Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств
Определение:
Логарифмическими
называются
неравенства,
которые содержат переменную под знаком логарифма или в его
основании.
При решении логарифмических неравенств нахождение области
определения исходного неравенства не является обязательным, а часто даже
нецелесообразным, поскольку условия, задающие область определения
неравенства, обычно подключают к тому неравенству, которое является
следствием заданного логарифмического неравенства. Рассмотрим основные
методы решения логарифмических неравенств:
По определения логарифма
Простейшие логарифмические неравенства записывается следующим
образом: log a f ( x)  b ( log a f ( x)  b ).
Их можно решать следующими способами:
1) log a f ( x)  log a a b ( log a f ( x)  log a a b ).
Теперь делаем выводы:
1. Если a>1, то f(x)> a b , решаем это неравенство.
2. Если 0<a<1, то f(x)< a b , решаем это неравенство.
Аналогично поступаем при решении неравенства log a f ( x)  b .
При выписывании ответа не забываем, что a>0, а  1и f(x)>0 (!).
2) Схема сравнения логарифмических неравенств.
logа x > b
0<a<1
0 < x < ab
logа x < b
a>1
Рис 1.
x > ab
0<a<1
x > ab
a>1
Рис 2.
0 < x < ab
Задания.
1) Решить неравенство: log 3 x  2 .
Решение: Данное неравенство решим по второму способу.
3>1  x> 3 2  x>9.
Ответ: x (9;) .
2) Решить неравенство: log 0,5 x  2 .
1
2
Решение: Число 0,5 = . Данное неравенство решим по второму способу.
0
1
1
 1  0  x  ( )  2 , т.е. 0<x<4.
2
2
Ответ: x (0;4) .
3) Решить неравенство: log 0.7 x  1.
Решение: Данное неравенство решим по второму способу 0<0,7<1  x  (0,7)1
, т.е. x>0,7.
Ответ: x (0,7;) .
4) Решить неравенство: log 2,5 x  2 .
Решение: Данное неравенство решим по второму способу
2,5>1  0  x  (2,5) 2 , т.е. 0<x<6,25 или 0<x<
25
.
4
Ответ: x  (0;
25
).
4
5) Решить неравенство: log 4 ( x  2)  2 .
Решение: Данное неравенство решим по первому способу: log 4 ( x  2)  2
 log 4 ( x  2)  log 4 16
4>1  0  x  2  16 , т.е. 2<x<18
Ответ: x  (2;18) .
6) Решить неравенство: log 5 (3x  1)  2 .
Решение: Данное неравенство решим по второму способу
5  1  3x  1  5 2 , т.е. x>8.
Ответ: x  (8;) .
7) log 1 (3  2 x)  1 .
3
Решение:
0
Данное
неравенство
решим
по
второму
способу
1
3
3
3
 1  0  3  2 x  3   x  0 , т.е. получаем 0  x  .Ответ: x  (0; ) .
3
2
2
2
Большинство неравенств я, решала по второму способу, потому что
считаю, что этот способ легче и понятнее.
Метод потенцирования
Суть метода в следующем: с помощью формул неравенство привести к
виду log a f ( x)  log a g ( x) .
Решение неравенств вида log a f ( x)  log a g ( x) основано на том, что
функция y  log a x (a>0, а  1и x>0) является убывающей при 0<a<1 и
возрастающей при a>1.
Таким образом, справедливы следующие утверждения:
 f ( x)  g ( x),

1) log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0,
 g ( x)  0;

при a>1.
 f ( x)  g ( x),

2) log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0,
 g ( x)  0;

при 0<a<1.
Решение нестрогих неравенств отличается от решения соответствующих
строгих неравенств включением во множество всех решений множества
корней соответствующих уравнений.
Задания.
1) Решить неравенство: log 0,3 (2 x  4)  log 0,3 ( x  1) .
Решение: Так как 0<0,3<1, то решаем неравенство по второй системе:
2 x  4  x  1,  x  5,


log 0,3 (2 x  4)  log 0,3 ( x  1)  2 x  4  0,   x  2,  2  x  5 .
 x  1  0;
 x  1;


-1
2
5
Ответ: x  (2;5) .
2) Решить неравенство: log 0,5 (4 x  7)  log 0,5 ( x  2) .
Решение: Так как 0  0,5  1 , то решаем данное неравенство по аналогии
второй системы, только знак первого неравенства системы меняем.
4 x  7  x  2,

log 0,5 (4 x  7)  log 0,5 ( x  2)  4 x  7  0,
 x  (3;) .
 x  2  0;

Ответ: x  (3;) .
3) Решить неравенство: lg( 3x  7)  lg( x  1) .
Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10>1,то данное
неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого
неравенства системы меняем на противоположный.
 x  4,
3 x  7  x  1, 
7
7


lg( 3 x  7)  lg( x  1)  3 x  7  0,
  x  ,  x  ( ;4] .
3
3
 x  1  0;


 x  1;
7/3
4
7
3
Ответ: x  ( ;4] .
Покажем, как используются логарифмические неравенства для
решения задач на нахождение области определения функции или множества
значений данной функции.
Для нахождения области определения логарифмической функции
y  log a f ( x)
необходимо
выполняется условие
найти
множество
значений
при
которых
f ( x)  0 . Решение заданий с дополнительными
требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена»,
«при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам:
I этап – находят все значения х, при которых f ( x)  0 ;
II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка
согласно дополнительному требованию.
4) Укажите длину промежутка области определения функции:
y  log 0,5 ( x  1) .
Решение:
а) Найдем значения х, при которых x  1  0 , x  (1;) .
б) Найдем область определения функции: log 0,5 ( x  1)  0 .
Перепишем полученное неравенство так: log 0,5 ( x  1)  log 0,5 1 .
Так как основание логарифма 0  0,5  1, то решаем по системе 2).
x  1  1  x  2  x   ;2
в) Пересекая полученные промежутки, получаем x  1;2 .
Таким образом, длина промежутка области определения данной
функции равна 1.
Ответ: 1.
При нахождении области значений функции y  log a f ( x) необходимо,
прежде всего, найти множество значений функции
f (x) , а затем на
основании свойства логарифмической функции y  log a t указать область
значений y  log a f ( x) . Если в задании есть дополнительные требования, то
решение будет состоять из трех этапов:
I этап – находим область значений f (x) ;
II этап – находим область значений y  log a f ( x) ;
III этап – выполняем дополнительные требования.
5) Указать наименьшее значение функции: y  log 2 ( x 2  4 x  12) .
Решение:
а) Определим множество значений функции: x 2  4 x  12  0 . Выделив
полный квадрат, получим:
x 2  2  2  x  4  8  0  ( x  2)  8  0 .
2
Так как ( x  2) 2  0 для всех действительных х, то x 2  4 x  12  8 .
б) Таким образом, поскольку x 2  4 x  12  8 , а log 2 t - возрастающая
функция, то log 2 ( x 2  4 x  12)  log 2 8  log 2 ( x 2  4 x  12)  3 .
в) Область значений функции представляет собой луч 3;  .
г) Наименьшее значение на этом луче равно 3.
Ответ: 3.
6) Решить неравенство: log 2 ( x 2  1)  0 .
Решение:
Для наглядности решения построим график функции log 2 t .
t
1
4
1
2
y -2 -1
1
0
2
1
4
2
8
3
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при
t  1.
Далее, учитывая область определения функции y  log 2 t , получим:
2

 x  1  0,
 x 2  0  x  (;0)  (0;) .
 2

 x  1  1;
Ответ: x  (;0)  (0;) .
Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты
которых задаются неравенствами с использованием логарифмических
функций.
7) Изобразить на плоскости (х;у) множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству log ( x  y ) ( x  y)  1.
Решение: Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
  y  x,
 0  x  y  1,
 
 y  x  1,
 

1
)
x

y

0
,
1
)
 
  y   x;

  x  y  x  1;  
.

y

0

 
  x  y  1,
  y  x  11,
2) x  y  x  y;
2)
 
  y  0;
Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2), (рис 1 – 2) .
Рис 1.
Рис 2.
Ответ: Рис 3.
Рис 3
При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько
различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти
область определения исходного выражения, и лишь затем совершать
преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или
расширяться.
8) Решить неравенство: ( x 2  4 x  3  1) log 5
x 1
 ( 8 x  2 x 2  6  1)  0 .
5 x
Решение: Ключевым моментом в решении данного неравенства является
поиск его области определения.
 x 2  4 x  3  0,
 x  0,
 x  1; x  3,
 x  3,



  x  0,
  x  1,  
 x  0,
x  1

1  x  3;
 x  3;
2

8 x  2 x  6  0; 
Выяснили, что область определения неравенства состоит только из двух
точек.
Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют
неравенству.
При x  1логарифмическое неравенство принимает вид:
1
log 5  1  0  0 - истинно.
5
При
x3
логарифмическое
неравенство
принимает
вид:
1
log 5

3
3
1
3 1
3
1
- ложно.
  0  log 5      5 3   3
5 3
5
3
5
5
5
Ответ: x  1.
9) Решить неравенство: log 2 ( x  2)  x  1 .
Решение: Функция f ( x)  log 2 ( x  2)  x монотонно возрастает при x  2 ,
как сумма двух монотонно возрастающих функций, кроме того f (0)  1 .
Поэтому f ( x)  1  x  0 .
Ответ: x  (0;) .
Метод подстановки
Ищем в неравенстве некоторое повторяющееся выражение, которое
обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В
некоторых случаях, очевидно что удобно обозначить.
Задания.
1) Решить неравенство: log 02,5 x  log 0,5 x  2  0 .
Решение: Сразу отметим, что x>0 .
t  2,
t  1.
Заменяем log 0,5 x  t . Тогда имеем t 2  t  2  0 , (t+2)(t-1)  0 , т.е. 
.
Так как log 0,5 x  t и 0  0,5  1 , то имеем:
log 0,5 x  log 0,5 0,5  2 ,  x  4,
log 0,5 x  2,



1
log 0,5 x  log 0,5 0,5;
log 0,5 x  1;
 x  2
1
2
С учетом ОДЗ (x>0), получаем [ ;4] .
1
2
Ответ: x  [ ;4] .
2) Решить неравенство: lg 2 x  2 lg x  3 .
Решение: Заменяем lg x = t . Тогда получим: t 2  2t  3  0  (t  3)(t  1)  0 .
+
-
+
-3
t  3,
t  1; 

1
1

x
,
lg x  3,

1000
lg x  1;  

 x  10.
С учетом ОДЗ (x>0), получаем (0;
1
)  (10;) .
1000
Ответ: (0;
1
)  (10;) .
1000
3) Решить неравенство: 25log x  x log x  30 .
2
5
5
Решение: Заменяем log 5 x  t , x  5t .
Тогда x log x  (5t ) t  5t ;25log x  (52 ) t  (5t ) 2 .
2
5
2
5
2
2
Введем новое обозначение: 5t  y, y  1 , так как t 2  0 , значит 5t  1 .
2
2
В итоге имеем: y 2  y  30  0  ( y  5)( y  6)  0 .
+
-
+
-6
5
y  [6;5] .
Так как y  1 , то y  [1;5] .
y  5t , значит 1  5t  5, 0  t 2  1, 0  t  1, 1  t  1.
2
2
Далее учитывая равенство log 5 x  t , получим  1  log 5 x  1; 0,2  x  5 .
Ответ: x  [0,2;5] .
Обычно
замену
(подстановку)
производят
преобразований данного неравенства.
4) Решить неравенство: 2 log 3 log 3 x  log 1 log 3 (93 x )  1.
3
Решение: Неравенство равносильно системе:
после
некоторых
 x  0,
 x  1,
x

0
,

 x  1,

log x  0,

3
9 x  1,
 3
log 32 x





 3.
3
log 3 (9 x )  0,

 2  1 log x
log 32 x
3
 log 3 3; 
2 log log x  log log (93 x )  1; log 3
3

1
3
3
3
3


2  log 3 x
3

Заменяем log 3 x  t >0, получим неравенство:
t2
2
t
3
 3  t 3  6  t  t 2  t  6  0  (t  2)(t  3)  0 .
+
-
+
-2
t   ;2  3; .
3
Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные
значения:
 x  1,
 x  1,

 x  27 .

log 3 x  3;  x  27;
Ответ: x  (27;) .
5) Решить неравенство: x 2log
2
2
x  log2 x 2

1
.
x
Решение: Отметим, что x>0. Неравенство запишем в виде:
x 2log2 x log2 x  x 1 .
2
2
1. Если 0  x  1 , то
2  log 22 x  2 log 2 x  1  log 22 x  2 log 2 x  3  0 .
Заменяем log 2 x  t . Тогда имеем t 2  2t  3  0  (t  3)(t  1)  0 .
+
-3
+
1
Так как log 2 x  t , то имеем:
 x  2,
log 2 x  1,

1
log x  3;  
x .
 2
8

0
1
1
8
2
В первом случае получили: x  (0;
1
).
8
2. Если x>1, то 2  log 22 x  2 log 2 x  1.
Заменяем log 2 x  t .
Тогда имеем: t 2  2t  3  0  (t  3)(t  1)  0 .
+
-3
+
1
 x  2,
log 2 x  1

Так как log 2 x  t , то 

1
log
x


3
;
 2
 x  8.
1
1
8
2
Во втором случае получили: x  (1;2).
Ответ: x  (0;
1
)  (1;2) .
8
Метод приведения к одному основанию
Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует
перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с
методом подстановки.
Задания.
1) Решить неравенство: log 4 (3 x  1)  log 1
4
3x  1 3
 .
16
4
Решение: Обозначим 3 x 1  y , тогда данное неравенство примет вид:
y 3
 .
16
4
4
log 4 y  log 1
Приведем логарифмы к одному основанию:
log 4 y (2  log 4 y ) 
3
3
 2 log 4 y  log 24 y  .
4
4
Заменяем log 4 y  t .
3
4
3
2
1
2
Тогда имеем t 2  2t   0  (t  )(t  )  0 .
+
1
2
+
3
2
1
3
t  (; ]  [ ;) .
2
2
1. Так как t  log 4 y , то имеем log 4 y 
1
 log 4 y  log 4 2 ,
2
Поскольку основание логарифма больше 1, то данное неравенство
равносильно системе двух неравенств:
 y  0,
 0  y  2.

 y  2;
3
2
 y  0,
 y  8.
 y  8;
2. log 4 y   log 4 y  log 4 8  
Так как y  3 x  1 , то имеем совокупность двух показательных неравенств:
0  3 x  1  2,
1  3 x  3,
0  x  1,


 x
 x
 x  2.
3  1  8;
3  9;
Ответ: x  (0;1]  [2;) .
2) Решить неравенство: log 5 3x  4  log x 5  1.
Решение:
 x  0,
 x  1.
ОДЗ: 
Приведем логарифмы к одному основанию:
log 5 3 x  4
 1.
log 5 x
Домножим обе части неравенства на log 5 x  0  x  1 .
Рассмотрим два случая: 1) log 5 x  0, 2) log 5 x  0.
Решим первый случай, когда log 5 x  0  x  1 .
log 5 3x  4  log 5 x (*) (Знак неравенства не меняется, т.к. log 5 x  0 ).
Основание логарифма больше 1, значит неравенство (*) равносильно системе
неравенств:
 x  1,
 x  1,


 3x  4  x; ( x  1)( x  4)  0.
+
-
+
-1
x  (1;4) .
4
-1
1
4
x  (1;4) .
В первом случае получаем: x  (1;4) .
Теперь рассмотрим второй случай, когда log 5 x  0
log 5 3x  4  log 5 x (**) (Знак неравенства изменился на противоположный).
Неравенство (**) равносильно системе неравенств
 x  0,
0  x  1,


 x  1,
( x  1)( x  4)  0.

 3x  4  x;
-1
0
1
4
Как мы видим решение второго случая  .
Во втором случае получили: x   .
Ответ: x  (1;4) .
3) Решить неравенство:
1
 log 9 x  log 3 5 x  log 1 ( x  3) .
2
3
Решение:
 x  3  0,
 x  0.
 x  0;
ОДЗ: 
Все слагаемые приведем к одному основанию:
1
log 9 9 2  log 9 x  log 9 25 x 2   log 9 ( x  3) 2 
log 9 3  log 9 x  log 9 25 x 2  log 9 ( x  3) 2  0 .
Воспользуемся свойствами логарифма и получим:
log 9
3x( x  3) 2
3x( x  3) 2

log
1
 1.
,
т.к.
,
то
9

1
9
25 x 2
25 x 2
3x 2  7 x  27
 0 , 3x 2  7 x  27  0  D<0, числитель дроби всегда >0, значит и
25 x
знаменатель должен быть >0.
Ответ: x  (0;) .
4) Решить неравенство: 0,4log
2
2
x 1
 6,252log2 x .
3
Решение:
Приведем обе части неравенства к одному основанию
2
 
5
log22 x 1
2
 
5
2 log2 x 3  4
.
2
5
Так как основание степени 0   1 , то имеем:
log 22 x  1  2 log 2 x 3  4 .
Функция f ( x)  log 2 x определена при x  0.
Заменяем log 2 x  t .
Тогда имеем: t 2  6t  5  0  (t  5)(t  1)  0 .
+
1
+
t  (;1)  (5;) .
5
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
log 2 x  1,
log 2 x  log 2 2,
log x  5;  log x  log 32.
2
 2
 2
Так как основание логарифма больше 1, то:
 x  0,

 x  2,  0  x  2,
 x  32.
 x  0,


 x  32;
Ответ: x  (0;2)  (32;) .
Метод логарифмирования
При решении неравенств вида
f ( x)  ( x )  g ( x) h ( x )
обычно следуют
следующей схеме:
1. Находят ОДЗ неравенства, исходя из того, что на ОДЗ функции f(x) и
g(x) определены и положительны.
2.
Логарифмируют
равносильным
ему
неравенство,
на
ОДЗ
при
т.е.
a
заменяют
>
a 1
0,
неравенство
неравенством
 ( x) log a f ( x)  h( x) log a g ( x) .
3. Решают полученное неравенство. Его решения и будут решениями
исходного неравенства.
Задания.
2
0,5
1) Решить неравенство: 2 log
Решение: Заметим, что 2
log02 , 5
x
x
2
log0 , 5 x
log21 x
2
2
0,5
Пусть x log x  y, y  0 . Так как 2 log
2
x
В итоге получим неравенство: y 
 2,5 .
2
log2
( 2 ) 1
x
 2 log2 x  (2 log2 x ) log2 x  x log2 x .
2
 x log2 x  y , то x
log
( 2 ) 1
x
 x log2 x 
1
x
log2 x

1
.
y
1 5
 .
y 2
1

y

,
5
Домножим обе части неравенства на y  0 . Получим: y  y  1  0   2

2
 y  2;
2
 log2 x 1
x
 ,

2
 log x
2
 2.
 x
Теперь прологарифмируем полученные неравенства.
log 2 x log 2 x   log 2 2,
log x log x  log 2; 
2
2
 2
log 22 x  1,
 2
log 2 x  1.
Первое неравенство невозможно, т.к. квадрат числа не может быть
отрицательным.
Поэтому решаем второе неравенство:

1
 x  2 ,

1
1


0 x ,
log 2 x  1, log 2 x  log 2 ,  x  0;
2




log 2 x  1  
2  
2



log 2 x  1;
 x  2.
log 2 x  log 2 2;
 x  2,
 x  0;
0
½
2
1
2
Ответ: x  (0; )  (2;) .
2) Решить неравенство: 9 log x  2 x log 9  3x 2 log 3 .
6
6
x
Решение: По формуле a log b  b log a : 9 log x = x log 9 .
c
c
6
6
Тогда имеем: x log 9 + 2 x log 9  3x 2 log 3  3x log 9  3x 2 log 3  x log 9  x 2 log 3 .
6
6
x
6
x
6
x
Теперь логарифмируем по основанию х полученные неравенства:
log x x log6 9  log x x 2 logx 3  log 6 9  2 log x 3 .
Воспользуемся формулой перехода к логарифму по основанию 6.
log 6 9  2
log 6 3
(*), обе части умножим на log 6 x  0 .
log 6 x
(*) в левой части неравенства стоит число >0, значит и правая часть должен
быть >0, т.к. log 6 3  0 , то и log 6 x  0 ( x  1;) .
log 6 x log 6 9  2 log 6 3  log 6 x log 6 9  log 6 9  log 6 x  1  x  6 .
Учитывая ОДЗ ( x  0) и ограничение x  1; , получаем x  (1;6) .
Ответ: x  (1;6) .
3) Решить неравенство: x 0,5 log
0,5
x 3
 0,5
3 2 , 5 log0 , 5 x
.
Решение: ОДЗ: x  0 .
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 0,5.
log 0 ,5 x
0,5 log0 , 5 x 3
 log 0 ,5 0,5
3 2 , 5 log0 , 5 x
 (0,5 log 0,5 x  3) log 0,5 x  3  2,5 log 0,5 x 
0,5 log 02,5 x  0,5 log 0,5 x  3  0 .
Заменяем log 0,5 x =t. Тогда имеем: 0,5t 2  0,5t  3  0  (t  3)(t  2)  0 .
+
-2
+
3
t  2,
t  3.

Поскольку log 0,5 x =t, то получаем:
x  4,
 log 0,5 x  2, 


x  1 .
log 0,5 x  3;
8

Учитывая ОДЗ ( x  0) , получаем x   ;4 .
8 
1
Ответ: x   ;4 .
8 
1
Рассмотрим несколько более сложных примеров, в которых x участвует и в
основании и в подлогарифмическом выражении.
3
4) Решить неравенство: log x (2 x  )  2 .
4
Решение:
Согласно способу (II) (схема сравнения логарифмических неравенств),
заменим данное неравенство равносильной совокупностью:
 0  x  1,
 0  x  1,

1)
1)

3
2
 1  x  3 ;
 2x   x

2
  2
4
 
1


 2  x  1,
 
 
   x  1,

  x  1,
x  3 ;
 
 
3
3

2
2) x  ,
2)2 x   0,
4
8
 
 
3
1
3
 
 
2
2
x


x
;
x

;
x



 
 
4
2
2
1
2
3
2
Ответ: x  ( ;1)  ( ;) .
5) Решить неравенство: log x1 0,5  0,5 .
Решение:
Так как log x1 0,5  0 , то 0  x 1  1 , то
данное неравенство равносильно системе:
 x  1,

 1  x  1  1,

log x 1 0,5  log

x 1
x 1
0 ,. 5
 x  1,

 0  x  2,

0,5  x  1 .
0  x  1,
Так как x  1, то 
0,25  x  1.
Это утверждение можно переписать так:
0  x  1,
0  x  1,


0,25  1  x,   x  0,75,  0  x  0,75,
1  x  2,
1  x  2, 1,25  x  2.


0,25  x  1;  x  1,25;
0
0,75
1,25
2
Ответ: x  0;0,75  1,25;2.
6) Решить неравенство: log 1 log 2 log x 1 9  0 .
2
Решение:
Неравенство имеет смысл, если log x1 9  0 , где х-1>0, то есть x>1 и x  2 (*).
Из данного неравенства следует:
0  log 2 log x1 9  1  1  log x1 9  2  x  1  9  x  1 .
2
Решаем систему:
 x  1  9,
 x  1  9,

  x  1  3, (**)

2
x  1  9;
 x  1  3.

 x  10,
 4  x  10 - это удовлетворяет условию (*).
x  1  3
Так как x>1, то (**)  
Ответ: x  4;10.
Решение логарифмических неравенств с параметрами
Задания.
1) Найти все значения а, при каждом из которых неравенство log a ( x 2  4)  1
выполняется для всех х.
Решение:
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
 0  a  1,
1) 2
  x  4  a;
 Система 1) не может выполняться ни при одном х (так
 a  1,

2)
  x 2  4  a.
как: x 2  4  4 ), поэтому данную x 2  4  4 совокупность можно переписать так:
1),

2)a  1,
  x 2  a  4.
 
Следовательно полученная совокупность равносильна системе:
a  1,

a  4,
 x  R.

Ответ: a  (1;4) .
2) Решить неравенство


log a 35  x 3
 3 при а>1.
log a 5  x 
Решение:
Здесь должны быть выполнены условия:
 x  3 35 ,
35  x 3  0,


  x  5,  x  3 35.
5  x  0,
log 5  x   0; 5  x  1;
 a

Так
как
3< 3 35  4 ,
то
5-x>1.
Теперь
воспользуемся
log b x
и в левой части данного неравенства
log a x 
log b a

формулой


log a 35  x 3
получим:
=
log a 5  x 

log 5 x 35  x 3 .
Таким образом, нужно решить неравенство: log 5 x 35  x 3   3 при условии
5-х>1, т.е. x<4.


log 5 x 35  x 3  log 5 x 5  x  35  x 3  (5  x) 3  ( x  2)( x  3)  0 .
3
+
-
+
x  (2;3) .
2
3
2
3
3
35
Ответ: x  (2;3) .
3) Решить неравенство: x log
a
x4
 a 4 x , (0<a<1).
Решение: ОДЗ: x  0 .
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию а.
(log a x  4) log a x  log a a 4 x  log 2a x  4 log a x  log a a 4  log a x 
log 2a x  3 log a x  4  0 .
Заменяем log a x  t . Тогда имеем: t 2  3t  4  0  (t  1)(t  4)  0 .
+
-4
+
1
 4  t 1
Так как log a x  t , то имеем:
1

log a x  4, log a x  log a 4 ,

a

log a x  1;
log a x  log a a.
Так
как
по
условии
0<a<1,
то
знак
неравенств
меняется
на
противоположный.
1

1
x  4
a , Поскольку 0<a<1, то 0<a< 4 .

a
 x  a.

0
a
1
a4
Ответ: x  (a;
1
).
a4