План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, методов их решения». Тема урока: « Решение логарифмических уравнений ». Цели урока: вспомнить и систематизировать виды логарифмических уравнений, основные способы решений логарифмических уравнений. Задачи урока: а) обучающая - формирование знаний о свойствах логарифмической функции и применении их в решении логарифмических уравнений; итоговая отработка способов и методов их решения; б) развивающая - развитие навыков самоконтроля при решении заданий; развитие навыков взаимоконтроля; в) воспитательная - формирование грамотной устной и письменной математической речи учащихся, воспитание ответственного отношения к учебному труду; воспитание чувства коллективизма. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран. Ход урока: 1. Сообщение целей урока и его плана. 2. а) ответы на вопросы по домашней работе по предыдущей теме(6-7 минут); б) устная работа по вопросам теории, заданным также на дом: 1. Определение логарифма, натуральный и десятичный логарифмы, примеры; 2. Основное логарифмическое свойство, примеры; 3. Формула логарифма произведения, примеры; 4. Формула логарифма частного, примеры; 5. Формула логарифма степени, примеры; 6. Формула перехода от одного основания логарифма к другому, примеры; 7. Об области определения и монотонности логарифмической функции. 3. Систематизация знаний и умений с использованием заранее заготовленных заданий (30 минут). Перед уроком класс разбивается на небольшие группы, в каждой из которой выбирается ученик – консультант. Этот ученик, как правило, один из наиболее успешных. Учитель проектирует на экран задание, учащиеся вместе с учителем обсуждают типы уравнений и методы их решений. Затем решают в тетрадях. После чего, учитель проектирует на экран решение и окончательный ответ. В ходе проверки комментируются все применяемые свойства и определения. Блок№1. Простейшие уравнения. 1 а) log 1 (2x2 - 2x - 1) = . 2 9 По определению логарифма получаем уравнение 2х2 – 2х – 1 = ( х2 – х – 2 = 0. Ответ: -1; 2. 1 1 б) log25[ log3(2 – log0,5 x)] = - . 5 2 1 ) 9 1 2 2х2 – 2х -1 = 3 1 log3(2 – log0,5 x) = 25-0,5 log3(2 – 5 log0,5x) = 1. Вновь используем определение логарифма: 2 - log0,5 x = 31 , откуда log0,5 x = - 1 1 Получаем х = ( )-1 = 2. Ответ: 2. 2 в) log3 (x2 – 4) = log3 (4x – 7). Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразования. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой. x 2 4 0 ОДЗ данного уравнения задаётся неравенствами . Решая эту систему неравенств 4 x 7 0 получаем ОДЗ уравнения х (2; ∞). Логарифмическое уравнение заменяем ему равносильным: х2 – 4х + 3 = 0, которое имеет корни х1 = 1 и х2 = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3. По определению логарифма получаем уравнение Блок № 2. Уравнения, решаемые их преобразованиями. 28 а) 2log3(x – 2) – log3(x2 – 4x + ) = 2. 9 x 2 0 ОДЗ: 2 28 . Сведём данное уравнение к простейшему: x 4 x 9 0 28 ) = 2 log3 9 ( x 2) 2 2 ( x 2) 2 9 . После 28 28 2 x 4x x 4x 9 9 2 преобразований получим квадратное уравнение: х – 4х + 3 = 0, которое имеет корни х1 = 1 и х2 = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3. б) log2 x + log4 x + log8 x = 5,5. Одним из распространённых преобразований является переход к новому основанию в log a b логарифмах: logcb= . log a c В логарифмах перейдём к одному основанию, например числу 2. log 2 x log 2 x 1 1 log2 x + 5,5 log2 x + log2 x + log2 x = 5,5 2 3 log 2 4 log 2 8 6 log2 x + 3 log2 x + 2log2 x = 33 11∙ log2 x = 33 log2 x = 3 x = 23 = 8. Ответ: 8. log3(x – 2)2 – log3(x2 – 4x + 2 Блок № 3. Уравнения, решаемые разложением на множители. Переносим все члены уравнения в левую часть, проводим группировку и раскладываем на множители: x 1 log2 (3х2 – 5) + 2 = log2 (3х2 – 5) + 2 x 1 , x 1 log2 (3х2 – 5) + 2 - log2 (3х2 – 5) - 2 x 1 = 0, x 1 log2 (3х2 – 5) - log2 (3х2 – 5) + (2 - 2 x 1 ) = 0, (log2 (3х2 – 5) – 2)( x 1 - 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем два уравнения, которые надо решать, не забывая об ОДЗ уравнения, а именно 3x 2 5 0 . x 1 0 1) log2 (3х2 – 5) – 2 = 0 log2 (3х2 – 5) = 2 3х2 – 5 = 4 х2 = 3 х = В ОДЗ входит только х = 3 ; 2) x 1 - 1 = 0 х – 1 = 1 х = 2. Ответ: 3 ; 2. 3. Блок № 4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной. а) log22(2x – 1) + log2(2x -1) – 2 = 0. Проведём замену у = log2(2x -1) и получим квадратное уравнение у2 + у – 2 = 0. Его корни 5 x1 2 2 x 1 2 log 2 (2 x 1) 2 y1 2 8 . Оба корня входят в ОДЗ y 1 log (2 x 1) 1 x 3 2 2 2 x 1 2 2 2 5 3 уравнения. Ответ: ; . 8 2 б) 4 – lg x = 3 lg x . Проведём замену lg x = у, тогда данное уравнение примет вид у2 + 3у – 4 = 0, корни уравнения у1 = 1, у2 = -4(посторонний корень). Следовательно, lg x = 1, откуда х = 10. Ответ: 10. Блок № 5. Уравнения, решаемые с помощью их специфики. Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций. log2 x = 8 x . Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция у1 = log2 x – возрастающая, функция у2 = 8 x - убывающая. Корень уравнения – единственный, это точка пересечения графиков этих функций. Корень уравнения подбираем (угадываем). Ответ: 4. а) приём логарифмирования: 2 3х = х log3 x , найдём логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и 2 используем свойства логарифмов. Получаем: log3 (3x) = log3 (xlog 3 x ) log3 3 + log3 x = log3 x2 ∙ log3 x 1 + log3 x = 2log32x . Введём новую переменную у = log3 x и получим квадратное уравнение 1 + у = 2у2 2у2 – у – 1 = 0, у1 = 1, у2 = - x1 3 log 3 x 1 1 Вернёмся к х: . Ответ: 3; . x2 1 log 3 x 1 3 2 3 б) применение основного логарифмического тождества: 1 . 2 3 х log5 2 + 2 log5 x = 64. Запишем х в виде х = 5 log5 x =( 2 log2 5 ) log5 x = 2 log2 5 log5 x . Данное уравнение приведётся к виду 3∙ 2 log5 x + 2 log5 x = 64 4 ∙ 2 log5 x = 64 log5 x = 4. Ответ: 625. Блок № 6. Уравнения, решаемые графически. Определить число корней и найти меньший из них log0,5 x = -x2 + 2x – 1. Построим графики функций у1 = log0,5 x , у2 = -(х – 1)2. Графики пересекаются в точках А и В. Следовательно, уравнение имеет два корня. Абсцисса точки А меньше абсциссы точки В. Поэтому меньший корень уравнения х = 1. Ответ: 2 корня, меньший из них 1. 4. Подведение итогов урока. Выставление оценок наиболее активным ученикам, консультанты тоже принимают участие в оценке работы членов своей группы. 5. Постановка домашнего задания: на экране – логарифмические уравнения: № 1. 2 + 6 log8 x = log2 ( 6x + 18). № 2. lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg ( 1 – 2x). № 3. log2 x + log4 x + log16 x = 7. 2 1 № 4. х log 2 x 3 log 2 x 5 = . x 1 Ответы: №1 (3); №2 (-1); №3 (16); №4 (1; ; 16). 2 Необходимо взять несколько заданий из учебника, подойдя к ним дифференцированно. В домашнюю работу можно включить творческие задания, уравнения такого типа как, 2 а) log3 x ∙ log9 x ∙ log27 x ∙ log81 x = ; 3 б) log2 x + log4 x + log8 x = 11; 3 в) х lg x5 lg x = 0, 0001; г) logх3 + log3 x = log 3 + log3 x + 0, 5. x 1 Ответы: а) ; 9, б)64, в)10-2; 10-1; 10; 100, г)2. 9 Связь поддерживается с каждой группой через консультанта. Таким образом, на уроке используется такая технология обучения, как обучение в сотрудничестве. Ученики совместно работают над поставленной задачей. Общая оценка работы группы складывается из оценки общения учащихся в группе наряду с результатами работы. Каждый член группы, вместе с личной ответственностью за свои успехи, несёт ответственность за успехи своих согруппников. После совместной работы, необходимо обсудить, как она проходила в каждой группе, как оказывалась необходимая помощь, нуждающимся в ней; ученики обсуждают своё поведение; анализируют, что удалось, что нет, и намечают пути совершенствования своего сотрудничества. На уроке используется проблемно-поисковый метод обучения: перед каждой группой ставится задача и, чтобы её решить, надо определить тип уравнения и выбрать способ его решения. Наряду с систематизацией уже известных знаний, постановка проблемы имеет и элемент творческой деятельности. Ученикам нравятся такие уроки. Что касается темы «Решение логарифмических уравнений», интерес учащихся к ней проявляется в активности при обсуждении способов решения уравнений. Неплохо усваиваются свойства логарифмов и их применение в решении уравнений. Одна из проблем решения – проверка корней, ученики её просто забывают сделать. Поэтому, первое, с чего необходимо начинать обсуждение, это – ОДЗ. Следующий урок по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» будет посвещён решению логарифмических неравенств. В начале урока проводится проверочная работа на 10-12 минут, в которую можно включить уравнения, которые решаются уже известными методами, использованными на прошлом уроке и при выполнении домашней работы. Приведу пример одного варианта такой проверочной работы: № 1. Решить уравнение: 2 log0,5 x = log0,5 (2x2 – x); № 2. Решить уравнение: (х2 + х – 2) log 1 (3х – 2) = 0; 2 № 3. Решить уравнение: lоg4(lоg3(lоg2(х2 + 7х))) = 0; № 4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (х – а) log2 х = 0 имеет единственное решение. № 5. Выберите наибольшее решение уравнения: 2 log32 х - 7 log3 х = - 3. Дополнительно: log2x+1(5 + 8x – 4x2) + log5-2x(1 + 4x + 4x2) = 4. Ответы: №1 (1); №2 (1); №3 (-8; 1); №4 ( (-∞; 0) 1 );№5 (27);доп.( 1 ; 1). 2 Согласно тематическому планированию на тему «Решение логарифмических уравнений и неравенств» отводится пять уроков, после которых можно провести тематическую контрольную работу по своей структуре похожей на ЕГЭ, что является некоторым этапом подготовки к этому испытанию. Приведу один вариант такой контрольной работы: log 7 В1. Упростить выражение 2 2 + log575 - log53. В2. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения log2 (х + 1) = 4. В3. Решить неравенство log0,4(1,9х – 1, 3) ≥ - 1. В4. Найти сумму корней уравнения log 1 4x + log5 (x2 + 75) = 1. 5 B5. Найти число целых решений неравенства log22х - log2х ≤ 6. С1. Пусть (х0; у0) – решение системы log 3 x log 9 y 3, y0 . log 1 x log 3 y 3. Найти отношение x 0 5 С2. Решите уравнение lg x2 + lg (x + 10)2 = 2 lg 11. C3. Решите неравенство (х – 1) log 1 3 x+ 1 1 2 log x 3 Ответы: В1.1. В2.2. В3.1. В4.20. В5.8. С1.27. С2 -11; 1; -5 14 . С3.(0,5; 1). ≥ 0. Контрольная работа №2. Решить уравнения (1-5): 1. 3sin2x – 3cos2x = 12sin x – 7. Преобразуем уравнение, используя формулы тригонометрии: 3sin2x – 3(1 – 2sin2x) – 12sin x + 7 = 0 9sin2x – 12sin x + 4 = 0. Решением этого 2 уравнения является х = (-1)narksin + πn, n . 3 2 Ответ: (-1)narksin + πn, n . 3 2. 3 ∙ 4х + 2 ∙ 9х = 5 ∙ 6х. Приведём степени, входящие в уравнение, к основаниям 2 и 3 , затем разделим обе части 2 3 уравнения на произведение 3х ∙ 2х. Получим 3 ∙ ( )х + 2 ∙ ( )х = 5. Введём другую 3 2 3 3 переменную ( )х =а, где а > 0, 2а2 – 5а + 3 = 0. Решения этого уравнения а = , а = 1. 2 2 3 x 3 ( 2 ) 2 , х 1, . х 0 ( 3 ) х ( 3 ) 0 2 2 Ответ: 1; 0. 3. 1 cos 2 x = sin 2x. 1 cos 2 x sin 2 2 x, sin 2 2 x cos 2 x 1 0, Данное уравнение равносильно системе: 0 sin 2 x 1 2n 2 x 2n sin x 0 n x n , n 2 πn, где n . Ответ: πn, где n . x n, n .Решением уравнения является х = n x n , n 2 4. log6 (x -1) + log6 (5x + 3) = 2. x1, 3 Данное уравнение равносильно системе: x , . 5 log 6 ( x 1)(5 x 3) log 6 36 Решая уравнение 5х2 – 2х – 39 = 0 и учитывая ОДЗ, получаем х = 3 (х = -2,6 – посторон.). Ответ: 3. 5. sin(2 arcsin x ) = 1. ОДЗ уравнения: -1 ≤ х ≤ 1. Решая уравнение вида sint =1, получаем 2 arcsin x = arcsin x = 4 , учитывая, что - 2 arcsin x 2 2 2 , где , откуда , рассмотрим два случая: 2 1) пусть arcsin x ;0 , тогда - arcsin x = , arcsin x = ;х=; 2 4 4 2 2) пусть arcsin x 0; , тогда arcsin x = , х= 4 2 2 2 Ответ: ; . 2 2 2 ; 2 lg x lg y lg 2, 6. 2 2 x y 5. x 0, ОДЗ уравнений системы: . Используя свойства логарифмов, заменим данную y 0 2 x , xy 2, y систему ей равносильной: 2 . Второе уравнение системы после 2 4 x y 5 2 y 5 y 2 преобразований переходит в биквадратное y4 – 5y2 + 4 = 0, решая которое получаем корни у = 2, у = -2(посторонний), у = 1, у = -1(посторонний). Найдём соответствующие значения x 1, y 2, переменной х: . x 2, y 1 Ответ: (1; 2), (2; 1). 5 sin x sin y, 7. 3 cos x cos y 2. 5 sin x sin y, Перепишем систему в виде: . Следствием исходной системы является 2 3 cos x cos y уравнение 25sin2x + (2 -3cos x)2 = sin2y + cos2y. Упростим его и получим квадратное 7 cos x 2 уравнение 4cos x + 3cos x – 7 = 0, решив которое имеем совокупность 4 , первое cos x 1 уравнение совокупности не имеет решений. Вернёмся к исходной системе cos x 1, cos x 1, cos y 1, . Необходимо провести отбор корней. Заметим, что 5 sin x sin y, 3 cos x cos y 2 5 sin x sin y cos x 1, sin x 0, если то . Условию 5sin x = sin y удовлетворяют серии cos y 1, sin y 0, cos x 1, x 2, , sin x 0 y 2, . cos y 1, sin y 0 Ответ: 2πк, к , π + 2πк, к решений: 3 x 2 y 576, 8. log 2 ( y x) 4. ОДЗ: у-х 0 Используя свойства степеней и логарифмов, преобразуем уравнения системы, (( 2 )4=4): 3 x 2 y 32 2 6 , x 2, . y 6 y x 4 Ответ: (2; 6). Решите неравенства (9 – 12): 9. log2 log3 x2 0 . x2 x2 x2 0 и log3 0 x (-∞; -2) (2; + ). x2 x2 Используя свойства логарифмической функции (её возрастание), свойства логарифмов x2 x2 log 2 1 log 3 log 3 3 получим неравенство, равносильное данному: log 2 log 3 x2 x2 ОДЗ: x2 4x 3 0 . Применяя метод интервалов, получим решение неравенства x2 x2 х ;2 4; . Но учитывая ОДЗ, область верных решений сужается. Ответ: (- ; -2) (4; + ). 10. 12cos 3x + sin( x ) ≥ 13. 6 Оценим левую часть неравенства: -12 ≤ 12cos 3x ≤ 12, максимальное значение первого слагаемого 12. Второе слагаемое может принимать значения -1 ≤ sin( x + ) ≤ 1, а так как 6 оно стоит под знаком модуля, то его максимальное значение 1. Из этих рассуждений делаем вывод, что левая часть неравенства не может принимать значения большие 13. Решение неравенства сводится к решению уравнения 12cos 3x + sin( x 12 cos 3 x 12, Полученное уравнение равносильно системе: sin( x 6 ) 1 Ответ: 2 ; , . 3 3 6 ) = 13. 2 x 3 , , . x , 3 11. (arcsin 2x)2≥ (arcos 2x)2. , то неравенство можно записать в виде (arcsin 2x)2 ≥ ( 2 2 2 - arcsin 2x) . После возведения в квадрат и преобразований получим неравенство Так как arcsin 2x + arcos 2x = 2 2 x , 2 2 1 2 x 4 x . arcsin 2x ≥ arcsin 2x ≥ arcsin 2 2 4 2 4 1 2 x 1 1 x 1 2 2 2 1 Ответ: ( ; ). 4 2 2x 2x 12. ≥ 0. x5 x 3 2 Применяя правило раскрытия модуля, рассмотрим три случая: 2x 2x ≥ 0. 2 2 Дробь будет больше нуля, если 2 x -2х ≥ 0, решаем, используя метод интервалов, и получаем множество решений, входящих в рассматриваемый интервал х ;0 1;3. 2 1) х (- ; 3), тогда данное неравенство равносильно неравенству 2x 2x 2) х 3;5 , тогда данное неравенство равносильно неравенству ≥ 0. 8 2x Применяем метод интервалов , получаем множество решений, входящих в рассматриваемый интервал х 3;4 . 2 2x 2x 3) х (5; +∞), тогда данное неравенство равносильно неравенству ≥ 0. 2 Дробь будет больше нуля, если числитель будет отрицательным. Решения неравенства 2 2 2 x ≤ 2х не входят в рассматриваемый интервал. Ответ: ;0 1;4 . Решите задачи с параметром: 14. При каких значениях параметра а имеет корни уравнение sin6 x + cos6 x = a sin 4x ? Так как левая часть уравнения не больше единицы, то левая также аsin 4x ≤ 1, откуда 1 1 , следовательно -1 ≤ ≤1 , откуда -1 ≤ а ≤ 1. a a Ответ: -1 ≤ а ≤ 1. sin 4x ≤ В.1 1. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не существует и почему? 2. Сформулируйте и докажите теорему синусов? 3. Даны векторы р ⃗ {х; −4} и 𝑞 {2; 3}. Найти значение х если р ⃗ ⊥ 𝑞. В.2 1. Напишите формулы приведения. 2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 3. Найти скалярное произведение векторов а⃗{−5; 7} и в ⃗ {2; 1}. В.3 1. Что такое скалярное произведение векторов? 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. 3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 м, АС = 6 м, ВС = 12 м. В.4 1. Какие два вектора называются перпендикулярными? 2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. 3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, ∠С = 30∘ . В.1 1. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не существует и почему? 2. Сформулируйте и докажите теорему синусов? 3. Даны векторы р ⃗ {х; −4} и 𝑞 {2; 3}. Найти значение х если р ⃗ ⊥ 𝑞. В.2 1. Напишите формулы приведения. 2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 3. Найти скалярное произведение векторов а⃗{−5; 7} и в ⃗ {2; 1}. В.3 1. Что такое скалярное произведение векторов? 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. 3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 м, АС = 6 м, ВС = 12 м. В.4 1. Какие два вектора называются перпендикулярными? 2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. 3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, ∠С = 30∘ .