I. Основы реологии твердых тел.
advertisement
I. Основы реологии твердых тел. Реология- это раздел физики, изучающий течение и деформацию жидкостей, газов и твердых тел. 1.1 Твердые тела. Кристаллические и аморфные твердые тела. Полимеры. Твердые тела - это тела, сохраняющие форму и объем за счет значительных молекулярных сил отталкивания и притяжения. Большая часть твердых тел имеет кристаллическое строение. Оно характеризуется упорядоченным, геометрически правильным расположением частиц (атомов, молекул, ионов) по всему объему тела. В зависимости от природы частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки, различают четыре типа кристаллических решеток: ионные, атомные, молекулярные и кристаллические. У ионных кристаллов в узлах решеток располагаются правильно чередующиеся положительные и отрицательные ионы, связанные силами электростатического притяжения. Кристаллы с ионным строением (напр. NaCl) тверды, хрупки, хорошо растворяются в воде. В узлах атомных кристаллических решеток находятся электрически нейтральные атомы, между которыми осуществляются ковалентные связи. Такие решетки имеют разновидности углерода - алмаз и графит, полупроводники (например, германий- Ge, теллур- Te), многие органические твердые тела. Кристаллы с атомной решеткой отличаются твердостью, прочностью, малой растворимостью. Молекулярные кристаллы - это кристаллы брома, йода, кристаллы льда, многие твердые органические соединения. В узлах кристаллических решеток таких кристаллов находятся определенно ориентированные молекулы, связь между которыми образуется ван-дер-ваальсовыми силами. Такие кристаллы характеризуются мягкостью, хорошей растворимостью. У металлических кристаллов в узлах кристаллической решетки расположены положительные ионы металлов. Внешние (валентные) электроны представляют совокупность свободных электронов («электронный газ»). За счет теплового движения свободных электронов и взаимного притяжения между ними и положительными ионами осуществляется связь их в единое твердое тело. Наличием «электронного» газа объясняется хорошая электропроводность и теплопроводность металлов. Наиболее характерным свойством кристаллических тел является анизотропия – различие физических свойств тела (механических, тепловых, электрических, оптических) в различных направлениях. Однако, свойство анизотропии проявляется только у монокристаллов. У поликристаллов, вследствие беспорядочной ориентировки микрокристаллов, анизотропия тела в целом не проявляется. Некоторые твердые тела (стекло, смолы, пластмассы и др.) имеют не кристаллическое, а аморфное строение и называются аморфными твердыми телами. Аморфное строение характеризуется отсутствием строгой повторяемости в расположении атомов или молекул во всех направлениях. Для аморфных тел, подобно жидкостям, сохраняется только ближний порядок расположения частиц. Физические свойства аморфных тел одинаковы по всем направлениям. Это явление называется изотропией. Полимеры – это органические высокомолекулярные соединения, отличающиеся цепочечным строением молекул, длина которых достигает несколько микрометров. Молекулы полимеров состоят из большого числа (до десятка тысяч) одинаковых звеньев (мономеров). Каждый мономер состоит из небольшого числа атомов. По происхождению полимеры делят на природные (например, клетчатка, крахмал, белки, нуклеиновые кислоты) и на синтетические биополимеры (например, полиэтилен, полистирол, получаемые методами полимеризации и поликонденсации). Полимеры бывают жидкие (раствор поливинил-пирролидина) и твердые (плексиглас). Среди твердых полимеров различают кристаллические и аморфные. Кристаллические полимеры образуют анизотропные волокна и пленки; а аморфные находятся в высокоэластичном состоянии, причем, такие полимеры могут сильно деформироваться (до 1000%), и его деформация обратима. 1.2 Деформации. Виды деформации. Закон Гука. Все тела под действием внешних сил подвержены в той или иной степени деформации. Деформация – это изменение формы или объема тела под действием внешних сил, обусловленное смещением частиц тела относительно друг друга. Деформация, исчезающая после прекращения действия сил, называется упругой. В этом случае тело полностью восстанавливает свою форму и объем. Деформация, остающаяся в теле после устранения внешних сил, называется пластической, при этом тело не восстанавливает начальную форму, объем. Возможно также неполное исчезновение деформации; в этом случае деформацию называют упруго-пластической. При действии на тело внешней деформирующей силы, расстояние между взаимодействующими частицами (атомами, ионами) изменяется. Это приводит к возникновению внутренних сил упругости, стремящихся вернуть эти частицы в первоначальное положение и уравновешивающих внешние силы. Мерой этих сил является механическое напряжение (или просто напряжение σ): σ= Fупр (1.1) S где Fупр – сила упругости, S – поперечное сечение образца. Единицей измерения напряжения является [H/м2 ]. Другой характеристикой деформации является относительная деформация ε (или относительное удлинение): ε= ∆x , x (1.2) где x – первоначальное значение длины образца, ∆x – изменение длины образца при деформации. Относительная деформация ε - величина безразмерная. Для малых упругих деформаций справедлив закон Гука, согласно которому, напряжение σ прямо пропорционально относительной деформации ε. σ=Ε·ε , (1.3) где E – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом упругости (или модуль Юнга). Модуль Юнга Е измеряется в [H/м2 ]. Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества и зависит от его природы. Физический смысл модуля Юнга заключается в том, что модуль Юнга E есть величина, численно равная напряжению σ, возникающему при относительной деформации ε, равной единице. Все упругие деформации подчиняются закону Гука, но для каждого вида деформации, он имеет свою форму. Различают пять основных видов деформации: растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб, кручение. 1. Растяжение возникает под действием внешних сил, направленных по оси тела в F F Рис. 1.1 противоположные стороны наружу ( рис. 1.1). 2. Сжатие образца происходит под действием внешних сил, направленных по оси тела внутрь образца (рис. 1.2). F F Рис. 1.2 3. Сдвиг возникает под действием сил, действующих по касательной к поверхности тела. Сдвиг можно рассматривать как сжатие по диагонали BD и растяжение по диагонали AC (рис.1.3). В результате деформации сдвига происходит смещение элементарных слоев тела относительно друг друга. Сдвиг характеризуется касательным напряжением τ= F S , где S – величина верхней или нижней поверхности, и углом сдвига θ. При малых деформациях сдвига касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига. Β С F Θ F D Α Рис. 1.3 4. Изгиб возникает под действием нескольких внешних параллельных, противоположных сил. Эти силы действуют перпендикулярно оси тела. Верхние слои тела при изгибе сжимаются, средний слой остается без изменения, а нижние – растягиваются (рис.1.4). F F/2 F/2 Рис. 1.4 5. Кручение возникает под действием двух равных противоположных пар сил, приложенных относительно продольной оси тела (рис.1.5). F F Рис. 1.5 F F Зависимость между напряжением σ и относительной деформацией ε можно представить σ деформации E σпроч графически. Для растяжения график зависимости σ=f(ε) называется кривой σтек σупр A B C растяжения. Экспериментальная кривая D растяжения имеет вид (рис.1.6). Участок ОА соответствует упругой деформации, пределу ε 0 точка В соответствует упругой Максимальное котором Рис. 1.6 деформации. напряжение, деформация еще при имеет упругий характер, называется предел упругости σупр (на графике это соответствует точке В). Участок ВЕ соответствует пластической деформации, при этом участок СД называется областью текучести образца, которая характеризуется увеличением деформации при σ=const; при этом σтек – предел текучести – напряжение, при котором образец испытывает текучесть. Напряжение, при котором образец начинает разрушаться называется пределом прочности σпроч. Тела с большим пределом упругости называются упругими (например, металлы). Тела с малой пластической деформацией называются хрупкими (например, чугун, стекло). Тела с большой пластической деформацией называются пластическими (например, воск). Тела с малым модулем упругости и способные к значительным упругим деформациям называются эластичными (например, полимеры). Механические свойства тела в значительной степени зависят от его температуры. Повышение температуры способствует пластичности, понижение температуры – хрупкости. Например, хрупкое при обычной температуре стекло делается пластичным при нагревании или эластичный при обычной температуре каучук, становится хрупким при низких температурах и т.д. 1.3 Особенности механических свойств полимеров. В связи с особым химическим строением полимеры имеют благоприятные механические свойства, сочетающие большую прочность с высокой эластичностью и значительной вязкостью. Под вязкостью понимается способность тела сопротивляться деформации в процессе ее установления. Вязкость проявляется при динамическом приложении нагрузки и обуславливает постепенность нарастания деформации. Между упругими свойствами кристаллических тел и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница; так сталь разрывается при растяжении ее на 0.3%, а мягкие резины можно растягивать до 300%. Это объясняется различным механизмом упругости кристаллов и полимеров. При деформации кристаллических тел силы упругости определяются изменением межатомных расстояний, т.е. упругость твердых тел, с точки зрения термодинамики, связана с изменением внутренней энергии кристалла. В отличие от кристаллов, структура полимеров нерегулярна. Длинные молекулярные цепи полимеров гибкие, по-разному изогнуты, тесно переплетены между собой. Некоторые из них находятся в тепловом хаотическом движении, так что их форма и длина все время изменяются. При приложении нагрузки к полимерному образцу, его молекулярные цепи раскручиваются и распрямляются в соответствующем направлении, и длина образца увеличивается. После снятия нагрузки, вследствие хаотического теплового движения, длина каждой молекулы восстанавливается и образец укорачивается. Упругость, свойственную полимерам, называют высокой эластичностью (или высокоэластичностью). Сочетание вязкого течения и высокой эластичности позволяют называть деформацию, характерную для полимеров, вязко-упругой; а полимеры – вязкоупругими веществами. Механические свойства полимеров позволяют применять некоторые из них в медицине. Тефлон, капрон, лавсан, милар, силастиковый полимер обладают высокой химической стойкостью, вследствие чего их используют при изготовлении протезов внутренних частей организма (кровеносных сосудов, клапанов сердца, сухожилий, вживляемых глазных линз и т.д.). Из полимеров типа полиэтилена, поливинилхлорида и др., легко обрабатываемых давлением, изготавливают различные медицинские инструменты и приспособления. Жидкий полимер, раствор поливинил-пирролидина, используется в качестве заменителя плазмы крови. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие тела называются твердыми? Каковы особенности их строения? 2. Какие материалы называются аморфными? 3. Каковы особенности строения полимеров? 4. Что называется деформацией? Перечислите виды деформации. 5. Что такое механическое напряжение? Запишите закон Юнга. 6. Какой физический смысл имеет модуль Юнга? II. Биореология. Биореология – это область реологии, изучающая текучесть и деформацию биотканей. 2.1 Механические свойства костной ткани. Костная ткань является основным материалом опорно-двигательного аппарата. Установлено, что большая часть компактной костной ткани (0.5 объема) составляет неорганический материал – гидроксилапатит (3 Са3(РО4)2∗Са(ОН)2); он представлен в форме микроскопических кристалликов. Остальная часть - органический материал, коллаген. Коллаген – волокнистый белок, обладающий высокой прочностью, а также эластичностью. Кристаллики гидроксилапатита расположены между коллагеновыми волокнами, образуя “стекловолокнистую структуру”. Прочность гидроксилапатита составляет 600÷700МПа, коллагена – 50÷100МПа (прочность стали для сравнения – 500 МПа). Композиционное строение костной ткани придает ей высокие механические свойства: органическая основа – упругость, пропитывающие ее соли – твердость, а вместе – большую прочность. При небольших деформациях для костей справедлив закон Гука. В зависимости от типа кости ее механическое разрушение начинается при достижении напряжения 107÷108Н/м2. Модуль упругости кости составляет Е=109Н/м2, что значительно превышает значение модуля упругости мышц и других биотканей. Механические свойства костной ткани зависят от многих факторов: возраста, индивидуальных условий роста, участка организма. Возраст оказывает существенное влияние на прочность костной ткани, т.к. появляются изменения ее химического состава, уменьшается биологическая активность, изменяется степень минерализации, увеличивается пористость. Как показывает эксперимент, из всех видов деформации самым опасным для костной ткани является деформация растяжения. Прочность костей на сжатие высокая. Так, несущая способность бедренной кости в продольном направлении выше 45кН для мужчин и 39кН – для женщин. Выдерживаемая нагрузка при изгибе значительно ниже; у той же кости – 2.5кН. Строение отдельных костей приспособлено к приходящимся на них нагрузкам; так длинные кости конечностей, подвергающиеся в основном изгибу, имеют трубчатое строение. Это обеспечивает наиболее экономичное использование костного вещества. Концы трубчатых костей, например, бедра, построены из губчатого вещества, которое состоит из тонких костных пластинок. Они образуют сводчатую структуру, приспособленную для передачи нагрузки от опоры в тазобедренном суставе к трубчатой части кости. При + + - - + + - - F + - + ϕ- ϕ+ появляется деформации костной пьезоэлектрический ткани эффект: если костную полоску изгибать, то в зоне деформации между ее противоположными сторонами регистрируется разность потенциалов с минусом на вогнутой стороне Рис. 2.1 (рис.2.1). В диапазоне упругой деформации эта разность потенциалов пропорциональна механическому напряжению, т.е. ϕ+−ϕ-∼σ. Считают, что генерация пьезоэлектричества имеет место при механических нагрузках на кости в организме, и возникающие электрические токи могут стимулировать новообразование или рассасывание костной ткани. 2.2 Механические свойства мышц. Двигательная деятельность и множество физиологических процессов происходит при помощи мышечной ткани, в состав которой входят сократительные структуры. Мышцы состоят из мышечных волокон, которые окружены соединительной тканью, состоящей из волокон белков коллагена и эластина. В связи с этим, мышцы обладают упругими и вязкими свойствами подобно полимерам. Белок эластина обладает очень высокой эластичностью, он может растягиваться на 200-300 %. Коллаген имеет меньшую способность к растяжению, чем эластин, однако его больший модуль упругости обеспечивает большую прочность. Сократительными элементами в мышечном волокне являются миофибриллы. Они состоят из протофибрилл, которые представляют удлиненные молекулы (нити) белков актина и миозина. Эти нити-белки расположены чередующимися участками и соединены так, что концы нитей одного белка входят в промежутки между концами нитей другого белка, подобно, «сплетенным пальцам» (рис.2.2). Нити актина скреплены между собой Z перепончатыми дисками Z. ненапряженном состоянии мышцы между концами нитей В имеются промежутки I и H. При сокращении мышцы, концы нитей продвигаются в глубь и промежутки укорачиваются, при J H этом длина нитей не изменяется. тонкие линии - актин; толстые линии - миозин. Рис. 2.2 Сокращение мышц происходит либо под действием нервных импульсов, либо под действием химических стимуляторов. Сокращения мышц делятся на изотоническое и изометрическое. Сокращение, при котором мышца, изменяя свою длину, развивает постоянное усилие (σ=const), называется изотоническим (движение конечности или части тела). Сокращение, при котором мышца развивает усилие при неизмененной длине, т.е. без перемещения ее точек прикрепления называется изометрическим. Такое сокращение обеспечивает возможность удерживать предметы и орудия труда. Естественные сокращения в организме не бывают чисто изотоническими, т.к. даже поднимая постоянный груз, мышца изменяет свое напряжение, вследствие реальной нагрузки. Сила, развиваемая мышцей при максимальном сокращении, прямо пропорциональна количеству мышечных волокон, входящих в состав данной мышцы. Кроме того, она зависит от ряда физиологических условий (возраст, тренировка, питание, степень утомления и т.д.). Абсолютной мышечной силой (а.м.с.) называется сила, приходящаяся на 1 см2 общего поперечного сечения мышечных волокон,образующих мышцу. Например, для икроножной мышцы она составляет 60 Н/см2, для двуглавой мышцы плеча - 110 Н/см2, трехглавой – 170 Н/см2. 2.3 Механические свойства стенки кровеносных сосудов. Стенки кровеносных сосудов состоят из трех концентрических слоев: внутренний, средней и внешней сосудистой оболочки. Прочностные и деформационные свойства стенок кровеносных сосудов обуславливаются, главным образом, механическими свойствами средней сосудистой оболочки, которая состоит из коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Как известно, эластин обуславливает эластичность, а коллаген – прочность стенок кровеносных сосудов. Гладкие мышечные волокна осуществляют активное поведение кровеносных сосудов, так как в результате их сокращения изменяется диаметр соответствующего кровеносного сосуда и механические свойства сосудистой стенки в целом. За счет этого достигается оптимальное распределение и регулирование кровеносного потока. Количественная связь между параметрами кровеносного сосуда и давлением крови определяется уравнением Ламе: σ= pr , h (2.1) где r – внутренний радиус сосуда, h – толщина стенки сосуда, σ - механическое напряжение, возникающее в сосудистой стенке при избыточном внутреннем давлении крови p. Из этого уравнения следует прямо пропорциональная зависимость между радиусом сосуда и напряжением в стенке сосуда. Радиус аорты больше ∼в 103 раз радиуса капилляра, поэтому в стенках аорты возникает очень большое напряжение. Содержание компонентов сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной системы: отношение эластина к коллагену в общей сонной артерии 2 : 1, а в бедренной 1 : 2. Обладая высоким модулем упругости и прочностью, коллаген и эластин предотвращают рарыв стенок кровеносных сосудов. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон; в артериолах они являются основной составляющей сосудистой ткани. Значит, крупные сосуды обладают упругими и вязкими свойствами. Характерным для всех кровеносных сосудов является свойство криволинейной ортотропии, которое заключается в том, что механические свойства сосудов в радиальном, осевом, кольцевом направлениеях различны. 2.4 Механические свойства легких. Структурными элементами легких являются альвеолы. Стенки альвеол обладают упругостью, за счет содержания в них белка эластина и коллагена. Внутренняя поверхность альвеол покрыта пленкой вещества толщиной 20÷100 нм с низким поверхностным натяжением, называемой сурфактантом. Сурфактант обладает замечательным свойством: уменьшение размеров альвеол сопровождается снижением поверхностного натяжения. Это обуславливает стабилизацию состояния альвеол. Значение упругости легочной ткани и поверхностного натяжения в альвеолах для функционирования легких было обнаружено при исследовании зависимости объема легких V от давления P. Если через вставленную в трахею спавшихся легких трубку, повышать давление, легкие почти не изменяют своего объема, а затем объем резко возрастает при сравнительно небольшом изменении давления Р (рис.2.5). Если понижать постепенно давление, то объем легких при тех же величинах давления окажется большим. Таким образом, цикл растяжения спавшихся легких и последующего их сжатия характеризуется сильным гистерезисом. Это объясняется наличием сурфактанта и упругостью стенок альвеол. V V2 V1 Рис.2.3 P Количественно упругие свойства легких выражают растяжимостью G: G= ∆V ∆P (2.2) где ∆V – изменение объема при изменении давления на величину ∆P. В норме растяжимость легких составляет G=2·10-5м3/Па. Растяжимость легких уменьшается при некоторых заболеваниях, например, фиброзе легких и грудной клетки, легочном застое. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что понимают под биореологией? Каковы особенности строения и физические свойства костной ткани? Какие виды деформации являются наиболее опасными для костной ткани? Каково влияние видов деформации на генез костей? 2. Какими механическими свойствами обладают мышцы? Как изменяется содержание компонентов сосудистой ткани по ходу кровеносной системы? Какие основные модели сокращения мышц Вы знаете? Что понимают под абсолютной мышечной силой? 3. Каково строение и механические свойства кровеносных сосудов? Что понимают под криволинейной ортотропией кровеносных сосудов? 4. Каково строение и механические свойства легких? Что понимают под гистерезисом легких? III. Некоторые вопросы реологии жидкости и ее приложение к крови. Физические основы гемодинамики. Жидкие среды составляют наибольшую часть организма. Их движение, в частности крови, обеспечивает нормальную жизнедеятельность организма. Механические свойства крови зависят от ее состава, характеристик и особенностей составляющих компонентов крови, плотности крови, ее вязкости и т.д. Малые изменения многих отдельных компонентов крови или параметров могут привести к существенному изменению ее механических свойств. Вопросами движения крови и ее взаимодействие при этом со стенками сосудов занимается гемодинамика. 3.1 Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Вязкость жидкости (или внутреннее трение) – это динамическое свойство жидкости, обусловленное силами межмолекулярного взаимодействия. Вязкость жидкости проявляется либо при движении самой жидкости, либо при движении тела в покоящейся жидкости. Мы будем рассматривать только движение самой жидкости. Пусть вязкая жидкость движется между двумя твердыми пластинками, из которых нижняя пластинка неподвижна, а верхняя движется со скоростью υ7. Движение жидкости можно представить в виде параллельных слоев, движущихся с определенными скоростями. Причем, слой, непосредственно соприкасающийся с нижней пластинкой за счет явления неподвижен. Z слоев ν5 ν6 Скорости будут будет последующих увеличиваться и максимальная скорость будет у слоя, ν7 непосредственно ν4 ν2 «прилипания», движущейся ν3 соприкасающегося пластинкой. На с рис.3.1 схематично представлено распределение скорости слоев при движении вязкой ν1 x Рис. 3.1 жидкости, при этом υ1<υ2<υ3<υ4<υ5<υ6 >υ7. Ньютон установил, что между двумя слоями жидкости возникает сила внутреннего трения Fтр которая зависит от природы жидкости, прямо пропорциональна площади соприкасающихся слоев S и градиенту скорости d υ dZ между ними: Fтр= η ⋅ S ⋅ dυ dZ - уравнение Ньютона. (3.1) где η - коэффициент вязкости (или просто вязкость жидкости). Сила внутреннего трения Fтр действует касательно к поверхности соприкасающихся слоев жидкости и направлена так, что ускоряет более медленно движущийся слой и замедляет более быстро движущийся слой. Градиент скорости d υ dZ (скорость сдвига) характеризует быстроту изменения скорости при переходе от слоя к слою. Единицей измерения градиента скорости является [с-1]. Из уравнения Ньютона можно получить коэффициент вязкости: η= Fтр dυ S⋅ dZ (3.2) Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен силе внутреннего трения Fтр, возникающей при течении между двумя слоями жидкости, соприкасающимися на площади, равной единице, при градиенте скорости между ними, равном единице. Единицей измерения коэффициента вязкости является Па ⋅с. Внесистемной единицей измерения вязкости является Пуаз (П), причем 1Па·с=10П. На практике пользуются также понятием относительной вязкости ηотн которая равна: ηотн= η жид , η эт (3.3) где ηжид – вязкость данной жидкости, ηэт – вязкость эталонной жидкости. Относительная вязкость – величина безразмерная. В качестве эталона жидкости чаще всего выбирают воду т.к. вязкость воды при комнатной температуре равна 1сП. Жидкости, коэффициент вязкости которых зависит от температуры и ее природы, называются ньютоновскими. К ним относят вода, низкомолекулярные органические соединения, расплавленные металлы и их соли. Жидкости, вязкость которых зависит не только от температуры и природы, но и от давления и градиента скорости называются неньютоновскими. К ним относятся преимущественно растворы высокомолекулярных соединений (коллоидные, полимерные растворы, эмульсии, суспензии). Для неньютоновских жидкостей характерно то, что они состоят из сложных и крупных молекул. На реологические свойства таких жидкостей влияют собственные свойства структурных элементов: деформируемость (в частности, способность к упругой деформации), прочность, способность объединяться в агрегаты. Также важны особенности движения структурных элементов (вращение и ориентация в потоке, возможность их флуктуационного движения). Вязкость неньютоновских жидкостей при прочих равных условиях много больше, чем у ньютоновских жидкостей. Для неньютоновских жидкостей уравнение Ньютона не соблюдается. Вязкость неньютоновских жидкостей характеризуется условным коэффициентом вязкости, который относится к определенным условиям течения жидкости (давление, скорость). 3.2 Реологические свойства крови. Кровь по своей природе является неньютоновской жидкостью, т.к. она представляет собой суспензию форменных элементов в белковом растворе плазмы. Реологическое поведение крови определяют концентрация и механические свойства только эритроцитов т.к. их содержание в крови составляет более 90%, а суммарный объем в 50 раз превышает объем лейкоцитов и тромбоцитов. При течении крови по сосудам эритроциты концентрируются в центральной части потока крови, где вязкость соответственно увеличивается. Но поскольку вязкость крови невелика, этими явлениями пренебрегают, и коэффициент вязкости считают постоянной величиной. В норме относительная вязкость крови составляет: для мужчин 4.3 ÷ 5.3 и для женщин 3.9 ÷ 4.9. Главным фактором, определяющим вязкость крови, является объемная концентрация эритроцитов, которая определяется по показателю гематокри: Н= Vф Vпл , (3.4) где Vф - объем форменных элементов, Vпл – объем плазмы крови. В норме показатель гематокрита составляет 40% (или просто 0.4). Кроме того, эритроциты в крови имеют способность агрегировать т.е. слипаться, образуя так называемые “монетные столбики” при небольших скоростях течения крови. Поэтому необходимо приложить некоторое напряжение сдвига σс, чтобы кровь сдвинуть с места; при этом «монетные столбики» разрушаются: чем больше скорость крови, тем больше одиночных эритроцитов. Движущаяся кровь содержит как одиночные эритроциты, так и агрегаты. Это наблюдается при любых показателях гематокрита Н. В связи с этим, для определения вязкости крови используют, в отличие от ньютоновской жидкости, эмпирическое уравнение Кессона: К= σc − σп dυ dZ (3.5) где σп - сonst (предел текучести крови), σс – напряжение сдвига: кровь приходит в движение лишь при σс>σп. Уравнение Кессона справедливо при скорости сдвига d υ dZ <100 [с-1]. При условии σс>>σп уравнение Кессона превращается в уравнение Ньютона, где η=К2. График зависимости коэффициента вязкости η от градиента скорости d υ dZ представлен на рис.3.2. Как видно из графика, при увеличении градиента скорости вязкость крови уменьшается до некоторого постоянного значения. Это связано с тем, что увеличение градиента скорости приводит к разрушению «монетных столбиков» и, соответственно, уменьшению вязкости крови до значения равного вязкости крови человека в норме. На реологические свойства крови оказывает также влияние содержание белков в плазме: альбумина, глобулина, фибриногена. Из них, наименьшая вязкость у альбумина, наибольшая у фибриногена; так вязкость плазмы крови за счет содержания в ней фибриногена на 20% выше, чем вязкость сыворотки крови. Относительная вязкость плазмы крови в норме: ηпл=1.5÷1.8, сыворотки крови ηсыв=1.4÷1.7. И плазма, и сыворотка крови являются ньютоновскими жидкостями. Несмотря на то, что по своей природе кровь является неньютоновской жидкостью, тем ни менее в первом приближении ее относят к ньютоновским жидкостям за счет небольшого коэффициента вязкости. При патологии относительная вязкость крови изменяется в пределах от 1.7 до 22.9. 3.3 Стационарное течение вязкой жидкости по горизонтальной трубе. Течение жидкости называется стационарным, если в каждой точке данного объема, скорость ее частиц не изменяется. Движение жидкости изображают с помощью линий тока – это линии, касательные к которым совпадают с направлением скорости частиц. При стационарном течении жидкости, ее частицы движутся вдоль линий тока, сохраняя свое положение в пространстве неизменным. Часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. При течении жидкости по трубе, трубкой тока являются стенки трубы. Объем жидкости V, протекающий в единицу времени через любое перпендикулярное сечение S трубки, называется объемной скоростью движения жидкости и обозначается Q: Q=V/ t. (3.6) Учитывая, что V= S ⋅ l , а l t =υср, выражение (3.11) можно переписать: Q = υ ср ⋅ S (3.7) Величина Q измеряется в [м3/с]. Для стационарного течения объемная скорость движения жидкости остается величиной постоянной, т.е. Q = υ ср ⋅ S = const Выражение (3.8) представляет условие (3.8) стационарного течения жидкости, из которого следует, что чем уже труба, тем больше скорость движения жидкости и, наоборот. 3.4 Ламинарное Рейнольдса. и турбулентное течение жидкости. Число Рассмотрим течение при относительно невысокой скорости вязкой жидкости по горизонтальной трубе с гладкими стенками постоянного сечения (рис.3.2). Такое течение можно условно разделить на слои: слой молекул, прилегающий к стенке трубы, прилипает к ней, и остается практически неподвижен. Каждый последующий слой молекул, смещаясь относительно предыдущего слоя, двигается по отношению к стенке трубы с а) постепенно возрастающей скоростью. Максимальная скорость будет у слоя в центре трубы. Такое течение жидкости, при котором отдельные слои между собой не перемешиваясь, движутся с различными скоростями называется б) Рис. 3.2 ламинарным. ламинарном Распределение течении имеет скоростей при параболический характер (рис.3.2,а). Ламинарное течение является стационарным течением. При увеличении скорости течения жидкости в ней появляются перепады давления и частицы из периферийных слоев, где давление больше, переходят в центральные, где давление меньше. В результате этого слои перемешиваются, образуются завихрения, скорости течения частиц беспорядочно меняются. Такое течение жидкости является нестационарным и называется турбулентным (рис.3.2,б). При турбулентном течении существенно меняется структура потока, оно сопровождается шумом. Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса (Rе): Rе= ρ ⋅ υ cр ⋅ D , η (3.9) где D – диаметр трубы, υср– средняя скорость течения жидкости, ρ - плотность жидкости, η - коэффициент вязкости. Турбулентность возникает при стационарном течении ньютоновских жидкостей, когда число Рейнольдса превышает критическое значение Rекрит, т.е. Rе>Rекрит. При Re<Reкрит – течение ламинарное. Критическое число Рейнольдса одинаково для всех стационарных течений при данной геометрии трубы. Так, при течении жидкости в круглой трубе постоянного сечения критическое число Рейнольдса Reкрит≈2000. Течение крови по большинству сосудов кровеносной системы в норме является ламинарным. Турбулентность возможна лишь в начале аорты, в местах разветвления крупных сосудов, а также при их стенозировании. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован при диагностике заболеваний. 3.5 Течение вязкой жидкости по трубе. Закон Гагена-Пуазейля и его использование в гемодинамике. При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости потенциальная энергия ее частиц расходуется на работу по преодолению внутреннего трения, поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Для того, чтобы обеспечить течение жидкости, необходимо в начале трубы создать давление, несколько превышающее падение давления вдоль всей трубы, т.е. для течения жидкости по трубе необходимо создать разность давлений (Р1-Р2) на концах трубы. Гаген и Пуазейль сначала эмпирически, а затем теоретически установили, что средняя скорость υср ламинарного течения ньютоновской жидкости по горизонтальной, круглой трубе постоянного сечения прямо пропорциональна разности давлений (P1-P2) на концах трубы, квадрату радиуса трубы R2 и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости η жидкости и длине трубы l (закон Гагена-Пуазейля): υср= R 2 (P1 − P2 ) 8 ⋅η ⋅ l (3.10) Эта формула выражает аналитически закон Гагена-Пуазейля для средней линейной скорости жидкости. Подставляя в уравнение (3.7) выражение (3.10) и, учитывая, что S=πR2, получим: Q= R 2 (P1 − P2 ) π ⋅ R 4 (P1 − P2 ) π ⋅ R2 = 8 ⋅η ⋅ l 8 ⋅η ⋅ l (3.11) Уравнение (3.11) выражает закон Гагена-Пуазейля для объемной скорости течения жидкости. Напомним, что кровь по своей природе является неньютоновской жидкостью. Однако, учитывая, ее небольшую вязкость, кровь в первом приближении относят к ньютоновским жидкостям. В связи с этим, закон Гагена-Пуазейля применим для описания движения крови. В этом случае υср называют средней линейной скоростью кровотока, а Q – объемной скоростью кровотока. Объемная Q скорость кровотока– это есть минутный объем крови. У человека, находящегося в 1-аорта 2-артерии 3-артериолы 4-капилляры покое, объемная скорость кровотока Q составляет 5÷5.5 л/мин. Это значит, что у человека в состоянии покоя, объем крови, протекающий за 1 минуту через поперечное 5-венулы 6-вены 7-полые вены 4-капилляры артериол, сечение аорты, капилляров, всех артерий или венозную систему как большого так и малого круга кровообращения одинаков (рис.3.3). 1 При постоянной объемной скорости кровотока, 2 3 4 5 6 7 Рис. 3.3 средняя линейная скорость кровотока υср не может быть постоянной. Согласно условию стационарного течения, она зависит от поперечного сечения S: чем больше S, тем меньше υср. Учитывая суммарное поперечное сечение, самым широким местом в сосудистой системе является отдел капилляров: суммарное поперечное сечение капилляров в 500-600 раз больше поперечного сечения аорты. Поэтому кровь в капиллярах двигается в 500-600 раз медленнее, чем в аорте. С этой точки зрения, аорта является самым узким местом в сосудистой системе и, соответственно, средняя линейная скорость кровотока в м 1-аорта; 2-артерии; 3-артериолы; 4-капиляры; 5-венулы; 6-вены; 7-полые вены; ν ср с 0.5 аорте максимальная и составляет ~0.5 м/с (рис.3.7). В полых венах средняя скорость кровотока составляет (0.25-0.3) м/с, т.к. суммарное поперечное сечение вен по отношению к поперечному сечению аорты увеличивается в 2 раза, а по отношению к 1 2 3 4 Рис. 3.4 5 6 7 капиллярам – уменьшается. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем обусловлена вязкость жидкости (или внутреннее трение)? 2. Что характеризует градиент скорости? В каких единицах измеряется? 3. Какие жидкости относятся к ньютоновским (неньютоновские)? 4. Каковы реологические свойства крови и что на них влияет? 5. Что называется стационарным течением вязкой жидкости? 6. Что называется объемной скоростью кровотока? В каких единицах измеряется? 7. Какое течение называется ламинарным (турбулентным)? 8. От чего зависит средняя линейная скорость ламинарного течения ньютоновской жидкости по горизонтальной трубе исходя из уравнения Гагена-Пуазейля? 9. Укажите график зависимости объемной скорости кровотока вдоль сосудов большого (или малого) круга кровообращения? 10. Укажите график зависимости линейной скорости кровотока вдоль сосудов большого (или малого) круга кровообращения? IV МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ Биофизический анализ кровообращения – это описание взаимосвязи давления и скорости движения крови, а также их зависимости от физических параметров крови, кровеносных сосудов и функционирования сердца. Система кровообращения представляет собой сложную гидродинамическую систему. Движение и давление крови носит колебательный характер вследствие периодичности функционирования сердца. Система сосудов сильно ветвится, а упругие свойства сосудов изменяются по ходу сосудистого русла. Все это сильно осложняет физико-математическое описание функционирования полной системы кровообращения. Поэтому систему кровообращения рассмотрим на примере более простых моделей. 4.1. Физическая модель сердечно-сосудистой системы. Пульсовая волна. Скорость пульсовой волны. Физическую модель можно представить в виде замкнутой, многократно разветвленной и заполненной жидкостью K1 K2 системы трубок с эластичными стенками Б A (рис.4.1). Движение жидкости происходит в ней под действием ритмически работающего нагнетательного насоса в виде резиновой груши (сердце). При сжатии резиновой груши некоторый объем поступает в трубку А, Рис. 4.1. уже некоторым заполненную жидкостью давлением. под Благодаря эластичности, стенки трубки растягиваются, и она вмещает данный объем. Клапан К закрывается, и за счет упругости стенки трубки А сокращаются, вызывая продвижение жидкости в следующее звено системы, стенки которого также сначала растягиваются, затем сокращаются и таким образом проталкивают жидкость в последующие звенья системы трубок. В конце системы данный объем жидкости собирается в трубку Б и поступает обратно в насос, вызывая его расширение. Данная модель имеет следующие особенности: 1) постепенное и множественное разветвление трубок, особенно в средней части, которая состоит из большого числа коротких параллельных трубок малого сечения, общий просвет которых имеет настолько большое сечение, что скорость жидкость снижается здесь почти до нуля; внутреннее трение в пристеночных слоях этих трубок настолько велико, что эта часть системы представляет наибольшее сопротивление течению жидкости и обуславливает максимальное падение давления. 2) эластичность стенок трубок, за счет чего течение жидкости принимает равномерный характер. Аналогичные условия имеют место в сосудистой системе. Рассмотрим явления, происходящие в большом круге кровообращения. Начальное давление, необходимое для продвижения крови по всей сосудистой системе, создается работой сердца. При каждом сокращении левого желудочка в аорту, уже заполненную кровью, под соответствующим давлением выталкивается определенный объем крови, называемый ударным объемом крови и равный 60÷70 мл. Затем клапаны аорты закрываются. Поступивший в аорту дополнительный объем крови повышает давление в ней и растягивает ее стенки. Это давление в аорте называется систолическим, оно составляет в норме ~120мм.рт. ст (16кПа). Затем, в период расслабления (диастолы), стенки аорты сокращаются до исходного положения и при этом проталкивают поступивший объем крови в прилегающие крупные артерии, которые, растягиваясь, а затем сокращаясь проталкивают кровь в последующие отделы сосудистой системы. Давление в период диастолы называется диастолическим и оно составляет в норме ~80мм.рт.ст (11кПа). При таком механизме продвижения крови стенки аорты и крупных сосудов периодически растягиваются и сокращаются, т.е. находятся в колебательном движении. Процесс распространения колебаний по стенкам сосудов в результате образования повышенного давления называется пульсовой волной. Пульсовая волна распространяется с определенной скоростью от аорты до артериол и капилляров, где она гаснет. Скорость распространения пульсовой волны зависит от свойств сосуда и крови и определяется по формуле Моенса-Кортевега: E⋅h 2⋅ ρ ⋅r υп.в.= (4.1) где Е – модуль Юнга стенки кровеносного сосуда, h – ее толщина, r – радиус просвета сосуда, ρ - плотность стенки сосуда. Скорость пульсовой волны гораздо больше средней линейной скорости кровотока. У людей молодого и среднего возраста при нормальном артериальном давлении и нормальной эластичности сосудов скорость пульсовой волны равна в аорте (5.5.-8) м/с, а в периферических артериях – (6-9.5) м/с. С возрастом, по мере понижения эластичности сосудов, скорость пульсовой волны, особенно в аорте, увеличивается. Качественные особенности пульсового колебания (пульса) зависят от двух факторов: деятельности сердца и состояния сосудистой стенки. С целью детального анализа отдельного пульсового колебания производится его графическая регистрация, полученный при этом график называется сфигмограммой. Прибор для регистрации сфигмограммы называется сфигмографом. В настоящее время в основе сфигмографов используются датчики, преобразующие механические колебания сосудистой стенки в электрические, которые затем регистрируются. Сфигмограмма позволяет получить определенные сведения о быстроте и энергии сердечного сокращения, а также о сопротивлении току крови со стороны стенки сосуда. Распределение кровотока по сосудистой системе зависит от функционального состояния вен. Венозный отдел, особенно венулы и малые вены, способны накапливать большой объем крови за счет способности сильно растягиваться и изменять свою геометрическую форму. В нормальных условиях в артериальной системе содержится 15% общего объема циркулирующей крови, в капиллярах не более 20%, а в венах 70-80% крови. За счет этого обеспечивается непрерывный приток крови к желудочкам – насосам. В связи с этим вены называют «емкостными сосудами». 4.2 Резистивная модель периферического кровообращения. Распределение давления крови по разным отделам сосудистой системы. Причины образования артериального давления. Закон Гагена-Пуазейля (6.3) можно представить в виде: Q= где ω Величину сопротивление ω = называют прямо P1 − P2 (4.2) ω 8 ⋅η ⋅ l π ⋅ R4 (4.3) гидравлическим пропорционально сопротивлением. вязкости и длине Гидравлическое трубы и обратно пропорционально четвертой степени радиуса трубы. В связи с этим гидравлическое сопротивление резко возрастает с уменьшением радиуса трубы. Резистивная модель строится на основе аналогии между законом Гагена-Пуазейля Q =(P1-P2)/ω и с законом Ома для участка цепи: I=(ϕ1-ϕ2)/R, где разность потенциалов (ϕ1-ϕ2) соответствует разности давлений (P1-P2), сила тока I – объему крови, протекающему через поперечное сечение сосуда за единицу времени, электрическое сопротивление R – гидравлическому сопротивлению ω. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяют использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательного и параллельного соединения сосудов. На рис.4.2 представлены последовательное (а) и параллельное (б) соединение проводников и записаны формулы нахождения общего сопротивления в том и другом случае. Аналогично на рис.4.3 показано последовательное (а) и параллельное (б) соединение сосудов и соответственно формулы для нахождения ω1 ω2 общего гидравлического сопротивления при данных соединениях. R2 R1 Rобщ=R1+R2+R3 ωобщ=ω1+ω2+ω3 R1 ω1 R2 ω2 R3 Рис. 4.2 1 Rобщ = ω3 R3 ω3 Рис. 4.3 1 1 1 + + R1 R2 R3 1 ϖ общ Рис. 4.2. = 1 ϖ1 + 1 ϖ2 + 1 ϖ3 Рис. 4.3. Необходимо отметить, что при увеличении числа сосудов, в случае их последовательного соединения, общее гидравлическое сопротивление ωобщ увеличивается, а при параллельном соединении – уменьшается (также, как для проводников). Согласно условиям данной модели считается, что сосуды соединены параллельно в отделах сосудистой системы (например, отдел артериол, отдел капилляров и т.д.), а последовательно – при переходе сосудов из одного отдела в другой (например, артерии – артериолы, артериолы- капилляры и т.д.). Из формулы гидравлического сопротивления видно, что наибольшей величиной гидравлического сопротивления должны обладать капилляры, т.к. их радиус самый маленький. Однако, самое большое гидравлическое сопротивление имеют артериолы и малые артерии т.к. они соединены параллельно также, как и капилляры и их количество гораздо меньше, чем капилляров; кроме того, необходимо учесть большую длину артериол, чем капилляров. В связи с этим, систему артериол и малых артерий называют сосудами сопротивления или резистивными сосудами. Резистивная модель, в отличие от физической модели не учитывает эластичности сосудов, пульсации давления в различные фазы сердечного цикла, а учитывает лишь стационарный режим течения Движение крови по сосудам обусловлено наличием разности давлений (Р1-Р2), причем кровь, как и любая жидкость, течет в сторону меньшего давления. Таким образом, по ходу кровеносного русла наблюдается постоянное снижение давления. В связи с этим величину (Р1-Р2) называют падением давления и ее можно определить из закона (4.2), из которого видно, что между гидравлическим сопротивлением ω и падением давления (Р1Р2) прямая зависимость: т.е. с увеличением гидравлического сопротивления ω, увеличивается падение давления (Р1-Р2) при данном значении Q. В разных сосудах давление падает неодинаково. Поскольку в кровеносной системе самое большое общее гидравлическое сопротивление в отделе артериол и малых артерий, то здесь наблюдается наибольшее падение давления. На эту часть сосудистой системы совместно с капиллярами приходится 85% падения давления, причем P, мм. рт. ст. 120 80 3 /4 из них – на артериолы. На крупные и сист. 1-аорта; 2-артерии; 3-артериолы; 4-капиляры; 5-венулы; 6-вены; диас т. средние артерии – 10%. Это значит, что большая часть энергии затрачиваемой левым желудочком сердца на выталкивание крови, расходуется на ее течение по мелким сосудам, т.к. они имеют самое большое гидравлическое сопротивление. Распределение давления по разным 1 2 3 4 Рис. 4.4 5 6 7 отделам сосудистого русла представлено на рис.4.4. Самое высокое давление в аорте во время систолы, ∼120мм.рт.ст. в норме составляет (все данные давления приводятся над значением атмосферного давления, составляющего в норме 760 мм.рт.ст.) В крупных артериях оно падает незначительно в связи с их небольшим гидравлическим сопротивлением и у начала артериол составляет 70-80 мм.рт.ст. В артериолах и капиллярах происходит наибольшее падение давления, в результате у конца капилляров оно составляет 8-15 мм.рт.ст. Далее, по мере перемещения крови в мелкие вены, а затем в более крупные давление продолжает падать, но гораздо медленнее. В венах, впадающих в сердце, давление ниже атмосферного и кровь поступает за счет «присасывающего» действия грудной полости при вдохе и присасывающего действия самого сердца (как насоса). В целом, для кровеносной системы, можно считать, что в уравнении (4.2) Р1 соответствует артериальному давлению РА, а Р2 – венозному давлению РВ; т.е. его можно переписать: РА-РВ= Q ·ω (4.4) Если принять, что давление в полых венах равно нулю, то оно будет иметь вид: РА= Q ·ω = Q 8 ⋅η ⋅ l π ⋅ R4 (4.5) Это значит, что величина артериального давления зависит от количества крови Q, нагнетаемой сердцем в аорту и гидравлического сопротивления ω, которое оказывают току крови сосуды (в основном, малые артерии и артериолы). Нормальное артериальное давление регулируется через изменение соотношения этих величин и поддерживается: 1)сокращениями сердца: чем больше частота сердечных сокращений, тем больше крови оно нагнетает в сосуды, тем выше артериальное давление; 2)гидравлическим сопротивлением со стороны периферических сосудов: при сужении резистивных сосудов гидравлическое сопротивление увеличивается и давление крови в крупных артериях повышается и, наоборот; 3)вязкостью крови: чем больше вязкость крови, тем выше сопротивление кровотоку и тем больше артериальное давление; 4)количеством крови в артериальной системе: при усилении работы сердца или же переливании человеку большого количества крови, минутный объем сердца возрастает и артериальное давление повышается; кровопотере – понижается; 5)эластичностью сосудистой стенки. при ослаблении сердечной деятельности, Все перечисленные факторы, поддерживающие артериальное давление, действуют совместно и составляют единое целое. На величину артериального давления также влияют возраст, пол, отчасти вес и размеры тела, многие факторы окружающей среды. Артериальное давление является одним из главных параметров кровообращения, широко практикующимся в экспериментальной и клинической медицине. Самым распространенным методом измерения артериального давления является звуковой метод, предложенный русским врачом Н.С.Коротковым. Он позволяет регистрировать достаточно точно систолическое и диастолическое давление. Эти два показателя артериального давления очень изменчивы в зависимости от перечисленных выше факторов и служат хорошим диагностическим показателем. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Каковы особенности физической модели сердечно-сосудистой системы? 2. Что понимают под скоростью пульсовой волны? Какие значения она имеет в аорте, в периферических артериях? 3. Отчего зависит качественные особенности пульса? Как называется прибор, для графической регистрации пульсового колебания? Объясните принцип действия сфигмографа? 4. Укажите графически, как распределяется давление крови по разным отделам сосудистого русла? 5. От чего зависит нормальное артериальное давление? 6. Каковы особенности резистивной модели кровообращения? 7. Что понимают под гидравлическим сопротивлением сосудов? От чего оно зависит? Как оно меняется вдоль сосудистого русла? 8. Расскажите о методах измерения артериального давления?