Разработка урока «Логарифмы и их применение».

Пояснительная записка
При проведении урока воспитывается работе в команде, способность отстаивать
свое мнение. Развивается способность выделять цели и способы деятельности, работа
в команде, проверять результат деятельности. Обучающиеся учатся оценивать свои
силы, быстро считать и работать с теоретическим материалом. Урок проходит в
игровой форме, при этом группа делится на 2 команды. Оценивается работа всей
группы, возможна оценка отдельных учеников за активную работу, а также смотрится
участие всех учеников при принятии очередного решения.
Тема: «Логарифмы и их применение».
Цель:
а) создать условия для закрепления и углубления знаний свойств логарифма, при
выполнении заданий, связанных с преобразованием логарифмических выражений,
знакомство с историческим материалом по теме, с областями применения логарифма
показать применение логарифмов
б) развивать у обучающихся навыки самоконтроля, взаимного контроля, умение
применять свои знания в нестандартной ситуации, развивать навыки самооценки
работы на уроке;
в) воспитывать у обучающихся умение работать в команде, чувство ответственности,
взаимопомощи, активность, ответственность.
Оборудование:
Раздаточный материал для работы в группах, мультимедиа ,карточки для
индивидуальных заданий; жетоны, дидактический материал, презентация.
Задачи урока:
1) создание для обучающихся комфортных условий, ситуации успеха;
2) привитие интереса к изучению предмета.
“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь”
П.С.Лаплас
Тип урока: урок закрепления пройденного материала
Ход урока.
1. Организация на урок.
а) Сообщение цели урока.
- Сегодня на уроке мы продолжим работу по решению задач на применение свойств
логарифма. Также мы познакомимся с историей логарифмов, с применением
логарифмов в различных областях наук, в частности, рассмотрим применение
логарифма при решении экономических задач .
б) Организация работы на уроке.
- Мы с вами сегодня будем работать в группах, класс разделен на две группы, в
каждой группе выбраны лидеры. За каждый правильный ответ группа получает жетон,
конце урока баллы будут подсчитаны и выставлены оценки.
- Эпиграфом к нашему уроку я выбрала слова Лапласа: “Изобретение логарифмов,
сократив работу астронома, продлило ему жизнь». Я думаю, что вы на протяжении
урока не раз убедитесь в том, насколько эти слова правдивы.
2. Повторение пройденного материала
Для начала давайте узнаем, когда и кем были придуманы логарифмы.
История возникновения логарифмов (сообщение М.Руслана)
Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого
объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач, и в первую
очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам
и по Солнцу). Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером
(1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности
можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением
индусов – нашей десятичной системы нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов английский ученый Гунтер изобрел
очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она
помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать
ответ достаточной точностью в три значащие цифры.
Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были,
построены, ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.
Как вы думаете, где еще могут в жизни встретиться на логарифмы?
Применение логарифмов (сообщение)
Логарифмы широко используется в различных областях наук:
Физика — интенсивность звука (децибелы), оценивается также уровнем интенсивности по шкале
децибел;
число децибел N=10lg(I/I0), где I — интенсивность данного звука
Астрономия
Если известна видимая звёздная величина и расстояние до объекта, можно вычислить абсолютную
звёздную величину по формуле:
Химия
Водородный показатель, "pH ", — это мера активности ионов водорода в растворе, количественно
выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации
водородных ионов, выраженной в молях на литр:
mbox{pH} = -lg left [ mbox{H}+ ight]
В музыке:
В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности.
Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих
частот: log 2w0, log 2w1... log 2wm.
В сейсмологии:
При вычислении магнитуды.
Магнитуда землетрясения — величина, характеризующая энергию, выделившуюся при
землетрясении в виде сейсмических волн.
Логарифмическая спираль.
Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости,
называемую полюсом спирали.
Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно
вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному
расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого
расстояния.
Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и
биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов
самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном
направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем
каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по
логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток,
закручены по логарифмической спирали. Рога таких рогатых млекопитающих, как архары – горные
козлы, закручены по логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по дугам
близким к логарифмическим спиралям.
По логарифмической спирали закручены многие галактики.
.
Устная работа.
-Для того чтобы решать примеры нам следует повторить необходимые для этого
теоретические сведения.
1. Повторение теории.
-Вопросы будут задаваться по очереди каждой группе, лидеры групп ставят баллы за
ответы, противоположной команды, если же группа не может дать ответ, то ответ дает
другая группа, причем противоположная группа не забывает ставить балл:
а) Определение логарифма. (Вопрос 1 группе)
б) Записать на доске основное логарифмическое тождество. (Вопрос 2 группе)
a loga b  b
в) Повторение свойств логарифмов.
Найти ошибки в записях свойств логарифмов. Исправь и прочти правильно.
1. log a 1  a.
2. log a 0  1.
3. log a xy  log a x  log a y.
4. log a
x
 log a y  log a x.
y
5. log a x p 
1
log a x.
p
6. log a p x  a log p x.
7. log a x 
log b a
.
log b x
2. Вычислите устно, используя данные свойства:
log 7 1
log 7 7
log 7 7 5
log 6 12  log 3 3
log 5 75  log 3 3
(7 log7 5 ) 2
Для тех, кто быстро и верно решает, подготовлены дополнительные задания на
карточках:
Вычислите:
52 log2 5 40
52log5 10
23log2 9
log 5 100  log 5 5  log 5 4
log 5 log 2 32
3)Определите дату , вычислив значения выражений:
(1 команда)Вычислите и узнайте, в каком году была издана
первая таблица логарифмов:
(2 команда)Вычислите и узнайте, в каком году была изобретена
первая логарифмическая линейка:
3. Практическая работа.
Перед вами лежат задания по вариантам и по уровню сложности. Вы сами выбираете
количество заданий и уровень сложности. Решение задач демонстрируется у доски.
Задания для 1 группы.
Вариант 1
(1 балл)
Вычислите: log 2 50  2 log 2 5.
Вариант 2
( 1 балл)
Вычислите: log 5 225  log 5 9  2log2 5.
Вариант 3
( 1балла)
log7 2
: log 1 9.
Вычислите: 7
3
Вариант 4
(1 балл)
Вычислите: 0,5 log 2 25  log 2 1,6.
Вариант 5 (1 балл)
 
2  log
6
5
5
.
Вычислите:
Вариант 6
(2 балла)
Вычислите: 2 log 7 49  log 3 27  log 6 216  3log3 4 .


Вариант 7 (2 балла)
log 2
Вычислите: log 6 4  log 6 9 3 3  log


2

2.
Вариант 8
(2 балла)
Вычислите: log 3 7 5 7  2log2 11  log 2 4  log 2 16 .

Вариант 9
(3 балла)
log 2 40 log 2 5

.
lg 2
log 80 2

Задания для 2 группы.
Вариант 1
(1 балл)
Вычислите: 3log3 2  log 7 2  log 7 14.
Вариант 2
(1 балл)
1
Вычислите: 2log2 7  log 3 .
9
Вариант 3
(2 балла)
log 2 5 +log 3 81
Вычислите: ( 2 )
Вариант 4
(1 балл)
Вычислите: 5
Вариант 5
log 5 2
 log 2 3 +log 2
(1 балл)
1
log
4
9
4
Вычислите: 25 2
.
Вариант 6
(2 балла)
Вычислите: log 2 10  log 4 2 2  log 2 5  2log2 3.
5


Вариант 7
(2 балла)
Вычислите: log 7 2 2 3log3 4  log 3 18  log 3 2 .

Вариант 8
Вычислите: 2

(2 балла)
log1
2
1
4
 log 8 3 3 3 log 3 2  log 3 54.
Вариант 9
(3 балла)
log 2 20 log 2 5

.
Вычислите:
lg 2
log 40 2
Решение текстовых задач:
Вам как будущим работникам торгового дела придется решать задачи
экономического характера, делать разнообразные расчеты.
Давайте рассмотрим задачу , где применяется натуральный логарифм:
I Сложение процентов.
Если вы положили деньги в банк, то через определённое время ваша сумма
увеличится за счет проценты.
Увеличения суммы для сложенных процентов находятся по формуле:
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 где 𝑆 − наращенная сумма (наросла засчет процентов)
P- первоначальная сумма вклада
i-годовая процентная ставка
n-период времени, на который положили деньги в банк(в годах)
Например: клиент положил в банк под 12% годовых 100 тыс. рублей. Какая
сумма будет на счету клиента через 2 года.
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 ; 𝑆 = 100(1 + 0.12)2 ; 𝑆 = 100 ∙ (1.12)2 = 100 ∙ 1.2544 =
125.44 тыс.
Ответ: через 2 года на счету клиента будет сумма 125440 рублей.
В формуле 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
S и n – переменные величины
P; i-постоянные
S зависит от n в формуле показательной функции. Обратная показательной
функции- логарифмическая функция.
Для того, чтоб найти n, прологарифмируем обе части уравнения 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
предварительно разделив обе части на P.
𝑆
𝑃
𝑛
= (1 + 𝑖) ;
𝑆
𝑛
ln
𝑃
ln(1+𝑖)
ln = 𝑙𝑛(1 + 𝑖) ; ln = 𝑛𝑙𝑛 (1 + 𝑖) ; 𝑛 =
𝑃
𝑆
𝑃
𝑆
Формула для вычисления промежутка времени, за которое сумма вклада
𝑆
увеличится в определенное количество раз. Пусть = 2, сумма вклада увеличится в 2
раза, тогда ; 𝑛 =
𝑃
ln 2
ln(1+𝑖)
Формула удвоения суммы, показывает за какой период (в годах ) сумма вклада
увеличится в 2 раза.
Пример № 2.
Годовая ставка равна 10%. Найти период, за который сумма вклада увеличится
в 2 раза.
ln 2
ln 2
𝑛=
=
Найдем ln по таблице Брадеcса.
n=
ln(1+0.1)
ln 1.1
Ответ: n≈
Теперь каждой команде предстоит решить типовую задачу:
1) Годовая ставка равна 20 %. Найти период, за который сумма вклада
увеличится в 2раза.
2 Годовая ставка равна 10%. Найти период, за который сумма вклада
увеличится в 1,5 раза.
4. Подведение итогов.
Теперь капитаны команд жетоны.
Какие вопросы возникли при решении заданий?
Надеюсь, вы сегодня убедились в значимости логарифмов в нашей жизни.
5 . Домашнее задание.
Повторить определение и свойства логарифмов
Решить тесты по вариантам
6. Рефлексия .
Перед вами лежат три круга разных. Вы должны поставить поднять один из следующих кругов:
Если вам было легко и комфортно-зеленый круг.
Если вы в некоторых местах терялись – желтый круг.
Если было вам трудно и тревожно – красный круг.
Приложение 1.
Тесты (по карточкам).
Класс ___
Фамилия и имя ________________________
Тест 1
1. Вычислить: log 5
а) 5
б) – 5
1
25
в) – 2
г) 1
в) 1/10
г) 1
l g100
2.
Вычислить: 10
а) 100
б) 10
3. Вычислить:
log216 + log22
а) 4
б) 5
в) 6
г) 4,5
7
16
в) 1
г) 16
в) 6
г) 8
4. Вычислить:
а) 3
log27 – log2
б) 4
2log 3
4
5. Вычислить: 4
а) 9
б) 1
6. Вычислить:
log0,39 – 2log0,310
а) 2
б) 1
в) – 2
9
– log 9
12 144
12
б) 2
в) – 2
г) 90
7. Вычислить: log
а) 1
8. Вычислить:
а) 2
9.
10.
+ log72 – log714
б) 7
Вычислить:
а) 4
2
log 3
2
в) (2 + 2log72)
log
г) 12
125
г) 3
1
+ log 0,4
√2 2
2,5
в) 0
г) 4/3
5 – log
б) – 3,5
log 0,2 +log 15
5
6
Вычислить:
6
а) 2,5
б) 15log50,2
в) 5/6
г) 15
Тест 2
1. Найдите значение выражения
а) 12
б) 4
в) 8
г) 6
2. Найдите значение выражения
а) 35
б) 30
в) 140 г) 28
3. Найдите значение выражения
а) 5
б) 0,2
в) -1
г) -0,1
4. Найдите значение выражения
а) 1
б) 0
в) -1
5. Найдите значение выражения
а) 18
б) 13
в) -1
г) 2
6log6 5  100lg
г) 69
8