Численные расчёты деформирования корпуса реактора

Верификация и приложение механического модуля кода СОКРАТ к
задачам расчёта на прочность
Н.И. Дробышевский, А.Е.Киселёв, В.Ф. Стрижов, А.С. Филиппов
ИБРАЭ РАН, Москва, Россия
Введение. Оценка напряженно-деформированного состояния (НДС) и прочности
элементов конструкции является необходимой частью численного моделирования
эксплуатационных, переходных и аварийных режимов на атомных станциях. В качестве
примеров можно назвать задачу о раздутии оболочек твэлов под давлением и задачу об
удержании расплава в корпусе реактора, охлаждаемом водой, которые возникают при
анализе тяжёлой аварии с расплавлением активной зоны [1]. Адекватное моделирование
требует многомерного термомеханического расчёта в геометрически нелинейной постановке
в области с переменными границами при больших деформациях, связанных с пластичностью
и высокотемпературной ползучестью стали, с возможным контактным взаимодействием.
Хотя решение подобных задач ведётся уже давно, далеко не все применяемые программные
средства обладают необходимым набором моделей и алгоритмов.
В данной работе описывается программный модуль (рабочее название HEFEST-M),
удовлетворяющий по своим возможностям указанным требованиям, разработанный для
расчёта НДС в системном интегральном тяжёлоаварийном коде СОКРАТ [1]. HEFEST-M
входит в СОКРАТ, как отдельный исполняемый модуль наряду с модулем HEFEST [2],
предназначенным для расчёта температуры и др. величин. Термомеханический расчёт
является одним из этапов комплексного моделирования режима атомной станции.
Одна из особенностей разработанного программного модуля состоит в использовании
конечного элемента, специально сконструированного для расчёта задач с большими
пластическими деформациями. Модель ползучести, используемая в коде, основана на
упрощённом подходе, использующем вязкопластическое представление процесса, что
позволяет ей работать достаточно быстро. Для того чтобы применять эту модель в расчётах
высокотемпературной ползучести реакторной стали, были проведены сравнения численных
расчетов с экспериментальными данными, по которым были определены коэффициенты
модели.
Определяющие уравнения. Задача расчёта НДС ставится как квазистатическая, т.е.,
хотя нагрузки являются переменными во времени, возникающие ускорения предполагаются
малыми, и силами инерции пренебрегается. Уравнения равновесия, записываются для
неизвестных напряжений в расчётной области  с границей  (декартова система
координат) вместе с соотношениями для деформаций и линеаризованным определяющим
соотношением материала [3]:
(1.1)
 ij , j   fi  0 ,
 ik  1/ 2(ui ,k  uk ,i ) ,
 ik  Ciklm ( ik , lm ,t) lm , i  1, 2 .
(1.2)
(1.3)
Время является формальным параметром нагружения, но при использовании
реологических определяющих соотношений всегда используется фактическое время
процесса. При t = 0 заданы начальные условия по координатам:
xi (a1 ,..., ak ,0)  ai ,
(1.4)
На части границы Р заданы граничные условия по напряжениям
 ij  n j  pi (t ) ,
(1.5)
на части границы U - условия по перемещениям
xi (a1,..., ak , t )  X i (t ) .
(1.6)
Здесь ij  тензор напряжений Коши, ik  тензор малых деформаций Коши,  плотность, fi  объемная сила, запятой обозначается ковариантная производная, nj единичная внешняя нормаль к элементу границы , ij  символ Кронекера. Используется
правило суммирования по повторяющимся индексам.
Двумерная постановка в декартовых координатах отвечает случаям плоской задачи
(плоские напряжения и плоские деформации) или осевой симметрии, когда
пространственные координаты  радиальное и осевое измерение. В двумерном случае
имеется только четыре существенных компоненты тензоров деформации и напряжений.
Основные уравнения процедуры дискретизации для указанных трёх случаев сходны, поэтому
ниже рассмотрение проведено для случая осевой симметрии как наиболее актуального в
задачах реакторных расчётов.
Учитываются температурные деформации и предполагается, что коэффициенты
уравнений зависят от температуры. Поле температуры рассчитывается в модуле HEFEST [2]
кода СОКРАТ и передаётся в HEFESTМ через промежуточный файл. При этом решается
несвязанная задача, т.е. отсутствует обратное влияния деформирования конструкции на поле
температур.
В численной процедуре решения задачи (1.1)(1.6) используется лагранжев подход, в
котором по полученным на каждом шаге узловым перемещениям осуществляется
преобразование координатной сетки, так что деформации и напряжения на следующем шаге
по нагружению вычисляются относительно новой конфигурации узлов. Это позволяет
последовательно рассчитывать задачи с большими относительными перемещениями
материала.
Конечноэлементная дискретизация для двумерных задач. Используются
четырехугольные конечные элементы (КЭ). Аппроксимация исходного уравнения
равновесия записывается вначале для отдельного элемента, а затем стандартным образом
преобразуется к уравнению для всей системы. В качестве неизвестных переменных берутся
узловые перемещения. Во внутренних точках конечного элемента перемещения и
координаты определяются через узловые величины путём интерполяции по функциям
формы [4,5]
4
ur 
 u
k
k 1
4
k
r
, uz 
 u
k
k 1
k
z
4
4
, r  k r
k 1
k
, z 
 z
k
k
.
(1.7)
k 1
Здесь ur , uz - перемещения узлов КЭ в направлениях r, z, соответственно; rk, zk,координаты узлов четырехугольного КЭ, верхний индекс k задает номер узла, к которому
приведенная величина относится.
Рис.1. 4-угольный конечный элемент
Билинейные функции формы для четырехугольного элемента, отображенного в квадрат
с центром в точке (0,0) и длиной стороны 2 (рис.1), имеют вид [4]:
1  1/ 4(1   )(1   ), 2  1/ 4(1   )(1   ), 3  1/ 4(1   )(1   ), 4  1/ 4(1   )(1   ) (1.8)
Величины  , являются локальными координатами точки в конечном элементе.
В случае цилиндрической симметрии имеется четыре компоненты тензора деформации
отличны от нуля. В цилиндрической координат rOz будут иметь вид:
{ }  { r ,  z ,   ,  rz }T  {urr , uzz , ur r ,0.5( uzr  urz )}T
(1.9)
Здесь набор компонент тензора деформаций обозначен как алгебраический вектор, т.е.
матрица-столбец {}. Используя заданное поле перемещений КЭ (1.7-1.8), для деформаций
{} из (1.9) можно выразить деформации через перемещения в виде
{ }  [ B ]{U }
(1.10)
где {U }  {u1r , u1z , ur2 , u z2 , ur3 , u z3 , ur4 , u z4 }T – вектор, объединяющий узловые перемещения
элемента, а матрица деформаций [B] выражается через производные функций форм по
координатам, для которых несложно получить явные выражения.
При дискретизации распределенная внешняя нагрузка приводится к узловым силам, и
работа внешних узловых сил {P} на виртуальном узловом перемещении  {U } в отдельном
конечном элементе записывается как
 An   {U }T {P}   {U }{ p1r , p1z ,..., pr4 , pz4 }T
Работа внутренних сил на единицу объема элемента при этом будет равна [4]
 Ae   { }T { }   {U }T [ B]T { }
где { }  { r , z ,  , rz }T  ненулевые компоненты тензора напряжений. ,  { }T  тензор
деформаций, отвечающий виртуальному узловому перемещению  {U } .
Принцип виртуальной работы выражает равенство работ внутренних и внешних сил на
виртуальном перемещении:

 {U }T [ B ]T { }dv   {U }T {P} ,
или
{F (r , z,U )}  {P}
(1.11)
Ve
где {F}   [ B]T { }dv
 вектор внутренних узловых сил, к которому свелись
Ve
распределённые напряжения в элементе, Ve - объем конечного элемента.
В случае линейной упругости выполняется закон Гука
{ }  [ D]{ }  [ D][ B]{U } .
Для вектора внутренних сил конечного элемента в упругом случае получим
{F}   [ B]T { }dv   [ B]T [ D][ B]dv{U }  [ K ]{U }
Ve
(1.12)
Ve
где
[ K ]   [ B]T [ D][ B]dv
(1.13)
Ve
симметричная положительно определенная матрица жесткости конечного элемента.
Здесь dv = Jdd для плоского деформированного состояния и dv = rJdd для
осесимметричного деформированного состояния. J  якобиан преобразования от
локальных координат элемента (,) к глобальным координатам (r,z).
Глобальная система уравнений, включающая компоненты перемещений всех узлов,
строится объединением элементных матриц жесткости в глобальную матрицу, при этом
нумерация узлов приводится к оптимальной (минимизация ширины диагонали матрицы).
Оптимальная нумерация находится по обратному алгоритму Катхилла-Макки [6].
Интегрирование по объему. Получить аналитические выражения матриц жесткости
(1.13) или вектора внутренних усилий (1.12) для изопараметрического элемента очень
сложно, а в случае физически нелинейного поведения материала конструкции вообще
невозможно, поэтому обычно используется численное интегрирование в гауссовых
квадратурах [4]. Полный порядок элемента получается, если использовать (2×2)
интегрирование, в этом случае интеграл (1.12) заменяется суммой
n
{F }   i [ B(i ,i )]T { (i ,i )}r (i ,i ) || J (i ,i ) ||
(1.14)
i 1
где весовые коэффициенты wi = 1, J - якобиан преобразования (r,z)(,), а численное
интегрирование проводится в точках
(i,i) = (- 3 /3,- 3 /3);( 3 /3, - 3 /3);( 3 /3, 3 /3);(- 3 /3, 3 /3)
Используя выражение матрицы деформаций [B] через производные функций форм по
координатам, и заменив интеграл (1.12) суммой (1.14), несложно построить вектор
внутренних усилий и аналогичным образом матрицу жесткости.
Слабосжимаемые материалы. Для несжимаемых или малосжимаемых материалов,
когда коэффициент Пуассона близок к 1/2, возникает т.н. запирание, т.е. для подобных
материалов конечный элемент, построенный обычным образом, обладает чрезмерной
жесткостью при минимальной деформации [4]. Это очень существенный недостаток при
рассмотрении пластического течения, которое представляет собой сдвиговую деформацию в
условиях, происходящую часто в условиях, когда объёмная деформация практически
отсутствует. При моделировании больших упруго-пластических деформаций, или
высокотемпературных, когда пластическим течением охвачена большая часть сечения
некоторой области, материал, начиная с некоторого момента, может перестать
деформироваться, проявляя повышенную жесткость. Механизм появления этой
нефизической жесткости связан с тем, что объемные деформации в каждой точке
интегрирования будут различаться между собой, и будут отличны от общего относительного
изменения объема КЭ, что несложно проверить, используя явные формулы для матрицы
деформаций. Это приводит к невозможности сохранения условия несжимаемости по всему
объему КЭ и, как следствие, стремлению энергии объемной деформации КЭ к бесконечности
вследствие стремления к бесконечности коэффициента объемного сжатия для несжимаемых
материалов [4]. В итоге элемент не деформируется.
Наличие указанного механизма запирания позволяет предложить очевидный способ его
устранения - необходимо несколько модифицировать матрицу деформаций [B], чтобы
объемные деформации были неизменны по всему элементу, т.е. во всех точках
интегрирования. При этом расчетная процедура для части матрицы деформаций,
отвечающей девиатору деформаций, остается неизменной, а изменяется только для той части
матрицы деформаций, которая отвечает объемным деформациям. Подобный подход к
построению конечного элемента был реализован в работе [7] и применяется в описываемой
методике.
Одноточечное
интегрирование.
Дальнейшее
повышение
вычислительной
эффективности конечного элемента может быть достигнуто за счет замены
четырехточечного интегрирования одноточечным [8-9]. Для устранения мод нулевой
энергии, возникающих при этом, используется метод разложения тензора деформаций и,
соответственно, матрицы деформаций в ряд по степеням , в точке ( =  = 0), впервые
предложенный в работе [8]. При этом использование аналитического представления матрицы
деформаций [B] позволяет получить это разложение в удобном явном виде, требующем для
вычислений минимального количества операций. Эти соотношения получены в [7] и
применяются здесь при вычислениях.
Контактное взаимодействие. Для учета контактного взаимодействия использовался
алгоритм "упругих границ" или "штрафных функций" [10], в котором границам позволяется
взаимно проникать на малую глубину, а степень проникновения контактирующих областей
друг в друга контролируется фиктивными элементами типа упругих пружин,
рассредоточенными в обеих взаимодействующих областях вдоль контакта. Эта методика
имеет то преимущество, что указанные дискретные элементы могут быть при необходимости
легко включены в глобальную матрицу жесткости, и не требуется никакой специальной
процедуры обработки пересекающихся внутренних границ, что сильно упрощает реализацию
алгоритма.
Модель разрушения. В программе реализован механизм удаления разрушенных
элементов. При этом проводится согласованная с удалением элементов процедура удаления
узлов и перенос граничных распределенных и сосредоточенных нагрузок на не разрушенную
поверхность. Т.е. при удалении элементов проверяется, не появился ли узел, который входит
только в удаленные элементы, если такой узел существует, то он удаляется из расчета,
проводится перенумерация узлов конструкции и строится новая касательная матрица
жесткости. Аналогичным образом проводится и перенос внешних нагрузок, при удалении
элемента проверяется, существует ли в элементе сторона, по которой приложена нагрузка,
если существует, то эта нагрузка переносится на стороны, принадлежащие данному элементу
и соседним не разрушенным элементам.
Критерии разрушения элемента могут быть разными, это или разрушение по
достижению элементом температуры плавления или по предельным пластическим
деформациям или по накоплению повреждаемости.
Численное решение уравнений МКЭ. Решение нелинейной системы уравнений на
каждом шаге по времени (или шаге по нагружению) проводится, используя
модифицированный метод Ньютона или метод BFGS с линейным поиском длины шага
[11,12]. На каждой итерации решается система линейных уравнений
[ K ( X in 1 )]{U }i  {P( X in 1 )}n 1  {F ( X in 1 )}n 1  {Q}i
(1.15)
n+1
где i - номер итерации, [K(Xi )] - матрица жесткости системы, построенная на
геометрическом положении для момента n+1, {Ui} - искомый вектор перемещений в узлах,
{P(Xin+1)}n+1 - вектор внешней нагрузки, вычисленный для момента времени n+1 и при
геометрическом положении в момент n+1, {F(Xin+1)}n+1 - вектор внутренних сил. Если
сходимость на итерации не достигнута, новые узловые координаты пересчитываются как
{ X in11}  { X in }  si {U }i
где si - параметр, определяемый из линейного поиска [11].
При изменении конфигурации или механических коэффициентов проводится
перестройка матрицы жесткости [K(Xin+1)]. В расчёте перестройка проводится через заданное
число итераций и шагов по времени, а также в случае, когда длина шага Ньютона достигнет
заданного минимального значения. В случае, если решение не будет найдено за
максимальное заданное количество перестроек матрицы или появится его расходимость,
производится возврат к предыдущему шагу по времени и делается новая попытка
проведения решения с уменьшенным шагом по времени. Если наблюдается быстрая
сходимость решения, шаг по времени автоматически увеличивается. Пределы изменения
шага по времени задаются вводом минимального и максимального допустимых значений.
Модели материалов. Материал конструкции может быть упруго-пластическим, термоупруго-пластическим или термо-упруго-вязко-пластическим (ползучесть). Тип материала
определяет, по каким законам находится связь между деформациями и напряжениями.
Упруго-пластический материал. Модель упруго-пластического материала является
основной, используя ключевые положения которой, строятся и другие модели материалов.
Соотношения между деформациями и напряжениями для упругопластического материала
не содержат времени явно. При этом используется теория пластического течения,
определяющие соотношения в которой записываются между приращениями тензоров
напряжений и деформаций.
В программе реализована инкрементальная модель
пластичности в формулировке Крига и Кея [13].
По вычисленным узловым перемещениям и деформациям в элементе необходимо
получить приращения компонент напряжения на новом шаге по времени:
 ij (t  t )   ij (t )   ij .
Приращения напряжений связаны с формоизменением, задаваемым только тензором
деформаций, и не должны зависеть от вращения элемента как целого. Поэтому при
дифференцировании по времени используется яуманова производная тензора напряжений,
исключающая вращение [15-16].
Тензоры напряжений и деформаций раскладываются на шаровую и девиаторную части
 ij  Cijkl  kl   p ij  Sij
(2.1)
 ij  ij  eij
(2.2)
где kl - тензор деформаций, Cijkl - матрица упругости, нелинейная в общем случае,
p  1/ 3 ij ij - давление,   1 / 3 ij ij - объемные деформации. При пластическом течении
шаровые части тензоров связаны упругим соотношением, поэтому основное внимание
направлено на вычисление девиаторов S ij и eij . Компоненты тензора деформаций ij
вычисляются в точках интегрирования элемента, используя матрицу деформаций (1.10).
Деформация и приращение деформации могут быть представлены в виде суммы упругой и
пластической частей:
 ij   ije   ijp , eij  eije  eijp .
В сложном напряженном состоянии критерием пластического течения, служит значение
некоторой функции от главных напряжений. В качестве таковой используется функция
Мизеса [14,15], зависящая от второго инварианта девиаторов напряжений J2:
2
(2.3)
F ( J 2 )  Sij Sij / 2   y / 3
где y - предел текучести. В состоянии текучести F ( J 2 )  0, и y равно интенсивности
напряжений.
Рис. 2. Изотропное и трансляционное упрочнение
Моделируемые диаграммы деформирования при одноосном нагружении представлены
на рис. 2. Эти зависимости напряжения от деформации распространяются на соотношения
между инвариантами (интенсивностями) девиаторов напряжений и деформации в общем
случае трехосного нагружения. Зависимость интенсивности напряжения от интенсивности
деформации при нагружении подобна кривой ОАВ, изображенной на рис.2a. При наличии
упрочнения, трансляционного или изотропного, поверхность текучести преобразуется в
процессе пластического деформирования. Для упрощения вычислений кривую нагружения
ОАВ схематизируют зависимостью, состоящей из двух отрезков прямых, как это
представлено на рис.2б.
При изотропном упрочнении центр поверхности текучести в пространстве девиаторов
фиксирован, радиус же ее зависит от пластической деформации, что соответствует процессу
ОАВА''В'' (рис.2б). Новый радиус поверхности текучести в модели линейного изотропного
упрочнения [13,17]
(2.4)
 yn1   yn  Et e p
где Et - модуль упрочнения. Эффективная пластическая деформация (интенсивность
пластической деформации, параметр Одквиста) равна по определению
t
e (t )  
p
2
3
eijp e jip dt
(2.5)
0
Для приращения упругой части девиатора напряжений можно написать
Sij  Sijn1  Sijn  2G(eij  eijp ) ,
(2.6)
где G – модуль сдвига. Приращение пластической части деформаций может быть
выражено через девиатор деформаций посредством ассоциированного закона текучести
Прандтля-Рейсса [14,15]. В дифференциальной форме 
(2.7)
dijp  eijp   Sij
где введено обозначение dijp  eijp для тензора скорости пластических деформаций.
Новые значения компонент девиатора напряжений на шаге расчета вычисляются вначале
упругим образом.
(2.8)
Sij  Sij  2Geij
Если функция текучести (2.3) оказывается положительной, компоненты девиаторов
напряжений Sij следует изменить, вернув девиатор напряжений на поверхность текучести.
Из (2.7) можно получить 
d p  ( 2 dijp dijp )1/ 2   ( 2 Sij Sij )1/ 2  2  S *
3
3
3
- эффективное напряжение и приращение
(2.9)
эффективной
S *  ( 2 Sij Sij )1/ 2
3
пластической деформации (2.5) на шаге e p  d p t . Далее из (2.8), (2.9) получим
(2.10)
  3 2 d p / S*
(2.11)
Sijn 1  Sij  3Ge p Sij / S *  (S *  3Ge p )Sij / S *
Тогда
(2.12)
(Sijn 1Sijn 1 )1 / 2  (S *  3Ge p )( Sij Sij )1 / 2 / S *  (S *  3Ge p )(2 / 3)1 / 2
где
Поскольку из условия текучести Мизеса (2.3) (Sijn1Sijn1 )1/ 2  (2 / 3)1/ 2  y , то получим
S *  3Gd p   yn 1   yn  Et e p
(2.13)
Отсюда можно получить приращение эффективных пластических деформаций d p
(2.14)
e p  (S *   yn ) /(3G  Et )
Подставив выражение (2.14) в (2.11) получим девиатор напряжений на новом шаге по
времени. Приращение давления вычисляется линейно через объемную деформацию
pn+1 = -Kn+1
где K  модуль объемного сжатия.
При трансляционном упрочнении радиус поверхности текучести не меняется, а ее центр
перемещается  девиаторы напряжений Sij заменяются на:
ij  Sij   ij
После этого выкладки по определению приращений девиаторов выполняются для
смещённой поверхности текучести аналогично описанному выше.
Касательная матрица упругости. Эффективность решения полученной нелинейной
системы уравнений зависит в значительной степени от того, насколько точно получится
построить касательную матрицу жесткости. Для элемента, в котором присутствуют
пластические деформации, матрица на данном шаге находится из условия равенства нулю
его функции текучести (2.3). Рассмотрим случай изотропного упрочнения.
Продифференцировав выражение (2.3) по времени, получим
(2.15)
Sij Sij  2 / 3 y y  0
Поскольку  y   y0  Et e p и из уравнения (2.7) следует  y  Et e p  2 Et y  , то для
3
соотношения (2.15) получим
(2.16)
Sij Sij  4 / 9Et y2  0
Для производной по времени девиатора напряжений из (2.6), учитывая при этом, что
e
  1 / 3 ij ij - объемная деформация и Cijkl
- линейная матрица упругости (для закона Гука)
получим
e
e
(2.17)
Sij  2G(dij  dijp )  Cijkl
(dij   Sij )  Cijkl

Далее, так как Sijij = 0, запишем соотношение (2.16) в виде
e
e
Sij Cijkl
dkl   Sij Cijkl
Skl  4 Et y2  0
9
2
из условия текучести Sij Sij / 2   y / 3  0 найдем

Sij Cijkl d kl
Sij Cijkl Skl  4 Et  y2 / 9
tan
Окончательно из условия  ij  Cijkl
 kl
записанная в виде тензора) будет иметь вид
tan
e
Cijkl
 Cijkl

(2.18)
(2.19)
касательная матрица упругости [D] (здесь
e
e
Cijkl
S kl S rsCrskl
e
SijCijkl
Skl  4 Et  y2 / 9
(2.20)
Учет теплового расширения. Соотношения между напряжениями ij и деформациями
ij в модели изотропного термо-упруго-пластического материала учитывают зависимость
коэффициентов модели от температуры и температурную деформацию. Приращение
тепловых деформаций T записывается через коэффициент объёмного теплового
расширения , также зависящий от температуры [18]
d
 T  [
(T  To )   ]T
dT
Тепловая деформация отнесена к температуре Tо некоторого исходного состояния.
Последовательность вычислений для пластического течения и построения касательной
матрицы упругости при температурной деформации подобны описанной выше.
Ползучесть при больших деформациях.
Основным отличием ползучести от
пластичности является конечность скорости деформации, причём величины напряжёний
зависят от скорости деформации. Полная деформация представляется в виде суммы упругой
и пластической части, обусловленной накопленной деформацией ползучести, как в (2.2), а
взаимосвязь напряжения  и скорости деформации  обычно описывается степенной
зависимостью, известной как "закон Нортона" [19]
  A n
(2.21)
Величины A, n  константы материала, зависящие от температуры. При одноосном
нагружении  и  отвечает осевым величинам. При сложном нагружении, как и в модели
пластичности, в качестве  берётся интенсивность напряжений, а в качестве  
интенсивность тензора скорости деформации  ij
В обычно используемых моделях ползучести [20] строится обыкновенное
дифференциальное уравнение, из которого находится связь между интенсивностями тензора
напряжений и тензора скоростей деформаций, которое решается численно для каждой точки
интегрирования КЭ на каждом шаге по времени. Это уравнение нелинейно и оказывается
"жестким", его решение связано с большими затратами ресурсов ЭВМ. Поэтому для
моделирования ползучести в коде используется несколько иной подход, основанный на
модели вязко-пластического типа. Модель реализована как термо-упруго-пластический
материал, к обычному пределу текучести которого добавлен член, зависящий от скорости
деформации и температуры по заданному закону.
В состоянии течения при ползучести в каждой точке Р считается выполненным условие
текучести Мизеса  равенство интенсивности напряжений e некоторому эффективному
пределу текучести: e=у(Р). Этот эффективный предел текучести в данной точке берётся как
функция температуры, интенсивности пластической деформации  p и интенсивности
скорости пластической деформации d p   p :
 y (T , d p ,  p )   y0 (T )  Et (T ) p  f (d p , T ) ,
(2.22)
где Et  модуль пластического упрочнения, f  некоторая функция, интенсивность
пластической деформации  p даётся соотношением (2.5). Величина  y0 (T ) это  статический
предел текучести, измеренный при некоторой максимальной скорости деформации.
Зависимость f (d p ,T ) от скорости деформации берется степенной
f (d p ,T )  B(T )(d p ) (T )
(2.23)
Зависимость от температуры условного предела текучести  y0 (T ) , поправочного
множителя B(T) и степенного коэффициента  (T ) определяется по экспериментальным
данным. Коэффициенты уравнений подбираются таким образом, чтобы при низких
температурах основной вклад в придел текучести вносил обычный предел текучести (т.е.
пластическая часть), а при высоких температурах – последнее слагаемое (т.е. вязкая часть),
зависимое от скорости деформации. В качестве основы для построения определяющих
соотношений используется инкрементальная модель пластичности, приведенная выше.
Пластическое упрочнение  зависимость предела текучести от пластической
деформации (2.22) – присутствует в численной модели для учета пластичности при низких
температурах и скоростях деформации. Переход от упругопластического поведения к
вязкопластическому при росте температуры задается температурными зависимостями
коэффициентов модели: механическое упрочнение становится малым, и основную роль
играет "скоростное" упрочнение ползучести. В случаях, когда температура материала
превышает ~70% температуры плавления. основной вклад в деформирование даёт
ползучесть [21], и пластическое упрочнение можно не учитывать: Et (T )  0 и  y0 (T )  0 .
Обращая при Et (T )  0 и  y0 (T )  0 соотношения (2.22), (2.23) относительно d p , с учётом
того, что в установившемся режиме ползучести интенсивность напряжений σе постоянна,
получаем зависимость скорости интенсивности пластической деформации от интенсивности
напряжения в точке. Эта зависимость аналогична закону Нортона для скорости деформации
ползучести, в котором роль температурно-зависимого коэффициента при степенной
зависимости играет множитель B(T)
d p  ( e / B(T ))1/  (T )  A(T ) en
(2.24)
Описанный подход пригоден для описания как пластического деформирования при не
высоких температурах, так и второй стадии ползучести и удобен для численной реализации.
Третья стадия ползучести присутствует как фактор уменьшения поперечного сечения
элементов конструкции при больших деформациях, за счет чего напряжение и скорость
деформации увеличиваются. При деформировании действует "скоростное" упрочнение: при
местном утонении скорость деформации увеличивается, местный предел текучести
возрастает, и скорость деформации спадает до квазистационарной величины. При таком
описании растяжение стержня при однородном начальном поперечном будет чисто вязким,
без образования шейки. При вязком характере разрушения критерием разрушения может
служить достижение определённого критического уровня деформации.
Проверки модели пластичности и ползучести. Модель пластичности проверялась [7]
на задаче об упругопластическом расширении толстой трубы под действием внутреннего
давления [14], которая может быть решена аналитически. Решалась также аналогичная
задача для случая ползучести [19]. Проверки проводились на различных сетках при
различной их ориентации относительно трубы. Проверка показала пригодность модели для
расчёта упруго и вязкопластических задач.
Константы модели высокотемпературной ползучести. Наибольшие трудности при
описании механического поведения материалов при высоких температурах вызывает
определение коэффициентов модели, которые можно получить только экспериментально. В
частности по известным экспериментам, проведённым в лабораториях INL [22] и SANDIA
[23], были определены коэффициенты для зарубежной корпусной стали SA519 [24].
Коэффициенты, необходимые для отечественной корпусной стали 15Х2НМФА, подбирались
на основании экспериментальных данных, приведенных в работах [25]-[27].
Температурные зависимости модуля Юнга и условного предела текучести, полученные
экспериментальным путем, представлены на рис.3, причем здесь часть данных (T>1073 K)
взята из работы [25], а часть из работы [27] (T<1073 K). Отметим, что экспериментальные
данные работы [27] в области низких температур отличаются от данных, приведенных в
нормах [28], и в этом диапазоне модель использует данные [28]. Приведённая на рис.3
кривая  y0 (T ) принимается за статический предел текучести, поскольку используемый в
расчёте предел текучести еще дополнительно зависит от функции, определяемой скоростью
деформации (2.23).
500
E, ГПа, [20]
, МПа
Y
400
E, ГПа, [21]
300
200
100
0
400
800
1200
Температура, K
1600
Рис.3. Модуль Юнга Е и предел текучести  y0
стали 15Х2НМФА в зависимости от температуры
Результаты экспериментов. В экспериментальных работах [25]-[27] для разных
значений температур и нагрузок снимались кривые ползучести при одноосном растяжении,
т.е. зависимость общей продольной деформации от времени при постоянной температуре и
приложенной нагрузке. При этом в работе [25] рассмотрен диапазон температур от 1173 К до
1573 К, а в работах [26]-[27] – от 873 К до 1073 К. В расчете решается задача для
цилиндрического стального стержня: диаметром 6мм и длиной 40мм для первого диапазона
температур и диаметром 7мм и длиной 59мм, один конец которого закреплен, а к другому
приложено постоянное напряжение. Коэффициенты модели (2.22-2.23) подбирались путём
сравнения расчётов с экспериментами. Коэффициенты модели материала  y0 (T ) , B(T) и
степенного коэффициента  (T ) подбирались таким образом, чтобы полученные численным
образом кривые ползучести во всем диапазоне температур и скоростей деформации
(приложенных нагрузок) достаточно точно соответствовали экспериментальным данным
[25]-[27].
На рис.4-7 приведены окончательные результаты сравнений с экспериментальными
данными, полученными в работе [25]. На этих рисунках приведены кривые ползучести,
26.5МПа
22.0МПа
20.0МПа
26.5МПа
22.0МПа
20.0МПа
60
40
13.4 МПа, 1000С
Деформации, %
Деформации, %
полученные при разных скоростях деформации (определяемые приложенным к торцу
внешним отрицательным давлением в МПа) и разных температурах образца, причем кривые,
отмеченные знаком ▲, отвечают экспериментальным данным.
80
80
13.4 МПа, 1000С
20
0
60
40
20
0
1000
1500
2000
0
400 800 1200 1600 2000
Время, мин
Время, мин
Рис.4.
Кривые
ползучести
Рис.5.
Кривые
ползучести
15Х2НМФА при температуре 1173K и 15Х2НМФА при температуре 1273K и
разных давлениях, ▲ эксперимент, – разных давлениях, ▲ эксперимент, –
расчет
расчет
0
500
6.3 МПа, 1200C
5.4 МПа, 1200C
4.5 МПа, 1200С
6.3 МПа, 1200C
5.4 МПа, 1200C
4.5 МПа, 1200С
50
Деформации, %
Деформации, %
60
40
20
0
0
400
800
1200
Время, мин
40
30
20
10
0
1600
4.0МПа
3.0МПа
2.0МПа
4.0МПа
3.0МПа
2.0МПа
0
400
800
1200
1600
Время, мин
Рис.6.
Кривые
ползучести
15Х2НМФА при температуре 1473K и
разных давлениях, ▲ эксперимент, –
расчет
Рис.7.
Кривые
ползучести
15Х2НМФА при температуре 1573K и
разных давлениях, ▲ эксперимент, –
расчет
Таблица. 1.
Параметры модели ползучести реакторной стали
T°
С
E, ГПа
 y0 , МПа
B, МПа
α мк/K
β
9
80
0
509
0.25
17
1
000
60
0
355
0.26
17.4
1
200
11
0
148
0.28
17.8
1
300
7
0
90
0.29
18.2
00
Результирующие
коэффициенты,
необходимые
для
функционирования
модели
ползучести (2.22-2.23) приведены в Табл.1. Статический придел текучести  y0 брался
нулевым, поскольку при подобных высоких температурах деформация образца полностью
определяется ползучестью. Отметим, что для получения соответствия с экспериментальными
данными показатель степени  (T ) в зависимости (2.23) задавался переменным по
температуре. С уменьшением температуры значение этого коэффициента уменьшается, что
естественно: уменьшение  (T ) с температурой приводит к снижению влияния на предел
текучести скорости деформирования, т.е. при уменьшении температуры модель
деформирования приближается к обычной пластической модели.
Верификация по экспериментам на масштабных моделях. В качестве интегральных
тестов взяты два эксперимента LHF-1, LHF-2 (lower head failure) проведённых весной 1996г в
лаборатории SANDIA, США [22-23,29]. В них моделируется термомеханическое разрушение
корпуса реактора (сталь SA533B1) при аварии с расплавлением активной зоны. Модель
корпуса в масштабе 1:4,85 имеет вид полусферы, сверху соединенной с цилиндром
диаметром 0,91м при толщине стенки, изменяющейся от 29,8мм внизу до 33,3мм на
"экваторе" - месте соединения полусферы с цилиндром. Представление о геометрии
установки дает рис.12, где изображена расчетная область. Сверху привинчена крышка. В
обоих экспериментах сосуд теплоизолирован снаружи, а внутренняя поверхность полусферы
нагревается по определенному закону. Стенки полусферы практически равномерно нагреты
по толщине. Полость сосуда наддувается аргоном до давления порядка 10МПа.
Константы модели высокотемпературной ползучести SA533B1. Для определения
констант модели ползучести стали использовались эксперименты по исследованию
ползучести материалов при одноосных растяжениях образцов [29], которые затем
применяются при моделировании экспериментов на масштабных моделях. Рассмотрены
эксперименты [29] по растяжению стальных стержней при температурах 900K и 1000K и
постоянном приложенном напряжении различной величины. В опыте снимается кривая
ползучести, т.е. зависимость продольной деформации от времени при постоянной
температуре и приложенной нагрузке. В расчете решается задача для стандартного образца,
т.е. для цилиндрического стального стержня с отношением длина:диаметр=5:1, один конец
которого закреплен, а к другому приложено соответствующее напряжение.
Полученные расчетные кривые и экспериментальные данные для T=1000K представлены
на Рис.8-9. Значения B(T), используемые в этих расчетах, при двух нагрузках несколько
различаются, различны и полученные в эксперименте кривые ползучести.
, %
: exp
: B=11.75
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
t, h
Рис.8. Кривая ползучести SA533B1
Рис.9. Кривая ползучести SA533B1
при одноосном растяжении. T=1000K, при одноосном растяжении. T=1000K,
p=39MPa. “exp”- эксперимент, “B=10.5” - p=56MPa. “exp”- эксперимент, “B=11.75”
расчет при B(T)=10.5.
- расчет при B(T)=11.75.
Моделирование экспериментов LHF.
В LHF-1 температура стенок однородна по
углу и изменяется согласно кривой Рис.10. Давление изменяется по кривой Рис.11.
Измеряются перемещения стенок полусферы в точках, расположенных вокруг оси (на
разных "долготах") под разными углами ("широтами") к горизонтали. Точки "экватора"
соответствуют нулевому углу. Температура внутренней поверхности полусферы в диапазоне
"широт" 30  90o однородна. Эксперимент продолжался до разрушения: в нижней части
сосуда образовалось овальное отверстие размером 25x50см.
Эксперимент LHF-2 отличается от LHF-1 угловым распределением температуры (т.е. от
"полюса" до "экватора" полусферы, Рис.14.), а также тем, что он проводился в две стадии, с
промежуточным остыванием и разгрузкой. Максимальное давление равнялось 12МПа,
против 10МПа в LHF-1.
Скорость деформации в LHF экспериментах достигает   10 4 c 1 и более. Различие по
распределению температуры в двух экспериментах привели к
различию по
формоизменению сосуда и по размеру области разрушения. В LHF-2 полусфера сильнее
вытянулась к полюсу, чем в LHF-1, а размер образовавшегося отверстия гораздо меньше.
Основными измеряемыми величинами являются осевые и радиальные перемещения стенок
сосуда, по которым и проводится сравнение.
При задании температурно-зависимой константы B(T) использовались значения,
полученные из одноосных расчетов для температур 900,1000,1050K. Значения при остальных
температурах задавались экстраполяцией. В табл.2 приведены коэффициенты B(T),
подобранные по одноосным экспериментам (1-я группа) и по LHF (2-я группа). Ниже
сравниваются результаты моделирования LHF экспериментов для обеих групп
коэффициентов. Все численные значения соответствуют системе СИ. Разница в значениях
коэффициентов двух групп служит оценкой неопределенности их значений, полученных в
данной работе.
Таблица 2
Зависимости коэффициента B(T) в расчетах LHF экспериментов
T, K
300
900
1000
1050
1-я группа ”g1”
24
24
21
9
2-я группа ”g2”
22
22
9,55
7,5
Результаты расчета по LHF-1. Температура стенок полусферы (расчет) для LHF-1
представлена на Рис.10, а для LHF-2 профили температуры T(t,), полученные при решении
задачи теплопроводности,
показаны на Рис.14. На Рис.13. приводятся временные
зависимости осевого перемещения в самой нижней точке на оси и экспериментальная
кривая. В расчетах с коэффициентами 1-ой группы процесс интенсивного деформирования и
разрушение запаздывают на 7-10мин. Это запаздывание может рассматриваться как мера
неопределенности численного прогноза, связанная с неопределенностью констант модели.
p, MPa
12
T, K
1000
10
800
8
600
=90
6
=20
4
400
2
0
200
0
50
100
time, m
150
200
0
20
40
60
80
100
120
140
time, m
Рис.10. LHF-1: Температура в низу
Рис.11. LHF-1: Давление наддува
корпуса и под углом =20 к горизонтали. модели корпуса
Интенсивность напряжений на полюсе полусферы близка к величине окружного
напряжения и на конечном интервале до растяжения и утонения стенки корпуса составляет
80-85МПа. Отметим, что это согласуется с оценкой по формуле для напряжений в тонкой
сферической оболочке под внутренним давлением p=10МПa c радиусом сферы Rs  0, 45 м,
толщиной h=0,027-0,029м:   pRs 2h
Рис.12. LHF-1: Конфигурации модели
Рис.13. LHF-1: Осевое перемещение
корпуса: исходная и деформированная.
нижней точки на оси корпуса. ”exp”эксперимент, “g1”, ”g2”- расчеты для двух
групп коэффициентов B(t)
Результаты расчетов по LHF-2. Этот эксперимент интересен тем, что в нём были
первоначально достигнуты большие, но не катастрофические деформации, затем он был
остановлен и продолжен через сутки. В расчетах моделировалась только первая часть
эксперимента, включающая промежуточную разгрузку и остывание, поскольку на второй
стадии свойства стали после деформирования и отжига могут быть иными. Заметный рост
деформаций в эксперименте начинается при  1  125 мин, при достижении в нижней части
полусферы температуры 950K. На интервале 135-200 мин температура здесь почти
постоянна, постоянно и давление.
Результаты расчетов приводятся на Рис.16-17. Приведена деформированная область до
начала разгрузки на стадии А и зависимости от времени осевых перемещений в двух точках
в сравнении с экспериментом. Для коэффициентов 1-й группы, т.е. при увеличении
эффективного предела текучести, деформации ниже на 40%, а в отдельном расчете с
аналогичным уменьшением эффективного предела текучести на 160-й минуте наблюдается
разрушение, т.е. неограниченный рост деформации. Таким образом, в совокупности
результаты моделирования экспериментов по ползучести позволяют определить величину
коэффициентов модели и диапазон их вариации, за пределами которого не моделируется ни
один из рассмотренных экспериментов.
T, K
1000
800
:
:
:
:
:
12 p, MPa
=90
=68
=55
=23
=15
10
8
6
600
4
400
2
0
200
0
50
100
150
time, m
200
250
300
0
50
100
150
200
250
time, m
Рис.14 LHF-2:Температура в точках
Рис.15. LHF-2: Давление наддува
корпуса
под разными углами к модели корпуса
горизонтали (расчет)
Причиной некоторого расхождения коэффициентов 1-й и 2-й групп может быть,
например, разброс в свойствах образцов, механические свойства стали при температуре
вблизи аустенитного перехода могут варьироваться.
При максимальном давлении p=12MPa полученное в расчете окружное напряжение в
окрестности полюса сферы составляет  e  75МПа, т.е. меньше, чем в близких условиях (при
p=10MPa) для LHF-1, что связано с меньшим радиусом кривизны нижней части
деформированной оболочки в LHF-2.
Рис.16. LHF-2: Конфигурации модели
Рис.17. LHF-2: Осевое перемещение
корпуса: исходная и деформированная.
точек корпуса, находящихся под углами
=70 и =90 к горизонтали. ”exp”эксперимент, “g1”, ”g2”- расчеты для
двух групп коэффициентов B(t)
Численные расчёты деформирования корпуса реактора. Приведенная выше модель
использовалась для расчётов высокотемпературного деформирования корпуса ВВЭР1000
при гипотетической тяжёлой аварии, в которой отсутствует наружное охлаждение корпуса
водой, но предусмотрены опоры, на которые днище корпуса "садится" в результате
деформирования. По результатам расчётов сделан вывод, что в условиях отсутствия
теплосъёма с наружной границы корпуса с расплавом механическое разрушение
(пластическая неустойчивость) развивается непосредственно перед проплавлением корпуса.
По этой причине при серийных расчётах теплового разрушения корпуса находящимся в нём
расплавом для определения момента разрушения корпуса решение термомеханической
задачи в случае отсутствия наружного охлаждения можно считать необязательным.
Задание поля температуры. Поле температуры в программе HEFEST-M берётся из
расчёта пакетом ГЕФЕСТ кода СОКРАТ [2]. Пакет СОКРАТ/ГЕФЕСТ использует метод
конечных элементов и элементы того же типа, что и СОКРАТ/ HEFEST-M.
Обратное влияние процесса деформации на теплоперенос мало и не принимается в
расчёт. В расчётной области механической задачи присутствуют только элементы,
обладающие
конечной
жёсткостью
и
существенные
для
формирования
напряжённодеформированного состояния. Область теплового расчёта, т.е. область
моделирования кодом СОКРАТ/ГЕФЕСТ, в общем случае не совпадает с областью
механического расчёта (рис.18), но расчётные области тепловой и механической задачи
должны иметь общую часть (область 2 на рис. 18). Узлы КЭ-разбиений этой общей части не
обязательно совпадают, в этом случае температура в узлах КЭразбиения HEFEST-M
определяется интерполяцией.
Механическая модель корпуса реактора. Область механического расчёта включала
область стального корпуса, которая имела те же границы, что в тепловом расчёте, но
несколько иное КЭразбиение: в зависимости от местоположения зоны разрушения в этом
месте вводилось сгущение сетки с тем, чтобы улучшить пространственное разрешение.
Остальные подобласти теплового расчёта не вводились, но добавлялась область, отвечающая
опорам под реактором.
t= 0.000E+00
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
Рис.18.
Вхождение
подобластей
Рис.19
Расчетная
область
задачи в термомеханический расчёт: 1 – термомеханической задачи
участвует только в тепловом расчёте, 2- в
тепловом и механическом, 3 – только в
механическом.
Для моделирования высокотемпературной ползучести использовалась описанная выше
модель ползучести. В расчёте тепловыделяющего расплава в корпусе по мере продвижения
области плавления к наружной стенке корпуса температура стали в нерасплавленных ещё
элементах растёт и достигает критического значения разрушения, которое обозначим Т с.
Рассматривается два механизма разрушения: механический и тепловой. В первом из них при
достижении некоторой пороговой температуры жёсткость материала в элементе обнуляется,
и он критериально может считаться разрушенным. Это отвечает некоторой температуре
Тс=Tм. В тепловом расчёте критерий разрушения Тс отвечает температуре плавления Тс=ТП.
В нагруженном материале всегда должно браться Tп>Tм, и граница теплового разрушения в
расчёте отстаёт от границы механического. При прогрессирующем плавлении корпуса в
некоторый момент времени t=tM корпус начинает деформироваться очень быстро 
наступает пластическая неустойчивость  ускоряющееся пластическое деформирование с
уменьшением площади несущего сечения. В тепловом расчёте в момент времени tТ > tM
температура наружной границы корпуса становится равной температуре плавления  это
отвечает моменту теплового разрушения. Требуется оценить разницу двух характерных
времён tС=tТ  tM .
Для этого были проведены расчеты НДС корпуса до момента его проплавления при
разных значениях внутреннего давления. Время теплового разрушения берётся из теплового
расчёта. Вследствие отсутствия надежных высокотемпературных экспериментальных
данных для термомеханической модели, моментом глобального разрушения считается
появление
пластической
неустойчивости,
т.е.
ускоряющегося
пластического
деформирования с уменьшением площади несущего сечения.
Опоры под реактором моделируются телом вращения из материала с соответствующей
приведенной жесткостью. Образующая верхней границы этого тела повторяет контур ребра
опоры. Минимальное расстояние между поверхностями корпуса и опоры =73мм.
Корпус жестко закреплен по верхней границе. Опора жестко закреплена сверху и снизу.
Условие контакта между корпусом и опорой препятствует взаимопроникновению расчетных
областей, но не препятствует скольжению (с нулевым трением). Расчетная область содержит
150
100
50
0
0
250
500
750
1000
1.0 МПа
0.1 МПа
0.0 МПа
Темп.K
-20
-40
2000
1500
-60
-80
0
2500
1000
0
250
500
750
1000
Температура, K
1.0МПа
0.4МПа
0.1МПа
0.0МПа
200
Перемещение,мм
Пластические деформации %
корпус и опоры (рис. 19). Область расплава не участвует в механической модели. Нагрузки,
испытываемые корпусом:
 Тепловая – бралось пространственно-временное распределение температуры,
полученное в расчёте стадии удержания расплава кодом СОКРАТ/ГЕФЕСТ.
 Весовая – учитывался вес расплава и корпуса.
 Избыточное давление  бралось постоянным во времени, р=0,1-1.0 МПа
Относительный вклад весовой нагрузки становится заметным при давлении р < 1МПа.
Результаты расчётов. В области больших градиентов температуры термическая
нагрузка приводит к напряжениям порядка 180МПа, т.е. порядка предела текучести при
данной температуре (Рис. 23). Перемещения при этом достигают величины 0.61см.
Пластические деформации на наружной границе корпуса в высокотемпературной зоне в
рассматриваемом случае достигают к моменту посадки 75% (Рис. 20). Столь высокий
уровень связан с тем, что глубокое проплавление корпуса провоцирует образование
короткой шейки с малым радиусом кривизны, что приводит к концентрации напряжений и
высокой пластической деформации в этом месте. Следовательно, в момент посадки на опоры
корпус может считаться разрушенным.
500
Время,сек
Время, сек
Рис.20. Изменение во времени
Рис.21. Вертикальное перемещение
эффективных пластических деформаций в осевой наружной точке корпуса и
на внешней поверхности корпуса в месте максимальная температура внешней
образования шейки.
границы.
Временной ход деформирования и роста максимальной температуру на внешней границе
корпуса можно видеть рис. 2021. Общий вид деформируемой области и распределение
механических величин представлены на рис. 2224. Сначала корпус медленно
деформируется за счет теплового расширения, а по мере нагрева и проплавления, т.е. при
уменьшении жесткости материала и эффективного поперечного сечения корпуса материал в
месте наибольшего проплавления начинает течь и быстро деформируется в осевом
направлении до момента контакта корпуса с опорами. Контакт с корпусом происходит за
10100с до проплавления, в зависимости от внутреннего давления (рис.21).
На
представленных рисунках изображен как разрушенный материал, жесткость которого не
препятствует деформированию корпуса, так и нормальный, не разрушенный материал
корпуса.
Необходимо отметить, что при повышении избыточного давления падение корпуса на
опоры происходит несколько раньше и с образованием более короткой и глубокой шейки.
Это, соответственно, приводит к повышению в этой локальной зоне величины пластических
деформаций и, как следствие, к повышению вероятности разрыва корпуса в момент его
падения на опоры (Рис. 21). При этом, если при небольшом избыточном давлении (в
пределах 0.1 МПа) резкое увеличение пластических деформаций связано исключительно с
падением корпуса, то при большем давлении (0.41.0 МПа) пластические деформации
увеличиваются также за счет радиального “выдувания” материала корпуса (Рис. 23) . Это
“выдувание” начинается сразу после падения корпуса на опоры, и в действительности оно
означает, что материал корпуса в этом месте будет заведомо разрушен. Тем не менее,
приведённые результаты демонстрируют возможности кода СОКРАТ/HEFEST-M по
моделированию материалов, сопротивление формоизменению которых определяется только
вязкостью.
effective stress
effective plastic strain
t= 6.532E+02
t= 9.068E+02
2.50
2.50
3.5E+07
0.1
2.25
0.3
0.4
2.00
2.25
6.9E+07
1.0E+08
2.00
1.4E+08
0.6
1.75
0.7
1.75
1.50
1.50
1.25
1.25
1.00
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
1.7E+08
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Рис.22. Эффективные пластические
Рис.23. Эффективные напряжения Пa
деформации после падения корпуса на после падения корпуса на опоры при
опоры, t=907 сек избыточном давлении – избыточном давлении – 1.0 МПа
0.1 МПа
Поскольку достоверные данные о жесткостных характеристиках материала при
температурах, близких к точке плавления, отсутствуют, для оценки точности полученных
результатов были проведены расчеты с разными значениями параметров ползучести B и β.
Расчеты показали малое влияние этих параметров на момент разрушения корпуса (момент
роста интенсивных пластических деформаций).
Рис.24. Конфигурация твёрдого
Рис.25. Температура в
материала корпуса после падения на контакта корпуса с опорами.
опоры, избыточное давление – 0.1 МПа.
момент
Конфигурация неразрушенного материала корпуса и распределение температуры по
расплаву и материалу корпуса показаны на рис. 24-25. Момент проплавления, определяемый
критериально в тепловом расчёте как достижение максимальной температурой на наружной
границе корпуса величины 1750К, отвечает времени задачи 750с. Если за момент начала
механического разрушения корпуса считать начало ускоренного роста пластических
деформаций (рис. 20), то разница во времени между механическим разрушением и
проплавлением корпуса составляет от 10с до 100с для значений избыточного внутреннего
давления от 0 до 1МПа.
Заключение. Представлен программный модуль HEFEST-M, предназначенный для
расчета напряженно-деформированного состояния и оценки прочности элементов
конструкции АЭС в условиях тяжелой аварии. Программа снабжена моделями и
алгоритмами, необходимыми для расчёта таких задач: учёт геометрически нелинейного
деформирования, учёт переменных границ контакта, пластичности и ползучести.
Для отечественной реакторной стали 15Х2НМФА посредством сравнения с
экспериментальными данными получены константы модели ползучести, необходимые для
адекватного описания процесса высокотемпературного разрушения корпуса реактора.
Проведено численное моделирование экспериментов LHF-1-2 по деформации вплоть до
разрыва сосудов давления из стали SA533 при температуре вблизи 1000K.
Для случая отсутствия наружного охлаждения корпуса ВВЭР1000 с расплавом на
основе численного анализа был сделан вывод о том, что при внутреннем давлении в корпусе,
не превышающем 1МПа, механическое разрушение может лишь незначительно опережать
проплавление, при этом место разрушения отвечает месту проплавления. Это позволяет в
ряде случаев исключить достаточно трудоёмкий анализ НДС корпуса из расчёта сценария
тяжёлой аварии.
Список литературы
1. Киселёв, А.Е., Носатов, В.Н., Стрижов, В.Ф., Томащик Д.Ю. Применение интегрального
кода для моделирования аварийных режимов реактора ВВЭР1000. Известия РАН,
Энергетика, № 2, 5764 (2004)
2. А.И.Игнатьев, А.Е.Киселёв, В.Н. Семенов, В.Ф. Стрижов, Филиппов А.С. ГЕФЕСТ:
численное моделирование процессов в нижней части реактора ВВЭР при тяжёлой аварии.
Препринт ИБРАЭ № IBRAE200313 М., 2003. 31c.
3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310с.
4. Hughes T.J.R.,The Finite Element Method. New Jersey, 1987, 803p.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
6. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.:
Мир, 1984. 333с.
7. Дробышевский Н.И. Модифицированный четырехугольный конечный элемент для
решения двумерных задач нелинейного деформирования конструкций. Известия РАН, МТТ,
2, 1996, с.152-162.
8. Liu W.K., Ong J.S.-J. and Uras R.A. Finite element stabilization matrices - a unifucation
approach // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1985. V.53. No.1. P.13-46.
9. Belytschko T. and Bindeman L.P. Assumed strain stabilization of the 4-node quadrilateral with
1-point quadrature for nonlinear problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1991. V.88.
No.3. P.311-340.
10.Hallquist J.O.,Goudreau G.L.,Benson D.J., Sliding interfaces with contact-impact in large-scale
Lagrangian computations, Comp. Methods Appl. Mech. Engng., 1985, 33, pp.107-137.
11.Дэннис Дж.,мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения
нелинейных систем уравнений. М.: Мир, 1987. 440с.
12.Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509с
13.Krieg R.D.,Key S.W. Implementation of a time independent plasticity theory into structural
computer programs, ASME, AMD-20, 1976, pp.125-137.
14.Хилл Р. Математическая теория пластичности, М., ГИТЛ,1956г.
15.Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М. ИЛ, 1963
16.Коробейников С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел, Новосибирск, СО РАН
2000
17.Hughes T.J.R. Numerical implemehtations of constitutive models: rate-independent deviatoric
plastisity/ S.Nemat-Nasser et al.(eds.), Theoretical foundations for large-scale computations of
nonlinear material behaviour. Netherlands, 1984.
18.Karlsson L. Thermal stresses in welding / R.Hetnarski(ed.), Thermal Stresses 1,
Amserdam,1986, P.299-389.
19.Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М. ГИФМЛ,1966.
20.Krieg R.D. Implementation of creep equation for a metal into a finite element computer
program. ASME, AMD-20, 1976, pp.133-144
21.С.Тайра, Р.Отани. Теория высокотемпературной прочности материалов. М., 1986.
22.Rempre, J.L., S.A.Chavez, G.L.Thinnes et al. 1993. Light Water Reactor Lower Head Failure
Analysis. NUREG/CR-5642. EGG-2618
23.T.Chu et al. Experiments and modeling of Creep Behavior of Reactor Pressure Vessel Lower
Head Failure. Proc. of OECD Workshop on In Vessel Debris Retention and Coolability, March
1998
24.Н.И. Дробышевский, А.С. Филиппов. Численный анализ высокотемпературной
ползучести реакторной стали. Материалы VI Международного симпозиума "Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/Ярополец 14-18
февраля 2000г. Москва 2000.
25.Лихачев Ю.И., Ершов Э.А., Королев В.Н., Троянов В.М. Расчетно-экспериментальные
исследования термомеханических процессов корпуса реактора.- В сб.: Проблема удержания
расплава активной зоны в корпусе реактора. Обнинск, 1994, с. 118-177
26.Локтионов В.Д., Соснин О.В., Любашевская И.В. Прочностные свойства и особенности
деформирования поведения стали 15Х2НМФА-А в температурном диапазоне 20-1100 °С. –
Атомная энергия. 2005, т. 99, вып.3, с.229-232.
27.Определение кратковременных механических свойств и параметров ползучести сплава
15Х2НМФА при температурах 20-1080 С. Отчет МЭИ (ТУ) гос. рег. 01040000433, инв.
02200404735. М., 2003. 60с
28.Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических
установок. ПНАЭ Г-7-002-86.
29.Lower Head Failure Analysis. NUREG/CR-5582. SAND98-2047. 1998