Модель динамики инкапсулированных и свободных пузырьков в

УДК 51(06) Проблемы современной математики
Н.А. ТЕТЕРЕВ, А.В. ТЕТЕРЕВ1
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
1Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь
МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ИНКАПСУЛИРОВАННЫХ
И СВОБОДНЫХ ПУЗЫРЬКОВ В УЛЬТРАЗВУКОВОМ ПОЛЕ
Предложена одномерная модель, включающая различные сценарии расчета
динамики осцилляций и трансляционного движения свободных и инкапсулированных пузырьков в ультразвуковом поле, основанная на комбинировании расчетов уравнений Рэлей-Плесетского типа и уравнений гидродинамики.
В зависимости от целей поставленной задачи предлагаемая модель
позволяет проводить расчеты различным образом. Во-первых, можно воспользоваться одной из систем уравнений Рэлей-Плесетского типа, например [1], заложенных в модель. Во-вторых, можно воспользоваться комбинированным расчетом и моделировать, например, течение газа внутри
пузырька на основе уравнений газовой динамики. В этом случае давление
у поверхности газового пузырька, получающееся в результате решения
газодинамической задачи, является входным параметром для решения
уравнений Рэлей-Плесетского типа, а получающиеся в результате их решения радиус пузырька и скорость перемещения его поверхности являются в свою очередь граничными условиями для решения системы газодинамических уравнений. И, наконец, третья возможность – это моделирование газового пузырька, оболочки, если она есть, и окружающей жидкости на основе уравнений гидродинамики сжимаемой среды с учетом упругих, пластических, вязких или более сложных реологических свойств оболочки и окружающей жидкости.
Для замыкания систем гидродинамических уравнений в модели предусмотрены различные варианты задания уравнений состояния газа, окружающей жидкости и оболочки. Так для газа это может быть уравнение
идеального газа, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса или табличное
уравнение состояния. Для жидкости используются уравнения акустически
сжимаемой среды, эмпирическое уравнение Тэта или табличные уравнения состояния. Аналогичные уравнения могут использоваться и для материала оболочки.
Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений в
модели используются различные методы расчета. Например, при совместном решении этих систем с системами газодинамических уравнений
в виду малости временного шага, выбираемого при решении последних,
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9
73
УДК 51(06) Проблемы современной математики
возможно применение методов Эйлера. В более сложных случаях используется метод Рунге–Кутта–Гилла с контролем накапливающейся ошибки
и автоматическим выбором временного шага или метод Рунге–Кутта, основанный на формулах Дормана и Грина с автоматическим управлением
длиной шага. Решение системы гидродинамических уравнений для газа
внутри пузырька, а также для оболочки и окружающей жидкости находится с помощью полностью консервативного конечно-разностного метода. Совместно ведется расчет девиаторов тензора напряжений, описывающих реологию оболочки и окружающей жидкости. В виду неявности
решаемой системы уравнений решение находится с помощью итераций,
критерием выхода из которых является условие схождения по величине
полной энергии во всех точках рассматриваемой области.
Анализ результатов серии расчетов осцилляций и трансляционного
смещения инкапсулированного пузырька, выполненных по описанной
модели, показал, что по величине трансляционного смещения можно
определить резонансную частоту пузырька. Расчеты были выполнены для
пузырьков радиусом от 0.5 до 3.5 мкм с оболочкой толщиной 5 нм и плотностью 1100 кг/м3, находящихся в воде при атмосферном давлении, в
ультразвуковом поле частотой от 1.5 до 4.0 МГц с амплитудой акустического давления 200 кПа.
Представленная модель является логическим расширением и модернизацией модели, предложенной в [2]. На ее основе можно моделировать
широкий круг задач динамики свободных и инкапсулированных пузырьков, как в слабых, так и в сильных ультразвуковых полях. Модель позволяет рассчитывать трансляционное смещение пузырьков в ультразвуковом поле и определять их резонансную частоту. В гидродинамическом
приближении можно рассматривать инкапсулированные пузырьки с многослойной оболочкой. Программная реализация описанной модели является удобным и гибким инструментом для исследования различных задач
осцилляционной динамики пузырьков.
Работа выполнена при финансовой поддержке МНТЦ, проект В-1213.
Список литературы
1. Doinikov A.A. and Dayton P.A. Nonlinear dynamics of lipid-shelled ultrasound microbubble contrast agents // Computational methods in multiphase flow IV, WIT Press Southampton,
Boston. 2007. Р.261-270.
2. Teterev A.V., Misychenko N.I., Rudak L.V., and Doinikov A.A. Simulation of radial oscillations of a free and a contrast agent bubble in an ultrasound field // Computational methods in
multiphase flow IV. WIT Press Southampton. Boston. 2007. Р.239-248.
74
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9