3

ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ
1.
Вычислите: 16
3
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9 + 27
1
3
1
3
6  18  4
1
4

1
-  
9
3
4

1
2
2
3
+ 27 .
.
1
6
1
4
10  40  5
8
1
-  
 16 
2
3
5
4
1
2
1
log2 6
3
3 2 log9 12
25 1,5 + (0,25) 0,5 – 81 0,75 .
9 1,5 – 81 0,5 – 0,5 2
5
 52 15  6
9.  27  2  2  .


1
10.
1
4
 23  2
 72   36 6 : 2 3 .




11.
(log 2 12  log 2 3  3log3 8 ) lg 5
12.
13.
14.

log 6 2  log 6 3  2 log2 4
1
log 1 9  log 2 : 7 2 log49 2
8
3
log 1 16  log 5
2
1
3
2
12  6 3  (0,5) 3
16.
7 0,5 log7 9
3
5
1
: 9 log3 2
25
1
15.
17.
log 7
1
log3 9
2
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
УРАВНЕНИЯ:
1.
4
2.
3
3.
3
4.
5.
6.
2
3
2
х 2 8 х 12
х 2 3 х 2
2х
2х
х 2
х 4
=
1
.
64
=
1
81
х
- 2 ∙ 3 - 3 = 0.
х
-3 ∙ 2 - 4 = 0.
+ 3 х = 810.
– 2 х = 120
7.
8.
9.
10.
4
9
7
3
– 3 ∙ 2 х = 4.
х
+8∙3 х =9
х 2
– 14 ∙ 7 х = 5.
х 2
– 5 ∙ 3 х = 36
х
НЕРАВЕНСТВА:
1
4
2 х 1
1 2 х
2. ( )
>9
27
1. ( ) 2 3 х < 8 х 1
3. 4
≥ 16.
5 х 3
4 х 2 7 х
1
7. 3 ∙  
 81 
15. 10
>
<
х
3 х 1
9. 27
х
1
.
64
1
.
27
< 9,
х
11. 2
4 х 2 11х
6. 3
2
10. 8
4. 3 3 х 8 ≤ 9.
5. 2
8. 3 х ≤ 81,
>4
х2
х 2 1
,
≥ 16,
1
9
12. 27 1 2 х > ( ) 2  х .
1
4
13. ( )
2 3 х
<8
х 1
2 х 3
< 9.
> 0,001
1
4
17. ( ) 2 3 х < 8 х 1 .
ЛОГАРИФМЫ.
Вычислите:
log 99 9 + log 99 11.
log 12 3 + log 12 4.
log 2 24 - log 2 6.
log 3 54 - log 3 2 .
log 6 36 + log 2 32 .
log 5 25 + log 3 27 .
log 3 81 + log 4 16 + log 6 36.
log 3 27 - log 2 64 + log 5 25.
Решите уравнение:
1. log 3 (12 – 5х) = 2.
3. log 1 ( х 2 – 5х + 6) = –1.
2
4. log 1 (х2 + 4х – 5) = – 4.
2
5. log 2 (2х – 1) = 3.
14. 27
х
16. 100
18. (
< 9х
2 х 1
2
1
.
< 0,1.
1 2 х
) > 9 2 х 1
27
.
Решите неравенство:
1. Найдите целые решения неравенства: 0,04 ≤5 2 х ≤ 25.
0,2 ≤ 5 х  4 ≤ 125
1
≤7
7
1
<2
8
х 3
< 49
х 1
≤ 16
log 2 ( х 2 - х- 2) ≥ 2.
log 3 ( х 2 - 2х) > 1.
log 6 (х 2 - 3х + 32) = 2.
log 3 (х 2 +7х +37) = 3.
Найдите значение выражения:
log 16 4  log 16 24  log 16 6 .
log 4 32  log 4 14  log 4 7
Найдите область определения функции:
у = lg (2х 2 + 9х),
у = lg ( х 2 - 7х ),
у = lg (х 2 - 8х),
у = lg ( 4х 2 + 11х ),
3х  1
,
х4
32  8 х
.
у = lg
х 1
у = lg
Решите системы уравнений:
4 х  у  10,

log 3 (3 у  х )  2.
 х  у  7,

log 2 (2 х  у )  3.
 х  у  7,

log 2 (2 х  у )  3.
4 х  у  10,

log 3 (3 у  х )  2.
сos x , sin x.
15
3
; π < х < π.
17
2
3
8
Найдите sin х, если cos х =
;
π < х < 2π .
17
2
Найдите cos х, если sin х = 
Найдите sin х, если cos х = 0,6 ; 0 < х <
1
π.
2
3
π < х < 2π.
2
3
12
Найдите sin х, если cos х= ; π < х < π.
13
2
5
1
Найдите cos х, если sin х = ;
π < х < π.
13
2
3
5
Найдите sin х, если cos х = - ; π < х < π.
13
2
12
1
Найдите cos х, если sin х =
; 0 < х < π.
2
13
3
1
Найдите sin х, если cos х = - ;
π < х < π.
5
2
4
1
Найдите cos х, если sin х = ;
π < х < π.
5
2
3
Найдите cos х, если sin х = - 0,6 ; π < х < π.
2
1
Найдите sin х, если cos х = 0,8 ; 0 < х < π.
2
Найдите cos х, если sin х = - 0,8 ;
ЗАДАЧИ.
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)= t 3 -2 t 2 + 3t.
Найдите ее скорость в момент времени t = 1.
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)= t 3 +2 t 2 - 3t.
Найдите ее скорость в момент времени t = 2.
3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 1 + 4 t – t 2 (м), где t – время движения в секундах. Через какое
время после начала движения тело остановится?
4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 12 t – 3 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Через сколько
секунд после начала движения тело остановится?
5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 4с после начала движения.
6. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки
изменяется по закону S(t) = 3t + t 2 (м), где t - время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 3с после начала движения.
7. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = t + 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость через 4с после начала движения.
8. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость через 2с после начала движения.
9. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = t 3 -3 t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость через 3с после начала движения.
10. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 0,5 t 2 +3 t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость через 2с после начала движения.
11.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 1 + 4 t – t 2 (м), где t – время движения в секундах. Через какое
время после начала движения тело остановится?
12.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 4 + 3 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Через
сколько секунд после начала движения тело остановится?
13.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 3t + t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 3 с после начала движения.
14.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 4 с после начала движения.
15.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 4 с после начала движения.
16.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S(t) = 3 t + t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 3 с после начала движения.
17.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = t + 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах.
Найдите скорость через 4с после начала движения.
18.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость тела через 2с после начала движения.
19.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = 5 t – 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите
скорость через 2с после начала движения.
20.Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется
по закону S = t + 0,5 t 2 (м), где t – время движения в секундах.
Найдите скорость через 4с после начала движения.
НЕРАВЕНСТВА.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Решите неравенства методом интервалов:
х 2  5х
> 0.
2  8х
16 х 2  х
< 0.
12  х
8  32 х 2
> 0.
х  10
( х  6)( 4 х  7)
≥ 0.
9 х
( х  5)( х  6)
≤ 0.
6х  1
х 2  10 х
2  5х < 0.
1
7. 2 ∙  
4
х
5 х 3
< 2.
ФУНКЦИЯ
Укажите промежутки возрастания и убывания функции и тангенс угла наклона
касательной в точке максимума:
у = х 4 - 6х 2 + 1.
у = -х 4 + 4х 2 - 3.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х 3 +3х 2 +2 на
отрезке
[-2; 1].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х 3 +3х 2 -12х -1 на
отрезке [-1; 2].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х 3 +3х 2 +2 на
отрезке [-2; 1].
Найдите промежутки убывания функции: f(х) = -х 3 +х 2 +8х
Найдите промежутки возрастания функции: f(х) = 2х 3 - 3х 2 +5.
Найдите наименьшее значение функции f (х) =3х 2 - 12х +1 на промежутке [1; 4].
Найдите наибольшее значение функции f (х) = 1+ 8х - х 2 на промежутке [2; 5].
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (+логарифмы)
Решите систему уравнений:
 х  у  8,
1.  х 3 у
 16.
2
 х  у  3,

2.  х  3 у 1
5


5

4 х  у  10,
3. 
log 3 (3 у  х )  2.
 х  у  7,
4. 
log 2 (2 х  у )  3.
 х  у  7,
5. 
log 2 (2 х  у )  3.
6.
4 х  у  10,

log 3 (3 у  х )  2.
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ:
2.
3.
4.
5.
5 – 4sin х = 4cos 2 х.
5 - 4sin 2 х = 4cos х
cos 2х + sin х = 0.
cos 2х + cos х = 0.
6.
cos (π + х) = sin
7.
8.
9.
10.
11.

2
sin (-х) = cos π.
2 cos 2 х – cos х – 1 = 0.
2sin 2 х - 3 sin х + 1 = 0.
2sin 2 х + 5 cos х = 4.
cos 2 х + 6 sin х – 6 = 0.
12. 2 sin2 x + 7 cos x + 2 = 0.
13. cos 2х – 7 cos х + 4 = 0
14. cos 2х = 5 + 4 cos х
15. 2 cos 2х = 1 + 4 cos х
16. cos 2х + 9 sin х + 4= 0
ЗАДАЧИ НА ОБЪЕМ, ПЛОЩАДЬ И Т.Д.
1. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами
4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.
2. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами
6см и 8см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших
сторон.
3. Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении
прямоугольного треугольника с катетами 4см и 7см, вокруг большего катета.
4. Высота конуса равна 12см, а его образующая равна 13см. Найдите площадь
полной поверхности конуса.
5. Высота конуса равна 5см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.
Найдите объем конуса.
6. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8 2 см.
Найдите объем цилиндра.
7. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами
4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.
8. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника
с катетом 6см и гипотенузой 10см вокруг большего катета.
9. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении
прямоугольного треугольника с катетами 3см и 4см вокруг большего катета.
10.Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами
6см и 10см вокруг большей стороны.
11.Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 6 2 см.
Найдите объем цилиндра.
12.Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами
6см и 8см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших
сторон.
ПРОИЗВОДНАЯ
Найдите производную функции:
1. f(х) = 2х 2 + tg х.
2. f(х) = 2х 2 + sin х.
3. f(х) = 2х 2 + tg х.
4. f(х) =2х 2 + sin х.