Справочный материал к выполнению контрольной работы №2
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФГОУВПО «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики и
программного обеспечения ЭВМ
Методические рекомендации к выполнению контрольных
работ для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета
по дисциплине «Математика»
Часть 4.
Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Функции
комплексной переменной. Элементы теории поля. Векторный анализ.
Мурманск
2007 г.
2
УДК 517.2/.3 (076.5)
ББК 22.1 я 73
М 54
Составители: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент
кафедры высшей математики и программного обеспечения
ЭВМ МГТУ;
Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;
Демешко Людмила Александровна, ассистент кафедры высшей
математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и
ПО ЭВМ 30 мая 2007 г., протокол № 7
Рецензент – Котов А.А., к. т. н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор
Корректор
Мурманский государственный технический университет, 2007
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................... 5
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ............................. 7
1. Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное
исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная
геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля.
Функции комплексной переменной» ................................................................... 7
2. Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление
функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории
векторного поля» .................................................................................................. 11
СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА И ССЫЛКИ НА
ЛИТЕРАТУРУ ........................................................................................................ 15
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
№1 ............................................................................................................................ 17
1. Функция нескольких переменных и ее частные производные................. 17
1.1. Определение функции нескольких переменных ...................................... 17
1.2. Частные производные ФНП ........................................................................ 18
1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП ............................... 19
1.4. Производные ФНП высших порядков ....................................................... 20
2. Частные производные ФНП, заданной неявно .......................................... 21
3. Производная сложной ФНП. Полная производная ................................... 21
4. Экстремумы ФНП ............................................................................................ 22
4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП ............................................... 22
4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой
области .................................................................................................................. 23
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ........................................ 24
6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению ......................... 25
7. Функции комплексной переменной ............................................................... 26
4
7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной ................. 26
7.2. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП .................................... 27
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
№2 ............................................................................................................................ 29
1. Двойной интеграл ............................................................................................ 29
1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах ................. 29
1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах .................... 31
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов ........................................... 32
2. Тройной интеграл ............................................................................................. 33
2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах ................. 33
2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах ........ 34
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов ........................................... 34
3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) .................................... 35
4. Векторная функция скалярного аргумента ................................................... 35
5. Векторное поле ................................................................................................. 36
5.1. Поток векторного поля через поверхность ............................................... 36
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция ....................................... 38
6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля .................................... 39
6.1. Ротор векторного поля ................................................................................. 39
6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал ..................................... 40
6.3. Соленоидальное векторное поле ................................................................ 42
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 .... 42
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 .... 54
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА................................................................... 63
5
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечернезаочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся задания к выполнению контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля.
Функции комплексной переменной» и «Интегральное исчисление функции
нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного
поля», а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны:
• знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные,
полный дифференциал и др.;
• уметь находить частные производные для явно и неявно заданной
ФНП, частные производные высших порядков и полную производную для
сложной ФНП;
• иметь представление об экстремумах ФНП и уметь находить глобальные экстремумы функции двух переменных в замкнутой области;
• иметь представление об основных поверхностях 2-го порядка, уметь
составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности;
• знать основные понятия теории скалярного поля и уметь определять
его основные характеристики: линии уровня, градиент, производную по
направлению;
• иметь представление о функции комплексной переменной, об ее аналитичности и уметь дифференцировать аналитические функции комплексной переменной;
• знать основные понятия теории интегрального исчисления функций
нескольких переменных (двойной, тройной интегралы и криволинейный интеграл II-го рода, их свойства) и уметь решать задачи с применением этих
интегралов;
6
• иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием;
• знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики: поток, дивергенция, ротор;
• знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства.
Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по перечисленным
темам, и решения примерных вариантов этих двух работ, в которых имеются
ссылки на используемый справочный материал.
7
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением каждой контрольной работы необходимо изучить
теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
1. Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля.
Функции комплексной переменной»
Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи
включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.
Задача 1. Дана функция z = f (x, y). Требуется:
z
z
1) найти частные производные x и y ;
2) найти полный дифференциал dz;
2z
2z
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: x y y x .
Номер
варианта
Функция
Номер
варианта
Функция
1
z = ln( x + 2y3)
2
z = (y2 – x) arcsin(2x)
3
z = tg(x – 5y2)
4
x
z = e (y + 4x)2
5
x 3 y
z= e
+ cos(xy)
6
z = ln3 (2y – x)
7
z = xcos(3x + 2y)
8
z=
9
z = x y + sin(x – y)
10
2
3 y sin x
z = 4xy5 – e
x 2 3 y
z
z
y
Задача 2. Найти частные производные x , y и x , если переменные x,
y и z связаны равенством вида F(x, y, z) = 0.
8
Номер
варианта
Равенство F(x, y, z) = 0
Номер
варианта
1
e xy z + 3x2siny – 2xz3 = 0
2
sin(xy2) + z3xy2 + z4 – x = 0
4
y2
(x – 2y) – 5 + 3cosx – z5 =
z
0
6
cos(y + ez) + xz5y + 3x3 + 4 = 0
8
(z – 2x)3 + 3y4 x – y2e2z –2x = 0
10
sin2z + ln(x – y)+ 2x4 – 3yz2 =
0
3
5
7
9
xe
z y
4
+ zy + y2lnx – 2z = 0
ln(xz3) + y3 – 5x2yz4 + 5x = 0
ey
ze
2
z2
y
Равенство F(x, y, z) = 0
+ ytgx – zx5 + 3y = 0
+ x z + y zx – y = 0
3
2
5
Задача 3. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где x x(t ), y y(t ) . Найти полdz
ную производную d t .
Номер
варианта
Функция z= f (x, y, t)
Функции x x(t ), y y(t )
1
u = (3t + 2x2 – y)3
x = tgt, y = cos t
2
u = (4t – x) e x 2 y
x=
3
u = tsin(x3 + y)
x=
4
u = tg(x + t ) e
5
6
7
u=
y
t 2 xy
u= sin(x2 + y) – y t
u=
ln( 2 x t )
y
1
1
, y=
t2
2t 1
t + 1, y = t4
x = ln(t3+ 1), y = t2
x = sin3t, y = 1 – 5t
t
x= e , y=
t
2t 2
2
x = cos4t, y = sin2t
1
8
u = xctg(t – 3y)
x = 2 – 3t2, y = t 1
9
u = ln(2t + x – y2)
3
x = sin2t, y =3t – t
10
u = xy2 + cos(y + 2t)
x=
t – t, y =2t – 4
9
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в
которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Номер
варианта
Функция
Уравнения границ области D
1
z = x2 – xy + 2y2 + 3x + 2y +1
x = 0, y = 0, x + y = –5
2
z = x2 + y2 – 6x + 4y + 2
x = 1, y = –3, x + y = 2
3
z = 5x2 – 3xy + y2 + 5x + 4
x = –1, y = –2, x + y = 1
4
z = x2 – 2y2+ 4xy – 6x – 1
x = –1, y = 0, x + y = 3
5
z = x2 – 3xy + 4x + 8y
x = 0, y =4, x + y = –2
6
z = x2 – 4xy + 3y2 + x – y
x = –1, y = –1, y + x = 5
7
z = 10 – x – 2xy – x2
x = – 3, y = – 1, x + y = 0
8
z = 2x2 + y2 – xy + x – y + 3
x = –1, y = 2, x – y = 0
9
z = x2 – y2 + xy – 3x + 1
x = 0, y = 0, x + y = 4
10
z = x2 + y2 – xy + x – 4y
x = 1, y = 3, x + y = –3
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0),
принадлежащей ей, если x0, y0 – заданные числа.
Номер
варианта
Уравнение поверхности
Значения x0, y0
1
z = 3y – x2y + x
x0 = 1, y0 = 5
2
z=
x2
+ 3x – y2
y
x0 = 1, y0 = –1
10
3
z=
xy + x3 – 5
x0 = 1, y0 = 4
4
z = y3 x – y + x 2
x0 = –1, y0 = 2
5
z = cosy + 2x2 – xy
x0 = 2, y0 = 0
6
z = xy + y3 + 2x
x0 = 2, y0 = 1
7
z = ln(2x) – xy3 + y
x0 = 1 , y0 = 2
8
y
z = e + x2y – x4 + 1
x0 = –1, y0 = 0
9
z = ysinx + 3y2
x0 = , y0 = –1
10
y
z = 2y – 2 + x5
x
x0 = 1, y0 = 3
2
2
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = U(x, y), точка M0(x0, y0) и вектор
s . Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля U;
U
2) найти градиент поля в точке M0 и производную s функции U(x, y) в
точке M0 по направлению вектора s ;
3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M0; изобразить вектор grad U (M 0 ) на этом
чертеже.
Номер
варианта
Скалярное поле
Точка M0 (x0, y0)
1
U = x2 + 3y2
M0(1, 1)
2
U = x2 – 2 y2
M0(2, 1)
3
U = –3y – x2
M0(–1, –1)
4
U = y2 – 4x
M0(–2, 1)
5
U = 2x2 – y2
M0(1, 1)
Вектор s
s = 3i – 4 j
s = 6i + 8 j
i
s= +2 j
s = –2 i + 2 j
s = –i – 3 j
11
6
U = 2 x2 + y2
M0(1, 2)
7
U = x3 – y
M0(1, –2)
8
U =2x + y2
M0(–2, 1)
9
U = (x + 1)2 + y2
M0(0, 2)
10
U = 3x2 – y2
M0(1, –1)
i
s=2 +2 j
s = –2 i + j
s= i + j
s= i –2 j
s = –2 i + 3 j
Задача 7. Дана функция комплексной переменной (ФКП) w = f (z), где
z = x + iy, и точка z0. Требуется:
1) представить ФКП в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
2) проверить, является ли функция w аналитической;
3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
№
варианта
1
2
3
4
5
Функция w = f (z), точка z0
5
(2 z ) 2 2i, z 0 3 i
z
2z
w z 2 5i
, z 0 2 2i
z2
i
w z (3i z ) 2 , z 0 1 i
z
1 i
w (5i z) 2
, z0 1 i
z
3
w
5z 2 4i, z 0 1 i
z 2i
w
№
варианта
6
7
Функция w = f (z), точка z0
w
4
(7i z) 2 1, z 0 2 3i
z i
w
z 1 2
z 3i, z 0 2 2i
z
8
w ( z 3i) 2
9
w
10
2i
5z, z0 2 i
z 1
2
( z 2i) 2 3i, z 0 2 2i
z
w 2 z2
3i
, z 0 1 3i
z 2i
2. Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы
теории векторного поля»
Контрольная работа состоит из шести задач. Задание в каждой задаче
12
включает в себя его формулировку и десять вариантов исходных данных.
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области
D, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования.
Номер
варианта
Границы области D
Номер
варианта
Границы области D
1
x + y = 3, x = 2y2, y = 0
2
x + y = 1, x2 = y – 1, x = 1
3
y = x + 1, 1 – x = y2, y = 0
4
y = x2, 2y = x2, x = 2
5
xy = 2, y = 2x, x = 2
6
x + y = 0, x2 = y, y = 1
7
x + y = 2, y = x3, x = 0
8
xy = 1, x = y, y = 2
9
y = x + 2, y = x2
10
x = y, 2x + y2 = 0, y = 2
Указание. Считать плотность вещества ( x, y) 1 .
Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит
в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус
основания R, высота цилиндра H и функция плотности ( ) , где – полярный радиус точки.
№
варианта
Размеры цилиндра,
плотность вещества
№
варианта
Размеры цилиндра,
плотность вещества
1
2
R = 1, H = 0,5, (2 )
2
2
3
R = 2, H = 0,5, 2
R = 2, H = 1, 1 2
2
3
R = 1, H = 3, 2 3
4
5
R = 2, H = 0,5, 6 3 2 2
6
7
R = 1, H = 2, 4 2 5
8
R = 4, H = 0,25, 2 5 2
9
2
R = 1, H = 0,1, (3 2 )
10
R = 1, H = 5, 3 5 3 1
R = 3, H = 1,
3
3
9
2
13
F
Задача 3. Вычислить работу силы
при перемещении точки приложения
силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.
Номер
варианта
Сила F
Параметрические уравнения
кривой L
Значения параметра
t в точках B и C
x t sin t , y 1 cos t
t B 0, t C 2
2
F 2i y j
F x i 2 y 2 j
3
F 2 xy i 3 y j
x cos 2t , y sin 2t
t B 0, t C
4
x
F i yj
3
x cos t 3 , y sin t 3
t B 0, t C
5
F xy i x 2 y j
x 4 sin 2t , y cos 2t
t B 0, t C
6
F ( x 2) i y 2 j
x 1 sin t , y 3 cos t
t B 0, t C
1
x 2 cos t , y sin t
t B 0, t C
8
y
F 3 i 1 j
4
F xy i 5 y j
9
F 2 i 3x j
x 1 cos 2t , y sin 2t 2
t B 0, t C
10
F x 2 i (1 2 xy) j
x 3 sin t , y 2 cos t
t B 0, t C
7
x 2t 2 sin t , y 2 2 cos t
x 2 cos 3t , y 2 sin 3t
6
4
2
3
2
t B 0, t C
t B 0, t C
6
4
2
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: r r (t ), t 0 . Найти век-
торы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
№
варианта
1
3
5
Радиус-вектор
r (t ) (1 t 3 ) i (3t t 2 ) j 0,1t 5 k
r (t ) (5t 1) i 0,5 t 3 j (t 2 t 3 ) k
r (t ) (0,5 t 3 t ) i (3t 2) j 2t 2 k
№
варианта
2
4
6
Радиус-вектор
r (t ) (t 2 2t ) i (2t 1) j 0,25 t 4 k
r (t ) (t 2 3t )i 0,1t 5 j (5 2t ) 2 k
r (t ) (t 3 4t ) i 3t j (2t t 2 ) k
14
r (t ) (t 1) 3 i 0,5t 4 j (2 t ) k
r (t ) 0,5t 4 i (2t t 3 ) j (t 2) k
7
9
8
10
r (t ) 2t i (4t 0,5t 2 ) j (5 t 3)k
r (t ) (t 2) i 0,5t 2 j (1 0,5t 4 ) k
Задача 5. Дано векторное поле a и уравнение плоскости .
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Векторное поле a
Уравнение плоскости
a ( y z) i x j ( y 4 z)k
2x + 2y + z – 2 = 0
a ( y 3z) i 2 y j (2x y)k
a ( x y) i (2z 1) j ( x 3z)k
a ( x z) i ( y z) j 2x k
a (2z x) i ( x 2 y) j 3z k
a ( x 2 y) i 4 y j (3x z)k
a ( y z) i (2 y 1) j ( y 2z)k
a (2 x 1) i 2 z j ( y z)k
a 2 z i ( x 2 y) j ( x z ) k
a 3 y i ( x 2 z) j ( x z)k
2x + 3y + z – 1 = 0
3x + 2y + z – 6 = 0
x + 2y + 2z – 2 = 0
3x + y + 2z – 3 = 0
4x + y + 2z – 2 = 0
x + y + 2z – 2 = 0
2x + 3y + 4z – 6 = 0
x + 2y + 4z – 4 = 0
x + 5y + z – 5 = 0
Требуется:
1) найти поток поля a через плоскость треугольника АВС где А, В, и С –
точки пересечения плоскости с координатными осями, в направлении
нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;
2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля a
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
Задача 6. Проверить, является ли векторное поле заданной силы F потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его по
тенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы F при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.
15
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сила F
F ( y 2 3x 2 z) i 2 x y j x 3k
3
2 2
F 2x z i 3 j 3x z k
F 2x z i 8 y j (1 x 2 )k
2
2
F 3 y i (3x 2 y z ) j 2 y z k
F 6x 2 i 3 y 2 z j y 3k
2
F ( z 2 y) i 2 x j 2 x z k
F 6x z 2 i 3 y 2 j 6x 2 z k
2
2
F 6x i 2 y z j y k
F 2 y i (2 x 2 yz) j y 2 k
2
3
F 3x y i x j 2 x z k
Точки M и N
M(–1, 0, 0), N(1, 2, 1)
M(0, –2, 1), N(1, 0, 0)
M(1, –2, 0), N(3, 0, –1)
M(0, –1, –2), N(1, –3, 0)
M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0)
M(2, 1, 0), N(0, –1, 3)
M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1)
M(0, 1, –2), N(1, –2, –1)
M(0, –1, 4), N(1, 0, 3)
M(2, –2, 1), N(3, 0, –1)
СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА И
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
№
темы
1
2
3
Содержание
Функции нескольких переменных (ФНП), их частные производные, полное приращение и
полный дифференциал. Производные ФНП высших порядков. Свойство смешанных производных высших порядков
Литература
[1], гл.IX, § 43.1, 44.1-44.3;
[3], гл. VIII, § 1, 3, 5, 7, 12;
[5], гл. VIII , № 1192-1195, 12101211, 1214-1217, 1228, 12321236, 1245;
[7], гл. 12, № 1-8, 34-40, 67-72
[1], гл.IX, § 44.8;
Дифференцирование ФНП, за- [3], гл. VIII, § 11;
данных неявно
[5], гл. VIII , № 1276, 1288, 1289,
1291, 1293, 1294
[1], гл.IX, § 44.6;
Сложные ФНП. Частные про[3], гл. VIII, § 10;
изводные сложных ФНП. Пол[5], гл. VIII , № 1255, 1257, 1258;
ная производная ФНП
[7], гл. 12, № 23-29
16
4
5
6
7
8
9
10
11
Экстремумы ФНП. Наиболь[1], гл.IX, § 43.4, 46.1-46.3;
шее и наименьшее значения
[5], гл. VIII , № 1316, 1317, 1319
ФНП в замкнутой области
[1], гл.IX, § 45;
Касательная плоскость и нор- [3], гл. IX, § 6;
маль к поверхности
[5], гл. VIII , № 1295, 1297-3000;
[7], гл. 12, № 94-98
[2], гл. VII, § 24;
Скалярное поле. Линии и по- [3], гл. VIII, § 13-15;
верхности уровня. Градиент [5], гл. VIII , № 1265-1270, 1273;
скалярного поля, его свойства. [7], гл. 12, № 46-54;
Производная по направлению
[8], гл. II, № 2.19, 2.22, 2.26, 2.31,
2.32, 2.36, 2.42, 2.44
Функции комплексной переменной (ФКП). Производная [2], гл. VIII, § 28.1-28.5;
ФКП. Условия Коши-Римана [6], гл. VII , № 1012, 1013,
(Эйлера-Даламбера). Аналити1028, 1029, 1033-1035;
ческие функции комплексной [8], гл. III, № 3.29, 3.32, 3.36, 3.37переменной и их дифференци3.39
рование
Двойной интеграл и его основ- [2], гл.II, § 7.1-7.6;
ные свойства. Вычисление
[4], гл. 13, § 1, 2, 4;
двойного интеграла в декарто[6], гл. I , № 1-8, 77, 78, 81, 85, 90,
вых и в полярных координатах.
94;
Приложения двойных интегра- [7], гл. 13, № 1-4, 15-22, 86-89,
лов
96-99
Тройной интеграл и его основ- [2], гл.II, 8.1-8.4;
§
ные свойства. Вычисление
[4], гл. 13, § 10;
тройного интеграла в декарто[6], гл. I , № 95, 96, 99, 101, 105,
вых и в цилиндрических коор109, 112, 113, 117;
динатах. Приложения тройного
[7], гл. 13, № 151, 154, 161, 167, 184
интеграла
[2], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5;
Криволинейный интеграл II ро[4], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2;
да (по координатам), его основ[6], гл.II , № 181, 182, 189, 200;
ные свойства, вычисление и
[7], гл. 13, № 103, 121-126, 147-149;
приложения
[8], гл. II, № 2.112, 2.113, 2.115
Вектор-функция скалярного ар- [3], гл. IX, § 1-4;
17
гумента, ее дифференцирование [5], гл. VII , № 1134, 1136, 1148,
и физический смысл производ1149
ных
Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и
[2], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3;
его вычисление с использова[4], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5;
нием поверхностного интеграла
12
II рода. Формула Остроградско- [6], гл.II , № 238, 241, 243, 257;
го-Гаусса. Дивергенция вектор- [7], гл.13, № 220, 222, 223, 226;
ного поля. Вычисление потока [8], гл. II , № 2.62(а), 2.96, 2.99,
2.111
векторного поля через замкнутую поверхность
Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его
потенциал. Признак потенциальности векторного поля. [2], гл. VII, 25.5, 27.1, 27.2;
§
Свойства потенциальных по[4], гл. 13, § 14.3, 14.6;
лей. Нахождение потенциала
13
векторного поля с помощью [6], гл. II , № 247, 249, 250, 263;
криволинейного интеграла II [8], гл. II , № 2.60, 2.73, 2.75, 2.131,
2.135-2.137, 2.143
рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак
соленоидальности векторного
поля
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ №1
1. Функция нескольких переменных и ее частные производные
1.1. Определение функции нескольких переменных
Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).
18
Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).
2
2
Пример. z x 2 y z f ( x, y) .
Аналогично определяются функции трёх и более переменных.
2
2
Примеры. u x y z u f ( x, y, z) – функция трёх переменных;
W x12 x 22 ... x n2 – функция n переменных.
Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).
1.2. Частные производные ФНП
Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а
другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по
одному из аргументов: x z f ( x x, y) f ( x, y) – это частное приращение
функции z по аргументу x; y z f ( x, y y) f ( x, y) – это частное приращение
функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её
аргументов называется предел отношения частного приращения функции по
этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии,
что приращение аргумента стремится к нулю:
z
z
z x lim x
x 0 x
x
– это частная производная функции z по аргументу x;
yz
z
z y lim
y 0 y
y
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить
дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример. z 2x5 3x 2 y y 2 4x 5 y 1
19
'
z
2 x 5 3x 2 y y 2 4 x 5 y 1 x y const 10 x 4 6 xy 4;
x
'
z
2 x 5 3x 2 y y 2 4 x 5 y 1 y x const 3x 2 2 y 5.
y
1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП
Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке
(x, y), вызванным приращениями аргументов x и y , называется выражение
z f ( x x, y y) f ( x, y) .
Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.
Если обозначить
x 2
y
2
– расстояние между близ-
z 0 – это определение непрекими точками ( x x, y y) и (х, у), то lim
0
рывности ФНП на языке приращений.
Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)D, то она
называется непрерывной ФНП в области D.
Функция z = f (x, y), полное приращение z которой в данной точке
(x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения,
линейного относительно x и y , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой
ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется
полным дифференциалом ФНП.
Если z f x ( x, y) x f y ( x, y) y 1 x 2 y , где 1 , 2 –
бесконечно малые при 0 , то полный дифференциал функции z = f (x, y)
z
z
dz
x
y , или:
выражается формулой:
x
y
dz
z
z
dx
dy
x
y
(1)
(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами:
20
х = dx, y = dy).
Из определения полного дифференциала следует его связь с полным
приращением: при малых x и y полное приращение функции z примерно
равно ее полному дифференциалу: z d z с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно 0 .
Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки
M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений x и y .
1.4. Производные ФНП высших порядков
Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности непреz
z
z
z
рывные частные производные первого порядка x и y . Так как x и y
являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта:
x
z
x
2z
z xx 2 ,
x
y
z
y
2z
z yy
,
y2
y
z
x
2z
z xy
,
x y
x
z
y
2z
z yx
y x
– эти частные производные называются частными производными второго
порядка от функции z (x, y).
Частные производные z xy и z yx называются смешанными частными
производными второго порядка.
Пример. Дана ФНП z e
рого порядка.
2 x y 2
. Вычислим все её частные производные вто-
z x e 2 x y 2; z y e 2 x y (2 y ); z xx ( z x )x e 2 x y 2
2
z ( z ) e
z ( z ) e
2
z yy ( z y )y e 2 x y (2 y )
xy
yx
2
2 x y 2
2
2 x y 2
(2 y )
x y
y x
2
4e 2 x y ;
2
x
2
2e 2 x y (2 y ) 4 ye 2 x y ;
2
y
e 2 x y (2 y ) 2 e 2 x y (2) e 2 x y (4 y 2 2);
2
y
2
2
2 ye 2 x y 2 4 ye 2 x y .
2
x
2
21
Основное свойство смешанных частных производных: если функция
z = f (x, y) и её частные производные zx , z y , z xy и z yx определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности, то в этой точке z xy = z yx , то
есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.
2. Частные производные ФНП, заданной неявно
Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области D xOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению
F ( x, y, z ) 0 , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных,
например, функцию z z ( x, y ) .
Если существуют частные производные функции F(x, y, z): Fx , Fy , Fz и
Fz 0 , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые
можно вычислить по формулам:
F
z
x ;
x
Fz
F y
z
.
y
Fz
z
2
2
2
Пример. Дано: x y z 4 0 . Найти x и
z
y
(2)
.
2
2
2
Здесь F ( x, y, z) x y z 4 . По формулам (2) находим:
F
z
2x
x
x
,
x
Fz
2z z
F
z
2y
y
y
, z 0.
y
Fz
2z z
Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно
найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:
F
y
x ;
x
F y
F
y
z .
z
F y
(3)
3. Производная сложной ФНП. Полная производная
Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем
x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда
22
z zx(t ), y(t ), t – это сложная функция одной переменной t, а x и y – проме-
жуточные переменные.
Полной производной по переменной t сложной ФНП z zx(t ), y(t ), t
dz
называется её производная dt , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются
функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).
Полная производная вычисляется по формуле:
d z z d x z d y z
(4)
dt x dt y dt t .
dz
Здесь dt – это полная производная функции z по переменной t при условии,
z
– это частная производная функt
ции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые
z
переменные, кроме t. При нахождении
зависимость переменных x, y от t
t
не учитывается.
В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), что-
что все другие переменные зависят от t;
бы выразить полную производную через независимую переменную t.
4. Экстремумы ФНП
4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП
Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке
(x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): z max f ( x0 , y0 ) .
Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности
точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум
ФНП в точке (x0, y0): z min f ( x0 , y0 ) .
23
Максимум z max и минимум z min называют локальными экстремумами
ФНП.
Необходимое условие экстремумаФНП: если функция z = f (x, y) имеет
экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка
функции z в точке (x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.
Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками
функции, или точками, подозрительными на экстремум.
f
f
Если (x0, y0) – это такая критическая точка, в которой x 0 и y 0 ,
то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y).
4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой
области
Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя
свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.
По свойствам непрерывных функций, непрерывная ФНП z = f (x, y) в
замкнутой ограниченной области D xOy достигает своих наибольшего и
наименьшего значений zнаиб = М. и zнаим = m, называемых глобальными экстремумами ФНП в области D. Эти значения zнаиб. и zнаим. достигаются или в
точках локальных экстремумов функции z = f (x, y) внутри области D или на
границе этой области.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой
ФНП в замкнутой ограниченной области D, нужно:
1) найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области
D, и вычислить в них значения функции;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3) выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.
Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой
уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахожде-
24
ния наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на
замкнутом промежутке.
Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке
границы.
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность,
проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y)
– дифференцируемая функция, и пусть M0(x0, y0, z0) – фиксированная точка на
поверхности σ, т.е. z0 = f (x0, y0).
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется
плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на
поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением
z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
z z0 f x ( x0 , y0 ) (x x0) f y ( x0 , y0) ( y y0 ) .
(5)
Вектор N { f x ( M 0 ); f y ( M 0 ); 1} называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной
плоскости (рис. 1).
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая
через эту точку и перпендикулярная касательной
плоскости, построенной в этой точке.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке
M0(x0, y0, z0), где z0 = f (x0, y0), имеют вид:
x x 0
y y0
z z 0
f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 )
1 .
(6)
25
6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Говорят, что в двумерной области D xOy задано скалярное поле, если
в каждой точке M(x, y) D задана скалярная функция координат точки:
U(M) = U(x, y).
Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.
Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых
функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.
Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.
Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y)
пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.
Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке
M 0 ( x0 , y 0 ) называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:
gradU ( M 0 )
U
x
M0
U
i
y
M0
U U
j
;
,
z y M0
(7)
где векторы i , j – это орты координатных осей.
Вектор градиента gradU (M 0 ) направлен перпендикулярно касательной
к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .
Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор s .
Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора s харакU
теризует величина s , называемая производной по направлению.
Если в прямоугольной системе координат xОy вектор s имеет направляющие косинусы cos и cos, то производная функции U(x, y) по направле-
U
нию вектора s в точке М0 – число s
– можно найти по формуле:
M0
26
U
s
M0
U
x
cos
M0
U
y
cos ,
(8)
M0
Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора
s {s x ; s y } :
sy
s
cos x , cos , где модуль вектора: s s x2 s 2y .
s
s
Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:
U(M) = U(x, y, z), M ( x, y, z ) V . Поверхности уровня скалярного поля – это
такие поверхности, на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля:
U(x, y, z) = const.
Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):
gradU ( M )
U U U U U U
i
j
k
;
;
,
x
y
z
z y z
(9)
где векторы i , j , k – это орты координатных осей.
Вектор gradU (M ) поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали к
поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.
7. Функции комплексной переменной
7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной
Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество
D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй –
множество G комплексных чисел w = u +iv.
Если каждому числу z D по некоторому правилу f поставлено в соответствие определенное число w G , то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D
в множество G. Обозначается: w = f (z).
Множество D называется областью определения ФКП.
Функцию w = f (z) можно представить в виде
f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
27
где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они
– действительные функции от x, y.
Пример 1. w z 2 2 z . Здесь z = x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.
Выделим действительную и мнимую части ФКП:
w z 2 2 z w ( x iy) 2 2( x iy) x 2 2ixy (iy) 2 2 x 2iy i 2 1
x 2 2ixy y 2 2 x 2iy ( x 2 y 2 2 x) i(2 xy 2 y)
u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y.
Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:
w( z1 ) ( x 2 y 2 2 x) i(2 xy 2 y) x2 (2 2 (3) 2 4) i(12 2(3)) 9 18i .
y 3
Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:
w( z1 ) ( z 2 2 z )
z 23i
(2 3i ) 2 2(2 3i ) 4 12i (3i ) 2 4 6i 9 18 i .
Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный
числу A = a + ib, если
lim
z z0 0
f ( z ) A 0 . Обозначается: lim f ( z ) A .
z z0
Существование предела ФКП w = f (z) при z z 0 в означает сущеu ( x, y ) a, lim v( x, y ) b .
ствование двух пределов: xlim
x0
x x0
y y0
y y0
ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0, если выполняется условие: lim f ( z ) f ( z 0 ) .
z z0
Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).
7.2. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП
Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0
называется предел:
f ( z 0 z ) f ( z 0 )
w
lim
,
z 0 z
z 0
z
w( z 0 ) lim
где z x iy , и z 0 произвольным образом.
Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее
окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.
28
Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми
точками этой функции.
Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в
области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:
u v u
v
,
,
(10)
x y y
x
называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.
Пример 2. Проверить аналитичность ФКП w z 2 2 z .
w z 2 2 z u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим
выполнение условий Коши-Римана:
u
2 x 2;
x
v
2 x 2;
y
u
v
2 y;
2 y .
y
x
Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.
1
2
Пример 3. Проверить аналитичность ФКП w z .
z
Выделим действительную и мнимую части функции:
w z2
1
1
x iy
( x iy) 2
x 2 2i xy (iy) 2
x 2 2i xy y 2
z
x iy
( x iy)( x iy)
x iy
x 2 (iy) 2
2
x
y
x y2
2 xy
i
x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
y
x
u ( x, y ) x 2 y 2 2
; v( x, y ) 2 xy 2
.
2
x y
x y2
x 2 2i xy y 2
x iy
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
u v
x2 y2
2x 2
;
x y
(x y 2 )2
u
v
2 xy
2 y 2
.
y
x
(x y 2 )2
Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
29
w z2
1
аналитическая при z 0 .
z
Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную
f (z ) можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные
правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.
1
2
Пример 4. Вычислить значение производной функции w z в точке
z
z0 = – 1+ i.
1
2
Функция w z – аналитическая, а значит, дифференцируемая во
z
всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:
1
2 1
w z 2 z 2 .
z
z
Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:
1
1
1
w( z 0 ) 2 z 2
2(1 i )
2
2
i
z z 1i
(1 i ) 2
1 2i i 2
2 2i
1
2i
2i
2i
5
2 2i
2 2i
2 2i 2 i.
2
2i
(2i )2i
4
2
4i
Следовательно, w(1 i) 2 2,5 i .
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ №2
1. Двойной интеграл
1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области D xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D
имеет вид:
f ( x, y) dS , где dS dx dy .
D
30
Область D xOy называется правильной в направлении оси Oy, если
всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более,
чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).
Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно
задать
системой
неравенств:
a x b,
D :
y1 ( x) y y 2 ( x).
В этом случае двойной интеграл от функции
z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:
b
y 2 x
a
y1 x
f ( x, y) dS dx f ( x, y) dy .
D
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении,
что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл
от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается
число.
Пример. Вычислить
0 x 1,
f ( x, y) dS , если f ( x, y) y 2 x , D:
x y x .
D
y x
1
y2
x2
x
2
D y 2xdS 0 dx x y 2x dy 0 2 2xy dx 0 2 2x x 2 2x dx
y x
1
x
1
1
x
4
1
3
1
1
1 4 1 51610
2 x x x 2 dx x 2 x 5 / 2 x 3
0,05.
5
2 0 4 5 2
2
2
20
20
4
0
1
Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается
системой
неравенств:
c y d ,
D:
и тогда двойной интеграл
x1 ( y ) x x 2 ( y ),
сводится к повторному интегралу по формуле:
31
d
x2 y
c
x1 y
f ( x, y) dS dy f ( x, y) dx .
D
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.
Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного
интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:
b
y 2 x
d
x2 y
a
y1 x
c
x1 y
f ( x, y) dS dx f ( x, y) dy dy f ( x, y) dx .
D
Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла:
f ( x, y) dS f ( x, y) dS f ( x, y) dS .
D1 D2
D1
D2
1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Пусть область D задается в полярных координатах
системой
неравенств
,
Такая область (рис. 4) явля1 ( ) 2 ( ).
ется правильной в полярной системе координат
(каждый луч, выходящий из полюса, пересекает
границу области не более, чем в 2-x точках, за
исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).
Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул
x cos , y sin , dS d d :
32
f x, y dS f cos, sin d d .
D
D
Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть
сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область
D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:
2
f cos , sin d d d f cos , sin d .
D
1
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y) 1, то двойной интеграл от
функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:
SD
dS .
D
Если область D занята тонкой пластинкой и ( x, y) 0 – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы
площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие
величины.
Масса пластинки: m =
x, y dS .
D
Статический момент относительно оси Ox:
Mx
y x, y dS .
(11)
D
Статический момент относительно оси Oy: My =
x x, y dS .
D
Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в
полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.
33
2. Тройной интеграл
2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V
имеет вид:
f x, y, z dv , где dv dx dy dz .
V
Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:
( x, y ) D,
V :
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y),
где z = z1 (x, y) и
z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей,
ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).
Если область D можно задать системой неравенств
a x b,
D:
то
y1 ( x) y y 2 ( x),
a x b,
V : y1 ( x) y y2 ( x),
z ( x, y) z z ( x, y ).
2
1
В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V
можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:
z2 ( x, y )
b
y2 ( x )
f x, y, z dv dx dy f x, y, z dz dx
V
D
z1 ( x , y )
a
y1 ( x )
z2 ( x, y )
dy
f x, y, z dz .
z1 ( x , y )
Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования
внешних интегралов остаются постоянными.
Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка
интегрирования).
34
2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е. M ( , , z) .
Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим
координатам осуществляется при помощи формул x cos , y sin ,
dv d d dz :
f ( x, y, z)dv f ( cos , sin , z) d d dz .
V
V
Если область V задана системой неравенств:
( , ) D,
,
D
:
причем
то V:
z1 ( , ) z z 2 ,
1 ( ) 2 ( ),
,
1 ( ) 2 ( ),
z ( , ) z z ( , ).
2
1
Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:
2 ( )
z2 ( , )
f ( cos , sin , z) d d dz d d f ( cos , sin , z)dz .
V
1(
)
z1 ( , )
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y, z) 1, то тройной интеграл от
нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: V
dv .
V
Если ( x, y, z ) 0 – это плотность неоднородного материала (т.е. масса
единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного
интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула
для вычисления массы тела имеет вид:
m
x, y, z dv .
V
(12)
35
3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz ,
BC
где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением, P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.
В двумерном случае:
P( x, y) dx Q( x, y) dy , где BC xOy.
BC
Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси Ox и Oy вектора переменной
силы F P( x, y) i Q( x, y) j , то
А=
P( x, y) dx Q( x, y) dy
(13)
BC
– это работа силы F при перемещении точки ее приложения вдоль участка
дуги BC.
x x(t ),
Пусть кривая BC задана параметрически: y y (t ), причем функции
x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а tB, tC – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда
x x (t ),
dx x (t ) dt,
y y (t )
dy y (t ) dt,
и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:
tC
A
P( x, y) dx Q( x, y) dy P x(t ), y(t ) x(t ) Qx(t ), y(t ) y(t )dt .
BC
tB
4. Векторная функция скалярного аргумента
Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка [ ; ]
ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то го
ворят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: r r (t ), t [ ; ] .
36
Откладывая векторы r (t ) при t [ , ] от начала координат, получаем
траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор
функции r (t ) .
Проекции вектора r (t ) на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:
r x(t ) i y(t ) j z(t ) k ,
где векторы i , j , k – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.
Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции r (t ) находят
дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:
dr
r (t ) x(t ) i y(t ) j z (t ) k ,
dt
d 2r
r
(
t
)
x
(
t
)
i
y
(
t
)
j
z
(
t
)
k
.
dt 2
Если параметр t – это время, то векторное уравнение r r (t ) называют
уравнением движения точки, а годограф вектор-функции r (t ) является траекторией движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения точки в момент времени t:
dr
v (t )
x(t ) ; y(t ); z (t ) .
(14)
dt
Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t. Вектор
dv d 2 r
w(t )
x(t ); y (t ); z (t )
(15)
dt dt 2
называется ускорением движения точки в момент времени t.
5. Векторное поле
5.1. Поток векторного поля через поверхность
Если в любой точке M(x, y, z) области V xOyz задан вектор a (M ) , то
говорят, что в области V задано векторное поле a .
37
Примеры: силовое поле F , поле скоростей v текущей жидкости, поле элек
тростатических напряженностей E .
Векторное поле является заданным, если задана векторная функция a
от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию a задают в виде
a (M ) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k , M ( x, y, z) V , где P (x, y, z),
Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области
V (область V может совпадать со всем пространством).
Аналогично определяют плоское векторное поле a (M ) в двумерной
области D: a ( M ) P( x, y ) i Q( x, y ) j , M ( x, y ) D xOy .
Пусть в области V xOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой
точке которой определен орт внешней нормали n {cos ; cos ; cos } – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.
Поток векторного поля a через поверхность σ –
это интеграл по поверхности σ от скалярного произве
дения вектора a (M ) P; Q; R на орт нормали n к по-
верхности (рис. 6):
П
a n d P( x, y, z) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos d .
Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она являет
ся скалярной величиной. Например, для поля скоростей v текущей жидкости
поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ
в направлении «внешней» нормали в единицу времени.
Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали
коллинеарен
градиенту
функции,
задающей
поверхность:
38
N gradF {Fx, Fy , Fz} , следовательно, орт нормали
a grad F
(a n )
.
grad F
grad F
n
grad F
a
n d
Для вычисления поверхностного интеграла
поверхность σ
проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область
grad F dx dy
dx dy
D xOy. Тогда d cos
, и вычисление потока сводится к
Fz
вычислению двойного интеграла:
П
a n d
D
a grad F
dx dy ,
Fz
(16)
где знак «+» следует брать в случае, когда вектор grad F и орт «внешней»
нормали n , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».
a gradF
dx dy нужно подынПри вычислении двойного интеграла
Fz
D
тегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное
уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.
Поток вектора a через замкнутую поверхность σ в направлении ее
«внешней» нормали обозначают
a
n d .
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и
тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
P cos Q cos R cos d Px Qy Rz dv .
V
39
Пусть a (M ) P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) – векторное поле, заданное
в области V xOyz . Дивергенцией векторного поля a называется скалярная
функция
P Q R
div a
(17)
x y z ,
которая характеризует наличие источников (если div a (M ) > 0) и стоков
(если div a (M ) < 0), или их отсутствие (если div a (M ) = 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора a через
замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в
векторном виде:
П
a
n
d
div
a
dv ,
(18)
V
т.е. поток вектора a через замкнутую поверхность
σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля
по области V, ограниченной поверхностью σ.
6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
6.1. Ротор векторного поля
Ротором (вихрем) векторного поля a (M ) P( x, y, z ); Q( x, y, z); R( x, y, z)
называется вектор
R Q P R Q P
i
k .
rot a
j
y
z
z
x
x
y
Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной
характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле a сопровождается
другим векторным полем rot a его роторов.
40
Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:
i
j
k
rot a
,
x
y
z
P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x , y , z )
(19)
где вектор x ; y ; z – это векторно-дифференциальный оператор,
называемый оператором Гамильтона или оператором «набла». При вычис
лении определителя умножению его элементов x ; y ; z на функции P, Q,
R
Q
R соответствует операция дифференцирования: y R y , Q
и т.д.
x
x
6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал
Векторное поле a называется потенциальным, если существует такая
скалярная функция U(x, y, z), что a grad U ( x, y, z ), ( x, y, z ) . Функция U
называется потенциалом векторного поля a .
Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле
градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).
Пусть векторное поле a задано в некоторой области V.
Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур
(кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в
точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней,
ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.
Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V,
определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор
41
векторного поля a – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.
Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если
a P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz является полным дифференциалом
функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz
BC
вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой и
равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:
P( x, y, z ) dx Q( x, y, z ) dy R( x, y, z ) dz
BC
dU U
C
B
U (C ) U ( B) .
BC
Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно
взять фиксированную точку В(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точку
С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz dU U ( x, y, z) U ( x , y , z ) .
0
BC
0
0
BC
При этом получаем потенциал U(x, y, z) векторного поля a с точностью до
произвольного постоянного слагаемого.
В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную ВEKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y0, z0),
K(x, y, z0).
42
В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:
y
x
U ( x, y , z )
z
P( x, y , z ) dx Q( x, y, z ) dy R( x, y, z) dz . (20)
0
BE
EK
KC
0
0
x0
y0
z0
Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы
F P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k ,
то с помощью потенциала можно найти работу силы F при перемещении
единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N
как разность значений потенциалов в этих точках:
A
dU U
N
M
U ( N ) U (M ) .
(21)
MN
6.3. Соленоидальное векторное поле
Векторное поле a называется соленоидальным, если существует такое
b
векторное поле
, для которого поле a является полем его роторов:
a rot b .
b
Поле называется векторным потенциалом векторного поля a .
Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V диверген-
ция векторного поля a равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:
z
z
1) найти частные производные x и y ;
2) найти полный дифференциал dz;
43
2z
2z
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: x y y x .
Решение.
z
1) При нахождении x считаем аргумент y постоянным:
z
'
'
2
x = (cos (2x – y)) x = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) x =
= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) 'x = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) 'x – (y) 'x ) =
= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).
z
При нахождении y считаем аргумент x постоянным:
z
= (cos2(2x – y)) 'y = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) 'y =
y
= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) 'y = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) 'y – (y) 'y ) =
= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = sin(4x – 2y).
2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:
z
z
dx
dy = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.
dz = x
y
3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.
z
2
Для того, чтобы найти z , дифференцируем x по у:
x y
2 z = z = (–2sin(4x – 2y)) ' = [считаем x постоянным] =
y
y x
x y
= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) 'y = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).
Для того, чтобы найти
z
2z
, дифференцируем y по x:
y x
44
z
2z
= = (sin(4x – 2y)) 'x = [считаем y постоянным] =
y x
x y
= cos(4x – 2y)(4x – 2y) 'x = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).
2z
2z
2z
2z
Получили:
= 4cos(4x – 2y),
= 4cos(4x – 2y) x y y x .
x y
y x
z
z
Ответы: 1) x = –2sin(4x – 2y); y = sin(4x – 2y);
2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;
2z
2z
3) равенство x y y x выполнено.
z
z
y
Задача 2. Найти частные производные x , y и x , если переменные x,
y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F 'x = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) 'x = [считаем y и z постоянными] =
= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;
F 'y = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) 'y = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2ez + 4y;
F 'z = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) 'z = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2yez – sin (x3 – z).
45
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
Fy
4x 2e z 4 y
Fx
z
8xye z 3x 2 sin( x 3 z ) 3 z
; y F 2 z
x
Fz
4 x ye sin( x 3 z )
4 x 2 ye z sin( x 3 z )
z
По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):
Fx
y
8 xye z 3x 2 sin( x 3 z ) 3
.
x
Fy
4x 2e z 4 y
4x 2e z 4 y
z
8xye z 3x 2 sin(x 3 z ) 3 z
Ответы: x
; y
;
4 x 2 ye z sin( x 3 z )
4 x 2 ye z sin(x 3 z )
y
8 xye z 3x 2 sin( x 3 z ) 3
.
x
4x 2e z 4 y
2
Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где x = cos3t, y t 1 .
dz
Найти полную производную d t .
Решение. Используя формулу (4), получаем:
d z z d x z d y z
1
1
2
2
(2 xy) cos 3t
( x ) t 1
dt x dt y dt t 2t x 2 y
2t x 2 y
1
2t x 2 y
2
1
2 xy 3 sin 3t x 2
2
t
2
2
2t x 2 y
2 t 1
1
2
6 xy sin 3t x t 2
.
2t x 2 y
t2 1
1
2
Подставив в полученный результат x = cos3t, y t 1 , получим вы-
dz
ражение полной производной d t через независимую переменную t:
46
dz
1
cos 3t 2 t
2
6 cos 3t t 1 sin 3t
2
dt 2t cos 3t 2 t 2 1
t 2 1
3 sin 6t (t 2 1) t cos 2 3t 2 t 2 1
2t t 2 1 cos 2 3t (t 2 1)
.
d z 3 sin 6t (t 2 1) t cos 2 3t 2 t 2 1
Ответ: dt
.
2t t 2 1 cos 2 3t (t 2 1)
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и
уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,
x + y = 3. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в
которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
1) Для наглядности процесса решения построим область D в системе
координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C
(рис 9).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала
найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные
1-го порядка равны нулю:
2
2
z x 0,
2 x y 4 0,
( x xy y 4 x 2 y 5)x 0,
2
2
(
x
xy
y
4
x
2
y
5
)
0
x 2 y 2 0.
z y 0
y
Решаем систему:
y 2 x 4,
y 2 x 4,
3x 6,
x 2,
x 2(2 x 4) 2 0
x 4 x 8 2 0
y 2 x 4,
y 0.
47
Стационарная точка М(2, 0) D (рис. 9) и является внутренней точкой
области. Вычислим значение функции в этой точке:
z ( M ) x 2 xy y 2 4 x 2 y 5
x 2;
y 0
22 0 0 8 0 5 1 .
Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить
исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.
x 0,
а) Уравнение участка АВ имеет вид: y [1; 3], и функция z является
функцией одной переменной у:
z AB x 2 xy y 2 4 x 2 y 5
x0
y2 2y 5
обозначим
z1 ( y), y [1; 3] .
Исследуем поведение z1 (y) по правилам
нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно, непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и
наименьшего значений либо на концах промежутка,
либо в стационарных точках внутри промежутка (если они есть).
Исследуем поведение функции z1(y) на участке
АВ: z1 0 2 y 2 0 y 1 y 0 1 [1; 3] – стационарная точка
на границе АВ, совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z1(A) = z1(–1) = 4, z1(B) = z1(3) = 20, получаем: 4 z
AB
20 .
y 1,
б) Уравнение участка АС имеет вид: x [0; 4], и функция z является
функцией одной переменной x:
z AC x 2 xy y 2 4 x 2 y 5
y 1
x 2 3x 4
обозначим
z 2 ( x), x [0; 4] .
Исследуем поведение функции z2(х) на участке АС:
z 2 0 2 x 3 0 x 1,5 x0 1,5 [0; 4] – стационарная точка на гра-
48
нице АС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z2(A) =
z1(А) = 4, z2(С) = z2(4) = 8 и z2(х0) = z2(1,5) =1,75, получаем: 1,75 z AC 8 .
y 3 x,
в) Уравнение участка ВС имеет вид: x [0; 4], и функция z является
функцией одной переменной х:
z BC x 2 xy y 2 4 x 2 y 5
3x 2 15 x 20
обозначим
y 3 x
x 2 x(3 x) (3 x) 2 4 x 2(3 x) 5
z 3 ( x), x [0; 4].
Исследуем поведение функции z3(х) на участке ВС:
z3 0 6 x 15 0 x 2,5 x1 2,5 [0; 4] – стационарная точка на границе ВС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции
z3(В) = z1(В) = 20, z3(С) = z2(С) = 8 и z3(х1) = z3(2,5) =1,25,
получаем: 1,25 z BC 20 .
Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них
наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:
zнаиб = z(В) = 20, zнаим = z(М) = 1.
2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в
которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,3) и М(2,0),
а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции
z(x, y) в этих точках.
Ответы: 1) zнаиб = z(В) = z(0,3) = 20, zнаим = z(М) = z(2,0) = 1; 2) рисунок 9.
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z =
y
+ xy – 5x3. Составить
x
уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке
М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим,
49
используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции
z = f (x, y) =
y
+ xy – 5x3:
x
f 'x (x, y) = (
y
y
+ xy – 5x3) 'x = – 2 + y – 15x2;
x
x
f 'y (x, y) = (
y
1
+ xy – 5x3) 'y = + x.
x
x
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z=
2
y
+ xy – 5x3 z0 =
+ (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
x
1
Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):
f 'x (М0) = –
1
2
+ 2 – 15(–1)2 = –15; f 'y (М0) =
– 1 = –2.
2
1
( 1)
Пользуясь формулой (5), получаем уравнение касательной плоскости к
поверхности σ в точке М0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6), получаем канонические уравнения нормали к
поверхности σ в точке М0:
y 2 z 1
x 1
=
=
.
2
15
1
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения
нормали:
y 2 z 1
x 1
=
=
.
15
2
1
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор
s 2i j . Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
U
2) найти градиент поля в точке M0 и производную s в точке M0 по
50
направлению вектора s ;
3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе
линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор grad U (M 0 )
на этом чертеже.
Решение.
1) Для U = x2 – 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид
2
x2 – 2y = С или y = x – C , где С – произвольная постоянная. Это семейство
2
2
парабол, симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с
вершинами в точках (0, – C ).
2
2) Найдем частные производные функции U = x2 – 2y:
U
U
'
'
2
2
=
(x
–
2y)
=
2x,
x
x
y = (x – 2y) y = – 2.
U
В точке М0(1,–1) значения частных производных: x
2,
M0
U
y
2 .
M0
По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:
gradU ( M 0 )
U
x
M0
U
i
y
j 2i 2 j .
M0
s
2
i
j=
Прежде, чем найти производную по направлению вектора
= {2; – 1}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:
s y 1
s
2
, cos
s s x2 s 2y 2 2 (1) 2 5 , cos x
.
s
s
5
5
s
Производную поля по направлению вектора в точке М0 вычисляем
по
U
s
формуле
M0
U
x
cos
M0
U
y
cos 2
M0
(8):
1
6
2
5
5
5
2
.
3) Для построения линий уровня в системе
координат xОy подставим в уравнение семейства
51
2
линий уровня y = x – C различные значения С:
2
2
x2
при С = 0 получим y =
– уравнение линии уровня, соответствующей зна2
чению U = 0;
x2
при С = –2 получим y =
+ 1 (для U = –2);
2
x2
при С = 2 получим y =
– 1 (для U = 2);
2
x2
при С = – 4 получим y =
+ 2, и т.д.
2
Получим уравнение линии уровня, проходящей через точку М0(1,–1).
Для этого вычислим значение функции
U в этой точке:
U
M0
x2 2y
x 1
y 1
3 C 3
y
x2 3
.
2 2
Построим эти линии в системе координат xОy (рис. 10).
Для построения градиента поля в точке M0 нужно отложить от точки М0
проекции градиента в направлениях координатных осей и построить вектор
gradU ( M 0 ) по правилу параллелограмма.
В данном случае gradU (M 0 ) 2i 2 j {2; 2} , поэтому откладываем
от точки М0(1,– 1) две единицы вдоль оси Ox, две единицы в направлении,
противоположном оси Oy и получаем вектор gradU (M 0 ) 2i 2 j как диа
2
j (рис. 10).
2
i
гональ параллелограмма, построенного на векторах
и
U
Ответы: 1) x – 2y = С; 2) gradU (M 0 ) 2i 2 j , s
2
M0
6
5;
3) линии уровня и gradU ( M 0 ) на рисунке 10.
Задача 7. Дана функция комплексной переменной w
где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:
z
(3i z) 2 4i ,
z 2i
52
1) представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
2) проверить, является ли функция w аналитической;
3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим действительную и мнимую части функции:
w
z
x iy
x iy
(3i z ) 2 4i
(3i x iy) 2 4i
x (3 y )i 2
z 2i
x iy 2i
x ( y 2)i
x iyx ( y 2)i x 2 2 x(3 y)i (3 y)i 2 4i
4i
x ( y 2)i x ( y 2)i
x 2 x( y 2)i xyi y ( y 2)i 2
x ( y 2)i
2
2
x 2 6 xi 2 xyi (3 y ) 2 (i ) 2 4i
заменяем x 2 xy 2 x xy i y 2 2 y
2
x 2 (6 x 2 xy 4)i (3 y ) 2
2
2
x y 2
i 1
x2 y2 2 y
2x
2
2
i
2
x
(
3
y
)
6
x
2
xy
4
x 2 y 22
x y 22
u ( x, y )
x2 y2 2y
x 2 y 22
x 2 (3 y) 2 ; v( x, y )
2x
x 2 y 22
6 x 2 xy 4 .
2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение
условий Коши-Римана (10):
'
2
2
2
2
u x 2 y 2 2 y
2
2
2 x ( x y 4 y 4) ( x y 2 y) (2 x) 2 x
2
x
(
3
y
)
2
x x ( y 2) 2
x
x 2 ( y 2) 2
2 x( x 2 y 2 4 y 4 x 2 y 2 2 y )
x
2
( y 2)
2 2
2x
x
v
2x
2 y 2
2x
2
6
x
2
xy
4
2
y x ( y 2)
y
x 2 ( y 2) 2
8x 4 xy
2
( y 2) 2
2x
2
'
2
'
u x 2 y 2 2 y
2
2
2
x
(
3
y
)
y x ( y 2) 2
y
x
2 x;
8 x 4 xy
2
( y 2) 2
2
2 x.
53
(2 y 2) x 2 y 2 4 y 4 x 2 y 2 2 y 2 ( y 2)
x
2
( y 2)
2 2
2(3 y )
2 x 2 y y 3 4 y 2 4 y x 2 y 2 4 y 4 x 2 y 2x 2 y 3 2 y 2 2 y 2 4 y
x ( y 2)
2x y 4 y 4
6 2y
6 2 y;
x ( y 2)
2 2
2
2
2
2
2 2
'
2 ( x 2 y 2 4 y 4) (2 x) 2 x
v
2x
6 x 2 xy 4
6 2y
2
x x 2 ( y 2) 2
x
x 2 ( y 2) 2
2 x 2 y 2 4 y 4 2x 2
x
Получили:
2
( y 2) 2
u v
,
x y
2
6 2 y 2x y 4 y 4 6 2 y .
x ( y 2)
2
2
2
2 2
u
v
. Условия Коши-Римана выполняются во
y
x
всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и
функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
z
w
(3i z) 2 4i – аналитическая при z 2i .
z 2i
3) Найдем производную функции:
'
( z 2i ) z
2i
z
w
(3i z ) 2 4i
2(3i z )
6i 2 z .
2
( z 2i )
( z 2i ) 2
z 2i
z
Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.
2i
2i
w( z 0 )
6
i
2
z
6i 2 6i
2
2
( z 2i)
z 13i (1 3i 2i)
2i
2i
2i
12
i
2
12
i
2
12i 2 1 12i 2 1 12i.
2i
(1 i) 2
1 2i i 2
Ответы:
1) u ( x, y )
x2 y2 2 y
x 2 y 22
x 2 (3 y ) 2 ; v( x, y )
2x
x 2 y 22
6 x 2 xy 4 ;
z
(3i z) 2 4i аналитическая при z 2i ;
z 2i
3) w( z0 ) 1 12i .
2) функция w
54
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области
2
D, ограниченной заданными линиями: x y 4, 2x y , y 3 . Построить
чертеж области интегрирования.
Указание. Считать плотность вещества ( x, y) 1 .
Решение.
Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник
4
9
MNK, где N 3 , 3 , K 2 , 3 . Для определения координат точки М решаем
2
2
x 2,
xy 4,
x y / 2,
x y / 2,
M (2, 2).
систему уравнений: 2 x y 2 3
3
y
2
y
/
2
4
y
8
Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой
y2
2 y 3,
4
D
:
x
,
x
неравенств:
где
2
y
2
4 / y x y / 2,
ограничивающих область слева и справа.
Найдем статический момент пластинки
MNK относительно оси Ox по формуле (11):
Mx
y ( x, y) dS ( x, y) 1 y dS .
D
D
Для вычисления двойного интеграла
сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:
– это уравнения линий,
55
Mx
y2 / 2
3
y dS
D
2
dy
3
y dx
4/ y
2
y2 / 2
y dx dy
4/ y
3
y x
x y 2 / 2
x4 / y
3
dy
2
2
y2 4
y
dy
2
y
3
3
y3
y4
81
16
65
65 32 33
4 dy
4 y
12 8
4
4,125 .
2
8
8
8
8
8
8
2
2
Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.
Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит
в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус
основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности
4 2 6 4 1 , где – полярный радиус точки.
Решение.
Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):
m
x, y, z dv ,
V
где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.
Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах,
получаем:
m
2 ( )
z2 ( , )
( cos , sin , z) d d dz d d (4
V
1(
)
2
6 4 1) dz ,
z1 ( , )
где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой
0 2 ,
неравенств: 0 R, при R = 0,5 и H = 2.
0 z H ,
Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:
2
0,5
2
4 2 6 4 1
m d d (4 6 1)dz
не
зависит
от
z
0
0
0
2
4
2
0,5
d (4
0
0
2
2
6 1) d dz .
4
0
56
2
Вычислим внутренний интеграл по переменной z:
2
dz z 0 2 .
0
Затем находим интеграл по переменной :
0, 5
0, 5
0, 5
2
2(4 2 6 4 1) d 2 (4 3 6 5 ) d 2 4 6
2
0
0
0
1
1
4 1 8 13
1
2 4 6 3 2
.
32
2
2
26
2
Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:
2
m
Ответ: m
13 2 13
13
13
0
2 2,55 .
d
32
32
16
32
0
13
2,55 ед. массы.
16
2
Задача 3. Вычислить работу силы F y i 2 x j при перемещении точки
2
приложения силы вдоль заданной кривой L: x 1 cos 2t, y (cos2t ) от точки
B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: t B 0, t C
4
.
Решение.
Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода
(формула (13)): A
P( x, y) dx Q( x, y) dy y
BC
2
dx 2 x dy .
BC
Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:
/4
A
P x(t ), y(t ) x(t ) Qx(t ), y(t ) y (t ) dt .
0
Для заданной кривой получаем:
x(t ) 1 cos 2t , x(t ) 2 sin 2t , y(t ) cos 2t 2 , y (t ) 2 cos 2t (2 sin 2t ),
P x(t ), y(t ) y 2 cos 2t 4 , Qx(t ), y(t ) 2 x 2(1 cos 2t ).
Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:
57
/4
A
cos 2t 2 sin 2t 2(1 cos 2t )(4 sin 2t cos 2t )dt
4
0
/4
2
cos 2t
4
sin 2t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t (cos 2t ) 2 dt.
0
Сделаем замену переменной в определенном интеграле:
2t z, t z / 2, dt dz / 2 , t [0; / 4] z [0; / 2] ,
/2
тогда получим: A
cos z
4
sin z 4 sin z cos z 4 sin z (cos z ) 2 dz .
0
Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»: sin z dz d (cos z), cos z dz d (sin z)
/2
A
cos z d cos z 4 sin z d (sin z) 4(cos z)
4
0
cos z 3
4
3
/2
0
Ответ: A
2
cos z 5
(sin z ) 2
d cos z dz
4
5
2
4
4
1 4 30 3 20
7
1
0 0 0 2
0,47 .
2
3
5 3
15
15
5
7
0,47 ед. работы.
15
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:
r (t ) (5t t 2 ) i (2 t 3 ) j 2t k , t 0 . Найти векторы скорости и ускорения
движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
Решение.
Вектор-функция задана в виде: r x(t ) i y(t ) j z(t ) k .
Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:
x(t ) 5t t 2 ,
x (t ) 5 2t ,
x (t ) 2,
3
2
y (t ) 6t ,
y (t ) 2 t , y (t ) 3t ,
z (t ) 2t
z (t ) 2
z (t ) 0.
Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам
58
(14) и (15):
v (t ) x(t ) ; y(t ); z(t ) {5 2t; 3t 2 ; 2},
w(t ) x(t ); y(t ); z(t ) {2; 6t; 0} .
Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:
v (2) {5 4; 3 22 ; 2} {1; 12; 2} , w(2) {2; 12; 0} .
Ответы: v (2) {1; 12; 2} , w(2) {2; 12; 0} .
Задача 5. Дано векторное поле a (1 3x) i ( x 2z) j 5 y k и уравнение
плоскости : 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:
1) найти поток поля a через плоскость треугольника АВС где А, В, и С –
точки пересечения плоскости с координатными осями, в направлении
нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;
2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля a
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
Решение.
1) Чтобы вычислить поток поля a через плоскость треугольника АВС
a grad F
dx dy , где D –
используем формулу (16): ПАВС = a n d
Fz
ABC
D
проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость , которой принадлежит треугольник АВС.
Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости
с координатными осями:
3x y 2 z 3 0,
A(1, 0, 0),
y 0,
z 0
3x y 2 z 3 0,
B(0, 3, 0),
x 0,
z 0
3x y 2 z 3 0,
C (0, 0,1,5)
x 0,
.
y 0
Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А,
В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).
59
Из уравнения плоскости : 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид
F(x, y, z) = 0, находим
gradF {Fx ; Fy ; Fz} {3; 1; 2} .
Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор
образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости .
Это означает, что вектор grad F и
орт «внешней» нормали n , указанный в
задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:
a grad F
dx dy (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ –
ПАВС = +
Fz
AOB
проекция треугольника ABC на плоскость xOy.
Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис.
13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:
3x y 2 z 3 0,
0 x 1,
AB : y 3 3x AOB :
z 0
0 y 3 3 x.
Вычислим a gradF (1 3x) 3 ( x 2z) 1 5 y 2 3 8x 10 y 2z и получим подинтегральную функцию, подставив Fz = 2 и
z 0,5(3 3x y) (из уравнения плоскости):
a grad F 3 8 x 10 y (3 3x y ) 1
(6 11x 9 y ) .
Fz
2
2
Таким образом, поток поля a через плоскость треугольника АВС:
П ABC
AOB
1
33 x
0
0
(6 11x 9 y)dy .
1
1
(6 11 x 9 y )dx dy
dx
2
2
Вычислим внутренний интеграл по переменной y:
60
33 x
y 3(1 x )
9
(6 11 x 9 y )dy 6 y 11 xy y 2
2 y 0
0
18(1 x) 33 x(1 x)
81
(1 x) 2
2
81
81
147 2
117
81x x 2
x 132 x
.
2
2
2
2
18 18 x 33 x 33 x 2
Вычислим внешний интеграл по переменной х:
1
П ABC
1
1 147 2
117
117
49
117 17
49 3
x 132 x
x 33 x 2
x
33
8,5 .
dx
2 2
2
4
4 0
4
4
2
0
2) Чтобы вычислить поток поля a через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
ПOABC
diva dv .
OABC
P Q R
div
a
Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17):
x y z .
Для поля a (1 3x) i ( x 2z) j 5 y k получаем:
div a (1 3x)x ( x 2z)y (5 y)z 3 0 0 3 .
Вычислим поток поля a через полную поверхность пирамиды ОАВС:
П OABC
OABC
diva dv 3
dv 3 V
OABC ,
где VOABC – объем пирамиды
OABC
ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:
1
11
1
9 3
VOABC S OAB OC
OA OB OC 1 3 1,5
.
3
32
6
12 4
9
В результате получаем: ПOABC 3VOABC 2,25 .
4
Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.
Задача
6.
Проверить, является ли векторное поле силы
потенциальным или соленоидальным. В случае
потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потен
F
циала работу силы
при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0)
в точку N(–1,2,3).
Решение.
Для
проверки
потенциальности
векторного
поля
2
2
F {2xy; x 2 yz; y } {P; Q; R} найдем его ротор по формуле (19):
F 2 xy i ( x 2 2 yz) j y 2 k
61
k
i
j
k
( y 2 )y ( x 2 2 yz )z i
z
x
y
z
R
2 xy x 2 2 yz y 2
( y 2 )x (2 xy)z j ( x 2 2 yz )x (2 xy)y k {2 y 2 y; 0; 2 x 2 x} {0; 0; 0} O.
i
rot F
x
P
j
y
Q
Следовательно, поле потенциально.
Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по
формуле (17):
div F (2 xy)x ( x 2 2 yz)y ( y 2 )z 2 y 2 z 0 0 .
Следовательно, поле не соленоидально.
Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл
P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz по ломаной ВEKC, звенья
BC
которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По
формуле (20) получим:
U ( x, y , z )
y
z
0
0
0
P( x, 0, 0) dx Q( x, y, 0) dy R( x, y, z) dz
BE
y
x
x
EK
KC
z
y
z
2 x 0 dx ( x 2 y 0) dy ( y 2 ) dz 0 x 2 y 0 y 2 z 0 x 2 y y 2 z.
0
2
0
0
Получили потенциал поля U ( x, y, z) x 2 y y 2 z C , где С – произвольная постоянная.
Для
проверки
решения
найдем
градиент
потенциала
U ( x, y, z) x 2 y y 2 z : gradU {U x ; U y ; U z } {2 xy; x 2 2 yz; y 2 } F . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.
Найдем работу векторного поля F при перемещении единичной массы
из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (21):
A
dU U
MN
N
M
U ( N ) U (M ) ( x 2 y y 2 z)
N
( x 2 y y 2 z)
M
10 0 10 .
62
2
2
Ответы: поле F потенциально, не соленоидально; U ( x, y, z) x y y z C ,
где С – произвольная постоянная; работа А = –10.
63
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник
для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.
4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М.
: Высш. шк., 2007.– 479 с.
5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.–
М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.–
М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.
7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М. :
Высш. шк., 2001.– 304 с.
8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам
высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.],
под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.