konspektx - Всероссийский фестиваль педагогического

Всероссийский интернет-конкурс педагогического
творчества
(2013/14 учебный год)
Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: среднее
образование
Название работы: Урок по теме «Решение логарифмических
уравнений»
Автор: Яковлева Ольга Валериевна,
учитель математики ГБОУ СОШ №1968
Москва
2013 г.
Тема урока: «Решения логарифмических уравнений»
11 класс.
Тип урока: урок обобщения знаний, систематизация изученного материала.
Цели урока.
1. Рассмотреть различные способы решения логарифмических уравнений.
2. Воспитывать настойчивость в достижении цели, развитие творческих способностей учеников
путем решения уравнений.
3. Определить уровень усвоения знаний учащихся по данной теме. Побуждение учеников к
самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: проектор, справочный материал.
Ход урока.
Организационный момент.
Сегодня мы поговорим о методах решения логарифмических уравнений. Правильно
выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами
методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать любые уравнения
наиболее подходящим методом.
Основным методом решения логарифмических уравнений является сведение их к простейшим.
 .Лекционное изложение повторения материала.
1.Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение log а x = b ( где а > 0, а ≠1).
2.Решение логарифмического уравнения вида log а f(x)=log а g(x) основано на том, что такое
уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)>0, g(x) > 0,
( где а > 0, а ≠1)
3.Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является
необязательной. Можно отбросить посторонние корни и с помощью нахождения области
определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств f(x)>0, g(x) > 0.
где а > 0, а ≠1).
4.При решении логарифмических уравнений часто полезен метод введения новой переменной.
5.При решении логарифмических уравнений, содержащих переменную и в основании, и в
показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе
степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию
этого логарифма.
 (Повторяем методы решения уравнений).
Пример 1. log 5 (x – 4)= 1.
Решение.
log 5 (x – 4)= 1.
По определению логарифма следует x – 4 = 5, x = 9.
Ответ: 9;
Пример 2. log 2 (x 2 + 4x + 3) = 3
Решение. О.Д.З. x 2 + 4x + 3 > 0
По определению логарифма данному уравнению удовлетворяют те значения x , для которых
выполнено равенство
x 2 + 4x + 3 = 2 3 , получаем квадратное уравнение x 2 + 4x - 5 = 0, корни которого 1 и -5.
Следовательно, числа 1 и -5 удовлетворяют область допустимых значений.
Ответ: -5; 1.
Пример 3. log 5 (2x+3) = log 5 (x+1)
Решение.
Это уравнение определено для тех x, при которых выполнены неравенства 2х + 3 > 0 и x + 1> 0
Для этих x уравнение равносильно уравнению 2х+3 = x + 1, из которого находим x = - 2,
Число x = -2 не удовлетворяет неравенству x + 1> 0 . Следовательно, это уравнение не имеет
корней. Это уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения
2х+3 = x + 1, находим x= -2. При неравносильных преобразованиях уравнений найденное
значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. Получаем равенство
log 5 (-1) = log 5 (-1) неверно ( оно не имеет смысла).
Ответ: корней нет.
Пример 4. log x ( x 2 - 2x + 2 ) = 1.
Решение.
Этому уравнению удовлетворяют такие числа x , для которых выполнены условия: где x > 0 и
x ≠1 ( x – основание логарифмической функции) и x 2 - 2x + 2 = x, x 2 - 3x + 2 = 0. Полученное
квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но x = 1 не удовлетворяет область допустимых
значений данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только
число 2.
Ответ: 2.
Пример 5. l g (3x- 4) 2 + l g (2x- 4) 2 = 2.
Решение.
Используя свойство, сумму логарифмов запишем в виде произведения
l g [(3x- 4)  (2x- 4)] 2 = l g100,
корни x 1 = 3; x 2 =
1
.
3
Ответ: x 1 = 3; x 2 =
1
.
3
Пример 6.
(3x- 4) (2x- 4) =  10 , решая уравнение получаем следующие
log 3 log 4 log 5 x = 0
Решение. О.Д.З. x > 0
Запишем данное уравнение в таком виде
log 3 log 4 log 5 x = log 3 1, потенцируя, получаем
log 4 log 5 x = 1,
log 4 log 5 x = log 4 4,
log 5 x = 4,
x=5 4 ,
x = 625
Ответ: x = 625
2
Пример 7. log 5 x - log
5
x–3=0.
Решение. О.Д.З. x > 0.
Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t = log 5 x,
тогда log
5
x=
log 5 x
log 5 5
=
t
 2t.
1
2
Данное уравнение перепишется в виде t 2 - 2 t – 3 = 0. Корни этого уравнения 3 и -1. Решая
уравнения замены log 5 x = 3 и log 5 x =- 1, находим x = 125 и x = 0,2.
Ответ: x = 125, x = 0,2.
Пример 8.
1 log 2 x +
4 log 4 x  2 = 4.
1
log 2 x, то данное уравнение примет вид
2
Решение. Так как log 4 x =
2 log 4 x  2 = 4. Пусть 1 log 2 x = y, y ≥ 0, тогда 1+ log 2 x = y 2 , log 2 x = y 2 - 1
1 log 2 x +
2log 2 x – 2 = 2 y 2 - 4.
Следовательно, уравнение примет вид
y+
2 y 2  4 = 4 или
2 y 2  4 = 4 – у.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение 2 y 2 - 4 = 16 - 8у + y 2 или y
2
+ 8у – 20 = 0, откуда у 1 = -10; у 2 = 2. Корень у 1 = -10 не подходит, так как y ≥ 0.
Если у 2 = 2, то учитывая замену, имеем 1+ log 2 x = 4, log 2 x = 3, откуда x = 8. Легко
убедиться, что x = 8 корень данного уравнения.
Ответ: x = 8
Пример 9.
6
log6 x
+
x
log6 x
= 12.
x log6 x
Решение. О.Д.З. . x > 0. Пусть
= t, где t > 0, тогда прологарифмировав обе части
полученного равенства по основанию 6 , имеем
log 6 x  log 6 x = log 6 t, или log 6 t = = log 6 t.
2
(1)
В этом случае исходное уравнение примет вид
2
6 log6 t + t= 12, или t + t = 12, t = 6, тогда равенство (1) запишется в виде log 6 x = 1, или
x =  1, откуда x 1 = 6; x 2 =
Ответ: x 1 = 6; x 2 =
Пример 10. 15
1
6
1
6
loga ( x 2 8 x15)
=3
loga 15
Решение. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию а получаем
log a ( x 2 - 8x +15 )  log a 15 = log a 15  log a 3;
x 2 - 8x +15 = 3; x 2 - 8x +12 = 0 , откуда x 1 = 6; x 2 = 2.
Ответ: x 1 = 6; x 2 = 2
 . Закрепление материала.
1.log 3 (x+1) + log 3 (x+3) =1 Ответ: 0
log 6
2
2.log x 1 ( x - 9x +8)  log x 1 (x +1)=3 Ответ: нет решений.
 .Самостоятельная работа ( программированный контроль).
вариант.
вариант
Р ешите уравнения:
Р ешите уравнения:
log 5 (x – 7)= 1.
log 3 (x – 8)= 1.
lg (3x 2 + 12x +19) - lg (3x +4) =1
lg (x 2 + 2x -7) - lg (x -1) =0
2
2
log 5 x - log 5 x = 2
1
12
2
- 1;7
log 3 x - 2log 3 x = 3
3
25; 0.2
Таблица ответов.
4
11
5
27;
1
3
Коды ответов: вариант : 312, вариант : 465.
 V. Домашнее задание.
1.Повторить определение логарифма, свойства логарифмов, основное
логарифмическое тождество.
2. Решить следующие уравнения:
log 22 x - log 2 x = 2 = 6
log 5 ( x 2 + 8) - log 5 ( x + 1) =3 log 5 2
log 4 (2  4 x2 - 1) = 2x – 4
6
2