Пример выполнения ДЗ№5

1. Определение реакций опор и внутренних моментов быстроходного вала.
𝐹𝑡1 = 1838Н, 𝐹𝑟1 = 680Н, 𝐹𝑎1 = 329Н.
Реакции от сил в плоскости yz:
𝛴𝑀1 = 𝑅2𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹𝑟1 · 𝑙1 + 𝐹𝑎1 ·
𝑅2𝑦
=−
𝑑1
=0
2
𝑑
+𝐹𝑟1 · 𝑙1 + 𝐹𝑎1 · 21
=−
=
𝑙1 + 𝑙2
+680 · 38.5 + 329 ·
38.5 + 38.5
53.33
2 = −454(Н)
𝛴𝑀2 = −𝑅1𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 ) − 𝐹𝑟1 · 𝑙2 + 𝐹𝑎1 ·
𝑅1𝑦
=
𝑑1
=0
2
𝑑
−𝐹𝑟1 · 𝑙2 + 𝐹𝑎1 · 21
=
=
𝑙1 + 𝑙2
−680 · 38.5 + 329 ·
38.5 + 38.5
53.33
2 = −226(Н)
𝛴𝑌 = 𝑅1𝑦 + 𝑅2𝑦 + 𝐹𝑟1 = (−226) + (−454) + 680 = 0
Реакции от сил в плоскости xz:
𝛴𝑀1 = −𝑅2𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹𝑡1 · 𝑙1 = 0
𝑅2𝑥 =
=
+𝐹𝑡1 · 𝑙1
=
𝑙1 + 𝑙2
+1838 · 38.5
= 919(Н)
38.5 + 38.5
𝛴𝑀2 = 𝑅1𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 ) − 𝐹𝑡1 · 𝑙2 = 0
𝑅1𝑥 = −
=−
−𝐹𝑡1 · 𝑙2
=
𝑙1 + 𝑙2
−1838 · 38.5
= 919(Н)
38.5 + 38.5
𝛴𝑋 = 𝑅1𝑥 + 𝑅2𝑥 − 𝐹𝑡1 = 919 + 919 − 1838 = 0
Изгибающий момент в плоскости yz:
I участок:
0 ≤ z ≤ l1
𝑀𝑥𝐼 = (𝑅1𝑦 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 𝑙1 = 38.5мм → 𝑀𝑥𝐼 = ((−226) · 38.5) · 10−3 = −8.7(Н · м)
II участок:
0 ≤ z ≤ l2
𝑀𝑥𝐼𝐼 = (𝑅1𝑦 · (𝑙1 + 𝑧) + 𝐹𝑟1 · 𝑧 − 𝐹𝑎1 ·
𝑑1
) · 10−3
2
2
𝑧 = 𝑙2 = 0мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 =
((−226) · (38.5 + 0) + 680 · 0 − 329 ·
𝑧 = 28мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 = ((−226) · (38.5 + 28) + 680 · 28 − 329 ·
𝑧 = 𝑙2 = 38.5мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 =
53.33
) · 10−3 = −17.5(Н · м)
2
53.33
) · 10−3 = −4.8(Н · м)
2
((−226) · (38.5 + 38.5) + 680 · 38.5 − 329 ·
53.33
) · 10−3 = 0(Н · м)
2
Изгибающий момент в плоскости xz:
I участок:
0 ≤ z ≤ l1
𝑀𝑦𝐼 = (𝑅1𝑥 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 𝑙1 = 38.5мм → 𝑀𝑦𝐼 = (919 · 38.5) · 10−3 = 35.4(Н · м)
II участок:
0 ≤ z ≤ l2
𝑀𝑦𝐼𝐼 = (𝑅1𝑥 · (𝑙1 + 𝑧) − 𝐹𝑡1 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 28мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼 = (919 · (38.5 + 28) − 1838 · 28) · 10−3 = 9.6(Н · м)
𝑧 = 𝑙2 = 38.5мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼 = (919 · (38.5 + 38.5) − 1838 · 38.5) · 10−3 = 0(Н · м)
Крутящий момент быстроходного вала: 𝑀𝑧 = 49Н · м
Сила от ременной передачи :
𝐹К = 875(Н) [см.расчет ременной передачи]
Реакции от силы 𝑭К :
𝛴𝑀1 = 𝑅2К · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹К · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 ) = 0
𝑅2К = −
=−
+𝐹К · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 )
=
𝑙1 + 𝑙2
+875 · (38.5 + 38.5 + 82.5)
= −1813(Н)
38.5 + 38.5
𝛴𝑀2 = −𝑅1К · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹К · 𝑙3 = 0
𝑅1К =
=
+𝐹К · 𝑙3
=
𝑙1 + 𝑙2
+875 · 82.5
= 938(Н)
38.5 + 38.5
𝛴𝐹 = 𝑅1К + 𝑅2К + 𝐹К = 938 + (−1813) + 875 = 0
3
Изгибающий момент от силы:
I участок:
0 ≤ z ≤ l1
𝑀К𝐼 = (𝑅1К · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 𝑙1 = 38.5мм → 𝑀К𝐼 = (938 · 38.5) · 10−3 = 36.1(Н · м)
II участок:
0 ≤ z ≤ l2
𝑀К𝐼𝐼 = (𝑅1К · (𝑙1 + 𝑧)) · 10−3
𝑧 = 28мм → 𝑀К𝐼𝐼 = (938 · (38.5 + 28)) · 10−3 = 62.4(Н · м)
𝑧 = 𝑙2 = 38.5мм → 𝑀К𝐼𝐼 = (938 · (38.5 + 38.5)) · 10−3 = 72.2(Н · м)
III участок:
0 ≤ z ≤ l3
𝑀К𝐼𝐼𝐼 = (𝑅1К · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑧) + 𝑅2К · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 46.5мм → 𝑀К𝐼𝐼𝐼 = (938 · (38.5 + 38.5 + 46.5) + (−1813) · 46.5) · 10−3 = 31.5(Н · м)
𝑧 = 0мм → 𝑀К𝐼𝐼𝐼 = (938 · (38.5 + 38.5 + 0) + (−1813) · 0) · 10−3 = 72.2(Н · м)
Реакции опор вала:
2
2
𝑅1 = √𝑅1𝑥
+ 𝑅1𝑦
+ 𝑅1К = √(919)2 + (−226)2 + |938| = 1884(Н)
2
2
𝑅2 = √𝑅2𝑥
+ 𝑅2𝑦
+ 𝑅2К = √(919)2 + (−454)2 + |−1813| = 2838(Н)
4
2. Определение реакций опор и внутренних моментов тихоходного вала.
𝐹𝑡2 = 1838Н, 𝐹𝑟2 = 680Н, 𝐹𝑎2 = 329Н, 𝐹𝑥 = 435Н, 𝐹𝑦 = 2108Н.
5
Реакции от сил в плоскости yz:
𝛴𝑀1 = 𝑅2𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹𝑟2 · 𝑙1 + 𝐹𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 ) + 𝐹𝑎2 ·
𝑅2𝑦
=−
𝑑
+𝐹𝑟2 · 𝑙1 + 𝐹𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 ) + 𝐹𝑎2 · 22
=−
=
𝑙1 + 𝑙2
+680 · 39.5 + 2108 · (39.5 + 39.5 + 62.5) + 329 ·
39.5 + 39.5
𝛴𝑀2 = −𝑅1𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 ) − 𝐹𝑟2 · 𝑙2 + 𝐹𝑦 · 𝑙3 + 𝐹𝑎2 ·
𝑅1𝑦
=
𝑑2
=0
2
170.67
2 = −4471(Н)
𝑑2
=0
2
𝑑
−𝐹𝑟2 · 𝑙2 + 𝐹𝑦 · 𝑙3 + 𝐹𝑎2 · 22
=
=
𝑙1 + 𝑙2
−680 · 39.5 + 2108 · 62.5 + 329 ·
39.5 + 39.5
170.67
2 = 1683(Н)
𝛴𝑌 = 𝑅1𝑦 + 𝑅2𝑦 + 𝐹𝑟2 + 𝐹𝑦 = 1683 + (−4471) + 680 + 2108 = 0
Реакции от сил в плоскости xz:
𝛴𝑀1 = −𝑅2𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 ) + 𝐹𝑡2 · 𝑙1 + 𝐹𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 ) = 0
𝑅2𝑥 =
=
+𝐹𝑡2 · 𝑙1 + 𝐹𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 )
=
𝑙1 + 𝑙2
+1838 · 39.5 + 435 · (39.5 + 39.5 + 62.5)
= 1698(Н)
39.5 + 39.5
𝛴𝑀2 = 𝑅1𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 ) − 𝐹𝑡2 · 𝑙2 + 𝐹𝑥 · 𝑙3 = 0
𝑅1𝑥 = −
=−
−𝐹𝑡2 · 𝑙2 + 𝐹𝑥 · 𝑙3
=
𝑙1 + 𝑙2
−1838 · 39.5 + 435 · 62.5
= 575(Н)
39.5 + 39.5
𝛴𝑋 = 𝑅1𝑥 + 𝑅2𝑥 − 𝐹𝑡2 − 𝐹𝑥 = (575) + 1698 − 1838 − 435 = 0
2
2
𝑅1 = √𝑅1𝑥
+ 𝑅1𝑦
= √(575)2 + (1683)2 = 1779(Н)
2
2
𝑅2 = √𝑅2𝑥
+ 𝑅2𝑦
= √(1698)2 + (−4471)2 = 4783(Н)
Изгибающий момент в плоскости yz:
I участок:
0 ≤ z ≤ l1
𝑀𝑥𝐼 = (𝑅1𝑦 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 𝑙1 = 39.5мм → 𝑀𝑥𝐼 = ((1683) · 39.5) · 10−3 = 66.5(Н · м)
II участок:
0 ≤ z ≤ l2
6
𝑀𝑥𝐼𝐼 = (𝑅1𝑦 · (𝑙1 + 𝑧) + 𝐹𝑟2 · 𝑧 − 𝐹𝑎2 ·
𝑧 = 𝑙2 = 0мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 =
𝑑2
) · 10−3
2
((1683) · (39.5 + 0) + 680 · 0 − 329 ·
170.67
) · 10−3 = 38.4(Н · м)
2
𝑧 = 16.4мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 = ((1683) · (39.5 + 16.4) + 680 · 16.4 − 329 ·
𝑧 = 𝑙2 = 39.5мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼 =
170.67
) · 10−3 = 77.2(Н · м)
2
((1683) · (39.5 + 39.5) + 680 · 39.5 − 329 ·
170.67
) · 10−3
2
= 131.7(Н · м)
III участок:
0 ≤ z ≤ l3
𝑀𝑥𝐼𝐼𝐼 = (𝑅1𝑦 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑧) + 𝐹𝑟2 · (𝑙2 + 𝑧) − 𝐹𝑎2 ·
𝑑2
+ 𝑅2𝑦 · 𝑧) · 10−3
2
𝑧 = 48.5мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼𝐼
= ((1683) · (39.5 + 39.5 + 48.5) + 680 · (39.5 + 48.5) − 329 ·
170.67
+ −4471 · 48.5) · 10−3
2
= 29.5(Н · м)
𝑧 = 0мм → 𝑀𝑥𝐼𝐼𝐼 = ((1683) · (39.5 + 39.5 + 0) + 680 · (39.5 + 0) − 329 ·
170.67
+ −4471 · 0) · 10−3
2
= 131.7(Н · м)
Изгибающий момент в плоскости xz:
I участок:
0 ≤ z ≤ l1
𝑀𝑦𝐼 = (𝑅1𝑥 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 𝑙1 = 39.5мм → 𝑀𝑦𝐼 = ((575) · 39.5) · 10−3 = 22.7(Н · м)
II участок:
0 ≤ z ≤ l2
𝑀𝑦𝐼𝐼 = (𝑅1𝑥 · (𝑙1 + 𝑧) − 𝐹𝑡2 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 16.4мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼 = ((575) · (39.5 + 16.4) − 1838 · 16.4) · 10−3 = 2(Н · м)
𝑧 = 𝑙2 = 39.5мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼 = ((575) · (39.5 + 39.5) − 1838 · 39.5) · 10−3 = −27.2(Н · м)
III участок:
0 ≤ z ≤ l3
𝑀𝑦𝐼𝐼𝐼 = (𝑅1𝑥 · (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑧) − 𝐹𝑡2 · (𝑙2 + 𝑧) + 𝑅2𝑥 · 𝑧) · 10−3
𝑧 = 48.5мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼𝐼 = ((575) · (39.5 + 39.5 + 48.5) − 1838 · (39.5 + 48.5) + 1698 · 48.5) · 10−3
= −6.1(Н · м)
𝑧 = 0мм → 𝑀𝑦𝐼𝐼𝐼 = ((575) · (39.5 + 39.5 + 0) − 1838 · (39.5 + 0) + 1698 · 0) · 10−3 = −27.2(Н · м)
Крутящий момент тихоходного вала: 𝑀𝑧 = 148.2Н · м
7
3. Расчет на прочность быстроходного вала.
Материал вала: сталь 45, улучшение., твердость 240...290 HB [1, с.20]
𝜎В = 850МПа - предел прочности,
𝜎Т = 580МПа - предел текучести.
Расчёт на сопротивление усталости.
Пределы выносливости гладких образцов при симметричном цикле изгиба и кручения [3,
с.300]:
𝜎−1 = 0.45 · 𝜎В = 0.45 · 850 = 383МПа,
𝜏−1 = 0.25 · 𝜎В = 0.25 · 850 = 213МПа.
Опасные сечения:
I - I -шпоночный паз
II - II -ступенчатый переход с галтелью
III - III -посадка с натягом
Определение запаса прочности для сечения по шпоночному пазу ( I - I )
Изгибающий момент:
𝑀 = 𝑀К = 31.5(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 49Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 28мм, сечение шпонки b x h = 8 x 7
Моменты сопротивления сечения вала:
- осевой:
𝑤=
𝜋 · 𝑑 3 𝑏 · ℎ · (2 · 𝑑 − ℎ)2 3,14 · 283 8 · 7 · (2 · 28 − 7)2
−
=
−
= 1854(мм3 )
32
16 · 𝑑
32
16 · 28
- полярный:
𝑤к =
𝜋 · 𝑑3 𝑏 · ℎ · (2 · 𝑑 − ℎ)2 3,14 · 283 8 · 7 · (2 · 28 − 7)2
−
=
−
= 4008(мм3 )
16
16 · 𝑑
16
16 · 28
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝑀 31.5 · 103
𝜎𝒂 = =
= 17(МПа)
𝑤
1854
𝑇
49 · 103
𝜏𝒂 =
=
= 6.1(МПа)
2 · 𝑤к 2 · 4008
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
2.15
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.14 − 1) · = 2.56
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
0.89
1
8
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜏
1
1.97
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.14 − 1) · = 2.67
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
0.78
1
𝐾𝜎 = 2.15 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при изгибе
𝐾𝜏 = 1.97 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении
𝐾𝑑𝜎 = 0.89 - коэффициент влияния абсолютных размеров при изгибе
𝐾𝑑𝜏 = 0.78 - коэффициент влияния абсолютных размеров при кручении
𝐾𝐹 = 1.14 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
383
=
= 149.6(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 2.56
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
213
=
= 79.8(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑 2.67
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷 149.6
=
= 8.8
𝜎𝒂
17
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 79.8
=
= 13.1
𝜏𝒂
6.1
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении I - I
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
8.8 · 13.1
√8.82 + 13.12
= 7.3 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
Определение запаса прочности для сечения по галтели ( II - II )
Изгибающий момент:
𝑀 = √𝑀𝑋2 + 𝑀𝑌2 + 𝑀К = √4.82 + 9.62 + 62.4 = 73.1(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 49Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 35мм,
Моменты сопротивления сечения вала:
- осевой:
𝜋 · 𝑑 3 3.14 · 353
𝑤=
=
= 4207(мм3 )
32
32
- полярный:
𝑤к =
𝜋 · 𝑑3 3.14 · 353
=
= 8414(мм3 )
16
16
9
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝜎𝒂 =
𝑀 73.1 · 103
=
= 17.4(МПа)
𝑤
4207
𝜏𝒂 =
𝑇
49 · 103
=
= 2.9(МПа)
2 · 𝑤к 2 · 8414
Параметры галтели:
𝑡 = 5мм - высота заплечика;
𝑟 = 0.5мм - радиус галтели;
𝑡
5
=
= 10(мм),
𝑟 0.5
𝑟 0.5
=
= 0.014(мм)
𝑑 35
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
2.33
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.14 − 1) · = 2.82
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
0.87
1
𝐾𝜏
1
2.37
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.14 − 1) · = 3.3
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
0.75
1
𝐾𝜎 = 2.33 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при изгибе
𝐾𝜏 = 2.37 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении
𝐾𝑑𝜎 = 0.87 - коэффициент влияния абсолютных размеров при изгибе
𝐾𝑑𝜏 = 0.75 - коэффициент влияния абсолютных размеров при кручении
𝐾𝐹 = 1.14 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
383
=
= 135.8(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 2.82
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
213
=
= 64.5(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑
3.3
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷 135.8
=
= 7.8
𝜎𝒂
17.4
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 64.5
=
= 22.2
𝜏𝒂
2.9
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении II - II
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
7.8 · 22.2
√7.82 + 22.22
= 7.4 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
10
Определение запаса прочности для сечения по посадке с натягом ( III - III )
Изгибающий момент:
𝑀 = 𝑀К = 72.2(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 49Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 35мм,
Моменты сопротивления сечения вала:
- осевой:
𝜋 · 𝑑 3 3.14 · 353
𝑤=
=
= 4207(мм3 )
32
32
- полярный:
𝜋 · 𝑑3 3.14 · 353
𝑤к =
=
= 8414(мм3 )
16
16
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝑀 72.2 · 103
𝜎𝒂 = =
= 19.2(МПа)
𝑤
4207
𝑇
49 · 103
𝜏𝒂 =
=
= 2.9(МПа)
2 · 𝑤к 2 · 8414
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
= (3.98 + 1.14 − 1) · = 4.12
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
1
𝐾𝜏
1
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
= (2.4 + 1.14 − 1) · = 2.54
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
1
𝐾𝜎
= 3.98
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝜏
= 2.4
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝐹 = 1.14 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
383
=
= 93(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 4.12
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
213
=
= 83.9(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑 2.54
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷
93
=
= 4.8
𝜎𝒂
19.2
11
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 83.9
=
= 28.9
𝜏𝒂
2.9
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении III - III
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
4.8 · 28.9
√4.82 + 28.92
= 4.7 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
Коэффициенты запаса прочности для опасных сечений быстроходного вала:
сечение
концентратор
d, мм М, Н*м Т, Н*м
s
I-I
шпоночный паз
28
31.5
49
7.3
II - II
ступенчатый переход с галтелью
35
73.1
49
7.4
III - III
посадка с натягом
35
72.2
Наименьшее значение 𝑠 = 4.7 < 5 - конструкция вала оптимальна
49
4.7
4. Расчет на прочность тихоходного вала.
Материал вала: сталь 45, нормализация, твердость 170...210 HB [1, с.20]
𝜎В = 600МПа - предел прочности,
𝜎Т = 320МПа - предел текучести.
Расчёт на сопротивление усталости.
Пределы выносливости гладких образцов при симметричном цикле изгиба и кручения [3,
с.300]:
𝜎−1 = 0.45 · 𝜎В = 0.45 · 600 = 270МПа,
𝜏−1 = 0.25 · 𝜎В = 0.25 · 600 = 150МПа.
Опасные сечения:
I - I -шпоночный паз
II - II -ступенчатый переход с галтелью
III - III -посадка с натягом
Определение запаса прочности для сечения по шпоночному пазу ( I - I )
Изгибающий момент:
𝑀 = √𝑀𝑋2 + 𝑀𝑌2 = √29.52 + 6.12 = 30.1(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 148.2Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 32мм, сечение шпонки b x h = 10 x 8
Моменты сопротивления сечения вала:
12
- осевой:
𝑤=
𝜋 · 𝑑 3 𝑏 · ℎ · (2 · 𝑑 − ℎ)2 3,14 · 323 10 · 8 · (2 · 32 − 8)2
−
=
−
= 2725(мм3 )
32
16 · 𝑑
32
16 · 32
- полярный:
𝑤к =
𝜋 · 𝑑3 𝑏 · ℎ · (2 · 𝑑 − ℎ)2 3,14 · 323 10 · 8 · (2 · 32 − 8)2
−
=
−
= 5941(мм3 )
16
16 · 𝑑
16
16 · 32
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝜎𝒂 =
𝑀 30.1 · 103
=
= 11(МПа)
𝑤
2725
𝜏𝒂 =
𝑇
148.2 · 103
=
= 12.5(МПа)
2 · 𝑤к
2 · 5941
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
1.9
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.08 − 1) · = 2.26
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
0.87
1
𝐾𝜏
1
1.54
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.08 − 1) · = 2.11
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
0.76
1
𝐾𝜎 = 1.9 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при изгибе
𝐾𝜏 = 1.54 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении
𝐾𝑑𝜎 = 0.87 - коэффициент влияния абсолютных размеров при изгибе
𝐾𝑑𝜏 = 0.76 - коэффициент влияния абсолютных размеров при кручении
𝐾𝐹 = 1.08 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
270
=
= 119.5(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 2.26
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
150
=
= 71.1(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑 2.11
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷 119.5
=
= 10.9
𝜎𝒂
11
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 71.1
=
= 5.7
𝜏𝒂
12.5
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении I - I
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
10.9 · 5.7
√10.92 + 5.72
= 5.1 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
13
Определение запаса прочности для сечения по галтели ( II - II )
Изгибающий момент:
𝑀 = √𝑀𝑋2 + 𝑀𝑌2 = √77.22 + 22 = 77.2(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 148.2Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 40мм,
Моменты сопротивления сечения вала:
- осевой:
𝑤=
𝜋 · 𝑑 3 3.14 · 403
=
= 6280(мм3 )
32
32
- полярный:
𝑤к =
𝜋 · 𝑑3 3.14 · 403
=
= 12560(мм3 )
16
16
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝑀 77.2 · 103
𝜎𝒂 = =
= 12.3(МПа)
𝑤
6280
𝜏𝒂 =
𝑇
148.2 · 103
=
= 5.9(МПа)
2 · 𝑤к
2 · 12560
Параметры галтели:
𝑡 = 2.5мм - высота заплечика;
𝑟 = 0.5мм - радиус галтели;
𝑡 2.5
=
= 5(мм),
𝑟 0.5
𝑟 0.5
=
= 0.013(мм)
𝑑 40
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
2.18
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.08 − 1) · = 2.64
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
0.85
1
𝐾𝜏
1
2.25
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
=(
+ 1.08 − 1) · = 3.16
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
0.73
1
𝐾𝜎 = 2.18 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при изгибе
𝐾𝜏 = 2.25 - эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении
𝐾𝑑𝜎 = 0.85 - коэффициент влияния абсолютных размеров при изгибе
𝐾𝑑𝜏 = 0.73 - коэффициент влияния абсолютных размеров при кручении
𝐾𝐹 = 1.08 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
14
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
270
=
= 102.3(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 2.64
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
150
=
= 47.5(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑 3.16
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷 102.3
=
= 8.3
𝜎𝒂
12.3
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 47.5
=
= 8.1
𝜏𝒂
5.9
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении II - II
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
8.3 · 8.1
√8.32 + 8.12
= 5.8 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
Определение запаса прочности для сечения по посадке с натягом ( III - III )
Изгибающий момент:
𝑀 = √𝑀𝑋2 + 𝑀𝑌2 = √131.72 + 27.22 = 134.5(Н · м)
Крутящий момент: 𝑇 = 148.2Н · м
Диаметр вала 𝑑 = 40мм,
Моменты сопротивления сечения вала:
- осевой:
𝑤=
𝜋 · 𝑑 3 3.14 · 403
=
= 6280(мм3 )
32
32
- полярный:
𝑤к =
𝜋 · 𝑑3 3.14 · 403
=
= 12560(мм3 )
16
16
Амплитуды напряжений цикла в этом сечении :
𝜎𝒂 =
𝑀 134.5 · 103
=
= 21.4(МПа)
𝑤
6280
𝜏𝒂 =
𝑇
148.2 · 103
=
= 5.9(МПа)
2 · 𝑤к
2 · 12560
Коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала:
(𝐾𝜎 )𝑑 = (
𝐾𝜎
1
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
= (3.11 + 1.08 − 1) · = 3.19
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝑉
1
15
(𝐾𝜏 )𝑑 = (
𝐾𝜏
1
1
+ 𝐾𝐹 − 1) ·
= (1.86 + 1.08 − 1) · = 1.94
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝑉
1
𝐾𝜎
= 3.11
𝐾𝑑𝜎
𝐾𝜏
= 1.86
𝐾𝑑𝜏
𝐾𝐹 = 1.08 - коэффициент влияния шероховатости [4, с.213];
𝐾𝑉 = 1 - коэффициент влияния поверхностного упрочнения [5, с.191-192];
Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении [4, с.213]:
(𝜎−1 )𝐷 =
𝜎−1
270
=
= 84.6(МПа)
(𝐾𝜎 )𝑑 3.19
(𝜏−1 )𝐷 =
𝜏−1
150
=
= 77.3(МПа)
(𝐾𝜏 )𝑑 1.94
Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:
𝑠𝜎 =
(𝜎−1 )𝐷 84.6
=
=4
𝜎𝒂
21.4
𝑠𝜏 =
(𝜏−1 )𝐷 77.3
=
= 13.1
𝜏𝒂
5.9
Результирующий коэффициент запаса прочности вала в сечении III - III
𝑠=
𝑠𝜎 · 𝑠𝜏
√𝑠𝜎2 + 𝑠𝜏2
=
4 · 13.1
√42 + 13.12
= 3.8 > [𝑠] = 2
- условие прочности выполняется
Коэффициенты запаса прочности для опасных сечений тихоходного вала:
сечение
концентратор
d, мм М, Н*м Т, Н*м
s
I-I
шпоночный паз
32
30.1
148.2
5.1
II - II
ступенчатый переход с галтелью
40
77.2
148.2
5.8
III - III
посадка с натягом
40
134.5
148.2
3.8
Наименьшее значение 𝑠 = 3.8 < 5 - конструкция вала оптимальна
16
5. Пример расчета на долговечность радиальных шарикоподшипников
Выбраны радиальные шарикоподшипники 207 (ГОСТ 8338-75) [6, с.392]
d = 35 мм, D=80 мм, B=21 мм,
C = 33200 Н, C0 = 18000 Н.
Радиальные реакции: R1 = 1884 Н, R2 = 2838 Н, осевая сила Fa = 329 Н.
Отношение
𝐹𝑎
329
=
= 0.0183
𝐶0
18000
Этому отношению соответствуют e = 0.203, Y = 2.17 [6, табл.9.18, с.212]
Рассмотрим подшипник 1.
𝐹𝑎
329
=
= 0.17 < 𝑒 = 0.203
𝑉 · 𝑅1 1 · 1884
- осевую нагрузку не учитываем: X = 1, Y = 0
[6, табл.9.18, с.212]
Эквивалентная нагрузка
𝑃Э1 = (𝑋 · 𝑉 · 𝑅1 + 𝑌 · 𝐹𝑎 ) · 𝐾б · 𝐾т = (1 · 1 · 1884 + 0 · 329) · 1.2 · 1 = 2261(Н)
𝑉 = 1 - коэффициент вращения кольца
𝐾Т = 1 - температурный коэффициент [6, табл.9.20]
𝐾б = 1.2 - коэффициент безопасности [6, табл.9.19]
Рассмотрим подшипник 2.
𝐹𝑎
329
=
= 0.12 < 𝑒 = 0.203
𝑉 · 𝑅2 1 · 2838
- осевую нагрузку не учитываем: X = 1, Y = 0 [6, табл.9.18, с.212]
Эквивалентная нагрузка
𝑃Э2 = (𝑋 · 𝑉 · 𝑅2 + 𝑌 · 𝐹𝑎 ) · 𝐾б · 𝐾т = (1 · 1 · 2838 + 0 · 329) · 1.2 · 1 = 3406(Н)
Расчетная долговечность более нагруженного подшипника 2 (𝑃Эмакс = 3406Н)
𝐶 3 106
𝐿ℎ = ( ) ·
=
𝑃Э
60 · 𝑛
33200 3
106
(
) ·
= 7957 > 7000(час)
3406
60 · 1455
- условие долговечности выполняется
n = 1455 об/мин - частота вращения вала
17
6. Пример расчета на долговечность радиально-упорных роликоподшипников
Исходные данные:
 Подшипник 7224А ГОСТ 27365-87
 Динамическая и статическая грузоподъемность ПК:
С=270 кН, С0=237 кН, e=0,39, Y=1,55
 Rx1=15047 Н, Ry1=21767 Н, Rx2=14747 Н, Ry2=9607 Н
 Fa=3769,6 Н
 Частота вращения вала n=7,64 об/мин
 Срок службы t=6800 ч
 Работа с умеренными точками и вибраций, рабочая температура подшипникового
узла менее 100℃
Расчётная схема:
R y2
R y1
R x2
R x1
Fa
1. Суммарная радиальная нагрузка на ПК
𝑅1 = √(R x1 )2 + (𝑅𝑦1 )
2
𝑅1 = √15047 2 + 217672 = 26462 Н;
2
𝑅2 = √(R x2 )2 + (𝑅𝑦2 )
𝑅2 = √147472 + 96072 = 17600 Н.
2. Определение осевых нагрузок А1 и А2
В радиально-упорных ПК возникает дополнительная осевая составляющая из-за наличия
угла контакта
𝑆𝑖 = 0,83𝑒𝑅𝑖
𝑆1 = 0,83 ∙ 0,39 ∙ 26462 = 8566 Н;
𝑆2 = 0,83 ∙ 0,39 ∙ 17600 = 5697 Н.
𝑆 ≥ 𝑆2
1 =𝑆1
→ 𝐴 𝐴=𝑆
{ 1
2
1 +𝐹𝑎
𝐹𝑎 ≥ 0
𝐴1 = 8566 Н;
𝐴2 = 8566 + 3769,6 = 12336 Н.
18
Определение долговечности каждого подшипника
106 𝐶 10/3
𝐿𝑛 =
> 𝑡
( )
60𝑛 𝑃
где Р – эквивалентная нагрузка
𝑃 = (𝑋 ∙ 𝑉 ∙ 𝑅 + 𝑌 ∙ 𝐴) ∙ 𝐾Б ∙ 𝐾𝑡
Долговечность правого ПК:
 Коэффициент вращения V=1 (так как вращается внутреннее кольцо). ([6] стр. 212)
 𝐾𝑡 = 1- температурный коэффициент (так как температура менее 100℃) ([6] табл.
9.20)
 Кб = 1,5 ([6] табл. 9.19)
𝐴2
12336
=
< 𝑒 → коэффициент Х=1 и Y=0
𝑉∙𝑅2
17600
𝑃2 = (1 ∙ 1 ∙ 17600 + 0 ∙ 12336) ∙ 1,5 ∙ 1 = 26400 Н
𝐿𝑛 =
Долговечность левого ПК:
106
60∙7,64
270000 10/3
( 26400 )
𝐴1
𝑉∙𝑅1
=
8566
26462
= 5065491 ч > 6800 ч
< 𝑒 → X=1, Y=0.
𝑃2 = (1 ∙ 1 ∙ 26462 + 0) ∙ 1,5 ∙ 1 = 39693 Н
𝐿𝑛 =
106
270000 10/3
(
)
60∙7,64 39693
= 1300933 ч > 6800 ч
Заключение:
Проверка показала соответствие валов требованию прочности. Проверка показала также
соответствие подшипников требованию долговечности.
Список используемой литературы
3 . Иванов М.Н. Детали машин, 2000.
4 . Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Детали машин. Курсовое проектирование, 1990.
6 . Чернавский С.А. и др. Курсовое проектирование деталей машин, 1988.
8 . Шейнблит А.Е. Курсовое проектирование деталей машин, 1991.
19