К.Н. АФАНАСЬЕВ Научный руководитель – В.Г. ВОЛОСТНИКОВ, д.ф.-м.н. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСТИГМАТИЧЕСКОГО

К.Н. АФАНАСЬЕВ
Научный руководитель – В.Г. ВОЛОСТНИКОВ, д.ф.-м.н.
Самарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСТИГМАТИЧЕСКОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ
Аналитическое продолжение одномерной функции в комплексную плоскость
можно реализовать оптическим способом при помощи цилиндрической оптики.
Результатом такого астигматического преобразования является поле, полностью
определенное положением изолированных нулей интенсивности, что позволяет
численно решить фазовую задачу.
С другой стороны, сингулярное поле с нулями одного знака, например, спиральный пучок в виде замкнутой кривой, не всегда удобно для анализа его вихревой структуры. Посредством астигматического преобразования его можно свести
к одномерному полю, обладающему конечной энергией. Дальнейший анализ
(например, интерференционный) одномерного поля позволяет восстановить количество и расположение нулей исходного поля.
Преобразование Фурье любого финитного поля является целой экспоненциальной функцией. Также известно, что такую экспоненциальную
функцию можно найти по положению нулей его аналитического продолжения с помощью бесконечного произведения:

F ( z )  Az n ecz  1  z / z j  e
z/ zj
j 1
Это выражение использовалось для разработки практического метода
решения фазовой проблемы в оптике [1-5]. Нули находили по данным
нескольких измерений интенсивности, а построение аналитического продолжения осуществлялось численно.
В данной работе показано, что аналитическое продолжение для одномерных объектов может быть построено с помощью оптических систем с
простым астигматизмом. При астигматическом преобразовании одномерного светового поля получается двумерное поле с дислокациями волнового фронта:
 2 
 ik
i 
F ( x, y )   exp   ( x  y )  2  U ( ) exp   2  d  d 
4 
 f
 8 
R2
 k 2 2


k 2 2 
 2  2 exp   2 ( x 2  y 2 )  exp  2i 2 xy  F0 ( x  iy ),
f
f




положение которых и определяет положение нулей аналитического продолжения его Фурье образа. По известному положению нулей численно
строится приближенное поле и восстанавливается фаза исходного объекта. Таким образом, для восстановления структуры фазового объекта требуется одно измерение интенсивности.
Очевидно, что обратное астигматическое преобразование переводит
поле с сингулярностями в одномерную структуру, что тоже можно использовать для анализа полей. В работе [6] показано, что существует
класс световых пучков с сингулярностями – спиральные пучки, которые
связаны с одномерными пучками при помощи интегрального преобразования такого же вида. В настоящее время наибольший практический интерес представляют спиральные пучки с распределениями интенсивностей в виде кривых. Структурные особенности полей (сингулярности) в
виде замкнутых кривых лежат в области с низкой интенсивностью, что
затрудняет их детектирование.
Использование данного астигматического преобразования позволяет
перевести двумерное световое поле с фазовыми сингулярностями в одномерное. Полученное одномерное поле несет всю информацию об исходном поле, при этом информация распределяется в виде более удобном для
наблюдения и регистрации. Например, малые искажения исходного поля
(связанные, например, с изменением положения нулей) проще обнаружить после преобразования исходного поля в одномерному виду.
Таким образом, посредством астигматического преобразования осуществляется взаимосвязь одномерных полей и полей с фазовыми сингулярностями, что может быть эффективно использовано для анализа структуры полей обоих типов.
Работа выполнена в рамках бюджетной темы № 01200805602 и при
поддержке грантов РФФИ № 07-02-96614-р_поволжье_а и № 07-02-12221офи.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Walker J.G. The Phase Retrieval Problem // Journal of Modern Optics, 1981, V.28, No.6,
pp. 735-738.
Nakajima N. Reconstruction of phase objects from experimental far field intensities by exponential filtering // Appl. Opt., 1990, V.29, No.23, pp. 3369-738.
Bones P.J., Parker C.R., Satherley B.L., Watson R.W. Deconvolution and phase retrieval with
use of zero sheets// JOSA A, 1995, V.12, No.9, pp. 1842-1857.
Wood J.W., Hall T.J., Fiddy M.A. A Comparison Study of Some Computational Methods for
Locating the Zeros of Entire Functions // Journal of Modern Optics, 1983, V.30, No.4, pp. 511527.
Обратные задачи в оптике / Под ред. Болтса Г.П., М., Машиностроение, 1984. 200 с.
Abramochkin E.G., Volostnikov V.G. Spiral-type beams: optical and quan-tum aspects// Opt.
Comm, 1996, V.125, No.4, pp. 302-323.