3.2. Коррекция динамических свойств САУ

Лабораторная работа №1
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1. Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения
искомых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК – MATLAB, SIMULINK.
2. Задачи работы
– Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ.
– Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров
регулятора, обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ;
– Приобретение умений и навыков работы с программой
математического моделирования MATLAB.
3. Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности
отработки системой задающего воздействия (или парирование
возмущающего воздействия), повышение запасов ее устойчивости.
Наиболее распространенными способами коррекции свойств САУ
является изменение коэффициента усиления ее разомкнутой части,
введение в САУ новых звеньев (как правило, интегрирующего или
дифференцирующего типа), охват объекта управления местной
обратной связью.
3.1. Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяется величиной
установившейся ошибки  уст ( t ), вызванной действием задающего
воздействия и определяемой по формуле
 уст t   c0 g t   c1 dg t  / dt   c2 2! d 2 g t  / dt 2   
(1)
где g (t ) - входное воздействие; c0 ,c1, c2 - коэффициенты ошибок.
Коэффициенты ошибок определяются по формулам:

c0    s s 0 , c1  d  s  / dss 0 ,,cm  d m  s  / dsm

s 0 ,
где   s  - передаточная функция САУ по ошибке управления,
равная
  s  
1
1  Wраз s ,
W раз s  - передаточная функция разомкнутой САУ.
Основными способами уменьшения статической ошибки
системы являются:
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы;
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев;
3) охват объекта управления местной неединичной
положительной обратной связью.
Представим структурную схему системы в виде, изображенном
на рис. 1, где через W s  обозначена передаточная функция
неизменяемой части системы:
am s m  am 1s m 1    a0
W s  
.
bn s n  bn 1s n 1    b0
Здесь и далее полагается, что W s s  0  K 0 , 0  K 0   , K –
изменяемый коэффициент усиления регулятора системы.
Первые два коэффициента ошибок c0 и c1 определяется
выражениями:
c0 
c1  
1
,
1  KK0
K dW s  / dss  0
1 KK0 2
(2)
.
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает, что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот, с
уменьшением K статическая ошибка в системе увеличивается.
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
(рис. 2). В этом случае c0  0, c1  1 KK 0 .
Так как c0  0, то система на рис. 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка). Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
g t   const и постоянную, обратно пропорциональную K, ошибку
 уст  const при отработке линейно изменяющегося воздействия
g t   a t .
g(t)
ε(t)
y(t)
K
g(t)
ε(t)
W(s)
y(t)
K/s
-
W(s)
-
Рис. 1. Схема САУ
Рис. 2. Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы W s  местной
неединичной положительной обратной связью с коэффициентом
усиления K ос (рис. 3). Тогда эквивалентная передаточная функция
Wэкв s  неизменяемой части системы равна:


am s m  am 1s m 1    a0
W s 
Wэкв s  

(4)
1  KосW s  bn s n    bm  Kосam s m    b1  Kосa1 s  b0  Kосa0 


Если коэффициент усиления K выбрать из условия
Kос 
b0
,
a0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя Wэкв s 
обратится в нуль и Wэкв s  приобретает интегрирующие свойства:
a
s m  am1s m1    a0 
Wэкв s  
.
s bn s n1    bm  K ос am s m1    b1  K ос a1 
m
Следовательно, замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка). Отсюда c0 =0, а коэффициент c1 будет
равен:
c1 
b0
.
b1  Kосa1 
Wэкв(s)
Kос
g(t)
ε(t)
+
y(t)
W(s)
-
Рис. 3. Схема САУ с местной неединичной обратной связью
3.2. Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в
увеличении
быстродействия
САУ
(уменьшении
времени
регулирования tрег), уменьшении перерегулирования  (см. рис. 4), а
также увеличении запасов устойчивости по фазе  и по модулю  .
При этом

hmax  h уст
h уст
100 % ,
где hmax - максимальное значение переходной характеристики
замкнутой САУ h t  ;
h уст - установившееся значение ht  .
Время регулирования tрег - минимальная величина, при которой
удовлетворяется условие:
 
h t рег  h уст   ,
где  - заданная величина ошибки (обычно  =0,05 h уст ).
h(t)
2δ
hуст
hmax
tрег
Рис. 4. Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте
системы путем охвата неизменяемой части системы местными
отрицательными обратными связями.
На рис. 5 R(s) представляет собой передаточную функцию
регулятора САУ, которая считается заданной.
Wэкв(s)
Kос
g(t)
ε(t)
u(t)
-
R(s)
y(t)
W(s)
-
Рис. 5. Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы
апериодическое звено первого порядка, т.е.
W( s ) 
представляет
собой
K0
.
T0 s  1
Тогда передаточная функция Wэкв s  эквивалентного объекта
управления равна:
Wэкв s  
W s 
K экв

,
1  KосW s  Tэкв s  1
где K зкв и Tэкв - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта, равные:
K экв 
K0
,
1 Kос K0 
Tэкв 
T0
.
1 Kос K0 
(5)
Из (5) следует, что соответствующим выбором K ос постоянную
времени Tэкв эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ K ос K 0 )
раз по сравнении с постоянной времени T0 объекта без местной
обратной связи. Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые
сдвиги, вносимые прямым трактом системы, что приводит к
увеличению запасов устойчивости системы. При этом, однако,
уменьшается в (1+ K ос K 0 ) раз коэффициент усиления K экв
эквивалентного объекта по сравнению с коэффициентом усиления
K 0 объекта без местной обратной связи. Это нежелательно, так как
приводит к уменьшению быстродействия системы вследствие
уменьшения общего коэффициента усиления прямого тракта
системы. В этом случае с целью обеспечения необходимого
быстродействия системы увеличивают коэффициент усиления
регулятора.
4. Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB. Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программа для решения технических задач и одноименный
язык программирования, используемый в этом пакете.
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink. Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории – расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink, а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox.
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки
исполняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками
и без них).
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB, такие как
«Control system», «Database», «Fuzzy logic», «Wavelet» и т.д.
В разделе Blockset расположено несколько пакетов, относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink, такие как
«DSP», «Fixed-Point», «Nonlinear control design» и «Power systems».
В разделе Extension Simulink имеется ряд средства,
предназначенных для моделирования в реальном масштабе времени и
событийно-управляемом моделировании.
5. Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ. Определить время регулирования и
перерегулирования в исходной и скорректированной системах, а
также для динамических свойств САУ определить запасы
устойчивости в исходной системе и найти экспериментально
значение Kос, обеспечивающее в системе заданные показатели
качества и запасы устойчивости. Вариант задания назначается
преподавателем.
Таблица 1
Варианты заданий
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,6
0,7
0,8
0,8
0,7
0,9
0,5
0,4
0
0
0,05
0
0,10
0,07
0
0
tрег , c ≤
1,3
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,0
,% ≤
0
10
10
5
5
5
0
0
Параметры
a
K0
T, c
ξ
 уст
В качестве исходных САУ выступают системы, изображенные
на рис. 6 и 7.
g(t)
ε(t)
y(t)
g(t)
ε(t)
W(s)
u(t)
R(s)
-
y(t)
W(s)
-
Рис. 6. САУ с отрицательной
обратной связью
Рис. 7. САУ с отрицательной обратной
связью и регулятором
6. Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
W s  неизменяемой части системы вида:
W s  
K0
T 2 s 2  2Ts  1


(6)
и задающие воздействия вида:
а) g t   1t  ;
б) g t   a t
в соответствии с таблицей 1.
В процессе выполнения этой части работы необходимо:
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис. 6) получить графики g t  , y t  , t  ;
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную
величину t  с теоретической величиной, вычисленной по формуле
(1);
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см. п. 3.1),
обеспечить требуемую статическую ошибку εуст системы при
отработке задающего воздействия g t   1t  ;
4) получить графики y t  и t  в скорректированной системе для
а) g t   1t  ;
б) g t   a t .
5) сравнить время регулирования t рег и перерегулирование  в
исходной и скорректированной системах при g t   1t  ;
При исследовании рассмотренного способа коррекции
динамических свойств САУ (см. п. 3.2) в качестве исходных данных
выступают: передаточная функция W s  неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
R s  
K рег
.
s
Задающее воздействие g t   1t  .
В процессе выполнения данной части работы необходимо:
1) получить путем моделирования в MATLAB графики y t  , t 
в системе (рис. 7);
2) определить время регулирования t рег и перерегулирование
 , а также запасы устойчивости в исходной системе;
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ, найти экспериментально (путем последовательного
перебора) значение K ос , обеспечивающее в системе заданные
заданием показатели качества ( t рег ,  ) и запасы устойчивости (при
необходимости увеличить коэффициент K рег );
4) получить графики y t  , t  , а также ЛАХ и ЛФХ
разомкнутой системы в скорректированной САУ.
7. Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
а) титульный лист;
б) структурные схемы исследуемых систем;
в) полученные графики и характеристики;
г)
значения,
полученные
экмпериментально,
которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости;
д) выводы, обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ;
е) ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. Дать определение статической и астатической САУ.
2. Какими структурными свойствами системы определяется
порядок ее астатизма?
3. Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике?
4. Назовите основные показатели качества САУ. Поясните их
смысл.
5. В чём суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ?
6. Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ.
7. Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ?