Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл

А.С. Логинов
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ
АНАЛИЗ
Лекции. Факультет ЭТФ. 3 семестр.
Оглавление
Глава 1.
Кратные интегралы. Двойной интеграл ................................................................................ 6
§1. Двойной интеграл ................................................................................................................................ 6
1.
Определение двойного интеграла .............................................................................................. 6
2.
Геометрический смысл двойного интеграла. ......................................................................... 7
§2. Суммы Дарбу и их свойства ............................................................................................................... 8
1.
Определения. ................................................................................................................................. 8
2.
Свойства сумм Дарбу. ................................................................................................................. 8
§3. Критерий интегрируемости ................................................................................................................ 9
1.
Нижний и верхний интегралы. ................................................................................................. 9
2.
Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу ......................................................................... 9
§4. Классы интегрируемых функций ..................................................................................................... 10
§5. Свойства определенного интеграла ................................................................................................. 11
1.
Простейшие свойства .............................................................................................................. 11
2.
Теоремы о среднем, аддитивность по множеству. ............................................................. 12
§6. Вычисление двойных интегралов .................................................................................................... 14
1.
Интегрирование по прямоугольнику ...................................................................................... 14
2.
Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию ........ 16
§7. Замена переменных в двойном интеграле ....................................................................................... 18
1.
Отображение плоских областей. Криволинейные координаты ....................................... 18
2.
Изменение площади при отображениях ............................................................................... 19
3.
Примеры отображений ............................................................................................................ 21
4.
Замена переменных в двойном интеграле ............................................................................. 22
Глава 2.
Кратные интегралы. Продолжение ...................................................................................... 26
§1. Тройные и n-кратные интегралы ...................................................................................................... 26
1.
Определение тройного и n-кратного интеграла .................................................................. 26
2.
Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда .... 28
3.
Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида ... 29
4.
Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле .................................................... 31
5.
Замена переменных в общем случае........................................................................................ 34
Глава 3.
Криволинейные интегралы .................................................................................................. 34
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода .............................................................................................. 34
1.
Определение, существование ................................................................................................... 34
2.
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода .................................................................... 37
§2. Криволинейные интегралы 2-го рода .............................................................................................. 37
1.
Определение, существование. .................................................................................................. 38
2.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода .................................................................... 39
3.
Связь с интегралом 1-го рода. .................................................................................................. 40
2
§3. Формула Грина .................................................................................................................................. 44
1.
Формула Грина ........................................................................................................................... 44
2.
Использование формулы Грина для вычисления площадей. ............................................... 48
3.
Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования. ................ 49
Глава 4.
Поверхностные интегралы ................................................................................................... 53
§1. Поверхностные интегралы 1-го рода ............................................................................................... 53
1.
Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x,y) ......................................................... 53
2.
Вычисление площади поверхности, заданной параметрически ........................................ 55
3.
Определение поверхностного интеграла 1-го рода .............................................................. 57
4.
Существование и вычисление интеграла 1-го рода ............................................................. 57
5.
Простейшие свойства интегралов первого рода ................................................................. 58
§2. Поверхностные интегралы 2-го рода ............................................................................................... 58
1.
Определение стороны поверхности ....................................................................................... 58
2.
Определение поверхностного интеграла 2-го рода .............................................................. 60
3.
Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода ................................ 61
4.
Связь с интегралом 1-го рода ................................................................................................... 61
5.
Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода ............................................ 62
§3. Формула Стокса ................................................................................................................................. 65
1.
Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y) ....................................................................... 65
2.
Формула Стокса для векторного поля................................................................................... 66
3.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве
69
§4. Формула Остроградского-Гаусса ..................................................................................................... 71
§5. Элементы теории поля ...................................................................................................................... 74
1.
Введение ...................................................................................................................................... 74
2.
Поток векторного поля ............................................................................................................ 74
§6. Дифференциальные операторы ........................................................................................................ 77
1.
Дифференциальные операторы 1-го порядка........................................................................ 77
2.
Дифференциальные операторы 2-го порядка........................................................................ 79
Глава 5.
Интегралы, зависящие от параметра ................................................................................... 79
§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра ......................................................................... 79
1.
Непрерывность интеграла от параметра ............................................................................ 79
2.
Интегрирование интегралов зависящих от параметра ..................................................... 81
3.
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра ............................................. 82
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра ..................................................................... 83
1.
Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра ............................. 83
2.
Непрерывность несобственного интеграла от параметра ............................................... 85
3.
Интегрирование интегралов зависящих от параметра ..................................................... 86
4.
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра ............................................. 86
3

5.
Гамма функция Эйлера Г(p) =
x
p 1  x
e dx , p > 0 ................................................................ 87
0
1
6.
Бета функция Эйлера В(p,q) =
x
p 1
(1  x)q 1 dx , p > 0 , q >0 . ........................................ 88
0
7.
Другие свойства функций Эйлера ........................................................................................... 88
8.
Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра ............... 89
Глава 6.
Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты ............................... 91
§1. Преобразования базисов и координат .............................................................................................. 91
1.
Отображение областей. Криволинейные координаты ...................................................... 91
2.
Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве ......... 92
3.
Взаимные, сопряженные базисы ............................................................................................. 93
4.
Преобразование координат ...................................................................................................... 95
§2. Выражение операций теории поля в криволинейных координатах .............................................. 96
1.
Введение ...................................................................................................................................... 96
2.
Выражение градиента в криволинейных координатах ...................................................... 97
3.
Выражение дивергенции в криволинейных координатах ................................................... 97
4.
Выражение ротора в криволинейных координатах ............................................................ 98
5.
Выражение оператора Лапласа в криволинейных координатах ...................................... 98
Глава 7.
Тензорная алгебра ................................................................................................................. 99
§1. Линейные функционалы. Сопряженное пространство .................................................................. 99
1.
Определение линейного функционала .................................................................................... 99
2.
Формулы преобразования координат ................................................................................... 101
§2. Тензоры............................................................................................................................................. 102
1.
Определения и примеры .......................................................................................................... 102
2.
Основные операции над тензорами ...................................................................................... 103
3.
Бивектор, m – вектор, косое произведение. ......................................................................... 107
4.
Метрический тензор. ............................................................................................................. 110
§3. Полилинейные формы и их связь с тензорами ............................................................................. 113
Глава 8.
Тензорный анализ ............................................................................................................... 114
§1. Тензорное поле, алгебраические операции над тензорными полями ......................................... 114
1.
Определения .............................................................................................................................. 114
2.
Операции дифференцирования тензорных полей .............................................................. 114
3.
Дифференцирование скалярного тензорного поля ............................................................. 115
4.
Дифференцирование векторного тензорного поля ............................................................ 116
5.
Поток линейного оператора через поверхность. ............................................................... 117
6.
Теорема Остроградского......................................................................................................... 118
Глава 8.
Приложения ......................................................................................................................... 118
§1. Аффинное пространство, евклидово и псевдоевклидово пространства ................................. 118
4
1.
Определение n - мерного аффинного пространства ............................................................. 118
2.
Псевдоевклидово пространство ............................................................................................... 119
§2. Пространство событий ................................................................................................................ 120
1.
Преобразование Лоренца ..................................................................................................... 120
Кинематика тела с точки зрения теории относительности ................................................... 120
2.
3.
Вектор энергии-импульса частицы ..................................................................................... 123
4.
Четырехмерный вектор плотности тока .............................................................................. 124
Электромагнитное поле ............................................................................................................ 125
5.
6.
Уравнения Максвелла ........................................................................................................... 127
§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах ...................................... 130
1.
Цилиндрические координаты (r, , h) = (x1,x2,x3). .......................................................... 130
2.
Выражение градиента в цилиндрических координатах ............................................... 131
3.
Выражение дивергенции в цилиндрических координатах ............................................ 131
4.
Выражение ротора в цилиндрических координатах .................................................... 131
5.
Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах ............................... 131
§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах ............................................. 132
1.
Сферические координаты (, , ) = (x1,x2,x3) ................................................................. 132
2.
Выражение градиента в сферических координатах ..................................................... 132
3.
Выражение дивергенции в сферических координатах .................................................. 132
4.
Выражение ротора в сферических координатах ........................................................... 133
5.
Выражение оператора Лапласа в сферических координатах ..................................... 133
Литература ............................................................................................................................................. 135
5
Глава 1.
Кратные интегралы. Двойной интеграл
§1. Двойной интеграл
1. Определение двойного интеграла
Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать D. Пусть f(x,y) функция,
определенная в квадрируемой области D.
Разобьем область D на части линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом
подобластей Di была квадрируема. Под линиями разбиения здесь и в дальнейшем будут
подразумеваться кусочно-гладкие кривые. Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n - 1 называется
разбиением области   {Dk } .
В каждой из подобластей выберем точку Mk=(k ,k)Dk и обозначим этот набор точек   {M k }.
Интегральной суммой для набора f , ,  называется выражение
n 1
( f , , )   f ( M k )Dk
(1)
k 0
Величина ()  max dDk , где dDk – диаметр множества Dk, называется характеристикой
0 k  n
разбиения . Условие {k: MkDk} мы будем обозначать  .
Определение. Предел интегральных сумм (f,, ) при ()0 , если он существует и не
зависит от выбора разбиений и промежуточных точек , называется двойным интегралом от
функции f на D и обозначается
( f , , ).
 f ( x, y )dxdy   (lim
 ) 0
D
Для интегралов используют также обозначения
6
 f ( X )dX   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy .
D
D
D
Более точно это определение выглядит следующим образом:
J>0>0,()<: |(f,, ) - J|<.
Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой (по Риману) на D.
Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция
интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений
m этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю (m )  0 и c некоторым набором
промежуточных точек  m  m для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности
m=(f,m,m) будет выполнено равенство
m . .
 f ( x, y)dxdy  mlim

D
Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью
интегральных сумм.
Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена.
Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности
функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции
будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы, выбором одной из
промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно
большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве промежуточной
точки этого слагаемого члены последовательности {P j}. Таким образом, условие стремления к нулю
характеристики разбиения не может гарантировать сходимость интегральных сумм. На рисунке
таким слагаемым интегральной суммы будет f ( P)D1 , где в качестве P можно выбирать Pj , начиная
с номера 5.
Таким образом, интегральную сумму
( f ,  ,  m ) 
n 1

k 0
n 1
f ( M k )Dk  f ( M 0 )D0  f ( Pm )D1   f ( M k )Dk
k 2
можно сделать сколь угодно большой выбором подходящего Pm (m=5,6,…).
2. Геометрический смысл двойного интеграла.
Если функция f ( M )  0 на области D , то интегральная сумма представляет собой сумму
объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком
разбиении  этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области,
ограниченной графиком функции z  f ( x, y ) и плоскостью z=0. Точным значением объема
указанной области является интеграл
 f ( x, y)dxdy .
D
7
§2. Суммы Дарбу и их свойства
1. Определения.
Пусть функция f(x,y) определена на D и ={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу
называется сумма
s( f , ) 
n 1
 mk Dk , mk
k 0
 inf f ( M ).
M Dk
Верхней суммой Дарбу называется сумма
n 1
S ( f , )   M k Dk , M k  sup f (M ).
M Dk
k 0
2. Свойства сумм Дарбу.
Определение. Если разбиение 2 получено из разбиения 1 добавлением некоторого числа новых
линий, то говорят, что разбиение 2 следует за разбиением 1 (или 2 является более мелким, чем
1), при этом пишут 1  2 .
1) Для любого разбиения  и набора промежуточных точек  имеют место соотношения
s(f,)  ( f,, )  S(f,), s( f , )  inf ( f , , ), S ( f ,  )  sup ( f ,  ,  ).


Это следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.
2) Если 1
 2 два разбиения D, то
s(f,1)  s(f,2) , S(f,2)  S(f,1) .
Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрастать, а
верхние суммы могут только уменьшаться.
Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого
разбиением некоторого множества Dk первого разбиения 1 на два квадрируемых множества Dk ,
Dk+1.
Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения
m'k  inf f (M ) , m' 'k  inf f (M ) , m' 'k 1  inf
M D ' k
M D ' ' k
M D ' ' k 1
f (M ) .
Нижняя грань по всему множеству Dk будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого
множества, поэтому mk mk , mk mk+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать
s(f,1)=mk Dk +...,
s(f,2) = mk Dk + mk+1 Dk+1 +...
8
В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми эти суммы отличаются. Таким
образом, разность сумм
s(f,2) - s(f,1) = mk Dk + mk+1 Dk+1 - mk Dk = mk Dk + mk+1 Dk+1 - mk (Dk +Dk+1) = (mk - mk) Dk +( mk+1 - mk ) Dk+1  0.
Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.
3) Для любых разбиений 1 , 2 данного отрезка справедливо неравенство
s(f,1)  S(f,2).
Обозначим через 3 = 1 2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных
разбиений. Очевидно 1  3 , 2  3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства
s(f,1)  s(f,3)  S(f,3)  S(f,2),
откуда и следует доказываемое неравенство.
§3. Критерий интегрируемости
1. Нижний и верхний интегралы.
Определение. Пусть ={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть
величину k (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q
из Dk , mk = inf f (M ) , Mk = sup f (M ) .
MDk
MDk
Отметим, что
n 1
S(f,) - s(f,) =  k ( f )Dk .
k 0
Определение. Нижним интегралом I называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу
I  sup s ( f , ) , где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям области D. Верхний
интеграл I определяется, как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу I = inf S ( f , ) , где нижняя
грань берется по всевозможным разбиениям области D.
Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы.
Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например,
значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу
множества значений верхних сумм Дарбу.
Теорема. Для любого разбиения  данного отрезка справедливы неравенства
s(f,)  I  I  S(f,).
Доказательство. Не очевидным является только неравенство I  I . Предположим противное,
т.е., что I < I . Выберем непересекающиеся  окрестности точек I , I ,тогда I + < I - . По
определениям точных граней найдутся два разбиения 1 , 2 такие, что S(f,1)< I + < I -  < s(f,2),
что противоречит свойству сумм Дарбу s(f,2)  S(f,1) .
2. Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу
9
Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D,
необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу
S(f,) - s(f,) стремилась к 0 при ()0.
То есть для существования интеграла
 f ( x, y)dxdy необходимо и достаточно, чтобы
D
>0>0,()<: S(f,) - s(f,)<.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема и J= f ( x, y )dxdy . Возьмем
D
какое-либо  >0 для него >0 такое, что при ()< будет выполнено неравенство
|J - (f,,)|</3 ( независимо от выбора  ).
Так как s(f,) = inf ( f,, ) и S(f,) = sup ( f,, ), то


|S(f,) - J|  /3, |J - s(f,)|  /3,
тогда
|S(f,) - s(f,)|=|S(f,) - J + J - s(f,)|  |S(f,) - J| +| J - s(f,)| 
2
< .
3
Достаточность. Как уже отмечалось, для любого разбиения  нижний и верхний интегралы
существуют и
s(f,)  I  I  S(f,), где I = sup s(f,), I = inf S(f,).
Так как разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно
мелкого разбиения, то I = I . Положим J = I = I . Из соотношений
J [s( f , ), S ( f , )], ( f , , ) [ s( f , ), S ( f , )]
следует, что |(f,,) – J |  S(f,) - s(f,). Откуда и получаем требуемое утверждение.
§4. Классы интегрируемых функций
Теорема 1. Всякая непрерывная на квадрируемом компакте D функция интегрируема на этом
D.
Вопрос о том, может ли существовать не квадрируемый компакт, здесь не обсуждается.
Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения ={Dk}
n 1
S(f,) - s(f,) =  k ( f )Dk , k (f) = Mk – mk .
k 0
По теореме Кантора для   > 0   > 0 такое, что при ()< будет выполнено неравенство

k ( f ) 
D . Тогда
n 1
S(f,) - s(f,) =  k ( f )Dk <
k 0
 n 1
 Dk = .
D k 0
Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов
интегрируема.
Без доказательства.
10
§5. Свойства определенного интеграла
1. Простейшие свойства
1)
 dxdy  D.
D
2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и
 ( f ( x, y)  g ( x, y))dxdy   f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy .
D
D
D
Доказательство. Имеем
k(f+g) =sup|f(P)+g(P) – f(Q) – g(Q)| sup(|f(P)– f(Q) |+| g(P)– g(Q)|)
 sup|f(P) - f(Q)|+ sup|g(P) – g(Q)|=k(f) + k(g) .
Отсюда
S(f+g ,) – s(f+g ,)=k(f+g) Dk  k(f) D k + k(f) D k .
Откуда следует интегрируемость суммы. Далее, выбирая какую-нибудь последовательность
разбиений  m , ( m )  0 и  m  m , получим сходящиеся последовательности интегральных сумм
m(f+g), m(f), m(g), для которых будет выполнено равенство
m(f+g) = m(f) + m(g).
Переходя к пределу при m получим требуемое равенство.
3) Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =c
D

f(x,y)dxdy.
D
Утверждение следует из соотношения (cf,,)= c(f,, ) для любых интегральных сумм.
4) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и
|

f(x,y)dxdy | 
D

| f(x,y)|dxdy.
D
Доказательство. Из свойств модуля следуюет, что
k(|f|) =sup||f(P)| –| f(Q)|| sup|f(P)– f(Q) |= k(f) .
Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных
сумм
|m(f)| m(|f|).
переходя к пределу при m получим требуемое неравенство.
5) Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.
Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)| M, |g(x,y)| M .
Выполнено соотношение
f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =
= f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)).
Откуда следует неравенство k(fg)  Mk(g) + Mk(f) и, следовательно, функция fg интегрируема.
6) Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.
11
Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точка, в которой f(P0)0.
Для заданного  >0 рассмотрим -окрестность U точки P0. Если характеристика разбиения
()<  , то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка
| (, f , ) || f ( P0 ) | U  | f ( P0 ) | 2 .
Это следует из того, что все отличные от нуля слагаемые суммы (, f , ) попадут в U .
Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также
интегрируема и
 f1 ( x, y)dxdy
D
=  f 2 ( x, y)dxdy .
D
Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).
Замечание. Можно доказать, что справедливо утверждение: Если f отлична от 0 лишь
в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.
7) Если f и g интегрируемы на D и f  g на D , то
 f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy.
D
D
Для сходящейся последовательности интегральных сумм выполнено неравенство m(f) m(g),
переходя к пределу в котором, получим неравенство для интегралов.
8) Если D = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено
 f ( x, y)dxdy  0.
D
В этом случае все слагаемые в любой интегральной сумме будут равны нулю.
2. Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.
Теорема 1. Если для интегрируемой функции f(x,y) справедливы неравенства m  f(x,y)  M на
D, то существует c[m, M]:
 f ( x, y)dxdy = c D.
D
Доказательство. Для случая D=0 утверждение справедливо для любого числа c согласно
свойству 8). Пусть D0. Тогда

m D = m dxdy 
D
 f ( x, y)dxdy   M dxdy = M D.
D
D
Откуда
m
 f ( x, y)dxdy
D
D
 M и c=

f ( x, y )dxdy
D
D
.
Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то D:
 f ( x, y) dxdy = f()D.
D
Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1D2 (разбиение произведено некоторой линией),
то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и
12
 f ( x, y) dxdy =  f ( x, y) dxdy +  f ( x, y) dxdy .
D1
D
D2
Доказательство. Докажем сначала, что функция будет интегрируема на D1. Возьмем
произвольное   0 . Для него существует   0 такое, что при ()   будет выполнено неравенство
S(f,) – s(f,)<  . Покажем, что для любого разбинения 1 области D1, удовлетворяющего условию
 ( 1 )   также будет выполнено неравенство S(f,1) – s(f,1)<  . Пусть 1 - разбиение D1 с
характеристикой  (1 )   . Дополним это разбиение до разбиения  всего D так, чтобы
характеристика разбиения не изменилась () = (1) . В этом случае S(f,1) –s(f,1)  S(f,) – s(f,) ,
откуда следует неравенство S(f,1) – s(f,1)<  . Таким образом, интегрируемость на D1 доказана.
Аналогично доказывается интегрируемость функции на области D2 . Если существование интегралов
доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать последовательность
разбиений m1 , m2 областей D1 , D2 со стремящимися к нулю характеристиками и наборами
произвольными наборами промежуточных точек 1m 1m , m2  m2 . Таким образом, получим две
сходящиеся последовательности интегральных сумм ( f, m1 , 1m ), ( f, m2 ,  m2 ) для D1 и D2 . Для
объединения разбиений
m = m1 + m2
и m  1m  m2 тоже получим сходящуюся
последовательность интегральных сумм ( f,m,  m). Для этих сумм имеет место соотношение
( f,m,  m) = ( f, m1 , 1m )+ ( f, m2 ,  m2 ).
Переходя к пределу в этом равенстве при m   , получим требуемое соотношение между
интегралами.
Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция
 f ( M ), M  D
F (M )  
интегрируема на P и
 0, M  P \ D
 F ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dxdy .
P
D
Доказательство. Следует из свойства аддитивности по множеству. Так как функция
интегрируема на D, то она ограничена |f| M. Пусть 0 >0. Так как область D квадрируема, то
существует окрестность U (открытое множество) ее границы D c площадью (U) < 0 , D U .
Можно показать, что существует  раздутие границы D , лежащее внутри U. Это  раздутие границы
D , представляющее собой объединение  окрестностей всех точек границы, обозначим через U .
Так как функция интегрируема на D, то существует  такое, что
S(f,D) - s(f,D) < 0 при (D)<,
(1)
где D – разбиение области D. Пусть разбиение P области P выбрано с характеристикой
 ( P )  min(, ) . Разобьем разность сумм Дарбу на три суммы
S(F,P)-s(F,P)=  k ( F )Pk = + +.
В первой сумме  суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества
разбиения Pk пересекаются с границей D. Ко второй сумме  относятся слагаемые, для которых Pk
содержатся в D, за исключением слагаемых, попавших в первую сумму. В третьей сумме 
содержаться все остальные слагаемые. Отметим, что в третью сумму попадают только слагаемые,
равные нулю. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.
 < 0 в силу (1).
 = 0, так как в области, где проходит суммирование F=0.
 < 2MPk <2M(U) < 2M 0.
Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости для функции F на P.
13
Для
доказательства
равенства
 F ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dxdy
P
следует
выбрать
сходящиеся
D
последовательности интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила
граница области D, а промежуточные точки выбирать внутренними для каждой из подобластей
разбиения. В этом случае для областей разбиения Pk, не попадающих в D , будет выполнено условие
F(Mk)=0 , соответствующие слагаемые F(Mk)Pk будут равны нулю и интегральная сумма по
множеству P совпадет с интегральной суммой по множеству D
( F , mP , mP )  ( f ,  mD , mD ) .
Теорема (Неравенство Коши-Буняковского).
Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство
 f ( P) g ( P)dP   f
D
2
( P)dP
D
g
2
( P)dP .
D
Доказательство.



2
0   f  g  dP   f 2  2fg   2 g 2 dP = f dP +2 
2
D
D
 fgdP    g
2
D
D
2
dP.
D
2


Так как это справедливо для любых , то   fgdP  -  f 2 dP  g 2 dP  0, откуда и следует
D
D
 D
требуемое неравенство.
§6. Вычисление двойных интегралов
1. Интегрирование по прямоугольнику
Рассмотрим прямоугольник D=[a,b][c,d]={(x,y):a  x  b, c  y  d }.
d
Теорема. Если f интегрируема на D и для x существует
 f ( x, y)dy  J ( x) ), то существует
c
b

d

  f ( x, y)dy dx
a
c
и выполнено равенство
d

a c f ( x, y)dy dx  f ( x, y)dxdy
=D
.
b
b
d
d

Интеграл    f ( x, y )dy dx принято обозначать  dx  f ( x, y )dy и называть повторным в
a
c
a c

отличие от интеграла  f ( x, y)dxdy , который называется двойным.
b
D
Доказательство. Для заданных разбиений x={a=x0<…<xn=b}, y={c=y0<…<ym=d}
рассмотрим разбиение  ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1] [yj, yj+1],введем обозначения
mij  inf
( x , y )Dij
f ( x, y ), M ij  sup f ( x, y )
( x , y )Dij
14
, ={(i, j)}, i[xi, xi+1], j[yj, yj+1],
xi=xi+1 – xi, yj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства
mij  f(x,y)  Mij для (x,y)Dij
mij y j 
y j 1

(1)
f (i , y )dy  M ij y j
yj
(2)
m 1
d
m 1
j 0
c
j 0
 mij y j   f (i , y)dy   M ij y j .
(3)
Умножая неравенства (3) на xi и суммируя, получим
n 1 m 1
n 1
d
n 1 m 1
i 0 j 0
i 0
c
i 0 j 0
 mij xi y j   xi  f (i , y )dy  M ij xi y j .
При ()0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу
средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла
следует требуемое утверждение.
b
d
a
c
 f ( x, y)dxdy
D
 dx  f ( x, y)dy
,
, откуда и
Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.
b
Если f интегрируема на D и для y существует
 f ( x, y)dx  I ( y ) ,
то существует и
a
b

c  a f ( x, y)dx dy
и выполнено равенство
d
b

c a f ( x, y)dx dy  D f ( x, y)dxdy.
d
b

Интеграл    f ( x, y)dx  dy обозначается
c a

d
15
d
b
c
a
 dy  f ( x, y)dx и называется повторным.
Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для y
b
существует

a
d
f ( x, y )dx  I ( y ) , x существует  f ( x, y )dy  J ( x) , то существуют интегралы
c




f
(
x
,
y
)
dx
dy
,
f
(
x
,
y
)
dy



dx
c a

 a c
 , и выполнено равенство
d
b
b
d
d
b
b
d
c
a
a
c
 dy  f ( x, y)dx   dx  f ( x, y)dy   f ( x, y)dxdy.
D
2. Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию
Рассмотрим область D={(x,y): y1(x)  y  y2(x), x[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции
на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида
D  {( x, y) : x1 ( y)  x  x2 ( y), y [c, d ]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d]
называются областями типа B .
Область типа A
Область типа B
 f ( x, y)dxdy
Теорема. Если для области типа A существуют
y2 (x)

y1 (x)
b
D
y2 (x)
a
y1 (x)
f ( x, y )dy , то существует повторный интеграл  dy
b
y2 ( x )
a
y1 ( x )
 dx 

и для x[a,b] существует
f ( x, y )dy и
f ( x, y )dy   f ( x, y )dxdy
D
.
Доказательство. Пусть D={(x,y): y1(x)  y  y2(x), x[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные
функции на [a,b]. Рассмотрим функцию
 f ( x, y ),( x, y )  D
,
f *(x,y) = 
 0,( x, y )  R \ D
где R=[a,b][c,d] прямоугольник, содержащий область D.
16
По теореме 3 из параграфа 5 функция f *( x, y) интегрируема на R и выполнено равенство
 f ( x, y)dxdy   f *( x, y)dxdy . Для функции
D
f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому
R
b
d
a
c
 f *( x, y)dxdy   dx  f * ( x, y)dy .
R
b
d
b
y2 (x)
a
c
a
y1 (x)
Далее,  dx  f *( x, y )dy =  dy

f ( x, y )dy .
На рисунке показано сечение поверхности z  f ( x, y ) плоскостью, проходящей через точку x,
параллельно координатной плоскости yOz.
Откуда и следует требуемое утверждение. Аналогично доказывается
Теорема. Если для области типа B существуют
 f ( x, y)dxdy
и y[c,d] существует
D
x2 ( y )

d
x2 ( y )
c
x1 ( y )
f ( x, y )dx , то существует  dy
x1 ( y )

f ( x, y )dx и
d
x2 ( y )
c
x1 ( y )
 dy

f ( x, y )dx   f ( x, y )dxdy
D
.
Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле
 f ( x, y)dxdy
D
порядке.
1. D={(x,y):0  x  1, x2 y 1+(x-1)2}

D
1
1 ( x 1) 2
0
x2
f ( x, y )dxdy   dx

1
f ( x, y )dy   dy
0
y

0

x
2. D={(x,y):0  x  1, x -1 y cos( 2 ).
2
17
2
1 y 1
1
0
f ( x, y )dx   dy

f ( x , y )dx.
в том и другом
§7. Замена переменных в двойном интеграле
1. Отображение плоских областей. Криволинейные координаты
Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой
плоскости, плоскость переменных ,  и область  в этой плоскости
Пусть имеется взаимно однозначное отображение области D на 
  ( x , y ) 
 ( x, y )  D
  ( x, y ) 
(1)
x  x(, ) 
 (, )  
y  y (, ) 
(2)
Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих
отображений отличны от нуля
D(, )
D( x, y)
 0,
 0.
D( x, y)
D(, )
Отметим, что
D(, ) D( x, y)
 1.
D( x, y) D(, )
В области  рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривую
  (t ) 
 , t  [, ].
  (t ) 
Ее образ в D имеет параметризацию
x  x((t ), (t )) 
 , t  [  , ]
y  y ((t ), (t )) 
и будет также кусочно-гладкой кривой. Действительно,
18
x
x 
 '  ' 

 

y
y
y '   '  '

 
x' 
(3)
Если (,)(0,0), то и (x,y)(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не
вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что
противоречит условию (,)(0,0).
x  x(, 0 ) 
x  x(0 , ) 
Определение. Кривая, составленная из точек области D вида
 или

y  y(, 0 ) 
y  y(0 , ) 
называется координатной линией.
Неявное задание этой линии имеет вид (x,y)=0 (соответственно (x,y)=0).
Определение. Числа 0 , 0 из области  плоскости ( , ) определяющие положение точки
( x0 , y0 ) из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x ,y ).
0
0
Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (0 , 0).
Фиксируя значения  или  на плоскости ( ,) можно получить два семейства координатных
линий. В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях
две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит
по одной линии из каждого семейства
2. Изменение площади при отображениях
Пусть дано отображение
  ( x, y ) 
x  x(, ) 
 ,( x, y )  D и его обратное
 ,(, )  ,
  ( x, y ) 
y  y (, ) 
удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями =const, =const
плоскости ,  .
19
Рассмотрим прямоугольник [,  +]  [,  +] в плоскости ,  и его образ в плоскости x, y.
Обозначим для краткости x=x(,), y=y(,), тогда
x( + ,)= x 
x
  o(),

y( + ,)= y 
y
  o().

x( , +)= x 
x
  o(),

y( , +)= y 
y
  o().

x( + ,  +)= x 
x
x
y
y
 
  o(), y( + ,  +)= y   
  o().




Для вычисления площади фигуры с вершинами
A(x,y), B(x( + ,), y( + ,)), C(x( + ,  +), y( + ,  +)), E( x( , +), y( , +))
рассмотрим параллелограмм A=A, B, C, E с координатами вершин



x
y 
x
x
y
y
, y   
  ,
A=A=(x,y), B '   x  , y    , C '   x   

 



 




x
y
E'x 
, y 
  . Этот параллелограмм построен на векторах AB, AE,

 

 x

 x
y
y 
a=AB =  ,   , b=AE =  ,   .
 
 
 
 
Поэтому его площадь равна
x
y




D ( x, y )
.
(A,B,C,E)=[a,b]=
=
D (, )
x
y




20
Вершины A, B, C, E отличаются от вершин A,B,C,E на o(). Можно показать, что в этом
случае площади будут отличаться на o(2)
(A,B,C,E)=
D ( x, y )
  o(2 ).
D (, )
Используя это равенство, доказывается, что площадь области D будет равна
D=
 dxdy
D

=

D ( x, y )
d d 
D(, )
(4)
Докажем последнее равенство для случая, когда область 
[,][,]
.
Рассмотрим
разбиения
отрезков
[,]
с


 x  {i }, i   
i,  y  {i }, i   
i.
n
n
В этом случае
представляет собой квадрат
равноотстоящими
узлами
i=i+1 - i = ( - )/n , j=j+1 - j = ( - )/n , = i2  i2 =( - )/n.
Тогда площадь области D будет равна
D=
n 1

i , j 0
D ( x, y )
D(, )
i  j 
( i ,  j )
n 1
 o(
i , j 0
1
).
n2
.
Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n , откуда и
следует равенство (4).
Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а
выражение dd - элементом площади в плоскости , .
dxdy =
D ( x, y )
dd.
D ( , )
Из (4) по теореме о среднем можно записать D= D 
D ( x, y )
D (, )
. . Таким образом, в любой
(  ',  ')
точке области M0=(0 ,0 ,0 )
D ( x, y )
D(, )
V
.
 M 0 
= lim
( 0 ,0 )
Таким образом, модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном
отображении.
3. Примеры отображений
21
Экспонента
u  e x cos y 
 ( x, y) , =[-3,1][0,]
v  e x sin y 
1
x 
 x  2

2
x  y 2 
Функция Жуковского
( x, y )   ,= [0,][0.25,0.9] (в полярных
1
y 

v   y  2
2
x  y 2 
u
кординатах)
Дробно линейное отображение
x 
x  y 2 
( x, y )   ,= [0.25,1][0,1].
y 

v 1 2
x  y 2 
u 1
2
4. Замена переменных в двойном интеграле
22
Рассмотрим отображение
  ( x, y ) 
x  x(, ) 
 ( x, y )  D и его обратное
 (, )   ,
  ( x, y ) 
y  y (, ) 
непрерывно-дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D.
Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(, )=f(x(, ),y(, ))
интегрируема на  .
Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области  и наоборот. Эти
разбиения будем обозначать D={Dk} , ={k}. Здесь Dk и k – подобласти, переходящие друг в
друга при заданном отображении .
Для разбиений D={Dk} , ={k} колебания функций F, f будут равны между собой
sup f ( x( M ), y( M ))  f ( x( N ), y( N ))
sup
f (M ' )  f ( N ' )
k(F)= M , N  k
= M ', N 'Dk
=k(f).
В дополнение к этому следует добавить, что стремление характеристики разбиения для одного
из разбиений D={Dk} , ={k}влечет стремление к нулю характеристики другого разбиения.
Например, расстояние ( M , N ) можно оценить через (M ', N ').
( M , N )  [( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )]2  [( x1 , y1 )  ( x2 , y2 ]2 .
Сделаем оценку для разности первых координат, используя теорему Лагранжа и неравенство
Коши-Буняковского


| ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 ) |
x  y 
x
y
 k   d d 

k
Далее
= Dk
выполнены соотношения
S(F, )-s(F, )=



x
y
2
D(, )
dxdy  CDk
D ( x, y )
2
x  y  C  M ', N ' 
=
2
, поэтому между разностями сумм Дарбу будут
 k ( F )k  k ( f )k
k
2
k
С
 k ( f )Dk
k
=C(S(f,D)-s(f, D)).
Откуда и следует интегрируемость функции F(, ) на .
Теорема. Пусть функция f интегрируема в D, тогда
D ( x, y )
 f ( x, y)dxdy =  f [ x(, ), y(, )] D(, ) d d  .

D
Доказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некоторое
разбиение области  на подобласти i и соответствующее ему разбиение области D на множества Di.
Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (i , i ), для которой
23
Di =
D ( x, y )
D ( x, y )
 dxdy =  D(, ) d d  = D(, )
i
Di
i .
( i ,i )
Для этих точек (j,j ) и соответствующих им точек (xj,yj ) можно выписать интегральные
суммы
 f ( x j , y j )D j   f [ x( j ,  j ), y ( j ,  j )]
j
j
D ( x, y )
D(, )
 j .
(  j , j )
При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства
будут сходиться к интегралам
 f ( x, y)dxdy ,
D
D ( x, y )
 f [ x(, ), y (, )] D(, ) d d  ,

соответственно.

D
Пример 1. Рассмотреть область D={[,],r[r1,r2]} и сделать замену в интеграле
x  r cos 
f ( x, y)dxdy , используя полярные координаты:
 ,  [1 , 2 ], r  [ r1 , r2 ] .
y  r sin  
Для
полярных
координат
якобиан
отображения
равен
D ( x, y )  r sin  cos 

 r ,
r cos  sin 
D(, r )
D ( x, y )
 r . Поэтому, для областей указанного типа получим:
D (, r )

D
2
r2
r2
2
1
r1
r1
1
f ( x, y)dxdy =  d   f (r cos ,r sin )rdr =  rdr  f (r cos ,r sin )d  .
Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле
 f ( x, y)dxdy для области
D
D={|x|+|y| 1}.
24
Якобиан отображения
1 1
D(u, v)
D ( x, y ) 1

 2 . Нужный нам якобиан равен
 .
D(u, v) 2
D( x, y)  1 1
Поэтому
 f ( x, y)dxdy  

D
1
u v u v1
u v u v
,
f
,
dv .
 dudv =  du  f 
2 1 1  2
2 
2 2
 2
1
1
Пример 3. Сделать замену переменных x=u cos4v, y= u sin4v в интеграле
 f ( x, y)dxdy для
D
x  y  a.
области D, ограниченной кривыми x=0, y=0,
Областью  здесь является прямоугольник (u, v) [0,1]  [0,  / 2] . Якобиан отображения будет
равен:
D( x, y) cos 4 v  4u cos3 v sin v

 4u sin 3 v cos5 v  4u cos3 v sin 5 v = 4u sin 3 v cos 3 v .
D(u, v) sin 4 v 4u sin 3 v cos v
Поэтому


D
f ( x, y)dxdy = 4 udu  f u cos 4 v, u sin 4 v sin 3 v cos3 vdv .
1
2
0
0
Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –го
координатных углов и кривой (x3+y3)2=x2+y2.
Перейдем к полярным координатам
указанной области будет равна: D=
r6(cos3+sin3)2=r2, r 
3

4
 dxdy =  d 


4
D
25
1
cos3  sin 3 

0
rdr =
1
cos3   sin 3 
. Тогда площадь
3

4
3

4
3

4
1
d
d
=
=


2   sin(  )(2  sin 2)
 (cos   sin )(1  cos  sin )


4
4
4
4
3
3



d cos(  )
1 4
d
1 4
4

=
=






2   sin 2 (  )(2  cos(2(   )))
2   sin(  )(2  cos(2(  )))
4
4
4
4
4
4
3


1
d cos(  )
1
du
1 4
4
=
.



2
2
2   (1  cos 2 (   ))(1  2cos 2 (   ))
2 1 (1  u )(1  2u )
4
4
4

1
2
d
1
=
3
2
 cos   sin 

3


Последний интеграл расходится.
Глава 2.
Кратные интегралы. Продолжение
§1. Тройные и n-кратные интегралы
1. Определение тройного и n-кратного интеграла
Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать D , функция f(M)=f(x,y,z) определена и
ограничена в области D. Предположим, что D разбита кусочно-гладкими поверхностями на
кубируемые подобласти Dk (совокупность таких областей {Dk} называется разбиением области D и
обозначается ={Dk}). В каждой из подобластей Dk выберем точку Mk=(k,k,k)Dk. Полученный
набор точек обозначим  ={Mk}. Как и раньше условие Mk=(k,k,k)Dk кратко будем обозначать
  . Интегральной суммой для функции f, разбиения  , набора промежуточных точек 
называется выражение
( f , , )   f ( M k )Dk
k
Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина ()= max dDk называется
0 k  n
характеристикой разбиения . Здесь dDk  sup ( P, Q) – диаметр множества Dk .
P ,QDk
Определение. Предел интегральных сумм (f,, ) при ()0 (если он существует и не
зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от
функции f на D и обозначается
 f ( x, y, z)dxdydz =
D
Можно использовать обозначение
lim ( f , ,  ) .
 (  )0
 f ( x, y, z)dxdydz =  f (M )dM
использовать любую подходящую букву, например
(вместо M можно
D
D
 f ( x)dx ).
D
Более точно это определение выглядит следующим образом:
J>0>0:(()<, )|(f,, ) - J|<.
Понятие длины, площади, объема обобщается и на области n- мерного евклидова пространства.
В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере D. Для
измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение
этой области на измеримые множества {Dk} ( D  Dk , ( Di  D j )  0 при i  j ). В каждой из
k
подобластей выбираются промежуточные точки  =( 1k , k2 ,..., kn ) )Dk. Полученный набор точек
обозначим  ={k}. Интегральной суммой для набора f,  ,  называется выражение
k
26
( f , , )   f ( k )Dk ,
k
суммирование производится по всем областям разбиения. Величина ()= max dDk , где максимум
k
берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения . Как и раньше,
dDk  sup ( x, y ) – диаметр множества Dk , а точная верхняя грань берется по всевозможным точкам
x , yDk
x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .
Определение. Предел интегральных сумм (f,, ) при ()0 (если он существует и не зависит
от выбора разбиений и промежуточных точек) называется интегралом от функции f на D и
обозначается
 f ( x)dx =
D
lim ( f , ,  ) .
 (  )0
Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным
для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.
1)
 dx  D.
D
2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx =
D

f(x)dx +
D

g(x)dx.
D
3) Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и
 cf ( x)dx =c  f ( x)dx .
D
D
4) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и


D
D
| f ( x)dx |  | f ( x) | dx .
5) Если f и g интегрируемы на D и f  g на D , то
 f ( x)dx   g ( x)dx .
D
D
6) Если m  f(x)  M на D, то  c[m,M] :
 f ( x)dx = c D.
D
Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то D:
 f ( x)dx
= f()D.
D
7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.
8) Если D = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.
D
9) Свойство аддитивности по множеству. Если фунция интегрируема на измеримом множестве D и
D  D1  D2 ,   D1  D2   , где D1 , D2 измеримы, то
27

f ( x)dx 
D
Следствие.
Если
D1 , D2 , D1  D2


f ( x)dx 
D1
f ( x)dx.
D2
измеримы
и
функция
f ( x) интегрируема
на
D1,
а
 f ( x), x  D1
f * ( x)  
, то f *( x) интегрируема на D2 и имеет место равенство
0, x  D2 / D1

f * ( x) dx 
D2

f ( x) dx.
D1
2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда
Пусть V – прямоугольный параллелепипед : [a,b] [c,d]  [g,h] и функция f(x,y,z) определена на
V. Обозначим через D прямоугольник [c,d]  [g,h].
 f ( x, y, z)dxdydz
Теорема. Если существует
и для любого x[a,b] существует
V
b
 f ( x, y, z)dydz , то существует интеграл  dx f ( x, y, z)dydz и имеет место равенство
D
a
D
b
 dx f ( x, y, z)dydz =  f ( x, y, z)dxdydz .
a
V
D
b
 
(здесь и в дальнейшем используются обозначения dx
a
D
b


f ( x, y, z )dydz =    f ( x, y, z )dydz dx )
a D

Доказательство. Рассмотрим разбиение  области V :
={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.
Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1][yj,yj+1][zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1,z=0,…,l1. Точку (x,y,z) будем обозначать X. Положим mijk= inf f ( X ) , Mijk= sup f ( X ) . Тогда для XVijk
X Vijk
X Vijk
справедливы неравенства mijk f(X)  Mijk . Для набора промежуточных точек { i },  i  [xi,xi+1] будет
выполнено
mijk yj zk   f (i , y, z )dydz  Mijk yj zk ,
D jk
m 1 l 1

mijk yj zk 
j 0 k 0

f (i , y, z )dydz 
m 1 l 1

Mijk yj zk .
j 0 k 0
D
Домножая последние неравенства на xi и суммируя, получим
n 1 m 1 l 1

i 0 j 0 k 0
mijk xi yj zk 
n 1
 xi
i 0
28

D
f (i , y, z )dydz 
n 1 m 1 l 1

i 0 j 0 k 0
Mijk xi yj zk .
b
Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла
 dx f ( x, y, z)dydz , крайние суммы
a
являются суммами Дарбу для интеграла
 f ( x, y, z)dxdydz ,
D
поэтому при неограниченном
V
измельчении разбиения эти суммы будут сходиться к соответствующим интегралам, откуда и следует
требуемое утверждение.
Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом,
при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида
b
 dx  f ( x, y, z )dydz =  f ( x, y, z)dxdydz ,
a
V
Dx
d
 dy  f ( x, y, z )dxdz =  f ( x, y, z )dxdydz ,
c
Dy
V
h
 dz  f ( x, y, z)dxdy =  f ( x, y, z)dxdydz .
g
V
Dz
Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0,
соответственно.
В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для
первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом
b
d
h
a
c
g
b
h
d
a
g
c
 dx  dy  f ( x, y, z)dz =  f ( x, y, z)dxdydz ,
V
 dx  dz  f ( x, y, z)dy =  f ( x, y, z)dxdydz .
V
b
d
h
a
c
g
b
dh
a
cg




(используются обозначения dx dy f ( x, y, z )dz =   f ( x, y, z )dz dy dx ).

  


Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три
равенства
h
 dxdy f ( x, y, z )dz =  f ( x, y, z )dxdydz ,
D xy
g
V
d
 dzdx  f ( x, y, z )dy =  f ( x, y, z)dxdydz ,
D zx
V
c
b
 dydz  f ( x, y, z )dx = V f ( x, y, z)dxdydz.
D yz
a
Здесь Dxy =Dz =[a,b] [c,d], Dzx=Dy =[g,h]  [a,b] , Dyz =Dx = [c,d]  [g,h].
3.
Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида
Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость, параллельная
координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x. Для x  [a,b] обозначим через Dx сечение
области V плоскостью Lx : Dx =V Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x  [a,b].
При этих предположениях справедлива
29
Теорема. Если существует
 f ( x, y, z)dxdydz и для x[a,b] существует интеграл
V
I(x)=

Dx
b
f ( x, y, z )dydz , то существует и  dx  f ( x, y, z )dydz и
a
Dx
b
 dx  f ( x, y, z)dydz =  f ( x, y, z)dxdydz .
a
V
Dx
Доказательство. Обозначим через R=[a,b] [c,d]  [g,h] прямоугольный параллелепипед,
содержащий область V и определим на R функцию
 f ( M ), M  V
.
 0, M  R \ V
f*(M)= 
Тогда

b
f * ( x, y, z )dxdydz =  dx  f * ( x, y, z )dydz , Rx= [c,d] [g,h].
a
R
Rx
Для левого и правого интегралов справедливы равенства
 f
*
( x, y, z )dxdydz =  f * ( x, y, z )dxdydz +  f * ( x, y, z )dxdydz =  f ( x, y, z )dxdydz .
V
R
b
b
 dx  f
a
Rx
R \V
*
V
b
( x, y, z )dydz =  dx  f ( x, y, z )dydz =  dx  f ( x, y, z )dydz .
*
a
Dx
a
Dx
Замечание. Сечение Dx = V Lx может быть задано в виде
Dx = {(y,z): y1(x)  y  y2(x) , z1(x,y)  z  z2(x,y)}.
30
В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим
образом:

b
 dx
f ( x, y, z )dxdydz =
a
V
y2 ( x)

z2 ( x, y )

dy
y1 ( x )
f ( x, y, z )dz =
z1 ( x , y )
 dxdy
D
z2 ( x, y )
 f ( x, y, z )dz .
z1 ( x , y )
D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде
D = {(x,y):a  x  b, y1(x)  y  y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить
другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.
4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле
Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с
якобианом, отличным от нуля
x  x(, ,  ) 

y  y (, ,  )  , (, ,  ) 
z  z (, ,  ) 
из области  в область V, где области  и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива
формула (без доказательства)
V=


D ( x, y , z )
d d d
D(, , 
(1)
Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что
 dx dy dz
=V =


V
D ( x, y , z )
D ( x, y , z )
d d d =
D(, , 
D(, , )
.
(  ,,  )
Откуда получим, что в любой точке области M0=(0 ,0 ,0 )
D ( x, y , z )
D(, ,  )
V
.
 M 0 
= lim
( 0 ,0 , 0 )
Теорема ( замена переменных ). Если f интегрируема на V, то
 f ( x, y, z) dx dy dz
V
=
 f [ x(, , ), y(, , ), z(, , )]

31
D ( x, y , z )
d d d .
D(, , 
Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции
F(,,)=f[x(,,),y(,,),z(,,)] на  доказывается так же, как и в случае двойного интеграла.
Выберем какое-либо разбиение {j} области  и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение
области V. Согласно формуле (1)
Vj =

j
D ( x, y , z )
D(x, y,z)
d d d =
D (, ,  )
D( ,, )
 j.
(  j , j , j )
Полученные таким образом точки  j = (j , j , j) будем рассматривать как промежуточные
точки для интегральных сумм функции F(,,) и разбиения {j}, а соответствующие точки
X j  ( x j , y j , z j ) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае
D ( x, y , z )
 f ( X j )V j   f [ x( j ), y ( j ), x( j )] D(, , )
j
j
 j .
j
Из этого равенства следует требуемое утверждение.
Пример 1. Цилиндрические координаты. Вычислить интеграл

x 2  y 2 dx dy dz ,
V
x  r cos 
 D ( x, y , z )
r.
V:x +y =z , 0  z  1. y  r sin   ,
D (r , , h)

zh 
2
2
2
В этом случае область D можно описать неравенствами в цилиндрических координатах:
D = {(r,,h): 0  h  1 ,0    2 , 0  r  h} . Тогда для указанного в условии интеграла, по формуле
замены переменных, получим:

V
1
1 3
1
2
h

h
x 2  y 2 dx dy dz =  r 2 dr d  dh =  dh  r 2 dr d =  dh  d  r 2 dr = 2 dh = .
6
0 3
0
0
0
D
0
Dh
Пример 2. Сферические координаты. Вычислить интеграл A=
 xyzdx dy dz , по области V,
V
расположенной в первом октанте, внутри единичного шара: x  y  z 2  1,0  x,0  y,0  z . Для
сферических координат имеем:
2
2
x   cos  cos  
 cos  sin  cos  cos   sin  cos 
 D ( x, y , z )
=  cos  cos  cos  sin   sin  sin  =
y   cos  sin   ,
D(, , )

z   sin  
0
sin 
 cos 
  sin (2 sin  cos  sin 2   2 sin  cos  cos 2 )   cos ( cos 2  sin 2    cos 2  cos 2 ) =
  sin 2 sin  cos    cos  cos2   2 cos  .
32
Область x 2  y 2  z 2  1,0  x,0  y,0  z показана на рисунке справа. В левой части дана
геометрическая интерпретация сферических координат.
1
 /2

cos  sin d   cos3  sin d 
0
0
0
Поэтому A=  5 d 
Пример 3. В интеграле
 dx  dz  f ( x, y, z)dy
и
1
1 x
x y
0
0
0
 dx  dy  f ( x, y, z)dz


0
0
1  sin 2   2  cos 4   2 1
= 
.
 
 =
6 2  
4 
48
 /2
расставить пределы интегрирования в порядке
 dz  dx  f ( x, y, z )dy . Область, соответствующая пределам интегрирования
в исходном интеграле, показана на рисунке. На этом же рисунке даны обозначения, используемых
при решении сечений.
Обозначим область интегрирования W. Тогда исходный интеграл будет равен:
1
1
 f ( x, y, z)dxdydz   dx  f ( x, y, z)dydz  dz  f ( x, y, z)dxdy .
W
0
Далее, в двойных интегралах
Dx
0
Dz
 f ( x, y, z )dydz ,  f ( x, y, z )dxdy
Dx
можно расставить пределы
Dz
интегрирования в нужном порядке для указанных сечений ( трапеции).
x
1 x
1
1 x
 f ( x, y, z )dydz = 0 dz 0 f ( x, y, z)dy  x dz z xf ( x, y, z)dy .
Dx
33

Dz
z
1 x
0
zx
f ( x, y, z )dxdy =  dx
Пример 4. Заменить тройной интеграл

1
1 x
z
0
f ( x, y, z )dy   dx  f ( x, y, z )dy .
1
1
x y
0
0
0
 dx  dy  f ( z)dz
однократным интегралом.
Обозначения для сечений области, соответствующей интегралу, заданному в условии задачи, указаны
на рисунке.
1
1
x y
0
0
0
 dx  dy  f ( z)dz
1
1
2
2

 dxdy +  f ( z )dz  dxdy =  f ( z)D dz +  f ( z )D dz =
0
Dz
= f ( z )dz
z
1
Dz
0
z
1
2
1
 z2 
1
2
  f ( z ) 1   dz + f ( z ) 2  z  dz
2
2
0


1

5. Замена переменных в общем случае
Рассмотрим регулярное отображение
x1  x1 (u1 , u2 ,..., un ) 
x2  x2 (u1 , u2 ,..., un ) 

...

xn  xn (u1 , u2 ,..., un )
(кратко x=x(u))
из области  в область V. При измеримости областей  , V справедлива формула замены переменных
x
 f ( x)dx =  f [ x(u)] u du ,

V
существование интегралов предполагается.
Глава 3.
Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода
1. Определение, существование
Рассмотрим спрямляемую кривую  и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой
34
«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой
T={Tk} . На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка k=(k , k , k ), ={ k }, обозначим
длину дуги Tk Tk+1 через lk , длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим lk . Характеристикой
разбиения T назовем величину (T) = max lk . Составим интегральные суммы двух типов
(f,T,)=
n 1

k 0
(f,T,)=
n 1

k 0
f (  k ) l k .
(1)
f ( k )lk .
(2)
Определение 1. Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения (T), при
условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек,
называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается
( f , T , ) .
 f ( x, y, z )ds   (lim
T ) 0

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла
J>0>0:((T)<, T)|(f,T, ) - J|<.
Можно использовать второе эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм
суммы (2), где вместо длины хорды lk берется длина дуги lk .
Определение 2. Предел сумм (2) при стремлении к нулю характеристики разбиения (T), при
условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек,
называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается
( f , T , ),
 f ( x, y, z )ds   (lim
T ) 0

n 1
где ( f , T , )   f ( k )lk .
k 0
Доказательство эквивалентности этих определений для гладкой кривой будет дано позже.
Замечание 1. Если кривая  плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл
обозначается
 f ( x, y )ds .
Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы
координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и
сдвигов системы координат.
Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически
x  x(t ) 

y  y (t )  , t[, ].
z  z (t ) 
:
Теорема 1. Если кривая  гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек
35
(x 2+y 2+z 20)), функция f(x,y,z) непрерывна на  , тогда криволинейный интеграл
 f ( x, y, z )ds
существует и имеет место равенство

 f ( x, y, z )ds =  f [ x(t ), y(t ), z(t )]
x'2 (t )  y'2 (t )  z '2 (t )dt
(3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем
разбиение {tj } отрезка [, ] и соответствующие им точки на кривой Tj и промежуточные точки
k=(k , k ) на дугах Tk Tk+1 . Тогда
n 1
 f (
k 0
n 1
k
)lk =  f [ x(k ), y (k )] ( x(tk 1 )  x(tk )) 2  ( y (tk 1 )  y (tk )) 2 =
k 0
n 1
n 1
  f [ x(k ), y (k )] x '2 (k ')  y '2 (k '')tk =  f [ x(k ), y (k )] x '2 (k )  y '2 (k ) tk +
k 0
n 1
  f [ x(k ), y (k )]
k 0

k 0

x '2 (k ')  y '2 (k '')  x '2 (k )  y '2 (k ) tk .
Первое слагаемое в этом равенстве является интегральной суммой, сходящейся при
измельчении разбиения к нужному нам интегралу в правой части равенства (3). Вторую же сумму в
последнем равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения.
Действительно,
x '2 (k ')  y '2 (k '')  x '2 (k )  y '2 (k ) 

x '2 (k ')  y '2 (k '')  ( x '2 (k )  y '2 (k ))
x '2 (k ')  y '2 (k '')  x '2 (k )  y '2 (k )
x '2 (k ')  x '2 (k )  y '2 (k '')  y '2 (k ))
x '2 (k ')  y '2 (k '')  x '2 (k )  y '2 (k )
=
.
Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и следует воспользоваться
второй теоремой Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной
непрерывности функций x(t ), y(t ) . Таким образом, пределом сумм
n 1

k 0

 f [ x(t ), y (t ), z (t )]
f ( k )lk будет интеграл
x '2 (t )  y '2 (t )  z '2 (t ) dt .

Докажем эквивалентность двух определений криволинейного интеграла для случая
непрерывной функции двух переменных f(x,y). Для заданного разбиения {tj } отрезка [,]
промежуточные точки j выберем так, что
lk 
tk 1

x '2 (t )  y '2 (t )dt  x '2 (k )  y '2 (k )tk ,
tk
соответствующие точки на кривой  обозначим k=( x(k),y(k) ). Тогда
n 1

k 0
n 1
tk 1
k 0
tk
f ( k )lk =  f [ x(k ), y(k )] 
n 1
x '2 (t )  y '2 (t )dt =  f [ x( k ), y ( k )] x '2 ( k )  y '2 ( k ) tk .
k 0
Слева в этом равенстве стоит интегральная сумма для второго определения криволинейного

интеграла, а справа появилась интегральная сумма для интеграла
 f [ x(t ), y (t )]
x '2 (t )  y '2 (t )dt ,

откуда и следует требуемое утверждение. Если выбирать произвольные промежуточные точки
*k  ( x(*k ), y(*k )) , то
36
n 1

k 0
n 1
n 1
k 0
k 0
f (*k )lk =  f [ x(*k ), y (*k )] x '2 (k )  y '2 ( k ) tk 


n 1
  f [ x(*k ), y (*k )]  f [ x(k ), y (k )]
k 0
f [ x( k ), y( k )] x '2 ( k )  y '2 ( k ) tk 
x '2 ( k )  y '2 ( k )tk .
Вторая сумма в этом будет сходиться к нулю при измельчении развиения в силу равномерной
непрерывности функции f [x(t),y(t)].
Замечание. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения
{Ak} (порядок обхода кривой или выбор начала кривой A и конца кривой B называется ориентацией
кривой ). Точки A, B могут совпадать. В этом случае кривая называется замкнутой.
2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода
1)  (f  g )ds    fds   gds.



2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует
 f ds , то существуют  f ds и  f ds и справедлива формула
AC
AB
CB
 f ds =  f ds + 
3) Если существует
f ds.
CB
AC
AB
 fds , то существует и  f ds и выполнено неравенство  fds   f ds .
AB
AB
AB
AB
4) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При
поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.
Поясним последнее свойство на примере отображения ( поворот на угол  вокруг оси Oz).
x  u cos   v sin  

y  u sin   v cos  

zw

Если функция f(x,y,z) определена на  , то в системе координат (u, v, w) функция
F(u,v,w)=f(u cos  - v sin  , u sin  + v cos , w)
будет определена на образе  кривой  при заданном отображении. Свойство 4) означает равенство
интегралов
 f ( x, y, z )ds   F (u, v, w)ds .


Доказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой
кривой эти свойства следуют из соответствующих свойств обычного интеграла

 f [ x(t ), y (t ), z (t )]
x '2 (t )  y '2 (t )  z '2 (t ) dt .

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить
утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.
§2. Криволинейные интегралы 2-го рода
37
1. Определение, существование.
Рассмотрим кривую  с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T={Tk} разбиение кривой
 и ={k} , k=(k, k, k), набор промежуточных точек, каждая из которых k принадлежит дуге
Tk,Tk+1. Как обычно обозначаем xj=xj+1 – xj .
Для функции f(x,y,z), определенной на кривой , разбиения {Tk} и набора промежуточных точек
{k} образуем интегральные суммы
n 1

k 0
f ( k ) xk .
(1)
Предел сумм (1) при (T)0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек,
называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается
 f ( x, y, z)dx
(2)

Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода (T) = max lk.
Аналогично можно определить интегралы
 f ( x, y, z)dy ,

 f ( x, y, z )dz .

Замечание. Если началом кривой выбрать точку B, то все  xj меняют знак, поэтому
 f ( x, y, z)dy =   f ( x, y, z)dz .
BA
AB
Теорема 1. Пусть кривая  задана в параметрическом виде
x  x(t ) 

y  y (t ) , t[, ].
z  z (t ) 
(3)
Если кривая (3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на ,
то интеграл (2) существует и имеет место формула


f ( x, y, z )dx =
 f [ x(t ), y (t ), z (t )]x '(t )dt .

AB
Доказательство. Для разбиения T={Tk}={(x(tk), y(tk), z(tk)} и промежуточных точек
{k}={(x(k), y(k), z(k)} интегральные суммы можно представить в виде
n 1

k 0
n 1
n 1
k 0
k 0
f ( k )xk =  f ( x( k ), y ( k ), z ( k ))[ x(tk 1 )  x(tk )] 

f ( x( k ), y ( k ), z ( k )) x '(k )tk .
Последнюю сумму в этом равенстве можно записать, как сумму двух слагаемых
38
n 1

k 0
n 1
f ( x(k ), y (k ), z (k )) x '(k )tk +  f ( x(k ), y (k ), z (k ))[ x '(k )  x '(k )]tk .
k 0

Здесь первая сумма является интегральной суммой для интеграла
 f [ x(t ), y (t ), z (t )]x '(t )dt
и поэтому

будет к нему сходится при измельчении разбиения, а вторая может быть сделана меньше любого
наперед заданного  >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности
функции x' и ограниченности функции f ( x(t ), y(t ), z (t )).
Замечание. Если на кривой  задано векторное поле
V  V ( x, y, z )  ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )), то можно рассматривать интегралы вида

 P( x, y, z )dx +  Q( x, y, z)dy +  R( x, y, z )dz =  Pdx  Qdy  Rdz =  ( Px ' Qy ' Rz ')dt =









  (V , r ')dt =  (V , ds ) =  (V , ds ).

Здесь использовано обозначение r ' dt  ds . ds называют элементом длины дуги. Если V –

силовое поле, то интеграл  (V , ds ) можно интерпретировать, как работу поля V вдоль пути .

2.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов вида
 (V , ds ) , но они справедливы

 Pdx ,  Qdy ,  Rdz .
(кроме четвертого) и для интегралов


Через -- обозначается кривая,

отличающаяся от  направлением обхода. Кривую  будем предполагать кусочно-гладкой, а

составляющие векторного поля V  ( P, Q, R) - функции P,Q,R непрерывными на кривой.
Справедливы нижеследующие свойства интеграла второго рода:
1)
 (V , ds ) =   (V , ds ).

2)

 (V  W , ds ) =  (V , ds ) +  (W , ds ).



3) (Аддитивность по множеству) Если существует интеграл
 
 (V , ds )
и кривая AB разбита
AB
точкой C на два участка AC, CB , то
 
 
 
(
V
,
d
s
)
(
V
,
d
s
)
(
V
=
+

 , ds ) .

AC
AB
4) Если существует интеграл
CB
 
 (V , ds ) , то
AB
| V | ,
 (V , ds )  sup


где через  обозначена длина кривой  .
5)
(Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат)
При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.
39
Первое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла.
Свойства 2)-3) доказываются так же, как и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти
свойства следуют из свойств интегралов




f [ x(t ), y (t ), z (t )]x '(t )dt ,


f [ x(t ), y (t ), z (t )] y '(t )dt ,
 f [ x(t ), y (t ), z (t )]z '(t )dt .


Четвертое и пятое свойства будут доказаны в следующем пункте.
Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить
утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.
3. Связь с интегралом 1-го рода.
Рассмотрим кусочно-гладкую кривую 
x  x(t ) 

y  y (t ) , t[, ]
z  z (t ) 
и непрерывную функцию f(x,y,z) , определенную на . Выберем какое-либо разбиение
кривой

с
промежуточными
точками
  {Tk }  {( xk , yk , zk )}  {( x(tk ), y(tk ), z (tk ))}
  {k }  {( x(k ), y(k ), z(k ))}. В точке кривой T   x(t ), y (t ), z (t )  , соответствующей параметру t угол
между вектором касательной и осью Ox обозначим (T )  ( x(t ), y(t ), z(t )).
Косинус cos ( x(t ), y(t ), z (t )) будем кратко обозначать cos (t ) .
Имеем xk  x(tk 1 )  x(tk )  x '(k )tk . С другой стороны cos (k ) 
поэтому
xk  x '(k )tk  x '2 (k )  y '2 (k )  z '2 (k ) cos (k )tk .
k   x(k ), y(k ), z (k )  , для интегральных сумм
n 1

k 0
x '(k )
x '2 (k )  y '2 (k )  z '2 (k )
Тогда,

k 0
n 1
f ( k )xk   f ( k ) x '2 (k )  y '2 (k )  z '2 (k ) cos (k )tk 
k 0

n 1

k 0

n 1
f ( k ) x '2 (k )  y '2 (k )  z '2 (k ) cos (k ) tk 
  f ( k )  f ( k ) 
k 0
x '2 (k )  y '2 (k )  z '2 (k ) cos (k ) tk .
При измельчении разбиения первая сумма будет сходиться к интегралу
40
обозначая
f ( k ) xk можно записать следующую цепочку
равенств
n 1
,

 f  x(t ), y(t ), z(t ) cos  (t )) 
x '2 (t )  y '2 (t )  z '2 (t )dt   f ( x, y, z)cos ( x, y, z)ds,


так как последний интеграл существует. Вторая сумма будет стремиться к нулю в силу равномерной
непрерывности функции f ( x, y, z ) на заданной кривой. Таким образом,
 f ( x, y, z )dx =  f ( x, y, z)cos  ds .

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда,
в свою очередь, будет следовать равенство
 Pdx  Qdy  Rdz =  ( P cos   Q cos   R cos )ds ,

x '(t )
cos  
x ' (t )  y ' (t )  z ' (t )
2
(4)

2
2
y '(t )
, cos  
x ' (t )  y ' (t )  z ' (t )
2
2
2
, cos  
z '(t )
x ' (t )  y '2 (t )  z '2 (t )
2
.
Обозначим орт вектора касательной   (cos ,cos ,cos ) и введем понятие вектора элемента
длины дуги ds  ds . Это обозначение согласуется с ранее введенным обозначением . В этих
обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде  (V , ) ds , это интеграл первого рода.

Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать
 (V , ds ) . Таким

образом, формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом
 (V , ds ) =  (V , )ds .


Докажем четвертое свойство интеграла второго рода
| V |  . Используя свойство
 (V , ds )  sup


3 интеграла первого рода имеем
 (V , ds )   (V , )ds  sup (V , )  ds  sup (V , ) .




Пятое свойство (инвариантность относительно сдвигов и поворотов системы координат)
следует из одноименного свойства интегралов первого рода и формулы, связи интегралов первого и
второго рода  (V , ds ) =  (V , ) ds .


Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой.
Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положительным направлением обхода
называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.
4
2
2
2
 43

3
3
3
3

x

y
ds
Пример 1. Вычислить  
 , где  - дуга астроиды x  y  a .
 

41
Параметрическое уравнение астроиды
x  a cos3 t 
 , t [0, 2].
y  a sin 3 t 
4
4
 /2  4
 4

 2
4
4
2
2
4
2
3
3 sin 4 t
3
3
4
a
cos
t

a
x

y
ds
=



 a 9cos t sin t  a 9sin t cos tdt =



0 



7  /2
 12a 3

 cos
4

t  sin 4 t sin t cos t dt

7 2
= 12a 3
  cos
4

t  sin 4 t sin t cos tdt

7 2
= 12a 3 cos5 td

0
0

7 2
12a 3 sin 5 td sin t

0
Пример 2. Вычислить
7 0
71
1
0

5
=  12a 3  u 5 du + 12a 3 u du =
 x ds ,  - окружность x
2
Сделаем поворот системы координат на
угол   45 градусов вокруг оси Oz .
cos t +
0
2
7
7
7
12 3 12 3
a  a = 4a 3 .
6
6
 y 2  z 2  a 2 , x+y+z=0.
Это означает переход к новой системе
координат (u,v,w) по формулам:

(u  v) 


y
(u  v)  .
2


zw


x
1
2
1
(*)
Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов имеем
x

2
ds =
1
(u 2  2uv  v 2 )ds , где  - окружность, являющаяся пересечением сферы

2
u2+v2+w2=a2 (образ сферы x 2  y 2  z 2  a 2 при повороте (*)) и плоскости 2 u+w=0, являющейся
образом плоскости x+y+z=0 при том же повороте. Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от
одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго
42
переменного. Так как
 2
1 
3 
u
w  , то этого можно добиться, сделав еще один
3
3


2 u+w =
поворот
Обратное отображение
1

( 2u  w) 
3

1

q
(u  2 w)
3

rv


p
1

( 2 p  q) 
3

1

w
( p  2q )
3

vr


u
Это соответствует повороту вокруг оси Ov на угол , для которого cos  
1
2
, sin   
,
3
3
2
. В новых координатах p, q, r уравнение плоскости будет
3
1
2
qr  r 2 . Кривая
иметь вид p = 0 . Подынтегральная функция будет равна u 2  2uv  v 2  q 2 
3
3
другими словами на угол   arccos
лежит в плоскости p=0. Сфера x 2  y 2  z 2  a 2 перейдет в сферу того же радиуса p 2  q 2  r 2  a 2 .
Образом исходной окружности  будет окружность q 2  r 2  a 2 , p  0 . В качестве параметризации
воспользуемся полярными координатами
p0 

q  a cos t  , t  [0, 2].
r  a sin t 
Тогда для исходного интеграла можно записать цепочку преобразований:
1
 x ds = 2  (u
2
2
 2uv  v 2 )ds =

1 1 2 2

qr  r 2 ds =
 q 

2  3
3

2
1 1 2
2 2

a cos 2 t 
a sin t cos t  a 2 sin 2 t  a 2 sin 2 t  a 2 cos 2 tdt 


2 0 3
3

3 2
2 3
a  1  cos 2t sin 2t 1  cos 2t 
a3  1 1 



dt
2

=

  =  a .


2 0
6
2
2 6 2
3
3


Пример 3. Вычислить интеграл  xdy  ydx , где  представляет собой:

1) отрезок 1=OA, O=(0,0), A=(1,2).
2) парабола 2 ={y=2x2} , от O до A.
3) два отрезка 3 + 4 : по оси Ox и вертикально вверх до точки A.
43
В первом случае кривая имеет параметризацию:
1
xt 
, t  [0,1] ,  xdy  ydx =   2t  2t  dt  0,
y  2t 
0

во втором случае кривая параметризуется следующим образом:
1


  4t 2  2t 2 dt 
0
xt 
, t  [0,1] ,
y  2t 2 
 xdy  ydx =
2
.
3
§3. Формула Грина
1. Формула Грина
Рассмотрим область типа A (см. рис.) D={(x,y): y1(x) y  y2(x), x[a,b]}, где y1(x) y2(x), две
непрерывные функции на отрезке [a,b].
Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим . Эта граница
распадается на четыре участка 1 ,  2 ,  3 ,  4 . Пусть в области D задана функция P(x,y), непрерывная
1
там вместе со своей частной производной
P
. Тогда справедлива формула
y
P
 P( x, y)dx = -  y dxdy .

(1)
D
y ( x)
2
P
P
dy =  P( x, y2 ( x))  P( x, y1 ( x))dx =  P( x, y )dx dxdy =  dx 
Доказательство. 
y
y
a
y1 ( x )
D
EC
a
b
b
 P( x, y)dx =   P( x, y)dx   P( x, y)dx -  P( x, y)dx   P( x, y)dx =   P( x, y)dx .
AB
CE
EA
Здесь используются равенства
BC
AB

 P( x, y)dx =0,  P( x, y)dx =0, следующие непосредственно из
BC
EA
определения интеграла. Аналогично, можно показать, что для области типа B (см. рис. ).
44
Справедлива формула
Q
 Q( x, y)dy =  x dxdy .

(2)
D
Если область является одновременно областью и типа A и типа B ,

то из (1), (2) для поля V =(P,Q) получается формула
 Q
P 
 Pdx  Qdy    x  y dxdy

(3)
D
Формулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.
Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область
можно разбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых
формула (3) справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.
Для области, показанной на рисунке, можно сделать разрез, как показано на рисунке.
Область разбивается на две области D1 , D2 , для которых справедлива формула Грина.
Введем обозначения D1 =1+2 , D2 =3+4= , тогда D =1+4 . При этом
 +  =0. Тогда
2
45
3
 Q
P 
 Q P 
 Q P 
 Q P 

dxdy =  
 +  
 =  Pdx  Qdy +



x y 
x y  D2  x y   
D1  D2 
D1 
  x  y dxdy  
D

 3  4
1
2
Pdx  Qdy =  Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy =  Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy =
1
2
3
4
1
4
  Pdx  Qdy .

Пример 1. Вычислить

C
xdy  ydx
. Контур C ориентирован положительно. Рассмотреть два
x2  y 2
случая: контур не содержит начало координат, контур содержит начало координат.
Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производные
Q   x  x 2  y 2  2 x 2
y 2  x2

=
=
,
  2
x x  x  y 2 
( x 2  y 2 )2
( x 2  y 2 )2
P  
y 
x2  y 2  2 y 2
y 2  x2
=
= 2
,
 
y y  x 2  y 2 
( x 2  y 2 )2
( x  y 2 )2
Таким образом, в первом случае

C
 Q P 
xdy  ydx

=  
dxdy =0.
2
2
y 
x y
D  x
Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P,Q) имеет
особенность в начале координат, которая попадает в область интегрирования. Выберем круг с
центром в начале координат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D.
Границу этого круга, ориентированную положительно, обозначим Cr .
Произведем два разреза кусочно-гладкими кривыми, соединяющие какие либо две точки
границы контура C с какими либо точками окружности Cr . На рисунке в качестве разрезов выбраны
отрезки прямой и показаны обозначения для некоторых кривых, образовавшихся в результате этих
разрезов. Отметим, что C=C1+C8 , C r =C3+C6 , C2= C 7 , C4= C 5 .
Внутри контуров C1+ C2+ C3+ C4 и C5+ C6+ C7+ C8 особенностей нет и, как было доказано, с
Контур =C1+ C2+ C3+ C4+ C5+ C6+ C7+ C8 не содержит внутри себя ни каких особенностей
векторного поля (P,Q) и, поэтому к нему применима формула Грина
0=



C1  C 2  C 3  C 4
Таким образом.
C 5  C 6  C 7  C8

C
=

C1


C2


C3


C4


C5


C6


C7

 =
C8
C



C3
xdy  ydx
xdy  ydx 2  r cos t (r cos t )  r sin t (r sin t )

dt = 2 .
 2 2 =
x2  y 2
r2
Cr x  y
0
46
 =
C6
C


Cr
.
Пример 2. Вычислить

интеграл
(sin ye x  my )dx  (cos ye x  m)dy , где AmB – верхняя
AmB
полуокружность x2+y2=ax , начало - A(a,0), конец – B(0,0).
Q 
P 
Q P

cos ye x  m  cos ye x ,

sin ye x  my  cos ye x  m .

 m.
x x
y y
x y




Pdx  Qdy   Pdx  Qdy =
AmB
BA

AmB  BA
 Q P 
dxdy  m dxdy  mD =

x y 
D 
D
Pdx  Qdy    
m

Pdx  Qdy  m
AmB
AB- имеет параметризацию

a 2
.
8
a 2
a 2
  Pdx  Qdy m
  Pdx  Qdy.
8
8
BA
AB
x t 
 t  [0, a] .
y  0
Тогда
 Pdx  Qdy = m
AmB
Пример 3. Вычислить
 ( f ( y)e
x
a 2
8
a
 0dt = m
a
+
8
0
2
.
 my)dx  ( f ' ( y)e x  m)dy , где функция f(y) – непрерывно
AmB
дифференцированная на проекции кривой AmB (проекция на ось Oy), AmB – кривая, соединяющая
точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D.
Будем предполагать, что обход границы области AmB+BA происходит в положительном
направлении (область остается слева). Вычислим частные производные
P 
Q P
Q 

f ( y )e x  my  f ' ( y )e x  m .

 m.

f ' ( y )e x  m  f ' ( y )e x ,
x x
y y
x y



47


Pdx  Qdy   Pdx  Qdy =
AmB
BA

AmB  BA
 Q P 
dxdy  m dxdy  mD .

x y 
D 
D
Pdx  Qdy   
 Pdx  Qdy =mD   Pdx  Qdy = mD   Pdx  Qdy .
AmB
BA
AB- имеет параметризацию
AB
x  x0  x t 
 t  [0,1] , A=(x0,y0),B=(x1,y1), x=x1 - x0 , y=y1 - y0 .
y  y0  y t 
Тогда
1



 


 
x  x t
x  x t
 Pdx  Qdy =  f ( y0  y t )e 0  m( y0  y t ) x  f ' ( y0  y t )e 0  m y dt 
0
AB
  f ( y
1


Pdx  Qdy 
AB
0
 y t )e x0  x t  m( y0  y t ) x  f ' ( y0  y t )e x0  x t  m y dt 
0
  f ( y
1
 
x 0  x t
x dt 
0  y t )e
0
x  x t
  m( y0  y t )xdt    f ' ( y0  y t )e y dt 
1
1
0
0
0


y 

x  x t
0 mydt  0 f ( y0  y t )e 0 d ( x0  xt)  mx y0  2  
1
  f '( y
1
0
 y t )e
1
x0  x t
d ( y
0
0
 x0  x  u  y 0 
y
y  e  
0
y1
x1
u  x0 u 
y 


 y t )  my    f ( y0  y
)e du  mx y0 

2 
x


x0 
x1

df (u ) - my   f ( y  y u  x0 )eu du  m x y  y   y  
0
0




x
2 

 

x0 

u  y1
y1  x  x  u  y 0 
 x0  x  u  y 0 

0
 y 
e

 y 


f (u )
 e




 u  y0 y0 
x
y1
 x

x x0  y ( v  y 0 ) 


f (u )du =  f (v) e
dv 
 y


y
y


0

u  y1
 u  y0 
y1  x  x  u  y 0 

0
 y 
 
  x0  x  y 
y 



f (u )
 e
m x y0 
  y    e


2 
 
 
 u  y0 y0 
 mxy0  m
 x

f (u )du =
 y

xy
 my  e x1 f ( y1 )  e x0 f ( y0 ) .
2
 Pdx  Qdy = mD+  mxy
0
AmB
m
xy
 my  e x1 f ( y1 )  e x0 f ( y0 ) .
2
2. Использование формулы Грина для вычисления площадей.
Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых
Q P

 1 , то получится
x y
формула для вычисления площади области, ограниченной кривой .
 Q P 
dxdy   Pdx  Qdy .

x y 
D 

D   dxdy  
D
Можно предложить три варианта таких функций
48
1) Q=x, P=0 и тогда D   xdy .

2) Q=0, P=-y и тогда D    ydx.

3) Q=
x
y
1
, P=  и тогда D   xdy  ydx.
2
2
2
Пример 1. Вычислить площадь астроиды. Уравнение астроиды в полярных координатах
x  a cos3 t 
 t  [0,2 ]
y  b sin 3 t 
2
D   xdy 

2
2
3
3
2
4
2
2
2
0 a cos t 3 b sin t cos t dt = 3ab 0 cos t sin t dt = 4 ab 0 cos t sin 2t dt =
2
3
3
ab  (1  cos 2t ) ( 1- cos 4t) dt =  ab.
8
16 0
Пример 2. Вычислить площадь лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2 - y2).
Уравнение лемнискаты в полярных координатах: r  a cos 2 . Параметризация правой ветви
x  a cos 2 cos 

  
 ,    ,  . Поэтому
 4 4
x  a cos 2 sin  

D  2  xdy  2

 2a 2
 /4



1
a 2 cos 2 cos  
2sin 2  sin   cos 2 cos   d  

 2 cos 2

 /4


 /4

cos  sin 2 sin d   2a 2
 /4
 /4

cos 2  cos 2d   2a 2
 /4
 /4
1  cos 2 1  cos 4 


cos 2
 d 
2
4

 /4 


4
= 2a
2
1
  2 cos 2 

1  cos 4 1 cos 4 
 
d = a 2 .

4
4
4 
4
3. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.
49
Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное
множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.
Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей. Например, для области,
показанной на рисунке, произведем разрезы, соединяющие обе связные компоненты границы между
собой.
Можно выписать цепочку равенств
 Q
P 
 Q P 
 Q P 
 Q P 

dxdy =  
 +  
=



Pdx  Qdy +
x y 
x y  D2  x y   1   2   3   4
D1  D2 
D1 
  x  y dxdy  
D
 Pdx  Qdy = 
 5  6  7  8
+ + + + + +
1
2
3
4
6
5

7
+ = + + + =
8
1
3
6
8

 1  8
+

=
 3  6
 Pdx  Qdy .
D
Замкнутая кривая называется контуром. Криволинейный интеграл второго рода в этом
случае иногда обозначается  .
C
До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а
функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными
P Q
,
.
y x
Лемма. Для того, чтобы интеграл
 Pdx  Qdy
(4)
AB
(A, B – любые точки из D) не зависел от пути интегрирования (а только от начальной и
конечной точек A, B) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому
контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю
 Pdx  Qdy =0.
C
Интеграл
 Pdx  Qdy
называется циркуляцией векторного поля V=(P,Q) по контуру C.
C
Доказательство (необходимость). Пусть интеграл (4) не зависит от пути интегрирования.
Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B
на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых 2 (из A в B, как
на рисунке ) и 1 (тоже из A в B, но по другой ветви), C= 1 + 2 .
50
По условию

2

=  , кроме того
=
1
1

, поэтому
1

= +
2
C

=
1
 -
2
=0. Для
1
доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=2 , AB=1
соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= 1 + 2 . По условию   0 , откуда, с учетом
C
соотношения

C
= +
2

1
=
 -
2
, следует требуемое равенство
1

2
=  . В этом доказательстве
1
предполагается, что кривые 2 ,1 не пересекаются. Самостоятельно доказать это утверждение для
случая, показанного на рисунке ниже
Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в
D, необходимо и достаточно чтобы
Q P
в области D.

x y
(5)
Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет
 Q
P 
 Pdx  Qdy    x  y dxdy =0,

C
откуда по лемме следует требуемое утверждение.
Необходимость. По лемме для любого контура
0
. Тогда по формуле Грина для области ,
C
ограниченной
этим
контуром
 Q
P 
  x  y dxdy =0.

51
По
теореме
о
среднем
 Q
 Q P 


 
 x y  M
 Q P 
 Q P 
0   


 dxdy   
 или
y 
 x y  M 
  x
  x



пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке
P 
 dxdy
y 
 0.


Переходя
к
Q P

 0.
x y
Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в
D, необходимо и достаточно чтобы подынтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным
дифференциалом некоторой непрерывно дифференцируемой функции u(x,y) в области D
du = Pdx+Qdy.
Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда
(6)
u
Q P
u
и можно сослаться

 P,
Q,
x
x y
y
на теорему 1.
Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую
точку A0 в области D и определим функцию
u(A) = u(x,y)=
 Pdx  Qdy .
A0 A
В этом случае
u ( x  x, y )  u ( x, y ) 1
1 x x

Pdx

Qdy


 P(t , y)dt  P(, y),
x
x AB
x x
где [x,x+x] (или [x+x,x]). Таким образом, существует производная
проверяется, что
u
=P. Аналогично,
x
u
=Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывноy
дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.
Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.
Ранее был рассмотрен пример с интегралом
xdy  ydx
y 2  x2
Q P
,
где
=
=
. В случае,
 x2  y 2
x y ( x 2  y 2 ) 2
C
когда область содержит начало координат, полученная область является двусвязной, в частности,
интегралы по контурам, содержащим начало координат не равны нулю.
Замечание 2. При доказательстве теоремы 2 была построена функция u(x,y)=
 Pdx  Qdy .
A0 A
Эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной и называется потенциалом
(скалярным) векторного поля (P,Q).
52




Пример. Решить дифференциальное уравнение f ( y)e x  my dx  f ' ( y)e x  mx dy  0 .


Для поля V  ( P, Q ) = f ( y )e x  my, f ' ( y )e x  mx будет выполнено
В этом случае для функции
 Pdx  Qdy выполняется
u(x,y)=
P
Q
.
 f ' ( y )e x  m 
y
x
равенство du = Pdx+Qdy и,
A0 A
следовательно, u(x,y)=Const есть решение исходного дифференциального уравнения. Найдем
функцию u. Пусть M =(x, y) текущая точка области M0=(0,0). В качестве кривой, соединяющей точки
M0 и M , выберем отрезок
:
1
x t
 t  [0,1] ,
y t

 

1
u ( x, y )  u ( M )   Pdx  Qdy =  f ( yt )e xt  myt x  f ' ( yt )e xt  mxt y dt = x  f ( yt )e xt dt +

0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
y  f ' ( yt )e xt dt  mxy = x  f ( yt )e xt dt +  e xt df ( yt )  mxy = x  f ( yt )e xt dt +
1
[ f ( y )e x  f (0)]  x  f ( yt )e xt dt  mxy  f ( y )e x  f (0)  mxy.
0
Глава 4.
Поверхностные интегралы
§1. Поверхностные интегралы 1-го рода
1. Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x,y)
Будем предполагать, что функция z(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными
z z
z
z
производными
в области D. Обозначим эти производные p  , q  . Уравнение
,
x y
x
y
касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид Z – z = p (X – x) +q(Y – y) (здесь X, Y, Z – координаты


 N
текущей точки плоскости). Нормаль к этой плоскости N =(p, q, -1), единичная нормаль - n   .
N
Направляющие косинусы нормали равны

 
cos( n , i )
 
cos( n , j )
 
cos( n , k )
cos 
cos 
cos 
p
1 p  q
2
2

q
1 p  q
2
2

1
1  p2  q2
Возьмем какое-либо разбиение {Di} области D. Цилиндры с основаниями Di вырезают на
поверхности z=z(x,y) области  i = {(x,y,z): (x,y)Di , z = z(x,y)}.
53
На  k выберем промежуточную точку Mk(k ,k , k) , k = z(k ,k ). В этой точке построим
касательную плоскость. Цилиндр с основание Dk (направляющей служит граница области Dk , а
образующей линия, параллельная оси Oz) вырезает на этой плоскости фигуру Tk с некоторой
площадью Tk .
Известно (доказательство ниже), что
 
Dk = Tk |cos( n , k )|.
Таким образом
Tk  Dk 1  p 2 (k , k )  q 2 (k , k ).
За площадь поверхности z=z(x,y) принимается число
S  lim Tk  lim  1  p 2 (k , k )  q 2 (k , k )Dk   1  p 2 ( x, y)  q 2 ( x, y)dxdy 
0
0 k
D
=


N dxdy .
D
Поверхность в этом случае называется квадрируемой.
 
Докажем равенство Dk = Tk |cos( n , k )|. Рассмотрим цилиндр с основанием D, ограниченный
сверху плоскостью. При необходимости систему координат можно повернуть вокруг оси Oz, так, что
уравнение верхней крышки цилиндра не будет содержать y: z = ax=x tg  .
54
Площадь плоской области определялась на основании площади многоугольника, поэтому
 
равенство D = T |cos( n , k )| достаточно доказать для случая, когда T и D – треугольники. Можно
считать (разбив, при необходимости, треугольник на два), что основание треугольника D
параллельно оси Oy .
Треугольники T и D имеют общее основание, а соотношение между высотами
 
HD = HT |cos( n , k )| (=).
Замечание 1. Для поверхности y=y(x,z) , аналогично, получим формулу
2
2
 y   y 
S   1       dxdz.
 x   z 
Dy
2
 x   x 
Для x=x(y,z) будет S   1       dydz.
 y   z 
Dy
2
Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни в одном из видов
z=z(x,y), y=y(x,z), x=x(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных
типов.
2.
Вычисление площади поверхности, заданной параметрически
Параметрическим заданием поверхности называется задание следующего вида
x  x(u, v) 

Ф: y  y (u, v), (u, v)  D ,
z  z (u, v) 
x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции в D и якобианы
A=
D( y, z )
D( z , x)
D ( x, y )
, B=
, C=
,
D(u, v)
D (u , v)
D(u, v)
не обращаются в 0 одновременно (ни в одной точке области D). На поверхности можно рассмотреть
два семейства линий, фиксируя в параметрическом задании поверхности параметр u, а затем v:
55
x  x(u0 , v) 

y  y (u0 , v) ,
z  z (u0 , v) 
x  x(u, v0 ) 

y  y (u, v0 ) .
z  z (u, v0 ) 
Если радиус вектор в точку поверхности M(x,y,z) обозначить r  OM , то касательные к двум
линия этих семейств, проходящих через точку (x0,y0,z0) поверхности будут
ru 
r
r
и
,rv 
u
v
нормалью к поверхности будет вектор

i

 
x
N  ru , rv  
u
x
v

j
y
u
y
v

k
 y
z  u

u  y
z  v
v
z
u ,
z
v
z
u
z
v
x
u ,
x
v
x
u
x
v
y
u
y
v


 =(A,B,C).



Рассмотрим разбиение {Фk} поверхность Ф на части. Выберем промежуточные точки Mkk .
Через T обозначим касательную плоскость к поверхности в точке Mk , через Tk обозначим проекцию
Фk на касательную плоскость T в направлении нормали к этой плоскости.
Характеристикой () этого разбиения называется максимальный из диаметров Фk .
Площадью поверхности Ф называется предел сумм вида
 Tk
при стремлении к нулю
k
характеристики разбиения , при условии существования этого предела и независимости его от
выбора разбиения и выбора промежуточных точек.
Ф = lim  Tk .
0 k
Поверхность в этом случае называется квадрируемой.
Как и в случае явного задания, можно показать, что при сделанных предположениях
(непрерывно-дифференцируемые функции и не равные одновременно нулю якобианы) Ф будет
квадрируема и её площадь будет равна
Ф=

 N dudv = 
A2  B 2  C 2 dudv .
D
D
Если положить

 x   y   z 
 +  + 
 u   u   u 
2
2
2
2
E= ru = 
 x   y   z 
2
G= rv =   +   +  
 v   v   v 
2
2
2
 
F= ru , rv , то EG – F2 = EG – EG cos2 = EG sin2 = ru , rv  . Тогда
 
56
2
Ф=

EG  F 2 dudv .
D
Выражение EG  F 2 dudv = A2  B 2  C 2 dudv или 1  p 2  q 2 dxdy в случае явного
задания, называется элементом поверхности (точнее, площадью элемента поверхности).
3. Определение поверхностного интеграла 1-го рода
Пусть задана квадрируемая поверхность  и на ней функция f(x,y,z). Возьмем какое-либо
разбиение {k} поверхности , выберем промежуточные точки Mk k и составим суммы вида
   f ( M k ) k .
k
Определим характеристику разбиения (), как максимальный из диаметров k.
Поверхностным интегралом первого рода называется предел сумм  при стремлении к нулю
(), при условии, что он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек. Поверхностный
интеграл первого рода обозначается
 f ( x, y, z)dS .

4. Существование и вычисление интеграла 1-го рода
4.1. Поверхность  задана явно z = z(x,y), (x,y) D (компакт), где z(x,y) имеет в D непрерывные
частные производные первого порядка, функция f(x,y,z) определена и непрерывна на . Тогда
существует интеграл
f ( x, y, z )dS , равный


 f ( x, y, z)dS =  f x, y, z( x, y)

1  p 2  q 2 dxdy , p=
D
z
z
, q=
.
x
y
Доказательство. Пусть разбиению {Фk} соответствует разбиение {Dk} области D.
Промежуточным точкам {Mk}, Mk  Фk , соответствуют точки {Nk}, Nk  Dk . Обозначим
F(x,y)=f(x,y,z(x,y)). Для площадей  k получаем
k=

1  p 2  q 2 dxdy = 1  p 2  q 2
Pk
Dk
Dk .
Тогда интегральные суммы будут равны
 =  f (M k )k  F ( Nk ) 1  p 2  q 2
k
 F ( Pk )
k
k
1  p2  q2
Pk
Pk
Dk 
Dk   F ( N k )  F ( Pk ) 1  p 2  q 2
k
Первая из сумм является интегральной для
 f x, y, z( x, y)
Pk
Dk .
1  p 2  q 2 dxdy , вторая сумма
D
может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее
утверждение следует из равномерной непрерывности функции F(x,y)=f(x,y,z(x,y)) на D.
4.2. Поверхность задана параметрически
x  x(u, v) 

: y  y (u, v), (u, v)  D
z  z (u, v) 
57

с непрерывно дифференцируемыми функциями x(u,v), y(u,v), z(u,v). Вектор N =(A,B,C)  0 в D.
f(x,y,z) непрерывна на . Тогда поверхностный интеграл существует и равен
 f ( x, y, z)dS =  f x(u, v), y(u, v), z(u, v)

A2  B 2  C 2 dudv .
D
Доказательство аналогично предыдущему. Поверхность разбивается на подобласти {k },
соответствующие разбиению {Dk } области изменения параметров D и выбираются промежуточные
точки Mk k и соответствующие точки Nk  Dk . Обозначим F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) . Тогда
k=

A2  B 2  C 2 dudv = A2  B2  C 2
Pk
Dk
 =  f (M k )k  F ( Nk ) A2  B 2  C 2
k
 F ( Pk )
k
A2  B2  C 2
Pk
k
Dk . И далее
Pk
Dk 
Dk   F ( Nk )  F ( Pk ) A2  B 2  C 2
k
Первая сумма является интегральной для
 f x(u, v), y(u, v), z(u, v)
Pk
Dk .
A2  B 2  C 2 dudv ,
D
вторая сумма будет стремиться к нулю при стремлении к нулю характеристики разбиения.
5. Простейшие свойства интегралов первого рода
1)
 dS =.

2)
 (f
 g )dS  

3)


 fdS =  fdS +  fdS
1   2
4)
 fdS +  gdS
1
2
 fdS   f dS .


Все эти свойства следуют из соответствующих свойств двойных интегралов, с учетом формулы
сведения поверхностного интеграла к двойному.
§2. Поверхностные интегралы 2-го рода
1.
Определение стороны поверхности
Для поверхностей, которые нам встречались до сих пор можно ввести понятие стороны
поверхности. Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние поверхности. Их можно
выкрасить в два цвета так, что один цвет не будет переходить в другой. Сторону поверхности можно
определить, как множество всех единичных нормалей к поверхности таких, что любые две нормали
данной стороны получаются одна из другой непрерывным движением по поверхности вдоль
некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности
Существуют поверхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности
называются односторонними. Примерами односторонних поверхностей могут служить лист
Мёбиуса и «бутылка» Клейна.
58
Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей.
Поверхность называется двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной
точки поверхности при движении по любому замкнутому пути, лежащем на поверхности и
выходящем из этой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали.
Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в
исходную точку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют
односторонней. Предполагается, что при движении вдоль пути, нормаль изменяется непрерывно. Для
листа Мебиуса такой линией, например, является продольная пунктирная линия (см. рис.). Если
произвести разрез по этой линии, то поверхность не распадется на две части, как это может
показаться на первый взгляд, а останется единой.
В дальнейшем, в этом курсе будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.
Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокупностью нормалей) называется
ориентированной поверхностью.
Явно заданную поверхность : z = z(x,y) называют положительно ориентированной, если
косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси z
положителен: cos (n,k) > 0. Поверхность : y = y(x,z) называют положительно ориентированной, если
косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси y положителен:
cos (n,j) > 0. Поверхность : x =x(y,z) называют положительно ориентированной, если косинус угла
между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси x положителен: cos (n,i) > 0.
На рисунках показана положительная ориентация поверхностей в каждом из этих трех случаев.
59
Для замкнутой поверхности, положительной ориентацией называется выбор внешней
нормали
Ориентацию поверхности Ф иногда будем обозначать or Ф (or Ф =1 или or Ф =-1).
2. Определение поверхностного интеграла 2-го рода
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D с выбранной
стороной, определяемой набором единичных нормалей. Для заданного разбиения {Фk} этой
поверхности и набора промежуточных точек {Мk} обозначим nk единичную нормаль в точке Мk к
поверхности Ф. Через Dk обозначим проекцию Фk на плоскость x y. Для функции f , определенной на
Ф рассмотрим интегральные суммы вида
 =  f ( M k )Dk sign cos(k, nk).
k
Здесь k - орт оси Oz.
Замечание. Отметим, что в данном определении множитель sign cos(k, nk) не зависит от k и
может принимать лишь два значения, в зависимости от ориентации поверхности, либо 1, либо –1.
Таким образом, интегральные суммы будут равны  = or Ф  f ( M k )Dk .
k
Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм  при стремлении к нулю
характеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения и
промежуточных точек. Обозначается интеграл
 f ( x, y, z)dxdy = lim .
0

Замечание. Если Ф- та же поверхность с противоположной ориентацией, то
 f ( x, y, z)dxdy =   f ( x, y, z)dxdy .


Аналогично определяются интегралы
 f ( x, y, z ) dydz ,  f ( x, y, z ) dzdx , в случае, если
поверхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. Интегральные
суммы будут иметь вид  f ( M k )H k sign cos(i, nk),  f ( M k )Gk sign cos(j, nk). i, j –орты
k
k
координатных осей Ox, Oy. H k , Gk -проекции областей разбиеният  k на соответствующие
координатные плоскости.
В обозначениях поверхностных интегралов второго рода
 f ( x, y, z )dxdy
 f ( x, y, z ) dydz ,  f ( x, y, z ) dzdx,
принят указанный порядок расположения символов dydz , dzdx, dxdy.
Рассмотрим векторное поле V=(P,Q,R) определенное на ориентированной поверхности Ф,
которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. В этом случае можно
рассмотреть интеграл
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy =  Pdydz +  Qdzdx +  Rdxdy .


60


Если поверхность Ф разбивается на отдельные части Фk, каждая из которых однозначно
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
проектируется на все координатные плоскости, то
определяется, как

сумма интегралов по отдельным частям
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy =   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .
k k

3. Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода
Пусть задана ориентированная поверхность Ф: z = z(x,y) на D, где z(x,y) непрерывно
дифференцируемая функция на D. На поверхности Ф определена непрерывная функция R(x,y,z).
Тогда поверхностный интеграл
 Rdxdy существует и вычисляется по формуле

 R( x, y, z)dxdy = or Ф  R( x, y, z( x, y))dxdy .

D
Напомним, что or Ф = 1 для положительно ориентированной поверхности и or Ф = -1 в
противном случае.
Доказательство. Для заданных разбиений {Фk } , {Dk }, промежуточных точек
{M k }  {( xk , yk , z ( xk , yk )} . Тогда для интегральных сумм получим
 = or R( M k )Dk  or R( xk , yk , z ( xk , yk ))Dk .
k
k
Из последнего равенства и следует требуемое утверждение. Аналогичные формулы имеют
место для поверхностей вида y=y(z, x), x=x(y, z).
 P( x, y, z)dydz = or Ф  P( x( y, z), y, z)dydz ,  Q( x, y, z)dzdx = or Ф  Q( x, y( x, z), z)dzdx .


D
D
4. Связь с интегралом 1-го рода
Как отмечалось ранее k=

1  p 2  q 2 dxdy = 1  p 2  q 2
Pk '
Dk
Dk 
1
Dk или
| cos ( Pk ) |
Dk | cos  ( Pk ) |  k . Здесь через cos  ( M ) обозначен третий направляющий косинус
единичной нормали к поверхности Ф в точке M, а штрихом обозначается соответствующая точка
P '  D. Отметим, что sign cos (M) является константой на поверхности. Поэтому для функции
R(x,y,z), заданной на поверхности, получим интегральные суммы
 =  R( M k )Dk sign cos ( M k )   R( M k ) | cos ( Pk ) |  k sign cos ( Pk ) 
k
k
  R( M k )cos  ( Pk ) k   R( M k )cos  ( M k ) k   R( M k ) cos  ( Pk )  cos  ( M k )   k .
k
k
k
Первая сумма является интегральной для
 R( x, y, z)cos dS , вторая сумма стремится у нулю

при неограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченности
функции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos  (x,y,z)
(функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функцией
на поверхности. Предполагается, что D-компакт). Таким образом, мы получаем формулу,
связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода
61
 R( x, y, z)dxdy =  R( x, y, z)cos dS .
(1)


Определение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные
плоскости, будем называть поверхностью типа А . Поверхность называется допустимой, если она
непрерывно дифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное
число поверхностей типа А.
Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ко
всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно
дифференцируемое поле V=(P,Q,R), то

P dydz +Q dzdx+R dxdy =


(P cos  +Q cos  + R cos ) dS ,
(2)

где cos  , cos , cos  - направляющие косинусы нормали к поверхности в текущей точке. Эти
формулы можно получить из (1) циклической перестановкой переменных. Например, для интеграла
 Qdzdx
в формуле (1) необходимо заменить R на Q , y на x , z на y , x на z, cos  на cos  (См. рис.,

где заменяем 2 на 3).
5. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода
Введем следующие обозначения dS=ndS=(cos , cos , cos ) dS. Это позволяет использовать
векторное обозначение для интеграла 2-го рода

P dydz +Q dzdx+R dxdy =


(V,dS).

Формула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом

(V,dS) =


(V,n) dS.
(2)

Замечание. Как это следует из формул вычисления площади поверхности, элемент поверхности
dS=|N|dxdy для поверхности z(x,y) и dS=|N|dudv для параметрически заданной поверхности. Это
можно использовать при вычислении поверхностных интегралов. Например, для параметрически
заданной поверхности можно записать

(V,dS) =


(V,n) dS=


(V,n) |N|dudv=
D
Отметим свойства интеграла 2-го рода
1)

(V,dS) = -

(V + W, dS) = 

2)



(V,dS)



(V, dS) + 


62
(W, dS)

D
(V, N)dudv .

3)
(V,dS) =
1   2
4) |


(V,dS) +
1

(V,dS)
2
(V,dS)|  max |V|.

Все эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и
формулы (2), связывающей эти два интеграла.
Пример 1. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x+y+z=a, x0, y0,
z0 относительно координатных плоскостей.
Требуется вычислить интегралы
 x( x, y, z)dS ,  y( x, y, z)dS ,  z( x, y, z)dS.


Плотность распределения массы =1.
 xdS =  x


a
ax
0
0
3dxdy = 3  xdx  dy =
D
3 3
a .
6
Пример 2. Найти момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочки
x2+y2+z2=a2 , z0.
Требуется вычислить интеграл
 ( x

2
 y 2 )( x, y, z )dS   ( x 2  y 2 )dS .

Плотность распределения массы  возьмем равной 1. Для вычисления последнего интеграла
воспользуемся сферическими координатами. Найдем длину вектора нормали N для сферических
координат x=a cos cos , y=a cos sin , x=a sin
i
x
N  ( A, B, C ) 

x

j
y

y

k
i
j
k
z
2
 a  cos  sin  cos  cos 
0 

 sin  cos   sin  sin  cos 
z

=a2(cos2 cos, cos2 sin, sin cos), N =a2 cos  .
Эта величина равна модулю якобиана отображения, определяемого сферическими
координатами.
Тогда, используя сферические координаты для параметрического задания верхней полусферы,
 
(область изменения параметров - прямоугольник D  [0,2]  0,  )
 2
 ( x
2

 y 2 )dS   ( x 2  y 2 ) N d d   
D
2
 /2
 /2
0
0
0
 a 4  d   cos3 d   2a 4

2
 /2
0
0
 d 
(a 2 cos2  cos 2   a 2 cos2  sin 2 )a 2 cos d  
1
2
4
(1  sin 2)d sin   2a 4  (1  u 2 )du  2a 4  a 4  a 4 .
3
3
0
63
Пример 3 . Найти координаты центра тяжести однородной поверхности, лежащей на конусе
z  x 2  y 2 , вырезанной цилиндрической поверхностью x 2  y 2  ax .
Координаты центра тяжести: X 
 x( x, y, z)dS

,Y 
 ( x, y, z)dS

 y( x, y, z)dS

 ( x, y, z)dS
,Z 

 z( x, y, z)dS

 ( x, y, z)dS
.

Считаем плотность распределения масс равной 1. Для вычисления интегралов воспользуемся
цилиндрическими координатами. Вес поверхности
a cos 
 /2
2 2  /2
a 2  / 2 1  cos 2
a 2
2
d 
.
 ( x, y, z )dS   dS   d   r 2dr  2 a  cos d   2 
2
2 2


 /2
0
 /2
 / 2

2
  ( x, y, z)dS =  dS =


D

a cos 
0
2

2
 /2
a cos 
 /2
0
2
 x ( x, y, z)dS =   cos d   r 2dr 


2
1 2
2 2
a  cos 2 d =
a
2
2

 r 2dr =
d

2


1  cos 2
 2
d =
a .
2
2 2
2
2a 3  /2
2a 3  / 2 (1  cos 2) 2
4
cos

d



d 


3  /2
3  / 2
4
3  /2
2a
2a 3
a
2
(1

2cos
2


cos

)
d


. X  .Y  0.

12  /2
8
2
Последнее равенство получено из соображений симметрии. Для второго интеграла имеем:


 z ( x, y, z)dS =

2



a cos 
d
2
r
0
a3
2dr = 2
3
2
2
cos d =y=
3

2 3
2 4 2 3
16
a . Z=
a 2   =
a.
9
9
3 
3
2
Пример 4.
Вычислить
 xdydz  ydzdx  zdxdy , Ф - внешняя сторона сферы x +y +z =a .
2
2
2
2


(V,dS) =






r
r 



r
r 
(V,n) dS=   r , dS =   r , dS =aФ= a 3 4 .


Пример 5.
Вычислить
 dydz dzdx dxdy 
x2 y 2 z 2




 1 . Для


,
Ф
внешняя
сторона
эллипсоида
  x
a 2 b2 c2
y
z 
вычисления интеграла воспользуемся декартовыми координатами: z  c 1 
64
x2 y 2

. Тогда
a 2 b2
p
c
a2
x

c2 x
c
,q   2
2
a z
b
y

c2 y
.
b2 z
x2 y 2
x2 y 2
1 2  2
1 2  2
a
b
a
b
2
2
2
c
c
1 c 1
1 1
N  ( p,q,1), (V , N )  2  2    2  2  2  . Обозначим через  - верхний
a z b z z z a
b
c 
полуэллипсоид, а через D его проекцию на плоскость xOy. Учитывая ранее сделанное замечание и
симметрию относительно координатных осей, получим
 
 dydz dzdx dxdy 
 dydz dzdx dxdy 
 =2  
 = 2 V , N dxdy =




x
y
z 
x
y
z  

 
D
 
1
1
 1
 2  2  
2
b
c D
a
= 2c
2
dxdy
1
x2 y2

a 2 b2
1 1
rdr
1
=
 2  2   d 
2
b
c  0 0 1 r2
a
1
= 2abc
1 1 1
du
1
1
1
 1
= 4abc 2  2  2  .
 2  2 
2
b
c 
b
c  2 0 1 u
a
a
1
= 4abc
§3. Формула Стокса
1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)
Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф,
однозначно проектируемую на все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание
z = z(x, y), (x, y)Dz относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности с
согласованной ориентацией.
Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе края поверхности в этом
направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.
Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные
 P

P
P P
dzdx 
dxdy .
, . Тогда имеет место равенство  Pdx   
y
y z


  z
Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности
65
Обозначим P*(x,y)=P(x,y,z(x,y)). Отметим, что
 P( x, y, z )dx   P( x, y, z ( x, y ))dx   P * ( x, y )dx.



Это следует из формулы вычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим
параметризацию кривой .
x (t ) 
:
 t[, ] тогда  :
y (t ) 


y (t )
 t[, ].
z ( x(t ), y (t )) 
x(t )

Тогда
 P ( x, y ) dx =  P( x, y, z ( x, y)) dx =  P( x(t ), y(t ), z( x(t ), y(t ))) x' (t )dt ,
*

 P( x, y, z) dx =  P( x(t ), y(t ), z( x(t ), y(t ))) x' (t )dt .

По формуле Грина

 P( x, y, z )dx   P * ( x, y)dx   y P * ( x, y)dxdy 


D
 P( x, y, z ( x, y )) P( x, y, z ( x, y )) z 
P( x, y, z ( x, y))
   

dxdy 
 dxdy  
y
z
y 
y
D
D
P( x, y, z ( x, y)) z
P( x, y, z )
P( x, y, z ) z

dxdy  
dxdy 
dxdy 
z
y
y
z
y
D


P( x, y, z )
P( x, y, z )
P( x, y, z )
P( x, y, z )
 
dxdy 
q cos dS  
dxdy  
cos dS 
y
z
y
z




 P ( x, y, z )

P( x, y, z )
  
dzdx 
dxdy  .
z
y


Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали
cos  = 
q
1 p  q
2
2
, cos  =
1
1  p2  q2
, откуда q cos  = - cos  .
Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть для
поверхностей, допускающих разбиение на части, однозначно проектируемые на все координатные
плоскости.
2. Формула Стокса для векторного поля.
Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле,
Г-край этой поверхности с согласованной ориентацией.
66
Из доказанной формулы
 P

P
  z dzdx  y dxdy    P( x, y, z)dx формальной заменой z на y,

на x, x на z, P на R (см. рисунок, заменяем 1 на 2) получим
 R

R
  y dydz  x dzdx    R( x, y, z)dz .


Точно так же заменой z на x, y на z, x на y, P на Q (см. рисунок, заменяем 1 на 3) получим
 Q
Q

  x dxdy  z dydz    Q( x, y, z)dy . Складывая полученные выражения, получим


 R
Q 
 P
 Q
R 
P 
 Pdx  Qdy  Rdz =   y  z dydz   z  x dzdx   x  y dxdy .


Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

i

rot V =
x
P

j

y
Q

k

.
z
R
Тогда формула Стокса запишется в виде

(V, ds) =



cos 

(rot V, dS)= 
x

P
cos 

y
Q
cos 

dS .
z
R
Циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротора через эту
поверхность. Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.
Пример 1.(4367) Вычислить
y

 ydx  zdy  xdz , С- окружность x +y +z =a , x+y+z=0 ,
2
2
2
2
C
проходимая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

i

rot V =
x
y
67

j

y
z

k

=(-1,-1,-1).
z
x
В качестве поверхности с краем C выберем
круг сечения плоскостью x+y+z=0 шара
x2+y2+z2 a2 , ориентированный нормалью (1,1,1).
Тогда
 ydx  zdy  xdz = 
(rot V, dS)=

C

(rot V, n) dS=  3


dS=  3 Ф=  3  a2.

Пример 2.(4369) Доказать формулу
dx
1
   cos 
2 
x
dy
cos 
y
dz


1
cos  =  [n, r ], ds ,
2 
z
где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью n , ограниченная кривой  ,
согласованно ориентированной с нормалью n .
V  [n, r ]  ( z cos   y cos  , x cos   z cos  , y cos   x cos  ) ,



i
j
k



rot V =
=(2cos,2cos,2cos)=2 n .
x
y
z
z cos   y cos  x cos   z cos  y cos   x cos 
dx
 cos

x
dy
cos 
y
dz

 
  
cos  =  V , ds   rot V ,dS   2n, n dS  2 dS  2 .




z

Пример 3. Вычислить ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz . С- контур x=a sin2t, y=a sin t cos t,
C
z=a cos2t , t[0,].
Контур лежит в плоскости x+z=a , далее
2
x
y
 tg t  , y2=x z , y2=x (a – x) , или
y
z
a a
a
a2

2
. Таким образам, этот контур является эллипсом с полуосями ,
.
x


y



2
4
2 2

68

i

rot V =
x
yz

j

y
zx

k

1
 (2,2,2) , n 
(1,0,1) , rot V , n  2 2 ,
z
2
x y

 ( y  z)dx  ( z  x)dy  ( x  y)dz =  rot V ,dS   2 2  dS  2
C



2
a a
 a 2
2 2
3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в
пространстве
Лемма. Для того, чтобы интеграл

(V, ds)
(1)

не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А , В )
необходимо и достаточно, чтобы интеграл (1) был равен нулю для любого замкнутого
контура, лежащего в области (циркуляция поля равна нулю по любому кортуру из области).
Доказательство для пространственной области проводится так же, как и в плоском
случае.
Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой
кусочно гладкой замкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D можно указать
ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является
Г.
Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является
поверхностно односвязной областью.
Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути в поверхностно односвязной
области W, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области W.
Доказательство. Достаточность (дано: rot V =0 ) следует из формулы Стокса и
сформулированной леммы. Здесь используется поверхностная односвязность области.
Необходимость. Предположим противное, существует точка М0 (её можно считать внутренней
точкой области W), где rot V  0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет
69
R( M 0 ) Q( M 0 )

 h  0.
y
z
R( M ) Q( M ) h
Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполняться условие

 и
y
z
2
отлична от нуля. Пусть, например, это будет первая координата ротора:
которая будет лежать в W.
Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0
обозначим K (круг радиуса , ориентированный ортом оси x) , а его границу – через C (окружность с
согласованной ориентацией). Проекцию K на плоскость yOz обозначим D.
Используя формулу Стокса, получим противоречие:

   Ry  Qz dydz =   R( xy, y, z)  Q( xz, y, z) dydz  h2  .




0   V , ds =
C
0
K
2
0
D
Пример. Вычислить
 (x
2
 yz )dx  ( y 2  xz)dy  ( z 2  xy)dz ,
AmB
взятый по отрезку винтовой линии x=a cos  ,
y=a sin  , z=
h
 от А(а,0,0) до B(a,0,h).
2

i

rot V =
x
2
x  yz


j
k


=(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути
y
z
y 2  xz z 2  xy
интегрирования и вместо винтовой линии выберем отрезок, соединяющий точки A, B.
x  a

y  0t  [0, h] .
z  t 
h
2
2
2
2
 ( x  yz)dx  ( y  xz)dy  ( z  xy)dz =  t dt 
AmB
0
h3
.
3
Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностно
односвязной области W , необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было
полным дифференциалом
Pdx+Qdy+Rdz = du.
70
Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то P 
u
u
u
, Q
, R
.
x
z
y
Откуда следует, что rot V =0 .
Необходимость. Определим функцию u по формуле
 V , ds ,
M ( x, y, z )
u ( x, y , z ) 
M'
где M '( x ', y ', z ') – фиксированная точка в области W , а интегрирование ведется по некоторому
пути, соединяющему точки M ' и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то
определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е.
P
u
u
u
u
, Q
, R
. Вычислим производную
непосредственно по определению.
x
z
x
y
Для отрезка ММ используем параметризацию
x0  xt 

y0  , t  [0,1]. Тогда
z0 
u ( x, y, z )  u ( x0 , y0 , z0 ) 1

x
x
M ( x, y, z )

1
P( x, y, z )dx 
M0
1
P( x, y0 , z0 )dx  P( x0  x, y0 , z0 ), откуда и
x 0
следует требуемое соотношение для частной производной
u
. Аналогично проводится
x
доказательства для других производных.
§4. Формула Остроградского-Гаусса
Определение. Объемно односвязной областью называется область W, удовлетворяющая
следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно-гладкая, не самопересекающаяся поверхность,
расположенная в W , является границей области целиком лежащей в W. Можно сказать, что
внутри области нет полостей.
Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой
области и имеющую там непрерывную производную
положительно, обозначим  W .
R
. Границу этой области, ориентированную
z
Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса
R
 z dxdydz =  Rdxdy .
W
W
71
При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая
вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно
описать, как геометрическое место точек следующего вида:
W = {(x,y,z):z[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)D},
где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае
R
dxdydz =

z
W
z2 ( x, y )
R
dz = {R[ x, y, z2 ( x, y)]  R[ x, y, z1 ( x, y)]}dxdy =
z
z1 ( x , y )
D
 dxdy 
D
 R( x, y, z )dxdy +  R( x, y, z )dxdy +  R( x, y, z )dxdy =  R( x, y, z)dxdy .
1
2
W
3
Делая циклические перестановки переменных x z y, y x z, z y x
можно получить еще две формулы для областей выпуклых по другим осям.

W
Q
dxdydz =
y
P
 Qdzdx ,  x dxdydz =  Pdydz .
W
W
W
Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле
V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными по соответствующим переменным, то эти три
формулы можно собрать в одну
 P
Q
  x  y
W

R 
dxdydz =
z 
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .
W
Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V =
P Q R
.


x y z
Тогда, используя векторные обозначения, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в
виде
 div V dW   V , dS .
W
W
Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на
конечное число областей указанного типа.
Пример 1 . Вычислить I =

(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy, где Ф :

x  y  z  y  z  x  z  x  y  1.
72
По формуле Остроградского Гаусса I =3
 dxdydz . Сделаем замену переменных
B
u  x  y  z

v  y  z  x  , в этом случае в новых координатах граница области будет определяться
w  z  x  y 
уравнением  : |u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен
1 1 1
D ( x, y , z ) 1
D(u, v, w)
3
 , поэтому I =
 1 1  1  2  2  4,
4
D(u, v, w) 4
D( x, y, z )
1 1 1
=
3
2
4
 dudvdw =

2 2
=1.
3
Пример 2 (4381) Доказать, что если Ф – замкнутая простая положительно ориентированная
поверхность, то
 a, dS =0, где a - постоянное векторное поле. Утверждение непосредственно

следует из формулы Остроградского-Гаусса.
Пример 3 (4382). Объем тела равен
W 
 
1
r , dS , где W – положительно ориентированная граница области W.
3 
W
Утверждение непосредственно следует из формулы Остроградского-Гаусса.
Пример 4 . Объем конуса, ограниченного
гладкой конической поверхностью F(x,y,z)=0 и
плоскостью равен W 
1
h , где  3
площадь основания, h – высота.
Поместим начало координат в вершину конуса. Боковую поверхность конуса,
ориентированную внешней нормалью обозначим Ф1 , а основание, ориентированное нормалью  m
обозначим Ф2 . Тогда
3W   3dxdydz   div r dxdydz =
W
W
 r, dS =  r , n dS )+  r , n dS
W
 
поверхности конуса скалярное произведение r , n  0 и
  

конуса r , n  r ,m  h , поэтому
1
 r , n dS  h  dS  h .
2
73
Для боковой
 r , n dS  0 . Для поверхности основания
1
2
2
Пример 5 (4390). Вычислить
 V , dS  , где Ф – часть конической поверхности x +y =z
2
2
2
, 0 z 

a , ориентированной внешней нормалью, а поле V  ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Дополним поверхность до
замкнутой. Основание, ориентированное нужным образом обозначим Ф0 .
 V , dS    div V dxdydz = 2 ( x  y  z) dxdydz = 2  d  dh r (r cos  r sin   h)dr =
0
2
a
W
W
a
h
h

a
2  d  dh  rhdr = 4  hdh  rdr = 2  h3dh  a 4 .
2
0
0
0
0
0
0
образом,
 V , dS   2 a

4
 a 4  


2
2
a
h
0
0
0
 V , dS    a dxdy  a D  a
2
0
2
2
. Таким
D
a4 .
§5. Элементы теории поля
1. Введение
Для вектора будет использоваться обозначение a или a . Функция u(x,y,z) , заданная в области
W , называется скалярным полем. В случае задания трех функций P,Q,R можно говорить о векторном
поле V =(P,Q,R). Градиент скалярного поля u , определяется как векторное поле
 u u u 
, ,  . Функция u называется потенциалом векторного поля V , а само
 x y z 
V = grad u = 
поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля
задается соотношением du=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл  V , ds для замкнутой кривой С называется


С
циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая называется контуром, а интеграл по контуру
обозначается  V , ds и представляет собой работу векторного поля вдоль этого контура. Поле


C
называется безвихревым, если его ротор равен нулю.
Определение. Поле V называется соленоидальным, если для него существует векторное поле
W такое, что V = rot W . Такое векторное поле W называется векторным потенциалом поля V .
Ранее доказанные утверждения можно сформулировать в виде теоремы
Теорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области W
задано непрерывно дифференцируемое поле V =(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия
1. Циркуляция векторного поля
 V , ds  равна нулю вдоль любого контура, лежащего в W.
C
2. Поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция,
градиентом которой и является данное поле. При этом  V , ds  u ( B)  u ( A).


AB
3. Поле V безвихревое.
2. Поток векторного поля
Будем считать, что V =(P,Q,R) – это поле скоростей (рассматривается стационарный поток
жидкости). Векторной линией поля V называется линия, касательная к которой в любой точке
совпадает по направлению с вектором V .
74
Совокупность всех векторных линий данного поля, проходящих через некоторый контур,
 x '  P ( x, y , z )

называется векторной трубкой. Уравнения, определяющие векторную линию  y '  Q( x, y, z )
 z '  R ( x, y , z )

Количество жидкости, протекающей через малую площадку S, перпендикулярную потоку
V tS
жидкости за единицу времени равно
 V S для наклонной площадки это будет
t
V cos V , n S  V , n S .
 
 
Составляя интегральные суммы вида
 V , n 
k
Mk
S k и переходя к пределу можно получить
выражение для количества жидкости протекающей через ориентированную поверхность Ф в
направлении ее нормали в единицу времени. Эта величина называется потоком векторного поля V
через ориентированную поверхность Ф и она равна интегралу  V , dS

Формула Остроградского Гаусса


 div VdW   V , dS .
W
W
связывает количество вытекающей жидкости через границу области с тройным интегралом от
дивергенции. Если в качестве области рассмотреть шар, стягивающийся в точку, то мы получим
 V , dS    div V dW  div V
W
W
M
W , откуда
div V  lim
W M 0
 V , dS 
W
W
.
Величина справа имеет смысл обильности источника. Таким образом, неравенство нулю
дивергенции означает наличие в данной точке источника или стока, в зависимости от знака
дивергенции.
Известно, что поток векторного поля магнитной индукции B через замкнутую поверхность
W всегда равен нулю
 B, dS   0 . Отсюда следует, что div B  0 (уравнение Максвелла) и , таким
W
образом, в природе не существует источников магнитного поля (магнитных зарядов).
75
В терминах потока жидкости можно сформулировать и формулу Стокса. Предположим,
векторное поле скоростей стационарного потока жидкости является соленоидальным. Тогда поток
этого векторного поля через заданную поверхность равен циркуляции векторного потенциала этого
поля по краю этой поверхности в направлении, согласованном с направлением потока через
поверхность. Например, для векторного поля напряженности магнитного поля H
 H , ds    rot H , dS   I , циркуляция напряженности магнитного поля по краю


поверхности Ф равно полному току I , протекающему через поверхность Ф (уравнение Максвелла).
Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы
div V  0 .
Необходимость. Если V =rot W , то непосредственной проверкой можно убедиться, что
div V  0 ( div rot W = 0, соленоидальное поле не имеет источников).
Достаточность. Будем искать частное решение уравнения V  rot W ,W  (a, b, c).

i

(P,Q,R)=
x
a

j

y
b
c b 
P


y z 
k

a c 

или Q 
 .
z
z x 
b a 
c
R

x y 
Решение будем искать среди «плоских» полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система
упростится и примет вид
P
b
a
b a 
, Q , R
 .
z
z
x y 
Первое и второе уравнения интегрируем по z
z
b=-
z
 P( x, y, z)dz   ( x, y) , a =
 Q( x, y, z )dz   ( x, y) .
z0
z0
Еще раз сузим множество поиска, полагая  = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и
по y, получим
b
P
 a
Q
,
 
dz 

dz .
x
x
x y z 0 y
z0
z
z
Откуда получим
z
z
z
 P Q 
P
 Q

R




dz

dz


dz

dz 
=
=
=R(x,y,z)- R(x,y,z0)+


z x



x
x z 0 y
x y 
x z 0 z
x
z0 
0
z
R= 
.

= R(x,y,z0), откуда  =  R ( x, y, z0 )dx +D(y). Частное решение найдено в
x
x0
x
Таким образом,
виде
 Q( x, y, z)dz , b = -
z
 P( x, y, z )dz +  R( x, y, z0 )dx +D(y), с = 0, где D – произвольная,
x
z0
z0
x0
z
a=
непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.
76
Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W 1 = W + grad u также будет
векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u(x,y,z).
Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной
трубки постоянен.
Действительно, по формуле Остроградского Гаусса

1  2 3
V , dS   0, кроме того
 V , dS   0. Откуда  V , dS    V , dS   0. или  V , dS     V , dS .
3
1
2
 2
1
§6. Дифференциальные операторы
Как и раньше для обозначения вектора используются обозначения a либо a .
1.
Дифференциальные операторы 1-го порядка
1) Оператор набла  = i
 u= i



+j
+k
.
x
z
y
u
u
u
+j
+k
= grad u.
x
z
y
Свойства
( u   v)   u   v
(uv)  vu  uv
 u  vu  uv
  
v2
v
 f(u) = f(u)  u.
x2  y 2  z 2 ,  r =
Пример 1. r  x i  y j  z k , r =
Пример 2. grad
r
.
r
1
1
3
r
  3   4 r  3 5 .
3
r
r
r
r


r
1
1
1
r
Пример 3. grad     2 r   3 . Таким образом, гравитационное поле V   m 3
r
r
r
r
r
1
r
потенциальное и его потенциал равен m .
2) Дивергенция div V = (  ,V ) =
P Q R
, V=(P,Q,R).


x y z
Свойства
(  ,V+W ) =(  ,V )+ (  ,W )
77
(  ,fV ) =f (  ,V )+ (  f,V )
Пример 4. div
r
r
r
1
1
3
= (  , 3 )= 3 (  , r )+ (  3 , r )= 3 +(  3 5 , r ) = 0. Это следует и из
3
r
r
r
r
r
r
примера 3.

Пример 5. Пусть r =(x-x, 0 y-y0, z-z0) , r  ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )
2
2
2
,где (x0, y0, z0) –

 r
r 2
фиксированная точка. Тогда div = . Имеем V  =(P,Q,R)=
r r
r

x  x0
y  y0 z  z0 

,
,
,
 ( x  x )2  ( y  y )2  ( z  z )2
r
r 
0
0
0


P 1 ( x  x0 ) 2 Q 1 ( y  y0 ) 2
R 1 ( z  z0 ) 2
= 
,
= 
,
= 
, откуда следует требуемое
x r
z r
r3
r3
r3
y r
равенство.
Пример 6 (4391). Доказать, что

W
 
dxdydz 1

=  cos(r , n )dS , где r =(x-x0, y-y0, z-z0) и точка
r
2 W
 
r 
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) не лежит на границе области. Отметим, что cos r , n   , n  .
r 
Рассмотрим сначала случай, когда точка М0 не лежит в области W. Тогда по формуле
Остроградского Гаусса



r
2
 r 
 r 
 
,
n
dS
,
d
S
=
=
=
cos(
r
,
n
)
dS
div
dxdydz =  dxdydz .








r 
r
r
r
 W
W 
W 
W
W
В случае, когда М0 лежит внутри области W , окружаем ее сферой достаточно малого радиуса 
так , чтобы она целиком лежала внутри W. Эту сферу, ориентированную отрицательно, обозначим Ф
. Шар радиуса  с центром в М0 обозначим K . Через W обозначим область W , из которой удалена
шаровая полость K . К области W можно применить формулу Остроградского Гаусса
 
 cos( r , n )dS =
W



r
2
 r 
 r 
=
=
div
dxdydz =  dxdydz .
 , n dS   , dS  

r 
r
r
r
 W
W 
W 
W




 
 r 
 r 
 r 
 r 
r r 
С другой стороны   , dS  =   , dS  +   , dS  =   , dS  +   , dS =
r
 W  r
 W  r
   r
   r r 
W 



 r 
 r 
 r 
2
,
d
S
,
d
S

4

=


dS





 r   W  r 
W  r , dS  при 0 .
W 


Аналогично, для тройного интеграла
2
2
2
2
 r dxdydz =  r dxdydz -  r dxdydz . Интеграл  r dxdydz будет стремиться к 0 при
W
K
W
K

2
2
0.  dxdydz = 2  d
r
K
0
2



d 
0
1

2

2
2

2
 2 cosd = 2  d 
0
2
3) Ротор rot V = [  ,V]
[  ,V+W ] =[  ,V ]+ [  ,W ]
78

2
cos d = 4 2 .
[  ,fV] =f [  ,V]+[  f, V]
2.
Дифференциальные операторы 2-го порядка
1) rot grad u = [  ,  u]= 0
2) div rot V = (  ,[  ,V]) = 0
3) u = div grad u = (  ,  u) =
 2u  2u  2u
. Оператор Лапласа.


x 2 y 2 z 2
Функция u называется гармонической в некоторой области, если u =0 в этой области.
4) grad div V
5) rot rot V
Пример 5. (4447) Найти поток вектора гравитационного поля точечной массы, расположенной в
начале координат V=  m
1
r через замкнутую поверхность Ф , не проходящую через начало
r3
координат в направлении внешней нормали.
В примере 4 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в
случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат.
В случае, когда
гравитационная масса находится
внутри области D, ограниченной
поверхностью Ф рассмотрим
сферу S с центром в начале
координат целиком лежащую в
области D и ориентированной
внутренней нормалью.
Тогда поток V через границу области с границей Ф + S ( область D с шаровой полостью )
будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен
 r
 r r 
1
1
  (V , )dS =m   3 , dS = m  2 dS =m 2 S =4 m .

r r
r
r
S 
S
S
Пример 6. (4449) Доказать, что




 (V , dS ) =   (V , dS ) =

S
u
 n dS =  u dxdydz .
V
S
u
=(grad u , n) , откуда из равенства u = div grad u и формулы Остроградского Гаусса
n
следует требуемое равенство.
Пример 7. Количества тепла, протекающее в поле температуры u за единицу времени через
поверхность Ф в направлении ее нормали ( поток градиента температуры ) равен Q=  k

 (u, dS ) ,

k – коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле
Остроградского Гаусса  k

(

u
,
d
S
) =  k  u dxdydz . Эта величина имеет смысл количества


D
тепла, накопленного телом за единицу времени.
Глава 5.
Интегралы, зависящие от параметра
§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Непрерывность интеграла от параметра
79
x2 ( y )
 f ( x, y)dx
Рассмотрим интеграл F(y) =
для области типа B, D={(x,y):x1(y)xx2(y),y[c,d]}.
x1 ( y )
Предполагается, что f определена в некоторой
прямоугольной области R, содержащей D, как
показано на рисунке (D - замкнутая), x1(y), x2(y)
непрерывные функции, определенные на [c,d].
Теорема. Если f непрерывна на R , x1(y),
x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на
[c,d].
Доказательство. Для заданного  , используя равномерную непрерывность функции f можно
подобрать y так,что
| F ( y  y )  F ( y ) |
x 2 ( y  y )
x2 ( y )
 f ( x, y  y)dx   f ( x, y)dx =
x1 ( y  y )
x1 ( y )
x1 ( y )
x 2 ( y  y )
x 2 ( y  y )
x2 ( y )
x1 ( y )
x1 ( y  y )
x1 ( y )
x1 ( y )
x 2 ( y  y )
x1 ( y  y )
 f ( x, y  y)dx   f ( x, y  y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx 
x 2 ( y  y )
x2 ( y )
x1 ( y )
x 2 ( y  y )
 | f ( x, y  y)  f ( x, y) | dx +  | f ( x, y) | dx 
 | f ( x, y  y) | dx
+
M|x1(y+y)-x1(y)|+(b - a) + M| x2(y+y)-x2(y)|.
Здесь используется ограниченность функции f , |f|  M . Отметим, что при доказательстве
использовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например,
x1 ( y )
для интеграла
 | f ( x, y  y) | dx
функция f должна быть определена на отрезке [A,B] , лежащем
x1 ( y  y )
вне области D (см. рисунок)
80
Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого yY . Говорят, что f(x,y)
равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y y0 если
 >0 >0x[a,b]yU(y0): |f(x,y) - g(x)|< .
Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной
последовательности . В понятии f n (x) равномерно сходится на [a,b] к g(x) при n , вместо
дискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y .
Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на
[a,b] при yy0 , то предельная функция g(x) непрерывна на [a,b].
Доказательство. Выпишем неравенства
|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)+ f(x0,y)-g(x0) | | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ | f(x0,y)-g(x0)|. Для
заданного  сначала выбираем  окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|< 
для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной
непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также < 
выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .
Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о
почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций).
Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то
lim
y  y0
Доказательство.
b
b
a
a
 f ( x, y)dx   g ( x)dx .
b
b
a
a
  f ( x, y)  g ( x)dx  
f ( x, y )  g ( x) dx  |b - a| .
2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра
Предположим, что область является областью типа А и В . Из формул выражения двойного
интеграла через повторные следуют следующие формулы
81
x2 ( y )
F(y) =
 f ( x, y)dx
x1 ( y )
d
 F ( y)dy   f ( x, y)dxdy
c
D
y2 ( x)
G(x)=
 f ( x, y)dy
y1 ( x )
b
 G( x)dx   f ( x, y)dxdy
a
D
3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
Теорема (Лейбниц). Если f и
f
непрерывны в [a,b] [c,d] , то F(y) =
y
b
 f ( x, y)dx
a
F
f ( x, y)
дифференцируема на [c,d] и

dx .
y a y
b
Доказательство.
F ( y  y)  F ( y) 1
 f ( x, y  y)  f ( x, y)dx = 1  f ( x, y  y) ydx =


y
y a
y a
y
b
b
f ( x, y  y )
dx , 0< <1. Тогда
y
a
b

b
b
 f ( x, y  y ) f ( x, y ) 
F ( y  y )  F ( y )
f
dx .

  dx  

y

y

y

y


a
a
Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции
f
следует требуемое
y
утверждение.
Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на
прямоугольнике R, содержащем область D.
82
Теорема. Если f и ее производная
f
непрерывны на R, x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d]
y
x2 ( y )
 f ( x, y)dx
производные, то F(y) =
также имеет производную
x1 ( y )
F

y
x2 ( y )
f ( x, y )
dx + f x2 ( y), y x2 ' ( y) - f x1 ( y), y x1 ' ( y) .
y
x1 ( y )

v
Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u,v,y) =
 f ( x, y)dx , определенную на
u
прямоугольном параллелепипеде [ A, B]  [ A, B]  [C , E ] , Для нее существуют непрерывные частные
f ( x, y )
  

производные
. Непрерывность функции
=
,
,
dx следует из равномерной
u v y
y u y
v
непрерывности функции
f ( x, y )
. Дифференцируя сложную функцию
y
x2 ( y )
 f ( x, y)dx = Ф(y, x (y), x (y)) получим требуемое равенство.
F(y) =
1
2
x1 ( y )
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра
Рассмотрим интеграл
b
( y)   f ( x, y)dx
(1)
a
   a  b   , yY.
Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если
   a  b   и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием
сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

lim
 b  0
 f ( x, y)dx .
a
b
Если при заданном y интеграл сходится, то для любого [a,b) интеграл
 f ( x, y)dx

(называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде
b
lim
 b  0
 f ( x, y)dx  0 . В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие

b
lim
 b  0
 f ( x, y)dx  0 не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем

записываться в виде
b
lim
 b  0
83
 f ( x, y)dx  0 .

b
Определение. Пусть интеграл с параметром
 f ( x, y)dx для всех или для некоторых y Y
a
имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в + (интеграл 1-го
рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если
b
 >0 >0(b-,b)yY
 f ( x, y)dx   :
(для интеграла 2-го рода)


 >0M(M,+)yY
 f ( x, y)dx   :
(для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Если существует функция g(x), определенная на [a,b) (b – конечное или +), интегрируемая на
любом [a, ), (a,b) такая, что
1) |f(x,y)|  g(x), a  x < b, yY
b
2)
 g ( x)dx сходится ,
a
b
то интеграл
 f ( x, y)dx
сходится равномерно на Y.
a
b
b


 f ( x, y)dx  
Утверждение следует из неравенств
b
f ( x, y) dx   g ( x)dx.

Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть    a  b   и функция f(x,y)
определена и непрерывна на отрезке [a,b) по x для всех yY. Если для любых (a,b) функция f(x,y)
равномерно сходится к функции g(x) на
отрезке [a,b -] при yy0 , интеграл
b
 f ( x, y)dx равномерно сходится на Y и
a
b
интеграл
 g ( x)dx сходится. Тогда имеет
a
место равенство
b
lim
y y0

b
f ( x, y)dx   g ( x)dx .
a
a
Доказательство.
b

b

a
a
f ( x, y )dx   g ( x)dx 
a


a


b
b


b
  f ( x, y)  g ( x) dx   f ( x, y)dx   g ( x)dx .

a

b
Для >0 выбираем  так, что 

b

 f ( x, y)dx  3 ,  g ( x)dx  3

сходимость
b
f ( x, y )dx   g ( x)dx   f ( x, y )dx   g ( x)dx =
b
b
a
a
для всех y (равномерная

 f ( x, y)dx и сходимость  g ( x)dx ) . Для выбранного таким образом  можно найти
84
окрестность точки y0 , в которой 



a
a
a

f ( x, y )  g ( x) dx  .
3
  f ( x, y)  g ( x) dx  

 f ( x, y)dx   g ( x)dx  
a

f ( x, y )  g ( x) dx 

a
(равномерная сходимость f(x,y) к g(x) на [a,b-]).
3
Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости
b
интеграла
 f ( x, y)dx необходимо и достаточно, чтобы
a
 ''
 f ( x, y)dx   .
 >0>0 y  Y,(b-,b):
'
 ''
Достаточность. При выполнении условия
 f ( x, y)dx   для  y  Y,(b-,b) можно
'
b
перейти к пределу при   b . Тогда для  y  Y(b-,b) :
 f ( x, y)dx   , что означает
'
b
равномерную сходимость интеграла
 f ( x, y)dx .
a
b
Необходимость. Имеем  >0>0 y  Y(b-,b):
 f ( x, y)dx   . Тогда при

,(b-,b) будет выполнено
 ''
b
 ''
b
 ''
'
'
b
'
b
 f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx   f ( x, y)dx  2 .
2. Непрерывность несобственного интеграла от параметра
b
Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d] , интеграл (y) =
 f ( x, y)dx
a
сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.
Доказательство.
|(y+y) - (y)| =
b
b
b

a
a
a
 f ( x, y  y)dx   f ( x, y)dx    f ( x, y  y)  f ( x, y)dx +
b
 f ( x, y  y)dx +  f ( x, y)dx .

85
Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного  выбором  в силу
b
равномерной сходимости интеграла
 f ( x, y)dx . После выбора  первый интеграл может быть
a
сделан меньше заданного  выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной
непрерывности функции f(x,y) на прямоугольнике [a,]  [c,d].
3. Интегрирование интегралов зависящих от параметра
Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d], интеграл
b

(y) =
b
d
a
c
f ( x, y )dx сходится равномерно на [c,d] , существует интеграл  dx  f ( x, y)dy , то
a
d
d
b
b
d
c
c
a
a
c
 ( y)dx =  dy  f ( x, y)dx =  dx f ( x, y)dy .
Доказательство. Для любого [a,b)
d


d
c
a
a
c
 dy  f ( x, y)dx =  dx f ( x, y)dy . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что

b

f ( x, y )dx сходится равномерно на [c,d] к
a
 f ( x, y)dx при b. Действительно,
a
b


f ( x, y )dx   f ( x, y )dx 
a
a
b
 f ( x, y)dx .

Эту теорему можно обобщить
b
Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d), интеграл
 f ( x, y)dx
a
d
сходится равномерно на любом [c,] , интеграл
 f ( x, y)dy сходится равномерно на любом [a,] и
c
существует один из повторных интегралов
d
b
 dy 
c
a
f ( x, y ) dx ,
b
d
a
c
 dx f ( x, y) dy , то существует и другой и выполняется равенство
d
b
b
d
c
a
a
c
 dy  f ( x, y)dx =  dx f ( x, y)dy .
Без доказательства.
4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
b
Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)[c,d] , то сходимость интеграла
 f ( x, y)dx
a
эквивалентна условию: для любой последовательности kb, 0=a , k[a,b) сходится ряд
 k 1
b
  f ( x, y)dx . Аналогично, равномерная сходимость интеграла  f ( x, y)dx на множестве Y

k 0
a
k
86
эквивалентна условию: для любой последовательности kb, 0=a , k[a,b) равномерно на Y
 k 1
сходится функциональный ряд
  f ( x, y)dx .
k 0  k

Это утверждение следует из определения предела lim
 b  0
n  k 1
частичных сумм ряда
 f ( x, y)dx по Гейне и выражения для
a
n
  f ( x, y)dx   f ( x, y)dx .
k 0 k
a
f
непрерывны на [a,b)[c,d] . Если  f ( x, y )dx сходится для
y
a
b
Теорема. Пусть функции f(x,y) и
f ( x, y )
a y dx сходится равномерно на [c,d] , то функция (y) =
b
всех y а
b
 f ( x, y)dx
a
дифференцируема на этом отрезке и
d
f ( x, y)
f ( x, y)dx  
dx .

dy a
y
a
b
b
Доказательство. Пусть n b ,n[a,b), 0=a . Согласно лемме
 n 1
b
(y) =
 n 1
 f ( x, y)dx =   f ( x, y)dx . Таким образом, функциональный ряд   f ( x, y)dx
n 0
a

сходится для всех y. Далее,
n 0
n
d
 n 1
  n 1
 dy  f ( x, y)dx   


n 0
n0
n
n
n
f ( x, y )
dx . Ряд из производных сходится
y
равномерно на [c,d]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда


d
d  n1
d
=
f
(
x
,
y
)
dx

f
(
x
,
y
)
dx




dy a
dy n  0  n
n  0 dy
b

 n 1


n0 n
n
x
5. Гамма функция Эйлера Г(p) =
  n 1
f ( x, y )dx  
f ( x, y )
f ( x, y )
dx  
dx
y

y
a
b
p 1  x
e dx , p > 0
0
Г(p) непрерывна на ( 0 ,  ).
1

0
1

Для доказательства отметим, что Г(p) = x p 1e x dx +
1
Докажем непрерывность функций
x
p 1  x
e dx ,
1
e dx .
p 1  x
e dx на ( 0 ,  ).
1
1
0
0
p 1  x
 1  x
 1  x
 x e dx   x e dx , p[ , A] .  x e dx сходится и по признаку Вейерштрасса
0
1
интеграл
x
p 1  x
1
0
1)

x
x
p 1  x
e dx сходится равномерно на [ , A] и, следовательно, является непрерывной
0
функцией на этом множестве [ , A].
87
2)



1
1
1
p 1  x
 x e dx 

интеграл
x
A 1  x
 x e dx , p[ , A] .
x
A 1  x
e dx сходится и по признаку Вейерштрасса
p 1  x
e dx сходится равномерно на [ , A] и, следовательно, является непрерывной
1
функцией на множестве [ , A].
Для гамма функции Эйлера справедлива формула

( p )
  x p 1e xy dx
p
y
0
(1)
Это равенство получается после замены x  xy .

(p) =
x

e dx =  y
p 1  x
p 1
x
p 1  xy
e

ydx = y
0
0
p
x
p 1  xy
e
dx
0
1
6. Бета функция Эйлера В(p,q) =
x
p 1
(1  x)q 1 dx , p > 0 , q >0 .
0
Сделаем замену x 
y
dy
, dx =
.
(1  y ) 2
1 y


В(p,q) =
y p 1
1
dy
y p 1
=
0 (1  y) p 1 (1  y)q 1 (1  y)2 0 (1  y) p  q dy .

y p 1
В(p,q) = 
dy
pq
0 (1  y )
(2)
7. Другие свойства функций Эйлера
Из формулы (1) следует, что


( p  q )
y p 1
p  q 1  x (1 y )
,

x
e
dx

(
p

q
)
 y p 1  x p  q 1e xy e x dx . Интегрируя,
pq
pq

(1  y)
(1  y)
0
0

получим ( p  q)




y p 1
p 1
p  q 1  x ( y 1)
q 1  x
p 1  xy
0 (1  y) p  q dy  0 y dy 0 x e dx  0 x e dx0 ( xy) e xdy . Откуда,
используя (2)
B ( p, q ) 
 ( p ) ( q )
.
( p  q )

В(p,1-p) = Г ( p ) Г (1  p ) =
y p 1

0 1  y dy = sin p ,0<p<1.
Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).
Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале
88
(0, 1/2).
Интеграл


0
0
p 1  x
p 1
k
x
 x e dx сходится для p>0 и  x ln x e dx сходится равномерно на любом
отрезке [ , A ], для 0 <  < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем

равномерную сходимость интегралов
x
p 1
ln k x e  x dx .
0
В окрестности нуля |ln x| 
C1 ( )
. Константа C1()существует для любого  > 0.
x
Аналогично, в окрестности бесконечности |ln x|  C2 ( ) x .

Равномерная сходимость интеграла Г (p)=
(k)
x
p 1
ln k x e  x dx на любом отрезке [ , A ] следует
0
из оценок

1

1
0
0
1
0
 1
k
x
k
  k 1  x
A 1
k
x
p 1
k
x
 x ln x e dx   x | ln x | e dx +  x | ln x | e dx  C1 ( ) x e dx +

C2k ( )  x Ak 1e  x dx , для всех p[ , A]. Здесь для  >0 следует выбрать  так, чтобы  - k 
1
оставалось больше нуля.
8. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл

A
f ( x)
dx существует для любого
x
A > 0.
b

a
1
f (bx)  f (ax)
,
f ' ( xy)dy =  d y f ( xy) 
xa
x
b
b

b
a
0
a

b
0
a


0

f (bx)  f (ax)
dx =  dx  f ' ( xy)dy =
x
0
a
b
 dy  f ' ( xy)dx =  y  f ' (u)du =   f ()  f (0) y =- f(0) ln a .
dy


0
dy
b
f (ax)  f (bx)
b
dx = f(0) ln , (a>0,b>0).
a
x
Интегрированием по частям вычисляются интегралы

x
 e cos x dx 
0


 
2
2
,   0,
e
x
sin x dx 
0

 2
2
,0.
Другой способ: Положим  = - + i ,


x
x
 e cos x  i sin xdx   e dx 
0
0
1

de

x

0
1

ex

x 0

1


1
   i



 2
 2
i 2
, откуда и следуют указанные формулы.
2
2
   i
 
 
  2
Вычислить
89

cos bx  cos x
dx   ( ) .
x
 x
e
0

' ( )   ex (cos cx  cos bx) dx 
0

 c
2
2


  b2
2
,


c
d
d
1
1
1 b2 1  2  c 2
2
2 
2
2 
 ln


ln(


c
)

ln(


b
)

ln 2 = ln 2
2
2
2
2
2

0
0
b
 c 0 b
2
2
2 c 2  b
0
( )  (0)  
,  ( ) 
1  2  c2
ln
2  2  b2
Интеграл Пуассона

I=
e
 x2

dx 
2
0

.



I 2 = e x dx xe x
2
y2
0
0


2

dy =  dy  e x
0
2
(1 y 2 )

xdx =
0

1 dy
 x 2 (1 y 2 )
e
dx 2 (1  y 2 ) =
2


2 0 1 y 0

1 dy

1

eu du = arctg y 0 = .
2 

2
4
2 0 1 y 0

Интеграл I =
 ax
 e cos bx dx .
2
0
Интегрирование по частям I =

2
1 ax2
1
e d sin bx = sin bx e  ax

b
b0

0


2
 2a  x sin bx e  ax dx  =
0


2
2a
x sin bx e ax dx .

b 0

I b ' =   x sin bx e
0
b2
 ax 2



2
2
b
1

dI
bdb
, I = C e 4 a , I(0) =  e  ax dx =

dx   I ,
e u du =

I
2a
2 a
2a
a0
0
b2
1   4a
e .
,I=
2 a

 

2
2
2
2
2
Вычислить интеграл F(a,b) = ln a sin x  b cos x dx , a>0, b>0
0


2
2
F
sin 2 x
F
sin 2 x

2
b
 2a  2 2
dx
(2),
2
2
0 a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 xdx

b
a
a
sin
x

b
cos
x
0

2
sin 2 x
F
F
dx +С(b).
b
  из (2) F(a,b) =  2udu  2 2
2
2
a
b
u
sin
x

b
cos
x
0
0
a
a
t2
1  b2
1 



 2
2 2
2
2
2
2  2 2
2
(a t  b )(t  1) b  a  a t  b t  1 
90
(1)



2
2
sin x
tg 2 x
t2
dx

dx

0 a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x
0 a 2tg 2 x  b 2
0 (a 2t 2  b 2 )(t 2  1) dt =
2



1  2
dt
dt 
1 b  

= 2
 2
b

 =
2 
2 
2 2
2
2



b  a  a 2 2  2a ( a  b)
b a  0 a t b
t 1
0
a

F(a,b) = 2u
0

2u (u  b)
du +C(b)=  ln
ab
+C(b).
b
 ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) =  ln
Глава 6.
b
.
2
Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты
§1. Преобразования базисов и координат
1. Отображение областей. Криволинейные координаты
Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) .
Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями,
осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое
и обратное непрерывно дифференцируемы )
x  x( x1 , x 2 , x 3 ) 

y  y ( x1 , x 2 , x 3 )
z  z ( x1 , x 2 , x 3 ) 
(1)
Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D.
Наборы координат (x,y,z) и (x1,x2,x3) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M
из области V определяется, как ее исходными координатами ( в дальнейшем это будут декартовы
координаты ), так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называются
криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так,
если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называется
координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и
третьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогично
определяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точку
области будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки
однозначно определяется заданием трех линий l1S1, l2S2, l3S3 . Наряду с координатными линиями
можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну
из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.
Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V
91
Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через
  x y z  
r1   1 , 1 , 1  
 x x x  
  x y z 
r2   2 , 2 , 2 
 x x x 
  x y z  
r3   3 , 3 , 3  
 x x x  
(2)
Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны
x
x1
x
  
(r1 , r2 , r3 )  2
x
x
x 3
y
x1
y
x 2
y
x 3
z
x
1
x
x1
z
y
 1
2
x
x
z
z
3
x
x1
x
x 2
y
x 2
z
x 2
x
x 3
y
D ( x, y , z )

 0.
3
x
D( x1 , x 2 , x 3 )
z
x 3



 
Для данного базиса единственным образом можно определить базис r 1, r 2, r 3 такой, что ( rk , r j)=
 kj . Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется
взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам
 
 
 
[r , r ] 
[r , r ] 
[r , r ]

r 1=  2 3 , r 2=  3 1 , r 3=  1 2 .
( r1 , r2 , r3 )
(r1 , r2 , r3 )
(r1 , r2 , r3 )
(3)
Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в
каждой точке области V базис (2) является ортогональным.
В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что


  

тройка r1 , r2 , r3 правая. Положим H1= | r1 | , H2= | r2 | , H3= | r3 | , величины H1, H2, H3 называются
коэффициентами Ламе. В силу ортогональности (тройка правая)



 
r  
r
r
  
 
(r1, r2 , r3 ) = H1 H2 H3 , [r2 , r3 ] = H2 H3 1 , [r3 , r1 ] = H3 H1 2 , [r1, r2 ] = H1 H2 3 .
H1
H2
H3
Откуда следует, что



r 
r
r


r 1 = 1 2 , r 2 = 22 , r 3 = 32 .
H1
H2
H3
2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве
Цилиндрические координаты
92
x  r cos  

y  r sin  
z  h 
x1=r

r 1=(cos  , sin  ,
0)
x3=h
x2=

r 2=r (- sin  ,
H1=1

r 3=(0, 0, 1)
cos  , 0)
H2=r
H3=1
  
Система цилиндрических координат ортогональна и (r1 , r2 , r3 ) =
D( x, y, z )
=r,
D( x1 , x 2 , x 3 )

1
r
  
 
r 1 = r1 , r 2 = 22 = ( sin  , cos  ,0) , r 3 = r3 .
H2 r
Сферические координаты
x   cos cos  

y   cos sin  
z   sin  
x2=
x3=, [-/2, /2]

r 2=

r 3=
 cos  (-sin  ,cos
 ,0)
 (-sin  cos  , - sin  sin  ,
cos )
H2= sin ,
H3=.
x1=

r 1= (cos  cos  , cos  sin  ,
sin )
H1=1
  
Система сферических координат ортогональна и (r1 , r2 , r3 ) =
D( x, y, z )
=2cos ,
D( x1 , x 2 , x 3 )
3. Взаимные, сопряженные базисы
В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.
93
Определение. Базисы ri , rk называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие
(ri , rk) =  ik .
Теорема. Для любого базиса ri существует единственный взаимный базис.
Из условия r1  r2 , r1  r3 , поэтому этот вектор надо искать в виде c[r2 , r3], из условия
(r1 , r1) = 1 находится множитель c. Таким образом,
r1 = [r2 , r3]/( r1 , r2 , r3 ), r2 = [r3 , r1]/( r1 , r2 , r3 ), r3 = [r1 , r2]/( r1 , r2 , r3 ).
Любой вектор пространства можно разложить по базисам
3

x=
3
xk r k =
k 1

r k xk .
k 1
Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными
координатами.
Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие
индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от
1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при
написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».
Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться.
Тоже самое касается жирности шрифта для обозначения вектора (r=r, если не возникает
путаницы).
Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом
x = xk rk = rk xk .
3
Еще один пример:
ai bij cj =
3

ai bij cj .
i 1 j 1
Найдем выражение для ко и контравариантных координат
x = x i r i = r i xi 
xi = (x, ri ), xi = (x, ri)
(1).
Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса
x = (x, ri ) ri = ri (x, ri)
(2)
Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)
xi = (x,rj )(rj,ri) = xj gji
(3)
xi = (rj,ri) (x,rj ) = gji xj
(4)
Матрицы gji = (rj,ri), gji = (rj,ri) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в
качестве x в формуле (2) вектора rj , rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с
помощью метрических тензоров
rj = gji ri
rj = ri gji .
Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью
метрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk , получим
 jk = gji gik
 kj = gik gji .
94
Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.
4. Преобразование координат
Даны базисы ei , ei и ei , e i . Обозначим матрицы, связывающие эти базисы ai j , bi j , cij , d i j .
b kj cij =  ik (5)
e i = ej cij , ei = e j bi j 
k
Равенство b j cij =  ik в развернутом виде выглядит следующим образом
 b11
 2
 b1
 b3
 1
b31 

b32 
b33 
b21
b22
b23
 c11
 2
 c1
 c3
 1
c12
c22
c23
c31   1 0 0 
 

c32  =  0 1 0  ,
c33   0 0 1 
Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования:
«левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний –
номер столбца.
d kj ai j =  ik (6)
e j = a i j ei , ej = d i j e i 
Последнее равенство в матричном виде:
 d11
 2
 d1
d3
 1
d 31   a11

d 32   a12
d 33   a13
d 21
d 22
d 23
a12
a22
a23
a31   1 0 0 
 

a32  =  0 1 0  .
a33   0 0 1 
Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на e k получим выражения
для матриц перехода между базисами
(ei , ek )  (e j , cij , ek )  kj cij  cik ,
k
k
(ek , e i )= ( d j e j , e i )= d j  i j = d ik .
Таким образом, cik = d ik . Аналогично показывается, что bi j = ai j . Равенства (5), (6)
перепишутся в виде
e i = ej cij , ei = e j bi j (7)
e j = bi j ei , ej = cij e i
(8)
Равенства (7), (8) в развернутом виде:
e1 e2 e3  = e1 e2 e3 
 c11
 2
 c1
 c3
 1
c12
c22
c23
 b11

e1 e2 e3  = e1 e2 e3   b12
 b3
 1
c31 

c32  ,
c33 
 e 1   b11
 2  2
 e  =  b1
 e 3   b3
   1
b21
b22
b23
b31   e1 
 
b32   e 2  ,
b33   e3 
 e1   c11
 2  2
 e  =  c1
 e3   c 3
   1
95
c12
c22
c23
b21
b22
b23
b31 

b32 
b33 
c31   e 1 
 
c32   e 2 
c33   e 3 
(
7)
(
8)
Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для
контравариантных координат.
Имеем x = e i x
i
 x1 
 x1 
 2
 
= ei x i или x= e1 e2 e3   x  = e1 e2 e3   x 2  . Подставляя во второе
 x3 
 x3 
 
 
равенство ei из (7) получим
x = e j bi j x i , откуда e j x j = e j bi j xi и x j = bi j xi.
k
j
j k
Аналогично из равенств xk e k  xk e k , ek = cik e I получаем, xk e  x j e  x j ck e откуда
xk  x j ckj . Таким образом,
 x 1   b11
 2  2
 x  =  b1
 x 3   b3
   1
b21
b22
b23
b31 

b32 
b33 
 x1 
 2
 x ,
 x3 
 
 c11

x1 x2 x3  = x1 x2 x3   c12
 c3
 1
c12
c22
c23
c31 

c32  .
c33 
j
Полученные формулы x j = bi j xi , xk  x j ck позволяют сформулировать правило: координаты
векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора
сопряженного базиса
e i = ej cij
ei = e j bi j
xk  x j ckj
xi  x j bi j
e j = bi j ei
ej = cij e i
x j = bi j xi
xj = cij x i
§2. Выражение операций теории поля в криволинейных координатах
1. Введение
В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой
системой координат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображением
x  x( x1 , x 2 , x 3 ) 
x1  x1 ( x1 , x 2 , x 3 ) 


y  y ( x1 , x 2 , x 3 ) или x2  x2 ( x1 , x 2 , x 3 )
z  z ( x1 , x 2 , x 3 ) 
x3  x3 ( x1 , x 2 , x 3 ) 
Это отображение предполагается невырожденным, непрерывно дифференцируемым и
имеющим отличный от нуля якобиан. Обратное отображение имеет вид
x1  x1 ( x1 , x2 , x3 ) 

x 2  x 2 ( x1 , x2 , x3 ) .
x 3  x 3 ( x1 , x2 , x3 ) 
Согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения  j 
i
x i xk
или в матричном виде
xk x j
96
 x1

 x1
x x*  x 2

x* x  x1
 x 3
 x
 1
x1  x
 1
x3  x1

x 2  x2

x3  x1
x 3  x3
1
x3  x
x1
x2
x 2
x2
x 3
x2
x1
x 2
x2
x 2
x3
x 2
x1 

x 3 
x2 
=
x 3 
x3 

x 3 
1 0 0


 0 1 0 .
0 0 1


Здесь использованы следующие обозначения для матриц Якоби и ковариантных,
контравариантных векторов:
 x1

1
 x1
x 
 2
x  x 2
x   x , x*  x1 , x2 , x3 ,

x*  x1
 x3 
 
 x 3
 x
 1
x1
x2
x 2
x2
x 3
x2
x1 
 x1

 1
x3 
 x
x 2  x*  x2

,
x3  x  x1
 x3
x 3 
 1
 x
x3 
x1
x 2
x2
x 2
x3
x 2
звездочкой внизу обозначены ковариантные координаты.
 x j x j x j 
 являются сопряженными к
,
,
 x1 x2 x3 
Таким образом, вектора 
 x j x j x j 
 x1 x2 x3 
j

 .
,
т.
е.
r
=
,
,
,
i
i
i 

x

x

x
 x x x 
1
2
3


ri = 
В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:
uk=
u
V  P Q R 
, V  ( P, Q, R),Vk  k   k , k , k 
k
x
x
 x x x 
2. Выражение градиента в криволинейных координатах
Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен
 u u u 
 . По формуле дифференцирования сложной функции
,
,
 x1 x2 x3 
grad u = 
3
u
u x j
u x j
=(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббса



i
i
x
x j x i
j 1 x j x
grad u = (grad u , ri ) ri =ui ri .
Откуда для ортогональной системы координат
grad u = ui ri = ui
ri
e
= ui i .
2
Hi
Hi
3. Выражение дивергенции в криволинейных координатах
Обозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi =
div V =
V  P Q R 
=
,
,
 , тогда
x i  x i x i x i 
P Q R P x k Q x k R x k
=
+
+
=


x1 x2 x3 x k x1 x k x2 x k x3
97
x1 

x 3 
x2 
,
x 3 
x3 

x 3 
=
P x1 P x 2 P x 3
+


x1 x1 x 2 x1 x 3 x1
+
Q x1 Q x 2 Q x 3
+


x1 x2 x 2 x2 x 3 x2
R x1 R x 2 R x3
 1
 2
 3
 (V1 , r1 ,V2 , r 2 , V3 , r 3 )  (Vk , r k ) 
x x3 x x3 x x3
3

k 1

 Vk ,
rk  3 1
Vk , ek  .
 
H k2  k 1 H k
В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak
. В этом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в
3
1
 H V , e . Можно показать, что
формулу для данной операции, например, в формулу div V =
k
k 1
div V =
1
H
k
k
  H k

A  .
k 
 Hk

 x
k
4. Выражение ротора в криволинейных координатах
V = Pi +Qj + Rk , Vi =
i

rot V =
x1
P
j

x2
Q
V  P Q R 
=
,
,
,
x i  x i x i x i 
k
  R Q P R Q P 
=
=

,

,

x3  x2 x3 x3 x1 x1 x2 
R
 R x k Q x k P x k R x k Q x k P x k 
 k
 =
 k
, k
 k
, k
 k
 x x2 x x3 x x3 x x1 x x1 x x2 
3
=
k 1
i
x k
x1
P
x k
j
x k
x2
Q
x k
k
x k
=-[ Vk , rk]=
x3
R
x k
3
1
[rk , Vk]=

2
k 1 H k
3
1
H
k 1
[ek , Vk].
k
5. Выражение оператора Лапласа в криволинейных координатах
grad u =
 uk
k
ek
,
Hk
3
1 u
1 u
, div grad u = (Vk , rk).
e , Ak =
k
k k
H k x
k x
H
k 1
1
  Ak H 
 получим
Тогда из формулы div V =
 
H k x k  H k 
u = div grad u =
98
1
H
  H u 
 2 k  .
k 
 H k x 
 x
k
Выражение операций теории поля в цилиндрических и сферических координатах можно найти
в приложениях (глава 8).
Глава 7.
Тензорная алгебра
§1. Линейные функционалы. Сопряженное пространство
1. Определение линейного функционала
Пусть Х – линейное пространство, т. е. множество элементов, среди которых определены две
операции: операция сложения x+y для любых двух элементов и операция умножения любого
элемента из Х на вещественное или комплексное число x , удовлетворяющие аксиомам линейного
пространства.
Линейный функционал определяется, как отображение из Х в R: y = f(x) , удовлетворяющее
свойству f(ax+by)=af(x)+bf(y).
Функционалы можно складывать и умножать на числа. Так, если даны два функционала f1 (x),
f2 (x), то «функционал-сумма» определяется по формуле
f (x) = f1 (x)+ f2 (x).
Аналогично определятся функционал «умножение на число»
f (x) =a f1 (x).
Можно проверить, что множество всех линейных функционалов над линейным
пространством Х с этими операциями сложения функционалов и умножения функционала на число
является линейным пространством. Для этого нужно убедиться, что указанные выше операции
удовлетворяют следующим свойствам:
1.
для любых функционалов g и f справедливо равенство
f+g=g+f
2.
для любых функционалов f , g , h справедливо равенство
(f+g)+h= f+(g+h)
3.
для любых чисел a , b и любого функционала f справедливы равенства
(ab) f=a (b f) , (a+b) f = a f +b f
4.
для любых функционалов f , g и любого числа a имеет место равенство
a(f+g)=af+ag
5.
существует нулевой функционал 0 такой, что для любого функционала f справедливо равенство
0+f=f
6. для любого функционала f существует противоположный функционал, обозначаемый –f и
удовлетворяющий свойству
f + (–f ) = 0
7.
для любого функционала f выполнено:
1f=f
Примеры линейных функционалов
1.
Нулевой функционал f(x)=0 для любого x X.
2.
f(x) =
b
 x(t )dt для любых x(t) C[a,b].
a
99
3. Пусть X – n-мерное линейное пространство, ek базис в этом пространстве. Для любого x X
существует единственное разложение x = ek f k . Так как коэффициенты этого разложения
определяются однозначно, то можно записать f k= f k(x). Таким образом, если x = ek f k(x) , y = ek f k(y),
то
a x+by = a ek f k(x) +b ek f k(y) = ek ( a f k(x) +b f k(y)) , С другой стороны, ax+by = ek f k(ax+by) ,
откуда следует, что коэффициенты разложения f k являются линейными функционалами
a f k(x) +b f k(y)ek = f k(ax+by).
Отметим, что f k (em )  km .
Определение. Множество всех линейных функционалов над Х называется сопряженным
пространствам и обозначается Х*.
Теорема 2. Если Х – конечномерное (размерности n) линейное пространство, то сопряженное
пространство Х* также имеет размерность n. Базисом в Х* служит набор функционалов f k.
Доказательство. Система функционалов f k(x) линейно независима. Действительно, если для
любого x  X : сk f k(x)=0 , то полагая x = ej , получим сk = 0. Это означает линейную независимость
функционалов f k(x). Докажем, что любой функционал можно разложить по системе f k(x). Пусть f(x)
некоторый функционал и x = ek f k(x) , тогда
f(x) = f(ek f k(x)) = f(ek) f k(x) = сk f k(x).
Отметим, что единственность разложения следует из линейной независимости функционалов
f k(x).
Определение. x  X , f  X* называются ортогональными, если f( x)=0.
Определение. Два базиса ek из Х и f k из Х* называются биортогональными (взаимными), если
f k (em )  km . .
Существование взаимного базиса мы ранее доказали. Докажем его единственность. Пусть g j
k
другой взаимный базис g k( ek ) =  j . Рассмотрим разложение g j(x) по базису f k(x) : g j (x) = ckj f k(x) ,
если в это равенство подставить x = ei , то получим  i j = g j(ei) = ckj f k(ei) = ckj  ik = cij . Таким
образом,
g j (x) =  kj f k(x) = f j(x).
Определение. В линейном вещественном пространстве Х определено скалярное произведение,
если каждой паре x, y из Х поставлено в соответствие вещественное число (x, y) , удовлетворяющее
следующим свойствам
1)
(x,y) = (y,x)
2)
(ax,y) = a(x,y)
3)
(x+y,z) = (x,z) + (y,z)
4)
(x,x)  0 , (x,x) = 0  x = 0.
Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Примеры.
b
1. Пространство CL2[a,b], (f,g) =
 f ( x) g ( x)dx .
a
100
n
2. Пространство Еn , x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn), (x,y) =  xk yk .
k 1
3. Пространство l 2 , элементами пространства служат всевозможные числовые

последовательности x={xk}, удовлетворяющие условию
x
2
k
k 1
 . Операции сложения
последовательностей и умножения их на (вещественные) числа вводятся обычным образом.

Скалярное произведение определяется по формуле x={xk}, y={yk} , (x,y) =  xk yk .
k 1
Проверим, что сумма двух элементов из l 2 также принадлежит l 2. Использую неравенство
Коши-Буняковского, получим
2
 xk  yk    xk2  2 xk yk  yk2    xk2  2 xk yk   yk2 
n
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
2
n
  xk2  2
k 1
n
 xk2
k 1
n

2
y

yk2  


k
k 1
k 1

n
 x
k 1
k

k 1
k 1
 xk2 
k 1
n
y
k 1
2
k

 .


 xk2 ,  yk2 будет следовать сходимость ряда
Таким образом, из сходимости рядов


n
 yk  и следовательно, элемент x+y  l 2, если x , y  l 2. Очевидно, что x ={xk} l 2, если
2
x  l 2. Также можно проверить выполнение аксиом линейного пространства и аксиом скалярного
произведения. Нулем пространства служит последовательность из нулей: ={0}, противоположным
элементом для x ={xk} будет (-x) ={-xk}. Остальные аксиомы линейного пространства следуют из
соответствующих свойств пространства вещественных чисел. Аксиомы скалярного произведения
следуют из простейших свойств числовых рядов.
Теорема. Если Х является n-мерным евклидовым пространством, то для каждого линейного
функционала существует единственное y, такое что
f (x) = (x ,y).
Доказательство. Выберем в Х ортонормированный базис e1,e2,…,en . Для произвольного x и
функционала f будут справедливы соотношения
n
x = ek f k(x) , f(x)= f(ek) f k(x) . Положим y =
 f (e )e
k 1
k
k
, тогда
n
 n
 n
( x, y )    ek f k ( x),  f (ek )ek    f k ( x) f (ek )  f (ek ) f k ( x)  f ( x) . Докажем единственность
k 1
 k 1
 k 1
такого функционала. Пусть (x , z)=(x , y) или (x , z-y)=0 для всех x. Полагая в этом равенстве x = z-y ,
получим z = y .
С другой стороны для фиксированного y скалярное произведение ( x , y ) является линейным
функционалом по переменной x . Таким образом, линейные функционалы над Х можно
отождествлять с элементами пространства Х. Поэтому для линейного функционала f, действующего
в линейном пространстве Х общепринятым является обозначение
f (x) = (x , f ).
2.
Формулы преобразования координат
Если f k, ek взаимные базисы из Х* и Х соответственно, то
x = ek  k  k= (x , f k ),
101
далее f = ηk f k , ηk = (ek , f) или
x  ek ( x, f k ) 
 Формулы Гиббса
f  (ek , f ) f k 
(1)
Перемножая скалярно x= ek ξ k и f = ηk f k получим
(x , f)= ηk ξ k
(2)
Как и раньше выводятся формулы преобразования координат. Приведем эти формулы.

Если e = ei ci и f  = b j f
j
, то
f i  cki f k , bkj cik  ij , ckj bik  ij .
(3)
k
Если x = ek  k = e k  , то
i
  bki k
(4)
i  k cik
(5)
k
Аналогично, если f = k f k = k f , то
Как уже отмечалось ранее, формулы преобразования координат соответствуют формулам
преобразования базисов
ei  ek cik ,
i  k cik
i
i
f  bki f k ,
  bki k
§2. Тензоры
1. Определения и примеры
Пусть Х – евклидово пространство размерности n . Тензором А типа (q,p) (q – раз
контравариантным, p – раз ковариантным ) называется некоторый объект, характеризующийся
набором чисел
j j ... j
Ai1i12 ...2 i p q (компоненты или координаты тензора),
которые при переходе от базиса e1, e2,…, en, к новому базису e1 , e2 ,..., en преобразуются по
закону
  ... 

A11 22... pq  b j11 b j 22 ...b. j qq Ai1i12 ...2 i p q ci11 ci22 ...c.p p ,
j j ... j
i

Где cij , bi j - матрицы, связывающие вектора старых и новых базисов: e = ei ci и f  = b j f
j
(формулы (3) из первого параграфа).Величина p+q называется валентностью или рангом тензора.
Примеры.
1.
Скаляр (числовая константа) формально можно считать тензором типа (0,0).
2. Контравариантный вектор (элемент исходного пространства Х) является тензором типа (1,0). Это
следует из формул преобразования координат. Если x = ek  k = ek k , то согласно формулам (4)
   bj  j .
102
3. Ковариантный вектор (функционал из Х*) является тензором типа (0,1). Это следует из формул
j
преобразования координат. Если f = k f k =  k f k , то    j c .
4. Билинейная форма В(x,y) в пространстве контравариантных векторов (Х,Х) является тензором
типа (0,2). Действительно, пусть x = ek x k , y = ek y k , e = ei ci . Координаты или коэффициенты
билинейной формы равны
aij  B(ei , e j ) , a  B(e , e ) = B(ei ci , e j cj ) = B(ei , e j )ci cj = aijci cj .
5. Билинейная форма В(f,g) в пространстве ковариантных векторов (Х*,Х*) (точнее, матрица

 j
билинейной формы) является тензором типа (2,0). Действительно, пусть f = k f k , f  b j f .
Координаты или коэффициенты билинейной формы равны
a ij  B( f i , f j ) , a   B( f  , f  ) = B(bi f i , bj f j ) = bi bj B( f i , f j ) = bi bj aij .
6. Билинейная форма В(x, f) в пространстве векторов (Х,Х*) (точнее, матрица билинейной формы)

 j
является тензором типа (1,1). Действительно, пусть x = ek x k , f = k f k , e = ei ci , f  b j f .
Координаты или коэффициенты билинейной формы равны
aij  B (ei , f j ) , a  B(e , f  ) = B(ei ci , b j f j ) = b j B(ei , f j )ci = bj aij ci .
7. Линейный оператор Ax в пространстве векторов Х является тензором типа (1,1) (речь идет, как
и в примерах 4, 5, о матрице линейного оператора). Сопряженный базис будем обозначать e j . В
начале выпишем выражение коэффициентов матрицы линейного оператора в терминах базиса.
Имеем
Aei  ek aik .
Полезно отметить, что матрицей этого оператор будет матрица
 a11
 2
 a1
 a13

a12
a22
a23
a31 

a32  .
a33 
Используя сопряженный базис, получим равенства ( Aei , e j )  (aik ek , e j )  aij . Таким образом,
координаты исследуемого объекта будут выражаться через дуальные (сопряженные) базисы в
виде
aij  ( Aei , e j ).
В новом базисе
ai j  ( Aei , e j )  ( Aek cik , bmj e m )  bmj ( Aek , e m )cik  bmj akm cik .
2. Основные операции над тензорами
Обозначения. Мульти индекс.
i= i1 i2 … ip , = 1 2 … p ,
j= j1 j2 … jq , = 1 2 … q ,
p, q – называются порядками мульти индексов. В дальнейшем будут использоваться
следующие обозначения;
Для координат тензора Ai j  Ai1i12 ...2 i p q ,
j j ... j
103

для матриц перехода координат bi  bi1 1 bi2 2 ...bi p p ,
в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать.
Обозначение для векторов базисов: ei  ei1 ei2 ...ei p .
В этих обозначениях определение тензора (q, p) запишется в виде
A  bj Ai j ci .
Мульти индексы складываются по правилу
i+j= i1 i2 … ip j1 j2 … jq ,
где i=i1 i2 … ip , j= j1 j2 … jq .
Сумма двух тензоров A, B типа (p,q) определяется по формуле
Di j  Ai j  Bi j .
В результате операции получается тензор того же типа,


D  A  B  bj Ai j ci  bj Bi j ci  bj Ai j  Bi j ci  bj Di j ci
Произведение тензора на число определяется по формуле
Di j  Ai j .
В результате операции получается тензор того же типа,
D  A  bj Ai j ci  bj Ai j ci  bj Di j ci
Произведение тензора A типа (p,q) на тензор B типа (r,s) определяется по формуле
Di jkl  Ai j Bkl .
Или в развернутом виде
Di1i12 ...2 i p kq1k122... k rs  Ai1i12 ...2 i p q Bkl11lk22......lks r .
j j ... j l l ... l
j j ... j
В результате операции получается тензор типа (q+s ,p+r). Докажем последнее утверждение.
Для исходных тензоров имеем формулы преобразования их координат
Ai j  bj A ci , Bkl  bl B ck . Тогда для координат произведения получим
Di j k l = Ai j Bkl  bj A ci bl B ck = bj bl A B ci ck = bj bl D ci ck = bj l D cik .
Множества тензоров типа (q,p) в евклидовом пространстве Х с введенными таким образом
q
операциями обозначается Ap (X ) .
Пример.
Рассмотрим произведение двух тензоров типа (1,0) определенных в примере 2. Координаты
этого произведения определяются выражением aij  xi y j . Проверим непосредственно, что
полученный тензор имеет тип (2,0). Действительно,
a ij  x i y j  bki x k bmj x m  bki bmj x k x m  bki bmj a km .
104
Тензор aij  xi x j представляет произведение тензора (0,1) на тензор (1,0). Это произведение
двух тензоров будет тензором типа (1,1).
Операция перестановки местами двух выбранных индексов определяет новый тензор того
же типа.
j j
Рассмотрим эту операцию на примере тензора Ai1i12i23i4 типа (2,4). Положим
Bi1ji12ji23i4 = Ai3j1i2ji21i4 , Bi1ji12ji32i4 = Ai3ji12ji12i4 . Найдем формулы преобразования координат от Bi1ji12ji23i4 к Bi1ji12ji32i4 .
Имеем
Br1sr12sr23 r4 = Ar3s1rs2r21r4 = bsj11 bsj22 Ai3j1i2ji21i4 cri33 cri22 cri11 cri44 = bsj11 b sj22 Ai3j1i2ji21i4 cri11 cri22 cri33 cri44 = bsj11 b sj22 Bi1ji12ji23i4 cri11 cri22 cri33 cri44 .
Операции симметрирования и альтернирования.
...
Определение. Тензор А с координатами A... i... j ... называется симметричным по паре индексов
...
...
i, j, если при перестановке этих индексов координаты тензора не меняются, т. е. A... i... j ... = A... j ... i... .
Если A......i... j ...   A......j...i... , то тензор называется кососимметричным по этой паре индексов (при
перестановке указанных индексов у всех координат тензора меняется знак).
Пример 1. Двухвалентный кососимметрический тензор и его эквивалентность векторному
произведению.
Рассмотрим линейный оператор Ax с кососимметрической матрицей
 a11

A   a12
 a13

a12
a22
a23
a31 

a32  .
a33 
Условие кососимметрии дает: aik   aki . Следовательно, матрица оператора будет иметь вид:
 a11

A   a12
 a13

a12
a22
a23
a31   0
 
a32    a12
a33   a31
a12
0
a23
a31 

a23  .
0 
Можно проверить, что такую матрицу имеет оператор Bx  [ b,x],b  ( a23 , a31 , a12 ). Проверим это.
i
j
Bi=[b,i]  a
1
3
k
a
0
a12  (0, a12 , a31 )  это первый столбец матрицы A .
0
i
j
Bj=[b,j]  a
1
3
3
2
1
3
2
0
k
a
1
i
j
Bk=[b,k]  a
1
3
3
2
0
a
0
a12  (a12 , 0, a23 )  это второй столбец матрицы A .
0
k
a12  (a31 , a23 , 0)  это третий столбец матрицы A .
1
Естественно, верно и обратное. Матрица линейного оператора Bx  [b, x], b  (b1 , b2 , b3 )
является кососимметрическим тензором типа (1,1). Эта матрица имеет вид
105
 0

B   b3
 b
 2
b3
0
b1
b2 

b1  .
0 
Пример 2. Симметричный двухвалентный тензор, как деформация пространства.
Самосопряженный оператор A определяется симметричной матрицей и тем самым является
симметричным тензором. У самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из
собственных векторов. В базисе из собственных векторов координаты тензора (они же, координаты
матрицы оператора) образуют диагональную матрицу с собственными значениями на диагонали. По
направлениям собственных векторов действие оператор будет определятся равенствами A x   i x,
где i собственное значение оси i – го собственного вектора. Такой оператор (соотвественно тензор)
называется деформацие пространства. Например, при 1  1 - растяжение по данной оси.
Пример 3.
Скалярное произведение в пространстве X, будучи билинейной формой, является тензором
типа (0,2). Координаты этого тензора определяются из соотношения aij  (ei , e2 ), откуда следует его
симметричность.
Пример 4.
aijk
Смешанное произведение (x,y,z) в пространстве (Х,Х,X) определяется координатами
 (ei , e j , ek ). В новом базисе aijk  (ei , e j , ek )  (epcip , eqc qj , er ckr )  (ep , eq , er )cipc qj ckr  a pqr cipc qj ckr .
Следовательно, это тензор типа (0,3). Непосредственной проверкой (с учетом свойств смешанного
произведения: (ei , e j , ek )  ([ei , e j ], ek )  (ei ,[e j , ek ]) ) легко установить кососимметричность этого
тензора: aijk  a jik , aijk  aikj , aijk  akji , aiik  0,, aijj  0,, aiji  0. Координаты этого тензора удобно
представлять себе в виде трехмерной матрицы 3x3x3. В этой матрице всего 6 отличных от нуля
элементов. Остальные члены равны по модулю | a123 || . и отличаются только знаком.
Операция симметрирования тензора по индексам i1i2…ik . Операция состоит в построении
...
по данному тензору Ai1i2 ... ik нового тензора B по следующему правилу: рассматриваются k!
тензоров, полученных из А перестановкой индексов i1i2…ik и B определяется, как сумма этих
тензоров, деленная на k!.


def
1
B = A(...i1i2 ... ik )  
A
 k! ( i1i2 ... ik )
...
i1i 2 ... i k

.

Операцию симметрирования можно производить для индексов, находящихся на разных
уровнях. Например, a((ij)) 
Пример 5. a(i1i2 ) 
1 j
ai  a ij  .

2


1
ai i  ai2 i1 для тензора aij типа (0,2).
2 12
 1 2 3


Пример 6. aij   4 5 6  , a(ij)=
7 8 9


1 3 5


3 5 7
5 7 9


Операция альтернирования А тензора по индексам i1i2…ik определяется по формуле
106


def
1
С = A[...i1i2 ... ik ]  
 (1)
[ i1i 2 ... i k ]
 k! ( i1i2 ... ik )

Ai...1i2 ... ik  ,

где [i1i2…ik] – четность перестановки (i1i2…ik).
Операцию альтернирования можно производить для индексов, находящихся на разных уровнях.
Например, a[[ij]] 
1 j
ai  a ij  .

2
Пример 7. a[ i1i2 ] 


1
ai i  ai2 i1 .
2 12
 1 2 3


Пример 8. aij   4 5 6  , a[ij]=
7 8 9


 0 1  2


1 0 1 .
2 1
0 

Пример 8. Рассмотрим тензор типа (3,0), имеющий в исходном базисе координаты a ijk . Тогда,
по определению a[ ijk ] 
1 ijk
(a  a ikj  a jik  a jki  a kij  a kji ). Непосредственно проверяется, что
6
полученный тензор кососимметричен по всем индексам. Как мы видели ранее, все координаты этого
тензора равны нулю, кроме шести (равных по модулю a[123] ).
3. Бивектор, m – вектор, косое произведение.
Определение. Бивектором называется дважды контраваринтный кососимметрический
тензор
Aij   A ji .
Бивектор называется простым, если он получен, как произведение двух конравариантных
тензоров с последующим альтернированием.
Именно, пусть даны два вектор (два контравариантных вектора)
a1  (a11 , a12 ,..., a1n ),
a2  (a12 , a22 ,..., a2n ).
Определяем произведение
Bij  a1i a22 .
Затем полученный тензор альтернируется
Aij  B[ij ] 
1 i j
1 a1i
j i
a
a

a
a

 1 2 1 2  2 ai
2
2
a1j
.
a2j
Объект, определяемый этим тензором называется бивектором и обозначается [a1 , a2 ].
Бивектор обладает свойствами:
[a1 , a2 ]  [a2 , a1 ],
[a , a ]  0,
[a1 , a2 ]  [a1 , a2 ],
[a1  a2 , a3 ]  [a1 , a3 ]  [a2 , a3 ].
Во втором свойстве справа стоит дважды кортравариантный тензор, все координаты которого
равны нулю.
107
Для линейной зависимости двух векторов необходимо и достаточно равенство нулевому
тензору их косого произведения.
Определение. Тензор Ai1i2 ...im m – раз контравариантный и кососимметричный по всем своим
индексам называется m – вектором. m – вектор называется простым, если он получен, как
произведение некоторых m векторов a1 , a2 ,..., am с последующим альтернированием.


Другими словами, пусть заданы m векторов ai  ai1 , ai2 ,..., ain , , i  1, 2,..., m. Определим
произведение соответствующих тензоров
B j1 j2 ,,, jm  a1j1 a2j2 ..., amjm .
Затем полученный тензор альтернируется
A j1 j2 ... jm  B[ j1 j2 ... jm ]
a1j1
j
1 a21

m!
a1j2
a2j2
... a1jm
... a2jm
.
...
amj1
amj2
... amjm
Объект, определяемый этим тензором называется простым m - вектором или косым
произведением соответствующих векторов обозначается [a1 , a2 ,..., am ].
Перечислим некоторые свойства m векторов.
При перестановке двух векторов знак косого произведения меняется.
Если в косом произведении есть два одинаковых вектора, то косое произведение равно нулю.
Косое произведение линейно по каждому из своих аргументов [a1 , a2 ,..., an ].
Для линейной зависимости векторов, входящих в косое произведение необходимо и достаточно
равенства нулю их косого произведения.
Рассмотрим косое произведение из m=n векторов. Среди координат такого тензора A j1 j2 ... jn
ненулевыми будут только координаты с наборами индексов j1 j2 ,,, jn , являющихся перестановкой
натуральных чисел 12...n. Действительно, если в наборе j1 j2 ,,, jn какие-либо два индекса
совпадают, то в матрице
a1j1
a2j1
a1j2
a2j2
... a1jn
... a2jn
,
...
anj1
anj2
... anjn
участвующей в определении косого произведения будут два одинаковых столбца. Таким
образом, любая ненулевая координата будет равна
A j1 j2 ... jn  (1)[ j1 j2 ... jn ] A12...n .
Таким образом, всякий n – вектор имеет с точностью до знака лишь одну существенную
координату A12...n . Выпишем закон преобразования координат тензора при переходе к новому базису
для ненулевых координат
A j1 j2 ... jn  bi1j1 ...binjn Ai1i2 ...in  bi1j1 ...binjn (1)[i1i2 ...in ] A12...n  A12...nbi1j1 ...binjn (1)[i1i2 ...in ].
108
Следовательно, для единственной существенной координаты закон ее преобразования при
переходе к другой системе координат будет выглядеть следующим образом
A12...n  A12...nbi11 ...binn (1)[i1i2 ...in ]  A12...n det bi j .
i i ...i
Определение свертки. Рассмотрим тензор A j11 2j2 ...qj p типа (q,p). Свертка по индексам i1 , j1
определяется по формуле
i ...i
B j22 ... qj p   Aj22... jqp .
i ...i

Этот объект будет тензором типа (q-1,p-1). Действительно,
i ...i
  ...

B j22 ... jqp   Aj22... jqp   b1 bi22 ...bqq A1122... pq c1 c j22 ...c j pp 
i ...i
i


 

i
 1 1 2 ...q  2 ... q
  b1 c1
 1 1
1 1 
  11
1 1


1 2 ...q  2 ... q
  ...

  ...

bi22 ...bqq A1122... pq c j22 ...c j pp 

bi22 ...bqq A1122... pq c j22 ...c j pp 
i
i
2 ...q  2 ... q

  ...
i
2 ...q  2 ... q
  ...

bi22 ...bqq A1122... pq c j22 ...c j pp 

bi22 ...bqq A1122... pq c j22 ...c j pp 
i


2 ...q  2 ... q
  b1 c1
  ...
b1 bi22 ...bqq A11 22... pq c1 c j22 ...c j pp 
i
  ...

 bi ...b A  ... c j ...c j 

2 ...q  2 ... q 1
2
q
1 2
q
2
p
2
q
1 2
p
2
p
i 
  ... 

i
 ...

 bi22 ...bqq   A11 22... pq  c j22 ...c j pp  bi22 ...bqq B 22... pq c j22 ...c j pp .
 1

При некоторых дополнительных условиях свертку можно было бы производить и по индексам,
находящимся на одном уровне. Например, свертка по второму и предпоследнему индексам нижнего
уровня может быть определена по формуле
B j11 2j3 ...qj p2 j p   Aj112 j3 ...q j p2j p .
i i ...i
i i ...i

Доказательство проведем для более удобного расположения свертываемых индексов.
12
q
B j13 2... j pq   A
j3 ... j p .
i i ...i
i i ...i

Действительно,
  ...

i1 i2
12
q
q
1 2
q 1  2  3
p
B j13 ...2 j pq   A
j3 ... j p   b1 b2 ...bq A1 2 ... p c c c j3 ...c j p 
i i ...i
i i ...i
i

 


i
 1  2 1 ...q 3 ...  q
  с1 c2
 1  2
  с1 c2
1 1 
  ...

bi11 bi22 ...bqq A1122... pq c1 c2 c j33 ...c j pp 

  ...

bi11 ...bqq A1122... pq c j33 ...c j pp 

bi11 ...bqq A1122... pq c j33 ...c j pp 
1 ...q 3 ...  q
1 ...q 3 ... q
109
  ...

i
i
  12
1 1


1 1 ...q 3 ...  q

i
1 ...q  3 ... q
  ...

bi11 ...bqq A1112... pq c j33 ...c j pp 
i
  ...

bi11 ...bqq A1122... pq c j33 ...c j pp 

i
  ...

 bi ...b A  ... c j ...c j 
1 ...q 3 ...  q 1
1
q
1 2
1
q
1 1
q
p
3
p
3
p
i 
  ... 

i
 ...

 bi11 ...bqq   A1112... pq  c j33 ...c j pp  bi11 ...bqq B31... pq c j33 ...c j pp .
 1

При выводе использовалось условие ортогональности матрицы cij , в частности, условие
сi cj  ij . Это условие означает, что в качестве допустимых преобразований рассматриваются только
повороты вокруг начала координат.
Операция свертки может производится и по разным парам индексов. Например, заданы
тензоры Ai j и произведение тензора xi самого на тензор x j себя: ( Bi j  xi x j ). Можно определить
тензор нулевой валентности, как свертку по парам индексов
С    Ai j x j xi  x j Ai j xi .
i
j
Проверим это еще раз в данном частном случае:
С  x j Ai j x i  xk ckj bl j Aml cimbip x p  xk lk Aml mp x p  xl Aml x m  C.
Операция свертки может использоваться для получения инвариантов тензора ( функций от
координат тензора, которые не меняются при переходах к новым системам координат.
Например, для двухвалентного тензора Ai j типа (1,1) свертка
 Akk
является тензором нулевой
k
валентности, т.е. константой. Эта величина называется следом тензора. Она же является следом
матрицы Ai j (так же следом оператора, имеющего эту матрицу).
4. Метрический тензор.
Метрический тензор определяется по формулам gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), где ei , ei – два взаимных
базиса в евклидовом пространстве Х. Ранее были выведены формулы Гиббса
x = (x,ek)ek , x = ek (x,ek) ,
откуда следует, что
ej = (ej,ek)ek=gjk ek , ej = ek (ej,ek)= ek gjk .
Если x = xj ej , y = yk ek , то скалярное произведение
(x, y) = xj yk (ej, ek)= xj yk gjk – билинейная форма ( тензор типа (2,0) ).
Аналогично, если x = ej x j , y = ek yk , то скалярное произведение
(x, y) =( ej , ek) x j yk = gjk x j yk – билинейная форма ( тензор типа (0,2) ).
Положим g ij  (ei , e j )   i j , x = ej x j , y = yk ek, тогда
(x, y) =( ej x j , yk ek )= yk ( ej , ek ) x j - билинейная форма ( тензор типа (1,1) ).
ij
Отметим, что g , gij являются тензорами типа (2,0),(0,2) соответственно. Действительно,
g ij  (ei , e j ). Тогда g ij  (e i , e j )  (bki e k , bmj em )  bki bmj (e k , e m )  bki bmj g km . Аналогично, g ij  (ei , e j ) и
gij  (ei , e j )  (ek cik , emc mj )  (ek , em )cik c mj  gk mcik c mj .
110
Определение. Тензоры gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), g ij  (ei , e j )   i j называются метрическими
тензорами в евклидовом пространстве Х.
Тензоры gij , gij очевидно симметричны. С помощью метрических тензоров можно определить
операцию поднятия индекса i1
 j ... jq
Ai2 ...1i p
 Ak 1i2 ... iqp g k ,
j ... j
и операцию опускания индекса j1
A 2i1 ... iqp  g k A i1 ...2i p q .
j ... j
k j ... j
Пример. Тензор момента инерции материальной точки. В качестве преобразований
перехода к новой системе координат будем рассматривать повороты относительно начала координат.
Материальная точка m с контравариантными координатами x1 , x 2 , x3 и ковариантными
координатами x1 , x2 , x3 удалена от начала координат на величину
r
x  x  x 
1 2
2 2
3 2

 x1 
2
  x2    x3  ,
2
2
которая, таким образом, является константой - тензором нулевой валентности. Можно предполагать
(хотя это не обязательно), что базисы ei , e i ортонормированны (с этом случае матрицы bi j , cij ,
связывающие базисы и координаты будут ортогональными). Величина
r 2   x1    x 2    x 2    x1    x2    x2 
2
2
2
2
2
2
является константой (не зависит от указанных поворотов), является тензором нулевой валентности.
Составим матрицу (тензор типа (1,1))
Ai j   mxi x j  ij mr 2 ,
где  ij - символ Кронекера (единичная матрица, она же, матрица единичного оператора, она же
тензор типа (1,1)). Этот тензор является симметрическим и называется тензором момента инерции
материальной точки. Это определение можно обобщить на систему материальных точек m ( ) ,
расположенных на фиксированных расстояниях друг от друга. Координаты этих точек будем
обозначать xi ( ), x i ( ) , расстояния до начала координат r () .
Тензором момента инерции этой системы материальных точек называется сумма тензоров
моментов инерции отдельных точек
M i j   Ai j ()   m() xi () x j ()  ij  m() r 2 ().



Выясним физический смысл тензора момента инерции. Рассмотрим единичный вектор l с ко и
контравариантными координатами li , l j некоторой оси, проходящей через начало координат.
Отметим следующие равенства, используемые в дальнейшем:
x  ei x i , l  li ei откуда следует: ( x, l )  (ei xi , l j e j )  l j (ei , e j ) xi  l j i j xi  li xi ,
x  xi ei , l  ei l i откуда следует: ( x, l )  ( xi ei , e j l j )  xi (e j , ei )l j  xi  j il j  xil i ,
(l , l )  (li ei , e j l j )  li (ei , e j )l j  li  j il j  lil i .
Свертка тензора момента инерции M i j с тензорами li , l j :
l j M i j l i   l j Ai j ()l i   m()l j x j () xi ()l i  l j ij l i  m()r 2 () 



111
  m()(l , x()( x(), l )  (li , l i )  m()r 2 () 


  m()(l , x()2  (l, l ) m()r 2 ()   m() r 2 ()  (l, x() 2 .



По теореме Пифагора выражение в квадратных скобках представляет собой квадрат расстояния  ой точки до оси l и правая часть является суммой моментов инерции точек нашей системы
относительно данной оси.
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей через начало
координат, равен свертке тензора момент инерции тела с тензорами оси (слева с
ковариантным, справа с контравариантным).
Координаты M i j тензора момента инерции, будучи симметричной матрицей, определяют
самосопряженный оператор, у которого существует ортонормированный базис из собственных
векторов. Эти собственные вектора определяют главные оси инерции. В этих осях тензор моментов
инерции будет определятся диагональной матрицей с собственными значениями на диагонали.
Пример. Разложение тензора валентности два на сумму симметрического и
кососимметрического тензоров.
Это свойство следует из соответствующего свойства линейного оператора раскладываться в сумму
самосопряженного и кососимметрического операторов
A
1
1
1
1
( A + A *)+ ( A - A *)=B+C,B= ( A + A *),C= ( A - A *).
2
2
2
2
В этом равенстве A* сопряженный к A оператор, B будет самосопряженным оператором
((Bx,y)=(x,By)), а C – кососимметрический оператор ((Cx,y)=-(x,Cy)). В терминах тензоров: пусть Ai j
координаты двухвалентного тензора типа (1,1). Матрицу Ai j рассматриваем, как матрицу линейного
оператора y=Ax в базисе ei . Это значит, что
A ei  e j Ai
j
или в матричной форме
 A11

(A e1 A e2 A e3 )=( e1 e2 e3 )  A12
 A13

A21
A22
A23
A31 

A32  .
A33 
В контравариантных координатах действие оператора A будет выглядеть следующим образом:
i
j
i
j i
j
A x  A (ei x i )  ( A ei ) x  (e j Ai ) x  e j ( Ai x )  y  e j y .
Из последних двух равенств следует формула преобразования контравариантных координат:
 y1   A11
  
y j  Ai j xi или  y 2    A12
 y 3   A13
  
A21
A22
A23
A31   x1 
 
A32   x 2  .
A33   x 3 
На это соотношение можно смотреть, как на умножение исходного тензора на одновалентный тензор
контравариантных координат с последующей сверткой по разноуровневому индексу. Построим два
новых тензора. В координатах:
112
Bi j 
1 j
1
Ai  Aij  , Ci j   Ai j  Aij  .

2
2
Можно проверить, что тензор B (построенный симметрированием исходного тензора) является
симметричным тензором, а тензор С, построенный альтернированием исходного тензора, является
кососимметричным. Разложение
Ai j  A((i j))  A[[i j]] .
единственно. Действительно, если тензор с координатами Ai j имеет другое разложение
Ai j  Pi j  Qi j , где Pi j  Pji , Qi j  Qii , то производя операции симметрирования и альтернирования,
получим равенства: A(i )  Pi , A[i ]  Qi . Если вспомнить физическую интерпретацию
( j)
j
[ j]
j
симметрических и кососимметрических тензоров, то можно сказать, что двухвалентный тензор
(представленный линейным оператором) разлагается на сумму тензоров деформации и поворота.
Поворот производится вокруг оси u, где u – вектор, фигурирующий в определении векторного
произведения [u,x]=Cx .
§3. Полилинейные формы и их связь с тензорами
Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением)
размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1).
Обозначим xk = ej x ki , y s = yis ei.
Определение. Функция F(y,x)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) от q контравариантных и p
ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (q,p) – полилинейной формой ), если она
линейна по каждому аргументу.
Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение
двух форм типов (q,p),(s,r) дает форму типа ( q+s ,p+r):
H(y1,y2,…,yq+s,x1,x2,…,xp+r)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) G(yq+1,yq+2,…,yq+s,xp+1,xp+2,…,xp+r).
Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа
ai1i12 ...2 i p q  F (e j1 , e j2 ,..., e q , ei1 , ei2 ,..., ei p ),
j j ... j
j
Или
aij  F (e, e* ).
i
2
1
j
j
Рассмотрим наборы векторов x1= ei1 x1i1 , x2= ei 2 x2i2 ,…, xp= ei p x pp ,y1= y j1 e 1 , y2= y j 2 e 2 ,…, yq=
y qjq e q . Координаты полилинейной формы в новом базисе e = ei ci и e  = b j e j будут равны
j


ai1i12 ...2 i p q = F (e j1 , e j 2 ,..., e q , ei1 , ei2 ,..., ei p ) = F (bj11 e 1 , bj 22 e  2 ,..., b qq e q , e1 ci1 1 , e 2 ci2 2 ,..., e p ci1 p ) =
j
j j ... j
j


  ... 

bj11 bj 22 ...b qq F (e 1 , e  2 ,..., e q , e1 , e 2 ,..., e p )ci1 1 ci2 2 ...ci p p = bj11 bj 22 ...b qq a11 22 ... qp ci1 1 ci2 2 ...ci p p ,
j
j
j 

j


j  
или, в краткой форме: ai  F (e, e* )  F (b e , e ci )  b F (e , e )ci  b a ci
j
Таким образом, полилинейная форма типа (q,p) является тензором типа (q,p).
Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.
Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp),
рассмотрим новую форму
G( y 2 ,..., y q , x2 ,..., x p )   F (e , y 2 ,..., y q , e , x2 ,..., x p ).

113
Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq
 j
фиксированы, то достаточно рассмотреть
F(e,e ). Имеем e = ei ci и e  = b j e и



F( e i , ei )=
i

F( e i , e ci )=
i

F( e i , e ) ci =
i


F( ci e i , e )=


F( e , e ).
Напомним, что наличие индекса i на разных уровнях, слева внизу, справа вверху, означает
суммирование по этому индексу.
Полилинейная форма G( y 2 ,..., y q , x2 ,..., x p )   F (e , y 2 ,..., y q , e , x2 ,..., x p ) называется

сверткой по первому индексу. Координатами этой формы будут
j ... j
bi22...ip q  G(e j2 ,..., e q , ei2 ,..., eip )   ai22...ipq .
j ... j
j

Последняя формула является определением свертки по первым индексам в терминах координат
тензора. Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.
Глава 8.
Тензорный анализ
§1. Тензорное поле, алгебраические операции над тензорными полями
1. Определения
В предыдущих параграфах мы занимались тензорной алгеброй. В тензорном анализе изучаются
тензорные поля, к которым можно будет применять аппарат дифференциального исчисления.
Определение. Если в каждой точке M пространства или в некоторой области задан тензор
определенного типа типа (q,p)
j j ... j
Ai1i12 ...2 i p q ( M ) ,
то говорят, что задано тензорное поле.
j j ... j
Координаты тензора Ai1i12 ...2 i p q ( M ) будем предполагать достаточное число раз
дифференцируемыми функциями.
Примеры.
Скалярное поле представляет собой тензорное поле нулевой валентности.
Координаты векторного поля A j ( M ) ( a(M)=ei Ai (M) ) определяют тензорное поле типа (1,0),
если они преобразуются по положенным законам при переходе к новой системе координат.
2. Операции дифференцирования тензорных полей
Напомним обозначения, связанные с понятием мульти индекса.
Обозначения. Мульти индекс.
i= i1 i2 … ip , = 1 2 … p ,
j= j1 j2 … jq , = 1 2 … q .
Для координат тензора Ai j  Ai1i12 ...2 i p q ,
j j ... j

для матриц перехода координат bi  bi1 1 bi2 2 ...bi p p ,
в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать.
Обозначение для векторов базисов: e1  ei1 ei2 ...ei p .
114
В этих обозначениях определение тензора (q, p) запишется в виде
Ai j  bj Aci .
Дифференциал тензора с координатами Ai j  Ai1i12 ...2 i p q ( для облегчения конструкций
j j ... j
зависимость от точки Ai1i12 ...2 i p q  Ai1i12 ...2 i p q ( M ) мы будем иногда опускать) определяется, как
j j ... j
j j ... j
j j ... j
объект с координатами dAi1i12 ...2 i p q . Так как дифференцирование является линейной
операцией, то координаты этого объекта будут преобразовываться при переходе к новому
j j ... j
базису по тем же законам, что и координаты тензора Ai1i12 ...2 i p q . Таким образом, дифференциал
тензора является тензором того же типа. Действительно, так как величины bj , ci не зависят
от точки M , то
dAi j  d  bj A ci   bj d  A  ci .
Пусть теперь M  ( x1 , x 2 , x3 ) . Тогда для координат дифференциала тензора типа (q,p)
будет выполнено равенство dAi j  
k
Ai j k
dx . В этом случае
x k


   e k k   k e k ,  k  k . В этих обозначениях dAi j   k Ai j dx k . Найдем формулы
x
x
k
преобразования величин  k Ai j при переходе к новой системе координат
Apq p m
Ai j
Ai j x m
j
 k Ai  k   m k   bq m ci ck   bqj  m Apq cip ckm  bqj  m Apq cip ckm .
x
x
x
m x
m
m
j
Здесь использовано разложение x m  csm x s , поэтому
x m
 ckm . Таким образом, величины
k
x
 k Ai j определяют тензор типа (q,p+1).
Совокупность всех частных производных первого порядка от координат тензора поля по
координатам x i точки M определяет новое тензорное поле размерности большей на единицу
исходного поля (контравариантность повышается). Тензорное поле с координатами  k Ai j
называется производной первого порядка данного поля.
Как уже отмечалось, выражение для координат дифференциала в обозначениях набла
записывается в виде:
dAi j    k Ai j dx k  k Ai j dx k .
k
Это равенство означает, что дифференциал тензорного поля есть свертка производной
тензорного поля и тензора дифференциала координат.
3. Дифференцирование скалярного тензорного поля
Пример. Рассмотрим скалярное поле u  u (M )  u ( x1 , x 2 , x3 ). Производная этого поля
k u 
u
представляет собой одновалентный тензор типа (0,1). Этот тензор называется
x k
градиентом тензорного поля и обозначается
grad u   k ue k  
k
115
u k
e .
x k
Для дифференциала
du    k Ai j dx k 
k
k
u k
dx  grad u , dx .
x k


4. Дифференцирование векторного тензорного поля
Рассмотрим одновалентное тензорное поле Ai  Ai (x1 , x 2 , x3 ), V  ei Ai . Для дифференциала
dAi    k Ai dx k  k Ai dx k .
k
Величины Aki   k Ai 
Ai
являются координатами двухвалентного тензор типа (1,1).
x k
Действительно,
p
  bip A p 
Ai
A p x p
i A
i
A  k A  k  

b

b
  x p  csp x s  



p
p
k
k
q
k
x

x

x

x

x
p
p
p
q
i
k
i
  bip 
p
q
A p p
ck  bpi q A p ckq  bpi q A p ckq  bpi Aqp ckq .
x q
p q
Такому тензорному полю соответствует поле линейного оператора A. Этот оператор
называется производным линейным оператором тензорного поля V  ei Ai , Ai  Ai (x1 , x 2 , x 3 ) .
Используя выписанные выше соотношения, можно представить дифференциал тензорного поля V,
как результат действия линейного оператора поля на вектор дифференциал переменных:
dV  ei dAi  ei Aki dx k   e1
e2
 A11

e3   A12
 A13

A21
A22
A23
A31  dx1 


A32  dx 2   A(dx).
2
A33 
 dx 
Линейный оператор раскладывается на сумму самосопряженного и кососимметрического
операторов
A=B+C.
Соответствующее тензорное поле представляется суммой симметричного и
кососимметричного полей
Aki  Bki  Cki .Bki 
1 i
1
Ak  Aik    Aki  Aik  , или

2
2
1  Ai Ak
Bki   k  i
2  x
x
 i 1  Ai Ak
 , Ck   k  i
2  x
x


.

Для операторов
A(dx)=B(dx)+C(dx)= B(dx)+[u, dx].
1
1
1 3

A2  A32  ,  A31  A13  ,  A12  A21   

2
2
2

 1  A3 A2  1  A1 A3  1  A2 A1  
   2  3  ,  3  1  ,  1  2  .
x  2  x
x  2  x x  
 2  x
u=( C23 , C31 , C12 )= 
Удвоенный вектор u называется ротором векторного поля V.
116
e1

rot V  1
x
A1
e2

x 2
A2
e3

.
x 3
A3
След оператора A совпадает со следом оператора B (в силу косой симметрии оператора C).
Эта величина называется дивергенцией тензорного поля V.
div V =  Akk  
k
k
Ak
.
x k
Кинематическая интерпретация. Пусть V поле скоростей стационарного потока жидкости.
Тогда равенство
A(dx)=B(dx)+C(dx)= B(dx)+[
1
rot V, dx]
2
можно интерпретировать следующим образом: с элементарным объемом жидкости происходит
1
rot V.
2
1  Ai Ak 
i
Оператор B называется оператором скоростей деформации, а тензор Bk   k  i  2  x
x 
деформация ( оператор B ) и элементарное вращение с вектором угловой скорости
тензором скоростей деформации.
5. Поток линейного оператора через поверхность.
Пусть A(M) (иногда будем обозначать A( M ) ) линейное поле (тензорное поле с
координатами Ai j (M)) и S – некоторая поверхность. Обозначим через ni координаты единичного
вектора нормали к поверхности
n  (cos ,cos ,cos )  (n1 , n2 , n3 ).
Обозначим поток векторного поля A через поверхность S через p


p   A, dS .
S
Отметим отличие указанного интеграла от случая потока векторного поля. Именно, для
потока векторного поля (тензор первой валентности) интеграл можно записать, как поверхностный
интеграл первого рода в виде (это будет число)
1
2
3
i
  a, dS     a cos   a cos   a cos   dS  ni a dS.
S
S
S
В случае тензорного поля валентности 2 типа (1,1) с координатами Ai j координаты вектора

p   A, dS
S

запишутся в виде

 A11




pi    A, dS      cos  cos  cos    A12
S
i  S
 A13




117
A21
A22
A23
A31  
 
A32  dS    n j Ai j dS .
S
A33  
i
Рассмотрим линейный оператор напряжения F с координатами Fi j (координаты тензора
напряжения), характеризующий силы напряжения в некоторой сплошной среде. Тогда поток этого
тензорного поля через заданную поверхность S

p   F , dS
S

представляет собой равнодействующую всех сил напряжения, приложенных к поверхности S.
6. Теорема Остроградского
Для тензорного поля валентности 2 типа (1,1) с координатами Ai j справедливы равенства
координат



    n1
S

n2



j
  A, dS    n j Ai dS 
S
i S
 A11 A21 A31  

Aik
 2
2
2
n3   A1 A2 A3  dS     k dW    k Aik dW .
W
 A13 A23 A33   W k x

 
i
Эти равенства представляют три обычные формулы Остроградского. Выпишем еще раз
написанную формулу Остроградского в терминах координат тензорных полей
 nk Ai dS   k Ai dW .
k
S
Глава 8.
k
W
Приложения
§1. Аффинное пространство, евклидово и псевдоевклидово пространства
1. Определение n - мерного аффинного пространства
Рассматриваются два типа объектов точки и векторы, определяемые набором нижеследующих
аксиом.
10 существует хотя бы одна точка
20 упорядоченной паре точек A, B сопоставляется единственный вектор, обозначаемый AB .
30 для каждой точки A и каждому вектору x существует единственная точка B такая, что
AB  x .
40 (аксиома параллелограмма) если AB  CD , то AC  BD .
Определение. Вектор AA носит название нулевого вектора и обозначается 0 .
Определение. Вектор BA носит название обратного к AB вектора и обозначается  AB .
Определение. Для двух векторов x , y по аксиоме 30 начиная с точки A можно определить
вектор, который называется суммой и обозначается x  y . Строится точка B так, что AB  x . По
B и y строится точка C . В качестве суммы берется вектор AC . Можно показать, что сумма не
зависит от выбора начальной точки.
Теорема. x  y  y  x .
Теорема. ( x  y)  z  x  ( y  z ) .
118
Теорема. x  0  x .
Теорема. x  ( x )  0 .
Определяется вычитание.
Следующая группа аксиом касается векторов над полем чисел (вещественных или
комплексных).
50 каждому x и каждому числу  поставлен в соответствие определенный вектор,
обозначаемый x .
60 1x  x.
70 (  ) x  x  x.
80 ( x  y)  x  y.
90 (x )  () x.
100 (аксиома размерности) существует n линейно независимых векторов, но любые n  1
векторов линейно зависимы.
Определение. Аффинным репером называется совокупность какой-нибудь точки O (начало
репера) и каких-нибудь занумерованных линейно независимых векторов e1 , e2 ,..., en .
2. Псевдоевклидово пространство
Вещественным евклидовым пространством называется линейное пространство X со
скалярным произведением. Скалярное произведение ( x, y) определяется, как вещественная
функция на X  X , удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) ( x, x )  0,( x, x )  0 тогда и только тогда, когда x  0.
2) ( x, y)  ( y, x ).
3) (x, y)  ( x, y).
4) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ).
Разумеется выполнение аксиом предполагается для всех участвующих там элементах
пространства.
Если в этом определении не требовать вещественности скалярного произведения и
выполнения первой аксиомы, то подобное пространство называется псевдоевклидовым
(линейное пространство X по-прежнему предполагается вещественным). Для такого
пространства скалярный квадрат может быть равен нулю и при не нулевом векторе.
Кроме того скалярный квадрат может быть отрицательным.
Теория относительности предлагает рассматривать окружающее нас пространство, как
четырехмерный пространственно временной континуум. Координаты такого
пространства будем обозначать (в контравариантном виде) x0 , x1 , x2 , x3 , а скалярное
произведение определяется равенством
( x, y)   x0 y 0  x1 y1  x 2 y 2  x3 y 3 .
Более употребительны обозначения координат t , x, y, z в которых первая временная
координата нормируется скоростью света x0  ct , x1  x, x 2  y, x3  z . Скалярный квадрат
   x   x   x 
( x, x )   x0
2
1 2
2 2
3 2
 c 2t 2  x 2  y 2  z 2 .
Наличие в этой квадратичной форме одного слагаемого со знаком минус отражается в
названии подобного пространства - псевдоевклидово пространство индекса 1.
Точка с координатами x, y, z в момент времени t называется событием, а четырехмерное
пространство-время называется пространством событий. Свойства псевдоевклидова
119
пространства, как линейного пространства ничем не отличаются от обычных свойств
линейных пространств. Однако метрические свойства оказываются весьма необычными.
Не нулевые вектора со скалярным квадратом равным нулю называются изотропными.
Если в некотором базисе такие вектора откладывать из начала координат, то множество
вершин этих векторов образует гиперконус
   x   x   x 
 x0
2
1 2
2 2
3 2
 0,
x 2  y 2  z 2  c 2t 2 .
Этот гиперконус можно строить в любой точке пространства событий и направление
(вектор отложенный из этой точки) из этой точки, идущее по образующей такого
гиперконуса называется изотропным направлением, а вектор- изотропным вектором.
§2. Пространство событий
1. Преобразование Лоренца
Пусть S и S две инерциальные системы и S двигается со скоростью v относительно
системы S . Преобразование Лоренца определяет связь координат t , x, y, z и t , x , y , z в
системах S , S
v
x
c 2 , x  vt  x , y  y, z  z.
t 
v2
v2
1 2
1 2
c
c
t
В терминах координат x0 , x1 , x2 , x3 эти преобразования записываются в виде
v
v
x 0  x1
 x 0  x1
c , x1  c
x0 
, x 2  x 2 , x 3  x3
2
2
v
v
1 2
1 2
c
c
Или в матричной форме
1


2
 1 v
0
x  
c2
 1 
v
x  
 2   
2
 x   c 1 v
 x3  
c2
 

0

0


v
c 1
2
v
c2
1
1
v2
c2
0
0

0 0
 0
 x 
 1 
x 
0 0    . (3.1)
 x2
 
  x3 
1 0

0 1 
2. Кинематика тела с точки зрения теории относительности
Рассмотрим какую либо частицу. В инерциальной системе S этой частице в пространстве
событий будет соответствовать некоторая кривая, называемая траекторией
(четырехмерной) этой частицы. Выберем параметрическое задание этой кривой с
параметром t ( x 0  ct ).
x 0  x 0 (t ) 

x1  x1 (t ) 
.
x 2  x 2 (t ) 

x 3  x 3 (t ) 
В псевдоевклидовом пространстве можно определить длину кривой, как и в обычном
евклидовом пространстве. Именно, за длину кривой принимается предел длин вписанных
120
ломаных при стремлении к нулю характеристики соответствующих разбиений (должна
стремится к нулю длина максимального отрезка tk  tk 1  tk узлов t k вписанной
ломаной). В отличии от евклидова пространства, здесь длины хорд, участвующих в
определении длины всей кривой, могут оказаться нулевыми или мнимыми. Будем
рассматривать лишь случаи, когда все хорды (при любом разбиении) имеют либо только
вещественные длины, либо только мнимые длины. В первом случае длины хорд
    x    x    x 
 x 0
2
1 2
2 2
3 2
вещественны, т.е.
    x    x    x 
 x0
2
1 2
2 2
3 2
 c 2  t    x    y    z   0
2
2
2
2
и в определении длины дуги нет ничего необычного. Длина кривой будет равна
(гладкость кривой предполагается)
2
2
2
t
 dx   dy   dz 
s   c 2          dt.
 dt   dt   dt 
t0
Если
x1  x1 (t ) 

x 2  x 2 (t ) 

x 3  x 3 (t ) 
трактовать, как движение материальной точки, то необычным является только то, что в
2
2
2
 dx   dy   dz 
этом случае c           0 и это соответствует движению со скоростью
 dt   dt   dt 
большей скорости света. Во втором случае длина кривой будет чисто мнимой.
Действительно, длина отдельной хорды может быть выражена в виде
2
    x    x    x 
 x 0
2
1 2
2 2
3 2
i
 x    x    x    x  .
0 2
1 2
2 2
3 2
В правой части подкоренное выражение будет положительно. Здесь мы в качестве корня
из минус единицы ( 1  i ) выбираем i . Тогда, так же, как и в евклидовом
пространстве для непрерывно дифференцируемой кривой получается формула для длины
спрямляемой кривой
t
s  i
t0
2
2
2
2
 dx   dy   dz 
c          dt  i,
 dt   dt   dt 
2
2
2
t
 dx   dy   dz 
где    c 2          dt является уже вещественной. Для элемента длины
 dt   dt   dt 
t0
дуги будет выполнено равенство
    dx    dx    dx 
ds 2   dx0
2
1 2
2 2
3 2
 c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2 .
Для кривых с вещественной не нулевой длиной можно выбрать в качестве параметра
длину кривой
2
2
2
t
 dx   dy   dz 
s   c 2          dt.
 dt   dt   dt 
t0

Как известно, в этом случае для радиус вектора кривой x (t )  x 0 (t ), x1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t )
модуль производной по длине дуги
121
dx
будет равен единице
ds

2
2
2
2
2
2
 dx   dy   dz 
c 2         
 dt   dt   dt 
dx
dx dt
dx ds


/

ds
dt ds
dt dt
 dx   dy   dz 
c 2         
 dt   dt   dt 
 1.
dx
dx
будем обозначать   .
ds
ds
Для кривой с мнимой длиной выберем в качестве параметра  . Тогда
Единичный вектор касательной
 dx 0 dx1 dx 2 dx3 
,
,
,

.
2
2
2
 dx   dy   dz   dt dt dt dt 
2
c      
 dt   dt   dt 
dx dx dt


d  dt d 
1
(2.1)
Следовательно.
2
 dx 0   dx1   dx 2   dx3 
 dx   dy   dz 

c 2         

 



2
dt
dt
dt
dt
 dx 

 
 
 

 dt   dt   dt   1,

 
2
2
2
2
2
2
d



 dx   dy   dz 
 dx   dy   dz 
2
2
c      
c      
 dt   dt   dt 
 dt   dt   dt 
2
dx
 dx 
 
  i.
d
 d 
1  i выбирается только i . Теперь вектор
dx
касательной к траектории частицы в пространстве событий  
имеет мнимую длину.
d
Сам этот вектор является обычным вектором с действительными координатами. Отметим,
что траектория частицы в последнем случае всегда направлена внутрь изотропного
гиперконуса, построенного в текущей точке. Наоборот, кривые в пространстве событий с
неизотропными касательными не могут быть интерпретированы, как движения реальных
тел. Иначе, они бы соответствовали движению со скоростями, превышающими скорость
света. Фотон, если рассматривать его, как частицу, будет иметь траекторию в
пространстве событий с вектором касательной в каждой точке, параллельной образующей
изотропного гиперконуса в этой точке.
Траектория в пространстве событий, описывающая «жизненный путь» материальной
точки, в своем параметрическом задании опирается на некоторую инерциальную систему
S , однако является геометрическим объектом, и как таковой, не зависит от выбора
инерциальной системы отчета.
Как мы видели, для траектории событий, определяемой движением частицы
Здесь, как мы уже договаривались, для
t
s  i
t0
2
2
2
 dx   dy   dz 
c          dt  i.
 dt   dt   dt 
2
Для дифференциала  получим
2
2
2
 dx   dy   dz 
d   c 2          dt.
 dt   dt   dt 
Если систему отчета привязать к движущейся частице, то в этой системе
2
2
2
 dx   dy   dz 
      0
 dt   dt   dt 
и d   cdt (движение выбрано в направлении роста времени,  - растет со временем).
Таким образом, изменение времени dt в системе, связанной с движением частицы
d
определяется величиной
. Отсюда следует, что величина  имеет физический смысл
c
122
«собственного внутреннего времени», связанного с системой отчета, привязанной к
частице.
В заключение выпишем выражения координат мнимоединичного вектора касательной


  0 , 1 , 2 , 3 траектории в пространстве событий, определяемой движением частицы
со скоростью
1
2
3
 dx dy dz   dx dx dx 
v  (v x , v y , v z )   , ,   
,
,
.
 dt dt dt   dt dt dt 
Из (2.1) получаем
 dx 0 dx1 dx 2 dx 3 
dx
1
1

,
,
,
c, vx , v y , vz .

 2
2
2
d
c  v  dt dt dt dt 
c  v2
Считая  возрастающей для координат вектора  имеем
vy
vx
vz
1
(2.2)
0 
, 1 
, 2 
, 3 
.
2
2
2
v
v
v
v2
1 2
c 1 2
c 1 2
c 1 2
c
c
c
c
3. Вектор энергии-импульса частицы
Рассмотрим движение материальной точки (частицы) в инерциальной системе S . Отметим
некоторые положения теории относительности.


Масса частицы, двигающейся со скоростью v  (vx , v y , v y ), v  v равна
1
m  m0
v2
1 2
c
,
m0 - масса покоя. Энергия частицы связана в ее массой соотношением
E  mc 2 
m0 c 2
v2
1 2
c
.
Сравнение с энергией покоя E  m0c 2 дает кинетическую энергию




m0 c
1
T  (m  m0 )c 2 
 m0 c 2 
 1 .


v2
v2
 1  2

1 2
c
c


Для траектории частицы в пространстве событий выберем в качестве параметра собственное
внутреннее время частицы 
2
x 0  x 0 ( ) 

x1  x1 () 
 , x  x ().
x 2  x 2 ( ) 

x 3  x 3 ( ) 
В качестве касательного вектора к этой траектории будем рассматривать мнимоединичный


dx
dx k
 0 , 1 , 2 , 3 ,  k 
, умноженный на энергию покоя E0  ,
d
d
который называется вектором энергии-импульса частицы. Выпишем координаты этого
вектора.
Из определения 
вектор касательной  
    v  dt , ddt 
d   c 2   vx   v y
2
2
2
z
123
   v 
c 2   vx   v y
2
2
z
2
 c 1
v2
.
c2
Откуда для координат тензора состояния получим

 mc 2 , 
v2
v2

c 1 2
1 2

c
c

m0 cvx
dx1
dx1 d 
d

1
E0   E0
 E0
/
 E0 vx /

 mvx c, 
d
dt dt
dt
v2

1 2

c

m0 cv y

2
E0  
 mv y c,

2
v

1 2

c

m cv

E0 3  0 z  mvz c.
2

v
1 2

c

E0 0  E0
dx 0
dx 0 d 
 E0
/
 m0 c 2
d
dt dt
c

m0 c 2
(3.1)
Таким образом, окончательно вектор энергии-импульса имеет координаты
E0   (mc2 , mvx c, mvy c, mvz c)  mc(c, vx , vy , vz ).
Первая координата определяет энергию частицы, остальные – проекции импульса.
Вектор энергии-импульса не зависит от выбора инерциальной системы. Отметим здесь
следующую аналогию. Физическая сущность окружающего нас мира, описываемая
пространством событий, при выборе системы отчета распадается в координатах этой системы
на временную и пространственную составляющие. Так и энергия-импульс выражается
единым четырехмерным вектором, а в координатах выбранной инерциальной системы
распадается на энергию и импульс. При переходе к другой инерциальной системе эти
координаты преобразуются по формулам Лоренца. Матрица этого преобразования для
простейшего случая движения вдоль оси x выписана в (3.1).
Аналогичная «свертываемость» важнейших физических понятий прослеживается в
следующих пунктах: заряд-ток, электромагнитное поле, уравнения Максвелла.
4. Четырехмерный вектор плотности тока
Вектор энергии-импульса частицы получен умножением энергии покоя частицы на
мнимоединичный вектор касательной к траектории частицы. Теперь домножим этот
последний вектор на плотность  . Вначале некоторые определения и соотношения между
нужными нам величинами в разных инерциальных системах отчета.
Обозначим через  - плотность масс в инерциальной системе S ,   ( x0 , x1 , x 2 , x3 ) .
Рассмотрим
поток
масс.
Поле
скоростей
этого
потока
обозначим
v  v ( x , x , x , x ), v  v( x , x , x , x )  v . С каждой частицей потока связывается система
0
1
2
3
0
1
2
3
отчета S0 . Размеры элементарных объемов в направлении движения искажаются на
v2
, В направлении перпендикулярном вектору скорости частицы такого
c2
искажения не происходит. Таким образом, связь между элементарными объемами будет
коэффициент
1
v2
(4.1)
dw0 .
c2
Элемент объема dm0 в системе S0 в системе S также изменяется по закону
dw  1 
dm 
124
1
v2
1 2
c
dm0 .
(4.2)
Плотности в системе S и в системе S0 (плотность покоя) определяются, как
0 
dm0
dm
, 
.
dw0
dw
Откуда, с учетом (4.1),(4.2) следует, что
0
.
v2
1 2
c
Поток частиц порождает множество траекторий в пространстве событий - векторную трубку
траекторий. В частности, мы получаем векторное поле, определяемое мнимоединичным

вектором   ( x0 , x1 , x 2 , x3 ) в каждой точке рассматриваемой области в пространстве
событий. Аналогично можно рассматривать поток заряженных частиц. Плотность заряда в
системе S будем обозначать   ( x0 , x1 , x 2 , x3 ) , а в системе S0 «плотность покоя» 0  0 ( x0 , x1 , x 2 , x3 ) . В теории относительности величина заряда не зависит от системы
отчета, поэтому
0 
de
de
, 
.
dw0
dw
Откуда, с учетом (4.1),(4.2)

0
.
v2
1 2
c
(4.3)
Мнимоединичный вектор касательной к траектории частицы умножим на 0
j  0 ( x0 , x1 , x 2 , x3 ) ( x0 , x1 , x 2 , x3 ).
Этот вектор называется четырехмерным вектором плотности тока. Такое векторное поле в
пространстве событий инвариантно, не зависит от инерциальной системы отчета. Координаты
вектора плотности тока j  ( j 0 , j1 , j 2 , j 3 ) запишем, используя формулы (2.2)
j 0  0  0 
0
2
0 v x
, j1 
v
1 2
c
2
v
c 1 2
c
, j2 
0 v y
2
v
c 1 2
c
, j3 
0 v z
v2
c 1 2
c
.
Из (4.3)
vy
vx 2
v
, j   , j3   z .
c
c
c
Первая координата этого вектора является плотностью заряда, остальные координаты –
проекции плотности тока, деленные на c. Как и для вектора энергии-импульса имеет место
инвариантность этого вектора относительно выбора инерциальной системы.
5. Электромагнитное поле
Электромагнитное поле в четырехмерном пространстве событий (пространство-время) может
j 0  , j1  
быть представлено некоторым тензором. Пусть E   Ex , E y , Ez  - напряженность
электрического поля в пустоте в некоторой инерциальной системе S, а H   H x , H y , H z  напряженность магнитного поля в этой системе. Рассмотрим частицу массы m и заряда e ,
движущуюся со скоростью v (согласно теории относительности масса частицы переменная, в
частности, зависит от скорости). В электромагнитном поле на эту частицу по закону Лоренца
действует сила
e
(5.1)
F  eE  [v , H ].
c
По второму закону Ньютона
125
d
1


(mv )  e  E  [v , H ]  .
dt
c


В координатах это равенство выглядит

d
1
1  dy
dz



(mvx )  e  Ex  v y H z  vz H y   e  Ex   H z  H y   ,
dt
c
c  dt
dt





d
1
1  dz
dx



(mv y )  e  E y   vz H x  vx H z    e  E y   H x  H z   , (5.2)
dt
c
c  dt
dt







d
1
1  dx
dy



(mvz )  e  Ez  vx H y  v y H x   e  Ez   H y  H x   .
dt
c
c  dt
dt




Домножим равенства на cdt. Получим выражение в дифференциалах




cd (mv )  e  E cdt   H dz  H dx   ,
cd (mv )  e  E cdt   H dx  H dy   .

cd (mvx )  e Ex cdt  H z dy  H y dz ,
y
y
x
z
z
z
y
x
С учетом (3.1) эти равенства запишутся в виде



d ( E  )  e  E dx   H dx  H dx   ,
d ( E  )  e  E dx   H dx  H dx   .
d ( E0 1 )  e Ex dx 0  H z dx 2  H y dx 3 ,
2
0
0
3
y
3
0
0
1
x
z
1
z
2
y
x
Элемент работы над частицей равен d (mc 2 ) . С другой стороны этот элемент работы равен
скалярному произведению силы F на элемент пути dx . С учетом (5.1)
 F , dx    eE  ce [v , H ], dx   e  E, dx   ce [v , H ], dx   e  E, dx   e  E dx
1
x

 E y dx 2  Ez dx3 .
Кроме того из (3.1) d (mc 2 )  d ( E0 0 ) , В итоге


d ( E0 0 )  e E x dx1  E y dx 2  E z dx 3 .
Вместе в (5.2)

d ( E  )  e  E dx  H dx
d ( E  )  e  E dx  H dx
d ( E  )  e  E dx  H dx

 H dx  ,
 H dx  ,
 H dx  .
d ( E0 0 )  e Ex dx1  H y dx 2  H z dx3 ,
1
0
0
2
x
2
0
z
0
1
y
3
0
z
0
1
z
y
3
y
3
(5.3)
x
2
x
Перейдем к ковариантным координатам. С помощью метрического тензора
xk  gkj x j , gkj  (ek , e j ) . В ортонормированном базисе (e0 , e0 )  1,(ek , ek )  1, k  1, 2,3.
Матрица g kj будет иметь вид
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
.
0
1
Откуда следует для координат x0   x0 , xk  x k , k  1,2,3. В ковариантных координатах
вектора  равенства (5.3) можно записать в матричном виде
126
 0
 0 

 
Ex

E0  1   e 
 Ey
 2 

 
 3 
 Ez
 Ex
0
H z
Hy
Ey
Hz
0
H x
0
 Ez   dx 



 H y   dx1 
.
H x   dx 2 


0   dx3 


(5.4)
Матрица справа обозначим Fkj
 F00

 F10
 F20

 F30
F01
F11
F21
F31
F02
F12
F22
F32
F03   0
 
F13   Ex

F23   E y
 
F33   Ez
 Ex
0
H z
Hy
Ey
Hz
0
H x
 Ez 

H y 
.
Hx 

0 
(5.5)
Эта матрица определяет кососимметрический линейный оператор F (или, что тоже,
кососимметрический тензор). В координатах (5.4) записывается в виде
d ( E0 k )  eAkj dx j
или
d ( E0 )  e F (dx ).
Тензор Fkj называется тензором электромагнитного поля.
6. Уравнения Максвелла
Как и в предыдущем пункте рассмотрим E   Ex , E y , Ez  - напряженность электрического
поля в пустоте в некоторой инерциальной системе S, а H   H x , H y , H z  - напряженность
магнитного поля в этой системе.   (t , x, y, z ) - плотность электрического заряда,
v  v (t , x, y, z ), v  v(t , x, y, z )  v - вектор скорости заряда и ее модуль.
Уравнения Максвелла
div H  0, rot E  
div E  4, rot H 
1 H
,
c t
1 E 4

v . (6.2)
c t
c
Распишем (6.1) в координатах
H x H y H z
+
+
=0,
x
y
z
E z E y
1 H x

=
,
y
z
c t
E x E z
1 H y

=
,
z
x
c t
E y E x
1 H z

=
.
x
y
c t
Учитывая (5.5) эти соотношения запишутся в виде
F23 F31 F12
+
+
=0,
x1 x 2 x 3
F30 F20
F
 3 =  23
,
2
x
x
x 0
F10 F30
F
 1 =  31
,
3
x
x
x 0
F20 F10
F
 2 =  120 .
1
x
x
x
127
(6.1)
С учетом косой симметрии эти равенства переписываются в виде
F23 F31 F12
+
+
=0,
x1 x 2 x 3
F30 F02 F23
 3 + 0  0,
x 2
x
x
(6.3)
F10 F03 F31
 1 + 0  0,
x 3
x
x
F20 F01 F12
 2 + 0  0.
x1
x
x
Если обозначить  pqr 
 pqr
Fpq

Fqr
Frp
, то все четыре равенства в (6.3) получаются из
x
x
x q
 0 при всевозможных сочетаниях трех различных индексов из четырех 0,1,2,3. Можно
r
p
+
проверить косую симметричность матрицы  pqr . Например,
F00 F0 r Fr 0 F00
 0 + 0 q  r  0.
x r
x
x
x
Fpq
Производная тензора F имеет координаты Fpqr  r и является трижды ковариантным
x
тензором. Таким образом,  pqr является суммой трех тензоров, полученных один из другого
 00 r 
круговой подстановкой индексов
 pqr  Fpqr  Fqrp  Frpq .
Этими рассуждениями мы показали, что уравнения (6.1) записываются в виде
 pqr  0 .
Теперь распишем (6.2) в координатах
E x E y E z
+
+
=4,
x
y
z
H z H y 1 E x 4

=

vx ,
y
z c t
c
H x H z 1 E y 4

=

v y ,
z
x c t
c
H y H x 1 E z 4

=

vz .
x
y c t
c
Учитывая (5.5) эти соотношения запишутся в виде
F10 F20 F30
+
+
=4j 0 ,
x1 x 2 x3
F12 F31 F10

=
 4j1 ,
x 2 x3 x 0
F23 F12 F20
 1 = 0  4j 2 ,
3
x
x
x
F31 F23 F30
 2 = 0  4j 3 .
x1
x
x
С учетом косой симметрии эти равенства переписываются в виде
128
F10 F20 F30
+
+
=4j 0 ,
x1 x 2 x3
F12 F13 F01
 3  0  4j1 ,
2
x
x
x
(6.4)
F23 F21 F02
2
 1  0  4j ,
x 3
x
x
F31 F32 F03
 2  0  4j 3 .
1
x
x
x
Воспользуемся контравариантной формой записи координат тензора Fpq .
F pq  Frs g rp g sq .
Кососимметрия при этом сохраняется. В пространстве событий для метрического тензора
g pq  (e p , eq ) в случае ортонормированного базиса выполняются соотношения
(e0 , e0 )  1,(e p , e p )  1, p  1,2,3. Матрица будет иметь вид
g pq
 1

0

0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
.
0

1
Матрица g pq будет обратной матрицей к g pq , поэтому
g pq
 1

0

0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
.
0

1
Учитывая это получим F pq  Frs g rp g sq   Frs g rp g sq  Fps g pp g sq Fpq g pp g qq . В
s
выражении F
pq
 Fpq g g
pp
qq
r
s
суммирования уже нет. Отсюда
F pp  Fpp , p  0,1,2,3, F 0 p  F0 p , p  1,2,3. С учетом этого уравнения (6.4) перепишутся в виде
F 01 F 02 F 03
+ 2 + 3 =4j 0 ,
1
x
x
x
10
12
F
F
F 13


 4j1 ,
0
2
3
x
x
x
20
23
F
F
F 21


 4j 2 ,
0
3
1
x
x
x
30
31
F
F
F 32


 4j 3 .
0
1
2
x
x
x
Эти равенства можно записать ( F pp  0 )
F pq
 4j q .
q
x
(6.5)
Слева этого равенства стоят координаты свертки производной тензора F pq . Координаты
F pq
.
x k
Таким образом, вторая группа уравнения Максвелла записывается в виде равенства двух
контравариантный тензоров (6.5).
В итоге уравнения Максвелла запишутся в тензорном виде
производной
129
 pqr  0 . (6.6)
Здесь  pqr  Fpqr  Fqrp  Frpq , Fpqr
F pq
 4j q .
q
x
Fpq
 r .
x
(6.7)
Следствие. Из косой симметрии тензора F pq можно получить равенство нулю
четырехмерной дивергенции вектора плотности тока
j q
 0.
x q
Физически это равенство означает выполнение свойства сохранения заряда (сколько заряда
«втекло» в какую-то замкнутую область, столько и «вытекло»).
Так же, как это делалось для векторного потенциала векторного поля, можно, используя (6.6),
доказать существование решения f p ( x0 , x1 , x2 , x3 ) уравнения в частных производных
Fpq 
f q
x
p

f p
x q
.
Этот вектор f p ( x0 , x1 , x2 , x3 ) называется четырехмерным потенциалом электромагнитного
поля. Напряженность электромагнитного поля Fpq , являясь бивектором, получается из
потенциала электромагнитного поля указанным соотношением.
§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах
1. Цилиндрические координаты (r, , h) = (x1,x2,x3).
x = r cos 
y = r sin 
z=h
r1 = (cos  , sin  , 0), H1 = |r1| = 1,
r2 = (-r sin  ,r cos  , 0), H2 = |r2| = r,
r3 = ( 0 , 0 , 1), H3 = 1.
e1 = er = (cos  , sin  , 0) ,
e2 = e = (-sin  ,cos  , 0) ,
e3 = eh = ( 0 , 0 , 1) .
Базис er , e , ez – ортонормированный.
ek
 0,
r
e1
e
e
 e2 , 2  e1 , 3  0 ,



ek
 0.
h
130
2. Выражение градиента в цилиндрических координатах
ri
e
= ui i .
2
Hi
Hi
grad u = ui ri = ui
grad u =
u
1 u
u
u
1 u
u
r1 + 2
r2 +
r3 =
er +
e +
eh .
r
r 
z
r
r 
z
3. Выражение дивергенции в цилиндрических координатах
V = Pi +Qj + Rk , Vi =
V  P Q R 
=
,
,
,
x i  x i x i x i 
 P Q R 
,
,  , V2 =
 r r r 
V1 = 
 P Q R 
,
,

 , V3 =
    
 P Q R 
, .
 ,
 h h h 
Если V = ekAk , то
V1 = Vr =

 k

 k
( ekAk) = ek
A + Ak
ek = ek
A .
r
r
r
r
V2 = V =

 k  ek
( ekAk) = ek
A + 


 
V3 = Vh =
Ak
Ak

e
( ekAk) = ek
+ k Ak = ek
.
h
h
h
h
 k
Ak
+ A1e2 - A2e1 .
 A = ek



Отсюда следует

rk  3 1
A1 1  A2
A3
1




div V = (Vk,r ) =  Vk , 2   
=
Vk , ek  =

 A 
H k  k 1 H k
r r  
k 1 
 h
1 
1 A2 A3
rA1 

.
r r
r 
h
3
k
 
4. Выражение ротора в цилиндрических координатах
[e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,
[e1, V1] =
A2
A 3
A2
A 3
[e1, e2] +
[e1, e3] =
e3 e2,
r
r
r
r
1
1
[e2, V2] =
r
r
[e3, V3] =
 A1
 1   A1

A3
A3 

 A2 e3 
e1  ,
[e2 , e1 ] 
[e2 , e3 ]  A2 [e2 , e1 ]  =   
r














A1
A1
A2
A2
[e3, e1] +
[e3, e2] =
e2 e1 ,
h
h
h
h
 1 A3 A2 
 A1 A3 
 A2 



+
+

e1  h  r e2  r e3 .
r



h






rot V = 
5. Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах
H = H1 H2 H3 = r,
131
  H u 
1   u
  1 u    u 
 2 k  =   r  

   r  =
k 
r  r  r    r   h  h 
k
 H k x 
1    u   1   2u   2u

.
  r   
r  r  r   r 2   2  h 2
u = div grad u =
1
H
 x
§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах
1. Сферические координаты (, , ) = (x1,x2,x3)
x =  cos  cos 
y =  cos  sin 
z =  sin 
r1 = (cos  cos  , cos  sin  , sin ),
H1 = |r1| = 1,
r2 = (- cos  sin  ,  cos  cos  , 0),
H2 = |r2| =  cos ,
r3 =
= (- sin  cos  , - sin  sin  ,  cos ),
H3 = .
e1 = e = (cos  cos  , cos  sin  , sin ),
e2 = e = (- sin  , cos  , 0),
e3 = e = (- sin  cos  , - sin  sin  , cos ).
Базис e , e , e – ортонормированный.
ek
 0,

e
e1
e
= cos  e2 , 2 = - cos  e1 + sin  e3 , 3 = - sin  e2 ,



e1
e
e
= e3 , 2 = 0 , 3 = - e1 .



2. Выражение градиента в сферических координатах
grad u = ui ri = ui
grad u =
ri
e
= ui i .
2
Hi
Hi
u
1
u
1 u
u
1
u
1 u
r1 + 2
r2 + 2
r3 =
e +
e +
e
2

 cos  

 cos 
 
 
3. Выражение дивергенции в сферических координатах
Пусть V =ek Ak ,
V1 = V =

e
Ak
Ak
(ek Ak) = ek
+ Ak k = ek
.




132
V2 = V =
= ek

e
Ak
( ekAk) = ek
+ k Ak =



Ak
– A2 cos  e1+(cos A1 - A3sin  ) e2 + A2 sin  e3 =

 A1
 A2
 A3

2
1
3




 cos A e1  
 cos A  sin  A e2  
 sin  A2 e3 .
 

 

 

V3 = Vh =
 A1

 A3

Ak

e
( ekAk) = ek
+ k Ak = 
 A3 e1  
 A1 e3 .



 

 

Отсюда следует

1
1
rk  3 1
A1
div V = (Vk,r ) =  Vk , 2   
(V2,e2) +
(V3,e3) =
+
Vk , ek  = (V1,e1) 
 cos 

H k  k 1 H k

k 1 
 A2
 1  1 A3 
 A2
 1  1 A3 
1
1

 A 
 =

 2 A 

 A1 cos  A3 sin   +
 A3 sin   +
 cos   
   cos   
 
  
  
3
k
.
4. Выражение ротора в сферических координатах
[e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,
[e1, V1] =
A2
A3
A2
A3
[e1, e2] +
[e1, e3] =
e3 e2,




 A1

A3

[e2 , e1 ] 
[e2 , e3 ]  A2 cos [e2 , e1 ]  A2 sin  [e2 , e3 ]  

 

1
3
 A

1
A
 
e3 
e1  A2 cose3  A2 sin e1  =
 cos  


1
1
[e2, V2] =
 cos
 cos
1
 cos
1

  A1

 A3
 
2
  



A
cos

e

 A2 sin  e1  ,
3



 
 
  
[e3, V3] =
A1
A2
[e3, e1] +
[e3, e2]  A3 [e3, e1] =


 A1
A2
3


=
e1 ,
 A  e2 

 

rot V =
1
A2
A3
e3 e2 +
 cos


  A1

 A3
   A1
3
2
2
  
 +



 e2

A
cos

e


A
sin

e

A
3
1







 
   

  
A2
e1 =


 1  A3
 A1
 A2 
1
3
2





+
+

A
sin


e

A
e
1
2




  cos 

 cos

  
 


=
 A1

 
 A2 cos e3 .
 

5. Выражение оператора Лапласа в сферических координатах
133
H1 = 1, H2 =  cos , H3 = ,
  H u 
 2 k  =
k 
k
 H k x 
  2
1
u    1 u   
u 
 

 
 cos
 =
   cos
2
 cos   
    cos    
 
u = div grad u =
1
H
 x
  
1    2 u  
1
 2u
1
u  





cos





 .
2 
2
2
2
2



        cos  
 cos   
  
134
Литература
1. Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2., М.: Наука,1971.
2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.
3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.:Наука, 1971.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2., М.: Физ. Мат. Лит., 1960.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3., М.: Наука,
1966.
6. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.2., М.: Высшая школа, 1973.
135