спецкурс Локально-конформные КМ

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«Локально-конформные кэлеровы многообразия»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Вербицкий М.С., PhD, verbit@verbit.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2013 г

Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» являются:
 Знакомство с передним краем комплексной геометрии некэлеровых многообразий,
 Владение понятийным аппаратом локально конформно кэлеровой геометрии (LCKмногообразия, вайсмановы многообразия, сасакиевы многообразия),
 продолжение знакомства с многомерным комплексным анализом (Штейновы многообразия,
CR-многообразия, форма Леви).

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Строить локально конформно кэлерову структуру на многообразиях и применять ее в
решении задач комплексной, контактной и сасакиевой геометрии.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
умение
формулировать результат
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
понимание корректности
постановок задач
ПК-10
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
Оценивает строгость и
корректность любых текстов по
локально-конформным кэлеровым
многообразиям
Распознает и воспроизводит
названия основных физических
моделей и объектов, а также
математических структур,
возникающих при изучении данной
дисциплины
Владеет профессиональной
лексикой в области локальноконформных кэлеровых
многообразий
Понимает постановки опорных
задач в теории интегрируемых
систем
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
физических предположений и
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач комплексной,
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах
и лекциях. Беседы с
преподавателями во время
консультаций.
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта
работы с многомерным
комплексным анализом,
общения с преподавателями.
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
контактной и сасакиевой
геометрии
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах
ПК-16
Понимает и воспроизводит
ключевые физические принципы
и математические приемы
базовых рассуждений и
Обосновывает и оценивает
мотивировки и логические ходы
при построении локально
конформной кэлеровой
структуры на многообразиях

Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателем
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления
подготовки «Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на курсе "Комплексная алгебраическая геометрия"
и "Дифференциальная геометрия и векторные расслоения". Также студентам требуется знакомство
с многомерным комплексным анализом (Штейновы многообразия, плюрисубгармонические
функции).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Студентам понадобится знание основ дифференциальной геометрии: кэлеровы метрики, связности,
когомологии, векторные расслоения, кривизна риманова многообразия, почти комплексные и
симплектические структуры, локальные системы.
Понимания содержания осеннего курса "Дифференциальная геометрия и векторные расслоения"
должно быть достаточно.

№
1
2
3
4
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Определение и базовые свойства LCKмногообразий. Весовое расслоение и форма
Ли. Теорема Вайсмана о некэлеровости
LCK-многообразий: компактное LCKмногообразие с нетривиальным весовым
расслоением не допускает кэлеровой
структуры.
Контактные, сасакиевы и вайсмановы
многообразия. Структурная теорема для
вайсмановых многообразий.
Регулярные, квазирегулярные,
иррегулярные вайсмановы и сасакиевы
структуры. Теорема об иммерсии
вайсмановых многообразий в многообразие
Хопфа.
Классификация некэлеровых поверхностей и
классификация сасакиевых 3-многообразий
(Бельгун). Поверхности Инуэ и
многообразия Олеклауса-Тома.
6
7
Аудиторные часы
Самостоя
Практиче
тельная
Семина
Лекции
ские
работа
ры
занятия
6
8
6
8
4
6
8
8
4
6
6
7
6
7
LCK-многообразия с потенциалом и теорема о
вложении LCK-многообразий с потенциалом:
каждое LCK-многообразие с потенциалом
(в частности, каждое вайсманово)
вкладывается в многообразие Хопфа. Явные
конструкции вайсмановых и LCK-метрик на
многообразиях Хопфа.
5
Всего
часов
Строго псевдовыпуклые CR-многообразия и
сасакиева геометрия
Когомологии Морса-Новикова и БоттаЧерна для LCK-многообразий.
Деформационная устойчивость LCKмногообразий с потенциалом.
Группа автоморфизмов вайсманова
многообразия.
Существование потенциала и существование
вайсмановой метрики на LCKмногообразиях с большими группами
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
автоморфизмов.
Итого:

90
40
50
Формы контроля знаний студентов
Студентам выдаются задания (5-10 задач) для самостоятельного решения и обсуждения в
классе.

Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (5-7 задач по
каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного
владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными)
приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной
сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение
студентами материала, не излагавшегося на лекциях. Обсуждение подходов к решению этих задач
происходит на семинарах и во время консультаций. Решение некоторых (но не обязательно всех)
задач повышенной сложности является необходимым условием получения отличной оценки за
домашнее задание (8-10 баллов).
Экзамен (зачет) включает в себя письменную подготовку, состоящую из одной-двух
распространенных задач, решение которых требует от студента владения как понятийным, так и
техническим аппаратом по изучавшимся в течение модуля темам, а также из одного теоретического
вопроса. На письменную подготовку отводится 1 час во время зачета и 1,5 часа во время экзамена.
Затем студент в очной беседе с преподавателем излагает результаты своей письменной работы и,
при необходимости, отвечает на 1-2 дополнительных вопроса. Время, отводимое на беседу: ½ - 1
час во время зачета, и ½ - 1½ часа во время экзамена.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Промежуточная оценка за первый модуль Опромежуточная 1 и накопленная оценка за 2 модуль
Онакопленная 2 рассчитываются аналогично:
Опромежуточная 1 (Онакопленная 2) = 0.5*Отекущий + 0.5*Осам.работа ,
где Отекущий и Осам.работа --- оценки текущего контроля и самостоятельной работы студентов в
соответствующих модулях.
Здесь оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма трех форм
текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0.3* Од/з + 0.2* Ок/р + 0.5* Окол/зачет ,
Оценки за домашнее задание Од/з , контрольную работу Ок/р , и коллоквиум/зачет Окол/зачет
выставляются по 10-балльной шкале. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в
пользу студента.
Студент, получивший низкие оценки текущего контроля, имеет возможность их однократной
пересдачи.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Самостоятельная работа студентов, а именно: изучение по поручению преподавателя
дополнительных материалов, подготовка на их основе сообщений и выступление с ними на
семинарах, а также разбор у доски задач повышенной сложности на семинарских занятиях --оценивается по 10-бальной шкале оценкой Осам.работа. Оценки за самостоятельную работу студента
преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа окончательно
определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.
Накопленная итоговая оценка за весь период изучения дисциплины определяется как среднее
арифметическое оценкок за 1 и 2 модули:
Онакопленная итоговая = 0.5*(Опромежут 1+ Онакопленная 2)
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная итоговая + 0,6*Оитог.контроль
Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента.
На экзамене(зачете) студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
задачу), ответ на который оценивается в 1 балл.
Оценка за итоговый контроль - блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке
она равна результирующей.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.

Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций. Студент сдает задачи как в виде письменных домашних работ, так
и в виде устной беседы с преподавателем.


Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Пример задачи или вопроса по теме:
Let $S$ be a 3-dimensional Sasakian manifold not diffeomorphic to a sphere or its quotient by a finite
group. Prove that $S$ is quasiregular.
Find an example of a compact CR-manifold, not isomorphic to a sphere, and admitting 2 non-proportional
Sasakian metrics.
Prove that any Stein manifold admits a proper holomorphic map to $\C^n$.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература:
F. A. Belgun, On the metric structure of non-Kahler complex surfaces, Math. Ann., 317 (2000), 1--40.
C.P. Boyer, K. Galicki, Sasakian geometry, Oxford mathematical monographs, Oxford Univ. Press, 2006
S. Dragomir and L. Ornea, Locally conformal Kahler geometry, Progress in Math. 155, Birkhauser,
Boston, Basel, 1998.
P. Gauduchon and L. Ornea,
Locally conformally Kahler metrics on Hopf surfaces, Ann. Inst. Fourier 48 (1998), 1107--1127.
H. Grauert, R. Remmert, Theory of Stein spaces, Springer-Verlag 2004.
K. Oeljeklaus, M. Toma,
Non-Kahler compact complex manifolds associated to number fields, Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1291-1300.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kahler metrics obtained from pseudoconvex shells
http://arxiv.org/abs/1210.2080
12 pages
Liviu Ornea, Misha Verbitsky, Victor Vuletescu Blow-ups of locally conformally Kahler manifolds
http://arxiv.org/abs/1108.4885
14 pages
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Oeljeklaus-Toma manifolds admitting no complex subvarieties
http://arxiv.org/abs/1009.1101
Math. Res. Lett. 18 (2011), no. 04, 747-754
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kahler manifolds admitting a holomorphic conformal flow
http://arxiv.org/abs/1004.4645
Mathematische Zeitschrift, Volume 273, Issue 3 (2013), Page 605-611
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Automorphisms of locally conformally Kahler manifolds
http://arxiv.org/abs/0906.2836
Int. Math. Res. Not. 2012, no. 4, 894-903
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Topology of locally conformally Kahler manifolds with potential
http://arxiv.org/abs/0904.3362
Int. Math. Res. Not. 2010, No. 4, 717-726 (2010)
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Morse-Novikov cohomology of locally conformally Kahler manifolds
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
http://arxiv.org/abs/0712.0107
J. Geom. Phys. 59 (2009), no. 3, 295--305.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Embeddings of compact Sasakian manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0609617
Math. Res. Lett. 14 (2007), no. 4, 703--710
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Sasakian structures on CR-manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0606136
Geom. Dedicata 125 (2007), 159--173.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kaehler manifolds with potential
http://arxiv.org/abs/math/0407231
Mathematische Annalen, Vol. 248 (1), 2010, pp. 25-33
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Immersion theorem for Vaisman manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0306077
Math. Ann. 332 (2005), no. 1, 121--143
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Structure theorem for compact Vaisman manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0305259
Math. Res. Lett, 10(2003), no. 5-6, 799-805
I. Vaisman, Remarkable operators and
commutation formulas on locally conformal Kahler manifolds, Compositio Math, 40 (1980), 227--259.
Misha Verbitsky,
Vanishing theorems for locally conformal hyperkaehler manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0302219
Proc. of Steklov Institute, vol. 246, 2004, pp. 54-79

Справочники, словари, энциклопедии
При освоении курса могут быть полезны материалы по темам, размещенные в онлайн
энциклопедиях
http://www.wikipedia.org,
http://www.scholarpedia.org

Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.

Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций по электронной почте и-или через skype.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Локально-конформные кэлеровы многообразия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 010100.68 «Математика» подготовки магистра
 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.