Лотфуллина Е.Р. Цилиндрический изгиб пластины жестким

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010901.65 — механика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Дипломная работа)
Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом
Работа завершена:
Студент 05-001 группы
«____»___________2015 г.
Работа допущена к защите:
(Э.Р. Лотфуллина)
Научный руководитель
Кандидат физико-математических наук, доцент
"___"_________ 2015 г.
________________
(С.А.Кузнецов)
Заведующий кафедрой
доктор физико-математических наук, профессор
"___"_________ 2015 г.
_________________
Казань — 2015
1
(Ю.Г.Коноплев)
Содержание
Введение………………………………………………………………………...........3
Постановка задачи……………………………………………………….............…..7
Построение функции влияния………………………………………………............8
Графики для функции влияния…….…….....................…………………....12
Сведение к краевой задаче………...…………………………….............................13
Решение краевой задачи…………………………………...……………................15
Программа решения краевой задачи в системе Mathematica......................17
Графики для напряжений…….…………….................................................20
Прогиб срединной поверхности пластины.............................................................23
Решение в системе Mathematica.....................................................................24
Графики прогиба срединной поверхности....................................................31
Нормальные напряжения σx и σy ...........................................................................35
Графики нормальных напряжений σx и σy .................................................36
Заключение………………………………………………………………….………40
Список использованной литературы………………………………....…...........…41
2
Введение
Задачи контактного взаимодействия имеют особое значение в механике
деформируемого твердого тела, так как детали любой конструкции оказывают
влияние друг на друга. Контактные задачи – это задачи распространения
напряжений и деформаций в системе твердых тел, имеющих общие участки
границ (поверхности соприкосновения). Существуют два способа решения
таких задач. Первый способ заключается в интегрировании уравнений
равновесия каждого объекта. Но в итоге задача приводится к большому числу
уравнений, которые часто бывает тяжело решить. Второй способ основан на
построении функции влияния. Этот способ является более простым, так как
здесь заранее выполняются краевые условия, благодаря чему значительно
сокращается объем вычислений.
Впервые контактными задачами заинтересовался Г.Герц в конце XIX
столетия. В его работах область контакта предполагается достаточно малой по
сравнению с величинами контактирующих тел, благодаря чему при построении
ядер интегральных уравнений можно воспользоваться фундаментальным
решением для полуплоскости.
Существенный вклад в изучение контактных задач внесли труды
отечественных механиков и математиков — И.Я. Штаермана, Н. Губера, И.Н.
Векуа, Н.И. Мусхелишвили, В.Л. Рвачева, Л.А. Галина, Д.И. Шермана, С.Г.
Михлина, Н.П. Векуа, а также исследования зарубежных ученых К. Каттанео,
Р.Д. Миндлина, А. Синьорини. Они разработали достаточно эффективные
методы для решения смешанных задач упругости.
Также изучением контактных задач занимались следующие ученые: С.П.
Тимошенко, Ю.П. Артюхин, С.А. Кузнецов, В.Н. Максименко, М.В.Блох, Э.И.
Григолюк, С.Н. Карасев, В.П. Ольшанский, Б.Л. Пелех, Ф.Эссенбург,
Г.Я.Попов, B.C. Саркисян, В.М. Толкачев, М.М. Филоненко-Бородич, И.А.
Биргер, В.Ф. Чижов, и др.
Приведем небольшой обзор публикаций по контактным задачам за
последнее время:
Яковлева Е. [1] с помощью метода Шварца рассмотрел принципы
алгоритма численного решения контактных задач механики деформируемого
твердого тела в сложных двумерных областях. Этот метод состоит в
поочередном выполнении силовых и кинематических граничных условий на
поверхности контакта.
В [2] рассматривается взаимодействие системы выпуклых штампов и
упругой полуплоскости при разных граничных условиях: 1) скольжение
штампов при наличии износа и трения, 2) внедрение штампов при наличии
адгезии (сцепления). Задача приводится к интегральному уравнению на дуге
окружности в комплексной плоскости. Решение этого уравнения выражается
через обычные алгебраические функции комплексного переменного. Также
3
И.В. Солдатенков получил решение задачи в случае, когда размер области
контакта мал по сравнению с расстоянием между штампами.
В работе [3] изучается вариационная задача, которая описывает контакт
упругой пластины с тонкой упругой балкой. Область контакта необходимо
определить, так как она заранее не известна. Данная задача решается с
помощью минимизации функционала энергии на множестве допустимых
перемещений.
В статье [4] исследуется задача о взаимодействии упругого
полупространства и тонкой кольцевой жесткой накладки. При этом
полупространство нагружено равномерным растягивающим усилием, которое
направлено параллельно его границе. Предполагается, что кольцевая накладка
при изгибе не сопротивляется. При решении задача сводится к интегральному
уравнению первого рода с ядром, имеющим логарифмическую особенность.
В работе Шишовой А.Н. и Кузнецова С.А. [5] решена задача контактного
взаимодействия пластины с жестким штампом при неизвестной области
контакта, описана методика решения и приведены результаты численноаналитического решения. Получены распределения контактных напряжений и
прогибы срединной поверхности пластины для различных случаев.
Исследовано влияние коэффициента обжатия на напряжения в области
контакта и прогибы срединной поверхности пластины.
Ю.П. Артюхин и С.А. Малкин [6] решили контактную задачу об изгибе
пластин, ограниченных гладким жестким плоским основанием. Численное
решение проводится непрямым методом граничных элементов. Аналитическая
задача решается в интегральной форме для круглой пластины с учетом и без
учета обжатия. Учет обжатия приводит к уравнению Фредгольма II рода,
которое затем сводится к краевой задаче. В этом случае контактные
напряжения принимают гладкий вид.
В работе [7] рассматривается взаимодействие плоской упругой пластины
и двух штампов. Симметрично расположенные штампы вдавливаются в
пластину. Задача приводится к интегральному уравнению Фредгольма I рода.
Дан ряд примеров расчета плоского штампа.
М.И. Чебаков [8] рассматривает пространственную контактную задачу, а
именно как действует штамп в форме эллиптического параболоида на
поверхность основания, состоящего из двух слоев различной толщины и с
различными
упругими
постоянными,
жестко
закрепленного
по
противоположной грани. Штамп находится под действием нормальной и
тангенциальной силы. Нормальная сила прижимает штамп к поверхности слоя,
а тангенциальная действует на него в перпендикулярном направлении. Между
штампом и слоем присутствуют силы кулоновского трения. Исследовано, как
контактные напряжения, величина и форма области зависят от толщины слоя и
упругих констант.
В [9] решена задача о взаимодействии двух полуограниченных тел, одно
из которых абсолютно жесткое. При этом основание одного из этих тел
плоское, а основание другого шершавое. Решение этой задачи можно
4
представить в виде суммы решений двух задач: 1) предполагается, что контакт
полный, 2) предполагается, что имеются площадки, на которых контакт
отсутствует (представляются математическими разрезами). Эти площадки
находятся в местах, где действуют, в основном, растягивающие напряжения.
При сложении двух этих решений получается, что на берегах математических
разрезов напряжения отсутствуют. Приведен пример расчета контакта шины с
дорогой, при наличии на ней протяженной ямы.
Ярецкая Н.О решила осесимметричную задачу о давлении упругого
цилиндрического штампа на слой с начальными напряжениями [10].
Исследования представлены в общем виде для теории больших начальных
деформаций и двух вариантов теории малых начальных деформаций при
произвольной структуре упругого потенциала. Получены соотношения для
компонентов вектора перемещений и тензора напряжений для случая равных
корней. Рассмотрены вопросы о влиянии начальных напряжений на закон
распределения контактных усилий в слое и штампе.
В статье [11] изучается взаимодействие жесткого подвижного шершавого
штампа и одного линейно деформируемого тела. При решении этой
квазистатической задачи учитывается сила трения. Для этого А.С. Кравчук и
П.Нейттаанмяки предложили новый итерационный процесс и доказали его
сходимость. Рассмотрели алгоритм решения, основанный на методе граничных
элементов. Произвели расчеты нескольких конкретных задач и
проанализировали их.
Босаков С.В. комбинацией способа ортогональных многочленов и
вариационного подхода получил решение контактных задач для
полубесконечной пластинки на упругих полуплоскости и полосе [12].
Распределение контактных напряжений определяется в виде ряда по
полиномам Чебышева первого рода с весом, характеризующим особенность в
контактных напряжениях у края пластинки. Был приведен пример расчета
полубесконечной пластинки на упругой полосе.
В [13] рассмотрены задачи об одностороннем контакте струн, круглых
мембран, балок и пластин. Осипенко М.А. и Няшин Ю.И. предложили новый
способ для расчетов таких задач. Предложенный способ включает в себя
строгую математическую постановку и элементарное доказательство
единственности решения. Метод построения аналитического решения основан
на итерационном уточнении области контакта. Приведены некоторые примеры
использования этого метода при решении одномерных контактных задач.
В работе [14] с помощью уравнений типа Кармана-Тимошенко-Нагди,
получено аналитическое решение задачи контактного взаимодействия для
цилиндрически изгибаемой пластины с абсолютно твердым идеально гладким
основанием. Показано, что в случае использования теории пластин,
учитывающей поперечные сдвиги и обжатие, реакции на краях зоны контакта
имеют пиковые значения, но описываются квадратично суммируемой
функцией.
5
В статье [15] С.Б. Томашевский рассмотрел математическое
моделирование физических процессов при взаимодействии 1) колеса и рельса,
2) упрочняющего ролика и оси колёсной пары. Показал, как распространяются
деформации и напряжения в контактирующих деталях. Нашел области и
размеры контакта.
6
Постановка задачи
Имеется прямоугольная пластина, бесконечно длинная в направлении чертежа.
На ней лежит штамп (бесконечно длинный). Штамп смещается параллельно
самому себе, без поворотов. В каждом поперечном сечении картина
напряженно-деформированного состояния одна и та же. Следовательно, мы
можем рассмотреть одномерную задачу.
Краевые условия (левый край – шарнир, правый край - защемление):
G(l, ξ) = G′ x (l, ξ) = 0
G(−l, ξ) = Gx′′ (−l, ξ) = 0
Нам необходимо:
- записать условие контакта пластины и штампа;
- найти и построить функцию влияния;
- свести нашу задачу к краевой задаче и решить её;
- найти прогиб срединной поверхности пластины и напряжения при разных
размерах и положениях штампа.
7
Построение функции влияния
Условие контакта пластины и штампа формулируется в виде равенства
перемещений верхней границы пластины и нижней границы штампа в виде
интегрального уравнения (уравнение Фредгольма II рода):
b
k 0 σ(x) + ∫ G(x, )σ()d =  − f(x),
a
Где: k 0 −коэффициент обжатия
k 0 σ(x) −местное обжатие
b
∫a G(x, )σ()d − перемещение срединной поверхности
 −жесткое смещение штампа
f(x) −форма подошвы штампа.
G(x) – это функция влияния, которая является
дифференциального уравнения:
1
GIV (x, ) = δ(x − ),
D
Eh3
где D =
2)
решением
12(1−v
11
E = 2 ∗ 10 Па, h = 0.01 м, v = 0.3 (материал – сталь)
Добавим к этому уравнению краевые условия (левый край – шарнир,
правый край - защемление):
G(l, ξ) = G′ x (l, ξ) = 0
G(−l, ξ) = Gx′′ (−l, ξ) = 0
Рассмотрим однородное уравнение:
d4 G(x, ξ)
= 0
dx 4
(1)
Решение уравнения (1) можно получить общими методами решения
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и оно имеет
следующий вид:
y = C1 + C2 x + C3 x 2 + C4 x 3 ,
где Сi − это произвольные постоянные.
Для нахождения Сi воспользуемся методом Крамера.
Найдем производные от x i , стоящих перед Ci :
8
y1 = 1
y′1 = 0
y′′1 = 0
y′′′1 = 0
y2 = x
y′2 = 1
y′′2 = 0
y′′′2 = 0
y3 = x 2
y′3 = 2x
y′′3 = 2
y′′′3 = 0
y4 = x 3
y′4 = 3x 2
y′′4 = 6x
y′′′4 = 6
Составим систему из 4 уравнений:
z1 (x)y1 + z2 (x)y2 + z3 (x)y3 + z4 (x)y4 = 0
z1 (x)y ′1 + z2 (x)y ′ 2 + z3 (x)y ′ 3 + z4 (x)y ′ 4 = 0
z1 (x)y ′′1 + z2 (x)y ′′ 2 + z3 (x)y ′′ 3 + z4 (x)y ′′ 4 = 0
1
′′′
′′′
′′′
′′′
(x)y
(x)y
(x)y
(x)y
z
+
z
+
z
+
z
=
δ(x − ξ)
1
2
3
4
1
2
3
4
{
D
Где z1 , … z4 - неизвестные переменные, y1 , … y4 – числовые коэффициенты.
Решением СЛАУ называется такой набор значений z1 , … z4 при которых все
уравнения системы обращаются в тождества.
Составим основную матрицу, ее элементами
неизвестных переменных:
1
x x2
w(x) = ( 0 1 2x
0 0 2
0 0
0
являются коэффициенты при
x3
3x 2 )
6x
6
Определитель это матрицы равен:
|𝑤(𝑥)| = 12
Найдем определитель матрицы w1 (x), где вместо первого столбца подставляем
столбец свободных значений:
𝑤1 (𝑥) =
=−
0
0
0
1
𝛿(𝑥 − ξ)
(𝐷
1
𝛿(𝑥 − ξ)2x 3 ,
𝐷
𝑥
1
0
0
𝑥2
2𝑥
2
𝑥3
3𝑥 2
6𝑥
0
6
𝑥 𝑥2 𝑥3
1
= − 𝛿(𝑥 − ξ) ( 1 2𝑥 3𝑥 2 ) =
𝐷
0 2 6𝑥
)
где 𝛿(𝑥 − ξ) − это  − функция (δ − функция Дирака)
+, если 𝑥 = 0
(𝑥) = {
;
0, если 𝑥 ≠ 0
9
+
∫
−
(𝑥)𝑑𝑥 = 1
Находим неизвестную переменную 𝑧1 :
1
− 𝛿(𝑥 − ξ)2x 3
1 2ξ3
𝐷
𝑧1 = ∫
𝑑𝑥 + 𝐶1 = −
∫ 𝛿(𝑥 − ξ) 𝑑𝑥 + 𝐶1
12
𝐷 12
11 3
=−
ξ 𝐻(𝑥 − ξ) + C1 ,
𝐷6
где H(x − ξ) − это функция Хевисайда.
𝐻(𝑥) = {
0, если х < 0
1, если х > 0
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции
Дирака, это также можно записать как:
𝑥
𝐻(𝑥) = ∫ (𝑡)𝑑𝑡
−
Аналогично находим переменные 𝑧2 , 𝑧3 , 𝑧4 :
𝑧2 =
11 2
ξ 𝐻(𝑥 − ξ) + C2
𝐷2
z3 = −
z4 =
1ξ
H(x − ξ) + C3
D2
11
H(x − ξ) + C4
D6
Подставляем найденные переменные в уравнение:
1
G(x, ξ) = z1 y1 + z2 y2 + z3 y3 + z4 y4=
[H(x − ξ)(x − ξ)3 + С1 (l, ξ) + C2 (l, ξ)x
6D
+ C3 (l, ξ)x 2 + C4 (l, ξ)x 3 ]
Находим первые две производные от функции G(x, ξ) по формулам:
1
1
G′x (x, ξ) = H(x − ξ)f′x (x, ξ) + f(x, ξ)δ(x − ξ) + ∑ ci y ′ i (x)
D
D
1
1
G′′x (x, ξ) = H(x − ξ)f′′x (x, ξ) + f′x (x, ξ)δ(x − ξ) + ∑ ci y ′′ i (x)
D
D
1
1
Так как
f(x, ξ)δ(x − ξ) = 0 и
f ′ (x, ξ)δ(x − ξ) = 0 (в силу фильтрующих
D
D
свойств δ-функции), получим:
1
G′x (x, ξ)= [H(x − ξ)3(x − ξ)2 + C2 (l, ξ) + 2C3 (l, ξ)x + 3C4 (l, ξ)x 2 ]
6D
1
G′′x (x, ξ) = H(x − ξ)(x − ξ) + 2C3 + 6xC4
D
10
Фильтрующее свойство 𝛅 − функции для любой функции f:
+
∫ (x)f(x)dx = f(0)
−
Подставляем граничные условия в уравнение, учитывая, что 𝐻(𝑥 − 𝜉) = 1 при
𝑥 = 𝑙 и 𝐻(𝑥 − 𝜉) = 0 при 𝑥 = − 𝑙:
G(l, ) = (l − ξ)3 + С1 + C2 l + C3 l2 + C4 l3 = 0
G(−l, ) = С1 − C2 l + C3 l2 − C4 l3 = 0
Gx′ (l, ) = 3(l − ξ)2 + C2 + 2C3 l + 3C4 l2 = 0
G′′xx (−l, ξ) = 2C3 − 6C4 l = 0
C1 = −
1
16
C2= −
C3 = −
{
(−7l3 + 3l2 ξ + 15lξ2 − 11ξ3 )
3
16l
3
(l3 − 5l2 ξ + 7lξ2 − 3ξ3 )
16l2
(5l3 − 9l2 ξ + 3lξ2 + ξ3 )
C4 = −
5l3 −9l2 ξ+3lξ2 +ξ3 )
16l3
Подставляем найденные Сi в уравнение, и в итоге получим формулу по которой
можем найти функцию влияния:
1
1
G(x, ξ) =
[(l − ξ)3 H(x − ξ) + {− (−7l3 + 3l2 ξ + 15lξ2 − 11ξ3 )}
6D
16
3 3
(l − 5l2 ξ + 7lξ2 − 3ξ3 )} x
+ {−
16l
3
(5l3 − 9l2 ξ + 3lξ2 + ξ3 )} x 2
+ {−
16l2
5l3 − 9l2 ξ + 3lξ2 + ξ3 ) 3
+ {−
}x ]
16l3
11
Графики для функции влияния
5
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
При смещении силы вправо и влево на одинаковое расстояние:
4
3
2
1
-1
-0.5
0.5
1
0.5
1
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
12
Сведение к краевой задаче
Запишем еще раз условие контакта пластины и штампа:
b
k 0 σ(х) + ∫ G(x, )σ()d =  − f(x)
(1)
a
Для решения этого интегрального уравнения относительно контактного
уравнения используем метод сведения к краевой задаче, предложенный
Ю.П.Артюхиным.
b
k 0 σIV (х) + ∫ GxIV (x, )σ()d = ( − f(x))IV
a
b
1
k 0 σIV (х) + ∫ δ(x − )σ()d = ( − f(x))IV
D
a
В силу фильтрующих свойств δ − функцииполучаемследующее:
k 0 σIV (х) +
1
σ(x) = ( − f(x))IV
D
(2)
1
σ(x) = ( − f(x)−k 0 σ)IV , где( − f(x)−k 0 σ)IV = U IV (x)
D
1
σ(x) = U IV (x)σ(x) = DU IV (x)
(3)
D
Подставляем уравнение (3) в уравнение (2), получим:
k 0 DU VIII (x) + U IV (x) = ( − f(x))IV (2′ )
k 0 DU IV (x) + U(x) =  − f(x)
(4)
Из уравнения (2′ ) получим:
U(x) =  − f(x) −k 0 σ
Из (1):
(5)
𝑏
∫ 𝐺(𝑥, )𝜎()𝑑 =  − 𝑓(𝑥)−𝑘0 𝜎(𝑥)
𝑎
Подставляем сюда уравнения (3) и (5):
𝑏
𝐷 ∫ 𝐺(𝑥, )𝑈 𝐼𝑉 ()𝑑 = 𝑈(𝑥)
𝑎
Интегрируя это уравнение по частям четыре раза, получим:
13
𝑏
𝑏
1
1
∫ 𝐺𝐼𝑉 (𝑥, )𝑈()𝑑 = ∫ 𝛿(𝑥 − )𝑈()𝑑 = 𝑈(𝑥)
𝐷
𝐷
𝑎
𝑎
Краевое условие для нашей задачи:
[𝐺(𝑥, )𝑈 𝐼𝐼𝐼 () − 𝐺𝐼 (𝑥, )𝑈 𝐼𝐼 () + 𝐺𝐼𝐼 (𝑥, )𝑈 𝐼 () − 𝐺𝐼𝐼𝐼 (𝑥, )𝑈()]| 𝑎𝑏=0
14
Решение краевой задачи
Уравнение (4) перепишем в следующем виде:
𝑈 𝐼𝑉 (𝑥) +
Решение для
решений:
функции U(x)
1
−𝑓
𝑈(𝑥) =
𝑘0 𝐷
𝑘0 𝐷
запишем как сумму однородного и частного
𝑈(𝑥) = 𝐶1 𝑈1 (𝑥) + 𝐶2 𝑈2 (𝑥) + 𝐶3 𝑈3 (𝑥) + 𝐶4 𝑈4 (𝑥) + 𝑈 ∗ (𝑥),
где U ∗ (x) − частное решение
Рассмотрим однородное уравнение:
𝑑 4 𝑈(𝑥)
+ 44 𝑈0 (𝑥) = 0,
(7)
4
𝑑𝑥
1
где 44 =
, 𝑈0 (𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥 (8)
𝑘0 𝐷
Подставив (8) в (7) получим:
𝑘 4 𝑒 𝑘𝑥 + 44 𝑒 𝑘𝑥 = 0
𝑘 4 + 44 = 0
𝑘 4 = −44
Запишем правуючастьв тригонометрической форме:
𝑘 4 = −44 = 44 (cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)
Для того чтобы найти неизвестные 𝑘𝑖 воспользуемся формулой Муавра для
комплексных чисел:
𝑧 𝑛 = [𝑟(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)]𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑)
Подставляя в это уравнение вместо n значения от 0 до 3, найдем 𝑘𝑖 :
𝑘1 = (1 + 𝑖)
𝑘 = (1 − 𝑖)
{ 2
𝑘3 = −(1 + 𝑖)
𝑘4 = −(1 − 𝑖)
Итак, решение однородного уравнения мы будем искать в виде:
15
𝑈(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑘1𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑘3𝑥 + 𝐶4 𝑒 𝑘4𝑥
(9)
Так как константы произвольные, то мы можем записать их в следующем виде:
С1 = С10 + 𝑖𝐶20
С2 = С10 − 𝑖𝐶20
С3 = −С03 + 𝑖𝐶40
С4 = −С03 − 𝑖𝐶40
(10)
Перепишем (9), учитывая (10):
U0 (x) = C10 chxcosx + C20 shxsinx + C30 shxcosx + C40 chxsinx (11)
Обозначим:
chxcosx = y1 (x)
shxsinx = y2 (x)
shxcosx = y3 (x)
chxsinx = y4 (x)
Эти функции называются функциями Крылова.
Найдем первые три производные от функции Крылова. Интересно отметить,
что производные функции Крылова по x выражаются снова через те же
функции.
Полученные результаты удобнее записать в виде таблицы:
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4
𝐹 ′ (𝑥)
(𝑦3 − 𝑦4 )
(𝑦3 + 𝑦4 )
(𝑦1 − 𝑦2 )
(𝑦1 + 𝑦2 )
𝐹 ′′ (𝑥)
−22 𝑦2
22 𝑦1
−22 𝑦4
22 𝑦3
𝐹 ′′′ (𝑥)
−23 (𝑦3 + 𝑦4 )
23 (𝑦3 − 𝑦4 )
−23 (𝑦1 + 𝑦2 )
23 (𝑦1 + 𝑦2 )
F(x)
Частное решение для нашего уравнения будет равно:
U∗ = γ − f
А значит, общее решение для функции U(x) имеет следующий вид:
U(x) = С1 chx cosx + С2 shx sinx + С3 shx cosx + С4 chx sinx
+γ − f
(12)
16
Решение в системе Mathematica
вводим уравнение для функции влияния
1
G x_, z_
L x L z 2 7 L3 x2 z L x 5 x 2 z
96 De L3
L2
10 x 11 z
16 L3 x z 3 UnitStep x z ;
(* Найдём производные *)
G11[x_,z_]=D[G[x,z],z];
G22[x_,z_]=D[G1[x,z],z];
G33[x_,z_]=D[G2[x,z],z];
G1 x_, z_
ReplaceAll G11 x, z , DiracDelta
G2 x_, z_
ReplaceAll G22 x, z , DiracDelta
DiracDelta
z x
0 ;
G3 x_, z_
ReplaceAll G33 x, z , DiracDelta
DiracDelta
z x
0, DiracDelta
z x
z
z
x
x
z x
0 ;
0 ;
0,
0,
(*уранение для U в общем виде, оно складывается из решения
однородного урвнения и частного решения*)
U[z_]=C1*y1[z]+C2*y2[z]+C3*y3[z]+C4*y4[z]+(v-f);
(*производные от уравнения для функции U*)
U1[z_]=D[U[z],z];
U2[z_]=D[U1[z],z];
U3[z_]=D[U2[z],z];
(*граничные условия*)
F[x_,z_]=G[x,z]*U3[z]-G1[x,z]*U2[z]+G2[x,z]*U1[z]-G3[x,z]*U[z];
(*функция s изменяется от a до b*)
F[x,b]-F[x,a];
R[x_,a_,b_]=ReplaceAll[F[x,b]-F[x,a],{UnitStep[-a+x]1,
UnitStep[-b+x]0}];
R[x,a,b];
(*объединение по степеням х*)
Collect[R[x,a,b],x];
Далее запишем 4 уравнения для нахождения неизвестных С𝑖 по степеням 𝑥:
𝑅0 , 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 и объединим их по С𝑖 :
Collect[R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}];
(*находим элементы матрицы*)
a41=ReplaceAll[Collect[R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C11,C20,C30,
C40,v0}];
17
a42=ReplaceAll[Collect[R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C21,C30,
C40,v0}];
a43=ReplaceAll[Collect[R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C31,
C40,v0}];
a44=ReplaceAll[Collect[R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C30,
C41,v0}];
b4=ReplaceAll[Collect[-R0[a,b],{C1,C2,C3,C4}],
{C10,C20,C30,C40,vv}];
Collect[R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}];
a11=ReplaceAll[Collect[R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C11,C20,C30,
C40}];
a12=ReplaceAll[Collect[R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C21,C30,
C40}];
a13=ReplaceAll[Collect[R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C31,
C40}];
a14=ReplaceAll[Collect[R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C30,
C41}];
b1=ReplaceAll[Collect[-R1[a,b],{C1,C2,C3,C4}],
{C10,C20,C30,C40}];
Collect[R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}];
a21=ReplaceAll[Collect[R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C11,C20,C30,
C40}];
a22=ReplaceAll[Collect[R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C21,C30,
C40}];
a23=ReplaceAll[Collect[R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C31,
C40}];
a24=ReplaceAll[Collect[R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C30,
C41}];
b2=ReplaceAll[Collect[-R2[a,b],{C1,C2,C3,C4}],
{C10,C20,C30,C40}];
Collect[R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}];
a31=ReplaceAll[Collect[R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C11,C20,C30,
C40}];
a32=ReplaceAll[Collect[R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C21,C30,
C40}];
a33=ReplaceAll[Collect[R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C31,
C40}];
a34=ReplaceAll[Collect[R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}],{C10,C20,C30,
C41}];
b3=ReplaceAll[Collect[-R3[a,b],{C1,C2,C3,C4}],
{C10,C20,C30,C40}];
18
вычисляем определители матриц
A
A1
A2
A3
A4
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
Det
b1
b2
b3
b4
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
Det
a11
a21
a31
a41
b1
b2
b3
b4
a13
a23
a33
a43
Det
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
b1
b2
b3
b4
Det
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
Det
a14
a24
a34
a44
a14
a24
a34
a44
a14
a24
a34
a44
a14
a24
a34
a44
b1
b2
b3
b4
;
;
;
;
;
(*вводим функции, стоящие перед константами в нашем общем
решении*)
y1[z_]=Cosh[q z] Cos[q z];
y2[z_]=Sinh[q z] Sin[q z];
y3[z_]=Sinh[q z] Cos[q z];
y4[z_]=Cosh[q z] Sin[q z];
(*находим константы*)
C1=A1/A;
C2=A2/A;
C3=A3/A;
C4=A4/A;
Вводим известные значения:
h=0.1;
e=2*10^11;
v1=0.3;
v=h/10;
L=1;
De=(e*h^3)/(12*(1-v1^2));
k0=(h*(1+v1)*(1-2*v1))/(2*e*(1-v1));
q=Sqrt[Sqrt[1/(4*k0*De)]];
f=0;
Можем построить графики для напряжений.
19
Графики для напряжений
Поместим штамп на середину пластины и посмотрим, как будут изменяться
графики в зависимости от размера штампа:
8 109
-0.75
-0.5
6 10
9
4 10
9
2 10
9
-0.25
Штамп размером:
𝑐 = 8ℎ
𝑎 = −𝑐
𝑏=𝑐
0.25
0.5
0.75
Штамп размером:
𝑐 = 5ℎ
𝑎 = −𝑐
𝑏=𝑐
1.5 109
1 109
5 108
-0.4
-0.2
0.2
0.4
8 108
6 10
8
Штамп размером:
𝑐 = 2ℎ
𝑎 = −𝑐
𝑏=𝑐
4 108
2 10
8
20
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Возьмем штамп размером 𝑐 = 5ℎ и посмотрим, как будут изменяться графики
в зависимости от положения штампа:
1 1010
Штамп расположен около левого
края, со стороны шарнира
𝑎 = −9𝑐
𝑏=𝑐
8 109
6 109
4 109
2 109
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
2 109
1.5 10
1 10
𝑎 = −7𝑐
𝑏 = 3𝑐
9
9
5 108
-0.6
-0.4
4 10
-0.2
0.2
9
𝑎 = −3𝑐
𝑏 = 7𝑐
3 109
-0.2
2 10
9
1 10
9
0.2
0.4
0.6
21
2 10
10
1.5 10
1 10
Штамп расположен около
правого края, со стороны
защемления
𝑎 = −9𝑐
𝑏=𝑐
10
10
5 109
0.2
0.4
0.6
0.8
На графиках видно, что напряжения зависят от положения и размеров штампа,
а также от условий закрепления. Из первых трех графиков можем сказать, что
чем больше размер штампа, тем больше напряжения. При расположении
штампа около левого и правого края пластины видно, что со стороны
защемления напряжения в два раза больше, чем со стороны шарнира. Также
видно, что на всех графиках наибольшие значения находятся на концах штампа.
22
Прогиб срединной поверхности пластины
Прогиб находится по формуле:
𝑏
∫ 𝐺(𝑥, 𝜉) 𝜎(𝜉) 𝑑𝜉 = 𝑊(𝑥)
𝑎
где 𝑊(𝑥) − перемещение срединной поверхности
𝐺(𝑥, 𝜉) и 𝜎(𝜉) уже найдены:
1
𝐺(𝑥, 𝜉) =
[(𝑙 + 𝑥)(𝑙 − 𝜉)2 (7𝑙3 − 𝑥 2 𝜉 − 𝑙𝑥(5𝑥 + 2𝜉) + 𝑙 2 (−10𝑥 + 11𝜉)) +
96 𝐷 𝑙 3
16𝑙 3 (𝑥 − 𝜉)3 𝐻(𝑥 − 𝜉)]
σ(𝜉) =
1
𝑘0
[−𝐶ℎ(𝜆𝜉) 𝑆𝑖𝑛(𝜆𝜉) 𝐾1 + 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉) 𝐶ℎ(𝜆𝜉) 𝐾2 + 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉) 𝑆ℎ(𝜆𝜉) 𝐾3 −
𝑆𝑖𝑛(𝜆𝜉) 𝑆ℎ(𝜆𝜉) 𝐾4 ]
где: 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , 𝐾4 − выражения, не зависящие от 𝜉
Перемножая данные выражения для 𝐺(𝑥, 𝜉) и 𝜎(𝜉), и объединяя полученное
произведение по степеням 𝜉 получим:
𝐺(𝑥, 𝜉) 𝜎(𝜉)
= 𝜉 3 [𝐾2 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉)Ch(𝜆𝜉) − K1 Ch(𝜆𝜉)Sin(𝜆𝜉) + K 3 Cos(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)
3
96 𝐷 𝑙 𝑘0
− K 4 Sin(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)][11l3 + 9l2 x − 3lx 2 − x 3 − 16l3 H(x − 𝜉)]
+ 𝜉 2 [𝐾2 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉)Ch(𝜆𝜉) − K1 Ch(𝜆𝜉)Sin(𝜆𝜉) + K 3 Cos(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)
− K 4 Sin(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)][−15l4 − 21l3 x − 9l2 x 2 − 3lx 3
+ 48l3 x H(x − 𝜉)]
+ 𝜉[𝐾2 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉)Ch(𝜆𝜉) − K1 Ch(𝜆𝜉)Sin(𝜆𝜉) + K 3 Cos(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)
− K 4 Sin(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)][−3l5 + 15l4 x + 27l3 x 2 + 9l2 x 3
− 48l3 x 2 H(x − 𝜉)]
+ [𝐾2 𝐶𝑜𝑠(𝜆𝜉)Ch(𝜆𝜉) − K1 Ch(𝜆𝜉)Sin(𝜆𝜉) + K 3 Cos(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)
− K 4 Sin(𝜆𝜉)Sh(𝜆𝜉)][7l6 − 3l5 x − 15l4 x 2 − 5l3 x 3 + 16l3 x 3 H(x − 𝜉)]
Посчитав интегралы от каждого слагаемого в системе Mathematica, и сложив
полученные результаты, мы можем построить графики для прогиба срединной
поверхности при разных положениях и размерах штампа.
23
Решение в системе Mathematica
Посчитав интегралы, получим:
24
Int a_, b_, x_
8 K4 L3 Sin a q
8 K3 L3 Cos a q
a3 q 3 Cosh a q
3 a q Cosh a q
3 Sinh a q
q4
a3 q 3 Cosh a q
3 a q Cosh a q
3 Sinh a q
q4
8 a K1 L3 Cos a q
3 Cosh a q
a2 q 2 Cosh a q
3 a q Sinh a q
q3
3
8 a K2 L Sin a q
3 Cosh a q
a2 q 2 Cosh a q
3 a q Sinh a q
q3
8 a K4 L3 Cos a q
3 a q Cosh a q
3 Sinh a q
a2 q 2 Sinh a q
3 Sinh a q
a2 q 2 Sinh a q
q3
8 a K3 L3 Sin a q
3 a q Cosh a q
q3
3
8 K2 L Cos a q
3 Cosh a q
3 a q Sinh a q
a3 q 3 Sinh a q
q4
8 K1 L3 Sin a q
3 Cosh a q
3 a q Sinh a q
a3 q 3 Sinh a q
q4
1
2q
L3 7 L3 3 L2 x 15 L x2 5 x3
Cosh a q
K1 K3 Cos a q
K2 K4 Sin a q
K2 K4 Cos a q
K1 K3 Sin a q
Sinh a q
1
2 q2
3 L2 L3 5 L2 x 9 L x2 3 x3
Cosh a q
K4 a K1 K3 q Cos a q
K3 a
K2 K4 q Sin a q
K1 a K2 K4 q Cos a q
K2 a K1 K3 q Sin a q
Sinh a q
1
2 q3
3 L 5 L3 7 L 2 x 3 L x2 x3
Cosh a q
K1 K3 2 a K4 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2 Cos a q
K2 K4 2 a K3 q a2 K2 q 2 a2 K4 q 2 Sin a q
K2 K4 2 a K1 q a2 K2 q 2 a2 K4 q 2 Cos a q
K1 K3 2 a K2 q a2 K1 q 2
Sinh a q
25
a2 K3 q 2 Sin a q
1
2 q4
11 L3 9 L2 x 3 L x2 x3
Cosh a q
3 K2 a q 3 K1 3 K3 3 a K4 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2
Cos a q
2
2
2
2
3 K1 a q 3 K2 3 K4 3 a K3 q a K2 q
a K4 q
Sin a q
3 K3 a q
3 K2 3 K4 3 a K1 q a2 K2 q 2 a2 K4 q 2
Cos a q
3 K4 a q 3 K1 3 K3 3 a K2 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2
Sin a q
Sinh a q
8 K3 L3 Cos b q
3 b q Cosh b q
b3 q 3 Cosh b q
3 Sinh b q
q4
8 K4 L3 Sin b q
b3 q 3 Cosh b q
3 b q Cosh b q
3 Sinh b q
q4
8 b K1 L3 Cos b q
3 Cosh b q
b2 q 2 Cosh b q
3 b q Sinh b q
q3
3
8 b K2 L Sin b q
3 Cosh b q
b2 q 2 Cosh b q
3 b q Sinh b q
q3
3
8 b K4 L Cos b q
3 b q Cosh b q
3 Sinh b q
b2 q 2 Sinh b q
3 Sinh b q
b2 q 2 Sinh b q
q3
8 b K3 L3 Sin b q
3 b q Cosh b q
q3
8 K2 L3 Cos b q
3 Cosh b q
3 b q Sinh b q
b3 q 3 Sinh b q
q4
8 K1 L3 Sin b q
3 Cosh b q
3 b q Sinh b q
b3 q 3 Sinh b q
q4
1
2q
L3 7 L3 3 L2 x 15 L x2 5 x3
Cosh b q
K1 K3 Cos b q
K2 K4 Sin b q
K2 K4 Cos b q
K1 K3 Sin b q
Sinh b q
1
2 q2
3 L2 L3 5 L2 x 9 L x2 3 x3
Cosh b q
K4 b K1 K3 q Cos b q
K3 b K2 K4 q Sin b q
K1 b K2 K4 q Cos b q
K2 b K1 K3 q Sin b q Sinh b q
1
2 q3
3 L 5 L3 7 L2 x 3 L x2 x3
Cosh b q
K1 K3 2 b K4 q b2 K1 q 2 b2 K3 q 2 Cos b q
K2 K4 2 b K3 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2 Sin b q
K2 K4 2 b K1 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2 Cos b q
K1 K3
Sinh b q
26
2 b K2 q
b2 K1 q 2
b2 K3 q 2 Sin b q
1
2 q4
11 L3 9 L2 x 3 L x2 x3
Cosh b q
3 K2 b q 3 K1
3 K1 b q 3 K2 3 K4
3 K3 b q
3 K2 3 K4 3
3 K4 b q 3 K1 3 K3
1
3 K3 3 b K4 q b2 K1 q 2 b2 K3 q 2
Cos b q
3 b K3 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2
Sin b q
b K1 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2
Cos b q
2
2
2
2
3 b K2 q b K1 q
b K3 q
Sin b q
Sinh b q
q4
8 K4 L3 a q Cosh a q
a2 q 2 Cos a q
aq 3
8 K4 L3 q x Cosh q x
3
3 Sin a q
3 q x Cos q x
q 2 x2 Cos q x
qx 3
a2 q 2 Sin a q
1
Sinh a q
q4
3 a q Cos a q
q 2 x2 Sin q x
3
3 Sin q x
Sinh q x
UnitStep a
x
1
q4
8 K2 L3 Cosh a q
aq
8 K2 L
3
qx
Cosh q x
a2 q 2 Sin a q
aq 3
a2 q 2 Cos a q
3
3
3 Cos a q
3 a q Sin a q
3 Cos q x
2
qx 3
q 2 x2 Cos q x
q x
2
3 q x Sin q x
Sinh a q
1
q4
Sin q x
Sinh q x
UnitStep a
x
1
q4
8 K1 L3
Cosh a q
aq 3
a q 3 a q Cos a q
8 K1 L
3
Cosh q x
3
qx 3
q x 3 q x Cos q x
3
a2 q 2 Cos a q
a2 q 2 Sin a q
2
q x
2
Cos q x
q 2 x2 Sin q x
3 Sin a q
Sinh a q
1
q4
3 Sin q x
Sinh q x
UnitStep a
x
1
q4
8 K3 L3 a q Cosh a q
3 Cos a q
aq 3
8 K3 L3 q x Cosh q x
3 Cos q x
qx 3
3
a2 q 2 Cos a q
3 a q Sin a q
1
Sinh a q
q4
a2 q 2 Sin a q
3
q 2 x2 Cos q x
q 2 x2 Sin q x
3 q x Sin q x
Sinh q x
UnitStep a
x
1
q
8 L3 x3 Cosh a q
K1 K3 Cos a q
K2 K4 Sin a q
K2 K4 Cos a q
K1 K3 Sin a q Sinh a q
Cosh a q
K1 K3 Cos a q
K2 K4 Sin a q
Cosh q x
K1 K3 Cos q x
K2 K4 Sin q x
K2 Cos a q Sinh a q K4 Cos a q Sinh a q K1 Sin a q Sinh a q K3 Sin a q Sinh a q
K2 Cos q x Sinh q x K4 Cos q x Sinh q x K1 Sin q x Sinh q x K3 Sin q x Sinh q x
UnitStep a x
27
1
q2
24 L3 x2 Cosh a q
K4 a K1
K1 a K2 K4 q Cos a q
Cosh a q
K4 a K1 K3
Cosh q x
K4 K1 K3
a K2 q Cos a q Sinh a q
a K1 q Sin a q Sinh a q
K2 q x Cos q x Sinh q x
K1 q x Sin q x Sinh q x
K3 q Cos a q
K3 a K2 K4 q Sin a q
K2 a K1 K3 q Sin a q Sinh a q
q Cos a q
K3 a K2 K4 q Sin a q
q x Cos q x
K3
K2 K4 q x Sin q x
K1 Cos a q Sinh a q
a K4 q Cos a q Sinh a q K2 Sin a q Sinh a q
a K3 q Sin a q Sinh a q K1 Cos q x Sinh q x
K4 q x Cos q x Sinh q x K2 Sin q x Sinh q x
K3 q x Sin q x Sinh q x UnitStep a x
1
q3
24 L3 x
Cosh a q
K1 K3 2 a K4 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2 Cos a q
K2 K4 2 a K3 q a2 K2 q 2 a2 K4 q 2 Sin a q
K4 2 a K1 q a2 K4 q 2 K2 1 a2 q 2 Cos a q
K1 K3 2 a K2 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2 Sin a q
Sinh a q
Cosh a q
K1 K3 2 a K4 q a2 K1 q 2 a2 K3 q 2 Cos a q
K2 K4 2 a K3 q a2 K2 q 2 a2 K4 q 2 Sin a q
Cosh q x
K1 K3 2 K4 q x K1 q 2 x2 K3 q 2 x2 Cos q x
K2 K4 2 K3 q x K2 q 2 x2 K4 q 2 x2 Sin q x
K2 Cos a q Sinh a q
K4 Cos a q Sinh a q 2 a K1 q Cos a q Sinh a q a2 K2 q 2 Cos a q Sinh a q
a2 K4 q 2 Cos a q Sinh a q K1 Sin a q Sinh a q K3 Sin a q Sinh a q
2 a K2 q Sin a q Sinh a q a2 K1 q 2 Sin a q Sinh a q a2 K3 q 2 Sin a q Sinh a q
K2 Cos q x Sinh q x K4 Cos q x Sinh q x 2 K1 q x Cos q x Sinh q x
K2 q 2 x2 Cos q x Sinh q x K4 q 2 x2 Cos q x Sinh q x K1 Sin q x Sinh q x
K3 Sin q x Sinh q x 2 K2 q x Sin q x Sinh q x K1 q 2 x2 Sin q x Sinh q x
K3 q 2 x2 Sin q x Sinh q x UnitStep a x
1
q4
8 K4 L3 b q Cosh b q
bq 3
b2 q 2 Cos b q
8 K4 L3 q x Cosh q x
3
3 Sin b q
3 q x Cos q x
q 2 x2 Cos q x
qx 3
b2 q 2 Sin b q
1
Sinh b q
q4
3 b q Cos b q
3
3 Sin q x
q 2 x2 Sin q x
Sinh q x
UnitStep b
x
1
q4
8 K2 L3 Cosh b q
bq
3
b2 q 2 Cos b q
8 K2 L3 Cosh q x
qx
3
3 Cos b q
3 Cos q x
q 2 x2 Cos q x
bq 3
b2 q 2 Sin b q
3 b q Sin b q
qx 3
Sinh b q
1
q4
q 2 x2 Sin q x
3 q x Sin q x
28
Sinh q x
UnitStep b
x
1
q4
8 K1 L3
Cosh b q
b q 3 b q Cos b q
8 K1 L
3
Cosh q x
b2 q 2 Cos b q
bq 3
b2 q 2 Sin b q
3
qx 3
q x 3 q x Cos q x
3
2
q x
2
Cos q x
q 2 x2 Sin q x
3 Sin b q
1
Sinh b q
q4
3 Sin q x
Sinh q x
UnitStep b
x
1
q4
8 K3 L3 b q Cosh b q
3 Cos b q
bq 3
8 K3 L3 q x Cosh q x
3 Cos q x
qx 3
b2 q 2 Cos b q
3
3 b q Sin b q
1
Sinh b q
q4
b2 q 2 Sin b q
3
2
q x
q 2 x2 Cos q x
2
Sin q x
3 q x Sin q x
Sinh q x
UnitStep b x
1
q
8 L3 x3
Cosh b q
K1 K3 Cos b q
K2 K4 Sin b q
K2 K4 Cos b q
K1 K3 Sin b q Sinh b q
Cosh b q
K1 K3 Cos b q
K2 K4 Sin b q
Cosh q x
K1 K3 Cos q x
K2 K4 Sin q x
K2 Cos b q Sinh b q
K4 Cos b q Sinh b q
K1 Sin b q Sinh b q
K3 Sin b q Sinh b q
K2 Cos q x Sinh q x
K4 Cos q x Sinh q x
K1 Sin q x Sinh q x
K3 Sin q x Sinh q x UnitStep b x
1
q2
24 L3 x2 Cosh b q
K4 b K1
K1 b K2 K4 q Cos b q
Cosh b q
K4 b K1 K3
Cosh q x
K4 K1 K3
b K2 q Cos b q Sinh b q
b K1 q Sin b q Sinh b q
K2 q x Cos q x Sinh q x
K1 q x Sin q x Sinh q x
K3 q Cos b q
K3 b K2 K4 q Sin b q
K2 b K1 K3 q Sin b q Sinh b q
q Cos b q
K3 b K2 K4 q Sin b q
q x Cos q x
K3
K2 K4 q x Sin q x
K1 Cos b q Sinh b q
b K4 q Cos b q Sinh b q
K2 Sin b q Sinh b q
b K3 q Sin b q Sinh b q
K1 Cos q x Sinh q x
K4 q x Cos q x Sinh q x
K2 Sin q x Sinh q x
K3 q x Sin q x Sinh q x UnitStep b x
1
q3
24 L3 x
Cosh b q
K1 K3 2 b K4 q b2 K1 q 2 b2 K3 q 2 Cos b q
K2 K4 2 b K3 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2 Sin b q
K4 2 b K1 q b2 K4 q 2 K2 1 b2 q 2 Cos b q
K1 K3 2 b K2 q b2 K1 q 2 b2 K3 q 2 Sin b q
Sinh b q
Cosh b q
K1 K3 2 b K4 q b2 K1 q 2 b2 K3 q 2 Cos b q
K2 K4 2 b K3 q b2 K2 q 2 b2 K4 q 2 Sin b q
Cosh q x
K1 K3 2 K4 q x K1 q 2 x2 K3 q 2 x2 Cos q x
K2 K4 2 K3 q x K2 q 2 x2 K4 q 2 x2 Sin q x
K2 Cos b q Sinh b q
K4 Cos b q Sinh b q
2 b K1 q Cos b q Sinh b q
b2 K2 q 2 Cos b q Sinh b q
b2 K4 q 2 Cos b q Sinh b q
K1 Sin b q Sinh b q
K3 Sin b q Sinh b q
2 b K2 q Sin b q Sinh b q
b2 K1 q 2 Sin b q Sinh b q
b2 K3 q 2 Sin b q Sinh b q
K2 Cos q x Sinh q x K4 Cos q x Sinh q x
2 K1 q x Cos q x Sinh q x
2 2
2 2
K2 q x Cos q x Sinh q x
K4 q x Cos q x Sinh q x
K1 Sin q x Sinh q x
K3 Sin q x Sinh q x 2 K2 q x Sin q x Sinh q x
K1 q 2 x2 Sin q x Sinh q x
K3 q 2 x2 Sin q x Sinh q x UnitStep b x
29
W x_
1
96 De l3 k0
Int a, b, x ;
Для каждого промежутка функция прогиба будет иметь свой вид:
W1[x_]=ReplaceAll[W[x],{UnitStep[-a+x]0,UnitStep[-b+x]0,
UnitStep[a-x]1,UnitStep[b-x]1}];
W2[x_]=ReplaceAll[W[x],{UnitStep[-a+x]1,UnitStep[-b+x]0,
UnitStep[a-x]0,UnitStep[b-x]1}];
W3[x_]=ReplaceAll[W[x],{UnitStep[-a+x]1,UnitStep[-b+x]1,
UnitStep[a-x]0,UnitStep[b-x]0}];
Можем построить графики прогиба срединной поверхности
30
Графики прогиба
Посмотрим, как меняется график в зависимости от размера штампа:
0.7
Штамп размером 𝑐 = 7ℎ
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1
-0.5
0.5
1
0.01
Штамп размером 𝑐 = 5ℎ
0.008
0.006
0.004
0.002
-1
-0.5
0.5
1
0.004
Штамп размером 𝑐 = 2ℎ
0.003
0.002
0.001
-1
-0.5
0.5
1
31
Возьмем штамп размером 𝑐 = 2ℎ и посмотрим, как будет меняться график в
зависимости от положения штампа:
14
Штамп расположен около
левого края, со стороны
шарнира:
𝑎 = −8 ℎ;
𝑏 = −6 ℎ;
12
10
8
6
4
2
-1
-0.5
0.5
1
0.8
𝑎 = −6 ℎ;
𝑏 = −4 ℎ;
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
0.0008
𝑎 = −3 ℎ;
𝑏 = −1 ℎ
0.0006
0.0004
0.0002
-1
-0.5
0.5
1
32
0.0002
Штамп расположен в центре:
𝑎 = − ℎ;
𝑏 = ℎ;
0.00015
0.0001
0.00005
-1
1
0.5
-0.5
0.001
𝑎 = 1 ℎ;
𝑏 =3ℎ
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
-1
-0.5
0.5
1
0.8
0.6
𝑎 = 4 ℎ;
𝑏 = 6 ℎ;
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
33
Штамп расположен около
правого края, со стороны
защемления:
6
𝑎 = 6 ℎ;
𝑏 = 8 ℎ;
4
2
-1
-0.5
1
0.5
Из графиков видно что, чем больше размер штампа, тем больше прогибается
пластина. При расположении штампа на краях пластины прогиб увеличивается
(по сравнению с центральным положением штампа). При симметричном
расположении штампа на правом или левом крае пластины, со стороны
шарнира прогиб больше в 2 раза.
34
Нормальные напряжения 𝝈𝒙 и 𝝈𝒚
Так как мы рассматриваем одномерное сечение, то в нашем случае будут
только нормальные напряжения 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 , которые можно найти по следующим
формулам:
𝐸𝑧 𝜕 2 𝑊
𝜎𝑥 = −
1 − 𝜇2 𝜕𝑥 2
𝐸𝑧
𝜕2𝑊
𝜎𝑦 = −
𝜇
1 − 𝜇2
𝜕𝑥 2
Нормальными напряжениями 𝜎𝑧 , которые действуют на площадках,
параллельных к срединной плоскости можно пренебречь и принять 𝜎𝑧 = 0.
Такое допущение называется допущением об отсутствии поперечного
давления.
Вычислив производные от прогиба, и подставив их в выражения для
ℎ
напряжений, мы можем построить графики 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = ± , то есть для
2
верхней и нижней поверхности пластины.
35
Графики нормальных напряжений 𝝈𝒙 и 𝝈𝒚
Возьмем штамп размером 𝑐 = 5ℎ и расположим его в центре пластины.
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = (верхняя граница):
2
0.02
0.005
0.01
-1
-0.5
0.0025
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1
-0.0025
-0.01
-0.005
-0.02
-0.0075
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = − (нижняя граница):
2
0.0075
0.02
0.005
0.01
-1
-0.5
0.0025
0.5
1
-1
-0.5
0.5
-0.0025
-0.01
-0.005
-0.02
Возьмем штамп размером 𝑐 = 5ℎ и расположим его около левого края, т.е. со
стороны шарнира (𝑎 = −8 ℎ; 𝑏 = 2 ℎ).
36
1
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = (верхняя граница):
2
3
10
7.5
2
5
1
2.5
-1
-0.5
0.5
-1
1
-0.5
0.5
-2.5
1
-1
-5
-2
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = − (нижняя граница):
2
2
5
1
2.5
-1
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
-2.5
0.5
1
-1
-5
-2
-7.5
-3
-10
Возьмем штамп размером 𝑐 = 5ℎ и расположим его около правого края, т.е. со
стороны защемления (𝑎 = −2 ℎ; 𝑏 = 8 ℎ).
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = (верхняя граница):
2
5
-1
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
-5
-2
-10
-4
-15
-6
-20
37
1
ℎ
Графики напряжений 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 при 𝑧 = − (нижняя граница):
2
6
20
15
4
10
2
5
-1
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1
-5
Посмотрим, как будут меняться графики в зависимости от размера штампа (при
расположении штампа по центру пластины). Будем рассматривать верхнюю
границу:
Штамп размером 𝑐 = 7ℎ:
0.2
0.5
0.1
-1
-0.5
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1
-0.1
-0.5
-0.2
-1
-0.3
-0.4
Штамп размером 𝑐 = 4ℎ:
0.04
0.01
0.02
-1
-0.5
0.005
0.5
1
-1
-0.5
0.5
-0.005
-0.02
-0.01
-0.04
-0.015
-0.06
-0.02
-0.08
-0.025
38
1
Штамп размером 𝑐 = 2ℎ:
0.002
0.0005
0.001
-1
-0.5
0.00025
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1
-0.00025
-0.001
-0.0005
-0.002
-0.00075
-0.003
-0.001
Из графиков видно, что на концах пластины напряжения присутствуют только
со стороны защемления, со стороны шарнира напряжений нет.
При расположении штампа в центре пластины, максимальные напряжения
находятся на концах штампа и на правом краю пластины, со стороны
защемления.
При симметричном расположении штампа на правом или левом краю
пластины, со стороны защемления напряжения больше в 2 раза.
Напряжения также зависят и от размера штампа: чем больше штамп, тем
больше напряжения.
39
Заключение
Итак, мы показали, как могут взаимодействовать между собой пластина и
плоский штамп. Подробно рассмотрели один из методов решения контактных
задач, построив функцию влияния. Реализовали данный метод в виде
программы в системе Mathematica.
Построили графики прогиба срединной поверхности. На графиках видно,
что чем больше размер штампа, тем больше прогибается пластина. При
расположении штампа на краях пластины прогиб увеличивается (по сравнению
с центральным положением штампа). При симметричном расположении
штампа на правом или левом краю пластины, со стороны шарнира прогиб
больше в 2 раза.
Показали, как будут смещаться максимальные напряжения при
изменении размеров и положения плоского штампа. Максимальные
напряжения находятся на краю пластины, со стороны защемления, а также в
точках, близких к краю штампа.
40
Список использованной литературы
1. Яковлев Е. Решение контактных задач теории упругости с помощью
альтернирующего метода Шварца / Е. Яковлев // Технические науки – от
теории к практике.-2013.-№27-1.- С.108 – 114.
2. Солдатенков И.А. Периодическая контактная задача плоской теории
упругости, учет трения, износа и сцепления / И.А.Солдатенков //
Прикладная математика и механика.-2013. –Т.77, №2.- С.337-351.
3. Неустроева Н.В. Контактная задача для упругих тел разных размерностей
/ Н.В.Неустроева // Вестник Новосибирского государственного
университета. Серия: математика, механика, информатика.-2008.-Т8, №4.С.60-75.
4. Александров В.М. Осесимметричная контактная задача для упругого
полупространства и кольцевой накладки / В.М. Александров, В.Ю.
Саматова // Вестник Московского государственного университета.-2010.
–№2.- С.59 - 62.
5. Шишова А.Н. Контактное взаимодействие пластины с жестким штампом
при неизвестной области контакта / А.Н. Шишова, С.А. Кузнецов //
Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук .-2013.– № 71.-С. 25-30.
6. Артюхин Ю.П. Контакт пластин с жестким основанием / Ю.П. Артюхин,
С.А. Малкин // Вестник Ульяновского государственного технического
университета.- 2002. - № 4.– С.29-35.
7. Александров В.М. Контактная задача для прямоугольника со свободными
от напряжений боковыми гранями / В.М. Александров, Н.А. Базаренко //
Прикладная математика и механика. - 2007. – Т.71, №2. - С.340-351.
8. Чебаков М.И. Контактная задача для двойного слоя с учетом сил трения /
М.И. Чебаков // Известия высших учебных заведений. - 2005. - №3. –
С.22-24.
9. Салганик
Р.Л.
Контактная
задача
теории
упругости
для
полуограниченных тел с шероховатой границей при почти полном их
контакте / Р.Л. Салганик, А.Н. Мохель, А.А. Федотов // Вестник
Московского Авиационного Института. - 2007.- Т14, №4. - С.1-16.
10. Ярецкая Н.О. Статическая контактная задача для предварительно
напряженных цилиндрического штампа и слоя, лежащего без трения на
жесткой основе / Н.О.Ярецкая // Вестник Херсонского Национального
Технического Университета. - 2014. - №3. - С.549-553.
41
11. Кравчук А.С. Решение контактных задач с использованием метода
граничных элементов / А.С. Кравчук, П. Нейттаанмяки // Прикладная
математика и механика. - 2007. – Т.71,№2.- С. 329-339
12. Босаков С.В. Плоская контактная задача для полубесконечной пластинки
на упругом основании / С.В. Босаков // Строительная механика и расчет
сооружений.-2015.- №1.-С.2-5
13. Осипенко М.А. Об одном подходе к решению некоторых одномерных
контактных задач / М.А. Осипенко, Ю.И.Няшин // Известия Саратовского
университета.
Новая
серия.
Серия:
Математика.
Механика.
Информатика.- 2011.-Т.11,№1.- С.77-84
14. Ермоленко А.В. Аналитическое решение контактной задачи для жестко
закрепленной пластины и основания / А.В. Ермоленко // В мире научных
открытий.-2011.-№12.- С.11-17
15. Томашевский С.Б. Уточнение решения контактных задач /
С.Б.Томашевский // Мир транспорта.- 2011. –Т.36,№3.- С.26-33
16. Егоров Д.Л. Исследование контактного взаимодействия круглых пластин
со штампами на основе численно-аналитической методики / Д.Л. Егоров,
С.А. Кузнецов // Ученые записки Казанского университета. Серия:
физико-математические науки.- 2010. – Т.152,№4.-С. 127 - 134.
17. Григолюк Э.И.
Контактные задачи теории пластин и оболочек /
Э.И.Григолюк, В.М.Толкачев.-М.:Машиностроение, 1980.- 411 с.
18.Александров В.М. Введение в механику контактных взаимодействий /
В.М. Александров, М.И. Чебаков.- Ростов-на-Дону: ООО "ЦВВР", 2007. –
116 с.
19. Александров В.М. Механика контактных взаимодействий / В.М.
Александров, И.И. Ворович.- М.: «Физматлит», 2001. – 672 с.
20. Галин Л. Развитие теории контактных задач / Л.Галин.- М.:Наука, 1976.
– 494 с.
21. Кузнецов С. А. Влияние формы штампа на распределение контактных
напряжений / С.А. Кузнецов, Д.Л. Егоров // Научная и информационноаналитическая база инновационного предпринимательства: Материалы
IV международного студенческо-аспирантского форума. – Казань:
«Печать-Сервис XXI век», 2011. – С. 354–359.
22. Камке Э.Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
/ Э.Камке.-М.:Наука, 1971. – 589 с.
42