СК гомологическая алгебра и производные категорииx

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«Гомологическая алгебра и производные категории»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Городенцев А.Л., к.ф.-м.н., gorod@itep.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2014 г

Цели освоения дисциплины





Дисциплина «Гомологическая алгебра и производные категории» изучается с целью
формирования у слушателей структурного, категорного взгляда на математику
овладения слушателями естественными, функториальными конструкциями
освоения (ко)гомологического техники линеаризации сложных нелинейных задач алгебры,
геометрии, анализа и комбинаторики
знакомство с современными методами вычисления (ко)гомологий, основанными на
использовании триангулированных категорий и гомотопической алгебры
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен





овладеть языком категорий и функторов, а также стандартными универсальными
конструкциями: представимостью, пределами диаграмм, сопряжёнными функторами
познакомиться со стандартными классическими резольвентами для (ко)гомологической
интерпретации задач топологии, теории пучков и теории представлений: комплексами
симплициальных цепей, Кошуля, Чеха, Хохшильда, (ко)бар-резольентами, и т.п.
овладеть классическими производными функторами Ext и Tor и их приложениями, освоить
технику вычисления когомологий при помощи спектральных последовательностей
освоить конструкцию производной категории от абелевой категории, изучить свойства
триангулированных категорий и технику работы с ними
изучить когомологическую теорию пучков: шесть операций Гротендика, гиперкомологии,
двойственность Гротендика - Вердье
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
умение
формулировать
результат
умение строго
доказать утверждение
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
понимание
корректности
постановок задач
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах

Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
ПК-4
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
Оценивает строгость и
корректность научных текстов по
гомологической алгебре
Владеет профессиональной
лексикой гомологической алгебры
ПК-7
ПК-10
ПК-16
Распознает и воспроизводит
названия основных
математических структур,
возникающих при изучении
данной дисциплины, умеет
корректно формулировать
утверждения и их доказательства
Понимает постановки проблем
гомологической алгебры
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и
развитию компетенции
Компетенция формируется в любом
сегменте учебного процесса
Формируется в процессе активных
занятий (участие в семинарах,
выполнение курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и математической
культуры в процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с преподавателями
во время консультаций.
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта работы
по данной теме и общения с
преподавателями.
Продумывание базовых понятий
курса
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
методов гомологической алгебры,
применяемых при формулировке и
решении задач
Понимает и воспроизводит
ключевые идеи и методы
гомологической алгебры
Вырабатывается в процессе
решения задач, самостоятельного
чтения, работы над курсовыми
заданиями
Обосновывает и оценивает
мотивировки и логические ходы
доказательств гомологической
алгебры
Вырабатывается путем активного
решения задач, самообразования,
общения с преподавателем
Продумывание ключевых моментов
лекций
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления
подготовки «Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

базовые курсы алгебры, геометрии и топологии (1 и 2 годы бакалавриата);
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов:



пучки и гомологическая алгебра (I-II модули, 3, 4 год бакалавриата);
дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- свободное владение основными понятиями алгебры, геометрии и топологии
- дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
 Алгебраическая геометрия
 Топология
 Дифференциальная геометрия
 Теория представлений
 Математическая физика (теория поля).

№
1
2
3
4
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Категории, функторы, предпучки. Пример:
симплициальные множества. Категория
функторов, лемма Ионеды. Сопряжённые
функторы. (Ко)пределы диаграмм.
Абелевы категории. Точные категории.
Группа Гротендика. Диаграмный поиск.
Категория комплексов. Гомотопическая
категория комплексов. Триангулированные
категории.
Классические производные функторы Ext и
Tor на категории модулей над алгеброй.
Инъективные и проективные резольвенты.
Спектральные последовательности.
Комплексы Кошуля. Теорема Гильберта о
сизигиях. Гомологии и когомологии
Хохшильда. Комплекс Шевалле. Кошулева
двойственность квадратичных алгебр.
Теория пучков: прямой и обратный образ,
абелевы пучки, когомологии пучков,
критерий ацикличности покрытия, высшие
прямые образы, когомологические свойства
когерентных пучков модулей на
Всего
часов
Аудиторные часы
Практиче
Лекци Семин
ские
и
ары
занятия
Самостоятельная
работа
11
5
6
11
5
6
11
5
6
11
5
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
5
6
7
8

алгебраических многообразиях.
Когомологии обратимых пучков и внешних
степеней (ко)касательного пучка на
проективном пространстве.
Производная категория абелевой категории.
Производные функторы. Спектральная
последовательность композиции.
Производные категории когерентных
пучков: 6 операций, дуализирующий
комплекс, горенштейновость и коэн\Д
маколеевость, двойственность Серра\Ч
Гротендика\Ч Вердье, теорема Римана\Ч
Роха\Ч Хирцебруха\Ч Гротендика.
Полуортогональное разложение производной
категории когерентных пучков на
проективном пространстве. Свойства
полуортогональных разложений
триангулированных категорий.
Примеры эквивалентностей между
производными категориями в
алгебраической геометрии и теории
представлений
Итого:
11
5
6
12
5
7
11
5
6
12
5
7
90
40
50
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Решение
домашнего
задания
Промежу- Зачет
точный
Параметры **
1 2 3 4
3 3 Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи
задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема). Срок
проверки заданий – в течение недели со дня сдачи.
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа)
6 письменных домашних заданий
1 контрольная работа

Критерии оценки знаний, навыков
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (7-10 задач по
каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного
владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными)
приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной
сложности отмечается звёздочками. Решение таких задач не является необходимым условием для
получения отличной оценки, но существенно способствует получению таковой. Оценивается
решение задач в процентной доле общего числа решённых в течение семестра задач (включая сюда
и задачи со звёздочкой) от общего количества выданных в течение семестра задач без звёздочек.
Таким образом, результат текущего контроля может быть выше 100%
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Экзамен и зачёт представляют собою письменные работы продолжительностью 4 часа
каждая. В каждой работе студентам предлагается 8 задач. Для получения 100% результата
достаточно правильно решить 6 задач. При решении большего числа задач оценка увеличивается.
За полное решение каждой задачи студент получает 10 баллов, окончательный результат экзамена
оценивается в процентной доле набранного количества баллов по отношению к 60.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Промежуточная оценка за первый модуль вычисляется по формуле
Max(150, E+H)/15
где E - общее количество набранных в зачётной работе баллов в процентах от 60, а H – общее
количество решённых домашних задач (включая задачи со звёздочками) в процентах от общего
количества выданных в первом модуле задач без звёздочек. Таким образом, для получения
максимальной оценки 10 достаточно решить 75% домашних заданий и 5 задач из зачётной работы.
Итоговая оценка за второй модуль вычисляется по аналогичной формуле
Max(150, E+H)/15
где E - общее количество набранных в экзаменационной работе баллов в процентах от 60, а H –
общее количество решённых домашних задач (включая задачи со звёздочками) в процентах от
общего количества выданных в течение двух модулей задач без звёздочек. Таким образом, для
получения максимальной оценки 10 достаточно решить 75% домашних заданий и 5
экзаменационных задач.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.

Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций. Студенты записывают решённые задачи, после чего обсуждают
записанные решения с преподавателем и его ассистентами. Допускается предварительная присылка
решений по электронной почте. При наличии англоговорящих студентов курс может читаться на
по-английски.


Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Пример домашнего задания (тема 3 тематического плана, TeX-код)
\prb
Compute all $\Tor_\nu(\ZZ/n\ZZ,\ZZ/m\ZZ)$ in the category of finitely generated $\ZZ$-modules
for the following choices of $m,n\in\ZZ$:
\spbl$m$, $n$ are coprime
\spbl$m=p^r$, $n=p^s$, where $p\ge2$ is prime.
\prb
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Let $V$ be a vector space over a field $\kk $ of zero characteristic, $S=\oplus S^nV$ be its
symmetric exterior algebra, $F$ be a free $S$-module of rank 1. In the category of $S$-modules (where
$\kk $ is considered as $S$-module on which all $v\in V$ act by the zero operators) compute
\spbl$\Ext^\nu(F,F)$\
\spbl$\Ext^\nu(F,\kk )$
\spbl $\Ext^\nu(\kk ,F)$
\spbl$\Ext^\nu(\kk ,\kk )$
\spbl$\Tor_\nu(F,F)$
\spbl$\Tor_\nu(F,\kk )$
\spbl$\Tor_\nu(\kk ,\kk )$
\prb
Let $V$ be a vector space over a field $\kk $ of zero characteristic, $\L=\oplus\L^n V$ be its
exterior algebra, $F$ be a free left $\L$-module of rank 1. In the category of left $\L$-modules (where $\kk
$ is considered as $\L$-module on which all $v\in V$ act by the zero operators) compute
\spbl$\Ext^\nu(F,F)$
\spbl$\Ext^\nu(F,\kk )$
\spbl$\Ext^\nu(\kk ,F)$
\spb $\Ext^\nu(\kk ,\kk )$
\spbl$\Tor_\nu(F,F)$
\spbl$\Tor_\nu(F,\kk )$
\spbl$\Tor_\nu(\kk ,\kk )$
\prbs
Construct a free resolution for the homogeneous ideal of twisted cubic curve $C_3\subset\PP_3$,
which is spanned by the quadratic equations
\begin{equation}\label{tce}
\rk\begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2\\a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}=1
\end{equation}
on homogeneous coordinates $(a_0:a_1:a_2:a_3)$ in $\PP_3$.
\prb[reduced bar-construction]
Let $A$ be an algebra with unity (possibly, non commutative) over a field $\kk $. Write $\ovl
A$ for a vector space $A/\kk $, where $\kk $ is embedded in $A$ as $\kk \cdot1_A$, and write $\ovl
a$ for a class of $a\in A$ in $\ovl A$. For each $k\ge0$ consider a vector space
$$B_m\bydef A\OX_\kk
\underbrace{\ovl A\OX_\kk\,\cdots\,\OX_\kk\ovl A}_m\OX_\kk A
$$
(the tensor product of $m+2$ vector spaces over $\kk $) and define a differential $B_m\rTo^{d}B_{m1}$ by prescription
\begin{align*}
d(a_0\ox\ovl a_1\ox\,\cdots\,\ox\ovl a_m\ox a_{m+1})&=
a_0a_1\ox\ovl a_2\ox\,\cdots\,\ox\ovl a_m\ox a_{m+1}+\\
&+\sum_{\nu=1}^{m-1}
(-1)^\nu a_0\ox\,\cdots\,\ox\ovl{a_\nu a_{\nu+1}}\ox\,\cdots\,\ox a_{m+1}+\\
&+(-1)^ma\ox\ovl a_1\ox\,\cdots\,\ox\ovl a_{m-1}\ox a_ma_{m+1}
\end{align*}
Show that $d$ is well defined map satisfying $d^2=0$ and that {\it the reduced bar-complex\/}
$$\cdots\;\rTo^d B_2\rTo^d B_1\rTo^d B_0
\rTo^{\quad a_0\ox a_1\mapsto a_0a_1\quad}A\rTo0
$$
gives a free resolution of $A$ in the category of $A$-bimodules\footnote{note that a non-trivial
algebra $A$ {\it is not free\/} as a {\it bi-module\/} over itself, say, because of $a\cdot1\cdot b=ab\cdot
1\cdot1=1\cdot1\cdot ab$}.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра и производные категории» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
8.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примеры задач зачётной письменной работы (TeX-код).
\prb[10 points]
Show that any contravariant functor $\cC^\opp\rTo^E\Set$ on an arbitrary small category
$\cC$ is a colimit of some diagram $\Gamma_E$ functorial in $E$ and formed by representable functors
$h_A$, $A\in\Ob\cC$.
\prb[10 points]
Let $M=\CC[x,y]/(x,y)$, $N=\CC[x,y]/(x-1)$. In the category of $\CC[x,y]$-modules compute all
\spbl[10 points] $\mathrm{Ext}^\nu(M,N)$\;;\qquad
\spbl[10 points] $\mathrm{Tor}_\nu(M,N)$.
\prb[10 points]
Let an affine algebraic variety $X=\mathrm{Spec}_{\mathrm m}A$ be covered by $n$ principal
open sets $\cD(f_\nu)$, $\nu=1,\,\dots\,,\,n$. Show that the Koszul complex
$\OX_{\nu=1}^n\(A\rTo^{\quad x\mapsto f_\nu x\quad}A\)$ is exact.
\prb[10 points]
For each $n\in\NN$ let $B_n=\ZZ/n\ZZ$. Consider a diagram formed by the arrows
$$\f_{mn}:\ZZ/m\ZZ\rInto^{\quad[1]\mapsto[n/m]\quad}\ZZ/n\ZZ
$$
defined for each pair $m|n$. Find its colimit $\ilim $ in the category of abelian groups.


Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин. Методы гомологической алгебры. Том I. М., « Наука».
2. В.И.Данилов. Когомологии алгебраических многообразий. В кн. «Алгебраическая
геометрия- 2». ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные
направления.
9.2 Дополнительные учебники
3. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., ИЛ, 1960
4. Маклейн С. Гомология. М., «Мир», 1966
5. Hilton P.J., Stammbach U. A Course in Homological Algebra. Springer, 1971
 Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.

Дистанционная поддержка дисциплины
On-line конспекты и видеозаписи лекций, а также все выданные домашние задания
выкладываются по мере их появления на персональной странице преподавателя и в разделе
учебных материалов на странице факультета. Студенты имеют возможность присылать решения
домашних задач по электронной.
 Материально-техническое обеспечение дисциплины
На некоторых лекциях потребуется экранный проектор, возможно использование системы
видеозаписи учебных занятий.