Тема 1. Введение в математические методы исследования

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
INTERNATIONAL INSTITUTE OF ECONOMICS AND LAW
В.С. Кривошеева
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
В ЭКОНОМИКЕ
ПРОБЛЕМНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС
Для студентов факультета экономики и финансов
(Цикл общих математических
и естественно-научных дисциплин)
Москва
Издательство МИЭП
2003
Автор-составитель
канд. техн. наук, доц. В.С. Кривошеева
Ответственный за выпуск зав. кафедрой информатики и математики,
канд. физ.-мат. наук Г.А. Цыганов
Математические методы исследований в экономике: Проблемно-тематический курс. Издание второе, переработанное и дополненное /
Автор-составитель В.С. Кривошеева. — М.: МИЭП, 2003. — 76 с.
Курс разработан в соответствии с принятой в МИЭП концептуальной формулой
образовательной деятельности. Для студентов факультета экономики и финансов.
Цикл общих математических и естественно-научных дисциплин.
© Международный институт экономики и права, 2003
Кривошеева Валентина Степановна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
В ЭКОНОМИКЕ
Проблемно-тематический курс
Редактор М.В. Егорова
Макет, верстка Т.А. Леонова
Корректоры Т.И. Маляренко, Г.В. Платова
Лицензия ИД № 00871 от 25.01.00. Подписано в печать 15.01.03.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,7. Изд. № 1218
Издательство МИЭП, типография МИЭП
107082, Москва, Рубцовская наб., д.3, стр.1
Введение
Основной целью данного курса является развитие и закрепление навыков студентов по важному направлению, находящемуся на стыке экономики и прикладной
математики – построению математических моделей и применению математических
методов для анализа разнообразных экономических процессов в целях планирования
и управления в условиях развивающихся рыночных отношений. Курс призван дать
студенту необходимый минимум базовых теоретических знаний по некоторым типовым группам математических моделей и способствует формированию практических
навыков по применению математических методов, что является необходимым требованием для качественной подготовки экономиста. Курс содержит как базовые разделы, для усвоения которых необходимы знания по математике и статистике, так и
более трудный для восприятия материал, усвоение которого, тем не менее, обязательно в соответствии с Государственным образовательным стандартом. Сложность
курса требует от студентов систематической серьезной работы по его освоению и
отработке соответствующих практических навыков. Выполнение представленных в
настоящем пособии заданий позволит студенту освоить этот важный для экономиста
предмет.
Пособие включает обзорные примеры и контрольные задания, которые следует
выполнить и сдать преподавателю. Формулы, приводимые в пособии, и их расшифровка имеются в плане-конспекте лекционного курса, поэтому дополнительно не
разъясняются.
При выполнении контрольных заданий по каждой теме студент должен проставить вместо резервированных буквенных параметров индивидуальные анкетные
характеристики: р1 - число букв в полном имени студента; р2 – число букв в полном
имени отца студента, р3 – число букв в фамилии студента. При отсутствии какихлибо анкетных характеристик соответствующее значение параметра следует принимать равным 1.
Студент обязан правильно решить не менее 15 из 19 задач, приведенных в контрольных заданиях.
Программа курса
РАЗДЕЛ 1. Математические методы и модели исследования экономики
Тема 1. Введение в математические методы исследования экономики.
Понятие методов исследования операций. Модель и эффективность операции.
Общая постановка задачи исследования операций. Понятие критерия оптимальности. Принципы построения и структура интегрированной системы экономикоматематических моделей. Классификация математических моделей.
Тема 2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Балансовые соотношения. Линейная модель многоотраслевой экономики.
Продуктивные модели Леонтьева.
РАЗДЕЛ 2. Детерминированные математические модели
Тема 3. Модели линейного программирования.
Примеры задач линейного программирования. Общая и основная задача линейного программирования. Геометрическое истолкование задач линейного программирования. Решение задачи линейного программирования симплексным методом. Экономическая интерпретация результатов. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация. Задача о «расшивке узких
мест» производства. Оптимизация плана «расшивки» с помощью двойственных
оценок ресурсов.
Тема 4. Некоторые специальные задачи линейного программирования.
Транспортная задача. Сбалансированные и несбалансированные транспортные
модели. Определение начального плана. Метод потенциалов нахождения оптимального плана транспортной задачи. Примеры экономических задач, сводящихся к
транспортным моделям. Задачи назначения и распределения.
Тема 5. Многокритериальная оптимизация.
Сущность глобального и локального критериев оптимальности. Общая формулировка многокритериальной задачи. Решение методом последовательных уступок.
Тема 6. Модели нелинейного программирования.
Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и управления Беллмана. Составление математической модели. Общая схема применения метода динамического программирования. Оптимальное
распределение инвестиций и выбор оптимальной стратегии замены оборудования
как задачи динамического программирования.
Тема 7. Математические методы сетевого планирования и управления.
Основные понятия. Правила построения сетевых графиков. Расчет временных параметров сетевого графика.
РАЗДЕЛ 3. Математические модели с элементами неопределенности
Тема 8. Экономико-математические методы и модели теории игр.
Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Использование различных
критериев при решении статистических игр.
Тема 9. Статистические методы анализа финансового рынка.
Общая характеристика финансового рынка и его составляющих. Надежность, рискованность операций и инструментов. Понятие оптимальности по Парето. Анализ доходности и риска финансовых операций. Статистические характеристики ценных бумаг. Сущность портфельного подхода. Влияние корреляции раз-
ных ценных бумаг. Оптимальный портфель. Задача Марковица. Оптимальный
портфель при наличии безрисковых ценных бумаг.
РАЗДЕЛ 4. Стохастические математические модели
Тема 10. Модели теории массового обслуживания.
Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания. Понятие
марковского случайного процесса. Потоки событий. Предельные вероятности состояний. Системы массового обслуживания с отказами. Системы массового обслуживания с ожиданием.
Тема 11. Имитационные методы.
Основные понятия. Этапы имитационного моделирования. Идея метода МонтеКарло.
РАЗДЕЛ 5. Модели управления запасами
Тема 12. Основные задачи управления запасами.
Статическая детерминированная модель без дефицита. Статическая детерминированная модель с дефицитом. Понятие о стохастических моделях управления
запасами.
Литература
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1997.
2. Экономико-математические методы и модели: Учебное Пособие для Вузов
/Общая редакция А.В. Кузнецова. – Минск.: БГЭУ, 1999.
3. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. –
М.: Изд-во Бек, 1998.
4. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности:
Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001.
ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
5. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.
6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике:
Учебник: в 3 частях. – М.: Финансы и статистика, 1998.
7. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. Под. ред.
член-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.
8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:
Высшая школа, 1993.
9. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Наука, 1980.
10. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа,
1967.
11. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, 1967.
12. Нит. И.В. Линейное программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1978.
13. Карандаев И.С. и др. Математические методы исследования операций в примерах
и задачах. - М.: ГАУ, 1993.
14. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятности и математическая статистика.
- М.: Инфра – М, 1997.
15. Вагнер. Г. Основы исследования операций в 3 томах. – М.: Мир, 1973.
16. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. – М.: Дело, 2000.
17. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 1997.
18. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Общая редакция Н.Ш Кремера. - М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1997.
19. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики : Учебнопрактическое пособие для вузов. – М.: УРАО, 1998.
20. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М: Инфра-М, 1999.
21. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М:
ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
Методические рекомендации
по выполнению письменной работы
Практические задания по курсу «математические методы исследования экономики» следует выполнять в общей тетради (48 л.) или на листах бумаги формата А4
(листы необходимо сшить). Работа обязательно должна содержать титульный лист
принятого в МИЭП образца с указанием числовых значений резервированных параметров р1, р2 и р3. При оформлении решений следует соблюдать нумерацию задач в
соответствии с заданиями. Текст решений должен быть кратким и разборчивым. В
неясных случаях необходимо консультироваться у преподавателя.
Срок сдачи работы определяется графиком учебного процесса.
Для успешной сдачи экзамена по данному курсу необходимо не только изучить теорию, но и научиться решать задачи. Наша позиция заключается в том, что
основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с
литературой в процессе решения конкретной проблемы, поэтому при сдаче экзамена допускается использование пособий, конспектов и т.п. Теоретический материал контролируется в течение семестра при сдаче задания путем собеседования,
причем без права пользования литературой и записями.
Раздел 1
Математические методы и модели исследования
экономики
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭКОНОМИКИ
Контрольные вопросы по теме 1
1. Что понимается под исследованием операций?
2. Основная задача исследования операций.
3. Понятие математической модели.
4. Понятие критерия оптимальности в сфере принятия экономических решений.
5. Принципы построения математических моделей.
6. Классификация математических моделей.
Литература: 1,2,3.
ТЕМА 2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
Примеры решения типовых задач
2.1.Задача межотраслевого баланса.
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны является
производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление
продукции разного вида. Будем предполагать, что производственная сфера хозяйства
представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный
продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Рассмотрим процесс производства за
некоторый период (например, за год).
Обозначения:
хi - общий объем продукции i отрасли (ее валовый выпуск);
xij - объем продукции i отрасли, потребляемой j отраслью при производстве
продукции объема x j .
yi - объем продукции i отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления).
В предположении линейности балансовые соотношения имеют вид:
xi  xi1  xi 2  .....  xin  yi , i=1,2 …n
Будем иметь в виду стоимостный баланс. Система уравнений соотношений баланса в матричной форме имеет вид
Х=АХ+У
(1)
и называется уравнением линейного межотраслевого баланса.
 x1 
 
x 
Если X=  2  - вектор
...
 
x 
 n
 a11a12..... a1n 


x
A=  a21a22..... a2n  , где aij  ij
xj
 a a ..... a 
nn 
 n1 n 2
валового выпуска,
 у1 
 
у 
Y=  2  ...
 
у 
 n
вектор конечного продукта,
- коэффициенты прямых затрат, постоянные в течение
некоторого периода, то Х=АХ+У носит название модели Леонтьева.
Уравнение (1) межотраслевого баланса используется :
а) для расчета вектора конечного потребления У при известном векторе валового выпуска Х;
б) при решении основной задачи межотраслевого баланса, состоящего в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице А прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного потребления У (для целей планирования).
Для определенности рассмотрим три отрасли промышленности I, II, III, которые являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Взаимосвязи между ними определяет матрица А коэффициентов прямых затрат
 0,05 0,35 0,40 


А =  0,10 0,10 0,40  ,
 0,20 0,10 0,20 


в которой aij 
xij
xj
, где xij - поток средств из i отрасли в j, а x j - валовый объем
продукции j отрасли.
 60 
Задан вектор конечного потребления - Y=  30  .
 70 
 
1. Убеждаемся, что матрица А является продуктивной. Далее составим систему
уравнений межотраслевого баланса
 х1  0,05 х1  0,35 х2  0,40 х3  60

 х2  0,10 х1  0,10 х2  0,40 х3  30
 х  0,20 х  0,10 х  0,20 х  70
1
2
3
 3
(2)
2. Найдем объемы валового выпуска продукции. В матричной форме система (2) имеет вид (Е-А)Х=У, где
 0,35  0,40 
0,90  0,40  .
  0,20  0,10 0,80 


 0,95
Е-А=   0,10
Откуда Х=(Е-А) 1 У.
Вычисляем матрицу коэффициентов полных затрат.
(Е-А)
1
 0,68 0,32

1
=
·  0,16 0,68
0,514 
 0,19 0,165
0,50   1,323 0,623 0,973 
 

0,42  =  0,311 1,323 0,817  .
0,82   0,370 0,321 1,595 
Каждый элемент найденной матрицы – величина валового выпуска i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отраслью.
Вычисляем вектор валового выпуска
 1,323 0,623 0,973   60   166 ,18 

   

X =  0,311 1,323 0,817    30   115 ,54  .
 0,370 0,321 1,595   70  143 ,34 

   

3. Составим матрицу потоков средств производства ( xij ).
 8,31 40,44 57 ,34 


( xij )= 16,62 11,55 57 ,34  .
 33,24 11,55 28,67 


4. Найдем объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по
отраслям увеличить соответственно до 70, 50, 80.
 1,323 0,623 0,973   70   201,60 

   

X =  0,311 1,323 0,817    50  = 153 ,28  .
 0,370 0,321 1,595   80  169 ,55 

   

Для того, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: продукции первой отрасли на 21,3%, второй – на 32,7%, третьей – на 18,3%.
Контрольные вопросы по теме 2
1. В чем состоит балансовый принцип связи различных отраслей промышленности?
2. Понятие коэффициента прямых затрат.
3. Уравнение межотраслевого баланса.
4. Продуктивная матрица. Критерии продуктивности.
5. Использование уравнения межотраслевого баланса для расчета вектора
конечного потребления.
6. Использование уравнения Леонтьева для целей планирования. Постановка
задачи.
Задание по теме 2
2.1 Определить, является ли матрица А продуктивной.
0,1 
 0,2 0,1  p1
0,3
0,1  p2  .

0,1
0,5 
 0,4
А =  0
2.2. Рассмотрим три отрасли промышленности I, II, III, каждая из которых
производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается
в продукции других отраслей. Процесс производства рассматриваем за определенный период (например, за год). Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат.
 0,2 0,7 0,1 


А =  0.2 0,3 0,4  .
 0,4 0,1 0,5 


Число aij , стоящие на пересечении i строки и j столбца равно
xij
xj
, где xij - по-
ток средств производства из i отрасли в j, а x j - валовый объем продукции j отрасли
(все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).
Задан вектор объемов продуктов конечного потребления
 y1   10  (1  p3 ) 

  
У =  y2  =  10  (5  p1 )  .
 y  10  (4  p ) 
2 
 3 
1. Составить уравнение межотраслевого баланса.
 x1 
 
2. Найти объемы валовой продукции каждой отрасли Х =  x2  . (Расчеты рекоx 
 3
мендуется производить с точностью до двух знаков после запятой).
3. Составить матрицу потоков средств производства xij .
4. Найти матрицу коэффициентов полных затрат.
5.Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно.
Литература: 6,18,20.
Раздел 2
Детерминированные математические
модели
ТЕМА 3. Модели линейного программирования
Примеры решения типовых задач
3.1. Линейная производственная задача.
Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть a ij – расход i ресурса на единицу j продукции, bi – имеющееся количество i ресурса, с j – прибыль на единицу j продукции, x j – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу
х  ( х1, х 2, ..... х n ),
максимизирующую прибыль
n
  c j  x j
(1)
j 1
при ограничениях по ресурсам
n
 aij  x j
j 1
 bi , i= 1, …m
где по смыслу задачи
xj  0
Исходные данные:
59
27
20
35
1
3
2
2
3
2
0
3
4
2
3
1
(2)
(3)
102
204
188
1 3 2 2
 102 
4 2 3 1


 188 


А =  3 2 0 3  - матрица удельных затрат ресурсов, В =  204  - вектор объемов
ресурсов, С = (59, 27, 20, 35) - вектор удельной прибыли.
Математическая модель задачи:
найти производственную программу х1 , х2 , х3 , х4  максимизирующую прибыль
(4)
  59 х1  27 х2  20 х3  35 х4
при ограничениях по ресурсам
 x1  3x2  2 x3  2 x4  102

 3x4  204
3x1  2 x2 
4 x  2 x  3x  x  188
2
3
4
 1
(5)
где х1  0, х2  0, х3  0, х4  0. (6)
Заменим неравенства системы (5) уравнениями при помощи дополнительных
неотрицательных неизвестных х5 , х6 , х7 . Неизвестные имеют экономический смысл
остатков ресурсов. Получаем каноническую задачу линейного программирования:
максимизировать линейную форму (4) при условиях:
 102
 x1  3x2  2 x3 2 x4  x5

 3 x4
 x6
 204
3x1  2 x2 
4 x  2 x  3 x  x

x
2
3
4
7  188
 1
(7)
где х1  0, х2  0,... х7  0.
(8)
Решение задачи симплексным методом
Составим вспомогательную систему уравнений, для этого добавим соотношение (4) к системе (7):
 102
 x1  3x2  2 x3  2 x4  x5
 3x  2 x 
 3 x4
 x6
 204
1
2

3
x
4
x

2
x


x

x
 1
3
2
4
7  188
 59 x1  27 x2  20 x3  35 x4
0Z
где х1  0, х2  0,... х7  0.
(9)
Составим первую симплексную таблицу, то есть расширенную матрицу
вспомогательной системы.
Затем преобразуем систему (9) (табл. 1) по формулам исключения.
Из (4) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого
вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. В системе (9) принимаем переменную х1 за разрешающую и преобразовываем систему к другому
предпочитаемому виду.
Составим отношение правых частей уравнений к соответствующим положиb 
тельным коэффициентам при неизвестной х1 и находим наименьшее min  i  =
 ai1 
 102 204 188 
min 
,
,

3
4 
 1
=
188
, оно соответствует третьему уравнению. Следовательно,
4
за разрешающее уравнение в системе (7) мы обязаны принять третье. Коэффициент a31 = 4 будет разрешающим.
Применим формулы исключения и перейдем к новому предпочитаемому виду
системы с соответствующим базисным допустимым решением. При этом неизвестная х1 станет базисной. Исключим ее из всех уравнений, кроме третьего, и из целевой функции для того, чтобы исследовать новое допустимое базисное решение на
оптимальность.
Табл. 1
Базис
опорного плана
х5
х6
х7
Z0 – Z
Н
102
204
188
0-Z
59
27 20 35
0
0
0
х1
х2
х5
х6
х7
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
х3
х4
1
3 2 2
3
2 0 3
4
2 3 1
- 59 -27 -20 -35
Пояснения
min (∆j < 0) = - 59
Табл. 2
Базис
Н
59 27 20 35
0
0
0
х1 х2
х5
х6
х7
х5
55
0
1
0 
х6
63
0
0
1
х1
188
=47
4
1
0
0
Z0 – Z 2773 -Z 0
х3
х4
5 5
2 4
1
9

4
2
7
4
9
4
1
2
1
4
3
4
5
2
97
4
81

4
0
0
Пояснения
1
4
3

4
1
4
81
4
min(∆j < 0) =

min 


59
4
55
7,
4
63
9,
4
47


1

4
=28
Таблице 2 соответствует следующая система уравнений:






 x1 



5
2
1
2
1
2
5
2
x2
x2
x2
x2
5
x3
4
9
 x3
4
3
 x3
4
97

x3
4
7
x 4  x5
4
9
 x4
4
1
 x4
4
81
 x4
4

1
x7
4
3
 x7
4
1
 x7
4
59

x7
4


 x6
 55
 63
(10)
 47
 2773  Z
В системе (10) первые три уравнения представляют другой предпочитаемый
эквивалент системы (7) и определяют базисное допустимое решение:
(11)
х1  47; х2  0; х3  0; х4  0; х5  55; х6  63; х7  0 .
Из последнего уравнения получаем выражение целевой функции через свободные неизвестные х2 , х3 , х4 , х7 :
  2773 
5
97
81
59
х2 
х3  х 4 
х7 .
4
4
4
4
(12)
В таблице 2 находим разрешающий элемент. Для этого выбираем за новую базисную неизвестную х 4 и новое разрешающее уравнение – второе.
Коэффициент a 24 =
9
- разрешающий.
4
Преобразуем табл.2 (сист.10) используя метод исключения.
Табл. 3
Н
59 27 20 35 0
х1 х 2 х3 х 4 х5
х5
6
0
х4
28
0
х1
40
1
Z0 – Z 3340 –Z 0
19
9
2
9
4
9
3
0
1
1
1
0
1
0
0
7
4
0
0
Система, соответствующая таблице 3
0
х6
0
х7
7
9
4
9
1

9
1
3
1

3
1
3
9
8

Пояснения
Все ∆j ≥ 0
Базис
19

x2

9

2
x2

9

x  4 x
2
 1
9
 3 x3
 x5
 x3  x 4
 x3
7
1
x6  x7
9
3
4
1
 x6  x7
9
3
1
1
 x6  x7
9
3


6
 28
(13)
 40
Целевая функция
Z  3340  7 x2  4 x3  9 x6  8x7 .
Базисное решение
х1  40; х2  0; х3  0; х4  28; х5  6; х6  0; х7  0 .
(14)
В последней строке табл. 3 все относительные оценочные коэффициенты ∆j ≥
0, то есть выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции цели.
Производственная программа х1  40; х2  0; х3  0; х4  28 является оптимальной и
обеспечивает предприятию возможную наибольшую прибыль Z max = 3340.
При этом второй и третий ресурсы будут использованы полностью х6 , х 7 = 0, а
первый ресурс будет иметь остаток х5 = 6.
7

1 
9

4
-1

Обращенный базис Q = 0

9

1
0 
9

1 

3 
1
 .
3
1 

3 
Проверим, что H = Q-1 · B =
7

1 
9

4

= 0
9

1
0 
9

1 
7
1



1  102   204   188 
3   102  
9
3
 6
 
1 
4
1
   28  .
   204  
 204   188


  
3 
9
3

  40 
1   188  
1
1

   204   188 
3 
9
3


3.2. Двойственная задача линейного программирования.
Найдем оценку единицы каждого вида ресурса.
Задача: найти вектор двойственных оценок  у1, у2 , у3  , минимизирующий общую
оценку всех ресурсов
(1)
f  102 у1  204 у2  188 у3
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов,
затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
 y1  3 y 2
3 y  2 y
 1
2

2 y1 
2 y1  3 y 2
 4 y3
 2 y3
 59
 27
 3 y3
 y3
 20
 35
,
(2)
причем оценки ресурсов у1  0; у 2  0; у3  0.
(3)
Решение задачи получим с помощью второй основной теоремы двойственности: для оптимальных решений x  х1 , х2 , х3 , х4  и у   у1 , у 2 , у3  пары двойственных
задач, необходимо и достаточно выполнения условий
 x1 ( y1  3 y 2
 x (3 y  2 y
 2 1
2

 x3 (2 y1 
 x 4 (2 y1  3 y 2
 4 y3
 2 y3
 59 )  0
 27 )  0
 3 y3
 y3
 20 )  0
 35 )  0
 y1 ( x1  3x2  2 x3

 y2 (3x1  2 x2 
 y ( 4 x  2 x  3x
2
3
 3 1
и
2 x4  102)  0
3x4  204)  0
 x4  188)  0
Было найдено, что в решении исходной задачи х1  0 и х4  0
 y  3 y  4 y  59  0
2
3
Поэтому  1
.
2
y

3
y

y
2
3  35  0
 1
Учитывая, что первый ресурс был избыточным, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю, то есть у1 =0. Приходим к системе
3 y  4 y  59  0
3
уравнений  2
. Решая систему, получаем, у 2 = 9; у 3 = 8.
3
y

y
3  35  0
 2
Получили двойственные оценки ресурсов
(4)
у1 = 0; у 2 = 9; у 3 = 8,
причем общая оценка всех ресурсов равна 3340.
Решение (4) содержалось в последней строке таблицы 3 задачи 3.1.
Например, двойственная оценка ресурса у 3 = 8 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 единиц, а оценка третьей технологии ∆3 = 4 показывает, что если произвести одну единицу продукции
третьего вида (она не входит в производственную оптимальную программу), то прибыль уменьшается на 4 единицы.
3.3. Задача о «расшивке узких мест производства».
При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий
ресурсы используются полностью, то есть образуют «узкие места производства».
Будем заказывать их дополнительно. Используем найденные двойственные оценки
ресурсов. Должно выполняться условие H + Q-1 · T ≥ 0.
Задача: найти вектор Т = (0, t2, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли
W = 9·t2 + 8·t3 ,
(1)
при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно,
структуры производственной программы),
7

1 
9
6 
  
4
 28    0
9
 40  
1
 
0 
9

1 

3   0   0
1    
    t 2    0  .(2)
3    
1   t3   0 

3 
и предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального ресурса каждого вида
0
 
t2  
t 
 3
 102 

1
 204  ,
3

 188 
причем
t2 ≥ 0, t3 ≥ 0.
(4)
Неравенства (2) и (3) перепишем в виде (5) и (6):
(3)
7
1

 6  9 t 2  3 t3  0

4
1
(2)
28  t 2  t 3  0
9
3

1
40  1 t
 t3  0
2

9
3
1
 7
204

 9 t 2  3 t3  6
 4
t2  3  68
1
 t 2  t 3  28 (5) 
188
3
 9
 t3 
 1 t  1 t  40
3

 9 2 3 3
Получим задачу линейного программирования :
максимизировать W = 9·t2 + 8·t3 ,
при условиях
1
 7
I
 9 t 2  3 t3  6
 4
1
 t 2  t 3  28 II
9
3

1
1
 t  t  40
III
 9 2 3 3
(5),
204

IV
t 2  3  6

188
 t3 
V
3

t2 ≥ 0, t3 ≥ 0.
Решим задачу графически
Программа «расшивки» имеет вид:
4 242
2 188

; t1  0; t 3  62  
7
7
3
3
242
188
10
 8
 812
и прирост прибыли составит W  9 
.
7
3
21
t 2  34 
(6)
(1)
(6),
(4)
Сводка результатов к задачам 3.1, 3.2, 3.3.
сj
59
27
20
35
b
x4  i
уi
ti
1
3
2
2
102
6
0
0
3
2
0
3
204
0
9
4
2
3
1
188
0
8
хi
40
0
0
28
3340
∆j
0
7
4
0
aij
4
7
2
62
3
10
812
21
34
Контрольные вопросы по теме 3
1. Общая и основная задача линейного программирования.
2. Примеры задач линейного программирования.
3. Геометрическое истолкование задач линейного программирования.
4. Решение задачи линейного программирования симплексным методом.
5. Экономическая интерпретация результатов.
6. Двойственная задача линейного программирования.
7 .Экономическая интерпретация двойственной задачи.
8. Задача о «расшивке узких мест» производства.
9. Оптимизация плана «расшивки» с помощью двойственных оценок ресурсов.
Задание по теме 3
3.1. Составить математическую модель линейной производственной задачи с
исходными данными:
4
p3
p 2 1
 220 
А =  5 2 3 0  - матрица удельных затрат, B =  200  - вектор объемов ре 216 


 0 3 1 p1 
сурсов, С = (45, 33, 30, 42) - вектор удельной прибыли.
Производятся четыре вида продукции с использованием трех видов ресурсов.
3.2. Задачу 3.1 преобразовать к виду основной задачи линейного программирования. Решить задачу симплексным методом, найти оптимальную производственную
программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов.
Указать узкие места производства. В последней симплексной таблице указать
обращенный базис Qˉ¹, который соответствует оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение равенства H = Qˉ¹ · B.
3.3. Поставить задачу двойственную к основной линейной производственной
задаче. Найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности.
Указать:
1. оценку единицы каждого ресурса;
2. минимальную суммарную оценку всех ресурсов;
3. оценки технологий.
3.4. Составить математическую модель задачи о «расшивке узких мест производства».
1. Решить задачу в предположении, что от поставщиков можно получить не более одной четверти первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Выбрать для решения графический метод, если задача зависит от двух переменных.
2. Найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов.
3. Найти дополнительную возможную прибыль.
Литература: 1,3,4,5,6,8,10,11,12,15.
ТЕМА 4. Некоторые специальные задачи линейного программирования
Примеры решения типовых задач
4.1. Транспортная задача линейного программирования.
Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства в количествах a1, a2 ..... am единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления,
которым необходимы соответственно b1, b2.....bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i пункта отправления в j пункт назначения равна cij и известна для
всех маршрутов.
Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.
Обозначим xij – количество груза, планируемого к перевозке от i поставщика кj
потребителю.
При наличии баланса производства и потребления
a1  a2  ....  am  b1  b2  ....  bn , (1)
математическая модель транспортной задачи может выглядеть так:
найти план перевозок X = xij  , i  1, m , j  1, n , минимизирующий общую стоимость
всех перевозок
L = c11x11  c22 x22  .....  cmn xmn (2)
при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт
(3)
xi1  xi 2  ..... xin = ai , i  1, m
и любому потребителю доставляется необходимое количество груза
x1 j  x2 j .....xmj = b j , j  1, n , (4)
причем по смыслу задачи
x11  0,.....xmn  0.
(5)
При отсутствии баланса производства и потребления одну из систем уравнений
(3) или (4) следует заменить системой неравенств. Например, если
a1  a2  ....  am  b1  b2  ....  bn , то вместо (3) имеем xi1  xi 2  ..... xin < ai , i  1, m и получается открытая модель транспортной задачи.
Исходные данные:
B ( bj )
59
27
40
35
45
1
3
2
2
55
3
2
4
3
70
4
2
3
1
A ( ai )
A = ( a1 , a2 , а3 ) – вектор объемов производства
B = ( b1 , b2 , b3 , b4 ) - вектор объемов потребления
C = ( cij ) i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 – матрица транспортных издержек.
3
a
i 1
i
4
 170 ,  b j  161 ,то есть объем производства Σ a i > объема потребления
j 1
4
Σ b j и вместо системы (3) имеем систему неравенств  xij  ai , i  1,2,3 , и получаем
j 1
открытую модель транспортной задачи.
Задача. Минимизировать L =  c ij x ij при условиях
i, j
 x11  x12  x13  x14  45

 x21  x22  x23  x24  55 ,

 x31  x32  x33  x34  70
 x11  x21  x31  59
 x12  x22  x32  27
 x  x  x  40 .
23
33
 13
 x14  x24  x34  35
(6)
(7)
Введем фиктивного потребителя Вn+1 = В5 , потребности в продукте кото3
4
i 1
j 1
рого положим равным bn1  b5 =  ai   b j = =170-161 = 9.
Cтоимости перевозок ci5 (i = 1, 2, 3) в этот пункт назначения примем равными
нулю.
В этом случае будет выполняться баланс производства и потребления
n
n
i 1
j 1
 ai   b j  bn1 .
Транспортная задача будет выглядеть так:
Минимизировать общую стоимость всех перевозок
L =  cij xij
(8)
i, j
при условиях
 x11  x12  x13  x14  x15  45

 x21  x22  x23  x24  x25  55 и
 x  x  x  x  x  70
 31 32 33 34 35
 x11  x 21  x 31  59

 x12  x 22  x 32  27

 x13  x 23  x 33  40

 x14  x 24  x 34  35

 x15  x 25  x 35  9
(9)
I. Первое допустимое базисное решение (допустимый план) построим по правилу «северо-западного» угла.
а) попытаемся удовлетворить потребности b1 первого пункта назначения В1 запасами a1 первого пункта отправления, a1  b1 , примем x11  a1 . При этом запасы А1
окажутся полностью исчерпанными, а потребности В1 сокращенными до
b1  b1  a1, x11  45 ; b1  59  45  14 .
Исключим временно из рассмотрения строку А1 и приходим к случаю, когда
суммарное число пунктов назначения и отправления уменьшилось на единицу.
б) далее все повторим и заполняем таблицу 1.
Табл. 1
Производаство
1  45
Потребление
b1  59
45
¹
b3  40
b2  27
³
b5  9
b4  35
²
²
º p1 = 0
а 2  55
14
а3  70
4
3
27
14
²
4
³
º p2 = 2
³ 35
¹
9 º p3 = 1
² 26
q1 = 1
q2 = 0
q3 = 2
q4 = 0
q5 = -1
L = 45 · 1 + 14 · 3 + 27 · 2 + 14 · 4 + 26 · 3 + 35 ·1 + 9 · 0 = 310
II. Для решения транспортной задачи применяем метод «потенциалов».
Обозначим через  = (p1, p2, p3, q1, q2, q3, q4, q5) – вектор симплексных множителей или потенциалов.
Составим систему для нахождения потенциалов, учитывая, что для базисных
(занятых) клеток ∆ij = 0,
где ∆ij = pi + qj – cij, i=1,m; j=1,n.
p1 + q1 = 1
p3 + q3 = 3
p2 + q1 = 3
p3 + q4 = 1
p2 + q2 = 2
p3 + q5 = 0
p2 + q3 = 4
Один из потенциалов (любой) можно выбрать произвольно, так как в системе (9) одно из уравнений линейно зависит от остальных.
Пусть p1 = 0.
Имеем: q1 = 1; p2 = 3 – 1 = 2; q2 = 2 – 2 = 0; q3 = 4 – 2 = 2;
p3 = 3 – 2 = 1; q4 = 1 – 1 = 0; q5 = 0 – 1 = - 1;
Значение потенциалов занесем в табл. 1.
Вычисляем оценки всех свободных клеток.
∆12 = p1 + q2 – c12 = 0 – 3
∆13 = p1 + q3 – c13 = 0 + 2
= - 3;
– 2 = 0;
∆14 = p1 + q4 – c14 = 0 + 0
∆15 = p1 + q5 – c15 = - 1;
– 2 = - 2;
∆25 = p2 + q5 – c25 = 1;
∆24 = p2 + q4 – c24 = - 1;
∆32 = p3 + q2 – c32 = 1 – 2
= - 1;
∆31 = p3 + q1 – c31 = 1 + 1
- 4 = -2;
max (∆ij > 0) = ∆25 = 1.
Для найденной свободной клетки строим цикл пересчета, то есть замкнутую
ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья
параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин которой находится в
данной свободной клетке, а остальные в занятых клетках. Вершинам цикла, начиная от вершины, находящейся в свободной клетке, присваиваем поочередно знаки
«+» и «-».
-14
+
14-(p=9)
(p=9)
+2
35
926+(p=9)
35
9-(p=9)
6
Среди базисных неизвестных, отвечающих отрицательным вершинам находим ту, значение которой минимально, и производим сдвиг по циклу пересчета .
Из объемов груза, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее. Перераспределяем этот объем по циклу, прибавляя его к объемам, стоящим в плюсовых клетках и вычитая из объемов, находящихся в минусовых клетках. В резуль-
тате свободная клетка становится занятой, а одна из занятых клеток цикла становится свободной. Получаем второе базисное решение, записываем в таблицу 2.
Найдем новые потенциалы для второго допустимого базисного решения, записанного в таблице 2.
Табл. 2
bj
59
27
ai
45
55
70
45
14
¹
³
27
4
q1 = 1
q2 = 0
³
²
²
4
0
35
9
²
²
º p1 = 0
5
³ 9
º p2 = 2
4
35 35
¹
º p3 = 1
³
q3 = 2 q4 = 0 q5 = -2
p1 + q1 = 1
p1 = 0
p2 + q2 = 2
q1 = 1
p2 + q1 = 3
p2 = 2
p2 + q3 = 4
q2 = 0
p2 + q5 = 0
q3 = 2
p3 + q3 = 3
p3 = 1
p3 + q4 = 1
q4 = 0
Найдем оценки свободных клеток.
q5 = -2
∆12 = p1 + q2 – c12 = - 1;
∆24 = p2 + q4 – c24 = - 1;
∆13 = p1 + q3 – c13 = 0;
∆31 = p3 + q1 – c31 = - 2;
∆14 = p1 + q4 – c14 = - 2;
∆32 = p3 + q2 – c32 = - 2;
∆15 = p1 + q5 – c15 = - 2;
∆35 = p3 + q5 – c35 = - 1.
Нет неизвестных,
∆ij > 0, поэтому в таблице 2 записано оптималь0 0которых
 45 0 для

ное решение X = 14 27 5 0  .
При этом суммарная
перевозки
35 
 0 0 35 стоимость
L = 45 · 1 + 14 · 3 + 27 · 2 + 5 · 4 + 9 · 0 + 35 ·3 + 35 · 1 = 301.
Контрольные вопросы по теме 4
1. Транспортная задача.
2. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели.
3. Определение начального плана.
4. Метод потенциалов нахождения оптимального плана транспортной задачи.
5. Примеры экономических задач, сводящихся к транспортным моделям.
6. Задачи назначения и распределения.
Задание по теме 4
4.1. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным:
 2 p1 2 3 
 80 


 
С = 1 p2 4 2  - матрица транспортных издержек, A =  60  - вектор объемов
 3 4 p 1
 30 
3


 
производства, B = (34, 40, 38, 53) - вектор объемов потребления.
Убедиться, что полученная модель является несбалансированной и свести ее к
замкнутой модели.
Найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.
Литература: 1,3,4,5,6,8,10,11,12,15.
ТЕМА 5. Многокритериальная оптимизация
Примеры решения типовых задач
5.1. Векторная оптимизация.
Отыскание наилучших решений по нескольким критериям называется многокритериальной или векторной оптимизацией. Такая задача возникает в случае, когда
функционирование системы оценивается определенными критериями, записываемыми в виде целевых функций f k ( x)( k  1, К ) . Не ограничивая общности предположим, что каждый частный критерий (компонента векторного критерия) максимизируется.
Задача многоцелевой оптимизации может быть записана как векторная задача
математического программирования.
Найти вектор Х  {x1, x2 ,... xN } :
F ( Х )  { f1 ( Х ), f 2 ( Х ),... f k ( X )}  max ;

 gi ( Х )  bi (i  1, M )
.


Х  0
Для решения используем метод последовательных уступок. Алгоритм метода:
1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.
2. Определяется оптимальное значение критерия f1 * . Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки 1 по этому критерию.
3. Решается задача по критерию f 2 с дополнительным ограничением f1 ( Х )  f1 * 1 .
Далее пункты 2 и 3 повторяются для критериев f 2 , f 3 , … f k .
К недостаткам метода можно отнести то, что полученное решения не всегда
принадлежит области компромиссов.
Методом последовательных уступок решим оптимизационную
задачу
F ( Х )  { f1  2 x1  4 x2 , f 2  45 x1  15 x2}  max
2 x1  x2  18

 x1  x2  15

 x2  8
 x1 , x2  0
В задаче критерии пронумерованы в порядке убывания важности. Считаем, что
уступка по первому критерию составляет 15% от его оптимального значения.
а) Решаем задачу линейного программирования по критерию f1
f1  2 x1  4 x2  max ;
Оптимальное значение f1*  42
2 x1  x2  18

 x1  x2  15
.

 x2  8
 x1 , x2  0
б)
В
соответствии с условием задачи находим величину уступки
1  42  0,15  6,3 .
Дополнительное ограничение f1  ( x1, x2 )  f1 * 1 примет вид 2 x1  4 x2  35,7.
2 x1  x2  18

 x1  x2  15
.
 x2  8
2 х  4 х  35,7
2
 1
 x1 , x2  0
в) Решаем задачу.
f 2  45 x1  15 x2  max ;
Получим
оптимальное
решение
X *  (6,05;5,9) при
этом
f1 ( X *)  35,7; f 2 ( X *)  360 ,75.
Контрольные вопросы по теме 5
1. Сущность глобального и локального критериев оптимальности.
2. Общая формулировка многокритериальной задачи.
3. Решение методом последовательных уступок.
Задание по теме 5
5.1. Решить задачу двухкритериальной оптимизации методом последовательных уступок. Для простоты рассмотреть задачи ли-нейного программирования (решать любым методом).
Исходные данные: F(Х) ={f1 = 2x1 + 5x2, f2 = 4:p1:x1 + 10x2}max.
На переменные наложены ограничения:
3x1 

 x1 


x2  10  p2
x2 
60
x2  3  p3
x1  0; x2  0.
Уступка по первому критерию составляет 2·p3 % от его оптимального значения. Критерии пронумерованы в порядке убывания по важности.
Литература: 2,20.
ТЕМА 6. Модели нелинейного программирования
Примеры решения типовых задач
6.1. Распределение капитальных вложений.
Нелинейная задача распределения ресурсов: предположим, что задано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для
чего выделено b рублей. Обозначим через f j ( х j ) прирост мощности или прибыли на
j предприятии, если оно получит х j рублей капитальных вложений. Требуется найти
такое распределение x1 , x2 .....xn  капитальных вложений между предприятиями, которое
максимизирует
суммарный
прирост
мощности
или
прибыли
  f1x1   f 2 x2   ..... f n xn  при ограничениях по общей сумме капитальных вложений
x1  x2  ..... xn  b , причем считаем, что все переменные х j принимают только целые
неотрицательные значения х j = 0, или 1, или 2, или 3, …. . Функции f j ( х j ) считаем
заданными.
Метод динамического программирования:
Введем параметр состояния ξ- количество рублей, выделенных нескольким
предприятиям. Функцию состояния Fk(ξ) определяем как максимальную прибыль на
первых k предприятиях, если они вместе получают ξ рублей.
Параметр ξ изменяется от 0 до b.
Если из ξ рублей k –ое предприятие получило xk рублей, то остальные (ξ - xk)
рублей надо распределить между предприятиями от первого до (k – 1) так, чтобы
была получена максимальная прибыль Fk –1 (ξ - xk).
Прибыль k предприятий тогда будет равна fk(xk) + Fk –1 (ξ - xk).
Надо выбрать такое значение xk между 0 и ξ, чтобы эта сумма была максимальной. Приходим к рекуррентному соотношению
Fk (ξ) =  max { fk(xk) + Fk –1 (ξ - xk)} для k =2, 3, 4 …n,
0 Xk 
Если k =1, то F1(ξ) = f1(ξ).
Исходные данные:
Табл. 1
хj
0
100
200
300
400
100
600
700
f1 ( х1 )
0
0
0
0
10
13
6
24
20
25
13
36
30
37
20
42
38
47
27
46
43
55
3
48
49
61
38
48
52
66
f 2 ( х2 )
f 3 ( х3 )
f 4 ( х4 )
41
49
Производственное объединение состоит из n = 4 предприятий. Общая сумма
капитальных вложений b = 700 тыс. руб. Выделяемые предприятиям суммы кратны
100 тыс. рублей. Прирост прибыли f j ( х j ) заданы в таблице. Например, число 25 во второй строке означает, что если второе предприятие получит 200 тыс. руб. капитальных
вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 25 тыс. руб.
Для заполнения Табл.2. находим сумму F1(ξ – х2 ) = f1 (ξ – х2 ) и f 2 ( х2 ). На каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, то есть F2(ξ)
 max { f 2 ( х2 ) + F1(ξ – х2 )}. Отметим его «*».
0 X 2 
Табл. 2
ξ – х2
0
100 200 300 400 500 600 700
х2
F1(ξ- х2 )
f 2 ( х2 )
0
10
20
30
38
43
49
52
0
0
0
10
20
30
38
43
49
52
100
13
13*
23
33
43
51
56
62
200
25
25*
35
45
55
63
68
300
37
37* 47* 57*
67
75
400
47
47
57
67* 77*
500
55
55
65
75
600
61
61
71
700
66
66
Для чисел, указанных «*» находим соответствующее значение x2 (ξ). Заполняем
Таблицу 3.
Табл. 3
ξ
0
100 200 300 400 500 600 700
F2(ξ)
~
x (ξ)
0
13
0
100 200 300 300 300 400 400
2
25
37
47
57
67
77
x3 (ξ) и заполняем Таблицу 4
Продолжим процесс вычислений: находим F3(ξ), ~
и Таблицу 5 так же, как Табл. 2 и Табл.3.
Табл. 4
ξ – х3
0
F2(ξ- х3 )
х3
0
100 200 300 400 500 600 700
13
f3 x3 
0
100
200
300
400
500
600
700
0
6
13
20
27
3
38
41
25
37
47
57
67
77
0 13* 25* 37* 47* 57* 67* 77*
6 19 31 43 53 63 73
13 26 38 50 60 70
20 33 48 57 67
27 40 52 64
3 16 28
38 51
41
Табл. 5
ξ
F3(ξ)
~
x3 (ξ)
0
0
0
100
13
0
200
25
0
300
37
0
400
47
0
500
57
0
600
67
0
700
77
0
В Таблице 6 заполняем только одну диагональ для ξ = 700.
Табл. 6
ξ – x4
F3 (ξx4 )
x4
0
100 200 300 400 500 600 700
0
13
25
37
47
57
67
77
f 4 x4 
0
10
0
0
24
77
91
20
36
93*
0
30
42
89
0
40
46
83
0
50
48
73
0
60
48
61
0
70
49
49
0
Z max = 93 тыс. руб., причем четвертому предприятию должно быть выделено
х4 * = ~
x4 (700) = 200 тыс. руб.
На долю остальных предприятий остается 500 тыс. руб. Из Табл.5 видно, что
третьему предприятию должно быть выделено х3 * = ~x3 (700- х4 *) = х3 *(500) = 0 руб.
Продолжая обратный процесс, находим х2 * = ~x2 (700- х4 *- х3 *) = ~x2 (700 – 200 0) = ~x2 (500) = 300 тыс. руб.
На долю первого предприятия остается х1 * = 700- х4 *- х3 *- х2 * = 700 – 200 – 0 300 = 200 тыс. руб.
Следовательно, наилучшим является следующее распределение капитальных
вложений по предприятиям
х1 * = 200 тыс. руб.; х2 * = 300 тыс. руб.;
х3 * = 0 руб.; х4 * = 200 тыс. руб.
Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный
прирост прибыли равный 93 тыс. руб.
Прирост прибыли на каждом отдельном предприятии составляет
f1( х1 *) = f1(200) = 20 тыс. руб.; f2( х2 *) = f2(300) = 37 тыс. руб.;
f3( х3 *) = f3(0) = 0 руб.;
f4( х4 *) = f4(200) = 36 тыс. руб.
Проверка показывает, что
f1( х1 *) + f2( х2 *) + f3( х3 *) + f4 ( х4 *) = 93 тыс. руб.
Контрольные вопросы по теме 6
1. Общая постановка задачи динамического программирования.
2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
3. Составление математической модели.
4. Общая схема применения метода динамического программирования.
5. Оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимальной стратегии
замены оборудования как задачи динамического программирования.
Задание по теме 6
6.1. Методом динамического программирования решить задачу распределения
капитальных вложений между 4 предприятиями производственного объединения.
Максимизировать суммарный прирост прибыли (или мощности). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц. Суммы, выделяемые предприятиям кратны 100 ден.ед.
Значение функций fi(xi) приведены в таблице:
x
0
100 200
300
400
500
600
700
f1(x1)
0
3
5
7
8
р3
10
10
f2(x2)
0
5
p2
10
12
13
14
15
f3(x3)
0
р1
13
17
20
23
25
27
f4(x4)
0
6
10
13
14
14
13
12
Литература: 1,3,4,8,15.
ТЕМА 7. Математические методы сетевого планирования и управления
Примеры решения типовых задач
7.1. Сетевые методы решения экономических задач.
Сетевой график задан в виде следующей таблицы:
Шифр
работ
i
1
1
1
2
3
4
4
5
6
7
8
j
2
4
8
3
6
5
7
6
9
9
9
5
7
5
3
2
6
5
5
6
3 10
Продолжительность
работ t ij
Построить его графическое изображение. Определить критический путь методом динамического программирования. Провести расчет основных параметров сетевого графика.
Решение
На рисунке представлен сетевой график, построенный с соблюдением правил
построения сетевых графиков.
5
4
7
6
7
3
5
5
1
5
2
3
3
2
6
6
9
5
10
8
Определяем основные параметры сетевого графика.
I.
Ранние сроки t p ( j ) свершения событий находим методом динамического
программирования.
t p ( j) 

max
t p (i )  t ij
(i, j )  u j
.
Для нашего случая имеем:
t p (1)  0;
t p (2)  t p (1)  t12  0  5  5;
t p (3)  t p (2)  t 23  5  3  8;
t p (4)  t p (3)  t14  0  7  7;
t p (5)  t p (4)  t 45  7  6  13;


t p (6)  max t p (5)  t 56 ; t p (3)  t 36 
 max 13  5;8  2  18;
t p (7)  t p (4)  t 47  7  5  12;
t p (8)  t p (1)  t18  0  5  5;


t p (9)  max t p (7)  t 79 ; t p (6)  t 69 ; t p (8)  t 89 
 max 12  3;18  6;5  10  24 .
Следовательно, завершающее 9 событие может свершиться лишь на 24 день
от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены
все работы проекта. Время определяется самым длинным полным путем. Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути
t кр.  t p (9)  24 .
Выделим работы, принадлежащие критическому пути. От завершающего события возвращаемся к исходному. Из трех работ, входящих в событие (9), критическое
время tкр.  24 определила работа (6,9), так как t p (6)  t69  24 . И, следовательно, работа
(6,9) является критической. Момент совершения события 6 определила работа (5,6),
так как t p (5)  t56  18 и работа (5,6) является критической.
Аналогично, находим, что работы (4,5) и (1,4) являются критическими.
На графике отмечены работы, принадлежащие критическому пути, это работы
(1,4), (4,5), (5,6), (6,9).
Определим другие параметры сетевого графика.
II.
Найдем поздние сроки t n (i) свершения события i:
tn (i )  min
( i , j )u j
 tn ( j )  tij ,
t n (n)  t кр.
Воспользуемся методом динамического программирования.
Например,
tn (4)  mintn (5)  t45; tn (7)  t47 13  6;21  5 7
tn (1)  min tn (4)  t14 ; tn (2)  t12 ; tn (8)  t18  min 7  7;13  5;14  5  0
tn (8)  tn (9)  10  24  10  14 .
III.
Найдем резерв времени события (i).
R(i)  tn (i)  t p (i)
Резервы всех критических событий равны нулю.
R (7)  t n (7)  t p (7)  21  12  9;
R (8)  t n (8)  t p (8)  14  5  9;
R (3)  t n (3)  t p (3)  16  8  8;
R (2)  t n (2)  t p (2)  13  5  8.
IV.
Определим временные параметры работ.
Ранний срок начала работы (i,j):
t р.н. (i, j )  t p (i ) .
Например, t р.н. (5,6)  t p (5)  13
Ранний срок окончания работы (i,j):
t p.o. (i, j )  t p (i)  tij или t p.o. (i, j )  t р.н.  tij .
Например, t p.o. (5,6)  13  t56  13  5  18
Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее
конечного события
tn.o. (i, j )  tn (i)
Поздний срок начала работы вычисляется по формулам
tп.н. (i, j)  tn ( j)  tij
или tп.н. (i, j)  tn.о ( j)  tij
Полный резерв времени работы – максимально возможный запас времени, на
который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее его позднего срока
Rn (i, j ) t n( j )  t p (i)  tij .
Например, Rn (3,6)  tn (6)  t p (3)  t36  18  8  2  8 .
Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.
Свободный резерв времени
Rc (i, j)  t p ( j)  t p (i)  tij ,
Например, Rc (2,3)  t p (3)  t p (2)  t23  8  5  3  0
Свободный резерв присущ только данной работе и его использование никак не
влияет на выполнение последующих работ.
Например,
Rc (1,2)  t p (2)  t p (1)  t12  5  0  5  0
Rс (3,6)  tn (6)  t p (3)  t36  18  8  2  8
Только отдельные работы проекта обладают свободным резервом времени.
Контрольные вопросы по теме 7
1. Основные понятия.
2. Правила построения сетевых графиков.
3. Расчет временных параметров сетевого графика.
Задание по теме 7
7.1. Сетевой график задан в виде следующей таблицы:
i
1
1
1
2
3
4
4
5
6
7
8
j
2
4
8
3
6
5
7
6
9
9
9
продолжительность работ tij
7
9 р1 4
3 p2 6
6
7
4 р3
шифр работ
Построить его графическое изображение и определить критический путь методом динамического программирования. Произвести расчет основных параметров
сетевого графика.
Литература: 1,2,4,6.
Раздел 3
Математические модели с элементами
неопределенности
ТЕМА 8. Экономико-математические методы и модели
теории игр
Примеры решения типовых задач
8.1. Модели теории игр. Предприятие может выпускать три вида продукции: А 1, А2,
А3. Получаемая прибыль зависит от спроса, который может быть в одном из четырех
состояний: В1, В2, В3, В4.
Задана платежная матрица
 4 5 6 8


2 3 3 7
7 8 5 4


, элементы aij матрицы характеризуют
прибыль, которую получит предприятие при выпуске i продукции с j состоянием
спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А
против спроса В задана платежной матрицей. Проведем анализ платежной матрицы.
Вторая стратегия игрока А (А2) является невыгодной по сравнению с первой стратегией. Вторая стратегия (В2) является доминируемой к стратегии В1. После упрощения платежная матрица принимает вид  4 6 8  .
7 5 4
Спрос
Вид
продукции
B1
B2
B4
i
А1
4
6
8
4
А3
7
5
4
4
=4
j
7
6
8
=6
Определяем нижнюю и верхнюю цены игры. Так как    , то седловая точка
отсутствует и оптимальное решение ищем в смешанных стратегиях игроков:
S A * = (р1, р2, р3 ) и S B * = (q1, q2, q3, q4 ),
где рi, qj - вероятности применения соответствующих чистых стратегий Аi, Bj.
Обозначив хi = рi / v; у j = qj/v, составим две взаимно-двойственные задачи линейного
программирования.
Задача 1
Задача 2
4 х1  7 х3  1
4 у1  6 у3  8 у 4  1
6 х1  5 х3  1
7 у1  5 у3  4 у 4  1
8 х1  4 х3  1
у1 , у3 , у 4  0
х1 , х3  0
1  у1  у3  у 4  max
  х1  х3  min
Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2. Получаем
оптимальное решение у1 
2
1
3
, у3  , у 4  0 ; max 1  .
11
22
22
Задачу 1 можно решить симплексным методом, или найти оптимальное решение с помощью теорем двойственности.
1
1
2
, х3  ; min   .
11
11
11
1
1
11
Цена игры V 

 .
max 1 min  2
Получаем х1 
1 1
Оптимальная стратегия S A * =  ,0,  . Здесь учтено, что вторая строка исход2
2
ной матрицы была отброшена как невыгодная. Следовательно, предприятие должно
выпускать 50% продукции вида А1, 50% продукции вида А3, а продукцию А2 не выпускать.
Оптимальная стратегия S B * =  ,0, ,0 .
1
4
3
4 
Здесь учтено, что стратегия В2 является доминируемой. Таким образом оптимальный спрос в 25% находится в состоянии В1 и в 75% - в состоянии В3.
8.2. Задача. Физическое лицо имеет возможность вложить 20 ден.ед. в три банка Б1, Б2, Б3. Банк Б1 деньги принимает в количестве кратном 6 ден.ед., банк Б2 –
кратном 4 ден.ед., а Б3 в количестве кратном 10 ден.ед. На конец года банки могут
оказаться в одном из двух состояний S1 и S2. Эксперты установили, что дивиденды
банка Б1 в состоянии S1 на конец года составят 7% от вложенной денежной суммы и
12% в состоянии S2. Для банка Б2 дивиденды составят в состоянии S1 – 8%, в состоянии S2 -13%, в банке Б3 соответственно 13% и 6%.
Как должен распорядиться вкладчик имеющимися сбережениями, чтобы обеспечить себе возможно большую прибыль.
Решение. Используем игровой подход. Физическое лицо примем за игрока А.
Он принимает решение о том, в какие банки и в каком количестве вложить деньги;
за игрока П (природу) примем совокупность внешних обстоятельств, которые обуславливают то или иное состояние банков на конец года.
При решении ограничимся для игрока А тремя возможностями, полностью использующими имеющуюся сумму в 20 ден. ед. Через А1 обозначим первую чистую
стратегию игрока А, состоящую в том, что А вложит в Б1, Б2, Б3 соответственно 6
ден.ед., 4 ден.ед., 10 ден.ед., Условно записываем так : А1(6, 4, 10).
Аналогично, А2(12, 8, 0) – чистая стратегия игрока А, состоящая в том, что в
банки Б1, Б2, Б3 вкладываются 12, 8, 0 ден.ед. соответственно, А3(0, 0, 20) – третья
чистая стратегия для А.
Природа может реализовать одно из двух своих состояний, характеризующихся
различными размерами дивидендов, выплачиваемых в конце года вкладчику. Обозначим состояние природы следующим образом: П1(7%, 8%, 13%), П2(12%, 13%,
6%).
Составляем платежную матрицу. Элементы aij платежной матрицы имеют
смысл суммарной прибыли, получаемой физическим лицом в различных ситуациях
(Аi, Пj) (i = 1, 2, 3; j = 1, 2).
Вычислим элемент a11 , отвечающий ситуации (А1, П1), то есть случаю, когда
физическое лицо вкладывает в банки Б1, Б2, Б3 соответственно 6 ден.ед., 4 ден.ед. и
10 ден.ед. и на конец года банки оказались в условиях S1:
a11 = 6 · 0,07 + 4 · 0,08 + 10 · 0,13 = 2,04
аналогично
a 31 = 0 · 0,07 + 0 · 0,08 + 20 · 0,13 = 2,6 и т.д.
Полученные результаты записываем в таблицу.
Таблица 1
Аi
П 1 ( 7%;
8%;
13%)
П 2 (12%;
13%;
6%)
0,8·min aij
j
0,2·max aij
j
Пj
hj
А1 (6;4;10 )
2,04
1,84
1,84 1,94
1,472
0,408
1,88
А2 (12;8;0)
1,48
2,48
1,48 1,98
1,184
0,496
1,68
А3 (0;0;20)
2,60
1,20
1,20 1,90
0,96
0,520
1,48
j
2,60
2,48
αi
аi
L
max hj=1.88
i
Из таблицы 1. видно, что нижняя чистая цена игры   maxi  1,84 , а верхняя
i
чистая цена игры   min  j  2,48 , то есть α ≠ β и игра не содержит седловой точj
ки.
В нашем случае упростить платежную матрицу нельзя, так как нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо,
выгодно оно игроку А или нет.
Перейдем к матрице рисков. Она часто позволяет более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данных состояниях природы. Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Ai при состоянии Пj
природы называется rij   j  a ij  0 .
Матрица рисков приведена в таблице 2.
Таблица 2
П
Пj
П1 (7%;8%;13 %; )
П 2 (12 %;13 %;6%; )
max rij
А1 (6;4;10 )
0,56
0,64
0,64
А2 (12;8;0)
1,12
0
1,12
А3 (0;0;20)
0
1,28
1,28
А
j
Аi
При поиске оптимальных решений, учитывая специфику статистических игр,
обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему
принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных
позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
Критерий Лапласа. Предположим, что игрок А не располагает достоверной
информацией об априорных вероятностях состояний Пj природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш аi игрока А при равенстве всех априорных вероятностей
( q1  q 2  ... 
1
).
n
Этот прием называ-
ется принципом недостаточного основания Лапласа.
В нашей задаче q1  q 2  1 . Средние выигрыши помещены в табл. 1. в столбце
2
аi L . Оптимальной по Лапласу является чистая стратегия А2 (вложить в Б1 - 12
ден.ед., в Б2 – 8 ден.ед., в Б3 – денег не вкладывать). В интересах объективности
можно найти средние значения q j вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.
Критерий Вальда – максиминный критерий. Это критерий крайнего пессимизма, так как здесь игрок А исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом. Оптимальной считается максиминная чистая стратегия, а максимальным выигрышем нижняя чистая цена игры   1,84 . Следовательно,
по Вальду оптимальной является чистая стратегия А1 (вложить в Б1 - 6 ден.ед., в Б2 –
4 ден.ед., в Б3 – 10 ден.ед.), при этом показатель эффективности равняется 1,84.
Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма) рекомендует выбирать в
качестве оптимальной ту чистую стратегию Аi, при которой минимизируется величина максимального риска. Из таблицы 2 видим, что по Сэвиджу оптимальной является стратегия А1:
min max rij  min (0,64;1,12; 1,28)  0,64 .
i
i
j
Критерий Гурвица рекомендует рассчитывать на нечто среднее. Он называется
критерием пессимизма-оптимизма. В области чистых стратегий оптимальной
считается стратегия, найденная из условия
max [ min a ij (1   ) max aij ] ,
i
j
j
где   (0,1) и выбирается из субъективных соображений. При γ = 1 критерий Гурвица
превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма), при γ = 0 – в критерий
крайнего оптимизма, при 0<γ<1 получается нечто среднее.
Пусть γ = 0,8. Тогда формула принимает вид:
max [0,8  min a ij 0,2  max aij ]  max h j
i
j
j
i
Все промежуточные результаты приведены в таблице 1. Из нее видно, что
max h j = 1,88 соответствует стратегии А1.
i
Анализ практических ситуаций желательно проводить по нескольким критериям. Указанные критерии используются и для выбора обоснованных заключений при решении статистических игр в смешанных стратегиях.
Контрольные вопросы по теме 8
1. Предмет и задачи теории игр.
2. Парные конечные игры с нулевой суммой.
3. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Максимин. Минимакс. Седловая точка. Принцип минимакса.
4. Понятие смешанной стратегии игрока. Цена игры.
5. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
6. Критерии используемые при решении статистических игр.
7. Особенности игр с природой.
Задание по теме 8
p2 
8.1.Игра 2 2 задана матрицей  p1  6
.
p
p
1  p2 
 1
Найти оптимальные смешанные стратегии для обоих игроков и определить цену игры. (Задачу решить аналитическим методом).
8.2. Объединение производит разведку полезных ископаемых на 3 месторождениях. Фонд средств объединения составляет 10 ден.ед. Деньги в первое месторождение могут быть вложены в количестве кратном 2 ден.ед., во второе – 3 ден.ед., в
третье – 5 ден.ед.
Цены на полезные ископаемые в конце планового периода могут оказаться в
двух состояниях С1 и С2 . Эксперты установили, что в ситуации С1 прибыль на месторождении М1 составит 10% от количества вложенных ден. ед. на разработку, на
М2 - 15% и на М3 – р3%. В ситуации С2 на конец планового периода прибыль составит 12%, р2%, 9% на месторождениях М1, М2, М3 соответственно.
Принять решение о вложении денег в месторождения, чтобы обеспечить
наибольшую возможную прибыль от разработки полезных ископаемых. Проанализировать практическую ситуацию по нескольким критериям. Для критерия
Гурвица принять =0,7.
Выбрать обоснованное решение. При составление модели ограничиться тремя
возможностями, позволяющими объединению полностью использовать сумму в 10
ден.ед.
Литература: 1,2,4.
ТЕМА 9. Статистические методы анализа финансового рынка
Примеры решения типовых задач
9.1. Анализ доходности и риска финансовых операций.
Почти все финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и
поэтому результат невозможно предсказать заранее. Финансовые операции рискованные, то есть при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.
Оценка операции с точки зрения ее доходности и риска.
Рассмотрим какую-либо финансовую операцию, доход которой есть случайная
величина Q .
Средний ожидаемый доход Q – математическое ожидание случайной величины Q : Q =M[ Q ] =  pi qi , где pi - вероятность получить доход qi.
i
Среднее квадратическое отклонение   D[Q ] – мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Считаем  количественной мерой риска операции и обозначаем через r.
D[Q] = M[(Q -
Q
)²] = M[Q²] – (M[ Q ])²
Исходные данные
Рассмотрим 4 операции.
0
8
16
Q1
20
1
2
1
8
1
8
1
4
0
4
10
Q3
14
1
4
1
4
1
4
1
4
Q2
Q4
2
4
6
18
2
12
18
22
1
5
2
5
1
5
1
5
1
2
1
8
1
8
1
4
Найдем средние ожидаемые доходы Qi и средние ожидаемые риски ri.
1
1
1
1
+ 8 · + 16 · + 20 · = 8;
2
8
4
8
2
34
1
1
1
+ 4 · + 6 · + 18 · =
= 6,8;
5
5
5
5
5
1 + 4 · 1 + 10 · 1 + 14 · 1 = 28 = 7;
4
4
4
4
4
1
1
1
82
+ 12 · + 18 · + 22 · =
= 10,25.
8
8
4
8
Q1 = 0 ·
Q2 = 2 ·
Q3 = 0 ·
Q4
=2·
1
2
Q12
0
64
256
400
1
2
1
8
1
8
1
4
1
1
1
1
1120
+ 64 · + 256 · + 400 · =
= 140
2
4
8
8
8
D[ Q1 ] = M[ Q12 ] – (M[ Q1 ])² = 140 - 8² = 140 – 64 = 76
M[ Q12 ] = 0 ·
Q22
M[ Q22 ] = 4 ·
1
5
4
16
36
324
1
5
2
5
1
8
1
4
+ 16 ·
1
2
1
396
+ 36 · + 324 · =
= 79,2
5
5
5
5
D[ Q2 ] = 79, 2 – (6,8)² = 79,2 – 46, 24 = 32, 96
Q32
M[ Q 2 ] = 0 ·
3
0
16
100
196
1
4
1
4
1
4
1
4
1
1
1
1
312
+ 16 · + 100 · + 196 · =
= 78
4
4
4
4
4
D[ Q3 ] = 78 – 49 = 29
Q42
M[ Q42 ] = 4 ·
4
144
324
484
1
2
1
8
1
8
1
4
1
1
1
1
1452
+ 144 · + 324 · + 484 · =
= 181, 5
8
4
8
8
2
D[ Q4 ] = 181, 5 – (10, 25)² = 181, 5 – 105, 0625 ≈ 76, 44
Вычислим риски
r1  D[Q1 ]
r2  D[Q2 ]
= 76 ≈ 8, 72
= 32,96 ≈ 5, 74
r3  D[Q3 ]
= 29 ≈ 5, 38
= 76,44 ≈ 8, 74
Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость.
Найдем лучшую операцию, используя взвешивающую формулу
r4 
D[Q4 ]
φ( Q ) = 2 Q – r.
Получаем
φ( Q1 ) = 2 Q1 – r1 = 2 · 8 – 8,72 ≈ 7,28
φ( Q 2 ) = 2 Q2 – r2 = 2 · 6,8 – 5,74 ≈ 7,86
φ( Q 3 ) = 2 Q3 – r3 = 2 · 7 – 5,38 ≈ 8,62
φ( Q 4 ) = 2 Q4 – r4 = 2 · 10,25 – 8,74 ≈ 11,76
4 операция – лучшая
1 операция – худшая
IV точка доминирует I, так как риски практически одинаковы,
а Q 4 > Q1 , III точка доминирует II, остальные точки несравнимы.
9.2. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем ценных бумаг. Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность Е – обобщенный показатель дохода или
прибыли. Е – случайная величина с математическим ожиданием mЕ.
Обозначения: хi– доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i вида;
Еi – эффективность ценных бумаг i вида;
Vij - ковариация ценных бумаг i и j видов (или корреляционный момент Кij);
mi - математическое ожидание Еi ;
i = Vii - рискованность ценной бумаги i вида, где Vii - дисперсия эффективности Еi;
Ер - эффективность портфеля ценных бумаг;
mр = М[Ep] =  xi mi –математическое ожидание эффективности;
i
 
р = D[ E P ] - риск портфеля, здесь D E p =  xi x jVij = Vр.
i, j
Математическая формулировка задачи:
Найти xi, минимизирующие вариацию эффективности портфеля
Vр =  xi x jVij
i, j
при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности
портфеля mр, то есть
mр =  xi mi ,
i
 xi =1
i
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то решение задачи об оптимальном
портфеле значительно упрощается.
Пусть m0 – эффективность безрисковых бумаг, x0 – доля капитала, вложенного
в них. Пусть mr - средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля.
Vr - вариация (дисперсия) рисковой части портфеля.
r - среднее квадратическое отклонение рисковой части портфеля.
В рисковую часть портфеля ценных бумаг вложено (1 - x0) часть всего капитала.
Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля будет равна
mр = x0 m0 + (1 - x0) mr
Vр = (1 - x0)² Vr
p = (1 - x0) r - риск портфеля
Cчитаем, что безрисковые бумаги некорpелированы с остальными
р
.
r
mр = m0 + (mr - m0)
В этом случае задача выглядит так:
n
 xi x jVij min
i , j 1
n
x0 m0 +  xi mi = mр
i 1
n
x0 +  xi = 1
i 1
Оптимальное значение долей капитала xi есть
Х* =
m p  m0
( M  m0 J )T V 1 ( M  m0 J )
· V 1 ( M  m0 J ) ,
где V – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг;
Х = (xi) – вектор–столбец долей xi капитала, вкладываемого в i вид рисковых
ценных бумаг;
М = (mi) – вектор–столбец ожидаемых эффективностей бумаг i вида i = 1,2
…..n;
J - вектор – столбец, с компонентами равными 1;
V 1 - матрица, обратная к V.
Исходные данные:
m0 =3; m1 =5; m2 =9; 1 = 4; 2 = 6;
1

0 

16
.
=
1 
 0

36 

M  m0 J =  95  -  33  =  26 
     
0 ; V
M=  95  ; V= 16

 
 0 36 
1
1

V ( M  m0 J ) =  16
 0

1

1
0 
 
2


  =8
1  6  1 

 
36 
6
( M  m0 J )T = ( 2; 6)
1
 
1
5
( M  m0 J ) V ( M  m0 J ) = ( 2; 6)  8  =  1 
4
4
 1 
6
 mp  3 1 
1
1

 
mp  3  8 
 mp  3   2 
2
   =  5
  = 
Х* =
5
 mp  3 2 
5  2
 1 

 
 
4

3
6
3
 5
m 3 7
 m  3 1 2

x0* = 1–  p     =1- p
5
6
5

 2 3
1
T
Необходимость в операции "short sale" возникает, если x0* < 0 или 30 - 7  mр +
21 < 0 или 7  mр > 51; mр>
51
 7,28 .
7
Контрольные вопросы по теме 9
1. Как оценивается финансовая операция с точки зрения ее доходности?
2. Как оценивается риск операции?
3. Понятие оптимальности по Парето.
4. Математическая формализация задачи формирования оптимального
портфеля по Марковицу.
5. Оптимальный портфель по Марковицу при наличии безрисковых ценных
бумаг. Постановка задачи.
6. Решение задачи об оптимальном портфеле при наличии безрисковых ценных бумаг.
7. Понятие операции «short sale». Когда возникает необходимость в такой
операции?
Задание по теме 9
9.1. Даны ряды распределения для четырех операций:
Q1
Q3
0
р2
16
20
0
2
4
2· р3
1 1
2 p2
1
p2
1
p2
1 1
2 p2
1
3
1
3
1
6
1
6
Q2
2
1 1
2 p3
р1
1
p3
Q4
10
40
0
2
4
16
1
p3
1 1
2 p3
1
2
1
4
1
8
1
8
Найти:
1. Средние ожидаемые доходы Qi (i = 1,2,3,4) и риски ri операций.
2. Операции оптимальные по Парето.
3. С помощью взвешивающей формулы φ( Q ) = 2 Q – r найти лучшую и худшую из операций.
9.2. Решить задачу формирования оптимального портфеля 3х видов ценных
бумаг при исходных данных:
m0
m1
m2
1
2
3
р1
р3
р2
р3
здесь m0 – эффективность безрисковых бумаг вида 1,
m1, m2 –ожидаемые эффективности некоррелированных ценных бумаг второго
и третьего вида с рисками 1, 2.
Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? С какими ценными
бумагами и при какой ожидаемой эффективности возникает необходимость в
операции «short sale»?
Литература: 2,16,19,20,21.
Раздел 4
Стохастические математические модели
ТЕМА 10. Модели теории массового обслуживания
Примеры решения типовых задач
10.1. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями часто пользуются графической моделью. Построим граф следующего случайного процесса. Зал
для продажи железнодорожных билетов оборудован двумя кассами, работающими
независимо. Любая из касс в случайные моменты времени может выйти из строя,
после чего начинается мгновенный ремонт, продолжающийся заранее неизвестное
случайное время.
Возможные состояния системы из двух касс: S0 – обе кассы исправны; S1 –
первая касса ремонтируется, вторая исправна; S2 – вторая касса ремонтируется, первая исправна; S3 –обе кассы находятся в ремонте. Построим граф состояний этого
случайного процесса.
Стрелка, направленная из S0 в S1, означает переход системы в момент отказа
первой кассы, из S1 в S0 – переход в момент окончания ремонта этой кассы.
На графе нет стрелок из S0 в S3 и из S1 в S2 и наоборот, так как предполагалась
независимость друг от друга выходов касс из строя.
S
10=3
20=4
0
01=2
02=3
S
S
2
1
13=3
23=2
31=4
32=3
S
3
Поэтому, например, вероятностью выхода из строя двух касс одновременно
или вероятностью одновременного окончания ремонта двух касс можно пренебречь.
10.2. Вычислим финальные (предельные) вероятности для системы задачи 10.1.
Вероятностью i–го состояния называется вероятность рi(t) того, что система в
момент t будет находиться в i состоянии.
Вероятности системы рi(t) в предельном стационарном режиме, то есть при
t→∞, называются финальными (предельными) вероятностями состояний.
Система алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей
стационарного режима для рассматриваемой системы из 10.1. имеет вид:
 5 p0
3 p1  4 p2

 p0 
2 p3  3 p1
p 
p3  2 p2
 0
p

p

p

p3  1
1
2
 0
Последнее уравнение в системе означает, что для любого момента времени t
сумма вероятности всех состояний равна единице.
При составлении системы воспользовались правилом: справа в уравнениях
стоит предельная вероятность данного состояния рi, умноженная на суммарную
интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а слева – сумма произведений интенсивностей всех потоков входящих в i состояние, умноженная на
вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Решение системы:
р0=
6
12
8
9
 0,34; р1=
 0,23; р2=
 0,26; р3=
 0,17 .
35
35
35
35
Это означает, что в предельном стационарном режиме система S в среднем
34% времени будет находиться в состоянии S0 (обе кассы работают), 23% времени в состоянии S1 (первая касса ремонтируется, вторая работает), 26% времени – в состоянии S2 (вторая касса ремонтируется, первая работает) и 17% времени – в состоянии S3 (обе кассы ремонтируются).
10.3. Найдем средний чистый доход от эксплуатации касс, если известно, что в
единицу времени исправная работа касс приносит доход соответственно в 20 и 10
ден.ед., а их ремонт требует 8 и 4 ден.ед. В среднем первая железнодорожная касса
исправно работает долю времени равную р0 + р2 =
4
3
; вторая касса - р0 + р1 = .
5
7
Первая касса находится в ремонте в среднем долю времени равную р1 + р3 =
вторая – р2 + р3 =
2
,
5
3
.
7
Средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации касс:
3
5
4
7
2
5
3
7
D = (20   10  )  (8   4  )  12,8 ден.ед.
10.4. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения втрое среднего времени ремонта каждого из аппаратов, если при этом потребуется втрое увеличить затраты на ремонт каждого кассового аппарата.
Уменьшение втрое среднего времени ремонта каждого из узлов означает увеличение втрое интенсивностей потока «окончаний ремонта» каждой кассы.
Предполагалось, что все переходы системы из состояний Si в Sj происходят под
действием простейших потоков событий с интенсивностями ij (i, j  0,1,2,3) . Например, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первой кассы, а обратный переход из состояния S 1 в S0 - под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого аппарата. Интервал времени между
двумя соседними произвольными событиями простейшего потока имеет показательное распределение с плотностью f (t )  e t с математическим ожиданием a 
1

, где
–  интенсивность потока.
Следовательно,  10 = 9,  20 = 12,  31 = 12,  32 = 9, и система линейных алгебраических уравнений для предельных вероятностей стационарного режима системы имеет вид:
 5 p0
9 p1  12 p2

2 p0 
12 p3  12 p1
3 p 
9 p3  14 p2
 0
p

p

p

p3
1
1
2
 0
Решение системы:
р0 
36
2
8
9
 0,04 .
 0,65, р1 
 0,15 , р2 
 0,16 , р3 
55
55
55
55
В этом случае система обслуживания пассажиров в среднем 65% времени
будет находиться в состоянии, когда работают обе кассы.
Учитывая, что р0 + р2 
9
4
2
1
, р0 + р1  , р1 + р3  , р2 + р3  , а затраты на ре5
5
11
11
монт первой и второй кассы составляют в условиях последней задачи 24 и 16 ден.ед.
соответственно, средний чистый доход составит:
D1 = (20 
9
4
2
1
 10  )  (24   12  )  18,5 ден. ед.
11
5
11
5
Так как D1 > D (примерно на 45%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов железнодорожных касс очевидна.
10.5. Одноканальная СМО с отказами.
Известно, что на прием к врачу специалисту в среднем приходят 24 человека
(рабочий день 8 час.). На осмотр врач тратит в среднем 0,5 часа. Потоки больных
и обслуживаний – простейшие. Если врач занят, то пациент уходит. Определить
вероятности состояний и характеристики обслуживания пациентов в поликлинике.
Решение. СМО имеет два состояния:

S0
S1
S0 - врач свободен, S1 - врач занят.
Интенсивность потока больных   3
1 
.
 час 
Интенсивность потока обслуживания пациентов

1
tоб

1
 1 
 2
.
0,5
 час 


3
 0,6 выражают

 5
среднее относительное время пребывания системы в состояниях S0 (врач свободен)
и S1 (врач занят).
Предельные
вероятности
р0 

2
 0,4 ,
5
р1 
Предельные вероятности определяют соответственно Q 


 0,4 - относи
тельную пропускную способность системы,
Ротк. 


 0,6 -
вероятность отказа. В среднем 40% желающих будет приня-
то врачом, 60% - отказано.
Абсолютная пропускная способность СМО А 

 1,2 , то есть будут в сред
нем обслужены 1, 2 заявки в час. Очевидно, что один врач плохо справляется с потоком пациентов.
10.6. Многоканальная СМО с отказами.
В условиях задачи 10.5. определим оптимальное число врачей одной специальности в поликлинике при условии, что относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
Для решения воспользуемся формулами Эрланга для предельных вероятностей многоканальной системы массового обслуживания с отказами:
р0  (1   
р1=  р0, р2=
где  
2
2!
2
2!
 ... 
р0,…, рk=
k
k!
k
k!
 ...
n
n!
) 1
р0,…, рn=
(1)
n
n!
р0 ,
(2)

- приведенная интенсивность потока заявок (или интенсивность нагрузки

канала).
Определим интенсивность нагрузки врача  
 3
  1,5 , то есть за время
 2
tоб.  0,5 ч. поступает 1,5 заявок на обслуживание.
Увеличиваем число каналов обслуживания (врачей)
n=2; р0=
Pотк 

3
32 
1  


2 2 2  2! 

2
2!
p0 
1
 0,276  0,28
1,52  0,276  0,31
2
Q  1  Ротк  0,69; А  Q  3  0,69  2,07  2,1
n=3; p0  0,24 ; Pотк  0,14; Q  0,96; А  2,88  2,9
Результаты расчетов для наглядности можно свести в таблицу.
Число каналов (врачей)
Характеристика обслуживания
1
2
3
Относительная пропускная
0,40
0,69
0,96
способность
Абсолютная пропуская
1,2
2,1
2,9
способность
Для того, чтобы обслуживание посетителей было оптимальным (условие оптимальности Q≥0,9), прием должны вести три врача. При этом за час они будут принимать почти трех посетителей. Среднее число занятых каналов k 
2,9
 1,45 .
2
Контрольные вопросы по теме 10
1. Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания.
2. Понятие марковского случайного процесса.
3. Потоки событий. Простейший поток событий.
4. Предельные вероятности состояний.
5. Одноканальная система массового обслуживания с отказами. Показатели эффективности системы массового обслуживания с отказами (абсолютная пропускная
способность, относительная пропускная способность, вероятность отказа, среднее
число занятых каналов).
6. Многоканальные системы с отказами. Формулы Эрланга.
7. Системы массового обслуживания с ожиданием. Показатели эффективности
систем массового обслуживания с ожиданием.
Задание по теме 10
10.1 В лаборатории имеются два, независимо работающих проектора. В случайные моменты времени любой из проекторов может выйти из строя. Испорченный
проектор сразу ремонтируется (или заменяется). Эта процедура может продолжаться
заранее неизвестное время. Интенсивность выхода из строя первого проектора равна
p2  1 , второго p1  2 , интенсивности возвращения проекторов в строй для первого и
второго проекторов равна p 2 , p1 соответственно. Поток событий считать простейшим.
1. Построить граф состояний системы (вероятностью одновременного выхода
из строя проекторов пренебречь).
2. Вычислить предельные вероятности состояний.
3. Найти часть среднего чистого дохода лаборатории, зависящего только от
работы проекторов, если известно, что в единицу времени исправная работа первого проектора приносит доход в 10 ден.ед., второго проектора – в 5 ден.ед., а их
ремонт (или замена) обходиться в 4 и 2 ден.ед.
4. Оценить экономическую эффективность уменьшения вдвое среднего времени ремонта, если при этом вдвое увеличатся затраты на ремонт.
10.2 Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На
осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0, р1 часа. На
осмотр поступает в среднем 5  р3 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний –
простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает его свободным,
она его покидает необслуженной.
1. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
2. Решить задачу для случая n  p2  2 канала (групп проведения осмотра).
4. Найти число каналов, при котором оптимальным будет обслуживание пунктом осмотра из каждых 100 машин не менее 90.
Литература: 1,2.
ТЕМА 11. Имитационные методы
Примеры решения типовых задач
11.1. Статистическое моделирование СМО. Метод Монте-Карло.
В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону f (t )  0,8e 0,8t ; время обслуживания заявок случайное и распределено по закону f1 ( )  1,5e 1,5 . Найти за время Т = 30 мин.:
1. Среднее число обслуженных заявок;
2. Среднее время обслуживания одной заявки;
3. Вероятность обслуживания;
4. Вероятность отказа.
Произвести шесть испытаний.
Решение*. Проведем первое испытание. Так как время между моментами поступле ния двух последовательных заявок распределено по закону f (t )  0,8e 0,8t , то
 1 
 ln ri  1,25(  ln ri )
 0,8 
значение t i разыгрываем по формуле ti  
Случайные числа ri берем из таблицы приложения, начиная с первой строки
снизу.
Время обслуживания заявок распределено по закону f1 ( )  1,5e 1,5 , поэтому
значения  i разыгрываем по формуле
 1 
 ln Ri  0,67 (  ln Ri ). Случайные
 1,15 
 i  
числа Ri берем из той же таблицы c пер-
вой строки сверху.
Пусть Т1  0 время поступления первой заявки. По случайному числу R1  0,10 разыгрываем длительность времени обслуживания первой заявки (в мин.)
 1  0,67(  ln 0,10)  0,67  2,30  1,54 .
Момент окончания обслуживания первой заявки Т1  0  1,54  1,54 . В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.
По случайному числу r2  0,69 разыгрываем время (в мин.) между моментами
поступления первой и второй заявок t2  1,25( ln 0,69 )  1,25  0,37  0,46 .
Первая заявка поступила в момент Т1  0 . Следовательно, вторая заявка поступит в момент Т 2  Т1  0  0  0,46  0,46 . В этот момент канал обслуживания занят обслуживанием первой заявки (0,46<1,54), поэтому вторая заявка получит отказ. В
счетчик отказов записываем единицу.
По очередному случайному числу r2  0,07 время между моментами поступления
второй и третьей заявок:
t3  1,25(  ln 0,07 )  1,25  2,66  3,32
Вторая заявка поступила в момент Т 2  0,46 . Следовательно, третья заявка поступает в момент Т 3  Т 2  3,32  0,46  3,32  3,78 . В этот момент канал уже свободен
(3,78>1,54), поэтому он обслужит третью заявку. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.
Результаты расчетов записываем в таблицы 1 и 2. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки Тi  30 . Например, из таблицы 1 видно, что 23-ая заявка поступила в момент Т 23  31,35  30, поэтому эту заявку исключаем.
*
При решении задачи используются возможные значения xi случайной величины x с плотностью вероятностей f ( x )  e
x
го, чтобы разыграть возможное значение xi надо выбрать случайное число di относительно xi и решить уравнение

дает явную формулу xi   ln d i
 1 .


 x
. Для то-
i
 f x dx  d . Решение
i

Таблица 1
Номер
заявки i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Случайное число ri
0,69
0,07
0,49
0,41
0,38
0,87
0,63
0,79
0,19
0,76
0,35
0,58
0,40
0,44
0,01
0,10
0,51
0,82
0,16
0,15
0,48
0,32
 ln ri
0,37
2,66
0,71
0,89
0,97
0,14
0,46
0,24
1,66
0,27
1,05
0,54
0,92
0,82
4,60
2,30
0,67
0,20
1,83
1,90
0,73
1,14
Время между
двумя последовательными
заявками
t i  1,25( ln ri )
0,46
3,32
0,89
1,11
1,21
0,18
0,58
0,30
2,08
0,34
1,31
0,68
1,15
1,02
5,75
2,88
0,84
0,25
2,29
2,38
0,91
1,42
Момент
поступления заявки
Ti  Ti 1  t i
0
0,46
3,78
4,67
5,78
6,99
7,17
7,75
8,05
10,13
10,47
11,78
12,46
13,61
14,63
20,38
23,26
24,10
24,35
26,64
29,04
29,93
31,35
Таблица 2
Момент
ДлительНомер Случайность обОкончаПоступ- Начало

ln
R
ное
чисзаявки
служивания
ние обi
ление обслужило Ri
i
заявки
служивазаявки
вания
 i  0,67 (  ln Ri )
ния
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
19
20
21
22
∑
0,10
2,30
1,54
0,09
2,41
1,61
0,73
0,25
0,32
1,39
0,21
0,93
0,33
0,76
0,52
0,01
1,11
0,27
0,65
4,60
0,74
0,18
0,44
3,08
0,35
0,86
0,34
1,05
0,15
1,08
0,70
0,10
0,72
0,67
0,35
0,48
0,40
1,05
0,75
0,27
0,70
0,49
11,71
0
0,46
3,78
4,67
5,78
6,99
7,17
7,75
8,05
10,13
10,47
11,78
12,46
13,61
14,63
20,38
23,26
24,10
24,35
26,64
29,02
29,93
0
1,54
3,78
5,39
5,78
6,99
5,99
7,92
8,05
10,13
10,47
11,78
8,79
10,31
10,91
14,86
20,38
23,26
24,10
21,08
23,36
24,82
26,64
29,02
30,42
26,91
29,72
Счетчик
ОбслуОткажензов
ных
заявок
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13
9
Первое испытание закончено.
Аналогично проводятся и остальные испытания. Проведем еще 5 испытаний и
результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3
Среднее
ВероятДливремя об- ность обПоОбтельслужива- служива- Вероятность
Номер ступи- служе- ность
ния
ния
отказа
испыта- ло за- но за- обслу
N
явок
явок
1
 Pj îáñë
j
j
ния j
живания  jобсл  обсл Pjобсл  обсл
N j ïîñ ò
N j îá ñ ë
N jпост
N jобсл

j îá ñ ë
1
22
13
11,71
0,90
0,591
2
25
17
8,80
0,52
0,680
3
24
16
13,46
0,84
0,667
4
22
15
12,19
0,81
0,682
5
20
13
11,99
0,92
0,650
6
27
19
9,57
0,50
0,704
Σ
140
93
4,49
3,974
Используя результаты последней таблицы находим:
0,409
0,320
0,333
0,318
0,350
0,296
93
 15,5 .
6
4,49

 0,748 .
6
1. Среднее число обслуженных заявок за 30 мин. N обсл 
2. Среднее время обслуживания одной заявки.  обсл
3,974
 0,662 .
6
 1  0,662  0,338 .
3. Вероятность обслуживания. Робсл 
4. Вероятность отказа. Ротк  1  Робсл.
Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34% получат отказ.
Контрольные вопросы по теме 11
1. Что такое имитационное моделирование?
2. Основные этапы метода имитационного моделирования.
3. Идея метода Монте-Карло.
Задание по теме 11
11.1. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону f (t )  0,5e0,5t , время обслуживания
случайное и распределено по закону f1 (t )  2e 2 . Найти методом Монте-Карло за
время Т = 20 мин:
1. Среднее число обслуженных заявок.
2. Среднее время обслуживания одной заявки.
3. Вероятность обслуживания.
4. Вероятность отказа.
Произвести шесть испытаний. Для определенности брать случайные числа с двумя десятичными знаками после запятой из таблицы приложения при разыгрывании t i , начиная с p1 строки снизу, а при разыгрывании ri – начиная с p2 строки сверху.
Литература: 2,7,12.
Раздел 5
Модели управления запасами
ТЕМА 12. Основные задачи управления запасами
Примеры решения типовых задач
12.1. Интенсивность поступления изделий на склад составляет в начале смены
10 дет.мин., в течение первого часа линейно возрастает, достигая к концу его 20 дет.
мин. И затем остается постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз деталей со склада
производится только в конце работы, записать выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его, найти количество деталей на складе:
а) через 40 мин. после начала работы;
б) в конце рабочего дня.
Решение. Основное уравнение, описывающее уровень запаса в момент времени
t в интегральной форме имеет вид :
t
t
0
0
J (t )  J 0   a(t )dt   b(t )dt ,
где J 0 – начальный запас в момент t = 0,
a(t ) , b(t ) - интенсивности пополнения и расхода соответственно.
По условию b(t )  0 . Интенсивность пополнения запаса в течение первого часа
1
a(t )  kt  b . Учитываем, что а(0) = 10, а(60) = 20, получаем b  10; k  .
6
Продолжительность смены 420 мин. Общее количество деталей на складе:
t
1
t2
J (t )   ( t  10 )dt 
 10 t , если 0  t  60;
6
12
0
60
t
t
 t2

t

 360

J (t )     10 dt   20 dt    10t  60

 600   20t  1200   630  20t  1200  20t  570 ,
0 20t
60
6
12
12





0
60
если 60  t  420 .
Количество деталей на складе через 40 минут cоставляет :
J (40 ) 
1600
 10  40  133,3'400  533,3.
12
В конце смены: J (420)  20  420  570  7830 .
12.2. Объем продажи некоторого магазина составляет 500 упаковок сока в
год. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки
одной упаковки равна 2 ден. ед. За один заказ владелец магазина должен заплатить 10 ден. ед. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней
(при 6 дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения
составляют 20% среднегодовой стоимости запасов. Сколько упаковок должен заказывать владелец магазина каждый раз, если его цель состоит в минимизации
общей стоимости запасов? Определить, с какой частотой следует осуществлять
подачу заказов и уровень повторного заказа. Предположить, что магазин работает
300 дней в году.
Решение. Экономичный размер заказа равен n0 
2c1b
, где c1 = 10 ден.ед.;
C2
C 2 = 20% в год от стоимости запаса размером в одну упаковку, или 0,2·2 ден.ед.
в год за одну упаковку ;
b  500 упаковок сока в год.
Следовательно n0 
2  10  500
 158 ,11 .
0,2  2
Количество заказываемых пакетов должно быть целым числом, поэтому в качестве экономичного размера возьмем значение, равное 158 пакетам.
Минимальное значение общей стоимости заказа в год определяется по формуле
С0  С (n0 ) 
2c1N 2 10  500

 68,2 ден. ед. в год.
n0
158
Общая стоимость купленных владельцем магазина 500 упаковок сока в год составляет: стоимость запасов + стоимость покупки = 63,2 ден.ед. + 2 ден.ед.·500 =
1063,2 ден.ед.
Таким образом, стоимость запасов составляет 6% общей стоимости покупки в
год.
Так как в году 300 рабочих дней, интервал повторного заказа будет равен
158  300
 94,8  95 дней.
500
Объем продажи сока в пакетах за 12 дней поставки заказа составит:
 спрос 
500

  (время поставки) =
 12  20 упаковок.
300
 число дней 
Следовательно, уровень повторного заказа равен 20 упаковкам. Таким образом,
подача нового заказа производится в тот момент, когда уровень запасов равен 20
пакетам.
Контрольные вопросы по теме 12
1. Основные характеристики моделей управления запасами (спрос, объем заказа, стоимость поставки и др.).
2. Понятие статической детерминированной модели без дефицита.
3. В чем состоит задача управления запасами в случае статической детерминированной модели без дефицита.
4. Формула наиболее экономичного размера партии.
5. Когда достигается минимум общих затрат задачи управления запасами?
6. Понятие о статической детерминированной модели с дефицитом.
7. В чем заключается задача управления запасами в случае статической детерминированной модели с дефицитом.
8. Формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня
запасов для модели с дефицитом.
9. Понятие о стохастических моделях управления запасами.
Задание по теме 12
12.1 Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции в течение первых 10  р3 минут растет по закону a (t )  0, p1t  p2, а затем до конца смены остается постоянной. Полагаем, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов работы смены.
Найти количество деталей на складе:
а) через 15 минут после начало смены;
б) в конце рабочего дня.
Если p1  5 , то решать № 12.2,
Если p1  5 , то решать № 12.3.
12.2. Компания занимается розничной продажей электротоваров. Одним из видов продукции является калькулятор. Спрос на них составляет 25 калькуляторов в
неделю, причем его величина равномерно распределяется в течение недели. Компания производит закупку калькуляторов по p3 ден.ед. за единицу. Стоимость подачи
одного заказа составляет 15 ден.ед., а издержки хранения – 0,5 ден.ед. за единицу
среднего размера запаса в течение года плюс 2  p2 % среднегодовой стоимости запасов. Предполагается, что в году 50 недель.
Требуется:
1. Найти оптимальный размер заказа.
2. В настоящее время администрация заказывает калькуляторы партиями в 300
штук. Какой будет величина экономии, если заказы будут подаваться в соответствии
с размером, найденным в п.1?
3. Если бы стоимость подачи одного заказа снизилась до 5 денежных единиц,
то как администрация компании изменила бы решение, принятое в п.1.
12.3. Некоторой фирме необходимо иметь в своем штате 1000 инженеров, темп
увольнения которых с работы является постоянным и составляет 20  p2 человек в
год. Перед тем как приступить к работе, вновь принятые инженеры объединяются в
группы и проходят обучение на специальных курсах, организуемых компанией.
Проведение каждого цикла обучения обходится компании в 25000 ден.ед. Если нет
возможности предоставить инженерам работу немедленно, то компания теряет 50  p3
ден.ед. на человека в месяц.
Требуется:
1. Определить сколько инженеров следует принимать на каждой курс обучения.
2. С какой частотой следует организовывать подобные курсы? Каково годовое
значение общей стоимости обучения инженеров?
3. Как повлияет ограничение количества инженеров, обучающихся в течение
одного цикла, до (n0  10) человек на решение, полученное в п.2, где n 0 - решение
полученное в п.1.
12.4. Потребность предприятия в деталях некоторого типа составляет 100 000
деталей в год, причем детали расходуются в процессе производства равномерно и
непрерывно. Детали заказываются один раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение деталей на складе стоит
2  p3
ден.ед. в
5
сутки, а поставка партии - 10 000 ден.ед. Задержка производства из-за отсутствия
деталей недопустима.
Требуется:
1. Определить наиболее экономичный объем партий и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает
задержки поставок).
2. Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками в
условиях задачи 12.4 (кроме недопустимости дефицита), если известно, что отсутствие на сборки каждой детали приносит в сутки убытки в размере 2 p 2 ден.ед.
Литература: 1,2,5
ПРИЛОЖЕНИЕ
Равномерно распределенные случайные числа
10 09 73 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 76
37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37
08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60
99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65
12 80 79 99 70 80 15 73 61 47 64 03 23 66 53
80 95 90 91 17
20 63 61 04 02
15 95 33 47 64
88 67 67 43 97
98 95 11 68 77
66 06 57 47 17
31 06 01 08 05
85 26 97 76 02
63 57 33 21 35
73 79 64 57 63
34 07 27 68 50
45 57 18 24 06
02 05 16 56 92
05 32 54 70 48
03 52 96 47 78
36 69 73 61 70
35 30 34 26 14
68 66 57 48 18
90 55 35 75 48
35 80 83 42 82
65 81 33 98 85
86 79 90 74 39
73 05 38 52 47
28 46 82 87 09
60 93 52 03 44
98 52 01 77 67
11 80 50 54 31
83 45 29 96 34
88 68 54 02 00
99 59 46 73 48
14 90 56 86 07
39 80 82 77 32
06 28 89 80 83
86 50 75 84 01
87 51 76 49 69
22 10 94 05 58
50 72 56 82 48
13 74 67 00 78
36 76 66 79 51
91 82 60 89 28
60 97 09 34 33
29 40 52 42 01
18 47 54 06 10
90 36 47 64 93
93 78 56 13 68
65 48 11 76 74 17 46 85 09 50
80 12 43 56 35 17 72 70 80 15
74 35 09 98 17 77 40 27 72 14
69 91 62 68 03 66 25 22 91 48
09 89 32 05 05 14 22 56 85 14
58 04 77 69 74
45 31 82 23 74
43 23 60 02 10
36 93 68 72 03
46 42 75 67 88
73 03 95 71 86
21 11 57 82 53
45 52 16 42 37
76 62 11 39 90
96 29 77 88 22
91 49 91 45 23
80 33 69 45 98
44 10 48 19 49
12 55 07 37 42
63 60 64 93 29
68 47 92 76 86
26 94 03 68 58
85 15 74 79 54
11 10 00 20 40
16 50 53 44 84
46 16 28 35 54
70 29 73 41 35
32 97 92 65 75
12 86 07 46 97
40 21 95 25 63
94 75 08 99 23
53 14 03 33 40
57 60 04 08 81
96 64 48 94 39
48 65 17 70 82
61 19 69 04 46 26 45 74 77 74
15 47 44 52 66 95 27 07 99 53
94 55 72 85 73 67 89 75 43 87
42 48 11 62 13 97 34 40 87 21
23 52 37 83 17 73 20 88 98 37
04 49 35 24 94 75 24 63 38 24
00 54 99 76 54 64 05 18 81 59
35 96 31 53 07 26 89 80 93 54
59 80 80 83 91 45 42 72 68 42
46 05 88 52 36 01 39 09 22 86
51 92 43 37 29
59 36 78 38 48
54 62 24 44 31
16 86 84 87 67
68 93 59 14 16
45 86 25 10 25
96 11 96 38 96
33 35 13 54 62
83 60 94 97 00
77 28 14 40 77
65 39 45 95 93
82 39 61 01 18
91 19 04 25 92
03 07 11 20 59
26 25 22 96 63
61 96 27 93 35
54 69 28 28 91
77 97 45 00 24
13 02 12 48 92
93 91 08 36 47
32 17 90 05 97
69 23 46 14 06
19 56 54 14 30
05 56 70 70 07
15 95 66 00 00
40 41 92 15 85
86 74 31 71 57
18 74 39 24 23
66 67 43 68 06
87 37 92 52 41
20 11 74 52 04
01 75 87 53 79
45 15 51 49 38
94 86 43 19 94
19 47 60 72 46
36 16 81 08 51
43 66 79 45 43
34 88 88 15 53
59 04 79 00 33
01 54 03 54 56
98 08 62 48 26
33 18 51 62 32
80 95 10 04 06
79 75 24 91 40
18 63 33 25 37
45 24 02 84 04
41 94 15 09 49
96 38 27 07 74
71 96 12 82 96
98 14 50 65 71
44 99 90 88 96
89 43 54 85 81
20 15 12 33 87
69 86 10 25 91
31 01 02 46 74
39 09 47 34 07
88 69 54 19 94
25 01 62 52 98
74 85 22 05 39
05 45 56 14 27
74 02 94 39 02 77 55 73 22 70
54 17 84 56 11 80 99 33 71 43
11 66 44 98 83 52 07 98 48 27
48 32 47 79 28 31 24 96 47 10
69 07 49 41 38 87 63 79 19 76
97 79 01 71 19
05 33 51 29 69
59 38 17 15 39
02 29 53 68 70
35 58 40 44 01
52 52 75 80 21
56 12 71 92 55
09 97 33 34 40
32 30 75 75 46
10 51 82 16 15
Оглавление
Введение
Программа курса
4
Литература
Методические рекомендации по выполнению письменной
работы
Раздел 1. Математические методы и модели исследования
экономики
Тема 1. Введение в математические методы исследования
экономики
Тема 2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
(балансовый анализ)
Раздел 2. Детерминированные математические модели
Тема 3. Модели линейного программирования
13
Тема 4. Некоторые специальные задачи линейного
программирования
23
Тема 5. Многокритериальная оптимизация
29
Тема 6. Модели нелинейного программирования
31
Тема 7. Математические методы сетевого планирования и
управления
36
Раздел 3. Математические модели с элементами неопределенности
Тема 8. Экономико-математические методы и модели
теории игр
Тема 9. Статистические методы анализа финансового рынка
47
Раздел 4. Стохастические математические модели
Тема 10. Модели теории массового обслуживания
55
Тема 11. Имитационные методы
61
Раздел 5. Модели управления запасами
Тема 12. Основные задачи управления запасами
67
Приложение
72
Оглавление
74
3
6
7
8
8
41