Неустойчивая решётка.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт прикладной математики и механики
Кафедра теоретической механики
Работа допущена к защите
Зав. кафедрой, д.ф.-м.н., проф.
__________ А. М. Кривцов
"__"___________________
ВЫПУСКНАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА
Тема:
Нелинейные плоские волны в материале с квадратной решёткой.
Направление: 010900 - Прикладные математика и физика
Выполнил студент гр.
43604/1
___________________
Руководитель: к.-ф.-м.н., доц.каф. ___________________
Осокина А.Е.
Беринский И.Е.
Санкт-Петербург
2015
1
Введение ................................................................................................................................................. 3
Цель и задачи работы ....................................................................................................................... 5
Неустойчивая решётка. .................................................................................................................... 6
Однополевая модель. ................................................................................................................................... 6
Неустойчивая решётка. .................................................................................................................... 9
Двухполевая модель. .................................................................................................................................... 9
Устойчивая решётка. ...................................................................................................................... 12
Однополевая и двухполевая модели. ................................................................................................ 12
Четырёхполевая модель. .............................................................................................................. 15
Неустойчивая решётка. ............................................................................................................................ 15
Четырёхполевая модель. .............................................................................................................. 18
Устойчивая решётка. ................................................................................................................................. 18
Заключение ......................................................................................................................................... 20
Список литературы ......................................................................................................................... 21
2
Введение
Исследования в области описания динамики распространения плоских волн в
различных кристаллических решётках связаны, в первую очередь, с именем М.Борна, чьи
работы датируются началом XX века и не теряют актуальности и по сей день в связи с
развитием нанотехнологий и наноэлектроники. Так, задача о распространении линейной
волны в одномерной моноатомной цепочке является классической [1],[2]. Модификации
этой задачи, а также её обобщения на двумерные решётки рассматривались множеством
учёных, в частности, в работах [3], [4]. В работе [5] рассматривалось распространение
нелинейных плоских волн в треугольной решётке.
Необходимость построения многополевых моделей при описании распространения
волн обусловлена тем, что при континуальном описании не учитываются физические
эффекты, связанные с внутренней структурой материала. Построение подобных моделей
даст возможность рассматривать системы с учётом информации структурного уровня, не
отказываясь при этом от преимуществ континуальных моделей: например, двухполевая
модель, в отличие от однополевой, позволяет рассматривать короткие волны.
При построении многополевых моделей дополнительно к полю перемещений для
описания изменений, происходящих в рассматриваемой решётке/структуре вводятся
системы нескольких взаимопроникающих полей. Для этого выбирается макроячейка
моделируемой системы. В зависимости от того, какую модель необходимо построить,
выбирается либо минимальная ячейка периодичности (в случае однополевой модели),
либо, в случае многополевого подхода, базовая ячейка периодичности может включать
несколько элементарных. Особенностью многополевого подхода является то, что,
несмотря на идентичность частиц, решётка разбивается на N взаимопроникающих
подрешёток, которые маркируются индексами от 1 до N, где N-количество полей. [6]
Актуальность построения подобных моделей для различных, в частности,
квадратных, кристаллических решёток, состоит в желании описывать свойства
материалов, которые в массе своей синтезируются искуственно – метаматериалов.
3
Метаматериалы выделены в отдельный класс материалов, так как их свойства
зависят от структуры компонентов, упорядоченных особым образом, и могут кардинально
отличаться от свойств составляющих их компонентов. Существуют метаматериалы с
многократно увеличенными электрической проницаемостью и магнитной
восприимчивостью, метаматериалы, эффективность нелинейных эффектов в которых
увеличивается на много порядков по сравнению с обычными веществами. Примером
могут послужить ауксетики, обладающие полезными механическими свойствами, такими
как значительное поглощение механической энергии и высокое сопротивление
разрушению.
Хотя возможность управления структурой компонентов материала дает новую
степень свободы в конструировании их свойств, однако настоящую революцию произвели
работы, продемонстрировавшие возможность создания метаматериалов со свойствами,
которые не встречаются в природных материалах. Например, с отрицательным
коэффициентом преломления, у которых одновременно отрицательны диэлектрическая и
магнитная проницаемости.
Для описания распространения волн в подобных материалах могут использоваться
построенные в данной работе модели.
4
Цель и задачи работы
Целью данной работы является описание динамики плоских волн в материале,
который на микроуровне представляет собой квадратную решётку с одинаковым типом
частиц. Рассматриваются квадратные решётки (Рис.1, 2), для которой в работе [7]
получены уравнения движения.
Были решены задачи построения однополевых и многополевых (двух- и четырёхполевых)
моделей для обеих решёток.
Рис.1. Простая (неустойчивая)
квадратная решётка
Рис.2 Упрочнённая (устойчивая)
квадратная решётка
5
В работах [3] и [5] показано, что дисперсионный анализ позволяет выделить 2 разных
спектра колебаний частиц, высокочастотный и низкочастотный. В случае низкочастотных
колебаний все частицы на графике зависимости перемещения от времени лежат на одной
гладкой кривой. В этом случае континуальные уравнения можно получить разложением в
ряд Тейлора. Такой подход получил название однополевой модели, который совпадает с
классическим микрополярным описанием.
В случае высокочастотных колебаний зависимость перемещений от времени
является быстро меняющейся функцией, поэтому нельзя провести стандартную процедуру
разложения в ряд. Однако если разделить все частицы на чётные и нечётные [3] и
рассматривать колебания этих групп отдельно, то для каждой из них станет возможным
разложение в ряд.
При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно
считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами.
Неустойчивая решётка.
Однополевая модель.
Рассмотрим квадратную решётку с периодом а.
Рассматривается взаимодействие
центральной частицы (𝑚, 𝑛) c четырьмя соседними частицами: (𝑚 + 1, 𝑛); (𝑚 − 1, 𝑛);
(𝑚, 𝑛 + 1); (𝑚, 𝑛 − 1). Взаимодействие между частицами с одинаковыми массами m
моделируется посредством пружин жесткостью С. Рассмотрим распространение плоской
волны , полагая ym = 0. Тогда уравнение для центральной частицы будет иметь вид:
(1)
Представим смещение по горизонтали как непрерывную функцию u(x, t). Разложим
смещения соседних с центральной m частиц в ряд Тейлора:
(2)
6
Подставив разложение в определяющее уравнение, получим:
(3)
Для того, чтобы решить данное уравнение, будем искать решение в виде бегущей волны,
для чего необходимо прибегнуть к следующей замене [5]:
𝜃 = 𝑥 − 𝓋𝑡, где 𝓋 -фазовая скорость.
Решением будет являться функция:
𝑢(𝜃) = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾𝑒 𝑖𝜃√𝐴 + 𝜎𝑒 −𝑖𝜃√𝐴 ,
(4)
где 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 и 𝜎 -константы, зависящие от граничных условий, а
𝐴=
12
(𝑚𝓋 2 − 𝐶𝑎2 )
2
𝑎
7
Дисперсионное соотношение для неустойчивой решётки при ym = 0 совпадает с
соотношением для одноатомной цепочки:
Рис.3
8
Неустойчивая решётка.
Двухполевая модель.
Нумерация производится в соответствии со схемой:
Рис.4
Положим в уравнении (1) за w смещение чётных частиц, z- нечётных.
Уравнения динамики будут иметь следующий вид:
(5)
(6)
Положим wm= u(x, t) , zm = v(x, t) Разложения смещений соседних c (m,n) частиц в ряд
Тейлора для каждой компоненты примут вид:
(7)
(8)
После подстановки разложений (7), (8)в уравнения (5), (6), получим:
9
(9)
(10)
Чтобы получить решение, введём новые переменные:
𝑈=
𝑢(𝑥,𝑡)+𝑣(𝑥,𝑡)
2
и 𝑉=
𝑢(𝑥,𝑡)−𝑣(𝑥,𝑡)
2
Нетрудно видеть, что если положить u=v, останется только акустическая компонента (U) ,
а если u=-v — оптическая (V). Таким образом, из (8) и (9) получим:
4
𝑎
𝑚𝑈̈𝑡𝑡 = 𝐶[𝑎2 𝑈𝑥𝑥 + 𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 ]
12
𝑚𝑉̈𝑡𝑡 = −𝐶[4𝑉 + 𝑎2 𝑉𝑥𝑥 +
𝑎4
(11)
(12)
𝑉
]
12 𝑥𝑥𝑥𝑥
Тогда первое уравнение аналогично уравнению (3) однополевой модели, а решением
второго при замене [5] является функция:
𝑉(𝜃) = 𝜇𝑒 √𝜆1𝜃 + 𝛿𝑒 √𝜆2𝜃 + 𝜉𝑒 √𝜆3𝜃 + 𝜂𝑒 √𝜆2𝜃 , где 𝜇, 𝜉, 𝜂 и 𝛿 - константы,
(13)
а 𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , и 𝜆4 — корни уравнения:
𝜆4 + А𝜆2 + В = 0, где:
12(𝐶𝑎2 + 𝑚𝓋 2 )
𝐴=
𝐶𝑎4
48
𝐵= 4
𝑎
10
Дисперсионное соотношение для двухполевой модели:
Рис.5
Если сравнить полученные уравнения для однополевой и двухполевой моделей, можно
увидеть, что первое уравнение двухполевой модели совпадает с уравнением однополевой.
Это значит, что двухполевая модель содержит классическую микрополярную
(однополевую) и ведёт себя так же при описании длинных волн, но дополняет и уточняет
её при описании коротковолновых эффектов.
11
Устойчивая решётка.
Однополевая и двухполевая модели.
Вывод уравнений проводится по аналогии с неустойчивой решёткой.
(14)
Замена переменных приводит к следующим уравнениям:
(15)
(16)
Решение уравнений аналогично решениям для однополевой и двухполевой моделей для
неустойчивой решётки, с приведёнными ниже отличиями.
Отличия:

показатель степени А для однополевой модели:

Корни уравнения для двухполевой модели:
Т.к. Коэффициент А отличается от соответствующего коэффициента для неустойчивой
решётки:
12
И решение имеет вид:
(17)
Диперсионное соотношение для однополевой модели имеет вид:
Рис.6
13
Диперсионное соотношение для двухполевой модели:
Рис.7
Анализ дисперсионных соотношений для устойчивой и неустойчивой решёток
показывает, что качественного различия не наблюдается.
Количественные различия заключаются в том, что максимум оптической ветви
двухполевой модели устойчивой решётки достигается в точке, в √3√2 ≈ 2.913 раз
превышающей значение максимума двухполевой модели неустойчивой решётки.
14
Максимум акустической ветви дисперсионного соотношения для неустойчивой решётки
достигается в точке
3√2
𝜔𝑚𝑎𝑥 = 2√
𝐶
𝑚
,
для устойчивой решётки это значение
𝜔𝑚𝑎𝑥 =
𝐶
𝑚
Четырёхполевая модель.
Неустойчивая решётка.
Четырёхполевая модель реализуется посредством разбиения рассматриваемой системы на
четыре подрешётки.
Рис.8
Дискретные уравнения:
(18)
(19)
(20)
(21)
Замена переменных
15
приводит к следующим континуальным уравнениям:
В результате анализа полученнной системы можно сделать следующие выводы:
Четырёхполевая модель содержит в себе двухполевую, и может описывать с достаточно
высокой степенью точности как длинноволновое, так и коротковолновое приближения.
Последние два уравнения системы представляют собой уравнения двухполевых моделей,
построенные с другим методом выделения подрешёток, в результате чего получаются
разные спектры для каждого метода выделения, каждый из которых соответствует разным
типам волн, помимо акустических и оптических: например, тепловым.
16
Рис.9. Дисперсионное соотношение для четырёхполевой модели (неуст. решётка)
17
Четырёхполевая модель.
Устойчивая решётка.
Рис.10. Нумерация в случае выделения подрешётки для четырёхполевой модели
При выводе уравнений нумерация выбиралась так, как показано на рисунке 3.
После действий, аналогичных произведённым в предыдущих пунктах, получим систему:
(22)
(23)
(24)
(25)
Решение первых двух уравнений системы идентично решениям для одно- и двухполевой
моделей, решение двух последних будет искаться в численном виде.
18
Рис. 11. Дисперсионное соотношение для четырёхполевой модели (уст. решётка)
19
Заключение
B результате проведённых исследований были получены уравнения распространения
плоских
волн
в
материалах,
чья
структура
описывается
моделью
квадратной
кристаллической решётки. Были рассмотрены два типа квадратных решёток, для каждой
построены многополевые модели, в которых показано, что они применимы для
моделирования
длинноволновых
эффектов,
т.к.
содержат
в
себе
однополевую
(классическую) модель, и при этом уточняют её при рассмотрении коротковолновых
эффектов.[8]
Четырёхполевая модель объединяет уравнения классической
однополевой модели и
уравнения двухполевых моделей, построенные с разными методами выделения
подрешёток, и может быть использована для описания разных типов волн, как коротких,
так и длинных.
Сравнение результатов, полученных для устойчивой и неустойчивой решёток показало,
что качественных различий в уравнениях не наблюдается.
Основные планируемые результаты
Планируется переход к более сложным решёткам (с разными типами частиц, с пружинами
разной жёсткости, etc), а также получение численных результатов для четырёхполевых
моделей для обеих типов решёток.
20
Список литературы
1. М.Борн, Х.Кунь «Динамическая теория кристаллических решёток» М.:
Издательство иностранной литературы, 1958. С.70-77
2. А Н.Ашкрофт, Н.Мермин. «Физика твёрдого тела» М.: Мир, 1979. (том 2) С. 122130.
3. N. Zabusky, G. Deem. «Dynamics of nonlinear lattices» Journal of computational physics,
V.2, 1967. P.126-131.
4. A.V.Porubov, I.V.Andrianov «Nonlinear waves in diatomic crystals» Wave Motion V.50,
Issue 7, 2013, P. 1153–1160.
5. A.V. Porubov, I.E. Berinskii.«Nonlinear plane waves in materials having hexagonal
structure» International Journal of Non-Linear Mechanics, V. 67, 2014. P. 27–33.
6. А.А. Васильев, А.Е. Мирошниченко. «Алгоритм построения иерархической
системы многополевых моделей среды Коссера.» 2007. Стр.5-10.
7. А.Е. Осокина, И.Е. Беринский. «Уравнения динамики треугольной и квадратной
кристаллических решёток» Неделя науки СПбГПУ. Материалы конференции, 2014.
C. 241.
8. А.А. Васильев, А.Е. Мирошниченко. «Дискретная и обобщённо-континуальная
микрополярные модели плоской структурной системы в задаче устойчивости.»
С.29-34.
21