11. Определение ускорения свободного падения с помощью

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА
1. Цель работы
Определение ускорения свободного падения с помощью физического
оборотного маятника. Изучение теории математического и физического
маятника.
2. Теория работы
В работе экспериментально определяется приведенная длина l0 физического оборотного маятника, по значению которой и периоду колебаний Т вычисляется ускорение свободного падения g по формуле:
g=(42  0)/ T2.
(1)
Приведенная длина физического маятника равна длине изохронного
математического маятника (имеющего такой же период колебаний).
Математическим маятником (рис. 1) называют материальную точку
произвольной массы m, подвешенную на невесомой, нерастяжимой нити
длины  и совершающую колебания малой амплитуды под действием
силы тяжести при отсутствии трения.
Рабочая формула (1) получается из формул периода колебаний математического и физического маятников. Если периоды одинаковы, то:
T  2 l / g  2 l 0 / g
(2)
где  – длина математического;  0 – приведенная длина физического
маятников соответственно.
Из формулы (2) очевидно определение приведенной длины  0 физического маятника, рассмотренное нами.
Выведем уравнение, аналогичное (2) для математического маятника.
Движение точки осуществляется под действием возвращающей силы Fв =
mg sin. Для малых углов sin  , поэтому возвращающая сила равна
Fв = mg . Смещение точки от положения равновесия (дуга оА) может
быть определено через длину маятника  и угол отклонения , который
при малых  составит  .
76


l
T

mgcos
T
FВ
FВ



0
mg
mgcos
mg
Рис. 1
Для колеблющейся точки второй закон Ньютона a=F/ m имеет вид:
d2( l  )
 g .
dt 2
(3)
Знак "–" указывает на то, что возвращающая сила mg направлена противоположно смещению. Преобразуя (3), получим:
d 2 g
   0,
dt 2 l
(4)
Обозначив
g / l = 02,
(5)
получим дифференциальное уравнение (7) гармонического незатухающего колебания с циклической частотой:
0  g / l ;
d
2
  0   0.
2
dt
2
(6)
Это уравнение дает неявную зависимость угла отклонения маятника от времени. Явную зависимость =(t) дает решение этого уравнения:
 = max sin(0t+0),
(7)
где max – угловая амплитуда (наибольший угол отклонения), 0 – начальная фаза, которая определяет начальный угол отклонения 0 при t=0.
Уравнение (7) показывает, что маятник совершает гармонические
колебания (по закону синуса или косинуса).
77
Рассмотрим физический маятник (рис. 2).
О1
d

О2 ц. м.
mg
Рис. 2
Физическим маятником называют любое твердое тело, совершающее колебания малой амплитуды под действием силы тяжести около
неподвижной, горизонтальной оси.
На маятник действует вращающий момент, созданный силой тяжести относительно точки О1 для малых углов, когда sin   . Основное
уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид:
I = M,
где
 = d2 /dt2;
M = - mgdsin   - mgd.
Здесь учтено, что для малых углов sin   .
После преобразования:
d 2  mgd

  0.
dt 2
I
(8)
02 = mgd/ I,
(9)
d 2
 02   0
2
dt
(10)
Введем обозначения
тогда
Решением (10) является уравнение гармонического колебания
 =  max sin(0t+0),
полученное нами ранее для математического маятника.
Циклическая частота колебаний физического маятника:
 0  (mgd ) / I
78
(11)
Период колебаний:
T
2
 2 I /  mgd
0
.
(12)
Введя приведенную длину физического маятника:
l0 = I/ md,
(13)
получим:
T=
2 l 0 / g ,
(14)
что совпадает с формулой (2). Приведенная длина l0 определяется моментом инерции I маятника относительно оси подвеса, его массой m и расстоянием d от центра инерции до оси подвеса.
Изучаемый в данной работе оборотный физический маятник имеет две параллельные оси подвеса О1 и О2 , расположенные по разные
стороны от центра инерции (рис. 3).
O1
1
d1
O2
d2
2
Ц.М.
l
Ц.М.
l
O2
3
O1
Рис. 3.
Особенностью оборотного маятника является то, что, при расстоянии между осями О1О2 равном приведенной длине физического маятника, т. е. при d1 + d2 = l0, периоды колебаний маятника относительно осей,
проходящих через т. О1 и т. О2 равны: Т1 = Т2,
где T1
 2 I1 / (mgd1 ) и T2  2 I2 / (mgd2 ) .
(15)
По теории Штейнера момент инерции I относительно произвольной
оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной
79
и проходящей через центр инерции тела и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Следовательно, по теории Штейнера:
I1 = I0 + md12;
I2 = I0 + md22.
(16)
Подставив (16) в (15) и приравняв периоды, получим:
I 0  md1
I  md 2
 0
,
d1
d2
(17)
I0 = md1d2.
(18)
2
2
откуда
Подставляя (18) в (16), а затем в формулу для приведенной длины (13), получим для обеих осей О1 и О2 одно и то же выражение для приведенной длины:
l0 = d1 + d2.
(19)
3. Описание установки
Установка состоит из напольной подставки для маятника и собственно маятника. Маятник  стальной стержень (рис. 4), имеющий две
призматические опоры П1 и П2 .Одна из опор П1 закреплена на конце
стержня постоянно, положение другой опоры П2 изменяют в процессе
эксперимента. На стержне расположены добавочные грузы для изменения
масс в маятнике. Время измеряется механическим секундомером.
4. Порядок выполнения работы
1. Установить маятник на неподвижную опору П1 (см. рис. 3) и, отклонив маятник на угол не более 100С, измерить время t двадцати колебаний.
2. По формуле Т = t/n рассчитать период колебаний Т 1, который
практически не зависит от положения подвижной опоры П2, а следовательно, от расстояния l между опорами.
3. Перевернуть маятник и установить на подвижную опору П2, предварительно установив последнюю на максимальном расстоянии от опоры П1. Измерить периоды колебаний на опоре П2 при различных расстояниях l, смещая ее в
сторону неподвижной опоры П1 и фиксируя ее положение через 2 см.
4. Результаты измерений пунктов 1; 2; 3 занести в таблицу, составленную по своему усмотрению.
80
5. Построить в координатах (l, Т) графики зависимости периодов колебаний Т1 и Т2 от расстояния между опорами (рис. 4.
Рис. 4
6. По графику определить приведенную длину l0 оборотного маятника и по формуле (1) рассчитать экспериментальное значение ускорения свободного падения g0.
7. Сравнить полученный результат с теоретическим значением gт
= 9.81 м/с2 , вычислив отклонение:
 = (gт - g0)/ gт 100% .
8. Сделать вывод, проанализировав полученные результаты.
5. Контрольные вопросы
1. Цель работы.
2. Вывод рабочей формулы.
3. Вывод формулы периодов колебаний математического и физического маятников.
4. Определения математического и физического маятников.
5. Физический смысл и формула приведенной длины.
6. Уравнения и параметры гармонического незатухающего колебания.
7. Основное уравнение динамики вращательного движения, смысл и
единицы измерения входящих в него величин.
8. Теорема Штейнера.
9. Доказать, что приведенная длина физического оборотного маятника l0 равна сумме расстояний от осей до центра инерции.
Литература
1. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики в
3-х т. Т. 2  М.: Высш. шк., 1973.  С. 25-27.
2. Геворкян Р. Г., Шепель В. В. Курс общей физики.  М.: Высш.
шк. 1972.  С.68-72.
81