Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Р.В. ВЕДРИНСКИЙ, А.А. НОВАКОВИЧ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов физического факультета
к решению задач по курсу
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Часть 1
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны доктором физико-математических
наук, профессором кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ
Р.В. Ведринским, и кандидатом физико-математических наук, доцентом
кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ А.А. Новаковичем.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук,
профессор В.П. Саченко.
Компьютерный набор и верстка
студентка Н.В. Коновалова.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и
вычислительной физики физического факультета РГУ,
протокол № 15 от 14 февраля 2006 г.
2
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Элементы векторной алгебры …………………………………………стр. 4
2. Градиент скалярного поля ……………………………………………..стр. 9
3. Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского- Гаусса …стр.12
4. Ротор векторного поля и теорема Стокса …………………………….стр.17
5. Комбинированные задачи векторного анализа ………………………стр.22
6. Задачи на использование метода оператора набла …………………..стр.24
Литература ………………………………………………………………стр.29
3
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
Большинство
физических
величин
являются
скалярными
или
векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его
компоненты, зависящие от выбора системы координат.
Скаляр – однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от
выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа,
плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина a , компоненты (проекции) которой
преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты
точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического
поля и т.д.
Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные
координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z
(x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.
  
  
Единичные орты – три единичных вектора ex , e y , e z ( e1 , e2 , e3 ),
направленные по соответствующим координатным осям. (В математической
  
литературе их чаще обозначают i , j , k .)


Линейная комбинация векторов - a  b , где ,  - вещественные числа.
ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы
произведений.
  
 
векторов ab  a  b  (a , b )
   
 
следующими свойствами: 1. a  b  b  a , 2. a  a  0 ,



 
 
3. a  (b1  b2 )  a  b1  a  b2 .
 
 
Скалярное произведение a  b двух векторов a и b равно
Скалярное
произведение
   
a  b  a  b cos
4
-
скаляр,
со
или
 
a  b  a1b1  a2b2  a3b3


 
 
где a и b – длины векторов a и b ,  - угол между векторами a и b , a1 , a 2

и a3 - проекции a вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).




a  a1e1  a2 e2  a3e3
  
 
векторов a  b  [ab ]  [a  b ] - вектор, со


 



следующими свойствами: 1. [ab ]  [b a ] , 2. [a (b1  b2 )]  [ab1 ]  [ab2 ] ,

  
 

[e1e2 ]  e3 , [e2 e3 ]  e1 , [e3e1 ]  e2 . Модуль векторного произведения – это
Векторное
произведение
площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:

 
[ab ]  a  b sin 
Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле,
которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения:
 

e1 e2 e3

[ab ]  a1 a2 a3 
b1

b2
b3


= e1 a 2 b3  a3b2   e2 a3b1  a1b3   e3 a1b2  a 2 b1 
 
Двойное векторное произведение [a [b c ]] вычисляется по формуле «бац минус
цаб»:
    
 
[a [b c ]]  b (ac )  c (ab )
 
Смешанное произведение векторов: (a ,[b c ]) - скаляр, модуль которого
равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для
любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет
знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей:
 
 
 
 
 
 
a , b c  b , c a   c , ab   a , c b   b , ac    c , b a
   
       
5
   
Если
хотя
бы
два
вектора- сомножителя коллинеарны, смешанное
произведение равно 0.
СПФ вычисляется по формуле:
a1

 
a , b c  b1
c1
a2
b2
c2
  
a3
b3   V
c3

где V –объем параллелепипеда, построенного на векторах a ,


b и c , знак “+”
- в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка
векторов левая.

плоскости, перпендикулярной вектору
H a, b, c 

проходящей через точку r0  x 0 , y 0 , z 0  в векторной форме имеет вид
Уравнение
и
r  r0 , H   0

или в компонентах:
a  x  x 0   b y  y 0   c  z  z 0   0

Уравнение прямой, параллельной вектору H a, b, c  и проходящей через

точку r0  x 0 , y 0 , z 0  имеет вид:

 
r  r0  H ,
где  - любое вещественное число. Учитывая, что величина  одна и та же для
всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в
компонентах, имеет вид:
x  x0 y  y 0 z  z


a
b
c
6
Задачи


1.1 Выразить косинус угла между векторами a и b через направляющие
косинусы этих векторов (направляющие косинусы- косинусы углов
между вектором и осями координат).
1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3).
Найти:

1.2.1 Координаты вектора A B ;
1.2.2 Длину стороны AB;


1.2.3 угол между векторами A B и A C ;
1.2.4 Площадь грани ABC;
1.2.5 Вектор нормали к грани ABC;
1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD;
1.2.7 Объем тетраэдра ABCD;
1.2.8
Уравнение
плоскости,
параллельной
плоскости
ABC
и
проходящей через точку D;
1.2.9 Уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через
точку C;
1.2.10 Расстояние от точки D до плоскости ABC;
1.2.11 Расстояние от точки C до прямой AB;
1.2.12 Координату точки O, где O- проекция точки D на плоскость ABC;
1.2.13 Координату точки P, где P- проекция точки C на прямую AB;
1.3 Найти проекции скорости и ускорения точки, а также угол между
скоростью и ускорением в заданный момент времени, если
координаты x и y заданы, условиями:
1.3.1 x = sin(t2), y = cos(t2), t = 1;
1.3.2 x = sin(t)-cos(2t), y = cos(t2), t = 1;
1.3.3 x = sin2(t), y = cos(t), t = 2.
7
1.4 Найти координаты центра масс системы трех частиц с массами m1, m2
и m3, расположенных в точках A1, A2 и A3:
1.4.1 m1 = 2, m2 = 4, m3 = 3, A1 (0,0,2), A2 (1,1,0), A3 (0,1,1);
1.4.2 m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2, A1 (1,0,1), A2 (0,2,3), A3 (1,1,1);
1.4.3 m1 = 3, m2 = 4, m3 = 1, A1 (2,0,0), A2 (1,2,1), A3 (-1,1,1);
1.4.4 m1 = 3, m2 = 1, m3 = 2, A1 (-1,0,1), A2 (2,3,0), A3 (1,0,2).
1.5 Упростить выражения:
     
   
1.5.2 a , b , c , a ;
   
1.5.3 a, b , a, c ;
   
1.5.4 a, b , c , a .
1.5.1 a , b , a , c  ;
1.6
Доказать справедливость тождества:
     
  
a , b  a , c , b , c  a  b , c
  
    2
1.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A и

H
перпендикулярной вектору
, и уравнение прямой, проходящей

H
через точку A и параллельной вектору :

1.7.1 A(1,2,-3, ), H (5,7,-6);

1.7.2 A(-2,0,1, ), H (-1,2,4);

1.7.3 A(1,2,-1, ), H (0,1,-1).
1.8 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
        
 a  b  c, a  b  c, a  b  c .
8
2. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ


Если в каждой точке r пространства задан скаляр  (r ) - это скалярное поле.
 

Если в каждой точке r пространства задан вектор a (r ) - это векторное поле.
Приращение d скалярного поля при перемещении на вектор dr равно:
d   (r  dr )   (r ) 



dx1 
dx2 
dx3  grad  dr .
x1
x2
x3
Градиент – это вектор grad   

  
.
,
,
 с компонентами
 x1  x2  x3
r
Величина d  grad  dr  grad  dr  cos , где  - угол между векторами
градиент и dr . Отсюда следует, что направление вектора grad - это
направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль
градиента – это скорость роста поля в этом направлении.
Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из
которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается
неизменным. В этих точках grad  0 .
 
Силовое поле F (r ) - это векторное поле, значение которого в каждой точке
пространства равно силе, действующей на частицу в этой точке.
Потенциальное силовое поле – это силовое поле, работа по перемещению
частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом случае

можно ввести скалярное поле потенциальной энергии U (r ) , связанное с
 

силовым полем соотношением: F (r )  grad U (r ) .
 
Плотность потока тепла q (r ) - количество тепловой энергии, протекающей в
единицу
времени
через
единичную
площадку,
ориентированную
перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом температуры
9
соотношением:

T (r )
 

q (r )    grad T (r ) , где
-
скалярное
поле
температуры,  - коэффициент теплопроводности.
Задачи
2.1 Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума,
направление наискорейшего роста в заданной точке (x0, y0, z0), а также
уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного
значения функции в этой точке:
2.1.1 (x2-y2+z);
2.1.2 (x3-3y2z+y2+3z2);
2.1.3 (x2-5x+7y2-y+6z2+3);
2.1.4 (5x3-8y2z+4y2+4z2+6);
2.1.5 (6x4+8xyz2+7x2z+y+6)
2.2 Найти компоненты вектора градиент:


2.2.1grad(r), где r  r  x 2  y 2  z 2


2.2.2 grad(  ), где     x 2  y 2


1/ 2
1/ 2
;
;
1
r
2.2.3 grad ( );
2.2.4 grad (ln(  ));


1
2.2.5 grad (   ), где R - постоянный вектор, r  ( x, y, z ) ;
r R


 
2.2.6 grad (ln    0 ), где  0 - постоянный вектор,   ( x, y,0) ;
2.2.7 grad (f(r));
2.2.8 grad(f());


2.2.9 grad (f( k r )), где k - постоянный вектор;
2.2.10 grad(f(, z));
10


2.2.11 grad (f( r )g( r ));


2.2.12 grad (  r ), где  - постоянный вектор;
  
 
2.2.13 grad (a ,[, r ]) , где a и  - постоянные векторы;
2.2.14 grad (exp(-r));
2.2.15 grad (exp(- r 2 ));
2.2.16 grad (exp(-));
2.2.17 grad (exp(-  2 ));

2.2.18 grad (sin( k r ));

2.2.19 grad (sin( k  )).
2.2.20
2.2.21
2.2.22
2.2.23

e cr
gradsin(
k
r)
,
grad
r
 
grad ([ ar ], [b r ])

 dr  
grad  3 , d  const
r 
 
grad (ar )(b r )


2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции exp (-r2), r=| r |.
2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности
постоянного значения функции (x2+y2-3z) в точке А(-1, 2, -1).
2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций

(x2+2y2-z2) и r=| r | в точке А(-1, 1, 1).
2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если
потенциальная энергия равна (2x+y2-z).
2.3.5.. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2),
которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного
 


значения функции r  a в этой точке. r - радиус-вектор, a постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).
11
3.ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА
ОСТРОГРАДСКОГО- ГАУССА
 

Вектор площадки  S   f  n  S направлен перпендикулярно площадке и

равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали n ,
если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном
случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки
правилом правого винта.

 

Поток  векторного поля a (r ) через площадку  S в точке r равен
   
 
  a (r )   S  a (r )  nS .
 
Поток  векторного поля a (r ) через поверхность S равен сумме потоков

этого поля через все площадки  S i , на которые разбита поверхность S. При
 Si  0
сумма превращается в интеграл по поверхности


  
  
   a (ri )S i   a (r )dS , где ri - средняя точка на площадке  S i .
i
S:
S
 
Поток S векторного поля a (r ) через замкнутую поверхность S может
быть записан как сумма потоков  m через поверхности дифференциально
малых объемов  Vm , на которые можно разбить замкнутый объем V,
ограниченный поверхностью S:  S    m . Чтобы последняя сумма была
m
интегральной (и для нее существовал предел при m), необходимо, чтобы
потоки  m были пропорциональны соответствующим объемам  Vm .

 
Дивергенция векторного поля a (r ) в точке rm - это скаляр, равный:
 m

 
, где rm - средняя точка в объеме  Vm . Отсюда следует, что в
diva (rm ) 
 Vm
пределе при  Vm  0 сумма по m становится интегралом по объему V:
12
 
 
 S    m   div a (rm )Vm   div a (r ) dV . Представляя этот поток в виде
m
m
V
  
интеграла  S   a (r )dS по поверхности S, ограничивающей объем V, мы
S
  
 
приходим к теореме Гаусса:  a (r )dS   div a (r )dV .
S
V
Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными
3 a
 
  a1  a2  a3
его компонент: div a (r )  a 


 .
 x1  x2  x3 1  x
Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных
производных, связывающее скорость изменения плотности  жидкости в
 
каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости v (r )
жидкости в этой же точке:


 div( v) . Уравнение непрерывности
t
выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.
Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость
изменения плотности электрического заряда  в каждой точке и дивергенцию
 


плотности электрического тока j (r ) в этой же точке:
 div j . Выводится
t
из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.
13
Уравнение
теплопроводности
– дифференциальное
уравнение
для
температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона
сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде

 T (r )

УТ
имеет вид:
где a
–
коэффициент
 adiv grad T (r ) ,
t
температуропроводности.
Задачи
3.1 Найти:
3.1.1 div( x 3  2 xy 2 ;2 x 4 z  y 2 ;2 z 3 x 2 y exp( x)) ;
3.1.2 div( x exp( x 2 )  cos y  sin x; sin( zy ); cos( zy ) exp( zx )) ;
3.1.3 div( xy 2 sin( zx ); cos( xy 2 z ) ln( z ); ln( yz ) exp( x  2 y )) ;
3.1.4 div( x 4  5 xy 2 z  exp( x); ln( y ) z 2  7 y; sin( 25 xyz 2 )) ;

3.1.5 div(r ) ;

3.1.6 div() ;
1
3.1.7 div( grad ( )) ;
r
3.1.8 div( grad (ln( ))) ;

3.1.9 div( f (r )r ) ;

3.1.10 div( f ()) ;

 
3.1.11 div[, r ], где  - постоянный вектор;


  
3.1.12 div[,[, r ]] , где  и  - постоянные вектора;
  


3.1.13 div(, (, r )) , где  и  - постоянные вектора;
 
3.1.14 div( grad ( f (r ) g (r ))) ;
14
  
3.1.15 div( f (r ) A(r )) ;
 

3.1.16 div( f (r )[, r ]) , где  - постоянный вектор;
 

3.1.17 div( f ()[, ]) , где  - постоянный вектор;
 
3.1.18 div [a [b r ]]

3.1.19 div zr

3.1.20 div( r [ar ])

[ar ]
3.1.21 div
r
 
r  R0  


3.1.22 div   , R0 , d  const , r ( x, y, z ), r | r |
| r  R0 |
 
 ( dr ) r 
3.1.23 div  5 
 r 

3.2 Найти поток поля A( x  1;2 z  y  2;3x  z  1) через поверхность S , где
поверхность S имеет вид:
3.2.1 S - единичный квадрат, расположенный в плоскости xOy (стороны

квадрата параллельны осям x и y ), положительная нормаль n(0,0,1) .
3.2.2 S - окружность радиуса R с центром в начале координат,

расположенная в плоскости xOy , положительная нормаль n(0,0,1) .
 
3.2.3 Найти поток поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) через поверхность
сферы радиуса r с центром в начале координат.
3.3 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для единичного кубика,


ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля A , где A :
3.3.1 (x-y; z+y-x; 2z);
3.3.2 (2x-z; y+z-x; 2x+y-z).
3.4 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для единичного кубика,

ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля A , где
15

A:
3.4.1 ( x 2  2 yz  1;2 xy  y 2  2;2 yz  1) ;
3.4.2 ( x  y  z 2  1;2 zy  y 2  4;2 y 2 z 2  x  2) ;
3.4.3 ( x 2  y 2  z; xyz  5; xy 2  1) ;
3.4.4 (2 xy  3;2 z 2  1; x  zy 2  1) .
3.5 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для сферы радиуса R с


центром в начале координат и поля A , где A :
 
3.5.1 A  r ;


3.5.2 A  rr ;


3.5.3 A  r 2 r ;


3.5.4 A  r 3r ;
 
3.5.5 A  r r .
3.6 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом
R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

лежит в плоскости xOy), и поля A :
 
3.6.1 A   ;


3.6.2 A   ;


3.6.3 A   2 ;


3.6.4 A  3 ;
 
3.6.5 A   / 
3.7 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом
R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

лежит в плоскости xOy), и поля A :
 
3.7.1 A  r ;
16


3.7.2 A  r ;


3.7.3 A   2 r ;


3.7.4 A  3 r ;
 
3.7.5 A  r  .
3.8 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для сферы радиуса R с

центром в начале координат и поля A :
 
3.8.1 A  r r 3 ;


3.8.2 A  f (r )r .
3.9 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом
R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

лежит в плоскости xOy), и поля A :
 
3.9.1 A    2 ;


3.9.2 A  f () .
3.10 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом
R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

лежит в плоскости xOy), и поля A :
 
3.10.1 A  r  2 ;


3.10.2 A  f ()r .
4. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА СТОКСА
 
Циркуляция AL векторного поля a (r ) по замкнутому контуру L - скалярная

величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков  rn , на
 
которые разбит конур L, и векторов a (r ) в средних точках этих участков:
17

  
AL   a (rn )rn . При  rn  0 сумма переходит в интеграл по контуру L:
n
  
AL   a (r )dr . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода
L
контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы

циркуляций по границам Lk малых площадок  S k , на которые разбита

поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов  S k
согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и Lk,
для которых вычисляются циркуляции: AL   ALk . Чтобы записанная сумма
k
была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были
пропорциональны S k . Это возможно, если существует векторное поле,

 
 
 
называемое ротором rot a (r ) поля a (r ) такое, что ALk  rot a (rk )  S k . При
 S k  0 циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S:
  
AL   rot a (r ) dS . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде
S
интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через
поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой
  
  
Стокса: AL   a (r )dr   rot a (r )dS . Положительное направление нормали для
L
S
поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу
правого винта.
Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент



e1
e2
e3

 
поля соотношением: rot a (r ) 
 x1
a1

 x2
a2

. Определитель, стоящий в
 x3
a3
правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает
выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов:
18
a
a
 a
 a a
 a
 
rot a (r )   e1 ( 3  2 )  e2 ( 1  3 )  e3 ( 2  1 )
x2 x3
x3 x1
x1 x2
Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля,

заданного на плоскости (x,y): a ( x, y, z )( P( x, y), Q( x, y),0) и замкнутого контура
L,
заданного
на
плоскости
(x,y).
Тогда:
  
AL   a (r )dr   Pdx  Qdy ,
L
L

Q  P
 
rot a (r )(0,0, (

)) и dS (0,0, dxdy ) . Тогда из теоремы Стокса следует
x y
формула Грина:
AL   Pdx  Qdy   (
L
S
Q  P

)dxdy .
x  y
Задачи
4.1 Найти:
4.1.1 rot ( xy 2 sin( z );2 xyz; ln( xyz )) ;
4.1.2 rot ( xz exp( y ); exp( x 2 ) z cos( y ); ln( z ) exp( xy )) ;
4.1.3 rot ( xy 2 sin( zx); exp( xyz ) ln( xyz ); cos(xy 2 ) z 3 ) ;
4.1.4 rot ( yz exp( x 2 ); cos(xy 2 z ) exp( xyz ); xy 2 sin( z ) ln( y)) ;

4.1.5 rot (r ) ;

4.1.6 rot () ;

4.1.7 rot ( f (r )r ) ;

4.1.8 rot ( f ()) ;

 
4.1.9 rot[, r ] , где  - постоянный вектор;


  
4.1.10 rot[,[, r ]] , где  и  - постоянные вектора;
  


4.1.11 rot (, (, r )) , где  и  - постоянные вектора;

4.1.12 rot ( grad ( f (r ))) ;
19
 
4.1.13 div(rot ( A(r ))) ;
  
4.1.14 rot ( f (r ) A(r )) ;

4.1.15 rot yr ;
 
4.1.15 rot [a[b r ]] ;


4.1.16 rot (d sin( k r )) ;

4.1.17 rot(r [ar ]) ;

[ ar ]
4.1.18 rot
;
r

d
4.1.19 rot ;
r

[ dr ]
4.1.20 rot 3 ;
r
 
 ( dr ) r 
4.1.21 rot 5 
 r 
 


 
 
 
4.2 Вычислить rot [a , b ] , div[a , b ] , rot (ca ) , div(ca ) , grad (a , b ) , где a , b и
c равны:


b
4.2.1 a ( y; z; x) , (2 x; y  z;0) , c  1 r ;


4.2.2 a (2 x; z; y) , b (b1 ; b2 ; b3 ) , c  r 2 ;


b
4.2.3 a ( y; z; x) , ( y; x; x) , c  ln( r ) ;
 2 2 2 
4.2.4 a ( x ; y ; z ) , b ( z;2 x; y ) , c  r 1 2 ;


4.2.5 a (a 2 ; a 2 ; a3 ) , b ( y; y; zx ) , c  r .

4.3 Вычислить выражение, где (1 ;  2 ; 3 )  const :
 
4.3.1 rot[, r ] ;
 
4.3.2 rot[, ] ;
 
4.3.3 rot [r, ] ;
20
 
4.3.4 rot [r, r ] ;
 
4.3.5 rot [, ] ;
 
4.3.6 rot[, r ] ;
 
4.3.7 rot [, r ] .
 
4.4 Найти циркуляцию поля a (r )( x  z, y  2 x  z, x  y) по окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости
(y,z).
4.5 Проверить теорему Стокса для единичных квадратов в плоскостях

xOy , xOz , yOz и поля A :
4.5.1 ( x  y  z; x  z; z  y) ;
4.5.2 ( x  y; 2 z  x; x  y  2 z ) .

4.6 Проверить теорему Стокса для граней единичного куба и поля A :
2
4.6.1 ( xy  1; 2 zy  1; xyz  2) ;
2
2
4.6.2 ( y  z x  3; z  x  y  4; zx  3) ;
4.6.3 ( xyz  x  1; 2 xy  z  2; z  1) ;
4.6.4 (2 z  1; 2 y  3x  z  1; xyz  1) .
4.7 Проверить теорему Стокса для окружности радиуса R с центром в

 
b
точке O , лежащей в плоскости xOy , и поля A  [b r ] , где постоянный вектор.
21
5. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Указание:
при
решении
задач
этого
параграфа
не
использование метода оператора набла.
Задачи
5.1 Вычислить div grad f для следующих скалярных полей f:
 
5.1.1 f  sin( k r ) , k - постоянный вектор;
 
1
5.1.2 f  r sin( k r ) , k - постоянный вектор;
 
5.1.3 f  sin( k ) , k - постоянный вектор;
 2
5.1.4 f  ( k r ) ,
 2
5.1.5 f  (k ) ,

k - постоянный вектор;

k - постоянный вектор;
5.1.6 f  1 r ;
5.1.7 f  ln() ;
5.1.8 f  exp(r ) ;
5.1.9 f  exp( r ) ;
2
5.1.10 f  exp() ;
5.1.11 f  exp(  ) .
2


5.2 Вычислить rot rot a для векторных полей a :

2
2
2
5.2.1 a ( x ; xy  y ; xz  z ) ;

2
2
5.2.2 a ( x  y ; xz; yz ) ;

2
2
5.2.3 a ( z ; xy; yz  z ) ;
22
предлагается

2
2
2
5.2.4 a (2 xz; x  y ; 2 z ) .
5.3 Вычислить rot grad f для следующих скалярных полей f :
5.3.1 f  exp(r ) ;
5.3.2 f  ln() ;
5.3.3 f  1 r .


5.4 Вычислить div rot a для векторных полей a :
   
5.4.1 a  [, r ] ,  - постоянный вектор;

2
2
5.4.2 a ( x  y ; xz; yz ) .
5.5 Упростить выражение с предварительным использованием методов
векторной алгебры и вычислить:
   
5.5.1 rot [[a, ], [b , ]] ;
  
5.5.2 rot [a , [, b ]] ;
   
div
[[
a
, ], [b , ]] ;
5.5.3
  
5.5.4 div[a , [, b ]] ;
5.5.5
5.5.6
5.5.7
5.5.8
   
rot[[a, r ], [b , r ]] ;
  
rot [a , [r , b ]] ;
   
div[[a, r ], [b , r ]] ;
  
div[a , [r , b ]] .
23
6. ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРА НАБЛА
Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты



 
 
 
и его можно представить в виде:  
,
,
e1 
e2 
e3 .
 x1  x2  x3
 x1
 x2
 x3
Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла»,
проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только учитывать,
что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению он должен

стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать. Так   a  

это дивергенция поля a (r ) , а a   - скалярный дифференциальный оператор:
3







. Понятно, что   grad  ,   a  div a , [a ]  rot a .
a     a ( r ) 
 x
 1
Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго
порядка:      
2
 x12

2
 x22

2
 x32
.
С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей


divrot a  (,[a ])  0 ,
rotgrad  [, ()]  [, ]  0 ,
справедливо:






rotrot a  [[a ]]  (, a )  (, )a  graddiv a  a . Надо иметь в виду, что
последний член – это вектор с компонентами a1 , a2 , a3 .
Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла
проводится по следующей схеме:
1. Вместо операций grad, div, rot и  вводим операции с использованием
оператора набла:
gradf  f


divA  A


rot A  [A]
24
  (, )
2. Анализируем,
на
какие
функции
оператор
набла
действует
как
дифференциальный оператор. По определению эти функции должны
располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций
две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух
операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:




rot[ AB]  [[ AB]]  [ ( A) [ AB]]  [ ( B) [ AB]]
3.
Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной
алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер
оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом
примере:





[ ( A) [ AB]]  A( ( A) B)  B( ( A) A)





[ ( B ) [ AB]]  A( ( B ) B)  B( ( B ) A)
4.
Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем
полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева
от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не
действуют. Так:
 






A( ( A) B)  B( ( A) A) = ( B ( A) ) A  B( ( A) A)




 


A( ( B ) B)  B( ( B ) A) = A( ( B ) B)  ( A ( B ) ) B
25
5.
Поскольку
операторы
набла оказываются в позициях, где они
автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы,
убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости
обозначения grad, div, rot и  . В рассматриваемом примере окончательно
получаем:

 






rot [ AB]  ( B ( A) ) A  B( ( A) A)  A( ( B ) B)  ( A ( B ) ) B 
 
 
   
 ( B) A  B(A)  A(B)  ( A) B 
   
   
 AdivB  BdivA  ( B) A  ( A) B
где
 






( A) B  ( A1
 A2
 A3
)( B1e1  B2 e2  B3e3 ) 
x1
x2
x3
 ( A1
B1
B
B 
 A2 1  A3 1 )e1 
x1
x 2
x3
 ( A1
B2
B
B 
 A2 2  A3 2 )e2 
x1
x 2
x3
 ( A1
B3
B
B 
 A2 3  A3 3 )e3
x1
x 2
x3
Задачи
6.1 Записать следующие выражения, используя вместо оператора набла
операции grad, div, rot и  :

6.1.1 ([ AB ]) ;


(
A
B) ;
6.1.2
26

[

[
A
B]] ;
6.1.3

6.1.4 (fA) ;

6.1.5 [fA] ;
6.1.6
( fg ) ;
6.1.7 (, ( fg )) ;

6.1.8 [[r ]] ;

6.1.9 ([r ]) ;

6.1.10  (A) ;

6.1.11 (,  ) A ;

6.1.12 ([A]) ;

6.1.13 [[A]] ;
6.1.14 (, ) f ;
6.1.15 [  f ] .
6.2 Преобразовать выражение методом оператора набла  и затем
расписать в частных производных:

6.2.1 div[ AB] ;

6.2.2 grad ( AB) ;

6.2.3 rot[ AB] ;

6.2.4 div( fA) ;

6.2.5 rot ( fA) ;

grad
(
f
b
);
6.2.6

6.2.7 div grad ( fb ) ;
27


rot[r ] , где  - постоянный вектор;


6.2.9 div[r ] , где  - постоянный вектор;
6.2.8
6.3 Расписать в частных производных:

6.3.1 grad divA



(

A)
(

A)
(

A)
6.3.2
z;
x;
y;

6.3.3 div rotA ;

6.3.4 rot rotA ;
6.3.5 div gradf ;
6.3.6 rot gradf ;
6.3.7 (f ) .

6.4 Найти напряженность электрического поля E , если задан потенциал 

( E   grad) :
2
2
2
2
2
6.4.1 ( x  2 y z  sin( x)) exp( ( x  y  z )) ;
2
2
2
6.4.2 ( x  sin( zx )  y x cos( z )) exp(  x ) .
6.5 Найти плотность электрических зарядов в вакууме  , если задана


напряженность электрического поля E (divE  4) :
2
2
6.5.1 ( x  4 sin( z ) exp( xy ); cos( x)  ln( xyz ); xy z ) ;
2
6.5.2 ( x exp(  x )  y  z; ln( xy ) sin( z ); x  y  z  1) .
28
ЛИТЕРАТУРА
1. И.В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.- С. 313409.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.- М.:
Наука, 1970.- С. 9- 22.
4. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.- С. 216.
29