Джордж Пойа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТКРЫТИЕ Решение задач

Джордж Пойа
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТКРЫТИЕ
Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора
Из предисловия автора
Советы и указания
Советы учителям и учителям учителей
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ
Глава 1. Метод двух геометрических мест
§ 1. Геометрические построения
§ 2. От примера к методу
§ 3. Примеры
§ 4. Предположим, что задача решена
§ 5. Метод подобия
§ 6. Примеры
§ 7. Метод вспомогательных фигур
Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1 — 54)
[7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три
наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух
геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О
геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54.
Множества.]
Глава 2. Метод Декарта
§ 1. Декарт и его идея об универсальном методе
§ 2. Задачка
§ 3. Составление уравнений
§ 4. Школьные задачи
§ 5. Геометрические примеры
§ 6. Пример из физики
§ 7. Пример из области головоломок
§ 8. Озадачивающие примеры
Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1, 1 —
16; Раздел 2, 17—87)
[10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора.
12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы
Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская
задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при
решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство.
61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График
движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число
уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше
числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта.
9
13
19
20
25
25
26
27
29
32
33
37
38
45
45
46
50
52
56
61
64
65
69
82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения,
необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84.
Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд
вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87 Дополнительные
задачи.]
Глава 3. Рекурсия
§ 1. История одного маленького открытия
§ 2. Дар небес
§ 3. И все же оно заслуживает внимания
§ 4. Рекурсия
§ 5. Абракадабра
§ 6. Треугольник Паскаля
§ 7. Математическая индукция
§ 8. В поисках новых подходов
§ 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому
Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1 — 100: Раздел 1,
1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100)
[2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение
затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24.
Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43.
Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55.
Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60.
Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и
отрицательных показателей. 70. Расширение области
определениясимвола Cnr. 76. Метод неопределенных
коэффициентов. 81. Обращениестепенного ряда. 87.
Дифференциальные уравнения. 99. О числе π. 100. Другие задачи.]
Глава 4. Суперпозиция
§ 1. Интерполяция
§ 2. Частный случай
§ 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений
§ 4. Метод суперпозиции
Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1 — 37: Раздел 1, 1—
17; Раздел 2, 18—37)
[11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные
линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с
постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17.
Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении
одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже
решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения.
25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее
своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение
85
85
88
90
92
94
97
100
102
103
105
127
127
130
131
132
134
области исследования.]
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ
Глава 5. О задачах
§ 1. Что такое задача?
§ 2. Классификация задач
§ 3. Задачи на нахождение
§ 4. Задачи на доказательство
§ 5. Компоненты неизвестного, пункты условия
§ 6. Ищем соответствующую процедуру
Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1 — 20)
[8. Задача на нахождение или задача на доказательство ? 9. Другие
задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из
неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура
круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология,
двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка)
и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.]
Глава 6. Расширение области применения метода
§ 1. Расширение области применения метода Декарта
§ 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест
§ 3. С какого пункта условия следует начинать
§ 4. Расширение области применения рекурсии
§ 5. Последовательный охват неизвестных
Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27)
[1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только
часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21.
Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые
типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая
классификация.]
Глава 7. Геометрическое представление процесса решения
§ 1. Метафоры
§ 2. Что такое задача?
§ 3. Есть идея!
§ 4. Развитие идеи
§ 5. Оформление решения
§ 6. Замедленные кинокадры
§ 7. Коротко о дальнейшем
§ 8. План и программа
§ 9. Задачи внутри задач
§ 10. Зарождение идеи
§11. Умственная работа
§ 12. Дисциплина ума
Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6)
[1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие
143
143
144
145
147
149
150
151
156
156
160
167
171
175
176
184
184
185
186
188
190
191
193
194
194
195
195
196
196
диаграммы. 6. Другие задачи.]
Глава 8. План и программа
§ 1. Составление плана как метод решения задачи
§ 2. Более общий метод
§ 3. Программа
§ 4. Выбор между несколькими планами
§ 5. План и программа
§ 6. Метод и план
Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1 — 8)
[1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном
направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2.
Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор
между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.]
Глава 9. Задачи внутри задач
§ 1 Вспомогательные задачи
§ 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция
§ 3. Цепочки эквивалентных задач
§ 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные
задачи; односторонняя редукция
§ 5. Косвенные вспомогательные задачи
§ 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование,
руководство, практика.
Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1 — 16)
[1. Надежные источники вспомогательных задач ? 2. Respice finem. 3.
Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или
сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой
теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое
найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия.
15. А что если неудача? 16. Другие задачи.]
Глава 10. Зарождение идеи
§ 1. Проблеск света
§ 2. Пример
§ 3. Характерные черты полезной идеи
§ 4. Зависимость идеи от случая
Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1 — 2)
[1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней.
2. Два эксперимента.]
Глава 11. Умственная работа
§ 1. Как мы думаем
§ 2. Стремление решить задачу
§ 3. Направленность мышления
§ 4. Близость решения
§ 5. Предвидение
§ 6. Область поисков
205
205
207
208
209
211
212
213
219
219
220
222
222
224
225
227
237
237
237
241
243
244
245
245
245
246
246
247
248
§ 7. Промежуточные решения
§ 8. Мобилизация и организация
§ 9. Распознавание и вспоминание
§ 10. Пополнение и перегруппировка
§11. Изоляция и комбинация
§ 12. Диаграмма
§ 13. Часть подсказывает целое
Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1 — 11)
[1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4.
Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7.
Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9.
Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11 Мыши и люди.]
Глава 12. Дисциплина ума
§ 1. Как надо думать
§ 2. Концентрация внимания на цели
§ 3. Оценка перспектив
§ 4. Блуждания: поиски подхода
§ 5. Блуждания: может быть, есть более обнадеживающий аспект задачи?
§ 6. Блуждания: поиски полезных сведений
§ 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить? ,
$ 8. Искусство ставить вопросы
Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1 — 16)
[1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке
математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный
запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить
подобное неизвестное ? 6. Из какого условия (предпосылки) можно
вывести такое заключение? 1. Сведения, относящиеся к
рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и
тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?
13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей
окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление,
творческое мышление. ]
Глава 13. Законы открытия?
§ 1. Правила бывают разными
§ 2. Рациональность
§ 3. Экономия, но без предвзятости
§ 4. Настойчивость, но и гибкость
§ 5. Правила предпочтения
§ 6. Части задачи
§ 7. Полезные сведения
§ 8. Вспомогательные задачи
§ 9. Резюме
Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1 — 3)
[1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и
249
249
2Ы
251
252
253
256
257
261
261
261
263
264
265
266
267
268
269
275
275
276
277
278
279
280
281
283
283
284
планах. 3. Стиль работы.]
Глава 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию
§ 1. Преподавание — не наука
§ 2. Цель обучения
§ 3. Преподавание — это искусство
§ 4. Три принципа изучения
§ 5. Три принципа обучения
§ 6. Примеры
§ 7. Как учить преподаванию
§ 8. Позиция учителя
Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1 — 29: Раздел 1,
1—5; Раздел 2, 6—29)
[2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение
задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9.
Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11.
Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть
совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический
принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях.
17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст.
20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи
и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27.
Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических
конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.]
Глава 15. Догадка и научный метод
§ 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы
§ 2. Пример
§ 3. Обсуждение
§ 4. Еще один пример
§ 5. Графическое представление индуктивного рассуждения
§ 6. Один пример из истории
§ 7 Научный метод: догадывайтесь и испытывайте
§ 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера»
§ 9. Выводы
Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (l—58: Раздел 1,
1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58)
[24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований. 25. Буриданов
осел. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике или
«Природа не смеет быть непредсказуемой». 41. n точек сферы. 42.
Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные
числа. 54. Еще одно задание исследовательского характера. 58.
Предположение и факт.]
Решения упражнении
Приложение: Из предисловия к книге Г. Полиа и Г. Сеге «Задачи и
теоремы из анализа»
286
286
287
288
290
292
295
301
305
311
336
336
336
338
339
340
343
350
351
352
364
441
Библиография
Указатель
445
448
УКАЗАТЕЛЬ
Настоящий указатель включает, помимо ссылок на данную книгу, ссылки на избранные
параллельные места из других родственных по содержанию работ автора, а именно на книги:
«Как решать задачу» (обозначается К),
«How to Solve it» (обозначается Н),
«Математика и правдоподобные рассуждения» (обозначается М).
Числа указывают страницы.
Несколько фраз напечатаны курсивом с целью подчеркнуть их значение, которое отмечается в
главе 12.
Ссылка на такие понятия, как: «Аналогия», «Догадка», «Индукция», «Неизвестное»,
«Обобщение» и т. п.,— понятия, которые встречаются во всех трех книгах фактически
повсеместно,— не являются (и, естественно, не могут быть) исчерпывающими.
Абель (Abel N. Н.) 399
Абстракция 81
Адамар (Hadamard J.) 10, 126, 140,
319, 446
Алгебраический язык см. Язык
алгебры
Анализ см. Метод продвижения от
начала к концу
Аналогия 224, 236, 272, 315, 343; К
44—51; М32—41, 44—49,
254—258, 274—275; см. также
Обобщение, специализация и
аналогия
—, биномиальные коэффициенты и
коэффициенты многочлена
115—116
—, планиметрия и стереометрия 35—
37, 75—76, 110-111, 272, 297; К
45— 50; Н 235; М 33—34, 45—
46
—, теорема Герона 69, 70
—, — Пифагора 58—59, 69—70; К
17—29
—, треугольники Паскаля и
Лейбница 116—118
Архимед (Archimedes) 63, 68, 81, 126,
215, 357; К 45; М 183—187,
196—197
Бернулли Яков (Bernoulli Jacob), 102
Блестящая мысль 37—38, 46—47,
85—90, 237—244; К 51—58
«Бог из машины» (Deus ex machina)
89, 311; М 409—412
Больцано (Bolzano В.) 446; К 53.
Буриданов осел 356
Вагенштейн (Wagenschein M.) 314,
448
Валлис (Wallis J.) 120
Вейль (Weyl H.) 319
Взгляд вперед 83
Виттенберг (Wittenberg A.) 315, 448
Внутренняя
помощь,
внешняя
помощь 328—330; К 30—31
Все ли -данные вами использованы
(все условие, вся предпосылка)?
39, 130, 267—269; К 63—65; М
419—421, 427—429
Вспомогательная задача 40—41,
219—236, 283; К 65—71
— — более результативная, менее
результативная 222—224; К
70—71
— — косвенная 224—225
— — эквивалентная 220—222; К
67— 70
Вспомогательные сведения см.
Дополнительные сведения
Галилей (Galilei Galileo) 137, 314; М
26, 225—226
Гаусс (Gauss К- F.) 85; М 81
Генетический принцип 325—326
Геометрическое место 26—27, 160;
см.
также
Метод
двух
геометрических мест, Метод
трех геометрических мест
Герона теорема 339—342
Гибкость 218
Гоббс (Hobbes Т.) 209, 227
Головоломки 64—65, 70, 166—170,
173—175, 179; К 79-81
—, кроссворд 158—160, 166—167,
177—178, 216—217, 244, 422; К
164
Гольдбах (Goldbach Ch.) 147; М 24
Гюльдена правило 438
Данкер (Duncker К.) 249, 252, 257; К
185
Данные 25, 145—147, 155, 262; К 83;
см. также: Как можно
использовать подобные данные
или предпосылку? Неизвестное,
данные, условие. Что дано"?
—, изменение 33, 55, 130; К. 56—59
—, нельзя ли извлечь что-нибудь
полезное из данных! 31, 213—
214; К 152
—, при помощи каких данных можно
определить
подобное
неизвестное ? 271—272
Данте (Dante А.) 237; М 198
«Дар небес» 89, 311; К 74; М 411—
412
Декарт (Descartes R.) 23, 45—46, 80,
82, 83, 141, 156, 184, 261—262,
318, 446; К 81; М 264, 405
— о многогранниках 347; М 78—80
—, «Правила для руководства ума»
45, 50—52, 80—83, 318
Джеймс (James W.) 143; К 185
Догадка 58—59, 70, 106, 121, 123,
263, 294, 315, 336—352; М см. в
разных местах; см. также
Обобщение, Индукция
—, проверьте вашу догадку 350, 363;
К 93—97
Доказательства
(процедура
чередования) 234
Дополнительные сведения 53, 63, 81,
266—267, 368; К 149—151
Евклид (Euclid) 25, 145, 150, 155, 196,
271/446; М 34
Если вы не в состоянии решить
предложенную задачу см.
Задача
Задача 143—144
—
вспомогательная
см.
Вспомогательная задача
—, главные части 147—148, 281; К
83—84
—, если вы не в состоянии решить
предложенную задачу 33, 95,
186; К 82
—, известна ли вам" какая-нибудь
родственная задача? 264; К 91
— на доказательство 145, 147—148;
К 84—85
— — нахождение 145—147; 160; К
83
Задача, предположим, что задача
почти решена М 155
—,—, — — решена 29—32, 34, 38,
51, 70; К 75—76, 153—155
—, разделенная на части 81
—, разнообразие подходов 102, 111
138
—, решенная частично 28, 31, 34 64
70; К 161
— родственная 187, 265; К 82
— — и более простая 95
— — — решенная ранее 138, 228; К
61—63
— с тем же или родственным
неизвестным 228—229, 267,
271, 282; К 166— 171
—, формулировка 127—129, 294, 297
— эквивалентная 26, 152, 220—222 К
67—70
Заключение 148, 262; К 84
—, каким образом можно доказать
требуемое утверждение? 210,
217
Знания, относящиеся к
рассматриваемому вопросу см.
Дополнительные сведения
Известна ли вам какая-нибудь
родственная задача? см. Задача
Индукция 119—120, 336—352, 393; К
92—98; М см. в разных местах
—, исследуйте и объясняйте
закономерности 122, 338, 399—
400, 436; Н 271; М 111—114
—, проверка (на частных случаях,
следствиях) 120, 121, 339—342,
346— 347; К 111—113
—, фундаментальный метод
индукции (эвристический
силлогизм) К 157, 185—189; М
247—249 и в других местах, см.
также Обобщение,
наблюдайте и обобщайте
Инерция мысли 88
Интерпретация задачи 54, 59
— — механическая М 175—177
— — оптическая М 171—175
— — повторная М 177—183
«Исторический» разбор примера см.
Методический разбор примера
Кавальери (Cavalieri В.) 172, 425, 438
Как можно использовать подобные
данные или предпосылку? 213,
271; К 152, 199—200; см.
также Данные, нельзя ли
извлечь что-нибудь полезное из
данных?
Как можно получить подобный
объект (неизвестное,
заключение)? 59, 60, 138, 188,
189, 213—214, 264, 271; см.
также Задача с тем же или
родственным неизвестным,
Теорема с тем же или
родственным заключением
Кант (Kant I.) 286, 291
Кейнес (Keynes J. М.) 355
Кеплер (Kepler J.) 314, 436; М 31,
227—230
Кёлер (Kohler W.) 219; К 185
Ключ к решению 30—32, 34, 36, 37—
38, 266, 271; К 194
Ключевая фигура 377
Контрпример 232—234; К 189—191
Краусс (Krauss F.) 446; К 185
Кроссворд см. Головоломки
Кэррол (Carroll Lewis) 65
Лагранж (Lagrange J. L.) 132, 405
Лекатош (Lacatos I.) 235, 319, 446
Лейбниц (Leibnitz G. W.) 13, 70, 111,
116—117, 119, 133, 153, 156,
178, 233, 245, 246, 286, 361, 446;
К 98—99; M 50
Лёвнер (Loevner Ch.) 336
Линдеман (Lindemann F.) 154
Лихтенберг (Lichtenberg G.) 244, 286,
290
Льюис Кэррол см. Кэррол
Мариотт (Mariotte) 245
Математическая индукция см. Метод
математической индукции
Математический язык см. Язык
алгебры
Max (Mach E.) 446
Метафоры 184
Метод вспомогательных фигур 37—
38; К 71—75
— двух геометрических мест 26—29,
38, 40, 160—167
— Декарта 45—46, 50—52, 156—160;
К 157, 185—187
— или результат см. результат или
метод
— математической индукции 100—
102, 110
— неопределенных коэффициентов
121—122
— подобия 32—33; К 31—33
— последовательных приближений
49
— продвижения от конца к началу
197—199, 205—208, 213—215,
228; К 152-157; Н 225—232
Метод продвижения от начала к
концу 191, 200, 213—215
— рекурсии 92—93, 171—175
— суперпозиции 132—134, 135, 140
— трех геометрических мест 41
Методический разбор примера 14, 32
Мечтания, см. Сладкое мечтанье
Мобилизация и организация
81—82, 249—250, 258; К 149
— — — , диаграмма (как мы думаем)
253
Мышление продуктивное, творческое
мышление 274
Неизвестное 25, 145, 262; К 83—84;
см. также Что неизвестно ?
Смотрите на неизвестное!
— вспомогательное 55, 191; К 71
—, данные, условие 27, 30, 33—44,
50, 145—146, 153, 261—262,
280—281; К 84—85, 153
— как можно найти такое
неизвестное ? 59, 60, 138, 188—
190, 213— 214, 264, 271; К
166—171
—
многокомпонентное
(многоэлементное) 149
— процедурное 126
Нельзя ли сформулировать задачу
иначе? 200—201, 269—270, К
114—115, 124
—Ньютон (Newton I.) 70—74, 78,
120— 121, 246, 275, 398, 436; М
45, 111
Обобщение 72, 77, 87, 90, 105, 109,
111, 112, 116, 139, 140, 315—
316, 345—346, 386; К 114—115;
М 31—36, 41—43 и в других
местах
—, буквы вместо чисел 48, 69, 371; К
115
— и специализация 235—236
—, наблюдайте и обобщайте 103,
111, 338—339, 344—346; Н 237;
М 143— 145
—, преимущества общей
формулировки 95
—, специализация и аналогия 236,
265, 315; М 31—36
Определение 266, 268; К 122—128
Организация см. Мобилизация и
организация
Осуществление плана (оформление
решения) 190—191, 214—215,
К 128— 132
Папп (Pappus) 32, 446; К 132—138
Паскаль (Pascal В.) 93, 97—108,
117, 387
Пифагора теорема см. Аналогия
План решения задачи см. Метод
продвижения от конца к началу
и Метод продвижения от начала
к концу
Подход к задаче см. Задача,
разнообразие подходов
Последовательные приближения 49
Правила 275—276, 284
—, как делать открытия 275—285; К
141
— правдоподобных рассуждений М
367—370
— предпочтения 272—280, 284
— преподавания 292—295
Правило Симпсона см. Симпсона
правило
Предположение см. Догадка
— и факт 363
Предпосылка (условие) 148
— для вывода такого заключения 271
— и заключение см. Условие и
заключение
Призматоид, формула объема 138—
140
Принцип Отсутствия Достаточных
Оснований 354—357; М 217—
219
Программа 208—209, 211—212
Продвижение от конца к началу см.
Метод продвижения от конца к
началу
— — начала к концу см. Метод
продвижения от начала к концу
Промежуточная задача см.
Вспомогательная задача
Пэн (Paine Т.) 244
Работа изнутри, работа извне 258
Рассуждение
см.
Строгость
рассуждений
Редукция 27—29
— двусторонняя (обращаемая,
эквивалентная) 220—221; К 68
— односторонняя 222—224; К 70—
71
Результат или метод 109, 125, 135,
402; К 66—67
Рекуррентная формула 100, 116, 401;
М 118—119, 128, 129—131
Ретроспективное обсуждение 294; К
106—114, 128—132
Решение 146, 154—155; К 197; см.
также Существует ли
решение?
Ретроспективное обсуждение
—, взгляд назад 41; К 24—25
—, существование и единственность
146
Cere (Szego G.) 439, 446
Симметрия 183, 211, 354—357 370
418; К 180—181; М 219—220
Симпсона правило 140
Синтез см. Метод продвижения от
конца к началу
Сладкое мечтанье 29
Смотрите на неизвестное! 273, 282;
К 166—167; см. также Задача с
тем же или родственным
неизвестным
Сократовский метод (диалог) 290
292,295
Составление уравнений см. Метод
Декарта
Специализация 315; К 189—194; М
32; см. также Обобщение,
специализация и аналогия
—, ведущий частный случай 134,
140-М 43—44
—, конкретная интерпретация К
194— 195
—, крайний частный случай К 191—
194; М 42—43
—, особенно благоприятный частный
случай 131—132
—, следующий частный случай 91
—, частный случай — представитель
105, 389; М 44
—, — —, эквивалентный общему
случаю 106; М 44—45
Спиноза (Spinoza В.) 327
Строгость рассуждений 317—321
Существует ли решение? 141; К 60—
61; см. также Условие,
достаточное (или
недостаточное) условие для
нахождения неизвестного
Теорема (предложение) 147—148
— более сильная (возможная основа)
230; М 265—266
— — слабая (следствие) 230—231; М
247—253
—, доказательство и опровержение
148, 321; К 84—85
— с тем же самым или родственным
заключением 229, 267, 271,
282— 283; К 167
Условие 26, 146—147, 156—160,
229— 230, 262; К 195—196,
198—199; см. также
Неизвестное, данные, условие
—, выраженное при помощи
уравнений, см. Метод Декарта
— достаточное (или недостаточное)
для нахождения неизвестного
40, 65—66, 78—79, 81—82,
178—179; К 60— 61; М 232—
234
Условие, лишние данные 67—68; М
221—223, 232—234
—, полное использование условия
см. Все ли данные вами
использованы?
—— (предпосылка) и заключение
148, 153, 155, 229, 262, 280—
281; К 84—85
—, пункт, с которого следует
начинать, 167—171, 181—183
—, пункты 26, 149—150
—, разбейте условие на части 27, 28,
41, 51, 156—160, 180
—, сохраните только часть условия
26, 39, 57, 177, 230; К 164—165
—, узловой пункт 170
Факт и предположение 363
Фейеш Тот (Fejes Tot L.) 75, 358
Фибоначчи (Fibonacci L.) 74
— числа 113, 137
Франс (France A.) 335
Харткопф (Hartkopf W.) 18, 331
Хильгард (Hilgard E.) 287
Цермело (Zermelo E.) 334, 335
Часть подсказывает целое 256—257,
342
Что дано? 186, 261—262; К 199—
200;
см. также Неизвестное, данные,
условие, Условие
(предпосылка) и заключение
— неизвестно (что требуется)? 185,
186, 227, 261—262; К 153—154,
199— 200
Шоу (Shaw В.) 326
Шур (Schur I.) 336
Эйлер (Euler, L.) 70—71, 73, 347—
348; М 21, 28, 37—41, 50—55,
116—128, 132—133, 148, 246—
249, 352
— о многогранниках 347; М 56—65,
74-80
Эйнштейн (Einstein A.) 289
Эрмит (Hermite Ch.) 336
Язык алгебраический 47, 270, 315; К
115—122
— геометрических фигур 270, 315—
316
Deus ex machina, см. Бог из машины.
Reduction ad absurdum К 169—172