Анализ стохастических систем в пространстве состояний

Анализ стохастических систем в
пространстве состояний
КАЗАКОВ И.Е., МАЛЬЧИКОВ С.В. Анализ стохастических систем в пространстве
состояний. - М : Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1983.— 384 с
32.81 К 14 УДК 62-50.
Серия: Теоретические основы технической кибернетики.
Игорь Ефимович Казаков, Свет Владимирович- Мальчиков
Книга содержит систематическое изложение теоретико-вероятностных методов
анализа автоматических стохастических систем в пространстве состояний па основе
описания их динамики с помощью дифференциальных или разностных уравнений.
Такое описание более адекватно нестационарным системам и позволяет широко
пользоваться теорией марковских случайных процессов п последовательностей.
Кратко излагаются основы теории марковских процессов, характеризующих
эволюцию автоматических систем. С единой точки зрения рассматриваются методы
корреляционного анализа линейных и нелинейных систем на основе статистической
линеаризации. Изложены методы решения задач определения законов
распределения фазовых координат системы без срыва и с учетом срыва
управления, а также конечного распределения при случайном интервале
функционирования.
1
Большое внимание уделяется приближенным инженерным алгоритмам решения
задач, которые иллюстрируются примерами.
Книга предназначена для научных работников, инженеров и студентов,
специализирующихся в области систем управления.
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Чтобы действительно знать предмет, надо охватить, изучить
все его стороны, все связи и „опосредствования". Мы никогда
не достигнем этого полностью, но требование всесторонности
предостерегает нас от ошибки».
В. И. Ленин «Еще раз о профсоюзах».
«Тождество и различие — необходимость и случайность —
причина и действие — вот главные противоположности,
которые, если их рассматривать раздельно, превращаются
друг в друга».
Ф. Энгельс «Диалектика природы».
«Хорошо поставить вопрос — значит уже наполовину решить
его».
Д. П. Менделеев.
Современная теория автоматических систем базируется на вероятностном описании
объективных процессов, протекающих в них. Вероятностная трактовка адекватна
материальной природе процессов управления в системах, называемых
стохастическими. Она позволила развить полный анализ функционирования и
эффективности автоматических устройств. Для построения теории анализа
стохастических автоматических систем используется их описание с помощью
математических моделей. Перспективным, особенно для нестационарных систем,
является описание их функционирования в пространстве состояний. Сочетание
теоретико-вероятностного подхода и описания системы в фазовом пространстве
составляет основу статистической теории систем управления в пространстве
состояний. Это направление плодотворно развивается в последние 15 лет и
основывается на теории марковских случайных процессов и последовательностей
для непрерывных и дискретных систем соответственно.
Целью данной книги является систематическое изложение теоретико-вероятностных
методов анализа стохастических динамических, в том числе автоматических, систем
различного назначения в фазовом пространстве состояний. Она является
дальнейшим развитием первых двух глав книги [27] «Статистическая теория систем
управления в пространстве состояний» и содержит более полное изложение
методов теоретико-вероятностного анализа, новые результаты и значительно
методически усовершенствована.
Основное внимание в книге обращено на изложение инженерных алгоритмов и
вычислительных процедур, связанных с применяемыми методами; а не на их
строгое теоретико-вероятностное обоснование. Для получения единого алгоритма
анализа, реализуемого в вычислительной практике при исследовании линейных и
нелинейных систем, в данной книге широко применена статистическая
линеаризация многомерных и векторных нелинейностей. Это позволило для
большинства задач анализа разработать приближенный, но достаточно общий
подход для оценки вероятностных характеристик качества функционирования
динамических систем.
2
Книга снабжена значительным числом примеров, более детально раскрывающих
существо излагаемых методов и возможности ЭВМ для получения конкретных
результатов. Она рассчитана на научных работников в области автоматического
управления и инженеров-исследователей, занимающихся разработкой сложных
динамических систем. Она будет полезна студентам старших курсов по
специальности автоматическое управление. Материал, излагаемый в книге, требует
подготовки читателя по теории вероятностей, теории случайных функций и теории
автоматического управления в объеме учебных курсов . высших технических
учебных заведений соответствующего профиля. Перечень литературы включает
только источники, на которые даны ссылки в книге, и не претендует на полную
библиографию по данному вопросу.
Материал книги распределился между авторами следующим образом: И. Е.
Казаковым написаны предисловие, главы 1, 2, 3, 4 (кроме § 4.12), §§ 5.1, 5.2, 5.11,
5.12; С. В. Мальчиковым — §§ 4.12, 5.3—5.10, главы 6, 7.
Авторы признательны профессору Б. Г. Доступову, замечания которого
способствовали улучшению книги.
3
ЛИТЕРАТУРА
1. А н д р о н о в А. Ам В и т т А. А., П о н т р я г и н Л. С. О статистическом рассмотрении
динамических систем.— ЖЭТФ, 1933, с. 34—48.
2. Б е р н ш т е й н С. Н. Стохастические дифференциальные уравнения.— Собр. соч.,
т. IV, М.: Наука, 1964.
3. Б э т ч е л о р д Д. Теория однородной турбулентности.— М.: ИЛ, 1955.
4. Б е с е к е р с к и й В. А. Цифровые автоматические системы.— М.: Наука, 1976.
5. Б у т о н Р. К. (В о о t o n R. С.) Nonlinear control systems with random inputs.—
Trans. IRE, Profes. group on cirquit theory, CT-1, 1954, № 1, p. 9—19.
6. В а з о в В., Ф о р с а й д т Д. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных.—М.: ИЛ, 1963.
7. Г е й д а р о в Т. Г. Разложение гс-мерных законов распределения в ряд
Эджворта.— Изв. АН Азерб. ССР, серия физико-технических и математических наук,
1966, № 4, с. 237—246.
8. Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В. Введение в теорию случайных процессов —
М.: Наука, 1965.
9. Д а ш е в с к и й М. Л., Л и п ц е р Р. Ш. Приближенный анализ нелинейных
нестационарных динамических систем.— А и Т, 1967, № 8, с. 32—43.
10. Д а ш е в с к и й М. Л. Приближенный анализ точности нестационарных
нелинейных систем методом семи инвариантов.- А и Т, 1967, № И, с. 62—81.
11. Д е м у х В. И. Приближенный метод анализа точности нелинейных систем,— А и
Т, 1965, № 6, с. 417—424.
12. Д е р у с с о П., Р о й Р., К л о у з Ч. Пространство состояний в теории
управления.— М.: Наука, 1970.
13. Д у б Дж. Л. Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956.
14. Д у н к а н Д. Б. ( D u n c a n D. В.) Response of linear time-dependent systems to
random inputs.—J. App. Phys., 1953r № 24, p. 609—611.
15. E в л а н о в Л. Г., К а з а к о в И. Е. Статистическое исследование нелинейных
автоколебательных систем в установившихся режимах.— А и Т, № 12, с. 18—26.
16. Е в л а н о в Л. Г., К а з а к о в И. Е. Статистическое исследование нелинейных
автоколебательных систем в неустановившихся режимах.— А и Т , 1970, № 1, с. 45—
53.
17. Е в л а н о в Л. Г., К а з а к о в И. Е. Корреляционный анализ систем со
стохастическими безынерционными элементами.— А и Т , 1972, № 10, с. 51—56.
18. Е в л а н о в Л. Г., К о н с т а н т и н о в В. М. Системы со случайными
параметрами.— М.: Наука, 1976.
19. 3 а д е Л. А. Понятие состояния в теории систем. Общая теория систем.— М.:
Мир, 1966.
20. И т о К. ( I t о К.) Stochastic integral.—Ргос. Imp., Acad., Tokyo, 1944, v. 20, p.
519—524
21. К а з а к о в И. E. Приближенный вероятностный анализ точности работы
существенно нелинейных систем.— А и Т, 1956, № 5, т. 17, с. 385--409.
4
22. К а з а к о в И. Е., Д о с т у п о в Б. Г. Статистическая динамика нелинейных
автоматических систем.— М.: Физматгиз, 1962.
23* К а з а к о в И. Е. Методы исследования нелинейных автоматических систем,
основанные на статистической линеаризации. Современные методы проектирования
систем управления.— М.: Машиностроение, 1967.
24. К а з а к о в И. Е. Алгоритм определения функции плотности вероятности
фазовых координат нелинейной стохастической системы.— А и Т, 1969, № 5, с. 54—
66.
25. К а з а к о в И. Е. Статистические методы проектирования систем управления.—
М.: Машиностроение, 1969.
26. К а з а к о в И. Е. Оценка точности метода статистической линеаризации
исследования автоматических систем.— В кн.: Труды IV Всесоюзного совещания по
автоматическому управлению.—М.: Наука, 1972, с. 185-192.
27. К а з а к о в И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве
состояний.— М.: Наука, 1975.
28. К а з а к о в И. Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой.—
М.: Наука, 1977.
29. К а л м а н Р. Е. Об общей теории систем управления.— В кн.: Труды 1
конгресса ИФАК. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся
систем.— М.: Изд-во АН СССР, 1961, с. 521-547.
30. К а л м а н Р., Ф а л б П., А р б о б М. Очерки по математической теории
систем.— М.: Мир, 1971.
31. К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М.: ОНТИ, 1936.
32. К о л м о г о р о в А. Н. Аналитические методы в теории вероятностей.— УМН,
1938, вып. 5.
33. К о л м о г о р о в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа.— М.: Наука, 1968.
34. К о л м о г о р о в А. Н. О статистических методах в теории вероятностей.— УМН,
1938, вып. 5, с. 5—11.
35. К о л о в е к и й М. 3. Об оценке точности решений, получаемых методом
статистической линеаризации.— А и Т, 1966,-№ 10, с. 43-54.
36. К о т е л ь н и к о в В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости.— М.:
Госэнергоиздат, 1956.
37. К р а м е р Г. Математические методы статистики.— М.: ИЛ, 1948.
38. К р а с о в с к и й А. А. Фазовое пространство и статистическая теория
динамических систем.— М.: Наука, 1974.
39. К р а с о в с к и й Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.
40. К р и н е ц к и й Е. И. Системы самонаведения.— М.:, Машиностроение, 1970.
41. К у з н е ц о в П. И., С т р а т о н о в и ч, Р. Л., Т и х о н о в В. И. Квазимоментные
функции в теории случайных процессов:—ДАН СССР, 1954, т. 94, № 4, с. 4615—
1618.
42. Л а п т е в Г. Ф. Элементы векторного исчисления.— М.: Наука, 1975.
5
43. Л е н и н г Д. X., Б е т т и н Р. Г. Случайные процессы в задачах
автоматического управления.— М.: ИЛ, 1958.
44. Л и н д с е й В. Системы синхронизации в связи и управлении.— М.: Сов. радио,
1978.
45. М а л ь ч и к о в С. В. Приближенный метод определения законов
распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем — А и Т,
1970, № 5, с. 43—50.
46. М а л ь ч и к о в С. В, Приближенный метод статистического анализа систем со
случайным временем работы.— А и Т , 1979, № 1-1, с. 93-97.
47. М е д и ч Д. Статистически оптимальные опенки и управление. — М.: Энергия,
1973.
48. М е л ь ц И. О., П у х о в а Т. А., У с к о в Г. В. Многомерная статистическая
линеаризация функций, содержащих множители степенного, показательного и
тригонометрического типов.— А и Т , 1967, № 12, с. 65—75.
49. М е р к л и н г е р К. Д. Численный анализ нелинейных систем с помощью
уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова.—В кн.: Труды II Международного
конгресса ИФАК по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
50. М и х л и н С. Г., С м о л и ц к и й X. А. Приближенные методы решения
дифференциальных и интегральных уравнений.— М.: Наука, 1965.
51. М о р о с а н о в И. С. Практические методы вычисления коэффициентов
линеаризации произвольных нелинейностей.— А и Т , 1968, № 10, с. 43—51.
52. Н и к и т и н А. К., У л а н о в Г. М. Исследование случайных процессов в
системах управления с переменной структурой методами статистической
линеаризации.—: А и Т., 1968, № 10, с. 50—62.
53. О б р е з к о в Г. В., Р е з е в и г В. Д. Срыв слежения в нелинейных системах,
работающих в нестационарном режиме.— А и Т , 11968, № 10, с. 42—49.
54. П а н и ч Ю. В. Статистическая линеаризация нелинейных стохастических
преобразований с памятью.— А и Т, 1969, № 4, с. 46—57.
55. П е р в о з в а н с к и й А. А. .Случайные процессы в нелинейных
автоматических системах.— М.: Физматгиз, 1962.
56. П е р е л ь,м а н А. М. Статистическая линеаризация селектора периодических
дискрет.—А и Т, 1969, № 2, с. 162—164.
57. П е т р о в Б. Н., Е м е л ь я н о в С. В. Принципы построения комбинированных САР
с переменной структурой.— ДАН СССР, 1963, № 15, т. 153.
58. П у г а ч е в В. С. Общая теория корреляции случайных функций.— Изв. АН
СССР, серия математическая, 1953, т. 17, № 5, с. 401—420.
59. П у г а ч е в В. С. Применение теории марковских процессов к анализу точности
автоматических систем.— Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, 1961, № 3,
с. 46—57.
60. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления.— М.: Физматгиз, 1962.
61. П у г а ч е в В. С. .Стохастические системы и их соединения.—ДАН СССР, 1971,
т. 197, № 6, с. 1288—1290.
6
62. П у г а ч е в В. С. Нормальные стохастические системы.— ДАН СССР, 1973, т.
208, № 3, с. 566—569.
63. П у г а ч е в В. С. (ред.) и др. Основы автоматического управления.— М.: Наука,
1974.
64. П у г а ч е в В. С, К а з а к о в И. Е., Е в л а н о в Л. Г. Основы статистической
теории систем управления.— М.: Машиностроение, 1974.
65. П у п к о в К. А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического
управления.— М.: Машиностроение, 1965.
66. Р а й б м а н Н. С, Ч а д е е в В. М. Адаптивные модели в системах управления.—
М.: Сов. радио, 4966.
67. Р е к а з и у с 3. В. (R е k a s i u s Z. V.) A General perfo-manse index for analytical
design of control systems.— Trans. IRE, Ac. 6, 1961, № 2, p. 217-222.
68. С а в а р а г и Д., С у г а и Н., С у н а х а р а Д. ( S a w a r a - g i Y., S u g a i N.,
S u n a c h a r a Y.) Statistical studies on nonlinear control systems, Nippon Printing and
Pablishing Company LTO, Osaka, Japan, 1962.
69. С и н и ц и н И. Н. О совместной статистической эллиптической
линеаризации.— В кн.: Труды III Всесоюзного совещания по автоматическому
управлению. Оптимальные системы. Статистические методы. М.: Наука, 1967, с.
224—227.
70. С и н и ц и н И. Н. О статистической линеаризации стохастических
нелинейностей.— В кн.: V Всесоюзное совещание но автоматическому управлению.
М.: Наука, 1971, с. 50—51.
71. С и н и ц и н И. Н. Метод статистической линеаризации (обзор).—А и Т, 1974, №
5, с. 36—48.
72. С о л о д о в А. В., П е т р о в Ф. С. Линейные автоматические системы с
переменными параметрами.— М.: Наука, 1071.
73. С о л о д о в н и к о в В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления.— М.: Физматгиз, 1960.
74. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуации в
радиотехнике.— М.: Сов. радио, 1961.
75. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Новая форма записи стохастических, интегралов и
уравнений.— Вестник МГУ, серия математики и механики, № 1, '1964.
76. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Условные марковские процессы и их применение в
теорий оптимального управления.—М.: Изд-во МГУ, 1966.
77. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Сов. радио, 1966.
78. Т и х о н о в В. И., М и р о н о в М. А. Марковские процессы.— М.: Сов. радио,
4977.
79. Т у Ю. Современная теория управления.—М.: Машиностроение, 1971.
80. У о н е м У. М. ( W o n h a m W. М.) On the separation theory of stochastic control —
SIAM, Jorn. Control, 1968, v. 6, № 2, p. 312—326.
81. Ц ы п к и н Я. 3. Теория линейных импульсных систем.— М.: Физматгиз, 1963.
82. Ш и р я е в А. Н. О стохастических уравнениях в теории условных марковских
процессов.— Теория вероятностей и ее применение, 1966, т. II, вып. 1, с. 36—42.
7
83. Ч а к и Ф. Современная теория управления. М.: Мир, 1975.
8