Тема урока: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА».

Тема урока:
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДВОЙНОГО
АРГУМЕНТА».
Учитель математики МОУ ВСОШ №2 г. Твери
КУДРЯВЦЕВА ТАМАРА ИВАНОВНА.
Цели урока:
 обобщить, систематизировать и закрепить знание формул
сложения;
 уметь применять их для доказательства формул тригонометрических
функций двойного аргумента;
 отработать навыки использования этих формул для решения задач;
 формировать умения творчески применять приобретенные знания;
воспитывать самостоятельность;
 развивать умение логически мыслить.
Обобрудование: компьютер, мультимедийный проектор, плакат с
формулами, учебники, карточки с программированным содержанием (для
повторения), дифференцированные карточки-задания (для закрепления),
таблицы Брадиса.
Тип урока: комбинированный с элементами игры.
Ход урока.
I. Организационный этап.
Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, сообщает тему и цель урока.
II. Повторение опорного материала.
Класс разбивается на две команды. В течение всего урока оценивается та
команда, которая справилась быстрее с каждым поставленным заданием. На
доске или на плакате вычерчивается таблица с номерами заданий, которые
оцениваются 1 очком каждое.
Проверка домашнего задания осуществляется с помощью карточек с
программированным содержанием (учащимся нужно было выучить дома
формулы сложения тригонометрических функций). Карточки разбиты на 4
варианта. Ответы проверяются сразу же через мультимедийный проектор, и
каждый учащийся, самостоятельно оценив свои результаты, ставит себе
оценку, руководствуясь правилами:
из 4 заданий верно-2 (оценка 3)
3 (оценка4)
4 (оценка 5).
Далее на обозрение вывешивается плакат с повторенными формулами.
III.Изучение нового материала.
1) Самостоятельная работа с учебником. Через 5 минут по желанию один
учащийся вызывается к доске для доказательства формулы синуса двойного
угла.
Доказательство:
В формулу sin(α + β )=sinαcosβ + cosαsinβ подставим β=α, получим:
Sin2α=sinαcosα + cosαsinα=2sinαcosα, т.е. sin2α=2sinαcosα.
Формула доказана научно, а теперь проверим её практическим путем (с
помощью таблиц Брадиса).
Пусть α=27о, тогда 2α=54о. Имеем sin54о=2sin27оcos27о.
Проверим с помощью таблиц Брадиса:
0,8≈2∙0,45∙0,9
0,8≈0,81
0,8≈0,8 (через мультимедийный проектор).
Формула выражает зависимость между тригонометрическими функциями
двух аргументов, один из углов которых отличается от другого в 2 раза.
Нужно понимать, что любой угол можно представить как двойной.
Через проектор высвечивается:
1) α=2∙α/2
1)6α=2∙ ? (устно)
2) x/2=2∙x/4
2)п/4=2∙ ?
3) 4β=2∙2β
3)3x=2∙ ?
4) 30˚=2∙15˚
4)2/3β=2∙ ?
5) п/8=2∙п/16
Очки за задания вносятся в таблицу.
Формулу sin2αнужно уметь читать как слева направо, так и наоборот.
На доске открывается заранее заготовленное задание:
1)2sin15о∙cos15о=sin30о=
1
2
√3 1
∙
2 2
2)sin120о=sin2∙60о=2sin60о∙cos60о=2∙
=
√3
2
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
1
𝜋
1
2
8
8
4
8
8
4
8
4
4
4
3) sin ∙cos =2∙ ∙sin ∙cos = ∙sin(2∙ )= sin =
∙
√2
2
=
√2
8
.
Ответ оценивается в очках.
2) Аналогично из формулы cos( 𝛼 + 𝛽 )= cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 при β=α
имеем: 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶=𝐜𝐨𝐬 ²𝜶 - 𝐬𝐢𝐧 ²𝜶 для любого α .
3) Из формулы tg ( α + β )=
𝑡𝑔𝛼+𝑡𝑔𝛽
1−𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽
при β=α имеем: tg 2α =
𝟐 𝒕𝒈𝜶
𝟏−𝒕𝒈²𝜶
,
𝜋
2α≠ + 𝛑n , nєZ
2
𝜋
𝜋
4
2
α≠ + n, nє Z
𝜋
α≠ + 𝛑n, nє Z
2
IV. Задание на дом (через проектор ).
1) cos 120о=
2) cos² 15о- sin² 15 о =
𝜋
𝜋
8
8
3) sin² - cos² =
4)
𝑡𝑔 22ᵒ 30´
1−𝑡𝑔 22ᵒ 30´
V. Закрепление изученного материала (решение примеров).
ПРИМЕР 1.
Дано: sin 𝛼 = -
Найти: sin 2𝛼, cos 2𝛼, tg 2α
Решение:
8
17
; 𝛑<α<
3𝜋
2
=
8
64
17
289
1) cos 𝛼= -√1 − sin² 𝛼= - √1 − (− )²= - √1 −
sin 2𝛼 = 2∙(-
8
)∙(-
17
15
17
3) tg 2α =
sin 2𝛼
cos 2𝛼
ПРИМЕР 2.
=
240 161
:
289 289
=
225
289
=-
15
;
17
240
)=
2) cos 2𝛼 = cos ²𝛼 - sin ²𝛼 =
=-√
289
225
289
240
-
64
289
=
161
289
161
Дано: tg3α = 3
Найти: sin 6𝛼
Решение:
tg6α =
2𝑡𝑔3𝛼
1−𝑡𝑔²3𝛼
=
2∙3
1−9
=
6
3
=- ;
−8
4
4
ctg6α = - ;
3
1 + ctg²6α=
25
9
=
1
sin ²6𝛼
;
1
sin ²6𝛼
;
sin ²6𝛼 =
Ответ: sin 6𝛼 =
4
1
3
sin ²6𝛼
1 + (- )² =
9
25
; 1+
16
9
=
1
sin ²6𝛼
;
3
; sin 6𝛼 = .
5
3
5
Далее дается дифференцированная самостоятельная работа (степень
сложности учащиеся выбирают самостоятельно).
КАРТОЧКА 1(1 уровень).
Дано: sin 𝛼 = -
5
;𝜋 <𝛼 <
13
3𝜋
2
Вычислить: sin 2𝛼, cos 2𝛼, tg 2𝛼.
Решение:
5
1)cos 𝛼 =√1 − sin ²𝛼 = √1 − (− )² =
13
2)sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼=
3)cos 2𝛼= cos ²𝛼 - sin ²𝛼=
4)tg2𝛼 =
sin 2𝛼
cos 2𝛼
=
КАРТОЧКА 2( 2 уровень ).
1
Дано: tg 𝛼=
7
Найти: cos 2𝛼.
VI.Подведение итогов.