Методы принятия управленческих решений» для направления

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО
ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
1
Составитель – Яретенко Николай Иванович,
доцент кафедры информационных систем и
прикладной
математики
Мурманского
государственного технического университета
Кафедра информационных
систем и прикладной математики
Методические указания рассмотрены и одобрены
кафедрой информационных систем и прикладной
математики от 16 сентября 2014 г., протокол № 1.
«Методы принятия управленческих
решений»
Методические указания и контрольные
задания для студентов заочной формы
обучения по направлению 080200.62
«Менеджмент»
Рецензент – Неделько Наталья Станиславовна, ст.
преподаватель кафедры информационных систем
и прикладной математики Мурманского
государственного технического университета
Электронное издание подготовлено в авторской
редакции
Мурманский государственный технический
университет
183010, Мурманск, ул. Спортивная д. 13,
тел. (8152) 25-40-72
Уч.-изд. л.___ Заказ _1647___
 Мурманский государственный
технический университет, 2014
Мурманск
2014
2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра информационных систем
и прикладной математики
МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Методические указания и контрольные задания
для студентов заочной формы обучения
по направлению 080200.62 «Менеджмент»
1
Составитель - Яретенко Н.И., доцент каф. ИС и ПМ МГТУ.
Методические указания обсуждены и утверждены кафедрой-разработчиком
информационных систем и прикладной математики
«16 » сентября 2014 г., протокол № 1.
Рецензенты – Н. С. Неделько, ст. преподаватель кафедры ИС и ПМ МГТУ.
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ................................................................. 2
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................................................................................ 3
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ .......................................................................................................... 4
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................... 4
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ..................................... 5
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ............................................................................... 1
ЗАДАНИЕ 1. «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ МЕТОДОМ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК» .................................... 1
ЗАДАНИЕ 2. «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ». ..................................................................................... 8
ЗАДАНИЕ 3. «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ». ................................................................................................... 14
ЗАДАНИЕ 4. «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ИНВЕСТИЦИЙ С НАИБОЛЬШЕЙ
ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ». ................................................................................................................................ 34
ЗАДАНИЕ 5. «ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ». .......................................... 39
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ» ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ 080200.62 «МЕНЕДЖМЕНТ»
- БАКАЛАВР. .................................................................................................................................................. 43
2
ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Методические указания разработаны на основе ФГОС ВПО по направлению (специальности)
080200.62 «Менеджмент» (квалификация «бакалавр»), утвержденного Министерством образования и
науки РФ 20.05.2010, приказ № 544 с изменениями и дополнениями от 31.05.2011г.
2. Цели и задачи учебной дисциплины.
Дисциплина «Методы принятия управленческих решений» относится к базовой части
математического и естественнонаучного цикла дисциплин.
Целью дисциплины является формирование и усвоение теоретических знаний и практических
навыков в области применения методов разработки, принятия и реализации управленческих решений
и готовность нести за них ответственность.
Задачи изложения и изучения дисциплины – дать необходимые знания современных методов
принятия управленческих решений, используемых в практической деятельности отечественных и
зарубежных организаций; технологий и процессов принятия эффективных управленческих решений;
получение практических навыков и умений самостоятельно разрабатывать, принимать
управленческие решения и адаптировать методы принятия управленческих решений исходя из
особенностей конкретного объекта управления.
3. Требования к уровню подготовки студента в рамках данной дисциплины.
Процесс изучения дисциплины «Методы принятия управленческих решений» направлен на
формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению
080200.62 «Менеджмент»:
а) общекультурных (ОК):
- способностью находить организационно-управленческие решения и готовностью нести за
них ответственность (ОК-8);
б) профессиональных (ПК):
- владеть методами принятия стратегических, тактических и оперативных решений в
управлении операционной (производственной) деятельностью организаций (ПК-18);
- умением применять количественные и качественные методы анализа при принятии
управленческих решений и строить экономические, финансовые и организационно-управленческие
модели (ПК-31);
- способностью выбирать математические модели организационных систем, анализировать их
адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам управления (ПК-32);
- владеть средствами программного обеспечения анализа и количественного моделирования
систем управления (ПК-33).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать:
- виды управленческих решений и методы их принятия;
- основные математические модели принятия решений;
- основные понятия, категории, этапы разработки, принятия и реализации управленческих решений.
Уметь:
- применять методы принятия решений и решать математические модели прикладных экономических
задач;
- использовать математический язык и математическую символику при построении организационноуправленческих моделей;
- использовать алгоритм принятия управленческого решения;
- формулировать выводы математических решений в экономических понятиях и терминах.
Владеть:
- понятийным аппаратом в области теории принятия управленческого решения;
- математическими и количественными методами решения типовых организационно-управленческих
задач;
- навыками применения математической символики для выражения количественных и качественных
показателей математических моделей;
- методами воздействия на первичные и вторичные детерминанты решения, оптимизации,
контроля правильности и анализа управленческого решения.
4. Перечень дисциплин и их разделов, усвоение которых необходимо студентам для изучения
данной дисциплины:
- математика – в объеме курса общеобразовательного учреждения;
3
- линейная алгебра;
- математический анализ;
- теория вероятностей и математическая статистика;
- основы экономических знаний.
Тематический план
Таблица 1
Количество часов, выделяемых на виды
учебной подготовки
№
п/п
Содержание разделов, тем дисциплины
Лек.
1
1
2
3
4.
Заочная форма обучения
ПР
ЛР.
СР
2
3
4
5
6
Модуль 1
Основы методологии принятия
управленческих решений.
Цель, задачи дисциплины. Основные понятия.
Методология процесса принятия
управленческих решений.
Алгоритм принятия управленческих решений.
Методы принятия управленческих решений.
Основные группы методов принятия
управленческих решений и их содержание.
Классификация методов УР. Неформальные,
коллективные МПУР. Количественные МПУР
Экспертные и не экспертные методы
принятия управленческих решений.
Основные математические методы анализа
экспертных оценок. Метод средних
арифметических рангов. Метод медиан рангов.
Метод согласования кластерных ранжировок.
Вычисление медианы Кемени
Не экспертные методы принятия решений и их
содержание.
Методы прогнозирования при принятиях
управленческих решений.
Основные понятия. Сущность и функции
прогнозирования.
Особенности прогноза. Принципы построения
системы прогнозирования.
Классификация прогнозов.
Этапы прогнозирования.
Классификация методов прогнозирования.
Модуль 2
Метод и модели линейного
программирования и их применение для
принятия управленческих решений.
Общая постановка задачи для метода
линейного программирования. Двойственность
в задачах линейного программирования,
теоремы двойственности. Геометрический и
2
-
-
50
1
-
-
20
0,5
-
-
15
0,5
-
-
15
2
6
-
48
1
4
-
28
4
5
симплексный метод решения задач линейного
программирования. Транспортная задача
линейного программирования.
Метод динамического программирования и
его применение для принятия
управленческих решений.
Постановка задачи динамического
программирования. Принцип оптимальности,
рекуррентные уравнения Беллмана. Модель
распределения инвестиций между проектами.
Модель задачи о замене производственного
оборудования. Динамическая модель управления
запасами.
Итого:
2
3
2
-
20
4
6
-
98
Перечень практических работ
Наименование тем
Номер
темы
№
п/п
1
1
Математические методы анализа
экспертных оценок.
Метод и модели линейного
программирования и их применение
для принятия управленческих
решений.
Метод динамического
программирования и его применение
для принятия управленческих
решений.
Итого
2
Объем в часах
Заочная
форма
обучения
2
4
2
5
2
6
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) Основная:
1. Информационные системы и технологии в экономике и управлении: учебник / Под ред. проф.
В.В. Трофимова.- М.: Высшее образование,2009
2. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: учеб. пособие.- М.:
«Издательский дом «Дашков и К0», 2010. – 308 с.
3. Литвак Б.Г. Разработка управленческого решения: учеб. для вузов. - М.: Дело, 2010.- 392 с.
4. Исследование операций в экономике : учеб. пособие для вузов / [Н. Ш. Кремер и др.] ; под
ред. Н. Ш. Кремера. - [Москва] : Market DS, 2007
б) Дополнительная:
1. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие/ под ред. В.И. Ермакова
М.:Инфра, 2005
2. Варфоломеев В.И., Воробьев С. Л. Принятие управленческих решений. - М.: Кудиц-образ,
2005.- 288 с.
3. Красс М. С. Математика для экономистов : учеб. пособие для вузов / М. С. Красс, Б. П.
Чупрынов.- Санкт-Петербург [и др.] : Питер, 2010
4. Афоничкин А. И. Управленческие решения в экономических системах: учебник для вузов /
5
Афоничкин А.И., Михайленко Д.Г.и др.- СПб.:Питер,2009. – 480 с.
в) Программное обеспечение: MS Office Word, Excel.
г) Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1. Российская государственная библиотека www.rsl.ru
2. Российская национальная библиотека www.nlr.ru
3. Библиотека Академии наук www.rasl.ru
4. Библиотека по естественным наукам РАН
www.benran.ru
5. Всероссийский институт научной и технической
информации (ВИНИТИ)
www.viniti.ru
6. Государственная публичная научно-техническая библиотека www.gpntb.ru
7. Научная библиотека Санкт-Петербургского государственного
университета www.geology.pu.ru/library/
8. Научная электронная библиотека ELIBRARY.RU - www.
д) Программные средства для решения оптимизационных задач:
1)коммерческие пакеты:
- www.gams.com
- www.aimms.com
- www.ibm.com/software/websphere/products/optimization
- http://www.informatik.uni-koeln.de/abacus/
- http://www.coin-or.org/
- http://www.gurobi.com/html/academic.html
2)свободный доступ:
- http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html
- http://groups.yahoo.com/group/lp_solve/
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа состоит из 6 задач, предполагающих проведение расчетов, анализ и выбор
наиболее рационального управленческого решения.
Вариант контрольной работы выбирается по последней и предпоследней цифрам номера
студенческого билета. Последняя цифра в дальнейшем обозначается буквой N, предпоследняя буквой M.
- задачи: 1.1, 2.1,3.1 выбираются по предпоследнему числу номера студенческого билета - M;
- задачи: 3.2,4.1, 5.1 выбираются по последнему числу номера студенческого билета - N.
Для реализации компетентного подхода при выполнении контрольной работы
предусматривается использование образовательных технологий, опирающихся на применение
лицензионных пакетов MS Office Word, Excel, предполагающих активное применение полученных
знаний теории в самостоятельной работе при решении задач математического моделирования.
Рекомендуется использование информации сети Internet для поиска, изучения, информации и
обоснования практического применения методов и моделей для решения задач в предметной
области.
Для самостоятельной проверки достигнутого уровня освоения дисциплины рекомендуется
использование системы «Интернет-тренажеры в сфере образования», режим – «Самоконтроль»
(http://i-fgos.ru). Данной системой в рамках компетентного подхода используются уровневые модели
педагогических измерительных материалов и оценки результатов обучения.
По каждой теме в методических указаниях дается пример решения типовой задачи,
где подробно описывается последовательность шагов по ее выполнению. Это поможет
студентам-заочникам разобраться в математических основах решения задач для принятия
управленческого решения, решить конкретные задачи контрольной работы.
1
Содержание заданий контрольной работы
Тема 1. Экспертные методы принятия решений.
ЗАДАНИЕ 1. «Принятие решений методом экспертных оценок»
Задача 1.1
Руководству фирмы представлено 8 проектов ее стратегического развития:
Д,Л,М,Б,Г,С,Т,К (они обозначены по фамилии авторов проекта).
Руководство поручило Правлению фирмы создать экспертную комиссию из 12 экспертов и выдать каждому представленные проекты для
их рассмотрения.
Каждый эксперт присвоил каждому проекту ранг в соответствии с его приоритетом, причем ранг 1 присваивался самому лучшему, ранг 2второму по привлекательности и т.д.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности приведены в обобщенной таблице 1.
Аналитическому подразделению Рабочей группы поручено провести математические расчеты методом средних арифметических и методом
медиан рангов результатов анализа работы экспертов (таблица 1.1), представить предложение по наилучшему проекту и ранги остальных.
Требуется представить предложение для принятия решения по стратегическому развитию фирмы.
таблица 1.1
вариант 1
№ эксперта
1
2
3
Д
5
5
8
Л
4
4
7
М
2
1
6
Б
1
3
4
Г
3
8
1
С
8
2
2
Т
6
6
3
К
7
7
5
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
5
2
6
1
5
1
3
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
6
1
5
7
8
6
7
8
7
1
вариант 2
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
5
4
8
7.5
6
1
3
4.5
7
1
Л
4
3
7
5
2
6
1
4
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2,5
3
8
2
3
5
Б
1
4
4
2,5
6
3
2,5
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
7
С
8
2
2
1
5
1
4
5
4
4.5
4
4
Т
7
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
6
7
8
6
1
5
7
8
6
7
8
8
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
7
8
4.5
7
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
2,5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2,5
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
1
5
8
6
С
7,5
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
К
7,5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
вариант 3
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
12
1
6
5
3
8
4
2
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1,5
6
М
2
1
3
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
1,5
3,5
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
3,5
Т
6
6
6
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4,5
8
7.5
6
1
8
4.5
Л
4
4
7
4,5
2
6
1
5
1
3
М
1,5
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
1,5
Б
1,5
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1,5
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
вариант 4
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
вариант 5
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
11
12
7
1
1
6
3
5
2
3
6
8
4
4
5
2
8
7
Д
7
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
5
1
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
2
3
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
3
2
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
Т
6,5
6
3
7
7
7.5
8
6
7
К
6,5
7
5
6
1
5
7
8
6
вариант 6
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
вариант 7
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
10
11
12
4.5
7
1
3
1
6
2
3
8
1
2
3
8
6
5
4.5
4
4
6
5
2
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
8
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
8
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
8
5
8
6
4
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
6
Т
6
6
3
7
7
7.5
3
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
7
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
4,5
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
С
8
2
2
1
5
1
4
4,5
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
К
7
7
5
6
1
5
7
8
вариант 8
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
вариант 9
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
5
9
10
11
12
8
4.5
7
1
1
3
1
6
3
2
3
5
2
1
2
3
5
8
6
8
4
4.5
4
4
7
6
5
2
6
7
8
7
Д
4,5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
4
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
7
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
3
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
8
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 0
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Методические указания для решения задачи.
Рассмотрим задачу сравнения восьми проектов. По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для
включения в план стратегического развития фирмы. Они обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, С, В, К (по фамилиям
менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию,
организованную по решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из
12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом
эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по
привлекательности проект, ... , наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь.
Таблица 1.
6
Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
1
6
8
5
6
5
6
5
7
1
Л
3
4
7
4
2
6
1
1
1
3
1
6
М-К
1
3
5
2,5
4
4
2
3
3
2
3
5
Б
2
1
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г-Б
8
8
8
8
3
2
5
7
5
8
6
8
С
4
2
2
1
5
1
4
4
4
4
4
4
В
6
6
3
7
1
7
8
6
7
6
5
2
К
7
7
6
5
7
8
7
8
8
7
8
7
Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту С. Поэтому проекты М-К
и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл
(2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.
Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены аналитической подразделения Рабочей группы,
анализировавшие ответы экспертов по заданию Правления фирмы, были вынуждены констатировать, что полного согласия между
экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.
Метод средних арифметических рангов.
Сначала следует подсчитать сумму рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эту сумму разделить на число экспертов, в результате
рполучим средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу).
По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний
ранг, тем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1.
Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и С имеют одинаковые суммы
(равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а
7
потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже.
Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
Б < М-К < {Л, С} < Д < В < Г-Б < К . (1)
Здесь запись типа "А<Б" означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и С
получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных
скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь и проект Б – приоритетный.
Метод медиан рангов.
Следует учесть, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них недостаточно проводить усреднение методом
средних арифметических. Надо также использовать метод медиан.
Для этого надо взять ответы экспертов, соответствующие каждому из проектов, затем их надо расположить в порядке неубывания (проще
было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин
«неубывание») и из полученной последовательности по каждому проекту найти медиану.
Например, проект Д имеет ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных
местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан свести в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан для данных, приведенных в таблице 1.
Сумма рангов
Среднее арифметическое рангов
Итоговый ранг по среднему
арифметическому
Медианы рангов
Итоговый ранг по медианам
Г-Б
76
6,333
7
Д
60
5
5
Л М-К
Б
С
В
К
39 37,5 31.5 39
64
85
3,25 3,125 2,625 3,25 5,333 7,083
3,5
2
3,5
6
8
1
7,5
8
5
5
3
2,5
3
2,5
2,25
1
4
4
6
6
7
7
8
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2. (При этом
медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое
упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы.
Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:
Б < {М-К, Л} < С < Д < В < К <Г-Б . (2)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а
потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения математической статистики ранжировка (2) имеет одну связь.
Сравнить ранжировки по методу средних арифметических и методу медиан для принятия решеня о их приоритете:
Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, С упорядочены как М-К < Л < С,
но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и С (ранжировка (1)), а в другом - проекты
М-К и Л (ранжировка (2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б <
К, а в ранжировке (2), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе
наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать
внимания.
Тема 2. Методы и модели линейного программирования для принятия управленческих решений.
ЗАДАНИЕ 2. «Принятие решения с использованием симплексного метода задачи линейного программирования».
Задача 2.1.
Предприятие планирует выпускать n видов продукции Пi (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, и Р3. прямые затраты ресурсов
ограничены соответственно величинами b1, b2, и b3. Расход j-го ресурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида
равна Сi денежных единиц.
Требуется:
1) Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2) Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию
максимальный доход;
3) Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной
задачи;
4) Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;
9
5) С помощью двойственных оценок yj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход.
Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;
6) Оценить целесообразность приобретения bk единиц ресурса K по цене Ck.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 2.1.
Табл.2.1
Номер варианта
Параметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
5
2
7
4
10
4
10
2
7
4
а11
4
2
10
5
1
1
4
6
6
10
а12
7
5
4
9
9
5
1
9
5
2
а13
1
7
2
7
7
3
5
8
8
9
а21
9
0
5
4
3
6
3
7
1
1
а22
9
3
2
5
4
6
5
5
3
2
а23
2
2
3
9
5
4
2
10
3
7
а31
1
4
8
2
6
5
0
6
6
8
а32
5
4
3
9
3
1
4
2
10
1
а33
57
53
58
63
70
58
80
86
65
71
b1
58
97
95
72
96
66
89
77
97
81
b2
57
97
68
86
80
57
73
56
97
90
b3
13
28
17
27
18
14
23
19
19
27
С1
19
11
29
20
28
21
24
16
13
25
С2
20
18
21
20
21
17
27
23
24
17
С3
2
2
2
3
3
3
2
1
3
2
K
5
5
10
3
1
2
4
4
5
1
bk
22
39
28
19
18
17
37
13
11
23
Сk
Методические указания
Общая постановка задачи
Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана.
Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи
приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется исходная симплекс – таблица с использованием коэффициентов целевой функции и
системы ограничений. Решается задача по алгоритму.
Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно
направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Так как число
допустимых решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное решение.
10
Алгоритм симплексного метода
1. Математическую модель задачи привести к каноническому (стандартному) виду.
2. Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида.
3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким отрицательным числом. Этот столбец и
будет разрешающим.
4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. (Почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего
столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент будет на
пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.).
5. Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг.
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку
с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.
Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент.
Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы
разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в старой таблице.
6. Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет
оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему)
шагу, строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с
нахождением оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом:
Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде
Решить двойственную модель симплекс - методом
Записать ответ.
Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой.
Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней симплекс-таблице.
Х1
x2
…
xn
S1
S2
…
Sm
S1
S2
…
Sm
y1
y2
…
ym
Задача
На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых
затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы
11
продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
Требуется:
Найти оптимальный план симплекс-методом.
Найти решение двойственной задачи
Указать дефицитность ресурсов
Обосновать эффективность плана производства
Оценить целесообразность приобретения ресурса
Оценить целесообразность выпуска новой продукции
Данные:
b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42
а11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1
a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2
a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2
c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3
Решение:
Математическая модель прямой задачи
Z max = 6x1+5x2+4x3+3x4
2x1+3x2+2x3+x4< 25
4x1+x2+3x3+2x4< 30
3x1+5x2+2x3+2x4< 42
x1, x2, x3, x4 > 0
Математическая модель двойственной задачи
Z min = 25y1+30y2+42y3
2y1+4y2+3y3> 6
3y1+y2+5y3> 5
2y1+3y2+2y3> 4
y1+2y2+2y3> 3
y1, y2, y3, y4 > 0
Стандартный вид
Z* min = -6x1-5x2-4x3-3x4
12
2x1+3x2+2x3+x4+S1=25
4x1+x2+3x3+2x4+S2=30
3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42
x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0
Экономический смысл переменных:
хi – количество произведенной продукции,
уj – цена ресурса,
Si – количество оставшегося ресурса.
Таблица 1
базис
Z
S1
S2
S3
значение
x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
отноше
ние
0
-6
-5
-4
-3
0
0
0
25
2
3
2
1
1
0
0
12,5
30
4
1
3
2
0
1
0
7,5
42
3
5
2
2
0
0
1
14
значение
x1
x3
x4
S1
S2
S3
отноше
ние
45
0
-3,5
0,5
0
0
1,5
0
10
0
2,5
0,5
0
1
-0,5
0
4
7,5
1
0,25
0,75
0,5
0
0,25
0
30
19,5
0
4,25
-0,3
0,5
0
-0,8
1
Таблица 2
базис
Z
x2
S1
x1
S3
4,59
13
Таблица 3
базис
Z
x2
x1
S3
значение
x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
59
0
0
1,2
0
1,4
0,8
0
4
0
1
0,2
0
0,4
-0,2
0
6,5
1
0
0,7
0,5
-0,1
0,3
0
2,5
0
0
-1,1
0,5
-1,7
0,1
1
отношен
ие
Анализ решения
Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и четвертого вообще не производим. Прибыль при этом составит 59 ден. единиц.
Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. ед., 2 типа – 0,8 ден. ед. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед., поэтому его покупать не нужно.
Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.
Эффективность производства
Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0=59 Производство в целом эффективно.
2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно
3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно
2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не эффективно
1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не единственен.
Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 ден. ед, т.е. единица ресурса обойдется нам в 2 ден. ед. Мы же готовы
покупать только по 0,8 ден. ед. за 1 единицу ресурса.
а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4.
2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4 Производство 5 вида продукции не эффективно.
Контрольные вопросы.
1. Определение математической модели экономической задачи.
2. Виды математических моделей ЛП.
3. Составление математической модели.
4. Экономическая формулировка математической модели прямой и двойственной задач.
5. Понятие двойственности в задачах линейного программирования.
6. Правило построения математической модели двойственной задачи.
7. Первая теорема двойственности.
8. Вторая теорема двойственности.
14
9.
10.
11.
12.
13.
Третья теорема двойственности.
Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП.
Симплексный метод решения задач ЛП и его применение.
Алгоритм симплексного метода.
Анализ решения задачи по симплекс – таблице, отвечающей критерию оптимальности.
ЗАДАНИЕ 3. «Принятие решения с использованием метода транспортной задачи линейного программирования».
Задача 3.1 Применение метода наименьшей стоимости (наименьшего элемента) и метода потенциалов.
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве аi единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна Ci. Готовая
продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют bj ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт
Bj задана матрицей Cij.
Требуется:
1) Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;
2) Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для
условия что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;
3) Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4) Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5) Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Номер варианта
Параметр
1
2
3
449
152
492
а1
230
401
472
а2
439
358
232
а3
2
1
5
С1
3
1
5
С2
5
1
4
С3
122
211
164
b1
188
200
166
b2
135
144
103
b3
294
279
211
b4
4
283
442
118
2
5
1
195
232
131
163
5
393
369
136
3
5
1
296
270
140
114
6
461
113
300
1
4
3
279
110
162
298
7
320
198
305
6
2
1
146
131
201
178
8
476
469
185
2
2
5
144
196
123
170
9
115
470
373
4
3
4
187
147
161
220
0
420
388
342
4
2
3
291
175
196
114
15
С11
С12
С13
С14
С21
С22
С23
С24
С31
С32
С33
С34
4
4
3
2
2
8
7
2
4
2
2
10
3
8
6
7
6
3
9
6
10
8
5
3
10
2
9
9
4
5
5
7
6
3
7
5
8
2
7
8
6
2
7
2
10
4
4
6
9
4
4
9
10
10
8
8
3
6
7
8
7
10
9
3
5
2
7
7
3
7
4
7
2
9
2
3
9
10
1
2
10
6
3
4
6
6
1
4
9
3
6
7
2
8
9
10
9
6
4
3
2
3
5
8
9
10
6
2
4
9
1
7
2
2
6
9
4
3
9
3
Методические указания
Постановка задачи:
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … , bn.
Известен Сij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей
удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:
bj
b1
b2
…
bn
аi
С11
С12
…
С1n
а1
С21
С22
…
С2n
а2
…
…
…
…
…
Cm1
Cm2
...
Cmn
аm
Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются xij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика j-му
потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок.
16
 x11

x
X   21
...

x
 m1
x12
x22
...
xm 2
... x1n 

... x2 n 
 ( xij )
... ... 

... xmn 
Математическая модель транспортной задачи
Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:
m
n
Z ( X )   cij xij 
 min
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
 ai , i  1,2,..., m,
 b j , j  1,2,...n,
xij  0.
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений
ограничений записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех m, поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны
удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство является условием неотрицательности всех переменных.
В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам
потребителей, т.е.
m
n
i 1
j 1
 ai   b j .
такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется
несбалансированной (с неправильным балансом), а её модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись
суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи:
17
m
n
i 1
j 1
Z '   aiU i   b jV j 
 max
U i  V j C ij
U i ,V j  произвольного знака
если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе ограничении меняется знак: U i  V j C ij экономический смысл перемененных
двойственной задачи:
Ui – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения:
1) Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика или потребителя с недостающим объемом поставки и нулевой стоимостью
перевозки. Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику), идет в последнюю очередь.
2) Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее ставится перевозка.
3) Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n-1. опорное решение не может иметь базисных клеток больше, чем r.
4) План называется вырожденным, если количество базисных клеток меньше r, т.е. базисных клеток не хватает при выполненном условии, что объем
поставок поставщиков распределен полностью и спрос потребителей также удовлетворен. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.
5) Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость производства товара, тогда необходимо сложить эти стоимости с учетом перевозки
товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме того, математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости.
Алгоритм решения транспортных задач.
1) Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
2) Составить математическую модель исходной прямой и математическую модель двойственной задач.
3) Пользуясь методом наименьшего (наибольшего) элемента и методом потенциалов найти улучшение исходного опорного плана до тех пор, пока он не
будет удовлетворять условию оптимальности.
Метод наименьшего элемента.
Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
1) Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки. Если таких клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной
грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих клеток.
2) В выбранную клетку поставить максимально возможную грузоперевозку для потребителя от поставщика.
3) Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
18
4) Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно строки этого поставщика. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика
будет полностью распределен.
Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью ли удовлетворен объем потребителя.
Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2 относительно оставшихся поставщиков и потребностей в таблице.
Если объем потребителя полностью не удовлетворен, тогда применяется пункт 2 относительно соответствующего столбца.
5) Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток должно быть равным r=m+n-1.
Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так, чтобы иметь возможность найти потенциалы всех базисных клеток (ставить
нулевую перевозку).
6) Проверить на оптимальность и по возможности дальше улучшить, перейдя к методу потенциалов.
Метод потенциалов.
1) Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида U i  V j  C ij .
Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее количество занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений
относительно Ui и Vj и найти эти значения.
2) Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение неравенств: U i  V j  Cij
3)
4)
5)
6)
7)
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то необходимо улучшить опорный план с помощью коэффициента перераспределения
W.
Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если таких клеток несколько, то выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком
«+».
Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной клетки, исходя из следующих правил:

В строке и столбце должно быть четное число W;

Контур меняет направление только в базисных клетках;

Коэффициент W меняет свой знак с «+» на «-» поочередно в углах контура.
После построения контура отметить, в каких базисных клетках коэффициент W стоит с отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с
наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в выбранной клетке.
Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру с учетом знаков «+» и «-», прибавляя или уменьшая стоящую в клетке перевозку.
Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для свободных клеток выполняются, значит найденный план оптимален.
Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax), то задача решается методом максимального элемента, т.е. грузоперевозка
(Xij) распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе
потенциалов проверяется выполнение неравенства U i  V j  Cij
19
Рассмотрим задачу:
План перевозок:
Поставщики Аi
Запасы аi
Себестоимость
А1
А2
А3
2
3
1
400
300
500
Потребители Вj:
В1
В2
350
250
2
6
6
2
6
10
В3
150
4
7
7
Решение:
В4
250
7
1
5
Проверяем на сбалансированность
3
a
i 1
i
 400  300  500  1200 ед.
j
 350  250  150  250  1000ед.
4
b
j 1
3
4
 a  b
i 1
i
j 1
j
 200
Задача не сбалансированная. Введем фиктивного потребителя В5 с потребностью в грузе, равной 200 ед. Стоимость перевозки для фиктивного
потребителя определим равной нулю.
В качестве общей стоимости будем брать сумму затрат на доставку единицы продукции из соответствующего пункта и ее себестоимость в этом пункте.
Математическая модель прямой задачи
Z  4 x11  8x12  6 x13  9 x14  9 x21  5x22  10 x23  4 x24  7 x31  11x32  8x33  6 x34  100 x35 
 min при условии что,
20
x11  x12  x13  x14  x15  400,
x11  x21  x31  350,
x21  x22  x23  x24  x25  300,
x12  x22  x32  250,
x31  x32  x33  x34  x35  500,
x13  x23  x33  150,
xij  0
x14  x24  x34  250,
x15  x25  x35  200,
xij  0
Математическая модель двойственной задачи:
Z '  400U 1  300U 2  500U 3  350V1  250V2  150V3  250V4  200V5 
 max
U i  V j  Cij ,
U i ,V j  произвольн ого знака
Экономический смысл обозначений:
Z – целевая функция прямой задачи (суммарные затраты);
Z' – целевая функция двойственной задачи (суммарная потенциальная прибыль от перевозки груза);
Сij – стоимость перевозки единицы продукции из i-го пункта в j-ый;
Xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю;
Ui – условная плата перевозчику за вывоз единицы груза из i-го пункта отправления;
Vj – условная плата перевозчику за доставку единицы груза в j-ый пункт назначения.
Потребители
Поставщики
А1
400
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
50
350
4
8
100
А2
U1=-2
+W
6
9
+W
0
200
-W
U2=-6
300
9
А3
-W
Ui
500
5
150
-W
10
100
+W
4
250
0
U3 =0
21
7
11
Vj
V1=6
V2=11
8
V3=8
6
V4=6
0
V5= 6
W=50
Проверяем на вырожденность:
R=m+n-1=3+5-1=7
m= 3 – количество поставщиков;
n = 5 – количество потребителей.
Базисных клеток 7, план не вырожден.
Проверяем план на оптимальность, используя метод потенциалов. Для базисных клеток составляем систему уравнений Ui + Vj = Сij находим значение
потенциалов так как переменных на 1 больше, чем уравнений,
то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем систему уравнений, получаем
U1  V1  4,
U1  V3  6,
U 2  V2  5,
U 2  V5  0,
U 3  V2  11,
U 3  V3  8,
U 3  V4  6.
V1  6, V2  11, V3  8, V4  6, V5  6, U1  2, U 2  6, U 3  0.
Проверяем выполнение неравенства в свободных: клетках Ui + Vj ≤ Сij
22
U1  V2  8,
U1  V4  9, 
U1  V5  0,
U 2  V1  9,
U 2  V3  10,
U 2  V4  4,
U 3  V1  7,
U 3  V5  0.
более всего не выполняется условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур перераспределения W и находим его значение:
W  min 50;150;200  50 Перераспределяем W=50 по контуру.
Составляем следующий план:
Потребители
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
Поставщики
350
А1
-W
50
U1=-6
8
150
6
9
+W
0
150
-W
U2=-6
300
5
9
А3
+W
400
4
А2
Ui
500
+W
100
-W
10
150
4
250
0
0
U3 =0
23
7
Vj
V1=10
11
V2=11
8
V3=8
6
V4=6
V5= 6
W=100
Так как переменных на i больше, чем уравнений, то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем систему уравнений, получаем
U1  V1  4,
U1  V5  0,
U 2  V2  5,
U 2  V5  0,
U 3  V2  11,
U 3  V3  8,
U 3  V4  6.
V1  10, V2  11, V3  8, V4  6, V5  6, U1  6, U 2  6, U 3  0
проверяем выполнение неравенства в свободных клетках Ui + Vj ≤ Сij,
U1  V2  8,
U1  V3  6,
U1  V4  9,
U 2  V1  9,
- более всего не выполняется
U 2  V3  10,
U 2  V4  4,
U 3  V1  7,
Составляем следующий план:
Потребители
Поставщики
условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур перераспределения W и находим его значение:
W  min 350;150;100  100 перераспределяем W=100 по контуру.
U 3  V5  0.
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
Ui
24
А1
400
А2
300
А3
500
250
150
4
8
6
9
250
9
5
10
150
7
V1=7
U1=-3
50
100
Vj
0
0
6
0
U2=-3
250
11
V2=8
4
8
V3=8
V4=6
U3 =0
V5= 3
U1  V1  4,
U1  V5  0,
U 2  V2  5,
U 2  V5  0,
U 3  V1  7,
U 3  V3  8,
U 3  V4  6.
V1  7, V2  8, V3  8, V4  6, V5  3, U1  3, U 2  3, U 3  0
Проверяем выполнение неравенства Ui + Vj ≤ Сij, в свободных клетках:
U1  V2  8,
U1  V3  6,
U1  V4  9,
U 2  V1  9,
U 2  V3  10,
U 2  V4  4,
U 3  V2  11,
U 3  V5  0.
Неравенство Ui + Vj ≤ Сij,в свободных клетках выполняется, построенной план является оптимальным.
Анализ решения.
25
1.
Оптимальный план перевозки продукции:
– от поставщика А1 перевозится 250 ед. продукции потребителю В1; 150 ед. продукции остается у поставщика;
– от поставщика А2 перевозится 250 ед. продукции потребителю В2; 50 ед продукции остается у поставщика;
– от поставщика А3 перевозится 100 ед.продукции потребителю В1, 150 ед, потребителю В3, 250 ед. потребителю В4 .
2.Суммарные затраты на изготовление и перевозку продукции:
Zmin  250  4  250  5  100  7  150  8  250  6  5650 ден. ед.
Задача 3.2 Применение метода наибольшей стоимости (наибольшего элемента) и метода потенциалов.
Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля.
Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b4 работников. Производительность труда работника зависит от
урожайности картофеля, а так же от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij (в центнерах на
человека за рабочий день).
Требуется:
1) Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество
картофеля;
2) Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении работников.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2.
Параметр
А1
А2
А3
B1
B2
B3
B4
Р11
Р12
Номер варианта
1
2
3
82
99
99
42
34
57
63
72
31
47
66
77
45
32
97
41
46
67
81
95
61
5
5
4
9
8
3
4
45
69
76
49
71
58
93
6
7
5
54
73
86
75
43
42
41
8
6
6
70
99
80
47
59
49
43
3
7
7
49
87
75
45
77
74
100
4
3
8
73
51
67
72
65
36
83
4
10
9
92
51
81
79
93
45
52
6
7
0
79
60
33
83
68
84
53
10
10
26
Р13
Р14
Р21
Р22
Р23
Р24
Р31
Р32
Р33
Р34
4
7
8
4
2
3
4
8
2
4
2
4
7
6
7
1
5
4
3
4
7
6
7
9
5
1
6
5
5
8
6
5
3
10
4
8
6
8
9
4
2
6
5
7
5
6
6
7
8
3
2
5
2
3
4
6
6
4
3
5
4
4
8
8
2
4
8
8
4
8
8
2
2
5
9
3
7
8
8
7
8
1
2
2
9
8
3
3
6
7
6
5
9
6
7
2
5
7
9
3
Рассмотрим пример решения задачи:
Условие: Студенческие отряды СО-1, СО-2 и СО-3 численностью 70, 99 и 80 человек принимают участие в сельскохозяйственных работах. Для
уборки картофеля на полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить соответственно 47, 59, 49 и 43 человека. Производительность труда студентов зависит от
урожайности картофеля, от численности отряда и характеризуется для указанных отрядов и полей в центнерах на человека за рабочий день и представлена в
матрице:
Сумма = 198
Bj
П1
П2
П3
П4
Ai
47
59
49
43
3
7
2
5
СО-1
70
2
3
4
6
СО-2
99
6
4
3
5
СО-3
80
Сумма = 249
Требуется:
1) Распределить студентов по полям так, чтобы за рабочий день было собрано максимально возможное количество картофеля;
2) Определить, сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении студентов
Решение:
1.Проверяем задачу на сбалансированность.
Общее количество человек в студенческих отрядах на 51 больше требуемого общего количества человек для уборки картофеля.
27
Задача является не сбалансированной.
Чтобы сбалансировать задачу, добавляем фиктивное картофельное поле, для уборки которого нужно выделить 51 человека. Производительность труда
студентов на фиктивном поле принимаем равной НУЛЮ.
Составляем исходную таблицу
табл.1
Ai
СО-1
70
СО-2
99
СО-3
80
Сумма = 249
Bj П1
47
3
2
6
П2
59
7
3
4
П3
49
2
4
3
П4
43
5
6
5
Обозначения:
П5 – фиктивное картофельное поле;
Сij – производительность труда студентов i -го СО на j – м картофельном поле;
Xij – количество студентов, направляемое из i -го СО на j-ое картофельное поле;
Ui – условные оценки СО;
Vj – условные оценки картофельных полей
1. Составляем математическую модель прямой и двойственной задач.
Математическая модель прямой задачи:
Целевая функция (на максимум)
Z max  3x11  7 x12  2 x13  5x14  2 x21  3x22  4 x23  6 x24  6 x31  4 x32  3x33  5x34
Система ограничений:
Сумма = 249
П5
51
0
0
0
28
x11  x12  x13  x14  x15  70,
x11  x21  x31  47,
x21  x22  x23  x24  x25  99,
x12  x22  x32  59,
x31  x32  x33  x34  x35  80,
x13  x23  x33  49,
xij  0
x14  x24  x34  43,
x15  x25  x35  51,
x ji  0
Математическая модель двойственной задачи.
Z min  70U 1  99U 2  80U 3  47V1  59V2  49V3  43V4  51V5
U i  V j  Cij ,
U i ,V j  произвольн ого знака
Решаем задачу по методу максимального элемента.
Составляем опорный план (табл. 2)
Bj
П1
Ai
47
П2
59
П3
49
11
59
СО-1
Табл.2
П5
51
П4
43
–W
+W
U1=-1
70
3
18
СО-2
Ui
7
-W
2
49
5
32
0
+W
U2= 0
99
2
29
3
4
6
+W
0
51
-W
СО-3
U3 =4
80
6
Vj
V1=2
4
V2=8
3
V3=4
5
V4=6
0
V5= -4
W=11
29
Проверяем на вырожденность.
Z= m+n-1=3+5-1=7
Базисных клеток 7. План не вырожден.
Проверяем опорный план на оптимальность.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
U 2  V1  2, V1  2,
U 2  V3  4, V3  4,
U 2  V4  6, V4  6,
U 3  V1  6, U 3  6  V1  6  2  4,
U 1  V2  7, V2  7  U 1  7  (1)  8,
U 1  V4  5, U 1  5  V4  5  6  1,
U 3  V5  0, V5  0  U 3  4,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
30
11  U 1  V1  3  1  2  3  2 
12  U 1  V3  2  1  4  2  1 
15  U 1  V5  0  1  (4)  0  5 
 22  U 2  V2  3  0  8  3  5 
 25  U 2  V5  0  0  (4)  0  4 
 32  U 3  V2  4  4  8  4  8 
 33  U 3  V3  3  4  4  3  5 
 34  U 3  V4  5  4  6  5  5 
Опорное решение не является оптимальным, так как имеются отрицательные оценки.
Переходим к следующему плану.
Для клетки (1,5) с наименьшей оценкой (-5) строим цикл. Ставим в эту клетку коэффициент W со знаком «+» и применяя метод наибольшего элемента
находим цикл, (табл. 2). Определяем из цикла W =11
Осуществляем сдвиг по циклу и строим следующий план (табл. 3)
Bj
П1
П2
П3
Ai
47
59
49
СО-1
П5
51
3
7
Ui
11
59
70
СО-2
Табл.3
П4
43
7
-W
2
49
5
43
0
+W
U2= 0
99
2
40
СО-3
3
4
6
+W
0
40
-W
U3 =4
80
6
Vj
U1=4
V1=2
4
V2=3
3
V3=4
5
V4=6
0
V5= -4
31
Проверяем план на оптимальность методом максимального элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
U 2  V1  2, V1  2,
U 2  V3  4, V3  4,
U 2  V4  6, V4  6,
U 3  V1  6, U 3  6  V1  6  2  4,
U 3  V5  0, V5  0  U 3  4,
U1  V5  0, U1  0  V5  0  (4)  4,
U1  V2  7, V2  7  U1  7  4  3,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11  U 1  V1  3  4  2  3  3 
13  U 1  V3  2  4  4  2  6 
14  U 1  V4  5  4  6  5  5 
 22  U 2  V2  3  0  3  3  0 
 25  U 2  V5  0  0  (4)  0  4 
 32  U 3  V2  4  4  3  4  3 
 33  U 3  V3  3  4  4  3  5 
 34  U 3  V4  5  4  6  5  5 
Определяем из цикла W=7
Осуществляем сдвиг по циклу и строим следующий план (табл. 4).
Табл. 4
32
П1
47
Bj
Ai
СО-1
70
СО-2
99
П2
59
П3
49
П4
43
П5
51
11
59
3
7
2
49
2
3
5
43
80
0
U1=0
7
4
6
47
СО-3
Ui
0
U2= 0
0
U3 =0
33
6
4
V1=6
V2=7
V3=4
Vj
Проверяем план на оптимальность методом максимального
элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
3
5
V4=6
V5= 0
U 2  V3  4, V3  4,
U 2  V4  6, V4  6,
U 2  V5  0, V5  0,
U 3  V5  0, U 3  0,
U 3  V1  6, V1  6,
U1  V5  0, U1  0,
U1  V2  7, V2  7,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
33
11  U1  V1  3  0  6  3  3  

13  U1  V3  2  0  4  2  2  
14  U1  V4  5  0  6  5  1  

 21  U1  V1  2  0  6  2  4  
нет отрицательных оценок
 22  U1  V2  3  0  7  3  4  
 32  U 3  V2  4  0  7  4  3  

 33  U 3  V3  3  0  4  3  1  

 34  U 3  V4  5  0  6  5  1  
план табл. 4 оптимален.
Определяем значение целевой функции прямой и двойственной задачи:
Z max  7  59  4  49  6  43  6  47  1149
Z min  6  47  7  59  4  49  6  43  1149
Исходя из первой теоремы двойственности в условии нашей задачи Zmax=Zmin=1149 (Z=Z’) последний план оптимален.
Ответ:
1) Чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля, следует распределить студентов по полям следующим
образом:
– Из СО-1 выделить 59 человек для уборки картофеля на втором поле П2, а 11 человек останутся в СО;
– из СО-2 выделить 49 человек для уборки картофеля на ПЗ и 43 человека для уборки картофеля на П4, а 7 человек останутся в СО;
– из СО-3 выделить 47 человек для уборки картофеля на П1, а 33 человека оставить в СО.
2) При данном оптимальном распределении студентов с четырех полей будет убрано 1149 центнеров картофеля.
Контрольные вопросы.
1.Как сформулировать постановку транспортной задачи ?
2.Какие величины в математической модели транспортной задачи постоянные и какие переменные?
3.Как составить математическую модель прямой и двойственной транспортной задачи?
4.Какая клетка в плане транспортной задачи называется «базисной» и какая «свободной»?
5.Приведите пример сбалансированной и несбалансированной транспортной задачи. Как сбалансировать исходный план транспортной задачи?
6.Поясните понятие «вырожденность» и «невырожденность» плана. Как построить «невырожденный» план?
7.Алгоритм метода наименьшего (наибольшего) элемента.
34
8.Метод потенциалов и его алгоритм.
9.Какой план транспортной задачи называется опорным?
10.Какой критерий оптимальности плана транспортной задачи?
11.Поясните понятие «коэффициент перераспределения груза – W» и как он определяется?
12.Как построить контур перераспределения W?
13.Анализ решения транспортной задачи.
Тема 3. Метод динамического программирования для принятия управленческих решений.
ЗАДАНИЕ 4. «Принятие решения по распределению инвестиций с наибольшей эффективностью».
Задача 4.1
Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные средства С = 80 ден. ед. По каждому предприятию
известен возможный прирост gi(х) (i = 1, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы. Требуется:
1) распределить средства С между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной
величины;
2) используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение 80 ден. ед. между тремя предприятиями.
Необходимые числовые данные приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Номер варианта
Параметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
g1(20)
9
9
7
9
9
11
12
14
16
12
g1(40)
18
17
29
10
18
21
26
24
28
28
g1(60)
24
29
37
35
29
40
40
37
36
39
g1(80)
38
38
41
44
41
54
60
45
49
47
g2(20)
11
11
9
12
8
13
16
12
10
14
g2(40)
19
34
19
25
19
20
21
30
29
26
g2(60)
30
46
28
34
30
42
36
42
42
40
g2(80)
44
53
37
46
47
45
49
58
50
51
g3(20)
16
13
17
11
12
12
9
13
15
11
g3(40)
32
28
27
20
25
22
17
25
27
24
g3(60)
40
37
37
32
51
34
35
45
46
43
g3(80)
57
49
48
48
58
55
51
62
58
51
g4(20)
13
12
16
14
7
10
15
7
17
16
g4(40)
27
35
30
23
15
27
25
33
23
21
g4(60)
44
40
42
40
52
33
51
46
38
36
35
g4(80)
69
54
65
50
59
57
62
60
53
49
Методические указания для решения задачи.
Условие задачи:
имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный капитал
S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по каждому предприятию.
1 предприятие
f (х1)
3
4
9
11
12
Х
20
40
60
80
100
2 предприятие
f (х2)
2
5
8
7
15
3 предприятие
f (х3)
3
4
9
5
12
4 предприятие
f (х4)
3
6
8
7
14
Решение: математическая модель прямой задачи:
4
Z   Fi ( xi ) 
 max
x
i 1
i
 100
xi  0, i  1,2,3,4.
Задача решается с использованием принципа Беллмана.
I


условная оптимизация
x3
x1
х2
x4
S 0 
S1 
S 2 
S3 
S4
II

безусловная оптимизация
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться
оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что
управление, выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом.
36
Схема решения:
4 предприятия
денег всего S0=80
Условная оптимизация-1 этап
So____Iпр________ S1____ IIпр_________ S2__ IIIпр______ S3___
1шаг
2 шаг
3 шаг
х1
х2
х3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
IVпр________S4
4 шаг
х4
f(x4)
F4=max{f(x4)}
Безусловная
F3=max{ f(x3)+F4}
оптимизация - 2 этап
F2=max{ f(x2)+F3}
F1=max{ f(x1)+F2}
Экономический смысл переменных:
xi – количество денег, вкладываемых в i предприятие.
Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);
F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;
S0 – начальный капитал.
Рассмотрим 4 шаг:
37
Для 4-го предприятия может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить
следующую.
Х4
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
40
60
80
100
f (x4)
0
3
6
8
7
14
F4
0
3
6
8
7
14
Рассмотрим 3-й шаг.
Для 3-го и 4-го предприятия может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность:
Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и наоборот.
Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);
60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).
Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из
таблицы предыдущего шага
Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.
Вклад
Проект
Остаток
S2
0
Х3
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
S3
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
20
40
60
80
Прибыль из
матрицы
f (x3)
0
0
3
0
3
4
0
3
4
9
0
Прибыль за
шаг
F4
0
3
0
6
3
0
8
6
3
0
7
f+F
0
3
3
6
6
4
8
9
7
9
7
Прибыль на
шаге
F3
0
3
6
9
12
38
20
40
60
80
0
20
40
100
60
80
100
Рассмотрим 2 шаг.
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
Вклад
Проект
Остаток
S1
0
Х2
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
S2
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
20
40
60
80
100
3
4
9
5
0
3
4
9
5
12
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
0
2
0
2
5
0
2
5
8
0
2
5
8
7
0
2
5
8
7
8
6
3
0
14
7
8
6
3
0
Прибыль за
шаг
F3
0
3
0
6
3
0
9
6
3
0
12
9
6
3
0
15
12
9
6
3
11
10
12
5
14
10
12
15
8
12
15
f+F
0
3
2
6
5
5
9
8
8
8
12
11
11
11
7
15
14
14
14
10
Прибыль на
шаге
F2
0
3
6
9
12
15
39
100
0
15
0
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
3
4
9
11
12
Прибыль за
шаг
F3
15
12
9
6
3
0
15
Рассмотрим 1 шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
Х2
0
20
40
60
80
100
S2
100
80
60
40
20
0
100
f+F
15
15
13
15
14
12
Прибыль на
шаге
F2
15
Анализ результатов:
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:
1)
2)
3)
4)
5)
1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.
1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
ЗАДАНИЕ 5. «Динамическая модель управления запасами».
Задача 5.1
Торгово-посредническая фирма должна в течение в течение 4-х месяцев отпустить со склада некоторое количество товара di. Фирма также имеет
возможность докупать необходимое количество товара. Известно, первоначальное количество товара, стоимость товара f(x), стоимость хранения g(y).
Требуется
написать математическую модель;
- решить задачу
- сделать выводы о необходимости покупки товара в каждом месяце, при обязательном условии, что на конец четвертого месяца склад должен быть
пуст.
40
Необходимые данные приведены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Вар 1 2
иан
т
d1 5 2
d2 5 1
d3 3 5
d4 3 4
S0 10 1
f(x) 1,2 0,5
g(y) 1,2 0,5
3
4
5
6
7
8
9
1
3
4
4
8
1,7
0,5
3
4
5
6
8
1,9
0,9
7
2
1
2
5
1,4
1,8
8
2
7
6
9
0,3
0,2
4
3
5
1
5
1,7
1,3
4
7
6
1
10
1,8
1,8
2
5
3
4
4
0,1
0,0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3
6
5
2
8
1,4
1,0
3
5
5
3
10
0,2
1,7
5
4
3
4
9
1,5
0,4
3
2
2
1
8
1,3
0,5
6
4
4
1
7
0,8
1,1
2
4
3
4
1
0,0
0,6
5
5
7
4
8
1,4
0,0
2
5
3
4
9
0,9
0,1
4
2
2
2
5
0,0
1,4
2
3
7
3
3
1,8
0,6
5
4
4
3
0
1,5
1,4
5
5
5
3
5
0,8
1,8
3
5
4
7
10
0,2
0,6
4
5
7
6
4
0,6
1,2
6
3
1
3
5
1,9
1,8
3
7
3
4
4
1,7
1,5
7
4
3
6
6
0,8
0,4
5
6
1
1
7
0,5
0,0
3
5
5
7
4
0,6
0,9
6
3
1
2
7
0,7
0,8
2
1
7
3
9
0,0
0,2
Методические указания для решения задачи.
При выполнении работы рекомендуется вначале решить предложенную задачу, а затем перейти к решению выбранной по своему варианту задачи.
Задача.
Для решения этой задачи применяется принцип Беллмана.
Условие задачи:
Планируется деятельность предприятия на три месяца.
ЗАДАНЫ:
- начальный уровень запасов S0 = 20
- остаток запасов S3 = 0
- затраты на пополнение φ(х) = 0.4х (х – количество пополняемого запаса)
- затраты на хранение ψ(y) = 0.2y + 1 в данном периоде в зависимости
от y - среднего уровня хранимых запасов.
ОПРЕДЕЛИТЬ:
- размеры пополнения запасов в каждом месяце для удовлетворения заданного расхода
d1 = 30, d2 = 20, d3 = 30 из условий минимизации суммарных затрат.
41
Решение:
Используются формулы Уилсона:
Средний уровень хранения yi = di/2 + Si
Уравнение состояния Si = Si-1 + xi – di
Математическая модель задачи:
n
Z min = ∑ ƒ(Si-1, xi, yi),
i=1
i=1
n
n
∑ xi = ∑ di – S0 ,
i=1
xi ≥ 0.
Где
S0 - начальный уровень запаса,
di - заданный расход запаса в i-м месяце,
Si - остаток запаса на конец i-го месяца,
xi - пополняемый запас в i-м месяце,
yi - средний уровень хранимого запаса в i-м месяце,
i - номер месяца,
Z min – минимальные затраты на покупку и хранение среднего уровня запаса за n месяцев.
Условная оптимизация – от последнего шага до первого по шагам.
Принимаем номер месяца равным номеру шага.
Третий месяц
S2
x3
y3
φ(x3)
ψ(y3)
30
0
15
0
4
20
10
15
4
4
10
20
15
8
4
0
30
15
12
4
Второй месяц
φ+ψ
4
8
12
16
Z3
4
8
12
16
42
x2
S2
y2
φ(x2)
ψ(y2)
Z3
φ + ψ + Z3
Z2
0
30
40
0
8
4
12
12
0
20
30
0
7
8
15
15
10
30
40
4
9
4
18
30
0
10
20
0
5
12
17
17
10
20
30
4
7
8
19
20
30
40
8
9
4
22
20
0
0
10
0
3
16
19
19
10
10
20
4
5
12
21
20
20
30
8
7
8
23
30
30
40
12
9
4
25
10
10
0
10
4
3
16
23
23
20
10
20
8
5
12
25
30
20
30
12
7
8
27
40
30
40
16
9
4
29
16
0
20
0
10
8
3
27
27
30
10
20
12
5
12
29
40
20
30
16
7
8
31
50
30
40
20
9
4
33
Первый месяц
S0
x1
S1
y1
φ(x1)
ψ(y1)
Z2
φ + ψ + Z2
Z1
20
10
0
15
4
4
27
35
35
20
10
25
8
6
23
37
30
20
35
12
8
19
39
40
30
45
16
10
17
43
50
40
55
20
12
15
47
60
50
65
24
14
12
50
Безусловная оптимизация – просматриваем таблицы с первого месяца до последнего по шагам и выбираем наилучшие варианты.
Анализ решения:
Минимальные затраты для обеспечения ритмичной работы предприятия в течение трех месяцев составят 35 ден. ед.
Покупка, средний уровень хранения, затраты по месяцам составят:
S1
50
40
Первый месяц: x1 = 10 S1 = 0 y1 = 15 φ(x1) = 4 ψ(y1) = 4
Второй месяц: x2 = 20 S2 = 0 y2 = 10 φ(x2) = 8 ψ(y2) = 3
Третий месяц: x3 = 30 S3 = 0 y3 = 15 φ(x3) = 12 ψ(y3) = 4
43
Вопросы
для самоконтроля по дисциплине «Методы принятия управленческих решений» для направления подготовки 080200.62 «Менеджмент» бакалавр.
1. Основы теории принятия управленческих решений.
2. Алгоритм принятия управленческих решений.
3 Методы принятия управленческих решений.
4. Содержание постановки управленческой задачи.
5. Классификация методов обоснования решений.
6. Систематизированные (экспертные) методы принятия управленческих решений.
7. Последовательность этапов разработки и оптимизации решения конкретной проблемы.
8. Моделирование и модели принятия управленческих решений.
9. Основы теории моделирования для принятия управленческих решений.
10. Содержание моделирования для принятия управленческого решения. Свойства моделей.
11. Основные элементы процесса принятия решений и их содержание.
12. Методы принятия управленческих решений.
13. Основные группы методов принятия управленческих решений и их содержание.
14. Экспертные методы принятия управленческих решений.
15. Не экспертные методы принятия решений и их содержание.
16. Неформальные (эвристические) методы принятия решений и их содержание.
17.Коллективные методы принятия решений и их содержание.
18. Количественные методы принятия решений и их содержание.
19. Метод «Дельфи» и порядок его применения.
20. Метод «Кингисё» и порядок его применения.
21. Основные способы принятия управленческих решений
22. Основные этапы экспертизы.
23. Характеристика видов и шкал экспертных оценок.
24. Виды бальных оценок.
25. Не экспертные методы принятия решений и их содержание.
26. Содержание процесса творческого мышления и его стадии.
27. Метод «Мозговой атаки» и его содержание.
28. Метод «Опросных» листов и его применение.
29. Основные понятия. Сущность и функции прогнозирования.
30. Особенности прогноза. Принципы построения системы прогнозирования.
31. Классификация прогнозов.
32. Этапы прогнозирования.
44
33. Классификация методов прогнозирования.
34. Какие виды информации используются для прогнозирования?
35. Характеристика количественных методов прогнозирования.
36. Какие качественные методы прогнозирования используются для принятия решений?
37. Виды прогнозирования.
38. Этапы экспертного прогнозирования.
39. В чем суть априорной и апостериорной оценки прогноза?
40. Содержание контроля реализации и корректировки прогноза.
41. Основные положения теории прогнозирования.
42. Метод анализа временных рядов и его содержание.
43. Содержание метода подвижного (скользящего) среднего.
44. Содержание метода экспоненциального сглаживания.
45. Содержание метода проецирования тренда.
46. Содержание каузальных методов прогнозирования.
47. Содержание качественных методов прогнозирования.
48. Методы линейного программирования и их применение при принятии управленческих решений.
49. Методы динамического программирования и их применение при принятии управленческих решений.
.