Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 1. Алгебра и начала анализа 10-11 под редакцией А.Н.Колмогорова 2. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 под редакцией Е.П.Ершова 3. Алгебраический тренажер, авторы А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский Пояснительная записка для родителей. 1. Для освоения этой темы ваш ребенок должен хорошо знать определения и свойства логарифма числа. 2. Разобрать параграф 10 пункт 37 учебника и выполнить следующие номера №477; 479; 481; 483; 485; 488; 489; 492; 495; 496. 3. Изучить определение и свойства логарифмической функции (параграф 10, п. 38), разобрать предложенные задания учебника и выполнить следующие номера №499; 500; 502; 505; 506. И только потом приступать к решению логарифмических уравнений и неравенств от простых к более сложным. 4. Разобрать все предложенные задания к параграфу 10, п.39 и выполнить номера №513; 514; 515; 518; 519; 522; 523; 516; 517; 525528. Пояснительная записка для учащихся. 1. Знать определения логарифма числа 2. Знать основные свойства логарифма числа и уметь применять эти свойства при преобразовании логарифмических выражений. 3. Знать определение и свойства логарифмической функции. 4. Решать алгебраические, тригонометрические, показательные уравнения и неравенства, методы, решения которых изучались ранее в программе 6 – 10 классов. Теоретический материал. Логарифмическая функция. Пусть а — положительное число, не равное 1. Определение. Функцию, заданную формулой (1) y =logax, называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а. 2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство loga(ay) = y (2) т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1). Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение). Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1. Допустим противное, т. е. что loga x2≤loga x1 (3) Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: aloga x2≤aloga x1. (4) Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤ x1. Это противоречит допущению x2 > x1. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1. Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные. Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1. Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,6). Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2). Логарифмические уравнения. Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях. Пример 1. а) уравнение log 3 (𝑥 2 + 2𝑥) + 2 log 5 (𝑥 3 + 1) = 7 – логарифмическое. б) уравнение log 3 (𝑥 2 + 2𝑥) + 𝑥 log 5 (𝑥 3 + 1) = 7 – не является логарифмическим. Так как логарифмическая функция log 𝑎 𝑥 монотонна и ее область значений (−∞; +∞), то простейшее логарифмическое уравнение log 𝑎 𝑥 = 𝑏 имеет единственный корень. Именно к виду 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 надо приводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными уравнениями. 1. Простейшие уравнения. 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝟐𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏)= − 𝟗 𝟏 𝟐 log 2 1 (2𝑥 Решение 1 − 2𝑥 − 1) = − 9 Пояснения По определению логарифма получаем уравнение Получаем квадратное уравнение 2 1 1 −2 2 2𝑥 − 2𝑥 − 1 = ( ) 9 2𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 3 𝑥 2 − 𝑥-2=0 𝑥1 = −1 и 𝑥2 = 2 Преобразуем его Корнями этого уравнения являются Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения. Ответ: -1; 2. 𝟏 2. 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓 ( 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝒙)) = − 𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 Решение: Используя определение логарифма, получаем: 1 1 log 3 (2 − log 1 𝑥) = 25−2 5 2 1 1 log 3 (2 − log 1 𝑥) = 5 5 2 log 3 (2 − log 1 𝑥) = 1 2 Вновь используем определение логарифма. Имеем: 2 − log 1 𝑥 = 31 2 2 − log 1 𝑥 = 3 2 log 1 𝑥 = −1 2 Еще раз, применяя определение логарифма, находим 1 −1 𝑥=( ) 2 𝑥 = 2. Ответ: 2. Особенностью логарифмических уравнений (в отличие от показательных) является появление посторонних решений. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. 3. 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟒𝒙 − 𝟕) Решение: ОДЗ данного уравнения задается неравенствами 2 {𝑥 − 4 > 0 4𝑥 − 7 > 0 Решая эту систему неравенств, получаем: 𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (2; ∞) { , откуда 7 𝑥 ∈ ( ; ∞) 4 𝑥 ∈ (2; ∞) Так как в данном уравнении равны логарифмы двух величин, то равны и сами величины. Получим квадратное уравнение: 𝑥 2 − 4 = 4𝑥 − 7 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0. Очевидно, что ОДЗ этого уравнения 𝑥 ∈ (−∞; ∞) Т.е. произошло расширение ОДЗ по сравнению с первоначальным уравнением. Корни квадратного уравнения: 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 3 Однако в ОДЗ исходного уравнения попадает только число X=3, Которое и является его решением. (Корень x=1 является посторонним и возник при расширении ОДЗ). Ответ: 3. Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов. 4. 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝒙 − 𝟐) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝟖 𝟗 )=𝟐 Решение: ОДЗ уравнения определяется условиями 𝑥−2>0 28 { 2 𝑥 − 4𝑥 + >0 9 Решая эту систему неравенств имеем 𝑥 ∈ (2; ∞) Сведем данное уравнение к простейшему. 28 log 3 (𝑥 − 2)2 − log 3 (𝑥 2 − 4𝑥 + ) = 2 9 (𝑥 − 2)2 log 3 =2 28 2 𝑥 − 4𝑥 + 9 2 (𝑥 − 2) = 32 28 𝑥 2 − 4𝑥 + 9 2 (𝑥 − 2) =9 28 2 𝑥 − 4𝑥 + 9 2 𝑥 − 4𝑥 + 3 = 0 Корни этого квадратного уравнения: 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 3 В ОДЗ данного уравнения входит только решение X=3. Ответ: 3. 𝟏 5. 𝐥𝐨𝐠 𝟔 √𝒙 − 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟔 (𝒙 − 𝟏𝟏) = 𝟏 𝟐 Решение: ОДЗ уравнения задается условиями 𝑥−2>0 откуда { 𝑥 − 11 > 0 𝑥 ∈ (11; ∞) Запишем уравнение в виде: 1 1 log 6 (𝑥 − 2) + log 6 (𝑥 − 11) = 1 2 2 (𝑥 log 6 − 2) + log 6 (𝑥 − 11) = 2 log 6 (𝑥 2 − 13𝑥 + 22) = 2 По определению логарифма получаем квадратное уравнение: 𝑥 2 − 13𝑥 + 22 = 36 𝑥 2 − 13𝑥 − 14 = 0 Корни этого уравнения: 𝑥1 = 14 и 𝑥2 = −1 𝑥2 = −1 не входит в ОДЗ Ответ: 14. Одним из распространенных преобразований является переход к новому основанию в логарифмах. 6. 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝒙 = 𝟓, 𝟓 Решение: В логарифмах перейдем к новому основанию: log 2 𝑥 log 2 𝑥 + = 5,5 log 2 4 log 2 8 1 1 log 2 𝑥 + log 2 𝑥 + log 2 𝑥 = 5,5 2 3 Чтобы избавиться от дробных множителей, умножим все члены уравнения на число 6: 6 log 2 𝑥 + 3 log 2 𝑥 + 2 log 2 𝑥 = 33 11 log 2 𝑥 = 33 log 2 𝑥 = 3 𝑥 = 23 𝑥=8 Ответ: 8. log 2 𝑥 + 7. log 2 𝑥 + log 5 𝑥 = 1 𝑙𝑔5 Перейдем в логарифмах к основанию 5 и получим: log5 𝑥 log5 2 + log 5 𝑥=log 5 10 log 5 𝑥 ∙ (1 + log 5 2) = log 5 10 ∙ log 5 2 log 5 𝑥 ∙ (log 5 5 + log 5 2) = log 5 10 ∙ log 5 2 log 5 𝑥 ∙ log 5 10 = log 5 10 ∙ log 5 2 Так как log 5 10 ≠ 0, то, разделив обе части уравнения на эту величину, имеем: log 5 𝑥 = log 5 2, откуда 𝑥=2 Ответ: 2. Уравнения, решаемые разложением на множители. 8. √𝒙 − 𝟏 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓) + 𝟐 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓) + 𝟐√𝒙 − 𝟏 Решение: Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и разложим эту часть на множители. Получаем: √𝑥 − 1 ∙ log 2 (3𝑥 2 − 5) + 2 − log 2 (3𝑥 2 − 5) − 2√𝑥 − 1 = 0 (√𝑥 − 1 ∙ log 2 (3𝑥 2 − 5) − log 2 (3𝑥 2 − 5)) + (2 − 2√𝑥 − 1) = 0 log 2 (3𝑥 2 − 5) ∙ (√𝑥 − 1 − 1) − 2(√𝑥 − 1 − 1) = 0 (log 2 (3𝑥 2 − 5) − 2) ∙ (√𝑥 − 1 − 1) = 0 Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные множители имеют смысл. log (3𝑥 2 − 5) − 2 = 0 √𝑥 − 1 − 1 = 0 { 2 𝑥−1≥0 log 2 (3𝑥 2 − 5) = 2 √𝑥 − 1 = 1 { 𝑥≥1 2 𝑥−1=1 {3𝑥 − 5 = 4 𝑥≥1 2 𝑥 = 2, {𝑥 = 3 𝑥≥1 для этого значения x первый множитель определен. 𝑥1 = √3 {𝑥 = −√3(не подходит) 2 𝑥≥1 𝑥 = √3 Ответ: √3 ; 2. Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной. Этот способ широко используется при решении любых типов уравнений. 9. 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏) + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟐 = 𝟎 Решение: Сделаем замену 𝑦 = log 2 (2𝑥 − 1). Тогда получаем квадратное уравнение 𝑦2 + 𝑦 − 2 = 0 Заметим, что ОДЗ исходного уравнения устанавливать нет необходимости, так как если уравнение 𝑦 2 + 𝑦 − 2 = 0 имеет решения (его корни 𝑦1 = −2, 𝑦2 = 1), то это означает, что log 2 (2𝑥 − 1) существует, т.е. 2𝑥 − 1 > 0. Таким образом, приходим к совокупности уравнений log 2 (2𝑥 − 1) = −2 log 2 (2𝑥 − 1) = 1 2𝑥 − 1 = 2−2 2𝑥 − 1 = 21 2𝑥 − 1 = 1 4 2𝑥 − 1 = 2 Отсюда 𝑥= 𝑥= 5 8 3 2 5 3 Ответ: ; 8 2 10. √𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟎𝟒 (𝒙 − 𝟏) + 𝟏 + √𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟑 = 𝟏 Решение: Установить ОДЗ этого уравнения достаточно трудно, так как пришлось бы решать логарифмические неравенства, поэтому отметим пока, что x>1. Перейдем в первом логарифме к основанию 0,2: log 0,2 (x − 1) 1 log 0,04 (x − 1) = = log 0,2 (x − 1) log 0,2 0,04 2 Введем замену 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟐 (𝒙 − 𝟏) Тогда уравнение имеет вид: 𝑦 √ + 1 + √𝑦 + 3 = 1 2 Определим ОДЗ этого уравнения из условий 𝑦 +1≥0 {2 𝑦+3≥0 𝑦 ∈ [−2; +∞) Решим это уравнение, перенеся один из радикалов в правую часть уравнения 𝑦 √ + 1 = 1 − √𝑦 + 3 2 Возведем обе части уравнения в квадрат 𝑦 + 1 = 1 − 2√𝑦 + 3 + 𝑦 + 3 2 Тогда 4 √𝑦 + 3 = 𝑦 + 6 Еще раз, возведя в квадрат, получим 16𝑦 + 48 = 𝑦 2 + 12𝑦 + 36 𝑦 2 − 4𝑦 − 12 = 0 Корни этого уравнения 𝒚𝟏 = −𝟐, 𝒚𝟐 = 𝟔 входят в ОДЗ исходного уравнения. Однако проверка показывает, что 𝒚𝟐 = 𝟔 исходному уравнению не удовлетворяет. подставив в уравнение значение 𝑦 = 6, имеем ( 6 √ + 1 + √6 + 3 ≠ 1 2 ) Итак, получаем простейшее логарифмическое уравнение: log 0,2 (𝑥 − 1) = −2, Откуда 𝑥 − 1 = 0,2−2 𝑥 − 1 = 25 𝑥 = 26 Ответ: 26. В случае однородных уравнений приходится вводить две новые переменные. 11. 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐 (𝟏𝟎 − 𝟑𝒙) = 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟏𝟎 − 𝟑𝒙) ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟒 − 𝒙) − 𝟐𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐 (𝟒 − 𝒙) Решение: ОДЗ уравнения задается условиями 10 − 3𝑥 > 0 , откуда { 4−𝑥 >0 10 𝑥< 3 Введем две новые переменные 𝑎 = log 2 (10 − 3𝑥) и 𝑏 = log 2 (4 − 𝑥) И получим однородное уравнение: 𝑎2 = 3𝑎𝑏 − 2𝑏 2 𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 2𝑏 2 = 0 Решим это квадратное уравнение относительно a: 𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 2𝑏 2 = 0 𝐷 = (−3𝑏)2 − 4 ∙ 1 ∙ (2𝑏2 ) 𝐷 = 𝑏2 𝑎1 = 𝑏 𝑎2 = 2𝑏 Вернемся к старой переменной. Получаем два уравнения: log 2 (10 − 3𝑥) = log 2 (4 − 𝑥) 10-3x=4-x X=3 (входит в ОДЗ) log 2 (10 − 3𝑥) = 2 log 2 (4 − 𝑥) log 2 (10 − 3𝑥) = log 2 (4 − 𝑥)2 10 − 3𝑥 = (4 − 𝑥)2 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑥1 = 3 и 𝑥2 = 2 (оба корня входят в ОДЗ) Ответ: 3; 2. Уравнения, решаемые с помощью их специфики. Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций. 12. 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟑 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝝅𝒙 Решение: Рассмотрим функции 𝑦1 = log 3 𝑥 + log 𝑥 3 и 𝑦2 = 2 cos 4𝜋𝑥 И найдем их области значений. −1 ≤ cos 4𝜋𝑥 ≤ 1 Представим первую функцию в виде 1 −2 ≤ 2 cos 4𝜋𝑥 ≤ 2 𝑦1 = log 3 𝑥 + log 3 𝑥 Предположим, что 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 > 0, Поэтому область значений второй и используем неравенство функции 𝐸(𝑦2 ) = [−2; 2] между средним Поэтому рассмотрим два случая: арифметическим и средним геометрическим. Получим: 1 1 (log 3 𝑥 + log 𝑥) ≥ 2 3 1 √log 3 𝑥 ∙ log 𝑥=1 3 log 3 𝑥 + 1 log3 𝑥 ≥ 2, т.е. 𝑥=3 { 2 = 2 cos 4𝜋𝑥 𝑥=3 { 1 = cos 4𝜋𝑥 cos 12𝜋 = 1(верно) 1 { 3 2 = 2 cos 4𝜋𝑥 1 𝑥 = { 3 cos 4𝜋𝑥 = 1 4 cos 𝜋 ≠ 1 3 𝑥= 𝑦1 ≥ 2 При этом равенство достигается, если числа равны, т.е. 1 log 3 𝑥 = log 3 𝑥 Т.е. log 3 𝑥 = 1 X=3 Аналогично рассматривается случай 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 < 0 𝑦1 ≤ −2 и равенство 1 достигается при 𝑥 = 3 Получили, что 𝐸(𝑦1 ) = (−∞; −2] ∪ [2; ∞) Итак, данное уравнение имеет единственное решение x=3 Ответ: 3. 13. 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 = √𝟖 − 𝒙 Решение: Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция 𝑦1 = log 2 𝑥 – возрастающая, функция 𝑦2 = √8 − 𝑥 – убывающая. Очевидно, если данное уравнение имеет корень, то он единственный (по теореме о корне уравнения). Далее этот корень надо подобрать (угадать). Подбором находим x=4. Ответ: 4. В ряде случаев встречаются уравнения, содержащие логарифмы неизвестных, но не являющиеся логарифмическими. Тогда используются специальные приемы, суть которых станет понятна из примеров. 𝟐 14. 𝟑𝒙 = 𝒙𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 Решение: Найдем логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем: 2 log 3 (3𝑥) = log 3 (𝑥 log3 𝑥 ), или log 3 3 + log 3 𝑥 = log 3 𝑥 2 ∙ log 3 𝑥, 1 + log 3 𝑥 = 2 log 3 𝑥 ∙ log 3 𝑥 1 + log 3 𝑥 = 2𝑙𝑜𝑔32 𝑥. Введем новую переменную 𝐲 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝐱 и получим квадратное уравнение: 1 + 𝑦 = 2𝑦 2 2𝑦 2 − 𝑦 − 1 = 0 1 Его корни: 𝑦1 = 1 и 𝑦2 = − . 2 Вернемся к старой неизвестной x: Имеем два уравнения: log 3 𝑥 = 1 𝑥 = 31 𝑥=3 log 3 𝑥 = − 1 𝑥 = 3−2 1 𝑥= √3 1 2 Ответ: 3; 1 √3 15. 𝟑 ∙ 𝒙𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐 + 𝟐𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒙 = 𝟔𝟒 Решение: Используя основное логарифмическое тождество, запишем основание степени в виде 𝑥 = 5log5 𝑥 = (2log2 5 ) log2 5∙log5 𝑥 Тогда данное уравнение имеет вид: 3 ∙ 2log2 5∙log5 2 + 2log5 𝑥 = 64 3 ∙ 2log5 𝑥 + 2log5 𝑥 = 64 4 ∙ 2log5 𝑥 = 64 2log5 𝑥 = 16 log 5 𝑥 = 4 𝑥 = 54 𝑥 = 625 Ответ: 625. Уравнения, решаемые графически. При решении уравнений и исследовании их корней часто используется графический подход. 16.𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 определить число корней уравнения и найти меньший из них. Решение: Запишем уравнение в виде log 1 𝑥 = −(𝑥 − 1)2 2 И построим графики функций 𝑦1 = log 1 𝑥 (сплошная линия) 2 𝑦2 = −(𝑥 − 1)2 (штрихпунктирная линия) y 𝒚𝟏 A 1 x B -1 𝒚𝟐 Видно, что графики этих функций пересекаются в точках A и B . Следовательно, уравнение имеет два решения. Абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Поэтому меньший корень уравнения x=1. При решении логарифмических уравнений возможно не только появление посторонних корней (что обусловлено расширением ОДЗ уравнения при его преобразованиях), но и потеря решений (что связано с сужением ОДЗ). Если в первом случае посторонний корень исключается его проверкой, то во втором случае корень может быть утрачен безвозвратно. 17. 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟐 Решение: ОДЗ уравнения определяется условиями 𝑥>0 𝑥 { ≠ 1 , откуда 2 2𝑥 ≠ 1 1 1 𝑥 ∈ (0; ) ∪ ( ; 2) ∪ (2; ∞) 2 2 Перейдем к логарифмам по основанию x. Получаем: log 𝑥 𝑥 log 𝑥 2 = 𝑥 log (2𝑥) − 1 𝑥 log 𝑥 2 1 log 𝑥 2 = −1 1 − log 𝑥 2 log 𝑥 2 + 1 Введем новую переменную 𝑦 = log 𝑥 2. Имеем уравнение: 1 1−𝑦 = 𝑦 𝑦+1 − 1, или 𝑦 + 1 = 𝑦(1 − 𝑦) − (1 − 𝑦)(𝑦 + 1) 𝑦 + 1 = 𝑦 − 𝑦2 − 1 + 𝑦2 1 = −1 (равенство неверно). Получили, что уравнение решений не имеет. Вместе с тем подстановка значения x=1 показывает, что это корень исходного уравнения. Потеря корня связана с сужением ОДЗ при преобразовании уравнения. Переход к основанию x в логарифмах возможен при 𝒙 ≠ 𝟏. Поэтому значение x=1 надо проверять отдельно (например, подстановкой этого значения в исходное уравнение). Более предпочтительным является переход к основанию, не зависящему от x. Например, если перейти к основанию 2, то получим: log 2 𝑥 log 2 2 = 𝑥 log (2𝑥) − 1 2 log 2 2 log 2 𝑥 1 = −1 log 2 𝑥 − 1 1 + log 2 𝑥 Введем новую переменную 𝑡 = log 2 𝑥 Имеем уравнение: 𝑡 1 = −1 𝑡−1 1+𝑡 𝑡(1 + 𝑡) = 𝑡 − 1 − (𝑡 − 1)(1 + 𝑡) 𝑡 + 𝑡 2 = 𝑡 − 1 − 𝑡 2 + 1, откуда 𝑡2 = 0 t=0. Получаем, что 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐱 = 𝟎 X=1 (потери корня не происходит). Ответ: 1. Задания для самостоятельной работы Определите графически число корней уравнения: 1.1 x log 2 x Решите уравнения: 2 2.2 log3 x 5 log3 x 400 3. log 22 x 3 log 2 x 5 3log3 9 4. log 3 x log x 9 3 5. log 6 x 1 log 6 1 1 2 3 log 6 3 0,5 log 6 2 x 4 16 x 6. log 4 xx 5 log 4 x5 0 x 7. log 12 x 3 1 0 x 8. log 16 2 log 2 3 x 0 9. log 2 x 2 4 x 11 log 0,5 0,125 10. log x 1 3 x 2 x 1 2 11. log 3 2 2 x 5 1 log 4 81 12. log 1 27 log 3 2 x 3 log 1 2 x 3 3 13.x 9 log5 log5 x log5 x 14.5 x 8 x 1 x log 5 14 500 log 2 x log 2 1 3 y 15. 3 4 x y 1 log 2 x log 4 y 0 16. log 4 x log 2 y 1 x log 2 y y log 2 x 17. x log 2 32 log 2 x 2 x log 2 y log 4 x y 1 18. x 6 x 4