оптимальное кодирование-декодирование матричных

Краткое название статьи
(ШМУ УБС-2012)
1
УДК 519.218.82
ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ-ДЕКОДИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Литвин А. Ю., Приставко В. Т.
Санкт-Петербургский государственный университет, факультет ПМ-ПУ
Аннотация
В статье поставлена и решена задача оптимального кодирования-декодирования матричных случайных гауссовских процессов. Оптимальность рассматривается не в смысле минимума среднего квадрата ошибки, а как минимум линейно-квадратичного функционала от управления декодирующим
устройством.
Введение.
Статья посвящена задаче поиска оптимального кодирования-декодирования матричных случайных
гауссовских процессов, и по существу является продолжением работы [1], в которой речь идет об оптимальном конструировании линейных матричных фильтров. Представленное решение задачи оптимального кодирования-декодирования в части декодирования непосредственно связано с результатами указанной
работы. В статье используются идеи и методы представленные в работах [2] - [4].
Постановка задачи.
Предположим, что сообщение, которое нужно передать, есть матричный гауссовский случайный процесс Xt , t ∈ [0, T ], заданный на некотором полном вероятностном пространстве (Ω, F, P) с неубывающим
непрерывным справа семейством σ-подалгебр и описывается матричным уравнение диффузионного типа
dXt = At Xt dt + bdwt ,
(1)
где, по предположению, wt – гауссовский матричный процесс с независимыми нормально распределенными стандартными N(0, 1) компонентами соответствующих размерностей, случайная матрица X0 не зависит от матричной последовательности случайных воздействий wt на систему уравнений, математическое
ожидание E[X0 ] = X 0 и матрица n-ковариаций cov(X0 , X0 ) = γ0 заданы и конечны,
b = kbij kn×l , At = kaij (t)kn×n .
Определение 1. Будем говорить, что случайный процесс ξ = (ξt ), 0 ≤ t ≤ 1, есть сильное решение
стохастического матричного дифференциального уравнения
ξt = a(t, ξ)dt + b(t, ξ)dWt
с F0 -измеримыми начальным условием ξ0 = η, если при каждом t, 0 < t ≤ 1, величины ξt являются
Ft -измеримыми,
ξt = a(t, ξ)dt + b(t, ξ)dWt ,
Z 1
P
|a(t, ξ)|dt < ∞ = 1,
0
1
Z
P
b2 (t, ξ)dt < ∞ = 1,
0
и с вероятностью 1 для каждого t, 0 ≤ t ≤ 1,
Z t
Z t
ξt = η +
a(s, ξ)ds +
b(s, ξ)dWs .
0
0
Замечание 1. Пусть x̃ ∈ Rn×m – случайная матрица, которая имеет конечный второй момент, t ∈
[0, N ], N ∈ N. Тогда n-ковариационной матрицей cov(x̃, x̃) = ãt матрицы x̃ называется



x̃11 ... x̃1m
x̃11 ... x̃n1
ãt = E[x̃t x̃∗t ] = E  ... ... ...   ... ... ...  .
x̃n1 ... x̃nm
x̃1m ... x̃nm
2
(ШМУ УБС-2012)
Литвин А. Ю., Приставко В. Т.
Здесь и далее под знаком * понимается операция транспонирования. Видно, что ãt =k ãij (t) kn×n и
является симетрическим набором обыкновенных ковариаций данной матрицы по столбцам.
Сигнал Yt , t ∈ [0, T ], на выходе кодирующего устройства, предполагается удовлетворяющим матричному стохастическому дифференциальному уравнению
dYt = Ht Xt dt + Bdvt , Y0 = 0,
(2)
где Ht = kHij (t)kβ×n и следующие матрицы имеют соответствующие размерности: Yt – [β × m],
B – [β × δ], vt – [δ × m]; vt – гауссовский матричный процесс с независимыми нормально распределенными стандартными N(0, 1) компонентами, не зависящий от Xt . Матричная функция времени Ht , t ∈ [0, T ]
задает кодирование и предполагается такой, что уравнение (2) имеет единственное сильное решение.
В каждый момент времени t по выходному сигналу кодирующего устройства Yt можно построить
сообщение на входе декодирующего устройства Zt , изменения которого описываются на вероятностном
пространстве (Ω, F, P) случайным процессом, определяемым системой линейных стохастических матричных дифференциальных уравнений вида:
dZt = Ft Zt dt + Ut dYt ,
(3)
где Zt ∈ Rn×m , Ft и Ut – матричные функции размерностей [n×n], [n×β] соответственно; Z0 – не случайное
начальное условие; εt = Xt − Zt – матричная ошибка оценки; n-ковариационная матрица γt = cov(εt , εt )
положительно-определенная, симметрическая размерности [n × n], Ut принадлежит классу линейных по
γt функций: Ut = γt µt + ηt .
Определение 2. Управление Ut состоянием сообщения на входе декодирующего устройства Zt , для
которого система уравнений (1)-(3) имеет единственное сильное решение, называется допустимым.
Качество декодирования будем оценивать при помощи функционала J(Ut ):
J(Ut ) = Sp
E[ε∗T ΘT εT
Z
+
!
T
(ε∗t P εt
+
Ut QUt∗ Θ
+ 2Ut RΘ)dt]
=
0
Z
= Sp γT ΘT +
!
T
(γt P +
Ut QUt∗ Θ
+ 2Ut RΘ)dt ,
(4)
0
где Q – симметрическая положительно-определенная матрица размерности [β × β]; P – симметрическая
неотрицательно-определенная матрица размерности [n × n]; ΘT – положительно-определенная матрица
размерности [n × n]. Матрицы P, Q, R, ΘT являются известными постоянными матрицами.
Задача оптимального кодирования-декодирования. Требуется найти в классе допустимых
функций оптимальную тройку параметров кодирования-декодирования (Ft , Ut , Ht ), для которых функционал J(Ut ) принимал бы наименьшее возможное значение, и ошибка фильтрации была бы несмещенной.
Решение задачи оптимального кодирования-декодирования.
Поставленную задачу будем решать в три этапа:
1. определение необходимых и достаточных условий несмещенности ошибки оценки.
2. нахождение оптимальных параметров декодирования (Ft , Ut ) по отношению к рассматриваемому функционалу.
3. нахождение оптимального параметра кодирования Ht с учетом параметров декодирования, найденных
на предыдущем этапе.
Теорема 1. Для того, чтобы оценка фильтрации была несмещенной, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Ft = At − Ut Ht , Z0 = E[X0 ].
Для решения задачи декодирования, необходимо рассмотреть динамику матрицы n-ковариаций γt .
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Матрица γt ошибки оценки является единственным, непрерывным решением обыкновенного
матричного дифференциального уравнения
γ˙t = At γt + γt A∗t − Ut Ht γt − γt Ht∗ Ut∗ + bb∗ + Ut BB ∗ Ut∗
(5)
Краткое название статьи
(ШМУ УБС-2012)
3
с начальным условием γ0 .
Замечание 2. Заметим, что дифференциальное уравнение (5) можно рассматривать как билинейную
матричную квадратичную систему управления с критерием качества (4) и классом допустимых управлений в виде линейных по γt матричных функций Ut [2]. Тогда имеет место теорема 2.
Теорема 2. Если существует такая константа L, что |aij (t)| ≤ L и |Hij (t)| ≤ L, то матрицы
Zt и γt являются единственными непрерывными решениями системы уравнений (3) и (5). При этом в
классе допустимых управлений оптимальное по отношению к функционалу (4) управление существует
и определяется формулой
Utopt = (γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 ,
а оптимальное значение функционала J(Ut ) имеет вид
J(Utopt ) = Sp(γ0 Θ0 + ϕ0 ),
где Θt , ϕt – решения матричных дифференциальных уравнений
Θ̇t = −Θt At − (A∗t + 2Ht∗ (BB ∗ + Q)−1 R)Θt − P,
ϕ̇t = (γt Ht∗ (BB ∗ + Q)−1 Ht γt − bb∗ + R∗ (BB ∗ + Q)−1 R)Θ,
вдоль движения уравнения (1) с начальными условиями Θ(T ) = ΘT , ϕT = 0.
Используя оптимальное управление Utopt , полученное из теоремы 2, найдем оптимальное значение
функционала (4) по декодированию:
J(Utopt ) = J1 (Ht ) = Sp(γT ΘT +
Z
T
(γt P + (γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 (Ht γt − R)Θ+
0
+ 2(γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 RΘ)dt). (6)
Для разрешение поставленной задачи необходимо найти кодирование Htopt , доставляющее минимум функционалу (6), т.е.
J1 (Htopt ) → min .
Ht
Решением поставленной вариационной задачи будет кодирование, удовлетворяющее уравнению:
∂J1 (Ht )
= 0.
∂Ht
Проделав необходимые вычисления,
∂
Sp((γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 (Ht γt − R)Θ) =
∂Ht
= (BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt Θγt + ((BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 )∗ Ht γt∗ Θ∗ γt∗ −
− (BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 RΘγt − ((BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 )∗ RΘ∗ γt∗ =
= 2(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt Θγt − 2(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 RΘγt ,
∂
Sp((γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 RΘ) = (BB ∗ + Q)−1 RΘγt ,
∂H
получим, что искомое кодирование удовлетворяет уравнению
∂J1 (Ht )
= 2(BB ∗ + Q)−1 (Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt − Q(BB ∗ + Q)−1 R + R)Θγt = 0
∂Ht
Таким образом, получено следующее решение задачи оптимального кодирования
Htopt = Rγt−1 − (BB ∗ + Q)Q−1 Rγt−1 = −BB ∗ Q−1 Rγt−1 .
Полученное решение существует всегда в силу положительной определенности матриц Q и γt .
На основе всего изложенного выше, можно сформулировать следующую теорему.
4
(ШМУ УБС-2012)
Литвин А. Ю., Приставко В. Т.
Теорема 3. При выполнение всех предположений, сделанных выше, оптимальным решением (Ft , Utopt , Htopt )
поставленной задачи матричного кодирования-декодирования будет следующее:
Ft = At − (B ∗ Q−1 R)∗ B ∗ Q−1 Rγt−1 , Z0 = E[X0 ],
Utopt = −(Q−1 R)∗ ,
Htopt = −BB ∗ Q−1 Rγt−1 .
Поставленная задача оптимального кодирования-декодирования решена полностью.
Заключение.
В заключении авторы считают необходимым обратить внимание на следующие моменты:
1. Матричные функции, характеризующие оптимальные кодирование-декодирование Utopt и Htopt линейно зависят от матрицы R и, следовательно, обращаются в 0 в случае R = 0. Данное обстоятельство
не является существенной проблемой т.к. в реальных инженерных задачах всегда присутствуют ограничения на кодирующее (передающее) и декодирующее (принимающее) устройства т.е. в реальности
R 6= 0.
2. Матричная функция Htopt зависит от матрицы γt , которая является решением матричного дифференциального уравнения Риккати (5). Однако, при оптимальных параметрах кодирование-декодирования
это уравнение становится линейным
γ̇t = At γt + γt A∗t − (B ∗ Q−1 R)∗ B ∗ Q−1 R + bb∗ ,
что существенно упрощает вычисление Htopt .
Литература
[1] ЛИТВИН А. Ю., ПРИСТАВКО В. Т. Оптимальная фильтрация матричных слуачйных процессов // Теория
и практика в физико-математических науках. Материалы II Международной научно практической конференции — М.: Издательство Спутник + — 2011. — с. 28-35
[2] ПРИСТАВКО В. Т. Матpичные модели упpавления. — СПб.: HИИ Химии СПбГУ, 2001. — 255 с.
[3] ЛИПЦЕР Р. Ш., ШИРЯЕВ А. Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные
вопросы). — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-во Наука, 1974. — 696 с.
[4] ЗУБОВ В. И. Лекции по теории управления. — М.: Главная редакция физико-математической литературы
изд-ва Наука, 1975. — 495 с.