Понятие логарифма. Логарифмическая функция

МОУ лицей №66 г. Липецка имени героя Советского Союза С.П. Меркулова
Предмет – алгебра и начала анализа
Класс – 11Г (естественно-научный)
Учитель Таранцова Тамара Анатольевна
Программно- методическое обеспечение:
 планирование составлено на основе авторского планирования А.Г.
Мордковича по учебнику «Алгебра и начала анализа». 10-11 классы.
 учебник «Алгебра и начала анализа» 10-11 классы под редакцией
А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2004.
Тема урока: «Понятие логарифма. Логарифмическая функция».
Тип урока: совершенствование и применение теоретических знаний.
Цели урока:
 образовательные: повторить и закрепить теоретический материал по
темам:
1) Определение логарифма;
2) Основное логарифмическое тождество;
c
3) Основные логарифмические формулы: loga a = 1, loga 1 = 0, loga a =
c;
4) Область определения и область значений логарифмической функции;
5) График логарифмической функции;
6) Решение неравенств, содержащих логарифм, графическим способом.
 развивающие: развивать устную и письменную математическую речь,
графическую культуру, умения аргументировать свои ответы.
 воспитательные: формировать такие качества личности, как
трудолюбие, организованность, активность и самостоятельность в выборе
способа решения.
Ход урока.
I. Организационный этап:
1
- приветствие;
- готовность учащихся к уроку;
- состояние рабочего места учащихся: наличие тетрадей, учебников,
чертежных
принадлежностей;
- отсутствующие на уроке (сообщают дежурные)
II. Сообщение целей и темы урока.
Учитель. Тема урока «Понятие логарифма. Логарифмическая
функция». Сегодня на занятии мы повторим и закрепим на практике
теоретический материал по темам:
1) Определение логарифма;
2) Основное логарифмическое тождество;
3) Основные логарифмические формулы: loga a = 1, loga 1 = 0, loga
a
c
= c;
4) Область определения, область значений логарифмической функции;
5) График логарифмической функции;
6) Решение неравенств, содержащих логарифм, графическим способом.
III. Проверка домашнего задания.
К доске по желанию приглашаются два ученика для выполнения
заданий домашней работы № 1490 (в), 1492 (а).
В это время проводится устная работа с классом.
IV. Устная работа.
Задания для устной работы записаны на доске. Работа ведется
фронтально. Выбор правильного ответа сопровождается аргументированным
ответом учащегося (ссылка на теорию).
Учитель. Цель устной работы повторить свойства логарифмической
функции по заданиям ЕГЭ. Условия заданий устной работы читают
учащиеся.
1. Укажите рисунок, на котором изображен график функции y = log 1 x.
4
Ответ: 3)
2
2. Укажите множество значений функции y = log 5 x + 17.
1) (0; +  )
2) (17; +  )
3) (-  ;+  )
4) (12; +  )
Ответ: 3)
3
3. Найдите область определения функции y = log 7 (2  х) .
1) (2; +  )
2) (0; +  )
3) (0; 2)
4) (-  ; 2)
Ответ: 4)
Дополнительный вопрос: А если функция задана в виде y = log 7
какова ее область определения?
( 2  х)
2
,
4. Укажите наибольшее из приведенных ниже чисел, принадлежащих
1
х
области определения функции y = log 2 (- ).
1) 0
2) 1
3) – 1
Ответ: 3)
5. Вычислите log 2 log 5 8 5 .
1)
1
8
2) – 3
4) – 2
4) – 4
3) 3
Ответ: 2)
После устной работы проверяется домашнее задание по готовым
решениям, выполненным учащимися на доске. При необходимости
исправляются ошибки, задаются вопросы по предложенному решению и
дополнительные вопросы.
№ 1490(в) Постройте график функции
log 2 x, если 0  x  2,

y   1  x
  , еслиx  2.
 2 
Решение.
1) y = log 2 x
x
y
0,5 1
-1 0
1
2) y =  
2
1
Х
2
x
2
3
y
0,25
0,125
3
y
1
0
1
2
x
3
-1
Дополнительные вопросы:
1) Назовите область определения функции.
Ответ: D(у) = ( 0; +  )
2) Назовите область значений функции.
Ответ: Е(у) = (-  ; 1 )
3)Является ли данная функция непрерывной?
Ответ: нет, так как функция претерпевает разрыв при х = 2.
№ 1492 (а) Найдите область определения функции у = log 5 (x2 – 5x + 6).
Решение.
у = log 5 (x2 – 5x + 6).
1) x2 – 5x + 6 > 0,
(x – 2)(x – 3) > 0
2
3
x
x  (-  ; 2 )  ( 3; +  )
2) D(y) = (-  ; 2)  (3; +  )
Ответ: D(y) = (-  ; 2)  (3; +  ).
4
V. Повторение основных формул:
с ,a
loga b
log
a = 1,
a
log
a
log a
1 = 0,
c
a
=
= b.
Заполни пропуски (Задание записано на доске):
log
a
* = 1,
log
a
loga *
log a = с ,
1 = ,
*
*
a
= b.
VI. Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя.
Решение упражнений на применение основных свойств и определения
логарифма, основного логарифмического тождества и формулы логарифма
степени.
Задания записаны на доске. Все решения у доски учащиеся
комментируют.
1. Вычислить 
log
 1 

+
0 , 3 0,09


log log
2
4
2
2

5

log 516
.
(Один ученик на доске записывает решение.)
Решение.
 log0,3  1  + log2 log2 4 2  
0,09

5


log 516

=  2  log 2
1
4
  5log 16  2 =
1

5
1
= (-2 - 2)16 2 = - 4  4  16.
Ответ: -16.
36
2
4
2. Вычислить  3 log  2log 51   log 6 6 .

3
2
6
(Учитель вызывает двух учеников решать самостоятельно на закрытых
досках с последующей проверкой учащимися класса.)
Решение.
 2log 34  log 251
2
3

9 5

4 2
  log 6
36
6
6
=(
9
8
5
1
 2log 2  2 )  log 6 =
6
log 34
3
  8  19  8  19  2  38 .
4
Ответ: 38.
5
Комментарий. Если решение учащихся соответствует предлагаемому,
следует обратить внимание учащихся на рациональный прием
то
вычисления: 
9 5

4 2
  8  9  8  5  8  18  20  38.
4
3. Решить уравнение
х
2
х
х
9  4  2,5  6 . (Один ученик решает на доске.)
Решение.
х
х
х
9  4  2,5  6 ,
х
х
9  
6
  1 2,5    ,
4
4
2х
х
3 
3
  2,5    1  0 ,
2
2
 3  ,
  t t 0,
 2
t  2,5 t 1  0 ,
х
2
t

1
,
2
t 2.
1
 0; 2  0.
2
 3
 
 2
 3
 
 2
х
х
1

2
1

2
х
 3
или    2 ,
 2
 3
или    2 ,
 2
х
1
22
log 3
х
 3  3
   
 2  2
1
x  log ,
2
3
2
log 3 2
х
 3  3
или     
 2  2
2
x  log 2 .
3
2
,
Ответ:
log
4. №1488(а). Решить графически неравенство
6
3
2
1
2
log 2 .
,
3
2
log x
2
  x 1 .
Решение.
log 2 x   x  1
1) f(x)= log 2 x,
g(x)= -x + 1
D(f) = (0; +  )
x
y
0,5
-1
D(f) =(-  ; +  )
1
0
2
1
4
2
x
y
0
1
1
0
2) Построим в одной системе координат графики функций:
y
fx)= log2x
1
0
1
2
3
x
4
-1
g(x)= - x+ 1
3) х  1.
f(1) = log 2 1 = 0,
g(1) = - 1 + 1 = 0,
0 = 0, 1 – корень уравнения f(x) = g(x).
4) Абсцисса точки пересечения разбивает ось х на два промежутка.
f(x)  g(x) при х  [1; +  ).
Комментарий. Так как при х  [ 1; +  ) график функции y = f(x)
расположен выше графика функции y = g(x).
Ответ: [1; +  ).
VII. Обобщение и систематизация учащимися результатов работы.
7
Учитель. Какие знания вы применили при выполнении данных заданий?
Учащиеся. Мы повторили:
 определение логарифма,
 основное логарифмическое тождество,
 свойства логарифма степени,
 приемы рационального счета,
 решение показательного уравнения, содержащего три степени с разным
основанием,
 графический способ решения неравенства.
VIII. Подведение итогов урока.
Учитель. В ходе урока мы повторили определение логарифма и
c
применили основные формулы
loga a = 1, loga 1 = 0, loga a =
с ,a
loga b
= b для вычисления значений логарифмических выражений,
решения показательных уравнений.
Решая неравенство графическим способом, вы убедились в том, что,
зная свойства логарифмической функции, ее график, можно решать
неравенства быстро, правильно и красиво.
Подводя итоги урока, хочется отметить работу:
- Никиты ( д/з № 1492(а) );
- Жени, Володи, Даши (вычисление значений логарифмических выражений);
- Оксаны (решение показательного уравнения);
- Ангелины (графическое решение неравенства).
Отметки за работу на уроке: Никита – «5», Женя – «5», Володя – «5»,
Даша – «5», Оксана – «5», Ангелина – «4», Валера – «3».
IX. Сообщение и комментирование домашнего задания.
Учитель. Запишите домашнее задание на следующий урок:
х
х
№ 1454 (б) (решить неравенство 16  6  4  5 );
№ 1488 (г) (решить графически неравенство
log
1
3
x < 2х – 2);
№ 1494 (б) (Дано: f(x)= log 2 x. Докажите, что выполняется следующее
соотношение f(4x) + f(8x) = 5x.)
Откройте учебники, прочитайте условия домашнего задания.
При выполнении домашнего задания Вы повторите решение
показательного неравенства, сводящегося к квадратному, решение
8
неравенства
графическим
способом,
определение
логарифма,
преобразование логарифмических выражений, которые составите сами,
используя функциональную символику.
Какие будут вопросы? Вам понятно содержание домашней работы и
способы ее выполнения?
Спасибо за урок! До свидания.
Дополнение.
После сообщения домашнего задания, если позволяет время, можно
провести диагностическую работу по теме: «Понятие логарифма.
Логарифмическая функция» (Приложение). Работа рассчитана на 10
минут.
Цель работы: получить информацию для определения качества
усвоения учащимися учебного материала по темам: «Понятие логарифма.
Логарифмическая функция, ее свойства», своевременно диагностировать и
корректировать пробелы в знаниях по данным темам на следующих
уроках.
Критерии выставления отметок:
 пять верных ответов – «5»;
 четыре верных ответа – «4»;
 три верных ответа – «3»;
 менее трех верных ответов – «2».
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТЕСТ. Логарифм. Логарифмическая функция.
1.Вычислите log 2 32 - log 7
1) 3,5
7
49
.
2) 6,5
3) - 6,5
4) 2,5.
2. Укажите функцию, множеством значений которой является
промежуток ( 3; +  ).
1) у = log 5 ( х + 3)
2) у = -15 х2
1
2
3) у = ( ) х + 3
9
4) у = log 0,5 ( х – 3 )
3. Укажите наибольшее из чисел:
y 1 = log 0,7 16, y 2 = log 0,7 3,5,
y 3 = log 0,7
1
,
2
y4=
2
3
log 0,7 .
1) y 1
2) y 3
3) y 4
4) y 2
4. Найдите область определения функции у = log 3 ( 2х + 15 – х2 ).
1) [ - 3; 5 ]
)  ( 5; +  )
2) ( - 3; 5 )
5. Решите систему уравнений
1) ( 3; 2 )
2)
( - 2; 3 )
3) ( - 3; - 0 )  ( 0 ; 5 )
4)( -  ; -3
4 х  у  10,

log 3 (3 у  х)  2.
3) ( - 3; - 2 )
10
4) ( - 3; 2 )