Приложения:

Приложения:
1. Доклады учащихся:
Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская
империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики,
физики, астрономии и ряда прикладных наук.
Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым
вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён
работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии
Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал
русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К.
Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора, друга семьи Бернулли. Рано обнаружил математические способности.
Начальное обучение получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Пастор готовил
старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития
логического мышления. Одновременно с обучением в гимназии мальчик увлечённо занимался математикой под руководством Якоба
Бернулли, а в последние гимназические годы посещал университетские лекции младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли.
В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая осуществляла политику просвещённого абсолютизма. Хорошо понимая
значение науки как для прогресса государства, так и для собственного престижа, она провела ряд важных, благоприятных для науки,
преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица предложила Эйлеру управление математическим классом
(отделением), звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, — говорилось в письме её
представителю, — благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».
Эйлер сообщил в ответ свои условия:
оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии;
ежегодная пенсия 1000 рублей супруге после его смерти;
оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.
Все эти условия были приняты. В письме от 6 января 1766 года Екатерина пишет канцлеру графу Воронцову: {{цитата|Письмо к Вам г.
Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я
нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры,
прежде чем я установлю это звание — говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет
денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из
государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого
важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека.
Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не получил. Подал повторно — но Фридрих не желал
даже обсуждать вопрос о его отъезде. В ответ на это Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии.
Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского представительства от имени императрицы. 30 апреля
1766 года Фридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, отпустив вдогонку (в письмах того периода) несколько
злобных острот. Правда, Кристофа, младшего сына Эйлера, служившего подполковником артиллерии (нем. Oberstleutnant), король
наотрез отказался отпустить из армии. Позднее благодаря заступничеству Екатерины II он всё же смог присоединиться к отцу; в
русской армии он дослужился до генерал-лейтенанта.[10]
Эйлер возвращается в Россию, теперь уже навсегда.
По отзывам современников, по характеру Эйлер был добродушен, незлобив, практически ни с кем не ссорился. К нему неизменно
тепло относился даже Иоганн Бернулли, тяжёлый характер которого испытали на себе его брат Якоб и сын Даниил. Для полноты
жизни Эйлеру требовалось только одно — возможность регулярного математического творчества. В то же время он был
жизнерадостен, общителен, любил музыку, философские беседы.[15]
Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился с ними своими идеями. Известен случай,
когда Эйлер задержал свои публикации по вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж,
независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым.[16] Лагранж всегда с восхищением относился к Эйлеру и
как к математику, и как к человеку; он говорил: «Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера».
Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных
наук. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не
всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и
добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».
Мухаммед ибн Муса Хорезми (перс. ‫یخوارزم یسوم نب دمحم‬э, Mohammad ebne Mūsā Khwārazmī, Хорезм, ок. 783 — ок. 850) — великий
центральноазиатский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры.
Дата рождения:
около 783
Дата смерти: около 850
Известен как: Аль-Хорезми
Сведений о жизни учёного сохранилось крайне мало. Значительный период своей жизни он провёл в Багдаде, возглавляя при халифе
ал-Мамуне (813—833) библиотеку «Дома мудрости». В это же время там работали ал-Марвази, ал-Фаргани, Ибн Турк, ал-Кинди и
другие выдающиеся учёные. В 827 году ал-Хорезми принимал участие в измерении длины градуса земного меридиана на равнине
Синджара. При халифе ал-Васике (842—847) ал-Хорезми возглавлял экспедицию к хазарам. Последнее упоминание о нём относится к
847 году.
Ал-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшую популяризации десятичной позиционной системы записи чисел
во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в
развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр. Имя автора, в латинизированной форме (Algorismus, Algorithmus),
стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики; отсюда берёт начало современный термин алгоритм,
впервые использованный Лейбницем.
Написанная ал-Хорезми «Книга картины Земли» — первое географическое сочинение на арабском языке — оказала сильное влияние
на развитие этой науки.
Главная заслуга ал-Хорезми в истории астрономии заключается в составлении тригонометрических и астрономических таблиц
(«Зидж ал-Хорезми»), которые послужили основой средневековых исследований в этой области как на Востоке, так и в Западной
Европе. Хотя («Зидж ал-Хорезми» в основном является обработкой «Брахмагупхута-сиддханты» Брахмагупты, многие данные в нём
приведены на начало персидской эры Йездигерда и, наряду с арабскими названиями планет, в таблицах уравнений планет этого зиджа
приведены их персидские названия. К этому зиджу примыкает также «Трактат об исчислении эры евреев». «Книга хроники» алХорезми, упоминаемая в разных источниках, не сохранилась.
«Книга о построении астролябии» не сохранилась и известна только по упоминаниям в других источниках. Из астрономических
сочинений ал-Хорезми известны также «Книга о солнечных часах» и «Книга о действии с помощью астролябии» (в неполном виде
включённая в сочинение ал-Фаргани). В разделах 41-42 этой книги был описан специальный циркуль для определения времени намаза.
Также Аль-Хорезми в 834 году отделил алгебру от геометрии.
Галилей родился в 1564 году в итальянском городе Пиза, в семье родовитого, но обедневшего дворянина Винченцо Галилея, видного
теоретика музыки и лютниста.[3] Полное имя Галилео Галилея: Галилео ди Винченцо Бонайути де Галилей (итал. Galileo di Vincenzo
Bonaiuti de' Galilei). Представители рода Галилеев упоминаются в документах с XIV века. Несколько его прямых предков были
приорами (членами правящего совета) Флорентийской республики, а прапрадед Галилея, известный врач, тоже носивший имя Галилео,
в 1445 году был избран главой республики.[4]
В семье Винченцо Галилея и Джулии Амманнати было шестеро детей, но выжить удалось четверым: Галилео (старшему из детей),
дочерям Вирджинии, Ливии и младшему сыну Микеланджело, который в дальнейшем тоже приобрел известность как композиторлютнист. В 1572 году Винченцо переехал во Флоренцию, столицу Тосканского герцогства. Правящая там династия Медичи была
известна широким и постоянным покровительством искусству и наукам.
О детстве Галилея известно немного. С ранних лет мальчика влекло к искусству; через всю жизнь он пронёс любовь к музыке и
рисованию, которыми владел в совершенстве. В зрелые годы лучшие художники Флоренции — Чиголи, Бронзино и др. —
советовались с ним в вопросах перспективы и композиции; Чиголи даже утверждал, что именно Галилею он обязан своей славой.[5] По
сочинениям Галилея можно сделать также вывод о наличии у него замечательного литературного таланта.
Начальное образование Галилей получил в расположенном неподалёку монастыре Валломброза. Мальчик очень любил учиться и стал
одним из лучших учеников в классе. Он взвешивал возможность стать священником, но отец был против.
В 1581 году 17-летний Галилей по настоянию отца поступил в Пизанский университет изучать медицину. В университете Галилей
посещал также лекции по геометрии (ранее он с математикой был совершенно не знаком) и настолько увлёкся этой наукой, что отец
стал опасаться, как бы это не помешало изучению медицины.[3]
Галилей пробыл студентом неполных три года; за это время он успел основательно ознакомиться с сочинениями античных философов
и математиков и заработал среди преподавателей репутацию неукротимого спорщика. Уже тогда он считал себя вправе иметь
собственное мнение по всем научным вопросам, не считаясь с традиционными авторитетами.[6]
Вероятно, в эти годы он познакомился с теорией Коперника. [7] Астрономические проблемы тогда живо обсуждались, особенно в связи
с только что проведённой календарной реформой.
Вскоре финансовое положение отца ухудшилось, и он оказался не в состоянии оплачивать далее обучение сына. Просьба освободить
Галилея от платы (такое исключение делалось для самых способных студентов) была отклонена. Галилей вернулся во Флоренцию
(1585), так и не получив учёной степени. К счастью, он успел обратить на себя внимание несколькими остроумными изобретениями
(например, гидростатическими весами), благодаря чему познакомился с образованным и богатым любителем науки, маркизом
Гвидобальдо дель Монте. Маркиз, в отличие от пизанских профессоров, сумел его правильно оценить. Уже тогда дель Монте говорил,
что со времени Архимеда мир не видел такого гения, как Галилей.[3] Восхищённый необыкновенным талантом юноши, маркиз стал его
другом и покровителем; он представил Галилея тосканскому герцогу Фердинанду I Медичи и ходатайствовал об оплачиваемой
научной должности для него.
В 1589 году Галилей вернулся в Пизанский университет, теперь уже профессором математики. Там он начал проводить
самостоятельные исследования по механике и математике. Правда, жалованье ему назначили минимальное: 60 скудо в год (профессор
медицины получал 2000 скудо).[8] В 1590 году Галилей написал трактат «О движении».
В 1591 году умер отец, и ответственность за семью перешла к Галилео. В первую очередь он должен был позаботиться о воспитании
младшего брата и о приданом двух незамужних сестёр.
В 1592 году Галилей получил место в престижном и богатом Падуанском университете (Венецианская республика), где преподавал
астрономию, механику и математику. По рекомендательному письму венецианского дожа университету можно судить о том, что
научный авторитет Галилея уже в эти годы был чрезвычайно высок:
«Сознавая всю важность математических знаний и их пользу для других главных наук, мы медлили назначением, не находя достойного
кандидата. В настоящее время заявил желание занять это место синьор Галилей, бывший профессор в Пизе, пользующийся большой
известностью и справедливо признаваемый за самого сведущего в математических науках. Поэтому мы с удовольствием предоставляем
ему кафедру математики на четыре года со 180 флоринами жалованья в год»
2. Раздаточный материал для АОЗ:
1. Перечислите: а) буквы русского алфавита; б) гласные буквы алфавита; в) согласные буквы алфавита;
2. Назовите числа кратные 5; 7; 11;
3. Приведите примеры чисел, принадлежащих множеству: а) натуральных чисел; б) целых чисел; в)
рациональных чисел;
4. Приведите примеры чисел: а) чётных; б) нечётных.
5. Изобразите на числовой прямой отрезок с концами a и b; открытый луч с концом в точке b; интервал
(с; d).
3. Целеполагание, изучение нового учебного материала с первичным закреплением знаний:
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor)
Георг (1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств,
оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв.
Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.
К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно
сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д.
однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского
языка.
Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего
понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в
математике нет.
Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве
всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о
множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.
Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.
Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота,
воскресенье.
Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь,
декабрь.
Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.
Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.
Если А - множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.
Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов,
то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.
Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее
собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.
Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные
математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей
математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие
множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано
с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.
Самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея".
Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение
приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если
он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если
же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу
он обязан брить. Парадокс.
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции,
которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из
исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы –
строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В
противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .
Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент
множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Сравнение множеств.
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:
Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом
случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость
между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: Ш А и А А
В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если
собственным подмножеством В. Заметим, что
,
По определению
,
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга
Операции над множествами
, то A называется
Пересечение.
Объединение.
Свойства.
1.Операция объединения множеств коммутативна
2.Операция объединения множеств транзитивна
3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств
Примеры:
1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда
2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:
{2,4,6,8, 10,3,6,9,12},
= {6}.
3. Множество детей является подмножеством всего населения
4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных
чисел.
6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
Круги Эйлера
Круги Эйлера можно использовать для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.
Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19
человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?
Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.
Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из
них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.
4. Раздаточный материал:
Задачи на пересечение и объединение множеств.
1. Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множества AU В,
2. Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
3. Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В - множество натуральных чисел, делящихся на 4.
Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
4. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько
человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
5. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем
классе не любят ни молоко, ни лимонад?
6. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а
один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
7. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы.
Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из
которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
8. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или
теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в
теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
9. 65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не
прочь полакомиться капустой?
10. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки;
5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов
вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
11. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки
были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было
красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной,
доброй и вместе с тем красивой девушки?
12. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12;
по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5.
Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего
пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
13. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками.
Сколько человек из этих 100 знают три языка?
14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и
Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в
фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
Литература:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов «Алгебра 9 класс» учебник, часть 1;
А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов «Алгебра 9 класс» задачник, часть 2;
Л.А.Александрова. Алгебра – 9. Контрольные работы /под ред. А.Г.Мордкович/;
Л.А.Александрова. Алгебра – 9. Самостоятельные работы/под ред. А.Г.Мордкович/;
М.Б.Волович. Рабочая тетрадь-9. /под ред. А.Г.Мордкович/;
Электронные ресурсы: единая коллекция цифровых образовательных ресурсов; www.Wikipedia.ru.