Логарифмические уравнения

Красникова Наталья Николаевна
Учитель математики МОУ гимназии №1 г. Зернограда
Тема урока: «Логарифмические уравнения»
Цели урока:
 Систематизировать виды логарифмических уравнений;
 Познакомить с приемами решений логарифмических уравнений;
 Совершенствовать
логарифм.
умение
преобразовывать
выражения,
ХОД УРОКА.
1.Организационный момент.
2.Проверка знаний учащихся.
Ответьте на вопросы:
1. Дайте определение логарифма числа а по основанию в.
2. Назовите основное логарифмическое тождество.
3. Назовите основные свойства логарифма.
4. Какие уравнения называются логарифмические?
Устные упражнения:
Log 1515;
Log 216:
Log 510+ Log 52- Log 54;
Log 816- 3Log 81;
Log 123 1+2;
Log 2 Log 3 81;
Lg 8+Lg 125;
содержащие
Log 27- Log 27\16;
5\4 Log √5 25;
Log √7 49;
Log 01√100;
6(3 Log 62) ;
7(2+2 Log 78) ;
Log 13 5√169 .
1
2
3
4
Log а а=1
Log а 1=0
Log а вс=
Log а в\с=
Log а в+ Log а с
Log а в- Log а с
5
6
7
8
Log а вр=р Log а в
Log ар в=
Log а в=
а Log а в=в
1/р Log а в
Log с в/ Log с а
Тест.
1.Найдите область определения функции у= Log 3 (1-4х)/(х+2).
А) х‹-2, х›0,4; В) х≥2,х≤0,4; С) -2‹х≤0,4; Д) х≥0,4.
2.Найдите наименьшее значение функции у= Log 3 (х2-6х+11)
А) х=1; В) х=-2; С) х= Log 4 11; Д) х=0,5.
3.Реши уравнение Log 3 (х2-6х+11)=1
А) 5 и 1 ; В) 5 ; С) 1 ; Д) -5 и 1 .
3.Изучение нового материала.
Логарифмическое уравнение, содержащее неизвестное только под знаком
логарифма, называется
логарифмическим. Так как логарифмическая
функция монотонна и ее область значений множество R, то простейшее
логарифмическое уравнение Log а х=в имеет единственный корень
(а›0. а≠1, х›о).
Например, Log 3 (х2-6х+11)=1, Log 4 (х2-6х+11)= Log 4 ( х-4).
Уравнение вида Log 3 (х2-6х+11)=х Log 4 х не является логарифмическим.
Простейшими логарифмическими уравнениями являются
Log а х =в,
Log х m= n.
Простейшие уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.
Log 2 (х2-3х+10)=3; х2-3х+10=32 ; х2-3х+1=0; х1=2 и х2=1.
Задания.
Решите уравнения:
1. Log 3 (х2-3х)=3;
2. Х Log 2 (х2-3х+10)=0;
3. Log 7 Log 3 Log 2 Log 2 х=0;
4. 2 Log
Log 2х
2=1;
5. 3Log 4 (5х)= Log 5 125.
Уравнения первой
потенцированием.
степени
относительно
логарифма,
решаемые
Переход от равенства, содержащего логарифмы,
к
равенству, не
содержащему их, называется потенцированием. Из теоремы следует, что если
логарифмы равны, то при равных основаниях в области действительных
чисел равны и логарифмируемые числа.
Log а х= Log а в+ Log а р= Log а вр; х=вр.
Однако, особенностью логарифмических уравнений является появление
посторонних корней. Связано это с расширением ОДЗ в ходе его
преобразования. Поэтому необходимо проверять полученные корни
подстановкой или следить за изменением ОДЗ.
Log 4 (х2-6х)= Log 4 (-х +6) .
ОДЗ:
{ х -6х › 0; { х(х-6) › 0; { х‹0, х› 6;
2
-х +6› 0;
-х › -6;
х‹6;
[ х‹0.
х2-6х=-х +6; х2-6х+х -6-0; х2 -5х-6=0; х1=6, х2=-1. Корень квадратного
уравнения не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. В ОДЗ исходного
уравнения попадает число х2=-1, которое и является его решением.
Решите уравнения:
1. Lg х- Lg 11=Lg19- Lg(30-х);
2. Lg (х- 5)-Lg 2= 0,5Lg (3х-20);
3. Lg (х+1)+ Lg х=Lg(5-6х)- Lg2;
4. Lg (х-1)-0,5 Lg (х+7)2 =Lg1;
5. Lg √1-х+3 Lg √1+х=Lg√(1-х)2+2.
Уравнения второй и выше степени относительно логарифма.
При решении уравнений этого типа следует обратить внимание на
следующее: Lg3х4=64 Lg3х, где х›0 и : Lgnхk=kn Lgnх.
Log х5√5-1,25 =Lоgх2√5; х›0 .х≠1; 1,5 Log х5-1,25=0,25 Lоgх25;
Lоgх25-6 Log х5+5=0; Log х5=1 и Log х5=5.
Х1=5 и х2= 5√ 5.
Решите уравнения:
1. Lg2х - Lgх4 =Lg25-4;
2. Lg2х +Lgх4 =Lg25-4;
3. Lg2х3 –10 Lgх =-1;
4. Lg2х2 – Lgх5 =Lg25-4;
5. Lоg236 - Lоg232 =(Lg2х-3) Lоg3 12.
Уравнение, содержащее неизвестное и в основании и в показателе степени.
Уравнения такого типа, как правило, решаются логарифмированием обеих
частей. Если в показателе степени содержится логарифм, то обе части
уравнения логарифмируют по тому основанию, которое содержится в
основании логарифма, находящегося в показателе степени.
Х√х=(√х)х; х›0; √х Lgх=0,5х Lgх; 0,5 √х(2-√х) Lgх =о;
1) Lgх =о; х=1;
2) (2-√х)=0; х=4;
3) √х=04х=0.
4) Значение х=0 не удовлетворяет области определения. Значения 1 и 4
входят в область определения. Проверка подтверждает, что 1 и 4 корни
исходного уравнения.
Решите уравнения:
1. х Lgх=10000;
2. х Lgх+2= 8;
3. х 1+ Lgх=100;
4. х Lg3х +5Lgх=10 12 Lg2х;
5. (х+7) Lg(х+7)=10.
Логарифмические уравнения, требующие дополнительные сведения из
теории логарифмов.
Lоgа2х +Lоgх2а=1; Области допустимых значений неизвестного х и основания
а определяются неравенствами: {х›0,х≠0 а›0, а≠1.
Считая ,что х и а принадлежат рассматриваемым областям, выполним
следующие преобразования:
Lоgа √х +Lоgх √а=1 ;0,5 Lоgах +0,5Lоgх а=1;
Lоgах +1/Lоgа х=2; Lоg2ах -2Lоgа х+1=0;
(Lоgа х-1)2=0; Lоgа х=1; х=а.
Проверка подтверждает, что х=а удовлетворяет области определения
уравнения и является корнем исходного уравнения.
Решите уравнения:
1. 6 Lоg26х+х Lоg6х=12 (ответ: 1/6 и 6);
2. 3 Lоg23х+х Lоg3х=6;
3. 7 Lоg27х+х Lоg7х=14.
Графический способ решения уравнений.
Уравнение вида Lоgа F( х)=g(х), где F( х) и g(х)=алгебраические или
трансцендентные функции, не могут решены быть вышеназванными
приемами. Однако графическим способом найти приближенные решения
уравнения этого типа.
Решить уравнение Lоg2х=х-1.
Построим графики функций у= Lоg2х и у=х-1.
1) у= Lоg2х
х
1\8
1\4
2
1
2
4
8
16
32
у
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Х
1
2
у
0
3
2) у=х-1
Построим графики этих функций. По графику читаем абсциссы двух
точек пересечения графиков, именно: х=1 и х=2. При найденных
значениях абсцисс соответствующие им значения у должны быть
равны между собой. Для прямой у= 2-1=1 и для кривой у= Lоg22=1.
Решите уравнения:
1. Lg (х+1)=х-1;
2. Lgх=х2-1;
3. Lоg2х=х+1;
4. Lgх=√х-1;
5. Lоg3х=3\х.
3) Домашнее задание.
Творческие задания.
Lоg3х Lоg9х Lоg27х Lоg81х=2\3;
Lоgх3+ Lоg3х =Lоg√х3 Lоg3√х+0,5;
х Lg2х-5 Lgх=0,0001;
Lоg5 (cosx-sinx)= Lоg50.5- Lоg5 (cosx+sinx)$
Lоg2 (15 sin2x +7sinx)=1+ Lоg2 (3sinx+1).