связей i ,..., j . , а все интенсивности
образования связи p( k ; k 1 ) входят с множителями y f ( i ,..., k ) y s ( k 1 ,..., j ) .
Этот факт завершает доказательство теоремы.
Заметим, что все слагаемые в правых частях уравнений (17)
соответствуют отдельным изменениям концентрации y (t , i , i 1,..., j ) , которые
несовместны между собой по условию возможных взаимодействий, так как за
достаточно малое время не может произойти более одного изменения связей.
Слагаемые с интенсивностями
p( k ; k 1 ) отражают увеличение этой
концентрации из-за образования связи между элементами типа k и k 1 в
двух столкнувшихся цепях, если в одной из них имеются связанные элементы
i ,..., k на правом конце, а во второй - элементы k 1 ,..., j на левом конце. А
слагаемые с интенсивностями q( k ; k 1 ) выражают уменьшение концентрации
блока связей y (t , i , i 1,..., j ) в результате разрыва связи между элементами
типа k и k 1 , i k j .
Поэтому при введённых предположениях система (17) может быть
написана непосредственно из описания всех элементарных взаимодействий на
каждом шаге процесса самосборки линейных цепей, если для всех возможных
взаимодействий при самосборке линейных цепей, рассмотреть изменения
концентраций связей и блоков связей и не использовать систему уравнений (2)
для изменения концентраций линейных цепей.
Система нелинейных уравнений (17) существенно отличается от
системы (2): в правых частях каждого её уравнения содержится только
конечное число слагаемых. Кроме того, она распадается на подсистемы
дифференциальных уравнений. В каждую подсистему входят уравнения с
производными всех концентраций блоков связей, имеющих ровно m связей,
m 1,2,... . Они выражаются через концентрации связей y(t , i , i 1 ), i , i 1 1,2,..., n ,
и концентрации блоков связей, которые содержат не больше, чем m связей.
В частности, при j i в уравнениях (17) нижний индекс суммирования
больше верхнего и сразу получаем y (t , i ) 0 при всех i 1,2,..., n . Тем самым
доказывается, что система (2) имеет n первых интегралов (8).
При j i 1 в уравнениях системы (17) имеется n 2 нелинейных
уравнений для всех n 2 концентраций связей y ( t , i , i 1 ) , где i , i 1 1,2,..., n .
.Поэтому систему (17) в этом случае удобнее записать в виде
n
n
1
1
y (a( ) y ) p (a( ) y ) q y , , 1,2,...n,
(22)
где использованы обозначения
y y (t , , ) , p p ( , ) , q q( , ), , 1,2,..., n
(23)
Заметим, что в соответствии с введёнными выше концевыми
концентрациями y f (t , i ,..., k ) и ys (t , k 1 ,..., j ) , уравнения (22) можно записать
18
y = y f ( ) ) p ys ( ) - q y , , 1,2,..., n. .
(24)
Нетрудно видеть, что все остальные уравнения системы (17) линейны и
при любом фиксированном блоке связей i 1,..., i m 1 , m 1 , система (17)
распадается на подсистемы из n 2 уравнений для концентраций блоков связей
y(t , , i 1 , i 2 ,.., i m ) и y(t , i ,..., i m 1, ) , где , 1,2,..., n , т.е. для всех n 2
концентраций
блоков
связей
c
y(t , ,i 1,...,i m 1, ), m 1, , 1,2,..., n
фиксированными типами элементов i 1,..., i m 1 .
Не выписывая уравнений для y (t , i , i 1,..., i m ), m 1 , заметим, что
независимо от значений i , i 1 ,..., i m их правые части содержат линейные
слагаемые
с концентрациями блоков связей
y(t , , i 1 , i 2 ,.., i m ) и
y(t , i , i 1, i 2 ,.., i m 1, ) , где , 1,2,..., n
Действительно, эти n 2 концентраций блоков связей получаются из
слагаемых с концентрациями ys (t ,i 1,...,i m ) и y f (t , i , i 1,..., i m 1 ) , которые
входят в уравнения (17) только в слагаемые y f (t , i ) p( i ; i 1 ) ys (t ,i 1,...,i m )
и ys (t , i m ) p(i m1; i m ) y f (t , i , i 1,..., i m 1 ) . Но эти два слагаемых, вместе со
всеми остальными слагаемыми в правой части уравнений для y (t , i , i 1 ,..., i m ) ,
представляют собой функции от концентраций блоков связей y(t , i , i 1 ,..., i k )
с k m. Поэтому из системы уравнений (17) для всех блоков связей каждой
фиксированной длины, начиная с k 2, т.е. с концентраций блоков
y(t ,i ,i 1,.i 2 ), k 1,2,..., n, k i, i 1, i 2 последовательно увеличивая длину всех
блоков связей можно найти все концентрации блоков связей y(t , i , i 1 ,..., i k ) с
k 2,3,..., m . При этом, для каждого фиксированного значения k , k 2 , на всех
итерациях концентрации блоков связей y(t , i , i 1 ,..., i k )
удовлетворяют
линейным неоднородным системам n 2 уравнений первого порядка с
фиксированными элементами i 1 ,..., i k 1 .
Замечание 1. Для всех концентраций блоков связей y(t , i , i 1 ,..., i m ) с
m 1 , соответствующие однородные системы имеют одинаковые однородные
уравнения, которые определяются только концентрациями связей y f (t , i ) и
ys (t , i ) . Поэтому определяющей для отыскания всех концентраций блоков
связей является система уравнений (22), из которой первоначально находятся
только все концентрации связей y(t , i , i 1 ) , а вместе с ними y f (t , i ) и ys (t , i )
по формулам (14) и (15).
Поскольку система уравнений (22) замкнута относительно концентраций
всех связей yijj , i, j 1,2,..., n , она определяет оператор динамической системы,
состояние которой y1 =( y11 , y12 ,..., y nn ) имеет размерность n 2 , а фазовое
пространство
1 { y1 : 0 y ij min( a1 , a 2 ,..., a n ), i, j 1,2,..., n}.
(25)
Полученная динамическая система определяет изменения концентраций
всех связей. Такая ситуация обусловлена предположением (1) о независимости
19
интенсивностей образования и разрыва связей от того, в какие линейные цепи
входят непосредственно взаимодействующие элементы. В свою очередь,
состояние этой подсистемы y1 определяет изменения концентраций всех
блоков связей. Поэтому можно сказать, что в силу условия (1) динамическая
система, описывающая изменения концентраций линейных цепей, а с ней и
всех концентраций связей и блоков связей, распадается на подсистемы. В
каждой подсистеме состояние представляет собой совокупность концентраций
блоков связей, содержащих одинаковое число связей. При этом
взаимодействие между подсистемами иерархическое: на подсистемы
концентраций с большим числом связей влияют только подсистемы с меньшим
числом связей.
Заметим, что в этом контексте первые интегралы также являются
подсистемами, только они определяются начальными условиями и постоянны,
причём, можно сказать, что оии образуют подсистему нулевого уровня, так
как соответствуют исходному блоку без связей между элементами. Отсутствие
влияния блоков связей более высокого уровня, с большим числом связей,
определяет структуру фазового пространства динамической системы и
отражает исходную иерархию компонент процесса самосборки.
7. Предельное поведение концентраций связей при t
Изучение поведения траекторий нелинейной динамической системы,
оператор которой описывается системой (22) или (24) оказывается достаточно
трудным, поскольку для неё затруднительно даже найти состояния равновесия.
Однако имеет место
Теорема 2. Если все интенсивности разрыва связей отличны от нуля, то
динамическая система, оператор которой описывается системой нелинейных
дифференциальных уравнений (24), имеет единственное состояние равновесия
устойчивое на всём фазовом пространстве 1 (глобальный нуль-мерный
аттрактор).
Доказательство. Предположим, что система уравнений (24) имеет
состояние равновесия y с координатами y ij , i, j 1,2,..., n . Тогда выполняются
условия
y f (i )) pij y s ( j )) = q ij yij ,
(26)
где в соответствии с (14) и (15)
0 y ij ,
n
n
j 1
k 1
y f (i) a(i) yij 0 , ys ( j ) a j y kj 0 ,
i, j 1,2,..., n. .
(27)_
Для доказательства теоремы построим функцию Ляпунова для системы
(24). При этом будем следовать [11]. Введём функцию
:
20
n
n
V ( y ) yij (ln
i 1 j 1
n
yij
yij
n
y f (i )
ш
y f (i )
1) y f (i )(ln
n
n
n
ш
j 1
yij y f (i ) ys ( j ),
i 1 j 1
n
1) ys ( j )(ln
j 1
ys ( j )
1)
ys ( j )
(28)
y ( y11, y12 ,..., ynn )
Заметим, что в (28) использованы координаты состояния равновесия,
которые удовлетворяют равенствам (26) , (27) , и обозначения (14),(15), а сама
функция V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) зависит от n 2 переменных системы (24) и только
определяется координатами состояния равновесия этой системы..
Докажем, что функция n 2 переменных V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) является
функцией Ляпунова для системы уравнений (24) с состоянием равновесия
y ( y11, y12 ,..., ynn ) Действительно, подстановка состояния равновесия в правую
часть функции (28) сразу даёт V ( y ) V ( y11, y12 ,..., ynn ) 0 . Для доказательства
положительности функции V ( y ) во всех остальных состояниях фазового
пространства 1 , докажем, что
в состоянии равновесия y функция
V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) имеет глобальный минимум, в котором значение функции
V ( y ) равно нулю.
Для доказательства заметим, что функция (28) представляет собой
сумму функций
одного переменного ( w) w(ln w 1) 1 с разными
d
ln w, (1) 0 и, следовательно, при
dw
аргументами w , причём
w =1, все
слагаемые функции V ( y ) имеют минимум равный нулю при w =1, т.е. в
состоянии равновесия y ( y11, y12 ,..., ynn ) и V ( y ) 0 .
Остаётся доказать, что производная по времени функции
V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) на траекториях системы (24) противоположна по знаку
значениям функции V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) , т.е. отрицательна.
Докажем сначала, что в силу системы уравнений (24)
n
dV
= -
dt
i 1
n
ln(
j 1
y f (i) ys ( j ) yijj
y f (i) ys ( j ) yij
)( y f (i) ys ( j ) pij qij yij ) .
(29)
Действительно, как уже было отмечено, функция V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn )
представляет собой сумму функций одного переменного ( w) w(ln w 1) 1 .
имеющих
d
ln w . Поэтому
dw
n dy (i )
n
n
dyij
y
y (i )
dy ( j ) ys ( j )
dV
ln ij f i ln f s
ln
=
),. (30)
dt
dt
yij ii 1 dt
y f (i ) ij 1 dt
ys ( j )
i 1
j 1
где в силу (14) и (15)
n
ii 1
dy f (i)
dt
ln
y f (i)
y f (i)
n
n
dy f (i )
dt
yij ln
ii 1 j 1
n dy
dyij dys ( j )
,
ij , и, следовательно, имеем
dt
j 1 dt
i 1 dt
n
y f (i)
y f (i)
n
,
n n
dys ( j ) ys ( j )
y ( j)
.
ln
yij ln s
dt
ys ( j )
ys ( j )
ii 1
ii 1 j 1
21
Значит (30) есть
dV
=
dt
n
n
i 1
j 1
dyij
dt
(ln
yij
yij
ln
y f (i )
y f (i )
ln
n
n dy
y y (i ) y y ( j )
ys ( j )
) ij ln ij s
,
ys ( j )
yij y f (i ) ys ( j )
i 1 j 1 dt
откуда, используя (24), получаем (29).
Теперь, после замены в выражениях под знаком логарифма координат
состояния равновесия через интенсивности в силу условий (26), находим
n n
y (i) ys ( j ) pijj
dV
= ln( f
)( y f (i) ys ( j ) pij qij yij )
dt
qij yij
i 1 j 1
(31)
В (31) все слагаемые представляют собой произведение двух
множителей. Первый множитель есть логарифм дроби, а во втором из
числителя той же самой дроби вычитается её знаменатель. Поэтому все
слагаемые всегда (кроме состояния равновесия) положительны. Таким
образом, все слагаемые в сумме (31) положительны и, учитывая знак минус
перед суммой, получаем, что производная от функции V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) на
траекториях системы (24) всегда отрицательна. Это значит, что функции
V ( y) V ( y11, y12 ,..., ynn ) является функцией Ляпунова и, следовательно, состояние
равновесия y ( y11, y12 ,..., ynn ) устойчиво во всём фазовом пространстве 1 .
Подчеркнём, что согласно доказанной теореме система (24) во всём
фазовом пространстве 1 может иметь только одно состояние равновесия, хотя
координаты состояния равновесия остались неизвестными.
Доказанная теорема связана со знаменитой Н-теоремой Больцмана,
которая была предметом дискуссий, поскольку её утверждение противоречит
обратимости уравнений Гамильтона и теореме о возвращении Пуанкаре. Не
останавливаясь на этих вопросах, приведём только ссылку [16], где они
рассматриваются специально.
Заметим в заключении,
что доказанная теорема и метод её
доказательства показывают, что к анализу процессов самосборки применим
аппарат термодинамики. Тем самым подтверждается, что в достаточно
сложных динамических системах возникают те же закономерности, которые
порождает термодинамический подход.
8. Многомерное интегральное многообразие динамической
системы,
описывающей самосборку линейных цепей
Поведение концентраций блоков связей y (t, i , i 1 ,..., j ) процесса
самосборки линейных цепей описывается системой дифференциальных
уравнений (17), когда j > i +1. Как было отмечено выше эта система
распадается на системы n 2 уравнений первого порядка с фиксированными
элементами i 1 ,..., i k 1 , обусловленное предположением об отсутствии
«эффекта соседа» (1), т.е. независимости интенсивностей образования и
разрыва связей
от типов элементов, связанных с непосредственно
22
взаимодействующими элементами в столкнувшихся цепях или в
распадающейся цепи. Это предположение порождает и предельное поведение
концентраций при возрастании времени, а формально, при стремлении времени
к бесконечности.
Для концентраций связей выше было обнаружено, что они имеют
глобально устойчивое состояние равновесия в фазовом пространстве
состояний связей. Аналогичный факт имеет место и для концентраций блоков
связей. Для того, чтобы сформулировать результат о поведении концентраций
блоков связей, введём вспомогательные функции:
j 1
G (t , i , i 1 ,..., j ) a( i )
m i
y (t , m , m 1 )
, i j.
a( m )
(32)
Заметим сразу, что согласно (32) при всех k , удовлетворяющих условию
i k j , справедливо:
G (t , i , i 1 ,..., j ) =
G(t , k 1 ,..., j )
G (t , i , i 1 ,..., k )
.
y (t , k , k 1 )
a ( k )
a( k 1 )
(33)
Множители в правой части (33) по аналогии с обозначениями
использованными выше можно интерпретировать как концентрации конца и
начала двух столкнувшихся цепей . Поэтому введём обозначения:
n
G f (t , i , i 1 ,..., k ) G (t , i , i 1 ,..., k ) G (t , i , i 1 ,..., k , )
1
n
Gs (t , i , i 1 ,..., k ) G (t , i , i 1 ,..., k ) G (t , , i , i 1 ,..., k )
1
Справедлива следующая
Теорема 3. Динамическая система, оператор которой определяется
системой уравнений (17) с j > i +1, имеет интегральное многообразие
y ( t , i , ..., j ) = G (t , i , i 1 ,..., j ) ,
i j 1
(34)
фазовом пространстве при всех i , ..., j =1,2,..., n ,
где
G (t , i , i 1 ,..., j ) определено согласно (32).
Прежде чем перейти к доказательству сделаем
Замечание1. При доказательстве теоремы в данном разделе будем
опускать аргумент времени t , t 0 во всех формулах, для уменьшения их
громоздкости как это обычно делается в теории динамических систем.
Доказательство. Введём новые вспомогательные функции
i j 1.
(35)
w ( i , ..., j )= y ( i ,..., j ) G ( i , i 1 ,..., j ) ,
Нетрудно проверить, что согласно (35), w(i , i 1 ) 0 при всех i , i 1 =1,
2,..., n .
Функции (35) представляют собой отклонения концентраций блоков
связей от их значений на многообразии (34). Поэтому для доказательства
на
23
теоремы надо доказать, что все w ( i , ..., j ) остаются равными нулю, если они
равны нулю в некоторый момент времени.
Рассмотрим сначала только блоки из двух связей. Для любого такого
блока связей i , i 1 , i 2 из (35), (32) и (17) имеем
n
w ( i , i 1 , i 2 ) p( i 1; i 2 ) s ( i 2 ) w( , i 1 , i 2 )
1
n
p( i ; i 1 ) f ( i ) w( i , i 1 , ) w( i , i 1 , i 2 )[ q( i ; i 1 ) q( i 1 , i 2 )].
(36)
1
Действительно, из (35) и (33)
w ( i , i 1 , i 2 ) y ( i , i 1 , i 2 )
d y ( i , i 1 ) y ( i 1 , i 2 )
[
],
dt
a ( i 1 )
поэтому, используя (17), получаем
w ( i , i 1 , i 2 ) p( i ; i 1 ) y f ( i ) ys ( i 1 , i 2 ) p( i 1; i 2 ) y f ( i , i 1 ) ys ( i 2 )
[q( i ; i 1 ) q( i 1; i 2 )] y ( i , i 1 , i 2 ) p( i ; i 1 ) y f ( i ) ys ( i 1 )
y ( i 1 , i 2 )
a( i 1 )
y ( i , i 1 )
y ( i 1 , i 2 )
p( ii 1; i 2 ) y f ( i 1 ) ys ( i 2 ) [q( i ; i 1 ) q( i 1; i 2 )]
y ( i , i 1 )
a( i 1 )
a( i 1 )
Собирая слагаемые с одинаковыми интенсивностями, имеем
w ( i , i 1 , i 2 ) p ( i ; i 1 ) y f ( i )[ ys ( i 1 , i 2 ) ys ( i 1 )
y ( i 1 , i 2 )
]
a ( i 1 )
p ( i 1; i 2 ) ys ( i 2 )[ y f ( i 1 , i 2 ) y f ( i 1 )
y ( i 1 , i 2 )
]
a ( i 1 )
[q ( i ; i 1 ) q ( i 1; i 2 )][ y ( i , i 1 , i 2 )
y ( i , i 1 ) y ( i 1 , i 2 )
].
a ( i 1 )
(37)
Последнее выражение в квадратных скобках согласно (35) равно w(i , i 1, i 2 ) ,
и, кроме того, в силу (14) , (15) и (35) имеем
y ( i 1 , i 2 )
a ( i 1 )
ys ( i 1 , i 2 ) ys ( i 1 )
n
n
y ( i 1 , i 2 ) y ( , i 1 , i 2 ) [a ( i 1 ) y ( , i 1 )]
1
1
n
y ( i 1 , i 2 )
W ( , i 1 , i 2 ).
a ( i 1 )
1
n
Аналогично выражается в виде W (i ,i 1, ) и вторая квадратная скобка в
1
(37) , и это завершает доказательство (36). Из (36) следует, что из равенства
нулю всех отклонений w( ,i 1, ), , ,i 1, 1,2,..., n, в некоторый момент
времени, вытекает равенство нулю всех производных w ( i , i1 , i2 ) при любых
i ,i 1,i 2 . Это доказывает утверждение теоремы для всех концентраций
блоков связей, содержащих две связи.
24
В общем случае, для концентраций блоков имеющих более двух связей,
на траекториях динамической системы, оператор которой описывается
системой уравнений (17), после аналогичных преобразований находим:
w ( i , i 1 ,..., j )
j 1
[ y f ( i , i 1 ,..., k ) p ( k ; k 1 ) ys ( k 1 ,..., jj ) q ( k ; k 1 ) y ( i , i 1 ,..., j )]
k i
j 1
a ( i ) [ y f ( k ) p ( k ; k 1 ) ys ( k 1 ) q( k ; k 1 ) y ( i , i 1 )]
k i
j
1
ym ( m )
a( k ) m k a( m )
(38)
j 1
[ Fk ( i , i 1 ,..., k ) p ( k ; k 1 ) S k ( k 1i , i 2 ,..., j ) q( k , k 1 ) w(t , i , i 1 ,..., j )]
k i
где
n
n
Fk ( i , i 1 ,..., k ) y ( i ,..., k ) y ( i ,..., k , ) a( i )[1
1
1
n
k 1
1
m i
Sk ( k 1 ,..., j ) y ( k 1 ,..., j ) y ( , k 1 ,..., j ) a( k 1 )
y ( k , ) k 1 y ( m , m 1 )
]
a( k ) m i a( m )
y ( m , m 1 )
y ( , k 1 )
[1
]
a( m )
a( k 1 )
и учитывая обозначения (14) , (15) теперь получаем
j 1
w ( i , i 1 ,..., j ) [q( k , k 1 ) w( i , i 1 ,..., j ) p( k , k 1 ) w f ( i ,..., k ) ws ( k 1 ,..., j )
k i
Следовательно, все производные w ( i , i 1 ,..., j ) равны нулю, если в некоторый
момент времени все они одновременно равны нулю вместе с отклонениями
w ( i , ..., j ) для всех фрагментов цепей i , i 1 ,..., j . Это доказывает, что (34)
представляет собой интегральное многообразие траекторий динамической
системы, которая описывает поведение концентраций связей процесса
самосборки линейных цепей и доказывает утверждение теоремы.
Найденное многообразие имеет размерность n 2 и определяет
концентрации всех блоков связей через концентрации всех n элементов и
n 2 связей. Такое положение, конечно, обусловлено предположением (1).
Однако, оно остаётся верным и тогда, когда интенсивности образования и
разрыва связей зависят от любых концентраций связей и блоков связей, хотя
найти явные зависимости правых частей от времени здесь достаточно сложно.
В то же время имеется один простой частный случай, когда в начальный
момент времени нет никаких связей между элементами и невозможны разрывы
связей.
Доказанный результат слабее, чем аналогичный результат для
самосборки отрезков, когда интегральное многообразие является глобальным
аттрактором. Для процессов самосборки линейных цепей, по-видимому,
интегральное многообразие (34) также является глобальным аттрактором.
Однако доказать это удаётся только для некоторых частных случаев. Так, из
любого начального состояния концентрации блоков связей асимптотически
приближаются к интегральному многообразию, если n 2 .
25
Для процессов самосборки линейных цепей с n 2 интегральное
многообразие (34) может не быть аттрактором для всех траекторий
динамической системы, так как поведение концентраций блоков связей может
оказаться сложнее за счёт перераспределения внутри блоков одинаковой
длины. Такое предположение может оказаться верным хотя бы при какихнибудь значениях n , т.е. начиная с некоторого числа элементов, которые
участвуют в самосборке линейных цепей. Дело в том, что приближение к
интегральному многообразию обусловлено независимостью интенсивностей
образования и разрыва связей между непосредственно взаимодействующими
элементами от наличия у них связей с какими-либо другими элементами. В то
же время при достаточно больших n может возникнуть ситуация, подобная
появлению дефицита в сложных системах, когда определяющим фактором
оказывается конкуренция из-за дефицита. Логически возможна и другая
ситуация: интегральное многообразие (34) может оказаться притягивающим
только для блоков с ограниченным числом связей, так что, начиная с некоторой
критической длины, соответствующие концентрации уже не стремятся к
интегральному многообразию. Понятно, что в этом случае также годится
интерпретация с усилением конкуренции и появлением дефицитов.
В заключение отметим, что полученные результаты изучения процессов
самосборки линейных цепей справедливы и в тех случаях, когда образование
некоторых из n 2 связей невозможно. При этом уменьшается размерность
состояния динамической системы. Соответственно уменьшается и размерность
интегрального многообразия: она становится равной числу возможных связей
между элементами.
26
Литература
1.Fraenkel-Conrat H. Design and Function at the Threshold of Life: The
Viruses, Academ Press, N.Y.1962. ñ.1-117.
2.Caspar D.L.D. Assembly and stability of the tobacco mosaic virus patical // Adv.
Protein Chem. 1963, v.18. с. 1-35.
3.Власов А.А. Нелокальная статистическая физика. М. Наука, 1978, 264c.
4.Леонтович А.М. Одна задача о самосборке отрезков, // Пробл. передачи
информ., 1975, 15, 4. С. 97-107.
5.Тай М.Л. Стохастическая модель самосборки с разрывами Проблемы
передачи информации 1979,т.15, №1,с. 74-84.
6.Тай М.Л. Исследование стохастической модели самосборки линейных цепей
//Проблемы передачи информации 1979,т.15,№4, с. 40-52
7.Леонтович А.М., Тай М.Л. Теоретические и математические аспекты
морфогенеза, М.: Наука, 1987. С. 198-208.
8.Иржак В.И., Тай М.Л. О статистическом подходе для описания процессов
неравновесной поликонденсации // Доклады АНСССР, 1981, т.239, №4,
с.856-859.
9.Тай М.Л. Динамика процессов самосборки Учебное пособие Н.Новгород
ННГУ 2000, с. 178.
10.Громик А.С. Самосборка линейных цепей Автореферат на соискание ученой
степени кандидата физико-математических наук, Н.Новгород, 2008, с.26.
11.Зельдович Я.Б. О единственности решения уравнения закона действующих
масс. // Журн. физической химии, 1938,11,5. с. 685-687.
12. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания,
М.:Физматгиз, 196.235с.
13.Фокс Р. Энергия и эволюция жизни на Земле. М.: Мир, 1992. 216с.
14.Adleman L, Cheng Q., Goel A, Huang M-D, Wasserman N. Linear selfassemblies: Equalibria,entropy,and convergence rates, //Elayd Ladas and Aulbach
editors New progress in difference equations, London, 2004.
15.Mizera A, Czeizler E, Petre I. Self-assembly models of variable resolution,
Transactions on Computational Systems Biology XIV, 181-203, 2012.
16.Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука,
1967,176с.
27
Дополнительная литература
1.Неймарк Ю.И., Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. М.: Наука, 1972.471с.
2.Волькенштейн М.В. Общая биофизика. М.: Наука, 1978,591с.
3.Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М.:
Наука, 1989, 344 с.
4.Лима-де-Фариа А. Эволюция без отбора. Автоэволюция формы и функции.
М.: Мир,1991. 455 с.
5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.:
Физматгиз, 1959.
6. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания 2-е
изд,.Книжный дом «Либроком»/М., URSS, 2009, с424.
7.Поглазов Б.Ф. Сборка биологических структур. М.:Наука,1970.158 с.
8.Тай М.Л. Процессы самосборки с объёмными взаимодействиями
//Докл.АНСССР, 314,1,1990.С.189-193.
9. Турчин В.Ф. Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции. М.:
Наука, 1993. 295с.
10.Эйген М., Шустер П. Гиперцикл. Принципы самоорганизации
макромолекул. М.: Мир, 1982,270 с.
11.Николис Г., Пригожин И. Познание сложного, М.: Мир, 1990,342с.
12. Малинецкий Г.Г.,Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика, 3 изд.,
Книжный дом «Либроком», М., 2010, 279 с.
13.Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике, Книжный дом «Либроком»,
М. 2009,203 с.
28
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. Представление о самосборке линейных цепей
3
1. Основные особенности структуры белков
4
2. Компоненты самосборки линейных цепей
5
3. Описание процесса самосборки линейных цепей
9
4. Свойства динамической системы, описывающей изменения
концентраций линейных цепей
12
5. Концентрации связей процесса самосборки линейных цепей
13
6.Динамическая система, описывающая поведение
концентраций связи и блоков связи
16
7. Предельное поведение концентраций связей при t
20
8. Многомерное интегральное многообразие динамической системы,
описывающей самосборку линейных цепей
22
Литература
27
29
Макс Лазаревич Тай
САИОСБОРКА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования «Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
30