МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РФ - Санкт

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»
Кафедра акустики
Н.А.Смирнова, В.К.Уваров
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКУСТИКИ
Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы акустики»
для студентов заочного факультета специальности
«Аудиовизуальная техника»
Санкт-Петербург
2011
УДК 534.843
Смирнова Н.А., Уваров В.К. Теоретические основы акустики: Учебное
пособие. – СПб.: СПбГУКиТ, 2010.
В соответствии с учебной программой весь курс дисциплины
«Теоретические основы акустики» включает в себя вопросы, связанные с
изучением трех основных разделов дисциплины: механических
колебательных систем, звукового поля и психофизики слуха.
В настоящем пособии излагаются вопросы, посвященные изучению
первого раздела дисциплины, а, именно, механическим колебательным
системам. В пособии приведены основные математические соотношения,
применяемые при анализе колебательных процессов, происходящих в
механических и акустических колебательных системах и их физическая
интерпретация. Показано построение механических моделей механикоакустических систем и их электрических аналогов.
Рассмотрены также распределенные механические системы и способы их
замещения сосредоточенными.
Приведены различные примеры использования механических и
акустических систем в реальных конструкциях электроакустических
аппаратов.
Учебное пособие, в основном, предназначено для студентов заочной
формы обучения специальности «Аудиовизуальная техника».
Рецензент: к.т.н., профессор Е.Н. Осташевский
Рекомендовано к изданию советом факультета аудиовизуальной техники
СПбГУКиТ. Протокол №
от
.
 Смирнова Н.А., Уваров В.К., 2011
 СПбГУКиТ, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы акустики»
предназначено для студентов заочной формы обучения специальности
«Аудиовизуальная техника».
Изложенный в пособии материал охватывает в доступной для понимания
форме содержание одного из разделов дисциплины, а именно, вопросы,
связанные с изучением механических колебательных систем.
Раздел механических колебательных систем включает, в основной своей
части,
рассмотрение
колебательных
процессов
в
системах
с
сосредоточенными параметрами, а также основные параметры и
характеристики систем с распределенными параметрами.
В пособии подробно рассмотрен вывод уравнения колебаний простой
механической колебательной системы (ПМКС) и его решение для
свободного и вынужденного режимов. Приведены параметры и
характеристики системы в режимах свободных и вынужденных колебаний.
Рассмотрены колебательные процессы в акустических колебательных
системах. Получены соотношения, связывающие параметры гибкости, массы
и активного сопротивления с конструктивными размерами акустической
системы. Тем самым показан способ оперативной настройки резонансной
частоты резонатора Гельмгольца.
Приведены примеры конкретных механико-акустических аппаратов,
конструкции которых содержат акустические и механические колебательные
системы.
Рассмотрены способы построения механических моделей механикоакустических систем и их электрических аналогов.
Рассмотрены вопросы трансформации в механических и акустических
системах и выведены соответствующие соотношения для приведенных
параметров таких систем.
Рассмотрены основные параметры и характеристики распределенных
колебательных систем, их отличия от сосредоточенных. Приведены способы
замещения распределенных систем сосредоточенными с соответствующим
вычислением эквивалентных параметров.
Материал, изложенный в учебном пособии, предназначен для студентов
заочной формы обучения по специальности «Аудиовизуальная техника» и
может быть также интересен специалистам, работающим в области
производства и эксплуатации аудиовизуальной аппаратуры.
3
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.1. Простая
колебаний
механическая
колебательная
система.
Уравнение
Простая механическая колебательная система (ПМКС) или
механический осциллятор является составной частью практически любого
электроакустического
аппарата.
Поэтому
детальное
исследование
колебательных процессов в механических осцилляторах позволяет более
осмысленно подойти к пониманию процессов, происходящих в более
сложных колебательных системах и в целом, в электроакустической
аппаратуре. ПМКС состоит из поршня, подвешенного на пружине к опоре
( рис. 1.1 а ), или закрепленного на опоре с помощью гибкого воротника (рис.
1.1 б).
а)
б)
Рис.1.1. Примеры простых механических колебательных систем: а) –
поршень, подвешенный на пружине; б) – поршень, закрепленный в гибком
воротнике
Рассмотрим колебания поршня, совершаемые под действием силы F (t)
[1]. Для составления уравнения колебаний системы воспользуемся
принципом Даламбера, согласно которому сумма внешних сил, действующих
на систему, находящуюся в динамическом равновесии, равна сумме реакций
ее элементов.
В рассматриваемом случае сила F (t) в каждый момент времени
встречает
противодействие
системы,
обусловленное
несколькими
причинами.
1. Инерцией поршня, пропорциональной его массе m и приобретенному
ускорению ξ"
d 2ξ
F1(t) = m ── = m ξ",
d t2
где ξ – смещение поршня, м.
4
2. Упругостью подвеса, пропорциональной смещению его концов (в
предположении, что деформации не переходят за пределы закона Гука)
ξ
F2(t) = s ξ , или F2(t) = ──,
с
где s – упругость подвеса, а с = 1/s – гибкость подвеса , м/Н.
3. Реакцией трения. В принципе, в системе возможно существование
трех видов трения: сухого, вязкого и внутреннего.
Реакция сухого трения возникает при непосредственном (сухом)
контакте движущихся элементов. Колебательная система при наличии в ней
сухого трения является существенно нелинейной, поэтому сухое трение в
электроакустической аппаратуре считается недопустимым. По этой причине
мы не будем его рассматривать.
Вязкое трение возникает между двумя движущимися поверхностями,
отделенными друг от друга слоем жидкости или газа. При относительно
небольших скоростях эту реакцию можно считать пропорциональной первой
степени скорости, то есть
dξ
1
F3 (t) = rвязк ── = rвязк ξ', где rвязк – коэффициент вязкого трения,
dt
численно равный реакции при единичной скорости движения тела, Нс/м.
Кроме вязкого трения, в системе всегда присутствует реакция
внутреннего трения, которая образуется в упругом элементе подвеса:
периодические деформации пружины сопровождаются относительными
смещениями частиц материала, из которого она изготовлена, что приводит к
необратимым потерям энергии. Также как реакция вязкого трения, этот вид
потерь пропорционален колебательной скорости
F311(t) = rвнутр ξ' .
В связи с этим, оба вида реакции трения объединяют обычно в один:
F3(t) = F31(t) + F311(t) = r ξ',
где r = rвязк + rвнутр .
Таким образом, в соответствии с принципом Даламбера имеем
F1(t) + F2(t) + F3(t) = F(t) .
Подставив сюда значения сил, получим
d2ξ
dξ
ξ
m ─── + r ── + ── = F(t) .
d t2
dt
c
(1.1)
5
Уравнение (1.1) и есть уравнение колебаний ПМКС под действием
произвольной
силы
F(t).
Оно
представляет
собой
линейное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами. Его решение позволяет определить смещение системы в
каждый момент времени t.
1.2. Собственные (свободные) колебания ПМКС
1.2.1. Д и с с и п а т и в н а я с и с т е м а
Если в уравнении (1.1) положить F(t) = 0, то уравнение примет вид
d2ξ
dξ
ξ
m ─── + r ── + ── = 0 .
d t2
dt
c
(1.2)
Это уравнение собственных (свободных) колебаний диссипативной
системы (поскольку присутствует слагаемое с r). Его решение ищем в виде
[2]:
ξ = А' еjω t ,
где А' – комплексная величина, модуль которой равен амплитуде
смещения ξ0.
Обозначим jω = к.
Тогда
ξ = А'еjк.
Уравнение (1.2) примет вид
к2m А' еjк + rк А' еjк + А' еjк/с = 0,
или
к2 + 2δк + ω02 = 0.
Это характеристическое уравнение, в котором δ = r/2m – коэффициент
затухания собственных колебаний системы; ω02 = 1/mc. Его решение для к:
к1,2 = - δ ± j (ω02 – δ2)1/2 = - δ ± j ωc ,
(1.3)
ωc = (ω02 – δ2)1/2 – собственная частота колебаний диссипативной
колебательной системы.
Решение для ξ:
6
ξ = А'e-δt ( ејωсt + е –јωсt).
Так как А' = Аеjα, а А= ξ0 , то в тригонометрическом виде решение (в
соответствие с формулой Эйлера) выглядит так
ξ = 2 ξ01 e-δt cos (ωct + α) = ξ0 e-δt cos (ωct + α) .
Здесь ξ0 = 2 ξ01; α = arctg ωct = arctg 2πt/T – начальная фаза колебаний.
Период Т = 1/f функции sin (ωct + α), считают условным периодом
собственных колебаний, хотя, строго говоря, в силу убывания амплитуды,
они не могут называться периодическими. С течением времени собственная
частота понижается.
Круговая частота свободных колебаний ωc, или собственная частота
осциллятора определяется всеми тремя параметрами системы: массой,
гибкостью и трением.
Физический смысл величин ξ0 и α понятен из рис. 1.2.
Рис. 1.2 График собственных колебаний диссипативной системы
Уменьшение амплитуды свободных колебаний со временем выражается
экспоненциальным законом ξ0 e-δt , причем амплитуда уменьшается в е раз (е
= 2,72 ) в течение времени τ = 1/ δ секунд. Этот промежуток времени
определяет скорость затухания колебаний и называется постоянной времени
системы. На рис. 1.3 показаны кривые затухания свободных колебаний двух
систем, имеющих одинаковую постоянную времени τ, но разные периоды
свободных колебаний Т1 и Т2.
а)
б)
Рис. 1.3 Собственные колебания двух диссипативных систем
При одинаковых τ система (а) совершила больше колебательных циклов
в течение времени t, чем система (б). Это значит, что диссипативные силы в
случае (б) больше, чем в (а). Для их количественной оценки ввели понятие
декремента затухания d, характеризующего уменьшение амплитуды
колебаний за один период. Математически он выражается натуральным
логарифмом отношения двух последовательных амплитуд, разделенных
промежутком времени, равным одному периоду, то есть
ξ0 e-δt
d = ln ---------- = ln eδT = δT
ξ0 e-δ(t+T)
Декремент затухания равен единице, если за время Т амплитуда
колебаний уменьшится в е раз. Эта единица получила название непер.
В формуле для собственной частоты ωc= (ω02 – δ2)1/2 значение ωc зависит
от величины коэффициента затухания δ.
Если δ << ω0, то ωc≈ ω0 = 1/(mc)1/2.
Если δ возрастает, то значение ωc уменьшается. Физически это означает,
что колеблющийся поршень реже пересекает положение равновесия, период
колебаний растет, а частота уменьшается.
Если δ ≥ ω0, то колебания в системе отсутствуют и система становится
лимитационной. Из соотношения r/2m = 1/(mc)1/2 можно вычислить значение
r = rкр = 2 (m/c)1/2. Это сопротивление называется критическим. Критическое
значение сопротивления является границей, разделяющей два возможных
режима свободного движения диссипативной системы – колебательного и
лимитационного.
1.2.2 К о н с е р в а т и в н а я с и с т е м а
Уравнение свободных колебаний консервативной системы имеет вид:
d2ξ
ξ
m*------ + ----- = 0
d t2
c
(1.4)
Как видим, кроме приложенной силы F (t), в нем отсутствует также
dξ
слагаемое, характеризующее диссипативные факторы системы r ----- ,
dt
так как r→0.
В полученном ранее решении для ξ(t) = ξ0 e-δt cos (ωct + α) поскольку
r→0 , то δ = 0, e-δt = 1, а ωc = ω0. Тогда для мгновенного смещения при
свободных колебаниях консервативной системы имеем:
ξ(t) = ξ0 cos (ω0t + α)
(1.5)
Это незатухающие гармонические колебания с амплитудой ξ0, начальной
фазой α и круговой частотой ω0 = 1/(mc)1/2 (рис. 1.4).
Рис. 1.4 Свободные колебания консервативной системы
1.3 Вынужденные колебания ПМКС под действием синусоидальной
силы
Уравнение
вынужденных
колебаний
синусоидальной силы имеет вид:
ПМКС
d2ξ
dξ
ξ
m*------ + r----- + ----- = Fm ejωt
d t2
dt
c
под
действием
(1.6)
Решение этого уравнения ищем в виде [2] : ξ = А' еjω t , где А' –
комплексная величина, модуль которой равен амплитуде смещения ξ0.
Подставим решение в исходное уравнение (1.6). Тогда получим
- ω2 m А' еjω t + jωr А' еjω t +( А' еjω t)/c = Fm ejωt
jω А' ( r + jωm + 1/jωc ) = Fm, откуда
Fm
А' = -------------------------jω ( r + jωm + 1/jωc )
(1.7)
и ξ = Fm еjω t / jω z' – мгновенное значение колебательного смещения ПМКС.
В выражении (1.7) z' = r + jωm + 1/jωc = r + j (ωm - 1/ωc ) – полный
механический импеданс (сопротивление) ПМКС. Как величину комплексную
полный механический импеданс можно представить в виде z' = z еjψ , где
z = [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2 – модуль полного механического импеданса ПМКС;
ψ = arctg (ωm - 1/ωc )/ r – аргумент полного механического импеданса ПМКС.
Мгновенные значения колебательных скорости ξ' и ускорения ξ''
соответственно равны
dξ
ξ' = -------- = jω ξ
или
ξ' = Fm еjω t / z'
dt
dξ'
ξ'' = ------ = jω ξ'
dt
или
ξ'' = jω Fm еjω t / z'
Кроме мгновенных значений ξ, ξ' и ξ'' часто интересуются амплитудами
колебательных смещения ξm, скорости ξ'm и ускорения ξ''m. Для них
имеют место следующие соотношения:
Fm
ξm = ------- = Fm / ω [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2
(1.8)
ωz
ξ'm =
Fm
------- = Fm / [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2
z
(1.9)
ξ''m
ω Fm
-------- = ω Fm / [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2
z
(1.10)
=
Рассматривая полученные выражения, отметим, что при неизменной
амплитуде внешней силы Fm , величины колебательных смещения
ξm,
скорости ξ'm и ускорения ξ''m зависят от параметров системы m, c и r и от
частоты вынуждающей силы ω. Зависимость от ω обусловлена в первую
очередь изменением с частотой модуля полного механического импеданса.
Рассмотрим подробнее частотные зависимости составляющих модуля z.
Графики зависимостей от частоты 1/ωc, ωm и r представлены на рис. 1.5.
Рис. 1.5 Частотные зависимости составляющих модуля полного
механического импеданса ПМКС: 1/ωc – упругая составляющая, ωm –
инерционная составляющая, r – активная составляющая.
Так как линии ωm и 1/ωc пересекаются, то всегда найдется частота
ω0, при которой выполнится условие ω0 m = 1/ω0 c или ω0 m - 1/ω0 c = 0 .
Это условие называется резонансом скорости, так как при этом
механический импеданс системы минимален а колебательная скорость,
следовательно, максимальна. Частота резонанса скорости, исходя из
равенства ω0 m = 1/ω0 c , равна
ω0 = 1/ (mc)1/2,
(11)
или
f0 = 1/ 2π (mc)1/2
(12)
Поскольку при резонансе ω0 m - 1/ω0 c = 0, то z ≈ r, и, следовательно, при
r→ 0 колебательная скорость
ξ'm =
Fm
------- → ∞.
r
Для предотвращения чрезмерного увеличения амплитуды ξ'm на частоте
резонанса необходимо соответствующим образом выбирать величину
активного сопротивления r ; r = r2 = r0 = ω0 m = 1/ω0 c = (m/c)1/2 называется
резонансным или характеристическим сопротивлением. Как видно из
полученных ранее соотношений r0 = rкр/2.
Кроме резонанса скорости в механической колебательной системе
возможны резонансы смещения и ускорения.
Резонанс смещения происходит при минимальном значении знаменателя в
выражении
ξm =
Fm
------- = Fm / ω [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2 , то есть когда
ωz
d (ω z)
d
-------- = ------ { ω [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2 } = 0.
dω
dω
Отсюда ωсм = 0,
либо
ωсм= [(1/mc) – (r2 / 2m2)]1/2 = [(ω02 ) – (r2 / 2m2)]1/2 = [(ω02 ) –2δ2)]1/2
(13)
Cледовательно, резонанс смещения происходит на частоте, несколько
меньшей частоты ω0 резонанса скорости. В случае малого значения r или
большой массы m ( малая величина δ ) можно считать, что эти два резонанса
происходят на частоте ω0.
Максимальное значение смещения определяется формулой
Fm
ξm макс = ------------ .
( ωсм z)мин
Подставив в знаменатель величину
(14)
ωсм = [(ω02 ) – (2δ2)]1/2 = [(ω02 ) – (r2 / 2m2)]1/2 , получаем значение
ξm макс =
Fm
-------- ,
ω'см r
где ω'см = ωc = (ω02 – δ2)1/2 = [(ω02 ) – (r2 / 4m2)]1/2 – собственная
частота колебаний диссипативной колебательной системы.
Из этой формулы видно, что резонансная амплитуда смещения
уменьшается с увеличением r. При очень малом r амплитуда смещения на
резонансной частоте оказывается очень большой. Это соответствует высокой
избирательности резонансного контура механической системы, в которой
добротность Q может рассматриваться как коэффициент усиления. И
наоборот, в случае, когда механическая колебательная система используется
для виброизоляции, в ней должны быть приняты меры по уменьшению
резонансной амплитуды, то есть увеличению r.
Резонанс ускорения происходит при минимальном значении ( z/ ω)
в выражении
ξ''m
=
ω Fm
-------- = ω Fm / [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2 , то есть когда
z
d ( z/ ω)
d
-------- = ------ { [ r2 + (ωm - 1/ωc )2]1/2 /ω } = 0.
dω
dω
Отсюда ωуск = 0, либо
ωуск ≈ [(ω02 ) +2δ2)]1/2
(15)
Следовательно, резонанс ускорения происходит на частоте несколько
выше, чем частота резонанса скорости.Однако, как и в случае со смещением ,
при малых по сравнению с ω0 значениях δ можно считать, что эти два
резонанса происходят на частоте ω0 .
Если рассмотреть последовательность характерных частот колебательной
системы на частотной шкале по мере возрастания частоты, то ее можно
представить следующим образом: ωсм = [(ω02 ) – (2δ2)]1/2 – частота резонанса
смещения; ωc = (ω02 – δ2)1/2 – частота свободных (собственных) колебаний
диссипативной системы; ω0 – частота резонанса скорости (эта же частота
численно равна частоте свободных колебаний консервативной системы);
ωуск ≈ [(ω02 ) +2δ2)]1/2 – частота резонанса ускорения.