Document 165732

Журов А.Н.
Финансовая академия при правительстве РФ,
г.Москва
Шаповал А.Б.,
Финансовая академия при правительстве РФ,
г.Москва,
к.ф.-м.н.,доц.
Влияние бонусов на оптимальные стратегии страховой компании в
условиях неопределенности
В работе построены оптимальные стратегии страховой компании в условиях
неопределенности. Предполагается, что компания занимается тремя видами деятельности:
(1) страхованием, т.е. сбором премий и выплатой убытков по страховым случаям;
(2) инвестированием капитала в безрисковый и рисковый активы;
(3) потреблением, т.е. выплатой заработных плат, бонусов, и любых других
расходов, не являющимися выплатами по страховым случаям.
Капитал X t страховой компании увеличивается за счет сбора премий p и
положительной конъюнктуры на финансовом рынке и уменьшается при наступлении
страховых случаев, а также отрицательной рыночной конъюнктуры. Предполагается, что
суммарные страховые премии p (t )  p , собираемые в каждый момент времени,
постоянны [Бауэрс,2001], а страховые выплаты задаются сложным пуассоновским
процессом
Nt
S t   Yi ,
i 1
где
N t  случайный
процесс количества страховых случаев,
произошедших за промежуток
[0, t ]. Значение процесса St в каждый момент времени
равно суммарному убытку за временной промежуток [0, t ]. Процесс числа страховых
случаев N (t ) является пуассоновским с интенсивностью   0 . Размер убытка по
i  ому страховому случаю определяется неотрицательной случайной величиной Yi , т.е.
P(Yi  0)  0  F (0). Случайная величина Yi имеет неотрицательную функцию
распределения F (x ) и конечные первый и второй начальные моменты.
Из определения сложного пуассоновского процесса следует, что случайные
величины Y1 , Y2 ,..., YN независимы, одинаково распределены и имеют общую функцию
t
распределения
P ( y ), а также не зависят от числа N (t ) страховых случаев.
Предположим, что Yi не зависит от Wt - винеровского процесса. Размер брутто-премии
p , собираемая за время t рассчитывается по формуле: p  (1   )E(Yi )t.
Величина премии рассчитывается на основе математического ожидания суммарных
убытков за промежуток t , рассчитываемого по формуле: E (dS t )  E (Yi )t .
Параметр  называется рисковой надбавкой. Предполагается, что эта величина
удовлетворяет неравенству   0 (противоположное неравенство означает разорение
страховой компании почти наверное за конечное время [Бауэрс,2001]).
Суммарные убытки St от страховых случаев моделируются сложным
пуассоновским процессом.
1
Пусть цена безрискового актива
цена рискового актив
Pt
B (t ) изменяется с постоянной доходностью, а
удовлетворяет геометрическому броуновскому движению:
dB(t )  r0 B(t )dt (1)
dPt  Pt dt  Pt dWt (2),
где   r0  0 ,   0 , а Wt  Винеровский процесс.
Пусть ut - это доля капитала, инвестируемого в рисковый
актив, управляющий
параметр. Тогда капитал X t удовлетворяет уравнению:
dX t  ut X t
dPt
dB(t )
 (1  ut ) X t
 pdt  dS t  ct dt (3)
Pt
B(t )
Согласно [Yang, 2005], оптимальные стратегии весьма чувствительны к выбору
целевого функционала. Предполагая конкретный вид функции полезности, в [Merton,
1969], [Samuelson, 1969] найдена оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый
актив. В статье [Moore, 2006] изложены многие полученные результаты для задачи
наиболее общего типа- оптимальное инвестирование, потребление и деление риска
(перестрахование) страховой компании в стохастических условиях при степенной,
экспоненциальной и логарифмической функциях полезности. В ряде работ изучено, как
влияет потребление фирмы на ее инвестиционные стратегии, (обзор методов приведен в
статье [Sennewald ,2006]).
В докладе рассматривается задача, в которой компания выплачивает средства по
страховым событиям, инвестирует капитал в рисковый и безрисковый активы и расходует
часть своего капитала на потребление. Управляющими переменными являются ut - доля
капитала, направляемая в рисковые активы и
ct -
величина потребления. Горизонт
планирования – неслучайная заданная величина T .
Цель компании – оптимизировать ожидаемые капитал и потребление в
соответствии с функцией полезности f ( ),   капитал или потребление.
Пусть выражение
  T   ( s t )

V (t , x)  max  E   e
f1 (c s )ds  f 2 ( X T ) X t  x   (4)
u s , cs

 t
   -дисконтирующая процентная ставка, определяет максимально
где
достижимый ожидаемый уровень полезности капитала и потребления для компании при
условии, что в начальный момент времени t капитал X t  x.
Предполагается, что функции полезности удовлетворяют естественным условиям
f i( )  0, f i( )  0, i  1,2 , отражающим соответственно увеличение удовлетворения
инвестора при увеличении блага и убывание предельной полезности – первый закон
Госсена. В простейшем случае функция полезности
 1  1
,0    1.

(5),
f i ( )   1  
ln( ),   1.

2
является степенной, а при
  1 логарифмической.
Оптимальная стратегия страховой компании (другими словами, пара ut , ct )
максимизирует функционал (4) при ограничении (3)
В этой работе будем предполагать, что мгновенное изменение капитала, связанное
со случайными выплатами, не влияет на размер мгновенного оптимального потребления,
т.е.:
сt t  ct  O(t ) .(6)
Основным результатом данной работы является следующая теорема:
Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия (1)-(6). Тогда динамика
оптимального потребления задается формулой:
 r   1      r 2    r

0
0
 exp   0

Wt  (7)

 t 
 

2    



В случае произвольной функции полезности потребления f ( ) уравнение
ct*
c0*
динамики оптимального потребления имеет вид:
df  1 f (df ) 2

 
f  2 ( f )3
функция Беллмана V (t , x )
dct*
Если
предположить,
что
ищется
в
виде:
x1  1
V (t , x)   (t )
, оптимальная инвестиционная стратегия задается выражением:
1 
 r
ut*  2 0  const.
 
Следствие. Если r0

среднем возрастает, а если r0
(1   )(  r0 ) 2

 0 , то оптимальное потребление в
2
(1   )(  r0 ) 2
2
2 2
 0 , то оптимальное потребление
в среднем убывает.
Условие возрастания оптимального потребления для произвольной функции
f ( ),
полезности
удовлетворяющей
естественным
ограничениям:
f ( )  0, f ( )  0 также получено в данной работе. Это условие имеет вид:
2(r0   ) 2 ( f ) 2  (  r0 ) f f (3)  0 (8)
(3)
здесь f
 f  .
Подставляя степенную функцию полезности (5) в неравенство (8), получим условие
возрастания оптимального потребления для степенной функции полезности, которое
сформулировано в следствии.
В работе сравниваются две стратегии страховой компании, учитывающие и не
учитывающие потребление в целевом функционале. Как следствие из теоремы 1,
3
выведено условие, при котором сумма капитала и потребления в задаче с потреблением
больше капитала в задаче без потребления. Рассмотрим более подробно эту проблему.
Поскольку в рассматриваемой модели и дополнительный капитал, и
дополнительное потребление увеличивают полезность, то сравнить модель без учета и с
учетом потреблениея можно, сравнив дифференциалы капитала первой модели и сумму
дифференциала капитала в модели с учетом потребления и дифференциала оптимального
потребления:
dX t  (ut (  r0 )  r0 ) X t  p dt  ut X t dWt  dSt
dX t(c)  ((ut (  r0 )  r0 ) X t(c)  p  ct )dt  ut X t(c) dWt  dSt .
Так, необходимо решить неравенство:
dX t  dX t(c)  dct*
Дифференциал dct* находим из уравнения (7), и после преобразований получаем
неравенство:
2




r
  r0
1




0
    r0   
dWt  0 (9)

 dt 


2







Взяв математическое ожидание левой и правой частей неравенства (32) и проведя
преобразования, получим:
 1 1    r0 
   r0      
  0 (10)
2

2




2
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1. Чем меньше дисконтирующая процентная ставка  , то есть чем пессимистичнее
компания оценивает будущее, тем больше должно быть потребление.
2. На рынках с относительно высокой волатильностью, т.е. с большим показателем
  0 , расходы на потребление невыгодны. На рынках с относительно малой
волатильностью, стимулирование сотрудников с помощью бонусов- эффективное
управленческое решение, увеличивающее капитал и потребление компании.
3. Так как неравенство (10) выполняется при относительно малых 0    1, то
стимулировать бонусами своих сотрудников следует компаниям с относительно малым  ,
т.е. относительно приемлющих риск.
Список используемой литературы.
1. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и
приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 000 “Издательство АСТ”, 2003.-408 с.- ил.- (лучший
зарубежный учебник).
2. Актуарная математика. Н. Бауэрс, Х. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман. /
Перевод с английского под редакцией В.К. Малиновского - М.: "Янус-К", 2001. - 644 с.
3. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. //
Insurance: Mathematics and Economics, 2005. V. 37 P. 615-634.
4. Moore K. S., Young V. R. Optimal insurance in a continious-time model. //Insurance:
Mathematics and Economics, 2006, V.39, P.47-68.
4
5. Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965.
V.6, 13.31.
6. R. C. Merton. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case.// The
review of Economics and Statistics,1969. V.51. P. 247-257.
7. K. Sennewald, K. Walde, " Itoˆ' s Lemma” and the Bellman Equation for Poisson Processes: An
Applied View. //Journal of Economics, March 2006. Springer-Verlag.
5