Сравнения

Лекция
Сравнения
Определение
Целое число a сравнимо с целым числом b по модулю m(m натуральное число), если a и b при делении на m дают одинаковые
остатки.
Записывают этот факт так:
a  b(mod m).
Например, нечетные числа 3 и 7 имеют одинаковые остатки при делении на 2 .
Остатки, как легко видеть, равны 1. Поэтому 3  7 (mod 2).
Примечание
Название операции – сравнение по модулю не случайно, ибо происходит от
латинского modulus, что в переводе на русский язык означает «мера», «величина».
Определение сравнения было сформулировано в книге К.Ф.Гаусса «Арифметические
исследования», изданной в 1801 г.
Чтобы понять определение и, как говорится, его «почувствовать», выполним
несколько упражнений.
Упражнение 1.
Выберите все числа из следующего списка, сравнимые с 10 по модулю 7:
3, 22, 17, 38, 33, 8.
(Проверьте себя - верный ответ – 3,38,17).
Свойства сравнений
Свойство 1
Любые два числа сравнимы по модулю 1.
Доказательство
Обоснование этого факта очевидно, ибо все числа делятся на 1 нацело, и остаток от
деления на 1 равен 0.
Свойство 2
Если a  b(mod m), b  c(mod m), то a  c(mod m).
Доказательство.
Пусть a  b(mod m), тогда справедливо равенство a – b = mt1, где t1 - целое число. Тогда
a = b +mt1
Аналогично,
b = c +mt2.
Тогда разность
a – c = b + mt1 – c = c + mt2+ mt1 – c = mt2 + mt1 = m(t1 + t2)
также делится нацело на m. Поэтому и справедливо a  c(mod m).
Свойство 3.
Пусть
a  b(mod m),
c  d(mod m).
Тогда a + c  b + d(mod m).
Доказательство
Поскольку a  b(mod m), то a = b +mt1. Эту запись мы уже использовали при
доказательстве свойства 2. Так как b  c(mod m), то c = d +mt2.
Тогда после сложения
a + c = b +mt1 + c = d +mt2 = b + d + m(t2 + t1 ).
Таким образом, нужное утверждение доказано.
Свойство 4.
Если a  b(mod m),
c  d(mod m), то
a - c  b - d(mod m).
Доказательство этого свойства полностью аналогично доказательству свойства 3.
Свойство 5.
Если a  b(mod m),
с  d(mod m), то
a∙c  b∙d(mod m).
Доказательство
a  b(mod m), значит a = b +mt1.
c  d(mod m), то c = d +mt2.
Тогда a∙c = ( b +mt1)∙( d +mt2)= bd + bmt2 + dmt1+ m2t1t2 = bd + m(bt2 + dt1 + mt1t2). Свойство
доказано.
Далее мы уже не будем приводить доказательства всех свойств, а, наоборот, хотим,
чтобы Вы сами сделали это. Более того, это будет предложено в качестве задач для
самостоятельного решения.
Свойство 6.
Если a  b(mod m), k – целое число, то
ak  bk(mod m).
Свойство 7.
Если a  b(mod m), k – натуральное число, то
ak  bk(mod m).
Объединяя свойства 3, 5, 6 и 7, получим
Свойство 8.
Если a  b(mod m),
с  d(mod m),
e  f(mod m), то
n
a ∙ c + e  b∙ dn + f(mod m).
Прежде, чем продолжить ряд свойств, остановимся на свойстве 6 подробнее.
Напоним свойство 6.
Если a  b(mod m), k – целое число, то
ak  bk(mod m).
Получается, что умножать сравнения на число можно. А можно ли делить?
Как Вы считаете, можно ли «сократить» на 3 следующее сравнение:
3  33(mod 10)?
Конечно можно, так как 1  11(mod 10) – верное равенство. Данный пример дает
положительный ответ. Тогда рассмотрим еще один пример: 4  2 (mod 2). Можно ли
здесь также сократить сравнение на 2?
Однако здсь ответ отрицательный. Оказалось, что «сократить» это сравнение нельзя, так
как при сокращении оно из верного равенства превращается в неверное: 2 не сравнимо по
модулю 2 с 1. Значит, не все так просто.
Поэтому предлагаем следующую формулировку.
Свойство 9.
Обе части сравнения можно разделить на их общий знаменатель, взаимно
простой с модулем.
Доказательство.
Пусть a  b(mod m),d = НОД(a,b).
Тогда a = a1∙d, b = b1∙d, где a1 , b1- некоторые целые числа. По условию a - b делится на m .
a – b = a1∙d - b1∙d = (a1 - b1)d = mt.
Итак, произведение (a1 - b1)d делится нацело на m. Но, НОД(d, m)=1, поэтому делиться на
m может только a1 - b1. Это значит, что a1  b1(mod m).
Можно продолжать формулировать свойства сравнений. Однако, хотелось бы
предложить это сделать Вам, учащиеся. Предлагаем самостоятельно сформулировать (в
крайнем случае, найти в какой-нибудь книге) еще одно свойство, не приведенное выше.
Чтобы интуиция Вас не подвела, и не получилось ложного утверждения, приведите еще и
доказательство этого свойства. Вы непременно заметите, какая это увлекательная
деятельность – искать что-то новое. А вдруг Ваше свойство не окажется ни в каких
книжках. Это будет лично Ваше достижение. Словом, дерзайте.
А теперь рассмотрим несколько задач.
Задача 1.
Найти остаток от деления 11210 на 5.
Решение
Найти ответ на вопрос задачи, это еще и указать целое число (от 0 до 4), которое сравнимо
с 112 по модулю 5. Как известно, 112  2(mod 5). Тогда по свойству 7 имеем, что
11210  210(mod 5).
10
Очевидно, что 2 легче посчитать, однако, еще и все, знакомые с компьютером, на
память скажут, что это 1024. Поскольку 1024  4(mod 5), то легко получаем ответ.
Ответ: 4.
Приведем сокращенную запись решения.
112  2(mod 5) 
по свойству 7 11210  210(mod 5)  1024(mod 5)  4(mod 5).
Ответ: 4.
Примечание.
Если бы степень была существенно больше 10, то можно было дать ответ, не
прибегая к явному возведению 2 в степень. Попробуйте найти это решение.
Задача 2.
Найти остаток от деления 1025 + 3117 на 10.
Решение
Теперь уже будем записывать решение в краткой форме.
102  2(mod 10)  по свойству 7 1025  25(mod 10)  32(mod 10)  2(mod 10).
311  1(mod 10)  по свойству 7 3117  17(mod 10)  1(mod 10).
По свойству 3
1025  2(mod 10)
3117  1(mod 10)
_______________
1025 + 3117  2 + 1(mod 10)  3(mod 10)
Ответ: 3.
Упражнение 3
В качестве тренировки найдите остаток от деления 1210∙78 + 57 на 3.
(Ответ – 2)
Рассмотрим еще одну задачу из класса олимпиадных задач по математике.
Представленное ниже решение значительно проще.
Задача 3.
Доказать, что при любом натуральном n число 37n+2 + 16n+1 + 23n делится
нацело на 7.
Решение
37  2(mod 7), так как 37 = 5∙7 + 2.
16  2(mod 7), так как 16 = 2∙7 + 2.
23  2(mod 7), так как 23 = 3∙7 + 2.
Тогда по свойству 7
По свойству 3
37n+2  2n+2 (mod 7).
16n+1  2n+1 (mod 7).
23n  2n (mod 7).
____________________
37n+2 + 16n+1 + 23n  2n+2 + 2n+1 + 2n (mod 7).
Однако, 2n+2 + 2n+1 + 2n = 2n(22 + 2 + 1) = 7∙2n
Это значит, 37n+2 + 16n+1 + 23n  7∙ 2n (mod 7). Но число 7∙2n делится на 7 нацело, значит,
его остаток при делении на 7 равен 0. Следовательно, 7∙2n(mod 7)  0  37n+2 + 16n+1 + 23n.
Это значит, что 37n+2 + 16n+1 + 23n делится на 7 нацело. Нужное утверждение доказано.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти остаток от деления
а) 31520 на 15;
б) 1021300 на 3;
в) 5100 + 1310 на 4;
г) 11100 ∙ 222 на 5.
2. Найти остаток от деления 520 ∙ 619 - 910 + 134 на 4.
3. Доказать, что на 3105 + 4105 делится нацело на 181.
4. Найти остаток от деления (96746 + 28)15 на 39.
5. При делении натурального числа n на 3 получается остаток 1, а при делении n на 37,
остаток равен 33. Найдите остаток от деления n на 111.
6. Доказать, что p2 – q2 делится нацело на 24, если p, q – простые числа, большие 3.
7. Доказать, что если натуральное число делится на 99, то сумма его цифр в десятичной
записи не менее 18.
Часть 2.
Решение сравнений первой степени.
Определение
ax  b (mod m), где a, b  Z , m  N
называют сравнением первой степени.
Решить сравнение, значит, найти x по модулю m.
Пример
Решить сравнение первой степени 5x  9 (mod 11).
Решение
Из 5x  9 (mod 11) следует, что 5x – 9 = 11t или 5x – 11t = 9.
Имеем линейное уравнение с двумя неизвестными, которое мы умеем решать в целых
числах.
НОД(5,11) = 1. Поэтому решение этого уравнения ищем в виде
 x  11k  x0
, где x0, t0 - частное решение уравнения, k,m-целые числа.

t  5m  t0
Найдем частное решение уравнения, причем такое, что x0- лежит между 0 и 10, так как
мы решаем сравнение по модулю 11. А ведь остатки от деления на 11 лежат между 0 и 10.
Очевидно, что такое решение всегда существует, если вообще есть решение уравнения.
Поэтому, осуществим некоторый перебор от 0 до 10. Пусть x0= 0. Тогда при
подстановке этого значения имеем
0 – 11t0 = 9,
9
что требует нецелого t0 (равного
). Значит, такое x0 нас не удовлетворит.
11
4
Пусть x0= 1. Получим 5∙1 - 11t0 = 9, откуда t0 =  . Опять нецелое число.
11
Проверки для x0= 2 и x0= 3 также приводят нецелому значению t0. Однако, при
x0=3 получаем
5∙4 - 11t0 = 9
или
11t0 = 11.
Это уравнение имеет целое решение t0 = 1. Тогда можно выписать решение для x:
x = 11k + 4.
Последняя запись, означает, что остаток от деления x на 11 равен 4, то есть
x  4 (mod 11).
Ответ: x  4 (mod 11).
Задачи для самостоятельного решения.
Решите сравнения
а) 5x  3 (mod 12);
б) 6x  7 (mod 3);
в) 9x  6 (mod 3);
г) 7x  9 (mod 17);
д) 256x  179 (mod 337).