Алгоритмы локального поиска для задачи о p

ÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÀÊÀÄÅÌÈß ÍÀÓÊ
ÑÈÁÈÐÑÊÎÅ ÎÒÄÅËÅÍÈÅ
ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ èì. Ñ.Ë. ÑÎÁÎËÅÂÀ
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
ÓÄÊ 519.21
Àëåêñååâà Åêàòåðèíà Âÿ÷åñëàâîâíà
Àëãîðèòìû ëîêàëüíîãî ïîèñêà äëÿ çàäà÷è
î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ
01.01.09 äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà
Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Íàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:
ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð
Â.Ë. Áåðåñíåâ
ê.ô.-ì.í., äîöåíò
Þ.À. Êî÷åòîâ
Íîâîñèáèðñê 2007
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
ñòð.
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ãëàâà 1. Çàäà÷à î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ . . . . 14
1.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è å¼ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Çàäà÷à ÌÏÊ â óñëîâèÿõ íåîäíîçíà÷íîñòè âûáîðà êëèåíòîâ . . 16
1.3. Àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà è ïðàâèëà çàìåùåíèÿ . . . . . . . . . . . 19
1.4. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Âëèÿíèå ïðàâèë çàìåùåíèÿ íà êà÷åñòâî ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ
è ÷èñëî èòåðàöèé àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2. Èññëåäîâàíèå ðàñïîëîæåíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ . . . . . . . . . 25
1.4.3. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ñ êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé î p-ìåäèàíå 27
Ãëàâà 2. Ëîêàëüíûå îïòèìóìû è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.1. Ñëîæíîñòü çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà . . . . . . . . . . 35
2.3. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà
â ñðåäíåì ñëó÷àå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
2.4. Ïîãðåøíîñòü ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Ëîêàëüíî ñåäëîâûå òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
Ãëàâà 3. Ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Íèæíèå îöåíêè îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1. Ñâåäåíèÿ ê çàäà÷àì ÖËÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2. Ñâåäåíèå ê çàäà÷å ñ ïàðîé ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.3. Íîâîå ñâåäåíèå ê çàäà÷å ñ ïàðîé ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.2. Ïðîöåäóðà Ðåçåíäå è Âåðíåêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1. Îáùàÿ ñõåìà àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
3.3.2. Ãåíåòè÷åñêèé ëîêàëüíûé ïîèñê äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ . . . . . . . . . . . 63
3.3.3. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.4. Âûáîð ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.5. Ñðàâíåíèå íèæíèõ îöåíîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ãëàâà 4. Çàäà÷à âûáîðà îïòèìàëüíîãî ïàðêà
ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
4.3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Ñâåäåíèå ê çàäà÷å ÌÏÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5. Ñòðóêòóðà ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé . . . . . . . . . . . 77
4.5.1 Ïîäãîòîâêà èñõîäíûõ äàííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.2 Áëîê îïòèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.3 Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è ôîðìèðîâàíèå îò÷¼òîâ . . . 83
Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3
Ââåäåíèå
Òåîðèÿ äèñêðåòíûõ çàäà÷ ðàçìåùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç èíòåíñèâíî ðàçâèâàþùèõñÿ îáëàñòåé â èññëåäîâàíèè îïåðàöèé. Âîçíèêíîâåíèå ýòèõ çàäà÷
è ïåðâûå ïîïûòêè èõ ðåøåíèÿ ïðèïèñûâàþò ôðàíöóçñêèì è èòàëüÿíñêèì
ìàòåìàòèêàì 17 âåêà è, â ÷àñòíîñòè, Ïüåðó Ôåðìà (16011665). Îí èíòåðåñîâàëñÿ ñëåäóþùåé çàäà÷åé. Çàäàíû òðè òî÷êè íà ïëîñêîñòè. Íàéòè òàêóþ
÷åòâåðòóþ òî÷êó, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò íå¼ äî òðåõ çàäàííûõ òî÷åê
áûëà áû ìèíèìàëüíîé. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è çàíèìàëñÿ ó÷åíèê Ãàëèëåÿ,
èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Åâàíãåëèñòà Òîððè÷åëëè (16081647). Âîçìîæíî,
÷òî ïåðâûì, êòî ñôîðìóëèðîâàë è ðåøèë ýòó çàäà÷ó áûë èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Áàòèñòî Êîâàëüåðè (15981647), îäíàêî òî÷íîå ïåðâåíñòâî óñòàíîâèòü óæå î÷åíü òðóäíî.  íà÷àëå äâàäöàòîãî âåêà (1909) Àëüôðåä Âåáåð
èññëåäîâàë áîëåå îáùóþ çàäà÷ó î íàõîæäåíèè öåíòðà òÿæåñòè äëÿ òðåõ
âçâåøåííûõ òî÷åê, à ïîçæå (1941) Êóðàíò è Ðîááèíñ ïîïóëÿðèçèðîâàëè
òàê íàçûâàåìóþ çàäà÷ó Øòåéíåðà (17961863) î íàõîæäåíèè êðàò÷àéøåé
îñòîâíîé ñåòè äëÿ òð¼õ òî÷åê íà ïëîñêîñòè.
Ïî-íàñòîÿùåìó áóðíîå ðàçâèòèå ìîäåëè ðàçìåùåíèÿ ïîëó÷èëè ñ ðîæäåíèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ëèíåéíûå ìîäåëè, ìîäåëè ÷àñòè÷íîöåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ñòàòèñòè÷åñêèå è äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè
ðàçìåùåíèÿ, à òàêæå ìîäåëè ñ íåëèíåéíûìè öåëåâûìè ôóíêöèÿìè ðîæäàëèñü èç ïðèëîæåíèé ïî ðàçìåùåíèþ íåôòÿíûõ è ãàçîâûõ ñòàíöèé, ðàçìåùåíèþ ïðåäïðèÿòèé, ñòàíöèé ìåòðî, ìèëèöåéñêèõ è ïîæàðíûõ ó÷àñòêîâ è
äð. Â ÑÑÑÐ ïåðâûå ìîäåëè ðàçìåùåíèÿ ïðåäïðèÿòèé èññëåäîâàëèñü Â.Ï.
×åðåíèíûì è Â.Ð. Õà÷àòóðîâûì [19]. Èíòåðåñ ê ýòèì ìîäåëÿì â Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêå èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ ñâÿçàí â ïåðâóþ î÷åðåäü ñ
ïðèëîæåíèÿìè â îáëàñòè ñòàíäàðòèçàöèè è óíèôèêàöèè [1, 17, 18]. Ðàáîòû
Â.Ë. Áåðåñíåâà, Ý.Õ. Ãèìàäè, Â.Ò. Äåìåíòüåâà, Í.È. Ãëåáîâà, à ïîçæå À.È.
Äàâûäîâà, Þ.À. Êî÷åòîâà, À.Â. Ïëÿñóíîâà, Þ.Â. Øàìàðäèíà, Ë.Å. Ãîðáà4
÷åâñêîé, À.À. Àãååâà è äð. ñîçäàëè ôóíäàìåíò äëÿ ðàçðàáîòêè ïðîãðàììíî
ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷.
 îáùåì âèäå äèñêðåòíûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ ìîäåëèðóþò ñèòóàöèè, â
êîòîðûõ èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà îáúåêòîâ òðåáóåòñÿ âûáðàòü íåêîòîðîå
ïîäìíîæåñòâî òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü çàäàííûå ïîòðåáíîñòè ñ íàèìåíüøèìè çàòðàòàìè èëè íàèáîëüøåé ïðèáûëüþ.  êà÷åñòâå îáúåêòîâ ìîãóò
âûñòóïàòü ôèëèàëû êðóïíîé êîìïàíèè, ñêëàäñêèå êîìïëåêñû, êîìïîíåíòû ìèêðîñõåì è ìíîãîå äðóãîå.
Äèñêðåòíûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ èìåþò êîíå÷íóþ îáëàñòü äîïóñòèìûõ
ðåøåíèé, ïîýòîìó çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî â çàäà÷å ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíîå
ðåøåíèå. Ïðè íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè, îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ìîæíî íàéòè, ïåðåáðàâ âñå ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Îäíàêî ðåàëüíûå ðàçìåðíîñòè çàäà÷ îãðàíè÷èâàþò âîçìîæíîñòè ïåðåáîðíîãî àëãîðèòìà äàæå ñ
ïðèìåíåíèåì ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé. Ïîýòîìó îñíîâíàÿ
öåëü, êîòîðóþ ïðåñëåäóåò áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ â ýòîé îáëàñòè çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçðàáîòêå íåïåðåáîðíûõ àëãîðèòìîâ, ñïîñîáíûõ çà ðàçóìíîå âðåìÿ
íàéòè îïòèìàëüíîå èëè áëèçêîå ê îïòèìàëüíîìó ðåøåíèå çàäà÷è. Èçâåñòíî, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê êëàññó NP-òðóäíûõ çàäà÷,
ò. å. ïîñòðîåíèå òî÷íûõ ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìîâ ñêîðåå âñåãî ÿâëÿåòñÿ áåñïåðñïåêòèâíûì ïîäõîäîì. Ïîýòîìó èññëåäîâàíèÿ äèñêðåòíûõ çàäà÷
ðàçìåùåíèÿ è ðàçðàáîòêà àëãîðèòìîâ èõ ðåøåíèÿ åù¼ äîëãîå âðåìÿ áóäåò
àêòóàëüíîé òåìîé.
Îñíîâíûìè íàïðàâëåíèÿìè èññëåäîâàíèé, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ:
âûÿâëåíèå ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûõ ñëó÷àåâ çàäà÷è, ïîñòðîåíèå äëÿ
íèõ ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìîâ;
ðàçðàáîòêà ïðèáëèæ¼ííûõ àëãîðèòìîâ ñ àïðèîðíûìè îöåíêàìè òî÷íîñòè;
ðàçðàáîòêà èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ëîêàëüíîãî ïîèñêà è ýâðèñòè÷åñêèõ
àëãîðèòìîâ.
 äàííîé ðàáîòå èññëåäîâàíèÿ âåäóòñÿ ïî ïîñëåäíåìó íàïðàâëåíèþ.
Ñóùåñòâóåò áîëüøîå ÷èñëî ïðèêëàäíûõ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèíàäëåæàò êëàññó äèñêðåòíûõ çàäà÷
ðàçìåùåíèÿ. Îñíîâîïîëàãàþùèìè çàäà÷àìè â ýòîì êëàññå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü: ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó ðàçìåùåíèÿ, çàäà÷ó î p-ìåäèàíå è çàäà÷ó î p5
öåíòðå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ õîðîøî èçó÷åííûìè è
èì ïîñâÿùåíî îãðîìíîå ÷èñëî ïóáëèêàöèé, îíè äî ñèõ ïîð ïðèâëåêàþò
âíèìàíèå ó÷åíûõ, ò. ê. ñîñòàâëÿþò îñíîâó äðóãèõ èíòåðåñíûõ ìîäåëåé è
àêêóìóëèðóþò â ñåáå îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè.
Òàê êàê äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà îäíîìó îáîáùåíèþ çàäà÷è
î p-ìåäèàíå, òî ïðèâåä¼ì ñíà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î p-ìåäèàíå è äàäèì êðàòêèé îáçîð îñíîâíûõ èçâåñòíûõ
ðåçóëüòàòîâ.
Ïóñòü çàäàíî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà I = {1, . . . , m} è J = {1, . . . , n}.
Ïåðâîå ìíîæåñòâî áóäåì èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïóíêòîâ ðàçìåùåíèÿ ïðåäïðèÿòèé äëÿ ïðîèçâîäñòâà íåêîòîðîãî îäíîðîäíîãî
ïðîäóêòà, âòîðîå ìíîæåñòâî êëèåíòîâ, èñïîëüçóþùèõ ýòîò ïðîäóêò. Èçâåñòíû âåëè÷èíû cij , i ∈ I, j ∈ J , çàäàþùèå òðàíñïîðòíûå çàòðàòû íà
îáñëóæèâàíèå j -ãî êëèåíòà èç i-ãî ïóíêòà. Òðåáóåòñÿ âûáðàòü èç ìíîæåñòâà I íå áîëåå p ïóíêòîâ, â êîòîðûõ ñëåäóåò ðàçìåñòèòü ïðåäïðèÿòèÿ, ò. å.
íàéòè ïîäìíîæåñòâî S ⊂ I ìîùíîñòè íå áîëåå p òàê, ÷òîáû ñóììàðíûå
çàòðàòû íà îáñëóæèâàíèå âñåõ êëèåíòîâ áûëè áû ìèíèìàëüíûìè. Êîìáèíàòîðíàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è èìååò ñëåäóþùèé âèä:
X
min{
S⊂I
j∈J
min cij : |S| ≤ p}.
i∈S
Óñòàíîâëåíî [48], ÷òî çàäà÷à î p-ìåäèàíå ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé.  [5] ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ìàòðèöà (cij ) åñòü ìàòðèöà êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé íà
äåðåâå, òî çàäà÷à ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà.  [61] äîêàçàíî, ÷òî â îáùåì
ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèå ïðèáëèæ¼ííîãî àëãîðèòìà ñ ãàðàíòèðîâàííîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 2q(n,m) , ãäå q ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì îò
ðàçìåðíîñòè çàäà÷è, âëå÷¼ò ñîâïàäåíèå êëàññîâ P è NP. Îñîáîå âíèìàíèå â
ëèòåðàòóðå óäåëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêîìó ñëó÷àþ, êîãäà ýëåìåíòû ìàòðèöû (cij )
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà.  ýòîì ñëó÷àå ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà ïðèâîäèò ê ëîêàëüíîìó îïòèìóìó ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå (3 + k2 ), ãäå k ÷èñëî ïðåäïðèÿòèé, êîòîðûå
ìîãóò çàìåíÿòüñÿ â ðåøåíèè íà äðóãèå ïðè êàæäîì ëîêàëüíîì óëó÷øåíèè
[25]. Êàæäûé øàã òàêîé èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû èìååò òðóäîåìêîñòü íå
áîëåå O(mk ), íî ÷èñëî øàãîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì. Ëó÷øèé èç èçâåñòíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìîâ èìååò ïîãðåøíîñòü íå áî6
ëåå (3 + ε), ε > 0, [53].
 ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ìîäåëÿõ ðàçìåùåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå ïðèíèìàåò îäíî ëèöî, ñòîÿùåå íà âûñøåì óðîâíå èåðàðõèè. Îò÷àñòè
ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ âîçíèêëè â ïåðèîä
öåíòðàëèçîâàííîãî óïðàâëåíèÿ.  ïîñëåäíåå âðåìÿ â óñëîâèÿõ ðûíî÷íîé
ýêîíîìèêè áîëåå àêòóàëüíûìè ñòàíîâÿòñÿ ñèòóàöèè, êîãäà íåñêîëüêî ëèö
íà ðàçíûõ óðîâíÿõ èåðàðõèè ó÷àñòâóþò â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Â
òàêèõ ìîäåëÿõ ó÷àñòíèêè ïðîöåññà èìåþò ñîáñòâåííûå öåëè è ïðåäïî÷òåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðîòèâîïîëîæíûìè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âîçíèêàþò
êîíôëèêòíûå ñèòóàöèè. Ïðîöåññ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â òàêèõ ñèñòåìàõ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïåðâûì ïðèíèìàåò ðåøåíèå âåðõíèé óðîâåíü
èåðàðõèè. Ýòî ðåøåíèå ïåðåäà¼òñÿ íèæåñòîÿùèì è óæå íå ìåíÿåòñÿ. Êàæäûé óðîâåíü èåðàðõèè, ïîëó÷èâ ðåøåíèå âûøåñòîÿùèõ óðîâíåé, ïðèíèìàåò ñâî¼ ðåøåíèå. Îí ïðåñëåäóåò ñâîè öåëè è èñïîëüçóåò èìåþùèåñÿ ó íåãî
âîçìîæíîñòè è ðåñóðñû. Ðåçóëüòàò äåÿòåëüíîñòè èåðàðõè÷åñêîé ñèñòåìû
â öåëîì çàâèñèò îò ðàáîòû âñåõ óðîâíåé èåðàðõèè. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì,
÷òîáû íàéòè òàêîå ðåøåíèå âåðõíåãî óðîâíÿ, êîòîðîå ïðèâîäèò ñèñòåìó ê
äîñòèæåíèþ ãëîáàëüíîé öåëè.
Åñëè âåðõíèé óðîâåíü ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ïîâåäåíèå íèæåñòîÿùèõ
óðîâíåé, òî ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé óïðîùàåòñÿ. Â
ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàþò êëàññè÷åñêèå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, â êîòîðûõ îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé çàäàåòñÿ íàáîðîì ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ. Åñëè æå âåðõíèé óðîâåíü ìîæåò òîëüêî âëèÿòü íà
ðàáîòó íèæíèõ óðîâíåé, òî âîçíèêàåò íîâûé êëàññ çàäà÷. Îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé â äàííîì ñëó÷àå çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ
(âíóòðåííèõ) çàäà÷, ìîäåëèðóþùèõ ïîâåäåíèå íèæíèõ óðîâíåé èåðàðõèè.
Ðåøåíèÿ âûøåñòîÿùèõ îðãàíîâ âûñòóïàþò â ýòèõ çàäà÷àõ â êà÷åñòâå îãðàíè÷åíèé.
Çàäà÷è, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî äâà óðîâíÿ èåðàðõèè, íàçûâàþòñÿ çàäà÷àìè äâóõóðîâíåâîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Âïåðâûå òàêèå çàäà÷è â èãðîâîé ïîñòàíîâêå ðàññìàòðèâàëèñü â [70].  Ðîññèè íàä ýòèìè çàäà÷àìè ðàáîòàëè Þ.Ãåðìåéåð è åãî ó÷åíèêè [4]. Îáçîð ñîâðåìåííîãî ñîñòîÿíèÿ â îáëàñòè äâóõóðîâíåâîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð,
â [24, 73].
7
 äèññåðòàöèè ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè
êëèåíòîâ (ÌÏÊ).  ýòîé çàäà÷å èìåþòñÿ äâà óðîâíÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
Îíè íåðàâíîïðàâíû. Ñíà÷àëà íà âåðõíåì óðîâíå ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå îá
îòêðûòèè p ïðåäïðèÿòèé. Çàòåì íà íèæíåì óðîâíå, çíàÿ ìåñòà ðàñïîëîæåíèÿ ýòèõ ïðåäïðèÿòèé, êëèåíòû ñàìîñòîÿòåëüíî âûáèðàþò ïîñòàâùèêîâ,
ðóêîâîäñòâóÿñü ñîáñòâåííûìè ïðåäïî÷òåíèÿìè. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòü íà âåðõíåì óðîâíå îòêðûâàåìûå ïðåäïðèÿòèÿ è îáñëóæèòü
âñåõ êëèåíòîâ ñ ìèíèìàëüíûìè ñóììàðíûìè çàòðàòàìè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ïîñòàâùèêîâ âûáèðàþò íå íà âåðõíåì, à íà íèæíåì
óðîâíå. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ íà íèæíåì óðîâíå ñîâïàäàþò ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè íà âåðõíåì óðîâíå, òî ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó î p-ìåäèàíå.
Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ÌÏÊ ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé â ñèëüíîì ñìûñëå è íå
ïðèíàäëåæèò êëàññó APX [13].
Âïåðâûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ ðàññìàòðèâàëèñü Ï. Õàíæîóëåì è Ä. Ïåòåðñîì [42]. Ïîçæå àíàëîãè÷íûå ìîäåëè íåçàâèñèìî áûëè ïîñòðîåíû Â.Ò. Äåìåíòüåâûì, Þ.Â. Øàìàðäèíûì è Ë.Å. Ãîðáà÷åâñêîé [6, 7, 8].  [6] äîêàçàíî, ÷òî åñëè ìàòðèöà òðàíñïîðòíûõ çàòðàò â
öåëåâîé ôóíêöèè íà âåðõíåì óðîâíå è ìàòðèöà ïðåäïî÷òåíèé êëèåíòîâ íà
íèæíåì óðîâíå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñâÿçíîñòè, òî òàêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ
ýôôåêòèâíî. Åñëè æå ìàòðèöà ïðåäïî÷òåíèé ÿâëÿåòñÿ êâàçèâûïóêëîé, òî
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å î "áëèæàéøåì ñîñåäå" ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì
òî÷åê â îïòèìàëüíîì ðåøåíèè.  [8] èññëåäîâàëàñü áîëåå îáùàÿ çàäà÷à áåç
îãðàíè÷åíèÿ íà ÷èñëî îòêðûâàåìûõ ïðåäïðèÿòèé ñ ócëîâèåì åäèíñòâåííîñòè îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà.  [2] ïðèâîäèòñÿ ñâåäåíèå
îáùåãî ñëó÷àÿ çàäà÷è ÌÏÊ áåç îãðàíè÷åíèÿ íà ÷èñëî îòêðûâàåìûõ ïðåäïðèÿòèé ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìîâ îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ. Ýòî
ñâåäåíèå ïîçâîëÿåò âûÿâèòü ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ
çàäà÷è. Âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ ïîëèíîìèàëüíûõ ïðèáëèæåííûõ àëãîðèòìîâ ñ
ãàðàíòèðîâàííûìè îöåíêàìè òî÷íîñòè äëÿ ìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ÌÏÊ îñòà¼òñÿ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü îòêðûòûì.
Êàê îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î p-ìåäèàíå çàäà÷à ÌÏÊ îòíîñèòñÿ ê êëàññó NP-òðóäíûõ çàäà÷ â ñèëüíîì ñìûñëå. Ïîýòîìó äëÿ å¼ ðåøåíèÿ
÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ýâðèñòè÷åñêèå àëãîðèòìû. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íàèáîëåå óñïåøíûìè ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ÿâëÿþò8
ñÿ èòåðàöèîííûå ìåòîäû ëîêàëüíîãî ïîèñêà. Ê íèì ìîæíî îòíåñòè ïîèñê
ñ çàïðåòàìè [36, 37, 38, 64], ïîèñê ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ îêðåñòíîñòÿìè [44],
ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû [39], àëãîðèòìû èìèòàöèè îòæèãà [20, 50] è äðóãèå ìåòàýâðèñòèêè [51, 33, 63, 65]. Ìíîãèå èç íèõ èñïîëüçóþò ñòàíäàðòíóþ
ïðîöåäóðó ëîêàëüíîãî ñïóñêà. Ýòî ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
îò òåêóùåãî ê ñîñåäíåìó ðåøåíèþ ñ ëó÷øèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè.
Ïðîöåññ îñòàíàâëèâàåòñÿ, êîãäà äîñòèãíóò ëîêàëüíûé îïòèìóì, òî åñòü ðåøåíèå, êîòîðîå íå èìååò ñîñåäíåãî ðåøåíèÿ ñ ëó÷øèì çíà÷åíèåì öåëåâîé
ôóíêöèè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ çàäàíî ìíîæåñòâî
ñîñåäíèõ ðåøåíèé èëè îêðåñòíîñòü. Çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ëîêàëüíîãî îïòèìóìà äëÿ çàäàííîé îêðåñòíîñòè íàçûâàþò çàäà÷åé ëîêàëüíîãî ïîèñêà.
Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èíòåðåñíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ èçó÷åíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîãî ïîèñêà, àíàëèç ïîâåäåíèÿ
àëãîðèòìà â ñðåäíåì è õóäøåì ñëó÷àÿõ. Ýìïèðè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ìíîãèõ NP-òðóäíûõ çàäà÷ [33, 36, 46, 63, 67] ëîêàëüíûé ïîèñê
ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ áëèçêèå ïî çíà÷åíèþ öåëåâîé
ôóíêöèè ê ãëîáàëüíîìó îïòèìóìó. Ïðè÷¼ì òðóäîåìêîñòü â ñðåäíåì ÷àñòî
îêàçûâàåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîé. Îäíàêî äëÿ öåëîãî ðÿäà îêðåñòíîñòåé è ïðè
ëþáîì âûáîðå íàïðàâëåíèÿ ñïóñêà ÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà â õóäøåì ñëó÷àå, íàïðèìåð, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î p-ìåäèàíå, íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî
ñâåðõó ïîëèíîìîì îò äëèíû çàïèñè èñõîäíûõ äàííûõ [13]. Äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè çàäà÷ ëîêàëüíîãî ïîèñêà èñïîëüçóåòñÿ ñïåöèàëüíûé êëàññ PLS (ñîêðàùåíèå îò polynomial-time local search
problems). Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýòîò êëàññ ñîäåðæèò òå çàäà÷è,
â êîòîðûõ ëîêàëüíàÿ îïòèìàëüíîñòü ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ: äëÿ çàäàííîãî ðåøåíèÿ òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè
îíî ëîêàëüíûì îïòèìóìîì, è åñëè íåò, òî íàéòè ñîñåäíåå ðåøåíèå ñ ëó÷øèì
çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùóþ îêðåñòíîñòü
íàçûâàþò ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìîé. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî NP6=coNP, òî â êëàññå PLS íåò NP-òðóäíûõ çàäà÷ [68, 75]. Äðóãèìè ñëîâàìè, íå
ñóùåñòâóåò NP-ïîëíûõ çàäà÷, êîòîðûå çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ñâîäèëèñü
áû ê êàêîé-íèáóäü çàäà÷å ëîêàëüíîãî ïîèñêà èç êëàññà PLS. Ýòî óòâåðæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîðåå âñåãî êëàññ PLS íå ñîäåðæèò NP-òðóäíûõ çàäà÷.
Ïîýòîìó çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà íå òàê ñëîæíû, êàê NP-òðóäíûå, ÷òî,
9
â ÷àñòíîñòè, ïîäòâåðæäàþò è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ. Íàõîæäåíèå ëîêàëüíîãî îïòèìóìà äëÿ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìîé îêðåñòíîñòè íå
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñëîæíûì äåëîì íà ïðàêòèêå. Â êëàññå PLS, êàê è â êëàññå
NP, óäàëîñü âûäåëèòü íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è, PLS-ïîëíûå çàäà÷è, äëÿ
êîòîðûõ äîêàçàí àíàëîã òåîðåìû Êóêà [47]. Åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ õîòÿ áû îäíîé PLS-ïîëíîé çàäà÷è, òî âñå çàäà÷è
èç êëàññà PLS ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìû. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî
íè îäíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ðåøåíèÿ PLS-ïîëíûõ çàäà÷. Ïîñòðîåíèå òàêîãî àëãîðèòìà áûëî áû ñåíñàöèåé. Âñå çàäà÷è èç êëàññà PLS
îêàçàëèñü áû ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûìè. Êàê ïèøóò ß.Ê. Ëåíñòðà è Ò.
Âðåäåâåëüä [74] "..ñêîðåå âñåãî ýòî íå òàê, ïîòîìó ÷òî ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî
àëãîðèòìà ïîòðåáîâàëî áû ðàçðàáîòêè äîñòàòî÷íî îáùåãî ïîäõîäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ, íå ìåíåå îáùåãî, ÷åì ìåòîä ýëëèïñîèäîâ,
òàê êàê çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ ñèìïëåêñíîé îêðåñòíîñòüþ
ïðèíàäëåæèò êëàññó PLS".
Àíàëîãèÿ ñ ëèíåéíûì ïðîãðàììèðîâàíèåì çäåñü âåñüìà óìåñòíà è ìîæåò áûòü äàæå ãëóáæå, ÷åì êàæåòñÿ. Ðîæäåíèå ñèìïëåêñ ìåòîäà òîëêíóëî âïåð¼ä ðàçðàáîòêó ìåòîäîâ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ñåãîäíÿ ýòî
îäèí èç ñàìûõ ìîùíûõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ â ïðèëîæåíèÿõ. Îí íå ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíûì ïðè îöåíêå ïîâåäåíèÿ â õóäøåì ñëó÷àå, íî â ñðåäíåì
îí ðàáîòàåò î÷åíü ýôôåêòèâíî [14, 16, 62]. Àíàëîãè÷íóþ êàðòèíó ìîæíî
íàáëþäàòü è ñ àëãîðèòìàìè ëîêàëüíîãî ñïóñêà. Óñòàíîâëåíî [75, 13], ÷òî
â õóäøåì ñëó÷àå äëÿ ðÿäà PLS-ïîëíûõ çàäà÷ àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà òðåáóåò ýêñïîíåíöèàëüíîãî ÷èñëà èòåðàöèé, íî â ñðåäíåì åãî ïîâåäåíèå
ïîëèíîìèàëüíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáúÿñíÿåò èíòåðåñ ê òàêèì àëãîðèòìàì, èññëåäîâàíèå èõ âîçìîæíîñòåé è ìîäèôèêàöèé, à òàêæå ïðèìåíåíèå
â áîëåå ñëîæíûõ ñõåìàõ ìåòàýâðèñòèê. Èìåííî ýòè âîïðîñû ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè â äèññåðòàöèè è èññëåäóþòñÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è ÌÏÊ.
Èçëîæèì êðàòêî ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû. Îíà ñîñòîèò èç
ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðàáîòà ïîñâÿùåíà àëãîðèòìàì ëîêàëüíîãî ïîèñêà äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ.  ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è â âèäå çàäà÷è äâóõóðîâíåâîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è îïèñûâàþòñÿ åå ñâîéñòâà. Ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèå çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà è
10
ñõåìà ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà. Ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå
íà òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà è âðåìÿ åãî ðàáîòû îêàçûâàåò ïðàâèëî âûáîðà
íàïðàâëåíèÿ ñïóñêà èëè ïðàâèëî çàìåùåíèÿ.  îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ ÷àñòî
èìååòñÿ íåñêîëüêî ýëåìåíòîâ äëÿ âîçìîæíîãî íàïðàâëåíèÿ ñïóñêà. Èíòóèòèâíî êàæåòñÿ, ÷òî íàäî âûáèðàòü ýëåìåíò ñ íàèëó÷øèì çíà÷åíèåì öåëåâîé
ôóíêöèè, íî êàê ïîêàçûâàþò âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû òàêîé âûáîð
íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì. Â ñâÿçè ñ ýòèì â ðàáîòå èññëåäîâàëîñü ïÿòü
èçâåñòíûõ ïðàâèë çàìåùåíèÿ è ïðåäëîæåíî íîâîå ïðàâèëî çàìåùåíèÿ, êîòîðîå ïðèâîäèò ê ëîêàëüíûì îïòèìóìàì ñ ìàëîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Îáñóæäàþòñÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé äëÿ
ñðàâíåíèÿ ïðàâèë çàìåùåíèÿ ïî òî÷íîñòè è ÷èñëó èòåðàöèé ïðè ïîëó÷åíèè
ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà ëàíäøàôòà çàäà÷è è âçàèìíîå
ðàñïîëîæåíèå ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ëàíäøàôòîì íàçûâàþò âçâåøåííûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô G = (V, E), âåðøèíû êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâóþò äîïóñòèìûì ðåøåíèÿì çàäà÷è. Äóãà (v1 , v2 ), v1 , v2 ∈ V ïðèíàäëåæèò E , åñëè äîïóñòèìîå ðåøåíèå äëÿ v2 ÿâëÿåòñÿ ñîñåäíèì ðåøåíèåì
äëÿ v1 . Âåñà â ýòîì ãðàôå ïðèïèñàíû âåðøèíàì è ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèÿì öåëåâîé ôóíêöèè. Èçó÷åíèå ëàíäøàôòîâ ïîçâîëÿåò ïðåäñêàçûâàòü ïîâåäåíèå ìåòîäîâ ëîêàëüíîãî ïîèñêà è, â ÷àñòíîñòè, îòâå÷àòü
íà ñëåäóþùèå âîïðîñû. Êàê áûñòðî ìîæíî ïåðåéòè îò îäíîãî ëîêàëüíîãî
îïòèìóìà ê äðóãîìó? Êàê ìíîãî øàãîâ ñ óõóäøåíèåì íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû àëãîðèòìîì ëîêàëüíîãî ñïóñêà ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü äðóãîé (ëó÷øèé)
ëîêàëüíûé îïòèìóì? Ïðàâäà ëè, ÷òî èç "ïëîõîãî" ëîêàëüíîãî îïòèìóìà
ëåãêî íàéòè ïóòü ê "õîðîøåìó"? Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ ïðèâåä¼ííûå
â ïåðâîé ãëàâå, ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ëàíäøàôò óñòðîåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî
ñòîèò ñäåëàòü îäèí øàã ñ óõóäøåíèåì äàæå èç õîðîøåãî ëîêàëüíîãî îïòèìóìà (ïîãðåøíîñòü îêîëî 5%) è ìîæíî ïîëó÷èòü ëó÷øèé ëîêàëüíûé
îïòèìóì, ïðè÷¼ì äîñòàòî÷íî äàëåêî îò èñõîäíîãî. Èñïîëüçîâàíèå áîëüøèõ
îêðåñòíîñòåé, òèïà îêðåñòíîñòè Ëèíà-Êåðíèãàíà, òàêæå äîëæíî áûòü ýôôåêòèâíî è óëó÷øàòü êà÷åñòâî ðåøåíèé äëÿ òàêèõ ìåòàýâðèñòèê, êàê ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû, ïîèñê ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ îêðåñòíîñòÿìè, àëãîðèòìû
ìóðàâüèíûõ êîëîíèé è äð. [33, 63].
Âî âòîðîé ãëàâå ïðîâîäèòñÿ òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîãî ïîèñêà â õóäøåì ñëó÷àå. Ïîêàçàíà PLS-ïîëíîòà
11
çàäà÷è ÌÏÊ ñ ðÿäîì ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûõ îêðåñòíîñòåé. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàõîæäåíèå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ÿâëÿåòñÿ PSPACE-ïîëíîé çàäà÷åé. Ïðèâîäèòñÿ ñâåäåíèå çàäà÷è ÌÏÊ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà
îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ. Âïåðâûå òàêîå ñâåäåíèå áûëî ïðåäëîæåíî Â.Ë.
Áåðåñíåâûì äëÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ [1]. Àíàëîãè÷íîå ñâåäåíèå
äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ ïîëó÷åíî Ë. Ãîðáà÷åâñêîé [6]. Ýòî ñâåäåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ôîðìóëèðîâêè óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè Êóíà-Òàêêåðà, à òàêæå äëÿ
ñâÿçè ëîêàëüíî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ñ ëîêàëüíûìè ñåäëîâûìè òî÷êàìè
ôóíêöèè Ëàãðàíæà. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàõîæäåíèå ëîêàëüíûõ ñåäëîâûõ òî÷åê ôóíêöèè Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ñòîëü æå ñëîæíîé çàäà÷åé, ÷òî è íàõîæäåíèå ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ.
 òðåòüåé ãëàâå äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèæíèõ îöåíîê îïòèìóìà ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè èçâåñòíûõ ñâåäåíèÿ çàäà÷è ÌÏÊ ê çàäà÷àì öåëî÷èñëåííîãî
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ÖËÏ) [6]. Ïðåäëàãàåòñÿ íîâîå ñâåäåíèå, êîòîðîå äîìèíèðóåò îñòàëüíûå ïî çíà÷åíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè. Èçâåñòíî [8], ÷òî äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ ìîæíî ïîñòðîèòü ñâåäåíèå
ê çàäà÷å ñ ïàðîé ìàòðèö ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà ÷èñëî âûáèðàåìûõ ñòðîê. Ýòà çàäà÷à òàêæå ìîæåò áûòü çàïèñàíà â òåðìèíàõ ÖËÏ.
Îäíàêî, òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íå åäèíñòâåííîå.  äàííîé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ äâà òàêèõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Îäíî èç íèõ ïîçâîëÿåò íàõîäèòü íîâóþ íèæíþþ îöåíêó, êîòîðàÿ íå õóæå ïðåäøåñòâóþùèõ è ìîæåò îêàçàòüñÿ â ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ðàç ëó÷øå èõ. Îäèí èç ðàçäåëîâ òðåòüåé ãëàâû ïîñâÿùåí
ãåíåòè÷åñêèì àëãîðèòìàì è èññëåäîâàíèþ âëèÿíèÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ
àëãîðèòìà íà êà÷åñòâî ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà îäíîì èç ñëîæíûõ êëàññîâ òåñòîâûõ ïðèìåðîâ
èç ýëåêòðîííîé áèáëèîòåêè "Äèñêðåòíûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ". Ïðîâîäèòñÿ ñðàâíåíèå ïîñòðîåííûõ íèæíèõ îöåíîê, íèæíåé îöåíêè ïîëó÷àåìîé ðåøåíèåì êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î p-ìåäèàíå è âåðõíèõ îöåíîê, ïîëó÷åííûõ
ðàçðàáîòàííûì ãåíåòè÷åñêèì àëãîðèòìîì. Âåëè÷èíà ðàçðûâà ìåæäó âåðõíèìè è íèæíèìè îöåíêàìè îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òî îñòàâëÿåò
ïîëå äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ:
âåðõíèå èëè íèæíèå îöåíêè ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ ýòîãî ðàçðûâà èëè îí
îáóñëîâëåí ïðèðîäîé ñàìîé çàäà÷è?
 ÷åòâ¼ðòîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ
12
ðåøåíèé (ÑÏÏÐ), ðàçðàáîòàííîé â õîäå âûïîëíåíèÿ â Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ ïðèêëàäíîé ÍÈÐ ïî çàêàçó îäíîé èç êðóïíûõ êîìïàíèé, âûïóñêàþùèõ ìàøèíû äëÿ ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà. Èíòåëëåêòóàëüíûì ÿäðîì ÑÏÏÐ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõóðîâíåâîãî
öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òåñíî ñâÿçàííàÿ ñ çàäà÷åé ÌÏÊ. Èñïîëüçîâàíèå ðàçðàáîòàííîé ÑÏÏÐ ïîçâîëèëî ñîêðàòèòü íîìåíêëàòóðó âûïóñêàåìûõ ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí è óâåëè÷èòü ïðèáûëü êîìïàíèè.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû è äîêëàäûâàëèñü íà ìåæäóíàðîäíîì ñèìïîçèóìå ïî èññëåäîâàíèþ îïåðàöèé "SYM-OP-IS-2003" (ã. ÃåðöåãÍîâè, ×åðíîãîðèÿ, 2003), íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè "Äèñêðåòíûé
àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé"(ã. Íîâîñèáèðñê, 2004), íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ïî èññëåäîâàíèþ îïåðàöèé (ã. Òèëáóðã, Ãîëëàíäèÿ, 2004),
íà 13-ì ìåæäóíàðîäíîé áàéêàëüñêîé øêîëå-ñåìèíàðå (ã. Ñåâåðîáàéêàëüñê,
2005), íà II, III âñåðîññèéñêèõ êîíôåðåíöèÿõ "Ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè è
ýêîíîìè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ"(ã. Îìñê 2003, 2006), íà 18-é ìèíè-åâðî êîíôåðåíöèè ïî àëãîðèòìàì ëîêàëüíîãî ïîèñêà ñ ïåðåìåííûìè îêðåñòíîñòÿìè (ã. Ïóýðòî-äå-ëÿ-Êðóç, Èñïàíèÿ, 2005), íà øêîëà-ñåìèíàðå "Ïðîáëåìû
îïòèìèçàöèè ñëîæíûõ ñèñòåì"(ã. Íîâîñèáèðñê, 2005, 2006), íà íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ â Èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ.
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü ñâîèì ðîäèòåëÿì Òàòüÿíå
Þðüåâíå è Âÿ÷åñëàâó Èâàíîâè÷ó Àëåêñååâûì, à òàêæå Ãàëèíå Ïàâëîâíå
è Þðèþ Èâàíîâè÷ó Çàõàðåâè÷ çà èõ òåðïåíèå, ìîðàëüíóþ ïîääåðæêó. Àâòîð âûðàæàåò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëÿì Áåðåñíåâó Â.Ë. è Êî÷åòîâó Þ.À., Ïëÿñóíîâó À.Â. çà ïðåäëîæåííóþ òåìó ðàáîòû,
ïîìîùü â ïîëó÷åíèè ðåçóëüòàòîâ è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå íà ïðîòÿæåíèè
âñåãî âðåìåíè ðàáîòû íàä äèññåðòàöèåé. Áëàãîäàðíîñòü âñåì ñîòðóäíèêàì
ëàáîðàòîðèè "ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé". Ôîêèíó Ì.Â. çà
ïîñòàíîâêó èíòåðåñíîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è. Àâãóñòèíîâè÷ó Ñ.Â. çà öåííûå
èäåè è çàìå÷àíèÿ. À òàêæå êîëëåãàì èç èðêóòñêîãî èíñòèòóòà äèíàìèêè
ñèñòåì è òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÑÎ ÐÀÍ çà ïðåäîñòàâëåííûå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ.
13
Ãëàâà 1
Çàäà÷à î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè
êëèåíòîâ
 êëàññè÷åñêîé çàäà÷å î p-ìåäèàíå [54] çàäàíû ìíîæåñòâî êëèåíòîâ, ìíîæåñòâî ïðåäïðèÿòèé è ìàòðèöà ïðîèçâîäñòâåííî-òðàíñïîðòíûõ çàòðàò íà
îáñëóæèâàíèå êëèåíòîâ èç ýòèõ ïðåäïðèÿòèé. Òðåáóåòñÿ âûáðàòü ðîâíî p
ïðåäïðèÿòèé òàê, ÷òîáû ñóììàðíûå çàòðàòû íà îáñëóæèâàíèå êëèåíòîâ
áûëè áû ìèíèìàëüíûìè. Íåÿâíî â çàäà÷å ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êëèåíòû ñîãëàñíû ñ ëþáûì âûáîðîì ïîñòàâùèêîâ è èõ ìíåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ñîäåðæàòåëüíî áîëåå èíòåðåñíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â ñëó÷àå, êîãäà ýòî
íå òàê, è ìíåíèÿ êëèåíòîâ ñëåäóåò ÿâíûì îáðàçîì ó÷èòûâàòü â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè.
 çàäà÷å î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ (ÌÏÊ) èìåþòñÿ äâà
óðîâíÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Îíè íåðàâíîïðàâíû. Ñíà÷àëà íà âåðõíåì óðîâíå
ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå îá îòêðûòèè p ïðåäïðèÿòèé. Çàòåì íà íèæíåì óðîâíå,
çíàÿ ìåñòà ðàñïîëîæåíèÿ ýòèõ ïðåäïðèÿòèé, êëèåíòû ñàìîñòîÿòåëüíî âûáèðàþò ïîñòàâùèêîâ, ðóêîâîäñòâóÿñü ñîáñòâåííûìè ïðåäïî÷òåíèÿìè. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòü íà âåðõíåì óðîâíå îòêðûâàåìûå ïðåäïðèÿòèÿ è îáñëóæèòü âñåõ êëèåíòîâ ñ ìèíèìàëüíûìè ñóììàðíûìè çàòðàòàìè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ïîñòàâùèêîâ âûáèðàþò íå íà
âåðõíåì, à íà íèæíåì óðîâíå. Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ íà íèæíåì óðîâíå ñîâïàäàþò ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè íà âåðõíåì óðîâíå, òî ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêóþ
çàäà÷ó î p-ìåäèàíå [58, 59, 65]. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ÌÏÊ ÿâëÿåòñÿ NPòðóäíîé â ñèëüíîì ñìûñëå è íå ïðèíàäëåæèò êëàññó APX [13].
14
1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è åå ñâîéñòâà
Ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
I = {1, . . . , m} ìíîæåñòâî ïðåäïðèÿòèé;
J = {1, . . . , n} ìíîæåñòâî êëèåíòîâ;
cij ≥ 0, i ∈ I, j ∈ J , òðàíñïîðòíûå çàòðàòû i-ãî ïðåäïðèÿòèÿ ïðè îáñëóæèâàíèè j -ãî êëèåíòà;
gij ≥ 0, öåëûå, i ∈ I, j ∈ J, ïðåäïî÷òåíèÿ j -ãî êëèåíòà ïî îòíîøåíèþ
ê i-ìó ïðåäïðèÿòèþ, åñëè gi1 j < gi2 j , òî j -é êëèåíò èç ïðåäïðèÿòèé i1 , i2
âûáåðåò ïðåäïðèÿòèå i1 .
Ïåðåìåííûå
çàäà÷è y = (yi ), X = (xij ):
(
1, åñëè îòêðûâàåòñÿ i-å ïðåäïðèÿòèå;
0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå;
(
1, åñëè j -é êëèåíò îáñëóæèâàåòñÿ i-ì ïðåäïðèÿòèåì;
xij =
0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåä¼ííûõ îáîçíà÷åíèé çàäà÷à ÌÏÊ ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå ñëåäóþùåé çàäà÷è äâóõóðîâíåâîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [8]:
íàéòè
XX
min
cij x∗ij (y)
(1.1)
∗
yi =
X ,y
i∈I j∈J
X
yi = p,
(1.2)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I,
(1.3)
ãäå X ∗ = (x∗ij (y)) îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è êëèåíòîâ:
min
X
X
XX
gij xij
(1.4)
i∈I j∈J
xij = 1, j ∈ J,
(1.5)
i∈I
xij ≤ yi , i ∈ I, j ∈ J,
(1.6)
xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J.
(1.7)
PP
Âåëè÷èíà F (y, X ∗ ) =
cij x∗ij (y) èìååò ñìûñë ñóììàðíûõ òðàíñïîðòi∈I j∈J
íûõ ðàñõîäîâ, êîòîðûå íóæíî ìèíèìèçèðîâàòü âûáîðîì íàáîðà èç p ïðåä15
ïðèÿòèé. Ýòîò íàáîð îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì y = (yi ). Âíóòðåííÿÿ ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå êëèåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ âûáèðàåò ñåáå íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíîå îòêðûòîå ïðåäïðèÿòèå. Ýòîò âûáîð ïðåäñòàâëÿåò ìàòðèöà X = (xij ). Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé y
âåðõíåãî óðîâíÿ, îãðàíè÷åíèÿ íà íèæíåì óðîâíå îïðåäåëÿþò äîïóñòèìîå
ìíîæåñòâî çàäà÷è êëèåíòîâ
L(y) = {X|
X
xij = 1, ∀j ∈ J, xij ≤ yi , xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J}.
i∈I
 ðàáîòå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûáîð êëèåíòîâ ïðè êàæäîì íàáîðå y ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì.  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé çàäà÷è
PP
íèæíåãî óðîâíÿ Lopt (y) = argmin{
gij xij |X ∈ L(y)} ñîñòîèò èç îäíîi∈I j∈J
ãî ýëåìåíòà. ×òîáû ãàðàíòèðîâàòü ýòî óñëîâèå äîñòàòî÷íî ïðåäïîëàãàòü,
íàïðèìåð, ÷òî gij 6= gkj äëÿ âñåõ i, k ∈ I , i 6= k è j ∈ J . Òîãäà ôóíêöèþ
F (y, X ∗ ) ìîæíî çàìåíèòü íà F (y) = min F (y, X) è çàäà÷ó (1.1)(1.7)
X∈Lopt (y)
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: íàéòè
min F (y)
y
X
yi = p
(1.8)
(1.9)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I.
(1.10)
 ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íåêîòîðûå çàäà÷è ñ íåîäíîçíà÷íûì âûáîðîì êëèåíòîâ ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê çàäà÷å ñ óñëîâèåì îäíîçíà÷íîñòè.
1.2 Çàäà÷à ÌÏÊ â óñëîâèÿõ íåîäíîçíà÷íîñòè âûáîðà
êëèåíòîâ
Áîëåå îáùåé ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà â çàäà÷å (1.4)(1.7) ìîæåò áûòü
íåñêîëüêî îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé.  ýòîì ñëó÷àå âûáîð êëèåíòîâ ñòàíîâèòñÿ íåîäíîçíà÷íûì. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ: I(y) = {i ∈
I|yi = 1} ìíîæåñòâî íîìåðîâ îòêðûòûõ ïðåäïðèÿòèé. Äëÿ êàæäîãî j ∈ J
îïðåäåëèì Ij (y) = {i ∈ I(y)|gij = min gkj } ìíîæåñòâî îòêðûòûõ ïðåäk∈I(y)
ïðèÿòèé îäèíàêîâûõ, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäïî÷òåíèé j -ãî êëèåíòà. Ïóñòü
16
ôóíêöèÿ H(Ij (y)) îïðåäåëÿåò âûáîð j -ûì êëèåíòîì ïðåäïðèÿòèÿ èç ìíîæåñòâà Ij (y). Òîãäà â îáùåì âèäå çàäà÷à ÌÏÊ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè
FH = min
y
X
X
cH(Ij (y))j
(1.11)
j∈J
yi = p,
(1.12)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I.
(1.13)
Èíîãäà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè êëèåíòîâ èçâåñòíà è
ôóíêöèÿ H îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, ñðåäè îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé êëèåíòû âûáèðàþò ðåøåíèå, êîòîðîå äîñòàâëÿåò íàèìåíüøèå ñóììàðíûå òðàíñïîðòíûå çàòðàòû äëÿ ïîñòàâùèêîâ. Òàêèì îáðàçîì, êëèåíòû ñîòðóäíè÷àþò ñ ïîñòàâùèêàìè, ó÷èòûâàÿ èõ èíòåðåñû. Òàêóþ ïîñòàíîâêó
çàäà÷è â ëèòåðàòóðå íàçûâàþò êîîïåðàòèâíîé [73, 34]. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êîîïåðàòèâíîé ïîñòàíîâêè çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè
Fmin = min
y
X
X
j∈J
min cij
i∈Ij (y)
yi = p,
(1.14)
(1.15)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I.
(1.16)
Äðóãèì âàðèàíòîì ïîâåäåíèÿ êëèåíòîâ ìîæåò áûòü ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè
îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé îíè âûáèðàþò ðåøåíèå, êîòîðîå äîñòàâëÿåò ïîñòàâùèêàì íàèáîëüøèå ñóììàðíûå òðàíñïîðòíûå çàòðàòû. Òàêóþ ïîñòàíîâêó
íàçûâàþò àíòèêîîïåðàòèâíîé [73, 34]. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü àíòèêîîïåðàòèâíîé ïîñòàíîâêè çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè
Fmax = min
y
X
X
j∈J
max cij
i∈Ij (y)
yi = p,
(1.17)
(1.18)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I.
(1.19)
Ïîêàæåì, ÷òî êîîïåðàòèâíàÿ è àíòèêîîïåðàòèâíàÿ çàäà÷è ñâîäÿòñÿ ê
çàäà÷å ÌÏÊ ñ ócëîâèåì åäèíñòâåííîñòè îïòèìàëüíîãî âûáîðà êëèåíòîâ,
ò. å. ê çàäà÷å (1.8)(1.10).
17
Ëåììà 1 Çàäà÷à ÌÏÊ â êîîïåðàòèâíîé ïîñòàíîâêå (1.14)(1.16) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ÌÏÊ ñ ócëîâèåì åäèíñòâåííîñòè âûáîðà êëèåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñõîäíûìè äàííûìè êîîïåðàòèâíîé çàäà÷è (1.14)(1.16)
ÿâëÿþòñÿ: ìíîæåñòâà I, J , ìàòðèöû (cij ), (gij ) è ÷èñëî p. Ïîñòðîèì ïî ýòèì
äàííûì èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è (1.8)(1.10). Òî÷íåå, ïî ìàòðèöå (gij ) ïî0
ñòðîèì íîâóþ ìàòðèöó (gij
), â êàæäîì ñòîëáöå êîòîðîé áóäóò ðàçíûå ýëåìåíòû, îñòàëüíûå èñõîäíûå äàííûå îñòàíóòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Äëÿ êàæäîãî
ñòîëáöà j ∈ J ìàòðèöû (gij ) íà âñåõ ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà I îïðåäåëèì ïåðåñòàíîâêó π = (π1 , π2 , . . . , πm ) òàêóþ, ÷òî gπ1 j ≤ gπ2 j ≤ · · · ≤ gπm j , à
äëÿ ðàâíûõ ýëåìåíòîâ gπi j = gπi+1 j , îïðåäåëèì ïåðåñòàíîâêó π òàê, ÷òîáû
cπi j ≤ cπi+1 j . Ýëåìåíòû íîâîé ìàòðèöû (gij0 ) çàäàäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
gπ0 i j = i, äëÿ âñåõ i ∈ I, j ∈ J . Ïî ïîñòðîåíèþ ýëåìåíòû êàæäîãî ñòîëáöà
0
ìàòðèöû (gij
) ðàçëè÷íû. Èì ïðèñâîåíû çíà÷åíèÿ, ñîãëàñîâàííûå ñ ìàòðèöåé òðàíñïîðòíûõ çàòðàò (cij ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè êàæäîì íàáîðå y ìíîæåñòâî Lopt (y) ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, è ìàòðèöà âûáîðà X áóäåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòüñÿ ïî y . Îïòèìàëüíîå ðåøåíèå y ∗ â çàäà÷å (1.8)(1.10)
ñ èñõîäíûìè äàííûìè îïðåäåëåííûìè âûøå áóäåò îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì
0
è äëÿ çàäà÷è (1.14)(1.16) ïî ïîñòðîåíèþ ìàòðèöû (gij
). Ëåììà äîêàçàíà.
Àíàëîãè÷íîå ñâåäåíèå ìîæíî ïîñòðîèòü äëÿ àíòèêîîïåðàòèâíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è.
Ëåììà 2 Çàäà÷à ÌÏÊ â àíòèêîîïåðàòèâíîé ïîñòàíîâêå (1.17)(1.19)
ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ÌÏÊ ñ ócëîâèåì åäèíñòâåííîñòè âûáîðà êëèåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñ çàìåíîé â íåðàâåíñòâå
cπi j ≤ cπi+1 j çíàêà ” ≤ ” íà ” ≥ ”.
Åñëè æå î ïîâåäåíèè êëèåíòîâ çàðàíåå íè÷åãî íå èçâåñòíî, òî â ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî óêàçàòü èíòåðâàë, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè òàêîé çàäà÷è.
Ëåììà 3 Fmin ≤ FH ≤ Fmax .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàðàíåå íåèçâåñòíî êàêîå çíà÷åíèå èç ìíîæåñòâà Ij (y)
áóäåò âûáðàíî ôóíêöèåé H ïðè çàäàííîì âåêòîðå y , íî äëÿ âñåõ j ∈ J, i ∈
Ij ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
min cij ≤ cH(Ij (y))j ≤ max cij .
i∈Ij (y)
i∈Ij (y)
18
Ñëåäîâàòåëüíî,
X
j∈J
min cij ≤
i∈Ij (y)
X
cH(Ij (y))j ≤
j∈J
X
j∈J
max cij ,
i∈Ij (y)
ò. å. Fmin ≤ FH ≤ Fmax . Ëåììà äîêàçàíà.
Ó÷èòûâàÿ ïðèâåäåííûå âûøå ñâåäåíèÿ è îöåíêè, â îñòàëüíîé ÷àñòè ðàáîòû áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ çàäà÷à ÌÏÊ òîëüêî â ïîñòàíîâêå ñ ócëîâèåì
åäèíñòâåííîñòè âûáîðà êëèåíòîâ.
1.3 Àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà è
ïðàâèëà çàìåùåíèÿ
Èññëåäîâàíèå ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ èíòåðåñíî
òîëüêî äëÿ ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ èñõîäíûõ äàííûõ.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ
çàäà÷è ÌÏÊ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü íåïîëèíîìèàëüíûå àëãîðèòìû
è, â ÷àñòíîñòè, èòåðàöèîííûå àëãîðèòìû ëîêàëüíîãî ïîèñêà.
Îïðåäåëåíèå 1 [26]  îáùåì âèäå îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à OP îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì íàáîðîì îáúåêòîâ < I , Sol, f, goal >, ãäå
I ìíîæåñòâî âõîäîâ çàäà÷è OP ;
Sol ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ êàæäîìó âõîäó z ∈ I ñîïîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé Sol(z);
f ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ êàæäîìó äîïóñòèìîìó ðåøåíèþ s íà âõîäå z
çàäà¼ò âåñ f (s, z);
âåëè÷èíà goal ∈ {min, max} óòî÷íÿåò: ÿâëÿåòñÿ ëè çàäà÷à OP çàäà÷åé íà ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì.
 çàäà÷å OP íåîáõîäèìî íàéòè îïòèìàëüíîå ðåøåíèå äëÿ çàäàííîãî
âõîäà Π.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì âõîäîì z â çàäà÷å ÌÏÊ ÿâëÿþòñÿ
ìàòðèöû (cij ), (gij ), i ∈ I, j ∈ J è ÷èñëî p. Ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé Sol(z) ñîñòîèò èç ïàð (y, X ∗ (y)), óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå îãðàíè÷åíèé (1.2)(1.7).  êà÷åñòâå ôóíêöèè f âûñòóïàåò öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è
âåðõíåãî óðîâíÿ.
Îïðåäåëåíèå 2 [26] Çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà ýòî ïàðà L = (OP, N ),
ãäå OP îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à, à N ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ êàæäîìó
19
äîïóñòèìîìó ðåøåíèþ s íà âõîäå z ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî N (s, z) ⊆ Sol(z) ñîñåäíèõ ðåøåíèé. Ìíîæåñòâî N (s, z) íàçûâàþò
îêðåñòíîñòüþ ðåøåíèÿ s. Çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà äëÿ çàäàííîãî âõîäà z .
Ïóñòü z âõîä çàäà÷è ÌÏÊ, (y, X ∗ (y)) ∈ Sol(z).  ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäóþùèå îêðåñòíîñòè.
1. Îêðåñòíîñòü N1 (y, z) = {y 0 ∈ Sol(z))|d(y, y 0 ) = 2}, ãäå d ðàññòîÿíèå
Õýììèíãà. Îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò p(m − p) äîïóñòèìûõ ðåøåíèé, êîòîðûå
ïîëó÷àþòñÿ çàêðûòèåì îäíîãî ïðåäïðèÿòèÿ è îòêðûòèåì äðóãîãî.
2. Îêðåñòíîñòü NLK (y, z) (ñîêðàùåíèå îò Lin-Kernighan) [49, 51] ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû. Íà êàæäîì øàãå
ïðîñìàòðèâàþòñÿ âñå ïàðû ýëåìåíòîâ (i1 , i2 ) òàêèå, ÷òî yi1 = 0, yi2 = 1
è êàæäûé ýëåìåíò íå èñïîëüçîâàëñÿ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Çàòåì, ñðåäè
ïðîñìîòðåííûõ ïàð âûáèðàåòñÿ íàèëó÷øàÿ, ò. å. ïàðà, êîòîðàÿ ìàêñèìàëüíî óìåíüøàåò öåëåâóþ ôóíêöèþ çàäà÷è, ëèáî, åñëè òàêèõ íåò, ìèíèìàëüíûì îáðàçîì óâåëè÷èâàåò å¼. Åñëè òàêèõ ïàð íåñêîëüêî, òî âûáèðàåòñÿ
ëþáàÿ èç íèõ. Ïðîöåäóðà îñòàíàâëèâàåòñÿ ÷åðåç min{p, m − p} øàãîâ è
äàåò min{p, m − p} ñîñåäíèõ ðåøåíèé.
3. Îêðåñòíîñòü NLK1 (y, z) ñîñòîèò èç îäíîãî ïîäìíîæåñòâà, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ çà îäèí øàã ïðåäûäóùåé ïðîöåäóðû.
4. Îêðåñòíîñòü NF M (y, z) (ñîêðàùåíèå îò Fiduccia-Mattheyses) [35]. Ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî îêðåñòíîñòè NLK (y, z). Êàæäûé øàã ýòîé ïðîöåäóðû ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ. Íà ïåðâîì ýòàïå ïðîñìàòðèâàþòñÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà {i ∈ I|yi = 1}, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàíåå íå èñïîëüçîâàëñÿ, è
âûáèðàåòñÿ íàèëó÷øèé i1 . Çàòåì ïîëàãàåòñÿ yi1 = 0. Íà âòîðîì ýòàïå ñðåäè ýëåìåíòîâ {i ∈ I|yi = 0}, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàíåå íå èñïîëüçîâàëñÿ,
âûáèðàåòñÿ íàèëó÷øèé ýëåìåíò i2 è yi2 ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå. Íàèëó÷øèì ýëåìåíòîì i ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàåòñÿ òîò, äëÿ êîòîðîãî èçìåíåíèå
çíà÷åíèÿ yi íà ïðîòèâîïîëîæíîå ìàêñèìàëüíî óìåíüøàåò çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè, ëèáî, åñëè òàêèõ íåò, ìèíèìàëüíûì îáðàçîì óâåëè÷èâàåò
åãî. Åñëè íàèëó÷øèõ ýëåìåíòîâ íåñêîëüêî, òî âûáèðàåòñÿ ëþáîé èç íèõ.
Îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò min{p, |I| − p} äîïóñòèìûõ ðåøåíèé.
5. Îêðåñòíîñòü NF M1 (y, z). Ñîñåäíåå ïî ýòîé îêðåñòíîñòè ðåøåíèå ñòðîèòñÿ çà îäèí øàã ïðåäøåñòâóþùåé ïðîöåäóðû. Äàííàÿ îêðåñòíîñòü áûëà
20
ââåäåíà äëÿ çàäà÷è M ax − Graph P artitioning â [68] ïîä íàçâàíèåì F M Swap.
6. Îêðåñòíîñòü Nk (y, z) [74]. Âûáèðàåòñÿ íå áîëåå k ïàð (i1 , i2 ), òàêèõ ÷òî
yi1 = 1, yi2 = 0, íå ñîäåðæàùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, è äëÿ êàæäîé èç íèõ ïðîèçâîäèòñÿ çàìåíà. Ìîùíîñòü òàêîé îêðåñòíîñòè èìååò ïîðÿäîê O(pk (|I| −
p)k ), ãäå k êîíñòàíòà.
Âñå ïåðå÷èñëåííûå îêðåñòíîñòè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûìè.
Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ â ðàáîòå çàäà÷à íà ìèíèìóì, òî âñå îïðåäåëåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ äëÿ çàäà÷ ìèíèìèçàöèè, õîòÿ îíè ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû
è äëÿ çàäà÷ íà ìàêñèìóì.
Îïðåäåëåíèå 3 Äîïóñòèìîå ðåøåíèå (y ∗ , X ∗ ) äëÿ âõîäà z ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì â çàäà÷å (1.1)(1.7), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
1. Äëÿ ëþáîãî X ∈ Lopt (y ∗ ) F (y ∗ , X ∗ ) ≤ F (y ∗ , X);
2. Äëÿ ëþáîé ïàðû (y, X), ãäå (y, X) ∈ N ((y ∗ , X ∗ ), z), X ∈ Lopt (y)
F (y ∗ , X ∗ ) ≤ F (y, X).
Áëàãîäàðÿ ïðåäïîëîæåíèþ îá îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ íèæíåãî óðîâíÿ, ïðè êîòîðîì çàäà÷à (1.1)(1.7) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å (1.8)(1.10)
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíîå îïðåäåëåíèå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.
Îïðåäåëåíèå 4 Äîïóñòèìîå ðåøåíèå y ∗ äëÿ âõîäà z ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì â çàäà÷å (1.8)(1.10), åñëè F (y ∗ ) ≤ F (y) äëÿ ëþáîãî
y ∈ N (y ∗ , z)
Âûäåëèì ïîäìíîæåñòâî N ∗ (y, z) ⊆ N (y, z) ñîñåäíèõ ðåøåíèé ñ ìåíüøèì
çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè, òî åñòü N ∗ (y, z) = {y 0 ∈ N (y, z) | F (y 0 ) <
F (y)}.
Ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ øàãîâ.
Øàã 0. Íàéòè ðåøåíèå y 0 ∈ Sol(z).
Øàã i. Åñëè N ∗ (y i−1 , z) 6= ∅, òî
à) âûáðàòü y 0 ∈ N ∗ (y i−1 , z),
á) ïîëîæèòü y i := y 0 ,
21
â) ïåðåéòè íà øàã (i + 1),
Èíà÷å çàâåðøèòü ðàáîòó àëãîðèòìà.
Ïðè óòî÷íåíèè ñïîñîáà âûáîðà ñîñåäíåãî ðåøåíèÿ y 0 âîçíèêàåò êîíêðåòíûé àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà. Êàê ïîêàçûâàþò âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ýòîò âûáîð îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïîãðåøíîñòü
ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ, à òàêæå ÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà è âðåìÿ ñ÷åòà. Ïîýòîìó ïðè ðåàëèçàöèè ëîêàëüíîãî ñïóñêà ýòîìó ïóíêòó ñòîèò
óäåëèòü îñîáîå âíèìàíèå. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî èçâåñòíûõ ïðàâèë çàìåùåíèÿ.
1)Ñïóñê â íàïðàâëåíèè íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà. Íà êàæäîì øàãå ëîêàëüíîãî ñïóñêà â ìíîæåñòâå N ∗ âûáèðàåòñÿ äîïóñòèìîå ðåøåíèå ñ íàèìåíüøèì
çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè. Òàêîé âûáîð êàæåòñÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííûì,
íî òðåáóåò ïðîñìîòðà âñåé îêðåñòíîñòè.
2)Ñïóñê â íàïðàâëåíèè íàèõóäøåãî ýëåìåíòà. Â íåêîòîðîì ñìûñëå ýòî
ïðàâèëî ïðîòèâîïîëîæíî ïðåäûäóùåìó, òàê êàê â ìíîæåñòâå N ∗ âûáèðàåòñÿ ýëåìåíò ñ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè. Òàêàÿ ñòðàòåãèÿ
äàåò íàèáîëåå ïîëîãèé ñïóñê ê ëîêàëüíîìó ìèíèìóìó, íî ìîæåò ïîòðåáîâàòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå øàãîâ, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.
3)Ñïóñê â íàïðàâëåíèè ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ïðåäïîëàãàåò âûáîð ýëåìåíòà èç ìíîæåñòâà N ∗ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, íàïðèìåð, ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
4)Ñïóñê â íàïðàâëåíèè ïåðâûé ïîäõîäÿùèé. Ïîèñê ñîñåäíåãî ðåøåíèÿ
çàâåðøàåòñÿ, êàê òîëüêî îáíàðóæåí ïåðâûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà N ∗ . Â
îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ïðàâèë â äàííîì ñëó÷àå íå òðåáóåòñÿ ïðîñìîòðà
âñåé îêðåñòíîñòè. Ïî ñìûñëó ýòî ïðàâèëî áëèçêî ê ïðàâèëó ñëó÷àéíîãî
ýëåìåíòà, åñëè ïðîñìîòð îêðåñòíîñòè íà÷èíàåòñÿ ñî ñëó÷àéíîé òî÷êè. Îäíàêî, ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ îäèí è òîò æå ïîðÿäîê, íàïðèìåð, ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé, è ïðîñìîòð íà÷èíàþò ñ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà.
5)Ñïóñê ïî êðóãîâîìó ïðàâèëó [14]. Ïðîñìîòð îêðåñòíîñòè íà÷èíàåòñÿ ñ
òîãî ìåñòà, ãäå áûë íàéäåí ýëåìåíò y íà ïðåäøåñòâóþùåì øàãå, à çàêàí÷èâàåòñÿ íà ïåðâîì íàéäåííîì ýëåìåíòå èç ìíîæåñòâà N ∗ . Ýòî ïðàâèëî
îñíîâàíî íà òîì íàáëþäåíèè, ÷òî äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ïðè ïåðåõîäå ê ñîñåäíåìó ðåøåíèþ çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ìåíÿåòñÿ íåçíà22
÷èòåëüíî. Ñêîðåå âñåãî, íåâûãîäíûå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè N (y) áóäóò
íåâûãîäíûìè è â îêðåñòíîñòè ñîñåäíåãî ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó ëó÷øå ïðîäîëæèòü ïðîñìîòð, ÷åì ïîâòîðÿòü åãî ñíà÷àëà. Êîíå÷íî, äàííûå ñîîáðàæåíèÿ
íóæíî ïðîâåðÿòü äëÿ êàæäîé çàäà÷è îòäåëüíî.
 äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ íîâîå ïðàâèëî, îñíîâàííîå íà èäåå âûáîðà ñîñåäíåãî ðåøåíèÿ ñ íàèáîëüøèì ÷èñëîì âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé äëÿ
ñïóñêà íà ñëåäóþùåì øàãå àëãîðèòìà.
6)Ñïóñê ïî ïðàâèëó ìàêñèìàëüíîé ñâîáîäû. Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà y 0 ∈
N ∗ (y) âû÷èñëÿåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà N ∗ (y 0 ), òàê íàçûâàåìàÿ "ñâîáîäà",
à çàòåì â ìíîæåñòâå N ∗ (y) âûáèðàåòñÿ ýëåìåíò ñ íàèáîëüøåé ñâîáîäîé äëÿ
äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ âíèç.
1.4 Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ
1.4.1 Âëèÿíèå ïðàâèë çàìåùåíèÿ íà êà÷åñòâî ëîêàëüíûõ
îïòèìóìîâ è ÷èñëî èòåðàöèé àëãîðèòìà
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðàâèë áûë ïðîâåä¼í âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò íà ñëó÷àéíûõ ìàòðèöàõ. Öåëü ýêñïåðèìåíòà ñîñòîÿëà â ñðàâíåíèè ïðàâèë çàìåùåíèÿ ïî òî÷íîñòè è ÷èñëó èòåðàöèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ,
à òàêæå â âûðàáîòêå ðåêîìåíäàöèé ïî ïðèìåíåíèþ òîãî èëè èíîãî ïðàâèëà
â ðàçðàáàòûâàåìûõ àëãîðèòìàõ. Êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû (cij ) âûáèðàëñÿ èç èíòåðâàëà (0, . . . , 1000) ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì è íåçàâèñèìî
îò äðóãèõ ýëåìåíòîâ. Ìàòðèöà ïðèîðèòåòîâ (gij ) íà 70% ñîâïàäàëà ñ ìàòðèöåé (cij ) è â êàæäîì ñòîëáöå ñîäåðæàëà òîëüêî ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû.
Äëÿ êàæäîãî m = 30, 40, ..., 200 ãåíåðèðîâàëîñü 10 òåñòîâûõ ïðèìåðîâ ñ
p = m/10, n = m. Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïîðîæäàëîñü 1000 ñëó÷àéíûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Ê êàæäîìó äîïóñòèìîìó ðåøåíèþ ïðèìåíÿëàñü ñòàíäàðòíàÿ ïðîöåäóðà ëîêàëüíîãî ñïóñêà ñ îêðåñòíîñòüþ N1 è îäíèì èç øåñòè
ïðàâèë çàìåùåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî ïðèìåðà ïîëó÷àëîñü 6000
ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Ëó÷øåå ñðåäè íèõ îáîçíà÷èì ÷åðåç y ∗ . Ïîñêîëüêó
òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äàæå ïðè íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè, n = m = 50,
íå óäàåòñÿ íàéòè ñ ïîìîùüþ êîììåð÷åñêîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, â
îñíîâå ðåøåíèÿ êîòîðîãî ëåæèò ìåòîä âåòâåé è ãðàíèö, òî óçíàòü îòêëîíåíèå y ∗ îò îïòèìóìà íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Îäíàêî, äëÿ ñðàâíåíèÿ
23
Ðèñ. 1.1: Ñðåäíÿÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü (%), p = m/10
Ðèñ. 1.2: Ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ, p = m/10
ïðàâèë çàìåùåíèÿ ýòîãî íå òðåáóåòñÿ. Íà ðèñ. 1.1 ïîêàçàíà ñðåäíÿÿ ïîãðåøíîñòü ε = (F (y) − F (y ∗ ))/F (y ∗ ) ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ
îòíîñèòåëüíî y ∗ . Êàæäàÿ òî÷êà íà ãðàôèêå ïîêàçûâàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå
ïî 104 èñïûòàíèÿì. Ïåðâîå ïðàâèëî ïðèâîäèò ê íàèáîëüøåé ïîãðåøíîñòè.
Ïðàâèëà 35 äàþò ïðèìåðíî îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû. Íàèìåíüøàÿ ïîãðåøíîñòü ñîîòâåòñòâóåò ïîñëåäíåìó ïðàâèëó, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áîëåå òðóäîåìêèì, ÷åì ïðåäûäóùèå.
Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà øàãîâ ëîêàëüíîãî ñïóñêà îò ðàçìåðíîñòè
çàäà÷è ïîêàçàíà íà ðèñ. 1.2, 1.3. Äëÿ âñåõ ïðàâèë, êðîìå âòîðîãî, ÷èñëî
øàãîâ ðàñòåò êàê ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Âòîðîå ïðàâèëî ïðèâîäèò ê íàèáîëüøåìó ÷èñëó øàãîâ ëîêàëüíîãî ñïóñêà. Òàê, íàïðèìåð, ïðè n = m = 200,
ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ äëÿ øåñòîãî ïðàâèëà íå ïðåâûøàåò 250, â òî âðåìÿ,
êàê äëÿ âòîðîãî ïðàâèëà îíî íå ìåíüøå 8000. Òàêèì îáðàçîì, âûáîð ïðàâèëà çàìåùåíèÿ èãðàåò âàæíóþ ðîëü êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ òðóäîåìêîñòè, òàê
è òî÷íîñòè ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Ïî-âèäèìîìó, ïðàâèëà 34
ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ïîäõîäÿùèìè äëÿ ïðèìåíåíèÿ, íàïðèìåð, â ãåíåòè÷åñêèõ
àëãîðèòìàõ.
24
Ðèñ. 1.3: Ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ, p = m/10
1.4.2 Èññëåäîâàíèå ðàñïîëîæåíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ
×òîáû èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòè ëîêàëüíîãî ïîèñêà äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ áûë
ïðîâåäåí ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Åãî öåëü ñîñòîÿëà â èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ
ëàíäøàôòà çàäà÷è è âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ïîä ëàíäøàôòîì [75] ïîíèìàþò âçâåøåííûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò äîïóñòèìûì ðåøåíèÿì, à äóãà
e = (v1 , v2 ) ïðèñóòñòâóåò â ãðàôå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà v2 ÿâëÿåòñÿ
ñîñåäîì v1 è F (v1 ) > F (v2 ) (äëÿ çàäà÷ íà ìàêñèìóì èñïîëüçóåòñÿ îáðàòíîå
íåðàâåíñòâî). Ëîêàëüíûå îïòèìóìû îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ñîîòâåòñòâóþò ñòîêàì â ýòîì ãðàôå. Åñëè ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì "ðàáîòàåò" òîëüêî
ñ ëîêàëüíûìè îïòèìóìàìè, òî âîçíèêàþò ñëåäóþùèå âîïðîñû. Êàê áûñòðî ìîæíî ïåðåéòè îò îäíîãî ëîêàëüíîãî îïòèìóìà ê äðóãîìó? Êàê ìíîãî
øàãîâ ñ óõóäøåíèåì íóæíî ñäåëàòü ÷òîáû àëãîðèòìîì ëîêàëüíîãî ñïóñêà
ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü äðóãîé (ëó÷øèé) ëîêàëüíûé îïòèìóì? Ïðàâäà ëè,
÷òî èç "ïëîõîãî" ëîêàëüíîãî îïòèìóìà ëåãêî íàéòè ïóòü ê "õîðîøåìó"?
Äëÿ îòâåòà íà ýòè âîïðîñû èñïîëüçîâàëàñü ñëåäóþùàÿ ïðîöåäóðà. Ïóñòü
y ëîêàëüíûé îïòèìóì äëÿ îêðåñòíîñòè N1 è y 0 ñîñåäíåå ðåøåíèå, îòëè÷àþùååñÿ ïî êîîðäèíàòàì i1 è i2 . Ïðèìåíèì ê ðåøåíèþ y 0 ïðîöåäóðó ëîêàëüíîãî ñïóñêà, íå ìåíÿÿ ýòèõ êîîðäèíàò. Ê ïîëó÷åííîìó òàêèì îáðàçîì
óñëîâíîìó ëîêàëüíîìó îïòèìóìó ñíîâà ïðèìåíèì ïðîöåäóðó ëîêàëüíîãî
ñïóñêà, óáðàâ çàïðåò íà i1 è i2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëîêàëüíûé îïòèìóì
y 00 , êîòîðûé ìîæåò ñîâïàäàòü ñ y , ìîæåò áûòü ëó÷øå èëè õóæå åãî. Ïðèìåíèì ýòó ïðîöåäóðó ê êàæäîìó ñîñåäíåìó ðåøåíèþ y 0 è äëÿ îïðåäåëåííîñòè
èñïîëüçóåì ÷åòâåðòîå ïðàâèëî çàìåùåíèÿ. Äèàãðàììû íà ðèñ. 1.4 (1.4à
1.4å) ïîêàçûâàþò ñðåäíåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ (âñåõ) ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ ñ
25
Ðèñ. 1.4: Ðàñïîëîæåíèå ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, m = n = 250, p = 25
ìåíüøèì, ðàâíûì è áîëüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè â àáñîëþòíûõ
÷èñëàõ è ïðîöåíòàõ äëÿ îäíîãî èç íàèáîëåå òðóäíûõ ïðèìåðîâ áèáëèîòåêè
Ðåçåíäå, Âåðíåêà [65] ïðè n = m = 250, p = 25. Ìàòðèöà (gij ) ñòðîèëàñü
òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.
Äèàãðàììû 1.4à, 1.4á ñîîòâåòñòâóþò ìàëîé ïîãðåøíîñòè ε < 5% ñòàðòîâîãî ëîêàëüíîãî îïòèìóìà. Äèàãðàììû 1.4â, 1.4ã è 1.4ä, 1.4å ñðåäíåé
20% < ε < 22% è áîëüøîé 39% < ε < 47% ïîãðåøíîñòÿì. Ðåçóëüòàòû
ïðîâåäåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïîêàçûâàþò, ÷òî ÷åì áîëüøå ïîãðåøíîñòü ëîêàëüíîãî îïòèìóìà, òåì ëåã÷å íàéòè ñ ïîìîùüþ äàííîé ïðîöåäóðû ëó÷øèé
ëîêàëüíûé îïòèìóì. Äàæå ïðè ìàëîé ïîãðåøíîñòè ýòî óäàåòñÿ ñäåëàòü,
õîòÿ ïðîöåíò ëó÷øèõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ îêàçûâàåòñÿ ìàëûì (ñì. ðèñ.
1.4à, 1.4á). Ïðè áîëüøîé ïîãðåøíîñòè (ñì. ðèñ. 1.4ä, 1.4å) ïî÷òè êàæäûé íî26
Ðèñ. 1.5: Ñðåäíåå ÷èñëî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ íà ðàññòîÿíèè d, ε < 5%
Ðèñ. 1.6: Ñðåäíÿÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü(%), p = m/10
âûé ëîêàëüíûé îïòèìóì èìååò ìåíüøóþ ïîãðåøíîñòü, ÷åì y . Ðèñóíîê 1.5
ïîêàçûâàåò ñðåäíåå ÷èñëî ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ íà çàäàííîì
ðàññòîÿíèè îò y . Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî íàèáîëüøåå ÷èñëî ëîêàëüíûõ
îïòèìóìîâ îêàçàëîñü íà ðàññòîÿíèè 40 ïðè äèàìåòðå äîïóñòèìîé îáëàñòè
50 è íå íàøëîñü íè îäíîãî ëîêàëüíîãî îïòèìóìà áëèæå 28. Äðóãèìè ñëîâàìè, ëàíäøàôò â äàííîì ïðèìåðå óñòðîåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñòîèò ñäåëàòü
îäèí øàã ñ óõóäøåíèåì äàæå èç õîðîøåãî ëîêàëüíîãî îïòèìóìà (ε < 5%)
è ìîæíî ïîëó÷èòü íîâûé ëîêàëüíûé îïòèìóì äîñòàòî÷íî äàëåêî îò èñõîäíîãî. Îñòàíîâêà â ïðîèçâîëüíîì ëîêàëüíîì îïòèìóìå ìîæåò ïðèâîäèòü
ê áîëüøèì ïîãðåøíîñòÿì, íî èñïîëüçîâàíèå áîëüøèõ îêðåñòíîñòåé, òèïà
îêðåñòíîñòè NLK äîëæíî ëåãêî èñïðàâëÿòü äàííûé íåäîñòàòîê.
1.4.3 Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ñ êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé î p-ìåäèàíå
Âûøåîïèñàííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü è äëÿ êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î pìåäèàíå. Èñõîäíûõ äàííûõ áûëè âçÿòû èç ïóíêòà 1.4.1, íå ó÷èòûâàÿ ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ. Êàê è ðàíüøå îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïî ïåðâîìó
ïðàâèëó íàèáîëüøàÿ (ñì. ðèñ. 1.6), ïðè÷åì, ðàçðûâ â ïîãðåøíîñòè ìåæäó
ïåðâûì ïðàâèëîì è îñòàëüíûìè ñòàë áîëåå çàìåòíûì è ñîñòàâëÿåò îêîëî
27
Ðèñ. 1.7: Ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ, p = m/10
8%. Ïî-âèäèìîìó, ýòîò ýôôåêò îáúÿñíÿåòñÿ âëèÿíèåì ïðåäïî÷òåíèé êëèåíòîâ â çàäà÷å ÌÏÊ, èç-çà ÷åãî íàõîæäåíèå â òîé çàäà÷å "õîðîøèõ" ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ ïî ïðàâèëàì 1)5) óñëîæíÿåòñÿ. Ïðàâèëî ìàêñèìàëüíîé
ñâîáîäû ïî-ïðåæíåìó ïðèâîäèò ê ðåøåíèÿì ñ íàèìåíüøåé ïîãðåøíîñòüþ.
Ñêîðîñòü ðîñòà ñðåäíåãî ÷èñëà øàãîâ îñòàëàñü ëèíåéíîé äëÿ ïðàâèë 1, 35
è êâàäðàòè÷íîé äëÿ ïðàâèëà 2 (ñì. ðèñ. 1.7, 1.8).
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ëàíäøàôòîâ ïðîâîäèëñÿ ýêñïåðèìåíò èç ïóíêòà 1.4.2 íà
òîì æå ïðèìåðå èç áèáëèîòåêè Ðåçåíäå, Âåðíåêà ñ gij = cij , i ∈ I, j ∈ J .
Äèàãðàììû (1.9à)(1.9ã) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñäåëàâ øàã ñ óõóäøåíèåì èç ëîêàëüíîãî îïòèìóìà ñ íåáîëüøîé ïîãðåøíîñòüþ (ε ≤ 1%) ìîæíî íàéòè
åùå 9% íîâûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè, åñëè æå ïîãðåøíîñòü ñòàðòîâîé òî÷êè ìåíüøå 4%, òî ÷èñëî íîâûõ,
áîëåå õîðîøèõ ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ âîçðàñòàåò äî 13%. Êîëè÷åñòâî íîâûõ ðàçëè÷íûõ íàéäåííûõ ðåøåíèé ñîñòàâèëî îò 9% äî 33% îò ìîùíîñòè
âñåé îêðåñòíîñòè. Ýòîò ïîêàçàòåëü ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì äëÿ çàäà÷è
ÌÏÊ, ÷òî åùå ðàç ïîäòâåðæäàåò âëèÿíèå âíóòðåííåé ïîäçàäà÷è êëèåíòà.
Äèàãðàììà 1.10 ïîêàçûâàåò, ÷òî íàèáîëüøåå ÷èñëî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ
ðàñïîëîæåíî áëèçêî (d ≤ 28), ïðè÷åì èõ áîëüøàÿ ÷àñòü ñêîíöåíòðèðîâàíà
íà ðàññòîÿíèè øåñòè ïàðíûõ çàìåí (d = 12).
28
Ðèñ. 1.8: Ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ, p = m/10
Ðèñ. 1.9: Ðàñïîëîæåíèå ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, m = n = 250, p = 25
Ðèñ. 1.10: Ñðåäíåå ÷èñëî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ íà ðàññòîÿíèè d, ε ≤ 1%
29
Ãëàâà 2
Ëîêàëüíûå îïòèìóìû è èõ ñâîéñòâà
 äàííîé ãëàâå ïðîâîäèòñÿ òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà â õóäøåì ñëó÷àå.  ðàçäåëå 2.1 ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå êëàññà PLS, ñâîäèìîñòè çàäà÷ â ýòîì êëàññå, PLS-ïîëíîòà çàäà÷è ÌÏÊ ñ ðÿäîì ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûõ îêðåñòíîñòåé.  ðàçäåëàõ
2.2 è 2.3 îáñóæäàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîãî
ñïóñêà â õóäøåì è ñðåäíåì ñëó÷àÿõ. Ðàçäåë 2.4 ïîñâÿùåí îáçîðó òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ î ïîãðåøíîñòè ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Äàëåå, â ðàçäåëå 2.5 ïðèâîäèòñÿ ñâåäåíèå çàäà÷è ÌÏÊ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè
ïîëèíîìà îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ, äîêàçûâàþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè
Êóíà-Òàêêåðà, ïîêàçàíà ñâÿçü ëîêàëüíîîïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ñ ëîêàëüíîñåäëîâûìè òî÷êàìè ôóíêöèè Ëàãðàíæà.
2.1 Ñëîæíîñòü çàäà÷ ëîêàëüíîãî ïîèñêà
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âî ââåäåíèè, çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà ïðåäñòàâëÿþò
íåòðèâèàëüíûé êëàññ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè. Ïðèâåäåì òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ è ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ äëÿ çàäà÷ ëîêàëüíîãî ïîèñêà ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å ÌÏÊ.
Ïóñòü Π = (OP, N ) çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà, òàêàÿ ÷òî äëèíà ëþáîãî äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è OP îãðàíè÷åíà ñâåðõó íåêîòîðûì ïîëèíîìîì îò äëèíû çàïèñè èñõîäíûõ äàííûõ.
Åñëè s ëîêàëüíûé ìèíèìóì â çàäà÷å Π, ò. å. â åãî îêðåñòíîñòè íåò
ðåøåíèé ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðåøåíèå
s ÿâëÿåòñÿ N-îïòèìàëüíûì.
30
Îïðåäåëåíèå 5 [75] Çàäà÷à Π ïðèíàäëåæèò êëàññó PLS, åñëè ñóùåñòâóåò òðè ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìà A, B è C ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Àëãîðèòì À îïðåäåëÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè ñëîâî z âõîäîì çàäà÷è. Åñëè
z ∈ I , òî àëãîðèòì íàõîäèò äîïóñòèìîå ðåøåíèå çàäà÷è OP .
2. Àëãîðèòì  äëÿ ëþáîãî âõîäà çàäà÷è z ∈ I è ëþáîãî ñëîâà s îïðåäåëÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè s äîïóñòèìûì ðåøåíèåì. Åñëè s ∈ Sol(z), òî àëãîðèòì çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ íàõîäèò çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè.
3. Àëãîðèòì Ñ äëÿ ëþáîãî âõîäà z ∈ I è ëþáîãî ðåøåíèÿ s ∈ Sol(z)
îïðåäåëÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè s ëîêàëüíûì îïòèìóìîì. Åñëè íåò, òî àëãîðèòì íàõîäèò ñîñåäà s0 ∈ N (s, z) ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè.
Êëàññ PLS íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì. Ìíîãèå îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è ñ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûìè îêðåñòíîñòÿìè ïðèíàäëåæàò ýòîìó êëàññó. Â
÷àñòíîñòè, çàäà÷à ÌÏÊ ñ îêðåñòíîñòüþ N1 òàêæå ïðèíàäëåæèò êëàññó
PLS. Âûïîëíåíèå ïåðâûõ äâóõ ñâîéñòâ èç îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó äîïóñòèìûì ðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ëþáîé íàáîð èç p ïðåäïðèÿòèé,
à îïòèìàëüíîå ðåøåíèå âíóòðåííåé ïîäçàäà÷è âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ýòîìó
íàáîðó îäíîçíà÷íî çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà
Ñ òîæå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó îêðåñòíîñòü N1 ñîäåðæèò p(m − p) ýëåìåíòîâ. Çíà÷èò ïðîñìîòð âñåé îêðåñòíîñòè è íàõîæäåíèå íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ
ìîæíî âûïîëíèòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Îáîáùåííàÿ çàäà÷à î íàçíà÷åíèÿõ [57] è ïîëíîñòüþ öåëî÷èñëåííàÿ çàäà÷à ðàçìåùåíèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà ìîùíîñòè ïðîèçâîäñòâà [29] íå ïðèíàäëåæàò ýòîìó êëàññó, ò. ê. äëÿ
ýòèõ çàäà÷ ïîèñê äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíîé çàäà÷åé.
Äëÿ çàäà÷ èç êëàññà PLS ëåãêî ïîñòðîèòü àëãîðèòìû ëîêàëüíîãî óëó÷øåíèÿ. Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà A ìîæíî ïîëó÷èòü íà÷àëüíîå äîïóñòèìîå
ðåøåíèå. Àëãîðèòì C ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü åãî ëîêàëüíóþ îïòèìàëüíîñòü
è íàéòè ëó÷øåå ñîñåäíåå ðåøåíèå, åñëè äàííîå ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìóìîì. Çàìåòèì, ÷òî àëãîðèòì C äîïóñêàåò ëþáîå ïðàâèëî
çàìåùåíèÿ. Ìåíÿÿ ïðàâèëà, ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû ëîêàëüíîãî
ïîèñêà. Äëÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ òàêèå àëãîðèòìû ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìèàëüíûìè.
 êëàññå PLS ñîäåðæàòñÿ ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûå çàäà÷è, ò. å. çàäà÷è, â êîòîðûõ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî íàéòè ëîêàëüíûé îïòèìóì.
Ìíîãèå êîìáèíàòîðíûå çàäà÷è áåç âåñîâûõ ôóíêöèé ñ ëþáîé ïîëèíîìè31
àëüíî ïðîâåðÿåìîé îêðåñòíîñòüþ îòíîñÿòñÿ ê òàêîâûì: çàäà÷è î êëèêå, î
ïîêðûòèè, î íåçàâèñèìîì ìíîæåñòâå è äðóãèå. Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå âîïðîñ î âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè íàõîæäåíèÿ ëîêàëüíîãî îïòèìóìà îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî N P 6= co − N P , òî â êëàññå PLS
íåò NP-òðóäíûõ çàäà÷.
Òåîðåìà 1 [68] Åñëè íåêîòîðàÿ çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà èç êëàññà PLS
ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, òî N P = co − N P .
Äðóãèìè ñëîâàìè, íå ñóùåñòâóåò NP-ïîëíûõ çàäà÷, êîòîðûå çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ñâîäèëèñü áû ê êàêîé-íèáóäü çàäà÷å ëîêàëüíîãî ïîèñêà
èç êëàññà PLS. Ñëåäîâàòåëüíî, ñëîæíîñòü çàäà÷ èç ýòîãî êëàññà ìåíüøå
ñëîæíîñòè NP-ïîëíûõ çàäà÷ [62]. Îòìåòèì, ÷òî ãèïîòåçà N P 6= co − N P
ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíîé, ÷åì ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî P 6= N P , ò. ê. ñîâïàäåíèå ïîñëåäíèõ äâóõ êëàññîâ âëå÷åò ñîâïàäåíèå ïåðâûõ äâóõ [9].
Äëÿ çàäà÷ ëîêàëüíîãî ïîèñêà îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå PLS-ñâåäåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 6 [75] Ïóñòü Π1 è Π2 äâå çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà.
PLS-ñâåäåíèå çàäà÷è Π1 ê çàäà÷å Π2 ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè äâóõ ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé h è g òàêèõ, ÷òî
1. ïî ïðîèçâîëüíîìó âõîäó z çàäà÷è Π1 ôóíêöèÿ h âû÷èñëÿåò íåêîòîðûé âõîä h(z) çàäà÷è Π2 ;
2. ïî ïðîèçâîëüíîìó ðåøåíèþ s äëÿ âõîäà h(z) ôóíêöèÿ g íàõîäèò íåêîòîðîå ðåøåíèå g(s, z) äëÿ âõîäà z ;
3. äëÿ âñåõ z ∈ Π1 , åñëè s ëîêàëüíûé îïòèìóì äëÿ âõîäà h(z) ∈ Π2 ,
òî g(s, z) ëîêàëüíûé îïòèìóì äëÿ âõîäà z .
Åñëè òàêèå ôóíêöèè h è g óäàåòñÿ ïîñòðîèòü, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäà÷à Π1
PLS-ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Π2 . Ïîíÿòèå PLS-ñâîäèìîñòè îáëàäàåò ñâîéñòâîì
òðàíçèòèâíîñòè: åñëè Π1 PLS-ñâîäèòñÿ ê Π2 , à Π2 PLS-ñâîäèòñÿ ê Π3 , òî
Π1 PLS-ñâîäèòñÿ ê Π3 . Åñëè Π3 ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà, òî è Π1 ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà.
Äàëåå áóäåì ãîâîðèòü î ñâîäèìîñòè, îïóñêàÿ îáîçíà÷åíèå PLS.
Îïðåäåëåíèå 7 [75] Çàäà÷ó Π èç êëàññà PLS íàçûâàþò PLS-ïîëíîé, åñëè
ëþáàÿ çàäà÷à èç êëàññà P LS ìîæåò áûòü P LS -ñâåäåíà ê íåé.
32
Ïîëíûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå òðóäíûìè â äàííîì êëàññå, è åñëè õîòÿ
áû îäíà èç íèõ ìîæåò áûòü ðåøåíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, òî è âñå
îñòàëüíûå çàäà÷è ìîãóò áûòü ðåøåíû çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Ïåðâàÿ PLS-ïîëíàÿ çàäà÷à Circuit, êàê è â ñëó÷àå êëàññà NP, áûëà
îáíàðóæåíà â ñõåìàõ èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ [47]. Ýòà çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ ñõåìû z ñ m âõîäàìè (x1 , ..., xm ) è n
âûõîäàìè (y1 , ..., yn ). Ñõåìà ñîñòîèò èç ïîëèíîìèàëüíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ
AND, OR, NOT. Ìíîæåñòâî åå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé Sol(z) ñîñòîèò èç âñåõ
áóëåâûõ âåêòîðîâ äëèíû m. Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f (x) =
n
X
2j−1 yj ,
j=1
ãäå yj ÿâëÿåòñÿ j -ì âõîäîì ñõåìû z . Îêðåñòíîñòü NF lip (x) ðåøåíèÿ x ñîñòîèò èç âñåõ áóëåâûõ âåêòîðîâ äëèíû m, èìåþùèõ ðàññòîÿíèå Õýììèíãà
ðàâíûì 1 îò x. Ìàêñèìèçàöèîííàÿ è ìèíèìèçàöèîííàÿ âåðñèè ýòîé çàäà÷è
ÿâëÿþòñÿ PLS-ïîëíûìè [75]. PLS-ïîëíîòà óñòàíîâëåíà äëÿ çàäà÷: î ìàêñèìàëüíîì ðàçðåçå [68], î âûïîëíèìîñòè íà ìàêñèìóì ñ îêðåñòíîñòüþ NF lip
[56], î ðàçáèåíèè ãðàôà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè ñ îêðåñòíîñòÿìè N1 , NLK , èõ
ìîäèôèêàöèÿìè è äðóãèìè [68, 47], çàäà÷à êîììèâîÿæåðà ñ îêðåñòíîñòüþ
N2−opt [55]. Íà ðèñ.2.1 äàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè PLS-ñâåäåíèé äëÿ èçâåñòíûõ PLS-ïîëíûõ çàäà÷.
Ïî àíàëîãèè ñ êëàññîì P ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûõ îïòèìèçàöèîííûõ
çàäà÷ ââåäåí êëàññ PP LS ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûõ çàäà÷ ëîêàëüíîãî
ïîèñêà.
Îïðåäåëåíèå 8 [26] Çàäà÷à Π = (OP, N ) ∈ P LS ïðèíàäëåæèò êëàññó
PP LS , åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé ïî ëþáîìó
âõîäó z çàäà÷è Π íàõîäèò N-îïòèìàëüíîå ðåøåíèå.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ýòîò êëàññ íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì.  ÷àñòíîñòè,
åìó ïðèíàäëåæèò çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùåé
îêðåñòíîñòüþ. Ãåîìåòðè÷åñêè, äëÿ âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ñîñåäíèìè âåðøèíàìè ÿâëÿþòñÿ òå âåðøèíû, êîòîðûå ñîåäèíåíû ðåáðîì ñ äàííîé âåðøèíîé. Àëãåáðàè÷åñêè, åñëè ïðåäïîëàãàòü íåâûðîæäåííîñòü çàäà÷è, äëÿ
äàííîãî áàçèñà ñîñåäíèìè áóäóò âñå äîïóñòèìûå áàçèñû, ïîëó÷àþùèåñÿ
33
(Circuit, Flip)
´
´
´
´
+́
´
(Pos NAE Max-3Sat, KL)
´
B
B
HH
B
HH
H
HH
HH
H
j
BBN
(Pos NAE Max-3Sat, Flip)
(TSP, k-Opt)
­ QQ
­
Q
Q
­
Q
­
Q
(Graph Partitioning, KL)
Q
Q
s
­
­
(Max-Cut, Flip)
­
À
(Graph Partitioning, FM1 ), ...
´
´
J
­
´
J
´
+́
­
J
­
(UFPL, Flip)
J
^
­
(
Max-2Sat,
Flip)
­
À
A
(p-Median, FM1 ), ...
A
AU
¢
¢
¢®
(TSP, LK 0 )
Ðèñ. 2.1: PLS-ïîëíûå çàäà÷è
èç äàííîãî çàìåíîé îäíîé áàçèñíîé ïåðåìåííîé íà íåáàçèñíóþ. Íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî ñèìïëåêñ-ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì ñóùåñòâîâàíèå ìåòîäà ýëëèïñîèäîâ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ íàõîäèòü òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è, âëå÷åò ïðèíàäëåæíîñòü çàäà÷è ê
êëàññó PP LS .
 [75] ìåæäó êëàññîì PLS è êëàññàìè PS è NPS áûëà óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà âëîæåíèé
PS ⊆ P LS ⊆ N PS ,
ãäå PS è NPS ôîðìàëüíûå àíàëîãè êëàññà çàäà÷ ïîèñêà ðåøàåìûõ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ íà äåòåðìèíèðîâàííûõ è íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèíàõ Òüþðèíãà ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðâîå âêëþ÷åíèå îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ
ïîëèíîìèàëüíîðàçðåøèìàÿ çàäà÷à ïîèñêà ïðåäñòàâèìà â âèäå çàäà÷è èç
êëàññà PLS. Âòîðîå âêëþ÷åíèå ãîâîðèò î òîì, ÷òî ëþáàÿ çàäà÷à èç êëàññà
PLS ïðåäñòàâèìà â âèäå çàäà÷è ïîèñêà, ðåøàåìîé çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ íà íåäåòåðìèíèðîâàííîé ìàøèíå Òüþðèíãà. Èçâåñòíî [75], ÷òî äàííîå
âêëþ÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, åñëè N P 6= co − N P . Íàïîìíèì, ÷òî êëàññ
NPS ñîñòîèò èç áèíàðíûõ îòíîøåíèé R ⊆ {0, 1}∗ × {0, 1}∗ , êîòîðûå
ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè÷åíû, ò. å. åñëè (x, y) ∈ R, òî äëèíà ñëîâà y ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè÷åíà äëèíîé ñëîâà x;
34
ïîëèíîìèàëüíî ðàñïîçíàâàåìû, ò. å. ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé äëÿ ëþáîé ïàðû (x, y) ïðîâåðÿåò, ïðèíàäëåæèò ëè îíà
îòíîøåíèþ R èëè íåò.
Çàäà÷à ïîèñêà, ñâÿçàííàÿ ñ îòíîøåíèåì R çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû äëÿ
ëþáîãî x íàéòè òàêîé y , ÷òî (x, y) ∈ R. Ýòà çàäà÷à ñîäåðæèòñÿ â êëàññå PS ,
åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé äëÿ ëþáîãî x ëèáî
íàõîäèò y , òàêîé ÷òî (x, y) ∈ R, ëèáî ñîîáùàåò îá îòñóòñòâèè òàêîãî y . Â
[75] ïîêàçàíî, ÷òî êëàññ PP LS ýêâèâàëåíòåí êëàññó PS . Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
íåò ïðÿìûõ èëè êîñâåííûõ àðãóìåíòîâ â ïîëüçó ñîâïàäåíèÿ êëàññîâ PLS
è PP LS . Òàêèì îáðàçîì, íàðÿäó ñ öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé òåîðèè ñëîæíîñòè P=? NP ñóùåñòâóåò àíàëîãè÷íàÿ ïðîáëåìà PP LS =? PLS î ëîêàëüíûõ
îïòèìóìàõ. Åñëè PP LS 6= PLS, òî P 6= NP. Ìîæåò áûòü, äîêàçàòü ïåðâîå
íåðàâåíñòâî ëåã÷å, ÷åì âòîðîå.  ëþáîì ñëó÷àå, âîïðîñ î ñîâïàäåíèè êëàññîâ PP LS è PLS ÿâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì è àêòóàëüíûì.
2.2 Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîãî ïîèñêà
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïðèíàäëåæíîñòü çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà ê êëàññó PLS ãàðàíòèðóåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà, êàæäûé øàã êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíûì. Íèæå
áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî â õóäøåì ñëó÷àå ýòîìó àëãîðèòìó òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ äîñòèæåíèÿ ëîêàëüíîãî îïòèìóìà â çàäà÷å
ÌÏÊ ñ îêðåñòíîñòÿìè NF M1 .
Îïðåäåëåíèå 9 [75] Ãðàôîì ïåðåõîäîâ T GΠ (z) äëÿ âõîäà z çàäà÷è Π íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí Sol(z) è ìíîæåñòâîì äóã âèäà (s, s0 ), ãäå s0 ∈ N (s, z) è f (s0 , z) < f (s, z). Âûñîòà âåðøèíû s åñòü äëèíà êðàò÷àéøåãî ïóòè â ãðàôå T GΠ (z) èç âåðøèíû s â ñòîê
(ò.å. â ëîêàëüíûé ìèíèìóì). Âûñîòà ãðàôà T GΠ (z) ðàâíà ìàêñèìàëüíîé
âûñîòå åãî âåðøèí.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ãðàô ïåðåõîäîâ ÿâëÿåòñÿ àöèêëè÷åñêèì è
ìîæåò èìåòü ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî âåðøèí îòíîñèòåëüíî äëèíû âõîäà
z . Åñëè s íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìóìîì, òî ïåðåõîäó îò s ê s0 â ãðàôå T GΠ (z) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (s, s0 ). Ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì
35
ëîêàëüíîãî ñïóñêà ê ðàçíûì íà÷àëüíûì ðåøåíèÿì áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ïóòè, âåäóùèå èç íà÷àëüíûõ âåðøèí â ñòîêè. Âûñîòà âåðøèíû ïî
ñóòè åñòü îöåíêà ñíèçó íà ÷èñëî øàãîâ äî äîñòèæåíèÿ ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà. Ýòà îöåíêà íå çàâèñèò îò ïðèìåíÿåìîãî ïðàâèëà çàìåùåíèÿ. Òàêèì
îáðàçîì, àëãîðèòìó òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ ïðè ëþáîì
ïðàâèëå çàìåùåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäóòñÿ èñõîäíûå äàííûå
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, äëÿ êîòîðûõ âûñîòà ãðàôà ïåðåõîäîâ ÿâëÿåòñÿ
ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé îò äëèíû çàïèñè èñõîäíûõ äàííûõ.
Îïðåäåëåíèå 10 [75] Ïóñòü Π1 è Π2 äâå çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà è
(h, g) PLS-ñâåäåíèå Π1 ê Π2 . Òàêîå ñâåäåíèå íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì, åñëè
äëÿ ëþáîãî âõîäà z çàäà÷è Π1 âûñîòà ãðàôà T GΠ2 (h(z)) íå ìåíüøå âûñîòû
ãðàôà T GΠ1 (z).
Ïëîòíûå ñâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò ïåðåíîñèòü íèæíèå îöåíêè ÷èñëà øàãîâ
àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà ñ îäíîé çàäà÷è íà äðóãóþ. Åñëè àëãîðèòìó
òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Π1 è çàäà÷à
Π1 ïëîòíî ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Π2 , òî è äëÿ çàäà÷è Π2 àëãîðèòìó òàêæå
ïîòðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ.  [75] äîêàçàíû äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ PLS-ñâåäåíèå áóäåò ïëîòíûì.
Òåîðåìà 2 [75] Ïóñòü Π1 è Π2 äâå çàäà÷è ëîêàëüíîãî ïîèñêà è (h, g)
PLS-ñâåäåíèå Π1 ê Π2 . Äàííîå ñâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì, åñëè äëÿ
ëþáîãî âõîäà z çàäà÷è Π1 ñóùåñòâóåò ïîäìíîæåñòâî R äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Π2 íà âõîäå y = h(z) òàêîå, ÷òî
1. â R ñîäåðæàòñÿ âñå ëîêàëüíûå ìèíèìóìû äëÿ âõîäà y ;
2. ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ t íà âõîäå z ïîçâîëÿåò íàõîäèòü òàêîå ðåøåíèå q ∈ R äëÿ âõîäà y ,
÷òî g(q, z) = t;
3. ïóñòü â ãðàôå ïåðåõîäîâ T GΠ2 (y) ñîäåðæèòñÿ òàêîé îðèåíòèðîâàííûé
ïóòü èç âåðøèíû q ∈ R â âåðøèíó q 0 ∈ R, ÷òî â íåì íåò ïðîìåæóòî÷íûõ âåðøèí èç R, è ïóñòü t = g(q, z), t0 = g(q 0 , z) ñîîòâåòñòâóþùèå
ðåøåíèÿ íà âõîäå z . Òîãäà t = t0 èëè ãðàô ïåðåõîäîâ T GΠ1 (z) ñîäåðæèò
äóãó, èñõîäÿùóþ èç âåðøèíû t è âõîäÿùóþ â âåðøèíó t0 .
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïóòü Q â ãðàôå T GΠ2 (y) ñ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà R. Âîçüìåì îáðàç âåðøèí ýòîãî ïóòè â ãðàôå
36
T GΠ1 (z) îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ g . Óñëîâèå 3 ãàðàíòèðóåò, ÷òî ó÷àñòêó ïóòè Q ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè q, q 0 ∈ R (íå ñîäåðæàùåìó
ïðîìåæóòî÷íûõ âåðøèí èç R) ñîîòâåòñòâóåò ëèáî âåðøèíà, ÿâëÿþùàÿñÿ
îáðàçîì âåðøèí q è q 0 , ëèáî ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå îáðàçû ýòèõ âåðøèí. Ñëåäîâàòåëüíî, ïóòè Q â ãðàôå T GΠ1 (z) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïóòü
Q(g), âåðøèíû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îáðàçàìè âåðøèí èç Q. Ïðè ýòîì äëèíà
ïóòè Q(g) íå ïðåâîñõîäèò äëèíû èñõîäíîãî ïóòè Q.
Ïóñòü t ïðîèçâîëüíàÿ âåðøèíà â ãðàôå T GΠ1 (z) è ïóñòü q = g −1 (t)
åå ïðîîáðàç èç ìíîæåñòâà R. Ðàññìîòðèì îäèí èç ïóòåé ìèíèìàëüíîé
äëèíû, âåäóùèé èç âåðøèíû q â íåêîòîðûé ñòîê ãðàôà T GΠ2 (y). Â ãðàôå
T GΠ1 (z) ýòîìó ïóòè ñîîòâåòñòâóåò ïóòü íåáîëüøåé äëèíû, âåäóùèé èç âåðøèíû t â îäèí èç ñòîêîâ ýòîãî ãðàôà. Òàêèì îáðàçîì, âûñîòà âåðøèíû q íå
ìåíüøå âûñîòû âåðøèíû t â ãðàôå T GΠ1 (z). Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà ãðàôà
T GΠ2 (y) íå ìåíüøå âûñîòû ãðàôà T GΠ1 (z). Ïîýòîìó ïëîòíàÿ ñâîäèìîñòü
ñîõðàíÿåò íèæíèå îöåíêè íà ÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà.
Çàìåòèì, ÷òî â óñëîâèè 3 â êà÷åñòâå îðèåíòèðîâàííîãî ïóòè ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ äóãà èç q â q 0 .  ýòîì ñëó÷àå â ãðàôå T GΠ1 (z) òàêîé äóãå
ñîîòâåòñòâóåò ëèáî âåðøèíà t, ëèáî äóãà (t, t0 ). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò âîçíèêàòü, åñëè â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà R âûáèðàåòñÿ, íàïðèìåð, âñ¼ ìíîæåñòâî
äîïóñòèìûõ ðåøåíèé.
Îïðåäåëåíèå 11 [75] Çàäà÷à Π èç êëàññà PLS íàçûâàåòñÿ ïëîòíî ïîëíîé, åñëè âñå çàäà÷è èç ýòîãî êëàññà ïëîòíî ñâîäÿòñÿ ê íåé.
Âñå PLS-ïîëíûå çàäà÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.2.1 ÿâëÿþòñÿ ïëîòíî PLSïîëíûìè [75]. ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî â õóäøåì ñëó÷àå àëãîðèòìó ëîêàëüíîãî
ñïóñêà òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ ïëîòíî PLS-ïîëíûõ
çàäà÷, äîñòàòî÷íî íàéòè â êëàññå PLS õîòÿ áû îäíó çàäà÷ó, îáëàäàþùóþ
ýòèì ñâîéñòâîì.
Ëåììà 4 [75]  êëàññå PLS ñóùåñòâóåò çàäà÷à, äëÿ êîòîðîé àëãîðèòìó
ëîêàëüíîãî ñïóñêà òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ ïðè ëþáîì
ïðàâèëå çàìåùåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì è ñîîòâåòñòâóþùàÿ
çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà èìååò ñëåäóþùóþ ïðîñòóþ ñòðóêòóðó. Äëÿ ëþáîãî âõîäà z äëèíû n ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è Sol(z) ñîñòî37
èò èç âñåõ n-ìåðíûõ âåêòîðîâ, çàíóìåðîâàííûõ îò 0 äî 2n − 1. Êàæäîìó
ðåøåíèþ i ïðèïèñàíî çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè, ðàâíîå å¼ íîìåðó i. Åñëè
i > 0, òî ó ðåøåíèÿ i åñòü òîëüêî îäèí ñîñåä i − 1. Ïîýòîìó â çàäà÷å èìååòñÿ òîëüêî îäèí ëîêàëüíûé (ãëîáàëüíûé) ìèíèìóì i = 0. Ãðàô ïåðåõîäîâ
T GΠ (z) ÿâëÿåòñÿ ïóòåì äëèíû 2n − 1. Àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà, íà÷èíàÿ ñ âåðøèíû i = 2n − 1 âûïîëíèò ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ. Òàêèì
îáðàçîì, â õóäøåì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ïëîòíî PLS-ïîëíîé çàäà÷è àëãîðèòìó
ëîêàëüíîãî ñïóñêà ïîòðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ äîñòèæåíèÿ ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà. Ò. ê. çàäà÷à ÌÏÊ ñ îêðåñòíîñòÿìè NF M1 è
N1-çàìåíà ÿâëÿåòñÿ ïëîòíî PLS-ïîëíîé [13], òî ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå.
Òåîðåìà 3  õóäøåì ñëó÷àå ñòàíäàðòíîìó àëãîðèòìó ëîêàëüíîãî ñïóñêà òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî øàãîâ äëÿ äîñòèæåíèÿ ëîêàëüíîãî
ìèíèìóìà â çàäà÷å ÌÏÊ ñ îêðåñòíîñòÿìè N1 è NF M1 ïðè ëþáîì ïðàâèëå
çàìåùåíèÿ.
Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ëîêàëüíîãî ïîèñêà ñ ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé òî÷êîé: äëÿ çàäàííûõ âõîäà, îêðåñòíîñòè è íà÷àëüíîãî ðåøåíèÿ
íàéòè ëîêàëüíûé ìèíèìóì, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ñòàíäàðòíûì àëãîðèòìîì ëîêàëüíîãî ñïóñêà èç äàííîãî íà÷àëüíîãî ðåøåíèÿ. Ðàíüøå òðåáîâàëîñü íàéòè ëþáîé ëîêàëüíûé ìèíèìóì, òåïåðü íàäî íàéòè ëîêàëüíûé
ìèíèìóì, äîñòèæèìûé èç çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ðåøåíèÿ. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ñ ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé òî÷êîé ëåæèò
â êëàññå P SP ACE [75]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îáúåì òðåáóåìîé ïàìÿòè äëÿ
ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà îãðàíè÷åí ïîëèíîìîì. Äåéñòâèòåëüíî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ äëèíà íà÷àëüíîãî ðåøåíèÿ, êàê è âñÿêîãî äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ,
îãðàíè÷åíà ïîëèíîìîì îò äëèíû âõîäà. Íàõîæäåíèå ëó÷øåãî ñîñåäà, åñëè
òàêîâîé ñóùåñòâóåò, îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, ïî îïðåäåëåíèþ çàäà÷è èç êëàññà PLS è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåáóåò ïîëèíîìèàëüíî
îãðàíè÷åííîé ïàìÿòè. Òàê êàê íå íóæíî õðàíèòü âñå ïðîìåæóòî÷íûå ðåøåíèÿ, òî òðåáóåìîå ïðîñòðàíñòâî âñåãäà ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè÷åíî.
Òåîðåìà 4 Íàõîæäåíèå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà â çàäà÷å ÌÏÊ ïðè ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ PSPACE-ïîëíîé çàäà÷åé ñ ëþáîé èç
ñëåäóþùèõ îêðåñòíîñòåé: N1 , NLK , NLK1 , NF M , NF M1 .
38
Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì àíàëîãè÷íîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ çàäà÷è î
p-ìåäèàíå [13].
2.3 Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà â ñðåäíåì ñëó÷àå
Èòàê, â õóäøåì ñëó÷àå âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìîâ îñíîâàííûõ
íà ëîêàëüíîì ñïóñêå îêàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé. Îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ è ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñ
ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íàéòè ëîêàëüíûé ìèíèìóì äëÿ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûõ îêðåñòíîñòåé íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Âîçíèêàåò âîïðîñ,
ÿâëÿåòñÿ ëè â ñðåäíåì àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà ïîëèíîìèàëüíûì?
Ïåðâûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé â ýòîì íàïðàâëåíèè ìîãóò áûòü íàéäåíû â [71].  ýòîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè âåùåñòâåííîçíà÷íîé ôóíêöèè F , îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå âåðøèí n-ìåðíîãî áóëåâà êóáà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ôóíêöèåé F ,
ðàçëè÷íûå. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ íà ôóíêöèþ F ñïèñîê âñåõ âåðøèí ìîæíî
óïîðÿäî÷èòü ïî çíà÷åíèþ ôóíêöèè îò íàèëó÷øåãî ê íàèõóäøåìó. Òàêîé
ïîðÿäîê âåðøèí îáîçíà÷èì ÷åðåç ν . Âåðøèíû n-ìåðíîãî áóëåâà êóáà ÿâëÿþòñÿ ñîñåäÿìè ïî îêðåñòíîñòè NF lip , åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà
òîëüêî îäíîé êîìïîíåíòîé.
Òåîðåìà 5 [71] Â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ëþáîé ïîðÿäîê âåðøèí ÿâëÿåòñÿ
ðàâíîâåðîÿòíûì, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà øàãîâ ñòàíäàðòíîãî
àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà ïî îêðåñòíîñòè NF lip ïðè ëþáîì ïðàâèëå
çàìåùåíèÿ íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû 32 en, ãäå e ëîãàðèôìè÷åñêàÿ êîíñòàíòà.
Ïðåäïîëîæåíèå î ðàâíîâåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ïîðÿäêîâ ìîæåò ïîêàçàòüñÿ îáðåìåíèòåëüíûì. Òåì íå ìåíåå óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì è â
áîëåå îáùåì ñëó÷àå.
Òåîðåìà 6 [71] Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ïîðÿäêîâ óäîâëåòâîðÿåò îòíîøåíèþ:
P (ν)
≤ 2αn , α > 0.
0
P (ν )
39
Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà øàãîâ àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà ñ îêðåñòíîñòüþ NF lip íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû (α + 2)en, ãäå e ëîãàðèôìè÷åñêàÿ êîíñòàíòà.
Ýòè ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò êàðäèíàëüíîå îòëè÷èå ïîâåäåíèÿ àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà â õóäøåì ñëó÷àå îò ïîâåäåíèÿ â ñðåäíåì. Òàêîé æå
âûâîä ñëåäóåò è èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé. Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ
çàäà÷ ðàçìåùåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ ïîêà íå óäàåòñÿ íàéòè
íåòðèâèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âåëè÷èí cij , gij , i ∈ I, j ∈ J, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿëè áû óñëîâèÿì òåîðåì 5, 6. Âîïðîñ î ïîëó÷åíèè âåðõíåé îöåíêè íà ñðåäíåå ÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà äëÿ çàäà÷ ðàçìåùåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè
ïîëèíîìèàëüíûìè îêðåñòíîñòÿìè îñòàåòñÿ îòêðûòûì.
2.4 Ïîãðåøíîñòü ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ
Ðàçäåë ïîñâÿùåí èçâåñòíûì òåîðåòè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì, êàñàþùèõñÿ êà÷åñòâà ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ, êàê ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé îïòèìèçàöèîííîé
çàäà÷è. Ðåçóëüòàòû âåðíû äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ, ò. ê. çàäà÷à î p-ìåäèàíå ÿâëÿåòñÿ å¼ ÷àñòíûì ñëó÷àåì.
Îïðåäåëåíèå 12 Îêðåñòíîñòü íàçûâàåòñÿ òî÷íîé, åñëè ëþáîé ëîêàëüíûé îïòèìóì ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì.
Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìîé îêðåñòíîñòè äåëàåò
ëîêàëüíûé ïîèñê òî÷íûì ìåòîäîì. Îäíàêî äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ (çàäà÷è êîììèâîÿæåðà, çàäà÷è î p-ìåäèàíå) ñóùåñòâîâàíèå òàêîé îêðåñòíîñòè âëå÷åò
P=NP [14].
Îïðåäåëåíèå 13 [9] Ïóñòü M ax(z) íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ ÷èñëî, ñîäåðæàùååñÿ âî âõîäå z . Îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à OP íàçûâàåòñÿ ïñåâäî-ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè÷åííîé, åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîì p îò äëèíû
âõîäà z è ÷èñëî M ax(z) òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî âõîäà z ∈ I è ëþáîãî
ðåøåíèÿ s ∈ Sol(z) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f (s, z) − f ∗ (z) ≤ p(|z|, M ax(z)),
ãäå f ∗ (z) îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè.
40
Îáîçíà÷èì ÷åðåç NPOB ìíîæåñòâî ïñåâäî-ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè÷åííûõ
îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷.
Òåîðåìà 7 [13] Ïóñòü OP ∈ NPOB , (OP, N ) ∈ PLS è öåëåâàÿ ôóíêöèÿ
ïðèíèìàåò òîëüêî öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Åñëè P6=NP è çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ ñ ãàðàíòèðîâàííîé îöåíêîé òî÷íîñòè ρ
äëÿ çàäà÷è OP ∈ NPOB ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé â ñèëüíîì ñìûñëå, òî íàéäóòñÿ èñõîäíûå äàííûå, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ëîêàëüíûé îïòèìóì,
îòêëîíÿþùèéñÿ áîëåå ÷åì â ρ ðàç îò îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ñëåäñòâèå 1 Åñëè P 6= N P è çàäà÷à OP ∈ NPOB ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé
â ñèëüíîì ñìûñëå, òî äëÿ íå¼ íå ñóùåñòâóåò òî÷íûõ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûõ îêðåñòíîñòåé.
Ðåçóëüòàòû òåîðåìû 7 ìîãóò áûòü óñèëåíû.
Òåîðåìà 8 [13] Åñëè NP6=co-NP è çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ ñ ãàðàíòèðîâàííîé îöåíêîé òî÷íîñòè ρ äëÿ çàäà÷è OP ÿâëÿåòñÿ
NP-òðóäíîé, òî íàéäóòñÿ èñõîäíûå äàííûå, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò
ëîêàëüíûé îïòèìóì â çàäà÷å (OP, N ) ∈ PLS, îòêëîíÿþùèéñÿ áîëåå ÷åì
â ρ ðàç îò çíà÷åíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ñëåäñòâèå 2 Åñëè N P 6=co-NP è çàäà÷à OP ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, òî
äëÿ íå¼ íå ñóùåñòâóåò òî÷íûõ ïîëèíîìèàëüíî ïðîâåðÿåìûõ îêðåñòíîñòåé.
2.5 Ëîêàëüíî ñåäëîâûå òî÷êè
Ïóñòü â çàäà÷å ÌÏÊ äëÿ êàæäîãî i ∈ I çàäàíû fi ñòîèìîñòè îòêðûòèÿ
i-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, à îãðàíè÷åíèå (1.2) îòñóòñòâóåò. Òîãäà ïîëó÷åííàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò äâóõóðîâíåâóþ çàäà÷ó ðàçìåùåíèÿ ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè
êëèåíòîâ:
X
XX
min(
fi yi +
cij x∗ij (y))
y
i∈I
(2.1)
i∈I j∈J
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I,
41
(2.2)
ãäå x∗ij (y) îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è êëèåíòà:
min
XX
X
X
(2.3)
gij xij
i∈I j∈J
(2.4)
xij = 1, j ∈ J,
i∈I
xij ≤ yi , i ∈ I, j ∈ J,
(2.5)
xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J.
(2.6)
 [7] óñòàíîâëåíî ñâåäåíèå ýòîé çàäà÷è ê çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìîâ îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ. Âïåðâûå íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà òàêîå ñâåäåíèå áûëî ïðåäëîæåíî Áåðåñíåâûì â [3] è Õàììåðîì â [41] äëÿ ïðîñòåéøåé
çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è (2.1)-(2.6),
êîãäà ìàòðèöû (cij ) è (gij ) ñîâïàäàþò. Àíàëîãè÷íîå ñâåäåíèå ëåãêî ïîñòðîèòü è äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ. Äëÿ ýòîãî óïîðÿäî÷èì êàæäûé ñòîëáåö j ∈ J ïî
âîçðàñòàíèþ:
gij1 j < gij2 j < . . . < gijm j
è Sij = {k ∈ I|gkj < gij }, i ∈ I, j ∈ J . Îáîçíà÷èì ∇cij j = cij j , ∇cij j =
1
1
l
cij j − cij j , 1 < l ≤ m, zi = 1 − yi , i ∈ I, j ∈ J . Âûïèøåì ñëåäóþùóþ
l
l−1
çàäà÷ó.
Ìèíèìèçèðîâàòü çíà÷åíèå ïîëèíîìà:
P (z) =
XX
∇cij
i∈I j∈J
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
X
Y
(2.7)
zk
k∈Sij
(2.8)
zi = m − p,
i∈I
(2.9)
zi ∈ {0, 1}, i ∈ I.
Òåîðåìà 9 [2] Çàäà÷à (1.1)-(1.7) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ (2.7)-(2.9).
Çàìåíèì óñëîâèå öåëî÷èñëåííîñòè (2.9) íà íåïðåðûâíîå óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè îòðåçêó [0, 1] è âûïèøåì äëÿ ðåëàêñèðîâàííîé çàäà÷è (2.7)-(2.9)
ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñ ìíîæèòåëÿìè λ, µi ≥ 0, σi ≥ 0, i ∈ I :
L(z, λ, µ, σ) = P (z) + λ(m − p −
X
i∈I
42
zi ) +
X
i∈I
σi (zi − 1) −
X
i∈I
µi zi .
0
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pi (z) ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè P (z) ïî ïåðåìåííîé zi . Òîãäà óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè Êóíà-Òàêêåðà èìåþò âèä:
∂L
0
(z, λ, µ, σ) = Pi (z) − λ + σi − µi = 0, i ∈ I,
∂zi
X
zi = m − p,
(2.10)
(2.11)
i∈I
0 ≤ zi ≤ 1, i ∈ I
(2.12)
σi (zi − 1) = 0, i ∈ I,
(2.13)
µi zi = 0, i ∈ I.
(2.14)
Îïðåäåëåíèå 14 Âåêòîð (z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî ñåäëîâîé òî÷êîé îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 , åñëè
(1)
(2)
L(z ∗ , λ, µ, σ) ≤ L(z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) ≤ L(z, λ∗ , µ∗ , σ ∗ )
äëÿ ëþáûõ λ, µ ≥ 0, σ ≥ 0 è ëþáîãî âåêòîðà èç îêðåñòíîñòè N1 (z ∗ ).
Òåîðåìà 10 Äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ Y ∗ çàäà÷è ÌÏÊ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
1) ñóùåñòâóþò ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà λ∗ , µ∗i ≥ 0, σi∗ ≥ 0, i ∈ I òàêèå,
÷òî âåêòîð (z(Y ∗ ), λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ñåäëîâîé òî÷êîé îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 ôóíêöèè L;
2) Y ∗ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìóìîì îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 ;
3) z(Y ∗ ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Êóíà-Òàêêåðà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì, ÷òî èç 1) ñëåäóåò 2). Ïóñòü (z(Y ∗ ), λ∗ , µ∗ , σ ∗ )
ñåäëîâàÿ òî÷êà îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 . Îáîçíà÷èì z ∗ = z(Y ∗ ). Èç
íåðàâåíñòâà (1) ïîëó÷àåì, ÷òî
(3)
L(z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) =
sup
(4)
L(z ∗ , λ, µ, σ) = P (z ∗ ).
λ,µ≥0,σ≥0
Ðàâåíñòâî (3) î÷åâèäíî. Ïðîâåðèì (4). Ïîñêîëüêó zi∗ − 1 < 0 èëè zi∗ > 0,
òî ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà σi∗ èëè µ∗i ðàâíû 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàâåíñòâî (3) íå âåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè
X
λ(
zi∗ − m + p) = 0, σi∗ (zi∗ − 1) = 0, µ∗i zi∗ = 0, i ∈ I,
∗
i∈I
43
òàêèì îáðàçîì (4) äîêàçàíî. Èç (2), (3) è (4) ïîëó÷àåì, ÷òî
P (z ∗ ) ≤ L(z, λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) äëÿ âñåõ z ∈ N1 (z ∗ ).
Òàê êàê ëþáîé âåêòîð z ∈ N1 (z ∗ ) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì ðåøåíèåì çàäà÷è,
òî
X
X
X
F (Y ∗ ) = P (z ∗ ) ≤ P (z)+λ∗ (
zi −m+p)+
σi∗ (zi −1)−
µ∗i zi ≤ P (z) =
i∈I
i∈I
i∈I
= F (Y (z)), ãäå Y (z) ∈ N1 (Y ∗ ).
Ñëåäîâàòåëüíî, Y ∗ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìóìîì îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 .
Ïðîâåðèì, ÷òî èç 2) ñëåäóåò 3). Ïóñòü Y ∗ ëîêàëüíûé îïòèìóì îòíîñèòåëüíî
îêðåñòíîñòè N1 . Òîãäà áóëåâ âåêòîð z ∗ = z(Y ∗ ) óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ
P
∗
i∈I zi = m − p è ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì äëÿ P (z) ïî îêðåñòíîñòè N1 . Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîæèòåëè λ∗ , µ∗i ≥ 0, σi∗ ≥ 0, i ∈
I , ÷òî âåêòîð (z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé òî÷êîé îòíîñèòåëüíî îêðåñò00
íîñòè N1 ôóíêöèè L. Ïóñòü Pi0 i1 (z) âòîðàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ P (z) ïî
ïåðåìåííûì zi0 è zi1 . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ
0
00
0
00
0
4i−i
(y) = Pi0 (z)zi0 − Pi0 i1 (z)zi0 zi1 ,
1
1
4i−i
(z) = Pi1 (z)zi1 − Pi0 i1 (z)zi0 zi1 ,
0
00
0
1
4−i0 −i1 (z) = P (z) − Pi0 i1 (z)zi0 zi1 − 4i−i
(z) − 4i−i
(z).
1
0
Ñëåäîâàòåëüíî,
00
0
1
P (z) = Pi0 i1 (z)zi0 zi1 + 4i−i
(z) + 4i−i
(z) + 4−i0 −i1 (z).
1
0
(5)
Âîçüì¼ì z ∈ N1 (z ∗ ), zi∗0 = 0, zi∗1 = 1, zi0 = 1, zi1 = 0 è zi = zi∗ , äëÿ âñåõ
i 6= i0 , i1 . Ó÷èòûâàÿ (5) ïîëó÷àåì
0
1
P (z ∗ ) = 4i−i
(z ∗ ) + 4−i0 −i1 (z ∗ ) = Pi1 (z ∗ ) + 4−i0 −i1 (z ∗ ),
0
0
0
P (z) = 4i−i
(z) + 4−i0 −i1 (z) = Pi0 (z ∗ ) + 4−i0 −i1 (z ∗ ).
1
Èòàê,
0
0
P (z ∗ ) − P (z) = Pi1 (z ∗ ) − Pi0 (z ∗ ).
(6)
Èç ëîêàëüíîé îïòèìàëüíîñòè z ∗ èìååì
0
0
Pi1 (z ∗ ) − Pi0 (z ∗ ) ≤ 0.
44
(7)
Ðàññìîòðèì èíäåêñû i∗0 , i∗1 òàêèå, ÷òî
0
0
0
0
Pi∗0 (z ∗ ) = min
Pi (z ∗ ), Pi∗1 (z ∗ ) = max
Pi (z ∗ ).
∗
∗
i: zi =0
i: zi =1
0
0
Ïîäñòàâëÿÿ i∗0 , i∗1 â (7), ïîëó÷àåì Pi∗1 (z ∗ ) ≤ Pi∗0 (z ∗ ).
0
0
Ïîëîæèì λ∗ ∈ [Pi∗1 (z ∗ ), Pi∗0 (z ∗ )] è
(
µ∗i
=
(
σi∗
=
0
Pi (z ∗ ) − λ∗ ≥ 0, åñëè zi∗ = 0,
0
èíà÷å,
0
λ∗ − Pi (z ∗ ) ≥ 0, åñëè zi∗ = 1,
0
èíà÷å.
Ïîëó÷àåì µ∗ ≥ 0, σ ∗ ≥ 0 è óñëîâèÿ äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè
X
λ∗ (
zi∗ − m + p) = 0, σi∗ (zi∗ − 1) = 0, µ∗i zi∗ = 0, i ∈ I.
i∈I
À òàêæå
∂L ∗ ∗ ∗ ∗
0
(z , λ , µ , σ ) = Pi (z ∗ ) − λ∗ + σi∗ − µ∗i = 0, i = 1, . . . , m.
∂zi
Äîêàçàëè, ÷òî èç 2) ñëåäóåò 3).
Ïðîâåðèì, ÷òî èç 3) ñëåäóåò 1). Èç óñëîâèé äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè
ïîëó÷àåì
L(z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) = P (z ∗ ).
Âîçüì¼ì z ∈ N1 (z ∗ ), zi∗0 = 0, zi∗1 = 1, zi0 = 1, zi1 = 0 è zi = zi∗ , äëÿ âñåõ
i 6= i0 , i1 , òîãäà
L(z, λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) = P (z)+λ∗ (
X
X
X
zi −m+p)+
σi∗ (zi −1)−
µ∗i zi = P (z)−σi∗1 −µ∗i0 .
i∈I
i∈I
i∈I
0
Òàê êàê Pi (z) − λ + σi − µi = 0, i = 1, . . . , m, è âûïîëíåíû óñëîâèÿ äîïîë0
0
íÿþùåé íåæåñòêîñòè, òî ïîëó÷àåì σi∗1 = λ∗ − Pi1 (z ∗ ), µ∗i0 = Pi0 (z ∗ ) − λ∗ . Èç
ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî
0
0
L(z, λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) = P (z) + Pi1 (z ∗ ) − Pi0 (z ∗ ).
Ó÷èòûâàÿ (6),ïîëó÷àåì
0
0
L(z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ) = P (z ∗ ) = P (z) + Pi1 (z ∗ ) − Pi0 (z ∗ ) = L(z, λ∗ , µ∗ , σ ∗ ).
45
Òàêèì îáðàçîì äîêàçàëè (2). Çàìåòèì, ÷òî
X
X
X
∗
∗
L(z , λ, µ, σ) = P (z ) + λ(
zi − m + p) +
σi (zi − 1) −
µi zi∗ =
∗
∗
i∈I
= P (z ∗ ) −
X
i: zi∗ =0
σi −
i∈I
X
i∈I
µi ≤ P (z ∗ ) = L(z ∗ , λ∗ , µ∗ , σ ∗ ).
i: zi∗ =1
Òåîðåìà äîêàçàíà.
46
Ãëàâà 3
Ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû
 äàííîé ãëàâå äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðåäëàãàåòñÿ àëãîðèòì ãåíåòè÷åñêîãî ëîêàëüíîãî ïîèñêà, èñïîëüçóþùèé â êà÷åñòâå ïîïóëÿöèè ëîêàëüíûå îïòèìóìû ïî îêðåñòíîñòè ËèíàÊåðíèãàíà. Äëÿ îöåíêè
êà÷åñòâà ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé èñïîëüçóþòñÿ ñâåäåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ê
çàäà÷àì öåëî÷èñëåííîãî ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïðåäëîæåíî íîâîå
ñâåäåíèå, äîìèíèðóþùåå óæå èçâåñòíûå ïî çíà÷åíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû íà ïðèìåðàõ ñ
áîëüøèì ðàçðûâîì äâîéñòâåííîñòè.
3.1 Íèæíèå îöåíêè îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ñâåäåíèÿ çàäà÷è (1.1)(1.7) ê çàäà÷àì ÖËÏ
è ïîêàæåì èõ ðàçëè÷èÿ ïðè âû÷èñëåíèè íèæíèõ îöåíîê ìåòîäàìè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
3.1.1 Ñâåäåíèÿ ê çàäà÷àì ÖËÏ
j
Îïðåäåëèì äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà j ∈ J ìàòðèöû (gij ) ïåðåñòàíîâêó (i1 , ..., ijm ):
gij1 j < gij2 j < · · · < gijm j
(3.1)
è ìíîæåñòâà Sij = {k ∈ I | gkj < gij }, Tij = {k ∈ I | gkj > gij }, i ∈
I. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è êëèåíòîâ èìååò ìåñòî
ñëåäóþùàÿ èìïëèêàöèÿ:
(xij = 1) =⇒ (yk = 0), k ∈ Sij .
47
(3.2)
Òîãäà çàäà÷à (1.1)(1.7) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå: íàéòè
min
XX
(3.3)
cij xij
i∈I j∈J
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
yk ≤ 1 − xij ,
X
xij = 1,
k ∈ Sij ;
i ∈ I; j ∈ J
(3.4)
(3.5)
j∈J
i∈I
X
(3.6)
yi = p,
i∈I
(3.7)
xij ≤ yi , i ∈ I; j ∈ J
xij , yi ∈ {0, 1},
(3.8)
i ∈ I.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3)(3.8) âñå îãðàíè÷åíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è (1.1)(1.7) áóäóò âûïîëíåíû, à ãðóïïà îãðàíè÷åíèé
(3.4) ãàðàíòèðóåò, ÷òî xij áóäåò îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è êëèåíòîâ.
Îòáðàñûâàÿ óñëîâèÿ áóëåâîñòè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ ðåëàêñàöèþ çàäà÷è. Îáîçíà÷èì ÷åðåç LB1 å¼ îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ýòà âåëè÷èíà, î÷åâèäíî, äà¼ò íèæíþþ îöåíêó îïòèìóìà èñõîäíîé çàäà÷è. Ïðè òàêîì
ñâåäåíèè ÷èñëî ïåðåìåííûõ îñòàëîñü ïðåæíèì è ðàâíûì m + mn, à ÷èñëî
îãðàíè÷åíèé ñòàëî íà O(m2 n) áîëüøå. ×òîáû èçáåæàòü áîëüøîãî ÷èñëà
äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé, óñëîâèå (3.2) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
X
yk ≤ |Sij |(1 − xij ),
i ∈ I; j ∈ J.
(3.9)
k∈Sij
Ýòè îãðàíè÷åíèÿ (3.9) ïîëó÷àþòñÿ ñóììèðîâàíèåì îãðàíè÷åíèé (3.4). Íîâîå ñâåäåíèå ïðèâîäèò àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ê íîâîé íèæíåé îöåíêå. Îáîçíà÷èì å¼ LB2 . ×èñëî äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé ñîêðàòèëîñü äî mn,
îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è îò ýòîãî íå èçìåíèëîñü, íî ëèíåéíàÿ ðåëàêñàöèÿ ñòàëà áîëåå ñëàáîé, LB1 ≥ LB2 . Óñëîâèå (3.2) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàêæå
â âèäå:
yi ≤ xij +
X
yk
i ∈ I; j ∈ J.
(3.10)
k∈Sij
÷òî äà¼ò åùå îäíî ñâåäåíèå è íèæíþþ îöåíêó LB3 . Ïðèâåäåííûå íèæíèå
îöåíêè áûëè ïðåäëîæåíû â ðàáîòå [6]. Â äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ
íîâîå ñâåäåíèå ê çàäà÷å ÖËÏ.
48
Ëåììà 5 Óñëîâèÿ (3.4), (3.5), (3.7) îïðåäåëÿþò òå æå âåëè÷èíû (xij ),
(yi ), ÷òî (3.5), (3.7) è
yi ≤ xij +
X
xkj
i ∈ I; j ∈ J.
(3.11)
k∈Sij
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ðåøåíèå (xij ), (yi ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3.4),
(3.5), (3.7). Ïîêàæåì, ÷òî âåðíî íåðàâåíñòâî (3.11). Ò. ê.
yk ≤ 1 − xij k ∈ Sij , i ∈ I, j ∈ J,
òîãäà, åñëè yk = 1 äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ Sij , òî xij = 0 äëÿ âñåõ i ∈
P
Tkj , j ∈ J. Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ i∈I xij = 1, j ∈ J , ïîëó÷àåì, ÷òî
P
P
xkj + i∈Skj xij = 1, à çíà÷èò yk ≤ xkj + i∈Skj xij äëÿ êàæäîãî i ∈ I, j ∈ J
è (3.11) âåðíî.
Ïóñòü (xij ), (yi ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3.5), (3.7) è (3.11). Òîãäà â ñèëó
îãðàíè÷åíèé (3.7) è (3.11) âåðíî (3.10). Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ ñ ïîìîùüþ (3.11) íîâàÿ íèæíÿÿ îöåíêà, íàçîâ¼ì åå LB4 , äîìèíèðóåò òðè ïðåäøåñòâóþùèå ïî çíà÷åíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè.
Òåîðåìà 11 LB4 ≥ max(LB1 , LB2 , LB3 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì îãðàíè÷åíèå (3.5) â âèäå
1−
X
xkj = xij +
k∈Tij
X
xkj .
k∈Sij
Òîãäà îãðàíè÷åíèå (3.11) ïðèìåò âèä yi ≤ 1−
P
k∈Tij
xkj , ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò
âûïîëíåíî (3.4). Îãðàíè÷åíèÿ (3.9) îñòàþòñÿ âåðíûìè, ò. ê. ïîëó÷àþòñÿ
ñóììèðîâàíèåì îãðàíè÷åíèé (3.4). Ïîñêîëüêó xij ≤ yi , i ∈ I, j ∈ J , òî
xij +
X
xkj ≤ xij +
k∈Sij
X
yk ,
k∈Sij
ñëåäîâàòåëüíî, (3.10) âûïîëíÿåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå LB4 íå ìîæåò
áûòü ìåíüøå LB1 , LB2 , LB3 . Òåîðåìà 11 äîêàçàíà.
49
3.1.2 Câåäåíèå ê çàäà÷å ñ ïàðîé ìàòðèö
Ðàññìîòðèì ìàòðèöû A = (aij ), i ∈ I, j ∈ J1 è B = (bij ), i ∈ I, j ∈ J2 , ó
êîòîðûõ ÷èñëî ñòðîê ñîâïàäàåò, à ÷èñëî ñòîëáöîâ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì.
Çàäà÷à ñ ïàðîé ìàòðèö (ÏÌ) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íàéòè íåïóñòîå
ïîäìíîæåñòâî ñòðîê S ⊆ I íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì ñëåäóþùåé
öåëåâîé ôóíêöèè [1]:
R(S) =
X
j∈J1
max aij +
i∈S
X
j∈J2
min bij .
i∈S
Çàìåòèì, ÷òî åñëè J1 = I , aij = ai ïðè i = j è aij = 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
òî ïîëó÷àåì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó ðàçìåùåíèÿ [54]. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à
ñ ïàðîé ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé â ñèëüíîì ñìûñëå.
Èçâåñòíî [8], ÷òî äëÿ çàäà÷è (1.1)(1.7) ìîæíî ïîñòðîèòü ñâåäåíèå ê çàäà÷å ÏÌ ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì |S| = p. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñâåäåíèÿ
ïðåäñòàâèì ìàòðèöó (cij ) â âèäå ñóììû äâóõ ìàòðèö cij = aij + bij , i ∈
I, j ∈ J, ãäå
aij1 j = 0, aij j =
k
k−1
X
min{0; cij
l+1 j
l=1
bij1 j = cij1 j , bij j = cij1 j +
k
k−1
X
− cij j }, k = 2, . . . , m, j ∈ J,
l
max{0; cij
l+1 j
l=1
(3.12)
− cij j }, k = 2, . . . , m, j ∈ J, (3.13)
l
j
ïåðåñòàíîâêà (i1 , . . . , ijm ), j ∈ J ñîîòâåòñòâóåò (3.1). Î÷åâèäíî, ÷òî
aij1 j ≥ aij2 j ≥ · · · ≥ aijm j
bij1 j ≤ bij2 j ≤ · · · ≤ bijm j
ïðè âñåõ j ∈ J.
Òîãäà, çàäà÷à (1.1)(1.7) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ñëåäóþùåì âèäå: íàéòè
X
X
min (
max aij +
min bij ).
S⊂I,|S|=p
j∈J
i∈S
j∈J
i∈S
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèæíåé îöåíêè ýòó çàäà÷ó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå çàäà÷è ÖËÏ è âû÷èñëèòü îïòèìóì â ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè. Îäíàêî, ïðåäñòàâëåíèå â òåðìèíàõ ÖËÏ ìîæåò îêàçàòüñÿ íååäèíñòâåííûì. Êàê ìû óæå
50
âèäåëè, ðàçíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîãóò ïðèâîäèòü ê ðàçíûì íèæíèì îöåíêàì. Íèæå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ çàäà÷è ÏÌ, ïåðâîå èç êîòîðûõ ïðèâîäèò ê ñëàáîé íèæíåé îöåíêå, à âòîðîå ê íèæíåé
îöåíêå, êîòîðàÿ íå õóæå, ÷åì L4 . Ââåä¼ì âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå
zij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J , è ïðåäñòàâèì çàäà÷ó ÏÌ â ñëåäóþùåì âèäå:
íàéòè
XX
XX
bij xij }
(3.14)
zkj + zij , i ∈ I; j ∈ J;
(3.15)
min{
aij zij +
i∈I j∈J
i∈I j∈J
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
yi ≤
X
k∈Sij
X
xij = 1,
j∈J
(3.16)
zij = 1,
j∈J
(3.17)
i∈I
X
i∈I
X
yi = p,
(3.18)
i∈I
0 ≤ xij ≤ yi , i ∈ I; j ∈ J
(3.19)
0 ≤ zij ≤ yi , i ∈ I; j ∈ J
(3.20)
zij , xij , yi ∈ {0, 1}, i ∈ I; j ∈ J.
(3.21)
Ïîñêîëüêó bij j ≤ bij j ≤ · · · ≤ bijm j , j ∈ J, òî êàæäûé ñòîëáåö j ìàòðèöû
1
2
(bij ) çàäàåò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è ñòîëáåö j ìàòðèöû (gij ). Îãðàíè÷åíèÿ
(3.15) ãàðàíòèðóþò, ÷òî j -é êëèåíò äåëàåò âûáîð ñîãëàñíî ñîáñòâåííûì
ïðåäïî÷òåíèÿì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç LB5 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè çàäà÷è (3.14)(3.21), à ÷åðåç LB50 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè ýòîé æå çàäà÷è ñ äîïîëíèòåëüíûì íàáîðîì îãðàíè÷åíèé
xij = zij , i ∈ I, j ∈ J . Çàìåòèì, ÷òî LB50 ≥ LB5 è LB50 = LB4 .
Òåîðåìà 12 Äëÿ ëþáîãî N > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è (1.1)(1.7), ÷òî LB5 ≤ −N .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ öåëîãî k ≥ N + 2 ïîëàãàåì I = {1, . . . , k + p}, J =
51
{1, 2}, p ∈ Z + , dij = k + p − i è

0, åñëè





 k, åñëè
cij =
1, åñëè



1, åñëè



0, åñëè
i < p,
i = p,
i > p,
i < p,
i ≥ p,
j
j
j
j
j
Cîãëàñíî (3.12), (3.13) ïîëó÷àåì


 −k,
aij =
0,

 0,
åñëè
åñëè
åñëè
xij =
0,
1/k,
i < p, j = 1;
i ≥ p, j = 1;
j = 2;
åñëè
åñëè
i ≤ p, j ∈ J;
i > p, j ∈ J;

1 − 1/k,





 1/k,
zij =
0,



0,



1/k,
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
i ∈ I, j ∈ J.


 k,
bij =
1,

c ,
ij
Ðåøåíèå
(
= 1;
= 1;
= 1;
= 2;
= 2;
åñëè
åñëè
åñëè


 1,
yi =
0,

 1/k,
i = p − 1,
i = p + k,
i 6= p − 1,
i ≤ p,
i > p,
i ≤ p, j = 1;
i > p, j = 1;
j = 2.
åñëè
åñëè
åñëè
j = 1;
j = 1;
i 6= p + k,
j = 2;
j = 2;
i < p;
i = p;
i > p;
j = 1;
ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì ðåøåíèåì ðåëàêñèðîâàííîé çàäà÷è (3.14)(3.20) è
LB5 ≤ (−k)(1 − 1/k) +
k
P
i=1
1/k = 2 − k. Òåîðåìà 12 äîêàçàíà.
3.1.3 Íîâîå ñâåäåíèå ê çàäà÷å ñ ïàðîé ìàòðèö
Ïðåäñòàâèì íîâóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è ÏÌ â âèäå çàäà÷è ÖËÏ è ïîêàæåì, ÷òî ðåëàêñàöèÿ ïîëó÷åííîé çàäà÷è äà¼ò íèæíþþ îöåíêó íå õóæå, ÷åì
LB4 . Äëÿ j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû (cij ) è ñîîòâåòñòâóþùåé (3.1) ïåðåñòàíîâêè
(ij1 , ..., ijm )
∆jl = min{0; cij
l+1 j
− cij j }, l = 1, . . . , m − 1.
l
j
Ïóñòü Lj = {l ∈ {1, ..., m − 1} | ∆l < 0}. Çàìåòèì, ÷òî ïðè çàäàííîì j ∈ J
j
ïî íîìåðó l ∈ Lj îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ íîìåð il ∈ I . Çàìåíèì j -é
52
ñòîëáåö ìàòðèöû (aij ) íà |Lj | ñòîëáöîâ âèäà
(
ail =
0,
åñëè i ∈ Tij j
l
i ∈ I, l ∈ Lj .
j
−∆l , åñëè i ∈
/ Tij j
l
Òîãäà
aij =
X
(ail + ∆jl ), i ∈ I, j ∈ J
l∈Lj
è çàäà÷à ÏÌ ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå:
min
P
yi ∈{0,1},
X
XX j
XX
{
max ail +
min bij } +
∆l .
yi =p
i∈I
j∈J l∈Lj
i|yi =1
j∈J
i|yi =1
(3.22)
j∈J l∈Lj
j
Ââåä¼ì äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå vl ∈ {0, 1}, l ∈ Lj , j ∈ J è ïðåäñòàâèì ýòó çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè
XX
XX
XX j
j j
min{
−∆l vl +
bij xij } +
∆l
j∈J l∈Lj
i∈I j∈J
(3.23)
j∈J l∈Lj
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
yi ≤ xij +
X
xkj , i ∈ I, j ∈ J,
(3.24)
k∈Sij
X
i∈I
xij = 1, j ∈ J,
X
yi = p,
(3.25)
(3.26)
i∈I
0 ≤ xij ≤ yi , i ∈ I, j ∈ J,
X
vlj ≥
xkj 0 , l ∈ Lj , j ∈ J, j 0 ∈ J,
(3.27)
(3.28)
k ∈T
/ ij j
l
vlj , yi , xij ∈ {0, 1}, l ∈ Lj , j ∈ J, i ∈ I.
(3.29)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç LB6 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè ýòîé çàäà÷è.
Òåîðåìà 13 LB6 ≥ LB4 .
53
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî çàäà÷à (3.3), (3.11), (3.5)(3.8) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å (3.23)(3.27), (3.29) ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì
vlj
X
=
(3.30)
xkj , l ∈ Lj , j ∈ J.
k ∈T
/ ij j
l
Òàê êàê cij = aij + bij , i ∈ I, j ∈ J , òî
X
cij xij =
i∈I
X
−∆jl vlj +
l∈Lj
X
∆jl +
X
bij xij ,
i∈I
l∈Lj
j
äëÿ âñåõ j ∈ J è äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ vl , xij çàäà÷è (3.23)(3.27), (3.29),
(3.30). Äåéñòâèòåëüíî,
X
X
−∆jl vlj +
l∈Lj
=
∆jl =
l∈Lj
X
∆jl
l∈Lj
X
X
∆jl (1 − vlj )
l∈Lj
xkj =
k∈Tij j
m
X
k=2
xij j
k
k−1
X
∆jl
l=1
l
=
m
X
aij j xij j =
k
k=2
k
X
aij xij .
i∈I
Çàìåòèì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî âåðíî êàê äëÿ öåëî÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, òàê è äëÿ äðîáíûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à (3.3), (3.11), (3.5)(3.8)
ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å (3.23)(3.27), (3.29), (3.30). Òîãäà çíà÷åíèå LB4 ðàâíî
îïòèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ëèíåéíîé ðåëàêñàöèè çàäà÷è (3.23)(3.27), (3.30).
Ïðè÷åì, åñëè îãðàíè÷åíèÿ (3.30) çàìåíèòü íà îãðàíè÷åíèÿ
vlj
≥
X
xkj , l ∈ Lj , j ∈ J,
(3.31)
k ∈T
/ ij j
l
òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ, òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à íà
j
ìèíèìóì, êîýôôèöèåíòû â öåëåâîé ôóíêöèè (3.23) ïðè vl ïîëîæèòåëüíûå
(−∆jl ≥ 0) è, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿ vlj îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïåðåìåííûì xij . Íî îãðàíè÷åíèÿ (3.31) ñîñòàâëÿþò ÷àñòü îãðàíè÷åíèé (3.28),
ñëåäîâàòåëüíî LB4 ≤ LB6 . Òåîðåìà 13 äîêàçàíà.
Òåîðåìà 14 Äëÿ ëþáîãî N > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è (1.1)(1.7), ÷òî LB6 /LB4 ≥ N .
54
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k = N è èñõîäíûå äàííûå òå æå, ÷òî è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 12. Òîãäà ðåøåíèå


 1,
yi =
0,

 1/k,

1 − 1/k,





 1/k,
xij =
0,



0,



1/k,
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
i < p;
i = p;
i > p;
i = p − 1,
i = p + k,
i 6= p − 1; i 6= p + k,
i ≤ p,
i > p,
j
j
j
j
j
= 1;
= 1;
= 1;
= 2;
= 2;
ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì äëÿ çàäà÷è (3.3), (3.5)(3.7), (3.11). Ñëåäîâàòåëüíî,
LB4 ≤ 1/k. Äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à ê çàäà÷å (3.23) (3.24) èìååò âèä: íàéòè
max(
X
uj + pr) +
j∈J
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
X
XX
∆jl
j∈J l∈Lj
tlj 0 ≤ −∆jl ,
l ∈ Lj , j ∈ J,
j 0 ∈J
X
(wij − αij ) + r ≤ 0,
i ∈ I,
j∈J
αij +
X
αkj + uj − wij −
XX
(tlj 0 |l ∈
/ Tij 0 ) ≤ bij ,
i ∈ I, j ∈ J,
j 0 ∈J l∈Lj 0
k∈Tij
l ∈ Lj , j ∈ J, j 0 ∈ J, i ∈ I.
wij ≥ 0, αij ≥ 0, tlj 0 ≥ 0,
j
Äëÿ ïðèâåä¼ííûõ èñõîäíûõ äàííûõ èìååì: Lj = {1}, ∆l = −k äëÿ j =
1, Lj = ∅, äëÿ j = 2 è
(
0,
k,
åñëè
åñëè
i < p, j = 1;
i ≥ p j = 1;


k,


 1,
bij =

1,



0,
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
i ≤ p,
i > p,
i < p,
i ≥ p,
āij =
55
j
j
j
j
= 1;
= 1;
= 2;
= 2.
Ðåøåíèå
(
wij = αij = r = 0, u = (k, 1), tlj 0 =
k − 1,
1,
åñëè
åñëè
l = 1, j 0 = 1;
l = 1, j 0 = 2;
ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì â äâîéñòâåííîé çàäà÷å. Ñëåäîâàòåëüíî, LB6 ≥ k +
1 − k = 1. Òåîðåìà 14 äîêàçàíà.
3.2 Ïðîöåäóðà Ðåçåíäå è Âåðíåêà
Ïðè ðåàëèçàöèè ïðîöåäóðû ëîêàëüíîãî ïîèñêà íåîáõîäèìî ïðîñìàòðèâàòü
îêðåñòíîñòü òåêóùåãî ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü N1 (y), îïèñàíèå
êîòîðîé ïðèâîäèëîñü â ïåðâîé ãëàâå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ìíîæåñòâî íîìåðîâ îòêðûòûõ ïðåäïðèÿòèé â ðåøåíèè y , ò. å. S = {i ∈ I|yi = 1}. Òîãäà
N1 (y) ñîäåðæèò âñå ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè îòêðûòèè ïðåäïðèÿòèÿ íå
ïðèíàäëåæàùåãî S è çàêðûòèè íåêîòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ èç S . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðîñìîòðå îêðåñòíîñòè íåîáõîäèìî ïåðåáèðàòü âñåâîçìîæíûå
ïàðû (iS , iS ), ãäå iS ∈ S, iS ∈ I \ S è âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè íà íîâîì ðåøåíèè. Åñëè â êà÷åñòâå ïðàâèëà çàìåùåíèÿ âûáðàí ñïóñê
â íàïðàâëåíèè íàèëó÷øåãî, íàèõóäøåãî èëè ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà, òî ïåðåáèðàòü ïðèõîäèòñÿ âñå âîçìîæíûå ïàðíûå çàìåíû. Òåéòöîì è Áàðòîì â
ðàáîòå [72] äëÿ êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î p-ìåäèàíå áûëà ïðåäëîæåíà ïðîöåäóðà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü ñïóñê â íàïðàâëåíèå íàèëó÷øåãî ýëåìåíòà ñ òðóäîåìêîñòüþ O(mnp). Ðåçåíäå è Âåðíåê ïðåäëîæèëè ñõåìó [66],
êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óñêîðèòü ýòîò ïðîöåññ äî O(max(p, m)n).
Ýòà ñõåìà ìîæåò áûòü àäàïòèðîâàíà ê çàäà÷å ÌÏÊ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Äëÿ çàäàííîãî ðåøåíèÿ S ïóñòü:
Φ1 (j), j ∈ J íîìåð ïðåäïðèÿòèÿ, êîòîðîìó j -ûé êëèåíò îòäàåò íàèáîëüøåå ïðåäïî÷òåíèå;
Φ2 (j), j ∈ J íîìåð ñëåäóþùåãî ïî ïðåäïî÷òåíèÿì ïîñëå Φ1 (j) ïðåäïðèÿòèÿ;
g1 (j), g2 (j) âåëè÷èíû gΦ1 (j)j , gΦ2 (j)j , ñîîòâåòñòâåííî.
c1 (j), c2 (j) òðàíñïîðòíûå ðàñõîäû ïðè îáñëóæèâàíèè j -ãî êëèåíòà èç ïðåäïðèÿòèé Φ1 (j), Φ2 (j), ñîîòâåòñòâåííî.
Âû÷èñëèì äëÿ êàæäîãî iS ∈ I \ S íà ñêîëüêî èçìåíÿòñÿ òðàíñïîðòíûå
56
ðàñõîäû, ïðè îòêðûòèè (p + 1)-ãî ïðåäïðèÿòèÿ iS :
X
gain(iS ) =
j∈J|gi
S
(c1 (j) − ciS j ).
j <g1 (j)
Âû÷èñëèì äëÿ êàæäîãî iS ∈ S íà ñêîëüêî èçìåíÿòñÿ òðàíñïîðòíûå ðàñõîäû ïðè çàêðûòèè ïðåäïðèÿòèÿ iS :
X
loss(iS ) =
(c2 (j) − c1 (j)).
j∈J|Φ1 (j)=iS
Òîãäà ïðè îäíîâðåìåííîì îòêðûòèè ïðåäïðèÿòèÿ iS è çàêðûòèè ïðåäïðèÿòèÿ iS òðàíñïîðòíûå ðàñõîäû èçìåíÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
prof it(iS , iS ) = gain(iS ) − loss(iS ) + extra(iS , iS ).
×òîáû âû÷èñëèòü âåëè÷èíó extra(iS , iS ) ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè
äëÿ ïàðû (iS , iS ) è êëèåíòà j :
1.Φ1 (j) 6= iS ,
â ýòîì ñëó÷àå j -îå ñëàãàåìîå â loss(iS ) ðàâíî íóëþ, ò. ê. ïðåæíåå íàèëó÷øåå ñ òî÷êè çðåíèÿ j -ãî êëèåíòà ïðåäïðèÿòèå Φ1 (j) îñòàëîñü â ðåøåíèè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò èçìåíèòüñÿ òîëüêî j -îå ñëàãàåìîå â gain(iS ).
2.Φ1 (j) = iS ,
â ýòîì ñëó÷àå êàíäèäàòîì íà çàêðûòèå îêàçàëîñü "íàèëó÷øåå" äëÿ j -ãî
êëèåíòà ïðåäïðèÿòèå. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñèòóàöèè.
2.1 g1 (j) ≤ giS j < g2 (j), òîãäà j -ûé êëèåíò îòäàñò ïðåäïî÷òåíèå ïðåäïðèÿòèþ iS è òðàíñïîðòíûå ðàñõîäû èçìåíÿòñÿ íà âåëè÷èíó (ciS j − c1 (j)), à
íå (c2 (j)−c1 (j)), ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíó loss(iS ) íóæíî ñêîððåêòèðîâàòü,
ò. å. âû÷åñòü (c2 (j) − ciS j ), ýòî è áóäåò îäíî èç ñëàãàåìûõ â extra.
2.2 giS j ≤ g1 (j).  ýòîì ñëó÷àå j -ûé êëèåíò îòäàñò ïðåäïî÷òåíèå ïðåäïðèÿòèþ iS , ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíåíèå â òðàíñïîðòíûõ ðàñõîäàõ áóäåò ó÷òåíî â gain(iS ), ïîýòîìó íóæíî óíè÷òîæèòü ñîîòâåòñòâóþùåå j -îå ñëàãàåìîå
â loss(iS ), ò. å. âû÷åñòü âåëè÷èíó (c2 (j) − c1 (j)).
Èòàê, ñ ó÷åòîì 2.1 è 2.2 âåëè÷èíà extra(iS , iS ) âû÷èñëÿåòñÿ òàê
X
extra(iS , iS ) =
(c2 (j) − ciS j )+
j∈J|(Φ1 (j)=iS )∧(g1 (j)≤gi
X
j∈J|(Φ1 (j)=iS )∧(gi
S
j ≤g2 (j))
(c2 (j) − c1 (j)).
S
j <g1 (j))
57
Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà ïî îêðåñòíîñòè N1 ñ âñïîìîãàòåëüíûìè ïðîöåäóðàìè Ï1, Ï2, Ï3, Ï4 ìîæåò áûòü
çàïèñàí â âèäå.
Àëãîðèòì ëîêàëüíîãî ñïóñêà(S, Φ1 , Φ2)
1. Ïîëîæèòü A := J
2. Èíèöèàëèçèðîâàòü âåëè÷èíû gain(i) := 0, loss(i) := 0, extra(j, i) := 0,
e Se ⊂ I, |S|
e = p)
i ∈ I, j ∈ S(
3. Ïîêà íå íàéäåí ëîêàëüíûé ìèíèìóì âûïîëíÿòü:
3.1 äëÿ êàæäîãî j ∈ A âûçâàòü ïðîöåäóðó Ï1(j, gain, loss, extra, Φ1 (j), Φ2 (j))
3.2 íàéòè ïàðó (iS , iS ) è prof it ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû Ï2(gain, loss, extra)
3.3 åñëè prof it ≤ 0, òî èäè íà øàã 4;
3.4 ïîëîæèòü A := ∅
3.5 äëÿ êàæäîãî j ∈ J âûïîëíèòü
åñëè (Φ1 (j) = iS ) èëè (Φ2 (j) = iS ) èëè (giS j < g2 (j)), òî
S
ïîëîæèòü A := A {j}
3.6 äëÿ êàæäîãî j ∈ A âûçâàòü ïðîöåäóðó Ï3(j, gain, loss, extra, Φ1 (j), Φ2 (j))
S
3.7 ïîëîæèòü S := S iS
3.8 ïîëîæèòü S := S \ {iS }
3.9 âûçâàòü ïðîöåäóðó Ï4(S, iS , iS , Φ1 , Φ2 , F )
4. Çàâåðøèòü ðàáîòó àëãîðèòìà
Àëãîðèòì íà÷èíàåò ðàáîòó ñ äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ y çàäà÷è (1.8)(1.10),
ïî êîòîðîìó îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî S è íîìåðà ïðåäïðèÿòèé Φ1 , Φ2 . Äëÿ
òîãî ÷òîáû êàæäûé ðàç íå ïåðåñ÷èòûâàòü âåëè÷èíû gain, loss, extra äëÿ
âñåõ j ∈ J îòâîäèòñÿ âñïîìîãàòåëüíûé ìàññèâ A ñ íîìåðàìè òåõ êëèåíòîâ,
êîòîðûå îáñëóæèâàþòñÿ ïðåäïðèÿòèÿìè iS è iS . Äðóãèìè ñëîâàìè, ýëåìåíòû A ýòî òå ñòîëáöû â ìàòðèöå òðàíñïîðòíûõ ðàñõîäîâ, äëÿ êîòîðûõ
áóäóò ïåðåñ÷èòûâàòüñÿ âåëè÷èíû gain, loss, extra ïðè ïîäõîäÿùåé çàìåíå.
Ïðîöåäóðà Ï1 ïî äàííûì Φ1 , Φ2 âû÷èñëÿåò gain, loss, extra äëÿ êàæäîãî
j ∈ A.
Ïðîöåäóðà Ï1(j, loss, gain, extra, Φ1 (j), Φ2(j))
1. âû÷èñëèòü loss(iS ) ← loss(iS ) + (c2 (j) − c1 (j));
2. äëÿ âñåõ (iS ∈ I \ S) âûïîëíèòü
2.1 åñëè giS j < g1 (j), òî ïåðåñ÷èòàòü gain(iS ) ← gain(iS ) + (c1 (j) − ciS j )
2.2 åñëè g1 (j) ≤ giS j < g2 (j), òî ïîëîæèòü m1 = c2 (j) − ciS j
58
2.3
èíà÷å ïîëîæèòü m1 = 0
2.4 åñëè giS j < g1 (j), òî ïîëîæèòü m2 = c2 (j) − c1 (j)
2.5
èíà÷å ïîëîæèòü m2 = 0
2.8 âû÷èñëèòü extra(iS , iS ) ← extra(iS , iS ) + m1 + m2
3. êîíåö ïðîöåäóðû
Ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ïðîöåäóðû Ï2 áóäåò ïàðà (iS , iS ) ñ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì prof it. Ýòà ïðîöåäóðà â êà÷åñòâå êàíäèäàòà íà îòêðûòèå íàõîäèò
ïðåäïðèÿòèå iS , ó êîòîðîãî âåëè÷èíà gain(iS ) íàèáîëüøàÿ, à â êà÷åñòâå
êàíäèäàòà íà çàêðûòèå ïðåäïðèÿòèå iS ñ íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì loss(iS ).
Äëÿ ïðîñìàòðèâàåìûõ ïàð (iS , iS ) âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà prof it. Ïîñëå òîãî, êàê íàéäåíû êàíäèäàòû iS , iS ïðîâåðèì âûãîäíà ëè áóäåò ýòî çàìåíà,
ò. å. ïîëîæèòåëüíà ëè âåëè÷èíà prof it? Åñëè äà, òî ìàññèâ A íóæíî ïåðåîïðåäåëèòü, òåïåðü îí áóäåò ñîñòîÿòü òîëüêî èç òåõ íîìåðîâ êëèåíòîâ, íà
êîòîðûõ "ïîâëèÿåò" çàìåíà iS íà iS . Äëÿ âñåõ j ∈ A ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû
Ï3 ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ gain, loss, extra. Ïðîöåäóðà Ï3 àíàëîãè÷íà
Ï1, íî ñ çàìåíîé â ñòðîêàõ 1, 2.1, 2.8 çíàêà ïëþñ íà çíàê ìèíóñ. Ïðîöåäóðà Ï4 âû÷èñëÿåò çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè è äëÿ êàæäîãî j -ãî êëèåíòà
îïðåäåëÿåò íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûå ïðåäïðèÿòèÿ Φ1 (j), Φ2 (j).
Òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà.
Îñíîâíûå ñòðóêòóðû äàííûõ, èñïîëüçóåìûå â ýòîì àëãîðèòìå ýòî ìàññèâû gain, loss ðàçìåðíîñòè m è äâóìåðíûé ìàññèâ extra ðàçìåðíîñòè
((m − p)p). Èíèöèàëèçàöèÿ ýòèõ äàííûõ òðåáóåò O(pm) îïåðàöèé. Íà êàæäîì øàãå ëîêàëüíîãî ñïóñêà âûïîëíÿåòñÿ íåñêîëüêî ïðîöåäóð, îöåíèì òðóäîåìêîñòü êàæäîé èç íèõ, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü òðóäîåìêîñòü âñåé ïðîöåäóðû.
Âûçîâ ïðîöåäóð Ï1 è Ï2 îñóùåñòâëÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî j ∈ A (|A| ≤ n), çàòåì äëÿ êàæäîãî iS ∈ I \ S ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ gain(iS ) è extra(iS , iS ). Èòàê,
â õóäøåì ñëó÷àå òðóäîåìêîñòü êàæäîé èç ýòèõ ïðîöåäóð ìîæíî îöåíèòü âåëè÷èíîé O(n(m−p)). Îöåíèì òðóäîåìêîñòü íàõîæäåíèÿ íàèëó÷øåé ïàðíîé
çàìåíû (ïðîöåäóðà Ï2). ×èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ïàðíûõ çàìåí ñîñòàâëÿåò
(p(m − p)), ïîýòîìó ìîæíî âû÷èñëèòü äëÿ âñåõ ïàð prof it è çàòåì âûáðàòü
íàèëó÷øèé, íî òîæå ñàìîå ìîæíî ñäåëàòü è çà ìåíüøåå âðåìÿ. Äëÿ ýòîãî
âñïîìíèì, ÷òî çíà÷åíèå ýëåìåíòîâ â ìàññèâå extra(iS , iS ) îòëè÷íî îò íóëÿ,
òîëüêî êîãäà iS ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì äëÿ êëèåíòà, êàê
ïðàâèëî, ýòî áûâàåò íå÷àñòî. Ïîýòîìó ìîæíî õðàíèòü òîëüêî íåíóëåâûå
59
ýëåìåíòû â extra. Â öåëîì, ýòà ïðîöåäóðà òðåáóåò O(m + Λmp) âðåìåíè,
ãäå Λ ÷àñòü òåõ ïàð, äëÿ êîòîðûõ çíà÷åíèå extra íåíóëåâîå. È ïîñëåäíèé
øàã àëãîðèòìà, ïðîöåäóðà Ï4, ïåðåîïðåäåëåíèå íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûõ êëèåíòàìè ïðåäïðèÿòèé è ïåðåñ÷¼ò öåëåâîé ôóíêöèè. Âñ¼ ýòî ìîæíî
âûïîëíèòü çà O(pn) äåéñòâèé. Ïîëó÷àåì, ÷òî èòîãîâàÿ òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé O(max(n, p)m).
3.3 Ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû
3.3.1 Îáùàÿ ñõåìà àëãîðèòìà
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, îñíîâàííûé íà èäåÿõ íàñëåäñòâåííîñòè â áèîëîãè÷åñêèõ ïîïóëÿöèÿõ, âïåðâûå áûë ïðåäëîæåí Äæ.Õîëëàíäîì
(1975ã.). Îí ïîëó÷èë íàçâàíèå ðåïðîäóêòèâíîãî ïëàíà Õîëëàíäà, è øèðîêî
èñïîëüçîâàëñÿ êàê áàçîâûé àëãîðèòì â ýâîëþöèîííûõ âû÷èñëåíèÿõ. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ýòè èäåè, êàê è íàçâàíèå ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû, ïîëó÷èëè â ðàáîòàõ Ãîëüäáåðãà è Äå Éîíãà [40]. Ê ðåøåíèþ îïòèìèçàöèîííûõ
çàäà÷ ýòè íåñòàíäàðòíûå èäåè âïåðâûå áûëè ïðèìåíåíû â ñåðåäèíå 70-õ
ãîäîâ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ [15, 32]. Ïðèìåðíî ÷åðåç äåñÿòü ëåò ïîÿâèëèñü
ïåðâûå òåîðåòè÷åñêèå îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ïîäõîäà [45, 69]. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû äîêàçàëè ñâîþ êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü
ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ NP-òðóäíûõ çàäà÷ [11, 39] è îñîáåííî â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, ãäå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èìåþò ñëîæíóþ ñòðóêòóðó
è ïðèìåíåíèå ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ òèïà âåòâåé è ãðàíèö, äèíàìè÷åñêîãî
èëè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ êðàéíå çàòðóäíåíî. Öåëü ãåíåòè÷åñêîãî
àëãîðèòìà ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè
ëó÷øåå âîçìîæíîå, íî íå ãàðàíòèðîâàííî îïòèìàëüíîå ðåøåíèå. Îáùóþ
ñõåìó ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ïðîùå âñåãî ïîíÿòü, ðàññìàòðèâàÿ çàäà÷è
áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè
min{F (x) | x ∈ B n }, B n = {0, 1}n .
Ñòàíäàðòíûé ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì íà÷èíàåò ñâîþ ðàáîòó ñ ôîðìèðîâàíèÿ íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè X0 êîíå÷íîãî íàáîðà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé
çàäà÷è. Ýòè ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü âûáðàíû ñëó÷àéíûì îáðàçîì, ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíûõ æàäíûõ àëãîðèòìîâ èëè äðóãèìè ìåòîäàìè.
60
Êàê ìû óâèäèì íèæå, âûáîð íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè íå èìååò çíà÷åíèÿ äëÿ
ñõîäèìîñòè ïðîöåññà â àñèìïòîòèêå, îäíàêî ôîðìèðîâàíèå "õîðîøåé" íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè (íàïðèìåð èç ìíîæåñòâà ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ) ìîæåò
çàìåòíî ñîêðàòèòü âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ãëîáàëüíîãî îïòèìóìà.
Äëÿ îöåíêè äîïóñòèìûõ ðåøåíèé êðîìå öåëåâîé ôóíêöèè ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ ïðèãîäíîñòè Φ(x). Îíà âûáèðàåòñÿ ñ ó÷åòîì ñïåöèôèêè êîíêðåòíîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è è äîëæíà áûòü ÷óâñòâèòåëüíà ê
íåáîëüøèì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà. Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó ñâîéñòâó êàê, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ óïàêîâêè â êîíòåéíåðû, çàäà÷àõ òåîðèè ðàñïèñàíèé íà ïàðàëëåëüíûõ ìàøèíàõ èëè ïðè êàëåíäàðíîì
ïëàíèðîâàíèè â óñëîâèÿõ îãðàíè÷åííûõ ðåñóðñîâ. Óäà÷íûé âûáîð ôóíêöèè Φ(x) ìîæåò ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ, õîòÿ â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Φ(x) = F (x).
Íà êàæäîì øàãå ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîãî
îïåðàòîðà ñåëåêöèè âûáèðàþòñÿ èç ïîïóëÿöèè äâà ðåøåíèÿ x1 , x2 â êà÷åñòâå ðîäèòåëåé. Îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ ïî ýòèì ðåøåíèÿì ñòðîèò íîâîå
ðåøåíèå x0 . Îíî ïîäâåðãàåòñÿ íåáîëüøèì ñëó÷àéíûì ìîäèôèêàöèÿì, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü ìóòàöèÿìè. Çàòåì ðåøåíèå äîáàâëÿåòñÿ â ïîïóëÿöèþ, à ðåøåíèå ñ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðèãîäíîñòè óäàëÿåòñÿ
èç ïîïóëÿöèè. Îáùàÿ ñõåìà òàêîãî àëãîðèòìà ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì
1. Âûáðàòü íà÷àëüíóþ ïîïóëÿöèþ X0 è ïîëîæèòü
Φ∗ = min{Φ(x) | x ∈ X0 }, k := 0.
2. Ïîêà íå âûïîëíåí êðèòåðèé îñòàíîâêè äåëàòü ñëåäóþùåå.
2.1. Âûáðàòü ðîäèòåëåé x1 , x2 èç ïîïóëÿöèè Xk .
2.2. Ïîñòðîèòü x0 ïî ðåøåíèÿì x1 , x2 .
2.3. Ìîäèôèöèðîâàòü x0 .
2.4. Åñëè Φ∗ > Φ(x0 ), òî ïîëîæèòü Φ∗ := Φ(x0 ).
2.5. Îáíîâèòü ïîïóëÿöèþ è ïîëîæèòü k := k + 1.
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà îñíîâíûõ îïåðàòîðàõ ýòîãî àëãîðèòìà: ñåëåê61
öèè, ñêðåùèâàíèè è ìóòàöèè. Ñðåäè îïåðàòîðîâ ñåëåêöèè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ äâà âåðîÿòíîñòíûõ îïåðàòîðà ïðîïîðöèîíàëüíîé è
òóðíèðíîé ñåëåêöèè. Ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîé ñåëåêöèè âåðîÿòíîñòü íà k -ì
øàãå âûáðàòü ðåøåíèå x â êà÷åñòâå îäíîãî èç ðîäèòåëåé îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî çíà÷åíèþ Φ(x). Ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè ôîðìèðóåòñÿ ñëó÷àéíîå
ïîäìíîæåñòâî èç ýëåìåíòîâ ïîïóëÿöèè è ñðåäè íèõ âûáèðàåòñÿ îäèí ýëåìåíò ñ íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðèãîäíîñòè. Òóðíèðíàÿ ñåëåêöèÿ
èìååò îïðåäåëåííûå ïðåèìóùåñòâà ïåðåä ïðîïîðöèîíàëüíîé, òàê êàê íå òåðÿåò ñâîåé èçáèðàòåëüíîñòè, êîãäà â õîäå ýâîëþöèè âñå ýëåìåíòû ïîïóëÿöèè ñòàíîâÿòñÿ ïðèìåðíî ðàâíûìè ïî ïðèãîäíîñòè. Îïåðàòîðû ñåëåêöèè
ñòðîÿòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ëþáîé ýëåìåíò
ïîïóëÿöèè ìîã áû áûòü âûáðàí â êà÷åñòâå îäíîãî èç ðîäèòåëåé. Áîëåå òîãî,
äîïóñêàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà îáà ðîäèòåëÿ ïðåäñòàâëåíû îäíèì è òåì æå
ýëåìåíòîì ïîïóëÿöèè.
Êàê òîëüêî äâà ðåøåíèÿ âûáðàíû, ê íèì ïðèìåíÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé
îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ (crossover). Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçëè÷íûõ âåðñèé
ýòîãî îïåðàòîðà, ÷àñòü èç êîòîðûõ íå îãðàíè÷èâàåòñÿ äâóìÿ ðîäèòåëÿìè.
Îäíîðîäíûé îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ, íàâåðíîå, îäíèì èç íàèáîëåå
ïðîñòûõ è ïîíÿòíûõ. Ïî ðåøåíèÿì x1 , x2 îí ñòðîèò ðåøåíèå x0 , ïðèñâàèâàÿ êàæäîé êîîðäèíàòå ýòîãî âåêòîðà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,5 ñîîòâåòñòâóþùåå
çíà÷åíèå îäíîãî èç ðîäèòåëåé. Åñëè âåêòîðà x1 , x2 ñîâïàäàëè ñêàæåì ïî
ïåðâîé êîîðäèíàòå, òî âåêòîð x0 óíàñëåäóåò ýòî çíà÷åíèå. Ãåîìåòðè÷åñêè,
îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàåò â ãèïåðêóáå âåðøèíó
x0 , êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò ìèíèìàëüíîé ãðàíè, ñîäåðæàùåé âåðøèíû x1 , x2 .
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ ñòàðàåòñÿ âûáðàòü íîâîå ðåøåíèå x0 ãäå-òî ìåæäó x1 , x2 , ïîëàãàÿñü íà óäà÷ó. Áîëåå àêêóðàòíàÿ ïðîöåäóðà ìîãëà áû âûãëÿäåòü òàêèì îáðàçîì. Íîâûì ðåøåíèåì x0 ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è íà ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíè ãèïåðêóáà.
Êîíå÷íî, åñëè ðàññòîÿíèå Õåììèíãà ìåæäó x1 , x2 ðàâíî ðàçìåðíîñòè ãèïåðêóáà, òî çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ñêðåùèâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé. Òåì íå
ìåíåå äàæå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è âìåñòî ñëó÷àéíîãî âûáîðà
çàìåòíî óëó÷øàåò ðàáîòó ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ [31, 21, 28]. Àäàïòàöèÿ
ýòîé èäåè ê äâóõóðîâíåâîé çàäà÷å î p-ìåäèàíå áóäåò ðàññìîòðåíà íèæå.
Îïåðàòîð ìóòàöèè, ïðèìåíÿåìûé ê ðåøåíèþ x0 â ï. 2.3. ãåíåòè÷åñêî62
ãî àëãîðèòìà, ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ pm ∈ (0, 1) ìåíÿåò çíà÷åíèå êàæäîé êîîðäèíàòû íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
âåêòîð (0, 0, 0, 0, 0) â õîäå ìóòàöèè ïåðåéäåò â âåêòîð (1, 1, 1, 0, 0), ðàâíà
p3m × (1 − pm )2 > 0. Òàêèì îáðàçîì, ñ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ðåøåíèå x0
ìîæåò ïåðåéòè â ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå, ÷òî ãàðàíòèðóåò â àñèìïòîòèêå
ïîëó÷åíèå òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è. Îòìåòèì, ÷òî ìîäèôèêàöèÿ ðåøåíèÿ
x0 ìîæåò ñîñòîÿòü íå òîëüêî â ñëó÷àéíîé ìóòàöèè, íî è â ÷àñòè÷íîé ïåðåñòðîéêå ðåøåíèÿ àëãîðèòìàìè ëîêàëüíîãî ïîèñêà. Ïðèìåíåíèå ëîêàëüíîãî
ñïóñêà ïîçâîëÿåò ãåíåòè÷åñêîìó àëãîðèòìó ñîñðåäîòî÷èòüñÿ òîëüêî íà ëîêàëüíûõ îïòèìóìàõ. Ìíîæåñòâî ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ
ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøèì è íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî òàêîé âàðèàíò
àëãîðèòìà íå áóäåò èìåòü áîëüøèõ ïðåèìóùåñòâ. Îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ ñâèäåòåëüñòâóþò
î âûñîêîé êîíöåíòðàöèè èõ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ãëîáàëüíîãî
îïòèìóìà [30]. Ýòî íàáëþäåíèå èçâåñòíî êàê òåçèñ î ñóùåñòâîâàíèè "áîëüøîé äîëèíû" äëÿ çàäà÷ íà ìèíèìóì èëè "öåíòðàëüíîãî ãîðíîãî ìàññèâà"
äëÿ çàäà÷ íà ìàêñèìóì. Ýòîò òåçèñ îò÷àñòè îáúÿñíÿåò ðàáîòîñïîñîáíîñòü
ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Åñëè â ïîïóëÿöèè ñîáèðàþòñÿ ëîêàëüíûå îïòèìóìû, êîòîðûå ñêîíöåíòðèðîâàíû â îäíîì ìåñòå, è î÷åðåäíîå ðåøåíèå x0
âûáèðàåòñÿ ãäå-òî ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè ëîêàëüíûìè îïòèìóìàìè,
òî òàêîé ïðîöåññ èìååò ìíîãî øàíñîâ íàéòè ãëîáàëüíûé îïòèìóì. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ îáúÿñíÿþò ðàáîòîñïîñîáíîñòü è äðóãèõ ëîêàëüíûõ
àëãîðèòìîâ. Áîëåå òîãî, ýòîò òåçèñ ïîäñêàçûâàåò ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ òåñòîâûõ ïðèìåðîâ. Åñëè ëîêàëüíûå îïòèìóìû óäàåòñÿ ðàñïðåäåëèòü
ïî âñåé äîïóñòèìîé îáëàñòè, è íåò êîíöåíòðàöèè õîðîøèõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ â ìàëîé ÷àñòè äîïóñòèìîé îáëàñòè, òî ìåòîäàì ëîêàëüíîãî ïîèñêà
áóäåò òðóäíî íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ïðèìåðû òàêèõ êëàññîâ èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ çàäà÷ ðàçìåùåíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [51, 52].
3.3.2 Ãåíåòè÷åñêèé ëîêàëüíûé ïîèñê äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ
Ðàññìîòðèì âàðèàíòû àäàïòàöèè îáùåé ñõåìû ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ê
çàäà÷å ÌÏÊ.  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ïîèñêà åñòåñòâåííî âçÿòü p-é ñëîé
ãèïåðêóáà B m , ò. å. âñå âåêòîðà yi ∈ {0, 1}, i ∈ I , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
P
i∈I yi = p, à â êà÷åñòâå ôóíêöèè ïðèãîäíîñòè Φ(y) öåëåâóþ ôóíêöèþ
63
F (y). Òàêîé âûáîð ôóíêöèè ïðèãîäíîñòè ïðåäñòàâëÿåòñÿ îáîñíîâàííûì,
ò. ê. îíà ÷óâñòâèòåëüíà ê íåáîëüøèì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà.
Îïåðàòîðû ñåëåêöèè èñïîëüçóþò ôóíêöèþ F (y) äëÿ âûáîðà ðîäèòåëüñêîé ïàðû. Íàðÿäó ñ òóðíèðíîé è ïðîïîðöèîíàëüíîé ñåëåêöèåé ðàññìîòðèì
òðåòèé îïåðàòîð, ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå "ëó÷øèé è ñëó÷àéíûé". Ñîãëàñíî
ýòîìó îïåðàòîðó â êà÷åñòâå îäíîãî èç ðîäèòåëåé âñåãäà áåðåòñÿ ëó÷øèé
ýëåìåíò ïîïóëÿöèè. Âòîðîé ðîäèòåëü âûáèðàåòñÿ èç îñòàâøèõñÿ ýëåìåíòîâ
ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Òàêîé îïåðàòîð ïîçâîëÿåò èìèòèðîâàòü ïîâåäåíèå àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ïîèñêà ñ ÷åðåäóþùèìèñÿ îêðåñòíîñòÿìè [43], êîãäà õðàíèòñÿ òîëüêî íàèëó÷øèé íàéäåííûé
ëîêàëüíûé îïòèìóì.
Ïîñëå âûáîðà ðîäèòåëüñêîé ïàðû y 1 , y 2 , âûïîëíÿåòñÿ îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ. Ðàññìîòðèì ÷åòûðå òèïà òàêèõ îïåðàòîðîâ: ðàâíîìåðíûé, æàäíûé,
îäíîòî÷å÷íûé è ñâÿçûâàþùèõ ïóòåé (path relinking).
Ïðè ðàâíîìåðíîì îïåðàòîðå íîâîå äîïóñòèìîå ðåøåíèå y 0 ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè yi1 = yi2 äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ I , òî yi0 íàñëåäóåò ýòî
çíà÷åíèå: yi0 = yi1 = yi2 . Äëÿ îñòàëüíûõ i ∈ I ñíà÷àëà ïîëàãàåòñÿ yi0 = 0, à
çàòåì âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà. Âûáèðàåòñÿ îäíà
èç êîîðäèíàò, äëÿ êîòîðîé yi0 = 0 è ïîëàãàåòñÿ yi0 = 1. Âûáîð êîîðäèíàòû
ïðîâîäèòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì. ÏðîöåäóP
ðà îñòàíàâëèâàåòñÿ, êàê òîëüêî i∈I yi0 = p.
Ïðè æàäíîì îïåðàòîðå èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ïðåäóñìàòðèâàåò áîëåå îñìûñëåííûé âûáîð êîîðäèíàòû, äëÿ êîòîðîé yi0 ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé 1.
Ñðåäè ïðåòåíäåíòîâ âûáèðàåòñÿ òà êîîðäèíàòà, äëÿ êîòîðîé óìåíüøåíèå
öåëåâîé ôóíêöèè áóäåò íàèáîëüøèì. Åñëè óìåíüøåíèå öåëåâîé ôóíêöèè
íåâîçìîæíî òàêèì ñïîñîáîì, òî âûáèðàåòñÿ êîîðäèíàòà ñ íàèìåíüøèì óâåëè÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè.  îñòàëüíîì æàäíûé îïåðàòîð ñîâïàäàåò ñ
ðàâíîìåðíûì. Ïî ñóòè äàííûé îïåðàòîð ïðåäïîëàãàåò ðåøåíèå èñõîäíîé
çàäà÷è ñ ïîìîùüþ æàäíîé ïðîöåäóðû íà ìíîæåñòâå êîîðäèíàò, ãäå ðîäèòåëè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.
Îäíîòî÷å÷íûé îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ õîðîøî èçâåñòåí è ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìàõ [45]. Ñîãëàñíî ïðàâèëàì ýòîãî îïåðàòîðà
âûáèðàåòñÿ îäíà êîîðäèíàòà, ñêàæåì i0 , è ïîëàãàåòñÿ yi0 = yi1 äëÿ i ≤ i0
è yi0 = yi2 äëÿ i > i0 . Êîîðäèíàòà i0 âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, íà64
ïðèìåð, ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Äëÿ çàäà÷è ÌÏÊ òàêîé ñïîñîá
P
ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåäîïóñòèìûì ðåøåíèÿì, i∈I yi0 6= p, ïîýòîìó òðåáóåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ýòîãî îïåðàòîðà. Ïóñòü êàê è ðàíüøå yi0 = yi1 äëÿ i ≤ i0 .
P
Åñëè i≤i0 yi0 < p, òî ñðåäè åäèíè÷íûõ êîìïîíåíò âåêòîðà yi2 , i > i0 âûáåP
ðåì ïåðâûå (p − i≤i0 yi0 ) êîìïîíåíò è ïîëîæèì äëÿ íèõ yi0 = 1. Îñòàëüíûå
êîìïîíåíòû ïîëîæèì ðàâíûìè 0. Åñëè æå âåêòîð yi2 , i > i0 íå ñîäåðæèò
äîñòàòî÷íîå ÷èñëî åäèíèö, òî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èñïîëüçóþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà yi2 , yi2 6= yi1 , i ≤ i0 . Çàìåòèì, ÷òî òàê ïîñòðîåííîå ðåøåíèå
èìååò êàê ìèíèìóì äâà íåäîñòàòêà. Åäèíè÷íûå êîìïîíåíòû âåêòîðà y 2 ñ
áîëüøèìè íîìåðàìè èìåþò ìàëî øàíñîâ áûòü óíàñëåäîâàííûìè â âåêòîðå
y 0 . Êðîìå òîãî, âåêòîð y 0 ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò ðîäèòåëåé ïî òåì êîîðäèíàòàì, ãäå yi1 = yi2 . Òåì íå ìåíåå, ýòè íåäîñòàòêè, êàê ìû óâèäèì íèæå,
ñãëàæèâàþòñÿ ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà, è ýôôåêòèâíîì ëîêàëüíîì ïîèñêå.
Íàêîíåö, îïåðàòîð ñâÿçûâàþùèõ ïóòåé ñòðîèò âåêòîð y 0 ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èç äâóõ ðåøåíèé y 1 è y 2 âûáèðàåòñÿ ðåøåíèå ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè è ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äîïóñòèìûõ ðåøåíèé
y 1 = y 1 , y 2 , . . . , y k = y 2 òàêèõ, ÷òî ðàññòîÿíèå Õåììèíãà ìåæäó ñîñåäíèìè ðåøåíèÿìè ðàâíî 2. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïåðåõîä ê ñîñåäíåìó ðåøåíèþ
îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò çàêðûòèÿ îäíîãî ïðåäïðèÿòèÿ è îòêðûòèÿ äðóãîãî. Ðåøåíèå y 0 âûáèðàåòñÿ ñðåäè ýëåìåíòîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëÿ
çàäàííûõ y 1 , y 2 ìîæíî ïîñòðîèòü ýêñïîíåíöèàëüíî ìíîãî òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. ×òîáû ðåøåíèå y 0 óíàñëåäîâàëî îáùèå êîìïîíåíòû ðîäèòåëåé,
ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êðàò÷àéøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îäíàêî,
òàêèõ òîæå ìíîãî. Ñðåäè êðàò÷àéøèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðèíÿòî âûáèðàòü òó, â êîòîðîé ïåðåõîä ê ñîñåäíåìó ðåøåíèþ ñîïðîâîæäàåòñÿ íàèáîëüøèì óìåíüøåíèåì (èëè íàèìåíüøèì óâåëè÷åíèåì) öåëåâîé ôóíêöèè
[36]. Ýòî àíàëîã æàäíîé ïðîöåäóðû, íî îñíîâàííîé íà äðóãèõ ïðèíöèïàõ.
Ðåøåíèå y 0 âûáèðàåòñÿ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ñîñåäíèå ñ íèì ðåøåíèÿ íå èìåëè ìåíüøèõ çíà÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè [65].
Åñëè òàêîé âûáîð íåâîçìîæåí, òî â êà÷åñòâå y 0 áåðåòñÿ ðåøåíèå èç ñåðåäèíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Îïåðàòîð ìóòàöèè ïðåîáðàçóåò ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðåøåíèå y 0 â äðóãîå äîïóñòèìîå ðåøåíèå y 00 . Ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ êàæäàÿ åäèíè÷íàÿ
65
êîìïîíåíòà âåêòîðà y 0 ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 0, à îäíà èç íóëåâûõ êîìïîíåíò,
âûáðàííàÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïîëó÷àåò
çíà÷åíèå 1.
Ê ðåøåíèþ y 00 ïðèìåíÿåòñÿ ïðîöåäóðà ëîêàëüíîãî ñïóñêà ñíà÷àëà ïî
îêðåñòíîñòè N1 , à çàòåì ïî îêðåñòíîñòè Ëèíà-Êåðíèãàíà. Ïîëó÷åííûé ëîêàëüíûé îïòèìóì äîáàâëÿåòñÿ â ïîïóëÿöèþ, åñëè îí òàì åùå íå ñîäåðæèòñÿ, è íàèõóäøåå ðåøåíèå óäàëÿåòñÿ èç ïîïóëÿöèè. Êðèòåðèåì îñòàíîâêè
ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà ñëóæèò ÷èñëî ïîëó÷åííûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ.
3.3.3 Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ
Ðàçðàáîòàííûé ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì òåñòèðîâàëñÿ íà ïðèìåðàõ èç ýëåêòðîííîé áèáëèîòåêè "Äèñêðåòíûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ" (http:// math.nsc.ru/AP/benchmarks/). Ðàçìåðíîñòü ïðèìåðîâ ñîñòàâëÿëà n = m = 100.
Ìàòðèöà (cij ) ïîðîæäàëàñü ñëó÷àéíûì îáðàçîì (êëàññ GAP-C, [51]) è èìåëà íèçêóþ ïëîòíîñòü: ðîâíî 10 ýëåìåíòîâ â êàæäîì ñòîëáöå è ñòðîêå èìåëè
çíà÷åíèÿ îò 0 äî 4, öåëûå. Îñòàëüíûå ýëåìåíòû ïîëàãàëèñü ðàâíûìè äîñòàòî÷íî áîëüøîìó ÷èñëó. Ìàòðèöà ïðèîðèòåòîâ (gij ) ôîðìèðîâàëàñü â äâà
ýòàïà. Ñíà÷àëà êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû (cij ) óïîðÿäî÷èâàëñÿ ïî íåóáûâàíèþ ci1 j ≤ ci2 j ≤ . . . ≤ cim j è ïîëàãàëîñü gik j = k, k = 1, . . . m. Çàòåì
â êàæäîì ñòîëáöå ìàòðèöû (gij ) ñðåäè ýëåìåíòîâ ñî çíà÷åíèåì îò 0 äî 4
âûáèðàëîñü ñëó÷àéíûì îáðàçîì òðè ïàðû ýëåìåíòîâ è îíè ìåíÿëèñü äðóã
ñ äðóãîì ñâîèìè çíà÷åíèÿìè. ×èñëî p ïîëàãàëîñü ðàâíûì 14. Ýòî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì âñå åùå óäàåòñÿ îáñëóæèòü âñåõ êëèåíòîâ, íå
èñïîëüçóÿ áîëüøèå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû (cij ). Íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ïîìîùüþ êîììåð÷åñêîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ GAMS
[77] îêàçàëîñü òðóäîåìêèì: ïîñëå 270 ÷àñîâ ðàáîòû ïàêåòà íà PC Pentium
IV ðàçðûâ äâîéñòâåííîñòè ñîñòàâèë 18% è îïòèìàëüíîå ðåøåíèå âñ¼ åùå íå
áûëî ïîëó÷åíî.  êà÷åñòâå îïòèìèçàöèîííîé ïðîöåäóðû â GAMS èñïîëüçîâàëñÿ ïàêåò CPLEX 6.0.
3.3.4 Âûáîð ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà
Ïîâåäåíèå ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò åãî ïàðàìåòðîâ è ïðèìåíÿåìûõ îïåðàòîðîâ ñåëåêöèè, ñêðåùèâàíèÿ è ìóòàöèè. Äëÿ
66
ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè àëãîðèòìà áûë ïðîâåäåí ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Ïðè çàäàííîì ÷èñëå T ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå ëó÷øèõ ýëåìåíòîâ â ïîïóëÿöèè ïðè ðàçíûõ ñïîñîáàõ ñåëåêöèè è ñêðåùèâàíèÿ. Íà ðèñ. 3.1 ïîêàçàíî èçìåíåíèå ýòèõ çíà÷åíèé â
õîäå ýâîëþöèè ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè, âåðîÿòíîñòü ìóòàöèè 0.02. Êàæäàÿ òî÷êà íà ãðàôèêå ïîêàçûâàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ïî 10 ïðèìåðàì è 100
èñïûòàíèÿì ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà äëÿ êàæäîãî ïðèìåðà. ×èñëåííîñòü
ïîïóëÿöèè ñîñòàâëÿëà 20 ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Äëÿ âûáîðà êàæäîãî ðîäèòåëÿ èç ïîïóëÿöèè ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì
âûáèðàëîñü 3 ýëåìåíòà è ëó÷øèé èç íèõ ïî öåëåâîé ôóíêöèè ñòàíîâèëñÿ ðîäèòåëåì. Íàèõóäøèå ðåçóëüòàòû ïîêàçàë, êàê è îæèäàëîñü, îäíîòî÷å÷íûé
îïåðàòîð ñêðåùèâàíèÿ. Åãî îòñòàâàíèå îò äðóãèõ âåñüìà âåëèêî è îáúÿñíÿåòñÿ, ïî-âèäèìîìó, íåóäà÷íîñòüþ ñàìîé êîíñòðóêöèè. Íåîæèäàííî õîðîøèå ðåçóëüòàòû ïîêàçàë ñàìûé ïðîñòîé, ðàâíîìåðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé
äîìèíèðóåò âî âñåõ ýêñïåðèìåíòàõ íà äàííîì êëàññå. Åãî óñïåõ, íàâåðíîå,
îáúÿñíÿåòñÿ íåîáû÷àéíîé ñëîæíîñòüþ ñàìîãî êëàññà òåñòîâûõ ïðèìåðîâ,
ãäå íàõîæäåíèå ãëîáàëüíîãî îïòèìóìà èëè õîðîøåãî ïðèáëèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà ñëîæíûì äåëîì. Æàäíûå ñòðàòåãèè èëè ñòðàòåãèè ñâÿçûâàþùèõ ïóòåé, ïîêàçàâøèå õîðîøèå ðåçóëüòàòû íà äðóãèõ çàäà÷àõ [36],
çäåñü ÿâíî ïðîèãðûâàþò.
Íà ðèñ. 3.2 è 3.3 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ äâóõ äðóãèõ ñïîñîáîâ ñåëåêöèè. Ñòðàòåãèÿ "ëó÷øèé è ñëó÷àéíûé" ïðîèãðûâàåò äâóì äðóãèì, à ðàâíîâåðîÿòíàÿ ñåëåêöèÿ äàåò, êàê è ðàâíîâåðîÿòíîå ñêðåùèâàíèå,
íàèëó÷øèå ðåçóëüòàòû. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ïîâûøåíèå âåðîÿòíîñòè
ìóòàöèè (ðèñ. 3.4, 3.5) ïðèâîäèò ê ñãëàæèâàíèþ ðàçëè÷èé ìåæäó îïåðàòîðàìè ñêðåùèâàíèÿ è äàæå îòñóòñòâèå ñêðåùèâàíèÿ (ðèñ. 3.5, 3.6) ïðè
íàëè÷èè âûñîêîé âåðîÿòíîñòè ìóòàöèè ïðèâîäèò ê õîðîøèì ðåçóëüòàòàì.
Òåì íå ìåíåå, óäàëåíèå èç àëãîðèòìà îïåðàòîðîâ ñêðåùèâàíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ îïðàâäàííûì (ñì. ðèñ. 3.6). Äëÿ ïðèìåðîâ Ðåçåíäå è Âåðíåêà áîëüøîé
ðàçìåðíîñòè, n = m = 500, p = 50 [65], ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì ñ ëþáûì èç
ðàññìîòðåííûõ îïåðàòîðîâ ñêðåùèâàíèÿ äàåò ëó÷øèå ðåçóëüòàòû, ÷åì áåç
ýòèõ îïåðàòîðîâ.
67
Ðèñ. 3.1: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè, pm = 0, 02
Ðèñ. 3.2: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè ñåëåêöèè "ëó÷øèé è ñëó÷àéíûé", pm = 0, 02
Ðèñ. 3.3: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè ðàâíîâåðîÿòíîé ñåëåêöèè, pm = 0, 02
Ðèñ. 3.4: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè, pm = 0, 1
68
Ðèñ. 3.5: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè, pm = 0, 5
Ðèñ. 3.6: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ F ∗ ïðè òóðíèðíîé ñåëåêöèè, pm = 0, 5, êëàññ Euclidean
3.3.5 Ñðàâíåíèå íèæíèõ îöåíîê
 òàáëèöå 1 ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ òðèäöàòè òåñòîâûõ ïðèìåðîâ èç ýëåêòðîííîé áèáëèîòåêè. Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè íèæíèìè îöåíêàìè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðèâåäåíû åùå îöåíêè LB7 , ïîëó÷àþùèåñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì çàäà÷è î p-ìåäèàíå áåç ó÷åòà ïðåäïî÷òåíèé êëèåíòîâ.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî íèæíÿÿ îöåíêà, ò. ê. ó÷åò ïðåäïî÷òåíèé êëèåíòîâ ìîæåò òîëüêî óâåëè÷èòü çíà÷åíèå îïòèìóìà. Äëÿ ñðàâíåíèÿ
ïðèâîäÿòñÿ åùå âåðõíèå îöåíêè, ïîëó÷åííûå ðàçðàáîòàííûì ãåíåòè÷åñêèì
àëãîðèòìîì (GA), îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè (Opt), ïîëó÷åííûå ìåòîäîì âåòâåé è îòñå÷åíèé êîììåð÷åñêèì ïàêåòîì Xpress, ðàçðûâ
(Gap) ìåæäó îïòèìóìîì è íàèëó÷øèìè íèæíèìè îöåíêàìè â ïðîöåíòàõ.
Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå íàéäåííîå ãåíåòè÷åñêèì àëãîðèòìîì çà íåñêîëüêî
ñåêóíä íà âñåõ òåñòîâûõ ïðèìåðàõ ñîâïàëî ñ îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è, ïîëó÷åííûì êîììåð÷åñêèì ïàêåòîì çà íåñêîëüêî ÷àñîâ ðàáîòû. Ðàçðûâ
ìåæäó îïòèìóìîì è íèæíåé îöåíêîé äîñòàòî÷íî âåëèê, ÷òî îñòàâëÿåò ïîëå
äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé, à èìåííî: íàõîæäåíèå äðóãîé áîëåå ñèëüíîé
69
íèæíåé îöåíêè.
Êîä çàäà÷è
333
433
533
633
733
833
933
1033
1133
1233
1333
1433
1533
1633
1733
1833
1933
2033
2133
2233
2333
2433
2533
2633
2733
2833
2933
3033
3133
3233
LB6
118,6
115,9
123,6
118,5
112,0
122,5
110,4
107,6
114,6
112,4
114,5
113,6
105,5
110,9
104,8
110,6
114,3
112,7
120,3
108,0
113,1
115,2
105,4
110,4
113,3
107,8
104,3
112,2
103,8
108,2
LB4
113,1
110,5
119,1
112,2
105,7
118,5
104,8
104,4
109,1
108,2
108,6
108,2
101,4
105,5
99,6
103,9
108,6
108,0
113,2
101,5
105,3
109,8
99,0
104,3
109,3
101,8
97,2
108,1
99,4
102,7
LB7
147
145
177
144
137
144
130
138
147
142
140
152
133
141
134
139
137
140
138
121
133
139
131
132
139
137
124
137
141
129
GA
172
156
188
165
159
170
160
159
163
163
168
172
152
156
152
154
158
161
166
154
155
155
147
156
159
161
152
157
155
155
Opt
172
156
188
165
159
170
160
159
163
163
168
172
152
156
152
154
158
161
166
154
155
155
147
156
159
161
152
157
155
155
Gap(%)
17,01
7,59
6,21
14,60
16,06
18,06
23,08
15,22
10,88
14,79
20
13,16
14,29
10,64
13,43
10,79
15,33
15,00
20,29
27,27
16,54
11,51
12,21
18,18
14,39
17,52
22,58
14,60
9,93
20,16
Òàáëèöà 3.1: Ñðàâíåíèå âåðõíèõ è íèæíèõ îöåíîê
70
Ãëàâà 4
Çàäà÷à âûáîðà îïòèìàëüíîãî ïàðêà
ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí
 äàííîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé (ÑÏÏÐ), ðàçðàáîòàííîé ñîâìåñòíî ñ ãðóïïîé ó÷¼íûõ â õîäå âûïîëíåíèÿ â èíñòèòóòå ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ ïðèêëàäíîé
ÍÈÐ ïî çàêàçó îäíîé èç êðóïíûõ êîìïàíèé, âûïóñêàþùèõ ìàøèíû äëÿ
ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà. Èíòåëëåêòóàëüíûì ÿäðîì ÑÏÏÐ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõóðîâíåâîãî öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òåñíî
ñâÿçàííàÿ ñ çàäà÷åé ÌÏÊ. Èñïîëüçîâàíèå ðàçðàáîòàííîé ÑÏÏÐ ïîçâîëèëî ñîêðàòèòü íîìåíêëàòóðó âûïóñêàåìûõ ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí è
óâåëè÷èòü ïðèáûëü êîìïàíèè [23].
4.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ïàðêà ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí, âûïóñêàåìûõ êðóïíîé ìàøèíîñòðîèòåëüíîé êîìïàíèåé. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,
÷òî èçâåñòåí ñïèñîê I = {1, . . . , m} òèïîâ ìàøèí, âûïóñêîì êîòîðûõ çàíèìàåòñÿ èëè ìîãëà áû çàíèìàòüñÿ äàííàÿ êîìïàíèÿ, à òàêæå ìíîæåñòâî
J = {1, . . . , n} ãðóïï êëèåíòîâ, ïîêóïàþùèõ ýòè ìàøèíû. Ïîä ãðóïïîé
êëèåíòîâ áóäåì ïîíèìàòü ïîêóïàòåëåé, îáúåäèíåííûõ îáùèìè ïðîèçâîäñòâåííûìè öåëÿìè (íàïðèìåð, âûðàùèâàíèå çåðíà â ÷åðíîçåìíîé çîíå) è
õàðàêòåðèçóþùèõñÿ îäèíàêîâûì ïîâåäåíèåì íà ðûíêå ñåëüõîçòåõíèêè. Â
÷àñòíîñòè, ïîêóïàòåëè èç îäíîé ãðóïïû ïðåäïî÷èòàþò îäèí è òîò æå òèï
ìàøèí, åñëè îí åñòü â ïðîäàæå, èëè ãîòîâû çàìåíèòü åãî íà äðóãîé ñîãëàñíî ïðåäïî÷òåíèÿì, îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ ïîêóïàòåëåé èç äàííîé ãðóïïû,
71
åñëè ýòîò òèï îòñóòñòâóåò â ïðîäàæå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ïðåäïî÷òåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íå íà âñå òèïû èç ñïèñêà I , à òîëüêî íà åãî ÷àñòü
Ij ⊆ I, j ∈ J , ò. å. ïîêóïàòåëü èç ãðóïïû j íå ïîêóïàåò íè÷åãî ó äàííîé
êîìïàíèè, åñëè îíà íå âûïóñêàåò ìàøèíû èç ñïèñêà Ij . Äðóãèìè ñëîâàìè,
âñå ïîêóïàòåëè èç ãðóïïû j óéäóò ê êîíêóðåíòàì êîìïàíèè, åñëè ìàøèíû èç ñïèñêà Ij âûïóñêàòüñÿ íå áóäóò. Åñëè æå ïîêóïàòåëü íàøåë íóæíóþ
ìàøèíó â ñïèñêå âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè, òî îí äåëàåò çàêàç è òåì ñàìûì
ïðèíîñèò äîõîä êîìïàíèè.
Ïðîèçâîäñòâî è ïðîäàæà ìàøèí òðåáóåò îò êîìïàíèè îïðåäåëåííûõ çàòðàò, êîòîðûå ñîñòîÿò èç òðåõ ÷àñòåé: çàòðàòû íà âûïóñê ìàøèí êàæäîãî òèïà, çàòðàòû íà îðãàíèçàöèþ ïðîèçâîäñòâà çàäàííîãî ïîäìíîæåñòâà
òèïîâ ìàøèí è ôèêñèðîâàííûå çàòðàòû íà ñîäåðæàíèå ñàìîé êîìïàíèè.
×òîáû íå ïîòåðÿòü êëèåíòîâ êîìïàíèÿ äîëæíà ñòðåìèòüñÿ âûïóñêàòü êàê
ìîæíî áîëüøå òèïîâ ìàøèí. Îäíàêî, â ýòîì ñëó÷àå âòîðàÿ ÷àñòü â çàòðàòàõ ìîæåò îêàçàòüñÿ íåîïðàâäàííî áîëüøîé è ïðèáûëü êîìïàíèè óïàäåò.
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòü òàêîå ïîäìíîæåñòâî S ⊆ I òèïîâ
ìàøèí, ÷òîáû íåñìîòðÿ íà ïîòåðþ ÷àñòè êëèåíòîâ äîáèòüñÿ ìàêñèìàëüíîé
ïðèáûëè îò ïðîäàæ.
4.2 Ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ êëèåíòîâ êàæäîé ãðóïïû â ñïèñêå ìàøèí I
íàéäåòñÿ íàèáîëåå ïîäõîäÿùàÿ ìàøèíà, êîòîðóþ îíè ãîòîâû êóïèòü äëÿ
ñâîåãî áèçíåñà. Òàêóþ ìàøèíó áóäåì íàçûâàòü "èäåàëîì". Â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå, îíè íå ÿâëÿþòñÿ êëèåíòàìè äàííîé êîìïàíèè è èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü. Âûáîð íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé ìàøèíû ìîæíî îñóùåñòâèòü íà
îñíîâàíèè ïðåäûñòîðèè ïðîäàæ èëè íà îñíîâàíèè àíàëèòè÷åñêèõ ïðîãíîçîâ î áóäóùèõ ïîòðåáíîñòÿõ çàêàç÷èêîâ.
Íàèáîëåå ñëîæíîé ÷àñòüþ ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ïðåäïî÷òåíèé êëèåíòîâ â
ñëó÷àå, åñëè "èäåàë" ïðèñóòñòâóåò â ñïèñêå I , íî íå âûïóñêàåòñÿ êîìïàíèåé. Íàïðèìåð, íåêîòîðûé òèï ìàøèí ðàíåå ïðèîáðåòàâøèéñÿ êëèåíòàìè
äàííîé ãðóïïû âäðóã èñ÷åç èç ñïèñêà ïðîäàâàåìûõ. Êàê â ýòîì ñëó÷àå áóäåò âåñòè ñåáÿ êëèåíò? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ðàññìîòðèì ñîñòàâíûå ÷àñòè ìàøèíû è ôàêòîðû, âëèÿþùèå íà âûáîð êëèåíòîâ. Èçâåñòíî,
72
÷òî ìàøèíà ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé: äâèãàòåëè, òðàíñìèññèÿ, õîäîâàÿ ÷àñòü è äð. Êîìïàíèÿ âûïóñêàåò íåñêîëüêî òèïîâ äâèãàòåëåé,
íåñêîëüêî òèïîâ òðàíñìèññèé è ò. ä. Ðàçíûå òèïû ìàøèí, ïî ñóòè, ïîëó÷àþòñÿ ðàçíûìè êîìáèíàöèÿìè óêàçàííûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé. Êîíå÷íî, íå
âñå ñîñòàâíûå ÷àñòè ïîäõîäÿò äðóã ê äðóãó, è ñóùåñòâóþò ëîãè÷åñêèå ïðàâèëà, ïîçâîëÿþùèå îòâåòèòü íà âîïðîñ, ìîæíî ëè èç çàäàííûõ ñîñòàâíûõ
÷àñòåé ñîáðàòü ìàøèíó èëè ýòî íåâîçìîæíî ïî êîíñòðóêòèâíûì ñîîáðàæåíèÿì. Íàïðèìåð, ñëèøêîì ñëàáûé äâèãàòåëü äëÿ áîëüøîé ìàøèíû. Òåì
íå ìåíåå ñïèñîê ãèïîòåòè÷åñêè âîçìîæíûõ ìàøèí èëè êîíôèãóðàöèé, êàê
èõ íàçûâàþò êîíñòðóêòîðû, ÷ðåçâû÷àéíî âåëèê è ïðåâûøàåò 109 íàèìåíîâàíèé äëÿ ñîëèäíîé ôèðìû, âûïóñêàþùåé ñåëüñêîõîçÿéñòâåííóþ òåõíèêó.
Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî êëèåíò íå íàøåë â ñïèñêå ïðîäàâàåìûõ ìàøèí
ñâîé "èäåàë". Òîãäà îí âûíóæäåí ëèáî êóïèòü äðóãóþ ìàøèíó, ëèáî îáðàòèòüñÿ ê äðóãîé êîìïàíèè. Êàê ïðîèñõîäèò ïðîöåññ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé?
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êàæäûé êëèåíò èùåò ñðåäè âûïóñêàåìûõ ìàøèí íàèáîëåå "ïîõîæèå" íà åãî "èäåàë" è îöåíèâàåò èõ ïî äâóì ïîêàçàòåëÿì: ïîëåçíîñòü è ñòîèìîñòü. Ïðèïèøåì êàæäîé ñîñòàâíîé ÷àñòè çíà÷åíèå
ïîëåçíîñòè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êëèåíò ãîòîâ ðàññìàòðèâàòü âàðèàíò çàìåíû åãî "èäåàëà" íà äðóãóþ ìàøèíó, åñëè
1) íîâàÿ ìàøèíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç "èäåàëüíîé" çàìåíîé îòäåëüíûõ
ñîñòàâíûõ ÷àñòåé, è òàêàÿ çàìåíà ïðåäóñìîòðåíà êîíñòðóêöèåé "èäåàëà"
ìàøèíû;
2) ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé ïîëåçíîñòè îò "èäåàëüíûõ" çíà÷åíèé íå
ïðåâîñõîäèò çàäàííîãî ïîðîãà;
3) íîâàÿ ìàøèíà äîðîæå "èäåàëüíîé" íå áîëåå, ÷åì â óêàçàííîå ÷èñëî ðàç.
Ñôîðìóëèðîâàííûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò äëÿ êàæäîé ìàøèíû èç ñïèñêà
I ïîñòðîèòü ñïèñîê Ij âîçìîæíûõ çàìåí, êîòîðûå êëèåíò j ãîòîâ ðàññìàòðèâàòü, êàê ïîòåíöèàëüíûé îáúåêò äëÿ ïîêóïêè, åñëè äàííàÿ ìàøèíà áûëà
åãî "èäåàëîì".
Îïðåäåëèì ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ j -îé ãðóïïû íà ìíîæåñòâå Ij . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êëèåíò íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèò ñâîþ èäåàëüíóþ ìàøèíó
i(j) ∈ I , à âñå îñòàëüíûå óïîðÿäî÷èâàåò ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: ñíà÷àëà
ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ij óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî íåóáûâàíèþ ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé ïîëåçíîñòè. Çàòåì, ìàøèíû ñ ðàâíûìè çíà÷åíèÿìè ýòèõ
73
ñóììàðíûõ îòêëîíåíèé óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî íåóáûâàíèþ ñòîèìîñòè.
Ïîñëåäíåå, ÷òî íóæíî îïðåäåëèòü, ýòî ñïðîñ ïðè íîâîì ïðåäëîæåíèè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé ãðóïïå êëèåíòîâ èìååòñÿ îïðåäåëåííîå ÷èñëî
òàê íàçûâàåìûõ "êîíñåðâàòîðîâ", êîòîðûå ãîòîâû ïîêóïàòü òîëüêî ñâîé
"èäåàë" è íå ñîãëàñíû íè íà êàêèå çàìåíû. Åñëè êîìïàíèÿ çàêðûâàåò ïðîèçâîäñòâî "èäåàëà", òî îíè óõîäÿò ê êîíêóðåíòàì êîìïàíèè è ñ÷èòàþòñÿ
ïîòåðÿííûìè êëèåíòàìè. Îñòàëüíûå êëèåíòû äàííîé ãðóïïû èùóò çàìåíó
ñâîåé êîíôèãóðàöèè è, åñëè íàõîäÿò ïîäõîäÿùóþ çàìåíó èç ñïèñêà Ij â
÷èñëå ïðîäàâàåìûõ, òî ïîêóïàþò å¼.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè íè îäíà èç
âîçìîæíûõ çàìåí íå âûïóñêàåòñÿ êîìïàíèåé, òî îíè òîæå îáðàùàþòñÿ ê
êîíêóðåíòàì, óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî ïîòåðÿííûõ äëÿ äàííîé êîìïàíèè êëèåíòîâ.
4.3 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Îáîçíà÷èì ÷åðåç di , i ∈ I äîõîä êîìïàíèè îò ïðîäàæè îäíîé ìàøèíû i-ãî
òèïà (ðûíî÷íàÿ ñòîèìîñòü ìàøèíû). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííûå
çàòðàòû ïî âûïóñêó îäíîé ìàøèíû i-ãî òèïà ñîñòîÿò èç äâóõ ÷àñòåé:
ci > 0 ïðÿìûå çàòðàòû íà ìàòåðèàëû, ñäåëüíóþ îïëàòó òðóäà è ïðî÷åå;
c > 0 àìîðòèçàöèîííûå îò÷èñëåíèÿ, óäåëüíûå êàïèòàëüíûå çàòðàòû è
ñðåäíèå óäåëüíûå çàòðàòû íà ïîëóôàáðèêàòû, èõ õðàíåíèå, äîñòàâêó è
ïðî÷åå.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèáûëü îò ïðîäàæè îäíîé ìàøèíû i-ãî òèïà åñòü ðàçíîñòü di − (ci + c), i ∈ I .
Ïóñòü áóëåâû ïåðåìåííûå yi ∈ {0, 1}, i ∈ I îïðåäåëÿþò íîìåíêëàòóðó
âûïóñêàåìûõ
ìàøèí:
(
1, åñëè ìàøèíû i-ãî òèïà âûïóñêàþòñÿ êîìïàíèåé;
yi =
0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Áóëåâû ïåðåìåííûå xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J îïðåäåëÿþò çàêàçû êëèåíòîâ
íà ìàøèíû:
(
1, åñëè êëèåíòû j -îé ãðóïïû çàêàçûâàþò ìàøèíû i-ãî òèïà;
xij =
0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Îïðåäåëèì çàòðàòû êîìïàíèè íà îðãàíèçàöèþ ïðîèçâîäñòâà ñ ïîìîùüþ
P
ôóíêöèè f ( i∈I yi ) ≥ 0. Ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ, åñëè êîìïàíèÿ íå âûïóñêàåò ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí, è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì
74
P
àðãóìåíòà. Êàê ïðàâèëî, ôóíêöèÿ f ( i∈I yi ) ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïàäåíèþ óäåëüíûõ çàòðàò íà îðãàíèçàöèþ ïðîèçâîäñòâà ñ ðîñòîì
íîìåíêëàòóðû âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè. Îäíàêî, â äàëüíåéøåì ñâîéñòâà
ýòîé ôóíêöèè èñïîëüçîâàòüñÿ íå áóäóò.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕj ≥ 0, j ∈ J ÷èñëî êëèåíòîâ â j -îé ãðóïïå, ÷åðåç
gij , i ∈ I, j ∈ J ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ ýòîé ãðóïïû íà ìíîæåñòâå Ij .
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ýëåìåíòû gij ðàçëè÷íû â êàæäîì ñòîëáöå ýòîé
ìàòðèöû, è êëèåíò ïðåäïî÷èòàåò ìàøèíó i1 ìàøèíå i2 , åñëè gi1 j > gi2 j .
×èñëî êîíñåðâàòèâíûõ êëèåíòîâ â j -îé ãðóïïå îáîçíà÷èì ÷åðåç ψj , 0 ≤
ψj ≤ ϕj , j ∈ J. Íàïîìíèì, ÷òî òàêèå êëèåíòû ñîãëàñíû ïîêóïàòü òîëüêî
"èäåàëüíóþ" êîíôèãóðàöèþ i(j) è íå ñîãëàñíû íà ëþáóþ äðóãóþ.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé çàäà÷à âûáîðà îïòèìàëüíîãî
ïàðêà ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå çàäà÷è äâóõóðîâíåâîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: íàéòè
XX
max{
(ϕj − ψj )(di − ci − c)x∗ij (y)+
y
(4.1)
j∈J i∈Ij
XX
X
ψj (di − ci − c)x∗i(j)j (y) − f (
yi )}
j∈J i∈Ij
i∈I
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I,
(4.2)
ãäå x∗ij (y) îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è êëèåíòîâ:
max
x
XX
gij xij
(4.3)
j∈J i∈Ij
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
X
xij ≤ 1, j ∈ J,
(4.4)
i∈Ij
xij ≤ yi , i ∈ Ij , j ∈ J,
(4.5)
xij = 0, i ∈
/ Ij , j ∈ J,
(4.6)
xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J.
(4.7)
75
Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è âåðõíåãî óðîâíÿ çàäàåò ñóììàðíóþ ïðèáûëü êîìïàíèè. Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è íèæíåãî óðîâíÿ îòðàæàåò ïðåäïî÷òåíèÿ
êëèåíòîâ. Îòëè÷èå ýòîé çàäà÷è îò çàäà÷è (1.1)(1.7) ñîñòîèò, âî-ïåðâûõ, â
òîì, ÷òî çàäà÷è íà âåðõíåì è íèæíåì óðîâíÿõ ÿâëÿþòñÿ çàäà÷àìè ìàêñèìèçàöèè. Âî-âòîðûõ, â íîâîé çàäà÷å îòñóòñòâóåò òðåáîâàíèå îáñëóæèòü
âñåõ êëèåíòîâ. Â-òðåòüèõ, çàðàíåå íå èçâåñòíî ÷èñëî âûïóñêàåìûõ òèïîâ
ìàøèí (îòñóòñòâóåò îãðàíè÷åíèå 1.2).
4.4 Ñâåäåíèå ê çàäà÷å ÌÏÊ
Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1)(4.7) îñíîâàí íà ñâåäåíèè å¼ ê ðåøåíèþ ñåðèè
P
çàäà÷ (1.1)(1.7). Òàê êàê ôóíêöèÿ f ( i∈I yi ) ìîæåò ïðèíèìàòü íå áîëåå
P
m çíà÷åíèé, òî ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ p = i∈I yi
íàéòè îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ïîëó÷àþùåéñÿ ïîäçàäà÷è è çàòåì âûáðàòü èç
íèõ íàèëó÷øåå. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå
â öåëåâîé ôóíêöèè (4.1) ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, è â çàäà÷å âåðõíåãî óðîâíÿ
P
ïîÿâëÿåòñÿ îäíî äîïîëíèòåëüíîå îãðàíè÷åíèå i∈I yi = p.
Ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû â öåëåâîé ôóíêöèè (4.1):
XX
(ϕj − ψj )(di − ci − c)x∗ij +
j∈J i∈Ij
XX
XX
ψj (di(j) − ci(j) − c)x∗ij =
j∈J i∈Ij
{(ϕj − ψj )(di − ci − c) + ψj (di(j) − ci(j) − c)}x∗ij
j∈J i∈Ij
è îïðåäåëèì
ìàòðèöó (cij ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
−{(ϕj − ψj )(di − ci − c) + ψj (di(j) − ci(j) − c)}, äëÿ j ∈ J, i ∈ Ij ;
0,
äëÿ j ∈ J, i ∈
/ Ij .
Òîãäà çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà â (4.1) ýêâèâàëåíòíà íàõîæäåíèþ ìèíèìóìà äëÿ íîâîé öåëåâîé ôóíêöèè:
XX
cij x∗ij (y).
cij =
j∈J i∈I
Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü âòîðàÿ ñóììà âêëþ÷àåò âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà I , è
îãðàíè÷åíèÿ (4.4) ìîæíî çàìåíèòü íà ðàâåíñòâà
X
xij = 1, j ∈ J.
i∈I
76
Ìåíÿÿ çíàê ó ìàòðèöû (gij ) è ïîäñòàâëÿÿ min â (4.3) âìåñòî max ïîëó÷àåì
ñâåäåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (4.1)(4.7) ê ñåðèè çàäà÷ âèäà: íàéòè
min
y
XX
cij x∗ij (y)
(4.8)
j∈J i∈I
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:
X
yi = p
(4.9)
i∈I
yi ∈ {0, 1}, i ∈ I,
(4.10)
ãäå x∗ij (y) îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è êëèåíòîâ:
min
x
X
XX
(−gij )xij
(4.11)
xij = 1, j ∈ J,
(4.12)
j∈J i∈I
i∈I
xij ≤ yi , i ∈ I, j ∈ J,
(4.13)
xij ∈ {0, 1}, i ∈ I, j ∈ J.
(4.14)
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ ðàçðàáîòàííûé â òðåòüåé
ãëàâå àëãîðèòì ãåíåòè÷åñêîãî ëîêàëüíîãî ïîèñêà.
4.5 Ñòðóêòóðà ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé
Çàäà÷à (4.8)(4.14) ÿâëÿåòñÿ èíòåëëåêòóàëüíûì ÿäðîì ðàçðàáîòàííîé ÑÏÏÐ
ïî âûáîðó ðàöèîíàëüíîãî ïàðêà âûïóñêàåìûõ ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí. ÑÏÏÐ ÿâëÿåòñÿ ïðèëîæåíèåì îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Windows 2000
èëè Windows XP. Îíà ïðîñòà è óäîáíà â ðàáîòå, íå òðåáóåò îò ïîëüçîâàòåëÿ çíàíèé ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ñïåöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé
ïîäãîòîâêè. Ðàáîòà ÑÏÏÐ ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå áîëüøîãî îáúåìà
èñõîäíîé èíôîðìàöèè, âêëþ÷àþùåé îïèñàíèå ðàçëè÷íûõ òèïîâ êîíôèãóðàöèé è ïðàâèë èõ êîíñòðóèðîâàíèÿ, ìàòðèöû ïðèáûëè è ïðèîðèòåòîâ çàêàç÷èêîâ ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó òèïó êîíôèãóðàöèè è äðóãèå ïîêàçàòåëè. Ïîýòîìó äëÿ ýôôåêòèâíîé ðàáîòû ñèñòåìû æåëàòåëüíî íàëè÷èå íå
ìåíåå 512Mb îïåðàòèâíîé ïàìÿòè è ïðîöåññîð íå íèæå Pentium 1.2 Ghz.
77
Ðèñ. 4.1: Ïîäãîòîâêà èñõîäíûõ äàííûõ
Äëÿ óäîáñòâà âñÿ èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ äîëæíà áûòü ïðåäñòàâëåíà åäèíîîáðàçíûì ñïîñîáîì. Îäíèì èç íàèáîëåå óäîáíûõ â ýòîì ñìûñëå ñïîñîáîâ
õðàíåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ èíôîðìàöèè ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîííûå òàáëèöû. Â
êà÷åñòâå òàêèõ òàáëèö èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðîííûå òàáëèöû Excel.
Ðàçðàáîòàííàÿ ÑÏÏÐ ñîñòîèò èç òðåõ îñíîâíûõ áëîêîâ:
ïîäãîòîâêà èñõîäíûõ äàííûõ è ïðîâåðêà èõ êîððåêòíîñòè;
áëîê îïòèìèçàöèè, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ ïðîâåäåíèÿ ìíîãîâàðèàíòíûõ
ðàñ÷åòîâ ïî ìîäåëè (4.8)(4.14);
àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è ôîðìèðîâàíèå îò÷åòîâ äëÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèå.
Êàæäîìó áëîêó ñîîòâåòñòâóåò ñâîå îêíî ñ óïðàâëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè è
âîçìîæíîñòüþ ïðîäîëæèòü ðàñ÷åòû èëè âåðíóòüñÿ ê ïðåäûäóùåìó øàãó.
4.5.1 Ïîäãîòîâêà èñõîäíûõ äàííûõ
Íà÷èíàÿ ðàáîòó ñ ÑÏÏÐ, ïîëüçîâàòåëü ïîëó÷àåò äîñòóï ê ôîðìèðîâàíèþ
ñïèñêà êëèåíòîâ è ÷òåíèþ îñíîâíûõ èñõîäíûõ äàííûõ: ñîñòàâíûå ÷àñòè
êîíôèãóðàöèé, èõ ïîëåçíîñòè, êîäû, ñòîèìîñòè, ïðàâèëà êîíñòðóèðîâàíèÿ
78
ìàøèí ïóòåì çàìåíû îòäåëüíûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé è äð. Íàæàâ êíîïêó
"Open Data File" ïîëüçîâàòåëü èìååò âîçìîæíîñòü âûáðàòü íóæíûé âàðèàíò èñõîäíûõ äàííûõ, à çàòåì íàæàâ êíîïêó "Read" ïðî÷èòàòü ýòè äàííûå. Òàê êàê èñõîäíûå äàííûå íîñÿò ðàçíîðîäíûé õàðàêòåð è ñîáèðàþòñÿ
èç ðàçíûõ ïîäðàçäåëåíèé êîìïàíèè, òî â ÑÏÏÐ ïðåäóñìîòðåí àâòîìàòè÷åñêèé êîíòðîëü èñõîäíûõ äàííûõ. Ïàíåëü "Verication messages" ïîêàçûâàåò ïîëüçîâàòåëþ ñîîáùåíèÿ îá îáíàðóæåííûõ îøèáêàõ, à íàæàòèå êíîïêè
"View Errors" ïîçâîëÿåò äåòàëüíî ðàçîáðàòüñÿ â âîçíèêàþùèõ ïðîáëåìàõ
ïðè ÷òåíèè èíôîðìàöèè. Åñëè îøèáîê ñëèøêîì ìíîãî, òî ïîëüçîâàòåëü
ìîæåò îñòàíîâèòü ïðîöåññ ÷òåíèÿ èíôîðìàöèè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîñòàâèòü îòìåòêó â ïîçèöèè "Stop on Error" íà ïàíåëè ÷òåíèÿ äàííûõ. Êàê
òîëüêî èíôîðìàöèÿ î ìàøèíàõ è èõ ñîñòàâíûõ ÷àñòÿõ çàãðóæåíà â îïåðàòèâíóþ ïàìÿòü, ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ÷òåíèÿ äàííûõ î êëèåíòàõ. Äëÿ
ýòèõ öåëåé ñëóæèò êíîïêà "Read Customer Demand". Îñíîâó ýòîé èíôîðìàöèè ñîñòàâëÿþò äàííûå î ïðîäàæàõ ìàøèí çà ïðåäøåñòâóþùèå ïåðèîäû, à òàêæå ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå, ïîçâîëÿþùèå îöåíèòü ïðåäïî÷òåíèÿ
êëèåíòîâ.
Êàê òîëüêî ïîëó÷åíà âñÿ èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ, ïîëüçîâàòåëü ìîæåò
ïðèñòóïàòü ê ôîðìèðîâàíèþ äàííûõ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Íàèáîëåå òðóäíûì ýòàïîì ýòîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñîçäàíèå ìíîæåñòâà I âûïóñêàåìûõ è ãèïîòåòè÷åñêè âîçìîæíûõ òèïîâ ìàøèí. Äëÿ ýòèõ öåëåé ñëóæèò
êíîïêà "Create Congurations" è äâå ïàíåëè "Features" è "Base and Option
Codes". Íà ïåðâîé ïàíåëå ñîäåðæèòñÿ ñïèñîê îñíîâíûõ ãðóïï óíèôèöèðîâàííûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé, à íà âòîðîé ñïèñîê ñàìèõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé,
ðàçáèòûõ íà ãðóïïû. Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà íà ýòîì ýòàïå ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ãèïîòåòè÷åñêè âîçìîæíûõ ìàøèí ñëèøêîì ìíîãî, áîëåå 109 äëÿ ðåàëüíûõ èñõîäíûõ äàííûõ. Ðåøåíèå çàäà÷è (4.8)(4.14) íà òàêîì ìíîæåñòâå I
ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî íà ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðàõ. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ
ðàçìåðíîñòè â ÑÏÏÐ ïðåäóñìîòðåíà âîçìîæíîñòü áëîêèðîâàòü ñîçäàíèå
íåêîòîðûõ êîíôèãóðàöèé. Äëÿ ýòèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ïîìåòêè íà ïàíåëÿõ "Features" è "Base and Option Codes". Ñíÿòèå ïîìåòîê â ýòèõ îêíàõ
çàïðåùàåò ñîîòâåòñòâóþùèå çàìåíû. Ïàíåëü "Congurations" ïîêàçûâàåò
ðåçóëüòàòû ôîðìèðîâàíèÿ ìíîæåñòâà I : ÷èñëî ãðóïï, â êîòîðûõ ðàçðåøàëèñü çàìåíû (Number of Features) è îáùåå ÷èñëî ïîëó÷åííûõ êîíôèãó79
Ðèñ. 4.2: Çàâåðøåíèå ïîäãîòîâêè èñõîäíûõ äàííûõ
ðàöèé (Number of Congurations). Åñëè ïîëüçîâàòåëü äîáèëñÿ æåëàåìûõ
ðåçóëüòàòîâ ïî ñîêðàùåíèþ ðàçìåðíîñòè çàäà÷è è õî÷åò ïåðåéòè îò ýòàïà
ôîðìèðîâàíèÿ äàííûõ ê ýòàïó îïòèìèçàöèè, îí äîëæåí íàæàòü êíîïêó
"Optimize", êîòîðàÿ ïåðâîíà÷àëüíî ñêðûòà îò ïîëüçîâàòåëÿ è ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïî çàâåðøåíèþ ïîäãîòîâêè äàííûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (ñì.
ðèñ. 4.2).
4.5.2 Áëîê îïòèìèçàöèè
Äëÿ óïðàâëåíèÿ ïîèñêîì ðàöèîíàëüíîãî ïàðêà ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí ñëóæèò îêíî "Optimization"(ðèñ. 4.3).  ïðàâîì âåðõíåì óãëó ýòîãî îêíà ïîëüçîâàòåëþ âûäàåòñÿ èíôîðìàöèÿ îá îáùåì ÷èñëå âîçìîæíûõ
êîíôèãóðàöèé (All Congurations), ÷èñëå ïðîäàâàåìûõ ðàíåå êîíôèãóðàöèé (Congurations Sold) è ÷èñëå ñåãìåíòîâ (Customer Segments), íà êîòîðûå äåëèòñÿ êàæäàÿ ãðóïïà êëèåíòîâ äëÿ äåòàëüíîãî ôîðìèðîâàíèÿ èõ
ïðåäïî÷òåíèé. Â êàæäîì ñåãìåíòå êàæäîé ãðóïïû ïðåäïî÷òåíèÿ êëèåíòîâ îäèíàêîâû. Â ëåâîì âåðõíåì îêíå "Admissible number of congurations"
ïîëüçîâàòåëü çàäàåò äîïóñòèìîå ÷èñëî òèïîâ êîíôèãóðàöèé (âåëè÷èíà p
80
Ðèñ. 4.3: Áëîê îïòèìèçàöèè
â îãðàíè÷åíèè 4.9). Ðàáîòà ïîëüçîâàòåëÿ íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ ìàòðèö (cij ) è (gij ), êíîïêà "Initialization". Êàê òîëüêî äàííûå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñôîðìèðîâàíû ìîæíî íà÷èíàòü ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è. Êíîïêà "Search" ñëóæèò äëÿ çàïóñêà ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà, à êíîïêà "Algorithm" äëÿ íàñòðîéêè óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ. Íàæàòèå êíîïêè
"Algorithm" ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íîâîãî îêíà "Optimization Algorithm",
íà êîòîðîì ðàñïîëîæåíû ñëåäóþùèå óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû (ðèñ. 4.4):
äëèòåëüíîñòü ýâîëþöèè (Evolution Time);
ðàçìåð ïîïóëÿöèè (Population Size);
ñïîñîá âûáîðà ðîäèòåëüñêîé ïàðû (îïåðàòîðû ñêðåùèâàíèÿ): ðàâíîìåðíàÿ ñåëåêöèÿ, òóðíèðíàÿ ñåëåêöèÿ, ñåëåêöèÿ ïî ïðàâèëó "ëó÷øèé + ñëó÷àéíûé"(Parents Selection: Uniform, Tournament, The best and random);
âåðîÿòíîñòü âûáîðà ðîäèòåëåé (Parents Probability);
âûáîð îïåðàòîðà ñêðåùèâàíèÿ: ðàâíîìåðíûé, æàäíûé (Crossover: Uniform,
Greedy);
âåðîÿòíîñòü ìóòàöèè (Mutation Probability);
ãëóáèíà îêðåñòíîñòè Ëèíà-Êåðíèãàíà (Depth of LK-neighborhood);
ïðàâèëà çàìåùåíèÿ äëÿ àëãîðèòìîâ ëîêàëüíîãî ñïóñêà: ëó÷øèé â îêðåñò81
Ðèñ. 4.4: Óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû àëãîðèòìà
íîñòè èëè ïåðâûé ñ óëó÷øåíèåì (Pivoting Rules Best, First ).
Êíîïêà "Default" âîçâðàùàåò ñòàíäàðòíûå óñòàíîâêè óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà, êíîïêà "OK" âîçâðàùàåò ïîëüçîâàòåëÿ â ïðåäûäóùåå
îêíî "Optimization" è ïåðåäàåò àëãîðèòìó çíà÷åíèÿ âûáðàííûõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ.
Íàæàòèå êíîïêè "Search" ïðèâîäèò ê âûïîëíåíèþ îñíîâíûõ ïðîöåäóð
ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà.  ýòî âðåìÿ íà ýêðàíå ïîÿâëÿåòñÿ "ïîëîñà ïðîãðåññà" ïîçâîëÿþùàÿ îöåíèòü, ñêîëüêî îñòàëîñü âðåìåíè äî çàâåðøåíèÿ
ïðîöåññà. Åñëè âûáðàííûå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà
îêàçàëèñü íåóäà÷íûìè, è ïðîöåññ ðåøåíèÿ èäåò ñëèøêîì ìåäëåííî, ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ïðåðâàòü ðàáîòó àëãîðèòìà, êíîïêà "Break" è ïîñìîòðåòü
íà ëó÷øåå èç íàéäåííûõ ê äàííîìó ìîìåíòó ðåøåíèå. Ïàíåëü "Results"
ïîêàçûâàåò îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî ðåøåíèÿ:
ñóììàðíàÿ ïðèáûëü (Total Prot);
ñóììàðíûé äîõîä êîìïàíèè (Revenue);
ïðÿìûå çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî ìàøèí (Total Variable Cost);
àìîðòèçàöèîííûå îò÷èñëåíèÿ (Total Assert Charge);
çàòðàòû íà ñîäåðæàíèå êîìïàíèè (Overhead);
82
Ðèñ. 4.5: Ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé
ñóììàðíûå èçäåðæêè (Total Expenses);
÷èñëî îáñëóæåííûõ êëèåíòîâ (Customers Served);
÷èñëî ïîòåðÿííûõ êëèåíòîâ (Customers Lost).
Ìåíÿÿ ÷èñëî äîïóñòèìûõ òèïîâ êîíôèãóðàöèé â ÿ÷åéêå "Admissible
Number of Congurations" ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ïðîâîäèòü ìíîãîâàðèàíòíûå ðàñ÷åòû ïî ìîäåëè, âûáèðàÿ íàèëó÷øóþ ñòðàòåãèþ ïî âûïóñêó ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí.
4.5.3
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è ôîðìèðîâàíèå îò÷åòîâ
Êîãäà ðàñ÷åòû çàêîí÷åíû, íàèëó÷øèé âàðèàíò è äâà áëèæàéøèõ ê íåìó
ïî ñóììàðíîé ïðèáûëè ìîæíî ïîëó÷èòü â ðàçâåðíóòîì âèäå, íàæàâ êíîïêó "Solutions". Ýòè ðåøåíèÿ, à òàêæå èñõîäíûé âàðèàíò ïàðêà ìàøèí è
èõ ñðàâíèòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîÿâÿòñÿ â íîâîì îêíå "Optimization
Results" (ðèñ. 4.5). Ïîäðîáíûé ñïèñîê ïî êàæäîìó âàðèàíòó ïàðêà â âèäå òàáëèö Excel ìîæíî ïîëó÷èòü, íàæàâ êíîïêó "Save Solutions and Show".
Ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ ïîêàçàòåëåé â íàéäåííîì ðåøåíèè óäîáíî ïðîâîäèòü,
èñïîëüçóÿ èëëþñòðàöèþ ðåøåíèé â âèäå äèàãðàìì, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî
83
Ðèñ. 4.6: Ãðàôè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ðåøåíèé
íàæàòü êíîïêó "Diagram".  îêíå "Diagram" èìåþòñÿ âñòðîåííûå êîìïîíåíòû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ðàçëè÷íûå âèäû äèàãðàìì
(ïëîñêóþ, òðåõìåðíóþ, â âèäå ãðàôèêà, ãðàôèêà ñ îáëàñòÿìè è äðóãèå), ñîõðàíÿòü ðåçóëüòàòû è ïå÷àòàòü èõ. Êíîïêà "Exit" ïîçâîëÿåò ïîëüçîâàòåëþ
çàêîí÷èòü ðàáîòó ñ ÑÏÏÐ.
84
Çàêëþ÷åíèå
1. Èññëåäîâàíà íîâàÿ çàäà÷à î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ. Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî àëãîðèòìû ëîêàëüíîãî ñïóñêà â ñðåäíåì
ïðèâîäÿò ê ðåøåíèÿì ñ ìàëîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ, õîòÿ â õóäøåì
ñëó÷àå òàêàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò îêàçàòüñÿ ñêîëü óãîäíî áîëüøîé âåëè÷èíîé. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ïðàâèë çàìåùåíèÿ íà ÷èñëî èòåðàöèé
àëãîðèòìà ëîêàëüíîãî ñïóñêà è ïîãðåøíîñòü ïîëó÷àåìûõ ëîêàëüíûõ îïòèìóìîâ. Ïðåäëîæåíî íîâîå ïðàâèëî çàìåùåíèÿ, ïðèâîäÿùåå ê ðåøåíèÿì ñ
ìåíüøåé ïîãðåøíîñòüþ, ÷åì äðóãèå èçâåñòíûå ïðàâèëà.
2. Óñòàíîâëåíî, ÷òî öåëî÷èñëåííîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìóìîì äëÿ îêðåñòíîñòè N1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì Êóíà-Òàêêåðà. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòè óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû ñóùåñòâîâàíèþ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, äëÿ êîòîðûõ öåëî÷èñëåííîå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé òî÷êîé îòíîñèòåëüíî îêðåñòíîñòè N1 .
3. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ ðàçðàáîòàí ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì ñ àïîñòåðèîðíîé îöåíêîé òî÷íîñòè. Èññëåäîâàíû òðè ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è â âèäå çàäà÷è ÖËÏ. Ïîêàçàíî, ÷òî îäíà
èç ýòèõ ôîðìóëèðîâîê ïðèâîäèò ê ëó÷øåé íèæíåé îöåíêå, ÷åì äâå äðóãèå.
4. Äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïàðêà ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ìàøèí ðàçðàáîòàíà ñèñòåìà ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, èíòåëëåêòóàëüíûì ÿäðîì
êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î p-ìåäèàíå ñ ïðåäïî÷òåíèÿìè êëèåíòîâ íà ìàêñèìóì. Ïðîâåäåííûå òåñòîâûå ðàñ÷åòû íà ðåàëüíûõ
èñõîäíûõ äàííûõ ïîêàçàëè âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü ðàçðàáîòàííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.
85
Ëèòåðàòóðà
[1] Áåðåñíåâ Â. Ë., Ãèìàäè Ý. Õ., Äåìåíòüåâ Â. Ò. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è ñòàíäàðòèçàöèè. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1978.
[2] Áåðåñíåâ Â. Ë. Äèñêðåòíûå çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ è ïîëèíîìû îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 2005.
[3] Áåðåñíåâ Â. Ë. Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ îäíîðîäíîé òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû // Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. Íîâîñèáèðñê: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1971. Âûï. 9. Ñ. 6574.
[4] Ãåðìåéåð Þ. Á. Èãðû ñ íåïðîòèâîïîëîæíûìè èíòåðåñàìè. Ìîñêâà:
Íàóêà, 1976.
[5] Ãèìàäè Ý. Õ. Ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ
ñ îáëàñòÿìè îáñëóæèâàíèÿ, ñâÿçàííûìè îòíîñèòåëüíî àöèêëè÷åñêîé
ñåòè // Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. Íîâîñèáèðñê: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÑÎ
ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. Âûï. 23. Ñ. 1223.
[6] Ãîðáà÷åâñêàÿ Ë. Å. Ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìûå è NP-òðóäíûå äâóõóðîâíåâûå çàäà÷è ñòàíäàðòèçàöèè. Êàíäèäàòñêàÿ äèññåðòàöèÿ ôèç.ìàò. íàóê, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë.Ñîáîëåâà. Íîâîñèáèðñê,
1998.
[7] Ãîðáà÷åâñêàÿ Ë. Å. Àëãîðèòìû è ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ äâóõóðîâíåâûõ çàäà÷ ñòàíäàðòèçàöèè ñ êîððåêöèåé äîõîäà // Äèñêðåò. àíàëèç
è èññëåä. îïåðàöèé. Ñåð. 2. 1998. Ò. 5,  2. Ñ. 2033.
[8] Ãîðáà÷åâñêàÿ Ë. Å., Äåìåíòüåâ Â. Ò., Øàìàðäèí Þ. Â. Äâóõóðîâíåâàÿ çàäà÷à ñòàíäàðòèçàöèè ñ óñëîâèåì åäèíñòâåííîñòè îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà // Äèñêðåò. àíàëèç è èññëåä. îïåðàöèé.
Ñåð. 2. 1999. Ò. 6,  2. Ñ. 311.
86
[9] Ãýðè Ì., Äæîíñîí Ä. Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû è òðóäíîðåøàåìûå
çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1982.
[10] Åðåìååâ À. Â. Ðàçðàáîòêà è àíàëèç ãåíåòè÷åñêèõ è ãèáðèäíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè. Êàíäèäàòñêàÿ
äèññåðòàöèÿ ôèç.- ìàò. íàóê. Îìñê, 2000.
[11] Åðåìååâ À. Â. Ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì äëÿ çàäà÷è î ïîêðûòèè //
Äèñêðåò. àíàëèç è èññëåä. îïåðàöèé. Ñåð. 2. 2000. Ò. 7,  1. Ñ. 4760.
[12] Êî÷åòîâ Þ. À., Îáóõîâñêàÿ Ï. À., Ïàùåíêî Ì. Ã. Ñîñòàâëåíèå ðàñïèñàíèé ó÷åáíûõ çàíÿòèé ïðè äîñòàòî÷íîì ÷èñëå àóäèòîðèé // Òðóäû
ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ. Ñåðèÿ Èíôîðìàòèêà. Íîâîñèáèðñê 2007. C. 105
112.
[13] Êî÷åòîâ Þ. À., Ïàùåíêî Ì. Ã., Ïëÿñóíîâ À. Â. Î ñëîæíîñòè ëîêàëüíîãî ïîèñêà â çàäà÷å î p-ìåäèàíå. Äèñêðåò. àíàëèç è èññëåä.
îïåðàöèé. Ñåð. 2. 2005. Ò. 12,  2. C. 4471.
[14] Ïàïàäèìèòðèó Õ., Ñòàéãëèö Ê. Êîìáèíàòîðíàÿ îïòèìèçàöèÿ. Àëãîðèòìû è ñëîæíîñòü. Ì.: Ìèð. 1985.
[15] Ðàñòðèãèí Ë. À. Ñëó÷àéíûé ïîèñê ñïåöèôèêà, ýòàïû èñòîðèè è
ïðåäðàññóäêè // Âîïðîñû êèáåðíåòèêè. Âûï. 33. 1978. Ñ. 316.
[16] Ñõðåéâåð À. Òåîðèÿ ëèíåéíîãî è öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Ìèð, 1991.
[17] Òèïîâàÿ ìåòîäèêà îïòèìèçàöèè ìíîãîìåðíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ. Ì.: Èçä-âî ñòàíäàðòîâ, 1975.
[18] Òèïîâàÿ ìåòîäèêà îïòèìèçàöèè îäíîìåðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî (òèïîðàçìåðíîãî) ðÿäà. Ì.: Èçä-âî ñòàíäàðòîâ, 1976.
[19] ×åðåíèí Â. Ï., Õà÷àòóðîâ Â. Ð. Ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðàñ÷åòîâ îäíîãî êëàññà çàäà÷ î ðàçìåùåíèè ïðîèçâîäñòâà //
Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1965. Ñ. 279290.
[20] Aarts E. H. L, Korst J.H.M., van Laarhoven P. J. M. Simulated
annealing. Local Search in Combinatorial Optimization. Chichester:
Wiley. 1997. P. 91120.
87
[21] Aggarwal C. C., Orlin J. B., Tai R. P. Optimized crossover for maximum
independent set // Oper. Res. 1997. V. 45,  2, P. 226243.
[22] Ahuja R. K., Ergun O., Orlin J. B., Punnen A. P. A survey of very large
scale neighborhood search techniques // Discrete Appl. Math. 2002. V.
123, Issue 13. P. 75102.
[23] Alekseeva E., Fokin M., Kochetov Yu. and others. Conguration prot
tool and conguration optimizer. User's manual. Novosibirsk, Sobolev
Institute of Mathematics. 2004.
[24] Anandalingam G., Friesz T. L. Hierarchucal optimization: an
introduction // Ann. Oper. Res. 1992. V. 34,  1. P. 111.
[25] Arya V., Garg N., Khandekar R., Meyerson A.,Munaga K.,Pandit V.
Local search heuristics for k -median and facility location problems //
SIAM Journal on Computing. 33. 2004. P. 544562.
[26] Ausiello G., Crescenzi P., Gambosi G., Kann V., MarchettiSpaccamela A., Protasi M. Complexity and Approximation:
Combinatorial Optimization Problems and their Approximability
Properties. Berlin: SpringerVerlag. 1999.
[27] Avella P., Sassano A., Vasil'ev I. Computational study of large-scale pmedian problems // Math. Program. Ser. A 109. 2007. P. 89114.
[28] Balas E., Niehaus W. Optimized crossover-based genetic algorithms for
the maximum cardinality and maximum weight clique problems // J.
Heuristics. 1998. V. 4, N 4. P. 107122.
[29] Balinski M. L. Integer programming: methods, uses, computation.
Managment Science 12. 1965. P. 253313.
[30] Boese K. D., Kahng A. B., Muddu S. A new adaptive multi-start
technique for combinatorial global optimizations // Oper. Res. Lett.
1994. V. 16, N 2. P. 101114.
[31] Borisovsky P., Dolgui A., Eremeev A. Genetic algorithms for supply
management problem with lower-bounded demands // Preprints of the
88
12th IFAC Symposium "Information Control Problems in Manufacturing
2006", Saint-Etienne, France: Elsevier Science, 2006. V. 3. P. 535540.
[32] Bremermann H. J., Roghson J., Sala S. Global properties of evolution
processes. In Natural automata and useful simulations. Edited by
Pattee H. H. etc. London: Macmillan. 1966. P. 342.
[33] Burke Ed., Kendall G.(Eds.) Search methodologies. Introductory
tutorials in optimization and decision support techiques. Springer. 2005.
[34] Dempe S. Foundational of Bilevel Programming. The Netherlands,
Dordrecht: Klumer Academic Publishers. 2002.
[35] Fiduccia C. M., Mattheyses R. M. A linear-time heuristic for improving
network partitions // Proc. of the 19-th Design Automation Conference,
Los Alamitos, CA: IEEE Comput. Soc. Press, 1982. P. 175181.
[36] Glover F., Laguna M. Tabu search. Boston: Kluwer Acad. Publ., 1997.
[37] Glover F. Tabu search. P.I // ORSA J. Comput. 1989. V. 1. P. 190206.
[38] Glover F. Tabu search. P.II // ORSA J. Comput. 1990. V. 2. P. 432.
[39] Goldberg D. E. Genetic algorithm in search, optimization and machine
learning. Reading, MA: Addison-Wesley. 1989.
[40] Goldberg D. E. Simple genetic algorithms and the minimal deceptive
problem. Genetic Algorithms and Simulated Annealing. Chapter 6. Los
Altos, CA, Morgan Kauman. 1987. P. 7488.
[41] Hammer P.L. Plant Location a pseudo-boolean approach // Israel J.
Technology. 1968. V. 6.  5. P. 330332.
[42] Hanjoul P., Peeters D. A facility location problem with clients' preference
orderings // Regional Science and Urban Economics. 1987. V. 17, Issue 3.
P. 451473.
[43] Hansen P., Mladenovic N. An introduction to variable neighborhood
search // Meta-heuristics: advances and trends in local search paradigms
for optimization. Boston: Kluwer. Acad. Publ., 1998. P. 433458.
89
[44] Hansen P., Mladenovic N. Developments of variable neighborhood
search. Essays and Surveys of Metaheuristics. Boston: Kluwer Acad.
Publ., 2002. P. 415440.
[45] Holland J. H. Adaptation in natural and articial systems. Ann Arbor:
University of Michigan Press, 1975.
[46] Ibaraki T., Nonobe K., Yagiura M. (Eds.) Metaheuristics: progress as
real solvers. Berlin: Springer, 2005.
[47] Johnson D. S., Papadimitriou C. H., Yannakakis M. How easy is local
search? // J. of Computer and System Science. 37. 1988. P. 79100.
[48] Kariv O., Hakimi S. An algoritmic approach to network Location
Problems. The p-medians // SIAM Journal of Applied Mathematics.
37. 1979. P. 539560.
[49] Kernighan B. W., Lin S. An eective heuristic procedure for partitioning
graphs // Bell System Tech. J. 1970. V. 49. P. 291307.
[50] Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated
annealing // Science. 1983. V. 220, P. 671680.
[51] Kochetov Y., Alekseeva E., Levanova T., Loresh M. Large neighborhood
local search for the p-median problem // Yugoslav Journal of Oper.
Res. 2005. V. 15,  1. P. 5363.
[52] Kochetov Yu., Ivanenko D. Computationally dicult instances for the
uncapacitated facility location problem. In Metaheuristics: progress as
real solvers. Edited by Ibaraki T. etc. Berlin: Springer, 2005. P. 351367.
[53] Korte B., Vygen J. Combinatorial Optimization. Theory and Algorithms.
Third Edition. P. 537571.
[54] Krarup J., Pruzan P. M. The simple plant location problem: survey and
synthesis // European J. Oper. Res. 1983. V. 12,  12. P. 3681.
[55] Krentel M. W. Structure in locally optimal solutions // 30th Annual
Symposium on Foundation of Computer Science. IEEE Computer
Society Press . Los Alamitos CA. P. 216222.
90
[56] Krentel M. W. On nding and verifying locally optimal solutions //
SIAM Journal on Computing. 1990.  19. P. 742751.
[57] Martelo S., Toth P. Generalized assigment problem. Knapsack problem.
Algorithms and Computer Implementations. John Wiley and Sons Ltd.
1990. P. 189213.
[58] Mirchandani P. B. The p-median problem and generalization. Discrete
Location Theory. Edited by Mirchandani P. B, Francis R. L. John Wiley
and Sons. 1990. P. 55119.
[59] Mladenovic N.,Brimberg J.,Hansen P., Moreno-Perez J. The p-median
problem: A survey of metaheuristic approaches // European J. of Oper.
Res. (to appear)
[60] Mautor T. Intensication neighborhoods for local search methods.
Essays and Surveys in Metaheuristics. Operation Research Computer
Science. Edited by Ribeiro C., Hansen P. Kluwer Acad. Publ. 2001.
P. 493508.
[61] Nemhauser G., Wolsey L. Integer and Combinatorial Optimization. John
Wiley and Sons. 1988. P. 402.
[62] Papadimitriou C. H. Theory of complexity. Addison Wesley, 1994.
[63] Pétrowski D.,Taillard S. Metaheuristics for Hard Optimization. Methods
and Case Studies. Springer. 2006.
[64] Rolland E., Schilling D.A., Current J. R. An ecient tabu search
procedure for the p-median problem // European J. of Oper. Res.  96.
1996. P. 329-342.
[65] Resende M., Werneck R. A hybrid heuristic for the p-median problem
// Journal of heuristics. 10(1). 2004. P. 5988.
[66] Resende M., Werneck R. On the implementation of a swap-based local
search procedure for the p-median problem // Proceedings of the Fifth
Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX'03).
Edited by Richard E. Ladner. SIAM. Philadelphia. 2003. P. 119127.
91
[67] Ribeiro C., Hansen P.(Eds.) Essay and surveys in metaheuristics. Kluwer
Academic Publishers. 2002.
aer A. A., Yannakakis M. Simple local search problems that are
[68] Sch
hard to solve // SIAM J. Comput. 1991. V. 20, N. 1. P. 5687.
[69] Schwefel H. P. Numerical optimization of computer models. Chichester:
Wiley, 1981.
[70] Stackelberg H. V. The theory of market economy. Oxford: Oxford Univ.
Press. 1952.
[71] Tovey C. A. Local improvement on discrete structures // Local search
in combinatorial optimization. Chichester: Wiley, 1997. P. 5790.
[72] Teitz M. B., Bart P. Heuristic methods for estimating the generalized
vertex median of a weighted graph // J. of Oper. Res. 16(5). 1968. P. 955
961.
[73] Vicente L. N., Calamai P. H. Bilevel and Multilevel Programming: A
bibliography Review // Journal of Global Opt. 1994. V. 5. P. 291306.
[74] Vredeveld T., Lenstra J. K. On local search for the generalized graph
coloring problem // Oper. Res. Letters. 2003. V. 31, N. 4. P. 2834.
[75] Yannakakis M. Computational Complexity. Local Search in
Combinatorial Optimization. Edited by Aarts E. and Lenstra J. K.
Chichester: John Wiley and Sons. 1997. P. 1955.
[76] http://www.research.att.com/ mgcr/data/index.html
[77] http://www.gams.com/
92