ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика. Механика. Информатика 2015 Вып. 2(29) МАТЕМАТИКА УДК 517.929 О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом С. А. Гусаренко Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 sagusarenko@mail.ru; 89026393256 Цель данной работы – показать, что поведение решений некоторого класса сингулярных функционально-дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, определяется асимптотическими свойствами некоторого дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом на полуоси. Ключевые слова: сингулярные функционально-дифференциальные уравнения; устойчи- вость дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом; функция Коши; функция Грина. Теория устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом развивается в настоящее время в значительной степени независимо от общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений. Между тем естественным является рассмотрение дифференциальных уравнений на полуоси как сингулярных уравнений с особенностью в бесконечно удаленной точке. Рассмотрим дифференциальное уравнение c запаздывающим аргументом уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на каждом конечном промежутке функция x :[a, ] R , удовлетворяющая равенству (1) почти всюду. Как известно, общее решение уравнения (1) представимо в виде формулы Коши [1, с. 60] x(t ) p(t ) x(h(t )) f (t ), t a, x( ) 0, a, C : R , {(t , s) R2 : a s t} называется функцией Коши. Асимптотические свойства решений уравнения (1) исследовались методами теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. В следующем утверждении сформулированы некоторые полученные результаты. Обозначим через t x(t ) U (t ) x(a ) C (t , s ) f ( s ) ds , a где функция U :[a, ) R является решением соответствующего однородного уравнения с начальным условием x(a) 1 , а функция (1) где функции p , f :[a, ) R локально суммируемы на каждом конечном промежутке, причем p(s) ds , p(t ) 0 и функция a h :[a, ) R измерима и h(t ) t . Решением © Гусаренко С. А., 2015 (t ) t p( ) d , h* ( t ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 14-01-00338. где 5 h(t ), h(t ) a, h* (t ) h(t ) a. t, С. А. Гусаренко где Y :[ ,1] R – это решение полуоднородной задачи, а W :[ ,1] [ ,1] R – функция Грина краевой задачи [3, с. 79], при этом W (t , s) 0 при s t . Поэтому для удобства равенством G(t , s) W (t , s) определим функG : R цию на треугольнике Тогда {(t , s) (0,1] (0,1]: 0 t s 1} . формула Грина примет вид Теорема 1 [2, с. 66, с.108] 1 1) Если sup (t ) , то функция U неe t a отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция Коши C (t , s) 0 при всех a s t . 3 2) Если lim (t ) , или, если сущеt 2 ствует lim (t ) , то существует такие кон2 станты N , 0 , что t t U (t ) Ne t Отметим, что, функция G связана с функцией Коши уравнения (1), для которого h(t ) ln( g (et )) и p(t ) q(et ) , простым соотношением G(t , s) C ( ln t , ln s) а функция Y имеет вид Y (t ) U ( ln t ) . Таким образом, поведение функций Y и G в окрестности точки сингулярности определяются асимптотическими свойствами функций U и C соответственно. Отсюда и из утверждений теоремы 1 сразу получаем соответствующие результаты о поведении решения уравнения (3). Положим g* (t ) g (t ), g (t ) 1, q( ) (t ) d , где g * (t ) g (t ) 1. t, t t p ( ) d a 1 x(t ) Y (t ) G (t , s)v( s) ds. C (t , s) Ne , p ( ) d s (2) при всех a s t . 3 , то существует та2 N 0 , что U (t ) N , 3) Если sup (t ) t a кая константа C (t , s) N при всех a s t . 1 3 , , в утверждениях e 2 2 теоремы 1 точные, то есть не могут быть увеличены [2, с. 119]. Оказывается, что асимптотические свойства уравнения (1) тесно связаны с поведением решений некоторого сингулярного дифференциального уравнения с опережающим аргументом вида Константы q(t ) x( g (t )) v(t ), t [0,1], t x( ) 0, [0,1], x(t ) Теорема 2 1 , то функция Y неe t 0 отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция G(t , s) 0 при всех 0 t s 1 . 3 2) Если lim (t ) или, если сущеt 0 2 1) Если sup (t ) (3) где функции q , v :[0,1] R суммируемы, ствует lim (t ) , то существует такие кон2 станты N , 0 , что 1 q( s) ds , функция g :[0,1] R q(t ) 0 и s 0 измерима и g (t ) t . Отметим, что решение краевой задачи, которая не является сингулярной t 0 1 Y (t ) Ne t q ( ) s d , G(t , s) Ne t q ( ) d (4) при всех 0 t s 1 . q(t ) x( g (t )) v(t ), t [ ,1], x( ) 0, [ ,1], t x(1) R, x(t ) 3 2 3) Если sup (t ) , то существует такая t 0 константа N 0 , что Y (t ) N , G(t , s) N при всех 0 t s 1 . 1 3 Константы , , в утверждениях e 2 2 теоремы 2 не могут быть увеличены. при каждом (0,1) представимо в виде формулы Грина 1 x(t ) Y (t ) W (t , s)v( s) ds, 6 О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения … Приведем некоторые простые следствия из теоремы 2. Следствие 1. Если справедливы оценки (4), то существует предел lim x(t ) 0 любого q(t ) x( g0 (t )) v(t ), t (0,1], x( ) 0, (0,1], t x(1) 0, x(t ) представимо в виде формулы Грина t 0 решения однородного сингулярного уравнения q(t ) x( g (t )), t [0,1], t x( ) 0, [0,1], x(t ) 1 x(t ) G0 (t , s )v( s ) ds. t (4) Тогда оценки (4) справедливы, если существует такой опережающий аргумент g 0 , что Более того, если функция q "отделена от нуля": inf q(t ) 0 , то для решений уравнения (4) 1 sup t(0,1] t t 0 справедлива степенная оценка x(t ) Nt , 0. Следствие 2. Для уравнения (1) с постоянным коэффициентом p(t ) p 0 и постоянным запаздыванием h(t ) t , критерий экспоненциальной оценки решений однородного уравнения U (t ) Ne (t a ) , N , 0 , имеет вид 0 p q x(kt ), t [0,1], t x( ) 0, [0,1], где k 1 , решение имеет степенную оценку x(t ) Nt , N , 0 тогда и только тогда, ко гда 1 k q e 2 . Более общие результаты в теории устойчивости возможно получить с помощью так называемого W-метода [2, с. 58], когда разрешимость некоторого уравнения в пространстве функций на полуоси эквивалентна его устойчивости. Отсюда следует возможность его применения и для исследования разрешимости сингулярных уравнений. Сформулируем соответствующее утверждение. Как известно, для уравнения (1) справедливы оценки (2) тогда и только тогда, когда существует такое "модельное" уравнение с запаздывающим аргументом h0 x(t ) p(t ) x(h0 (t )) f (t ), t a, (5) x( ) 0, a, t h (t ) t a ] a t a h (t ) 0 что sup C0 (t , s) p( s ) ds sup g (t ) q( s) ds 1 . s g0 ( t ) Особый интерес в теории устойчивости представляют результаты о связи между действием оператора Коши в различных функциональных пространствах на полуоси и асимптотическими свойствами функции Коши (так называемые теоремы типа Боля–Перрона). Аналогами этих теорем в общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений являются теоремы о связи между действием оператора Грина в различных весовых пространствах и поведением функции Грина в окрестности особой точки. Чтобы применить к уравнению (1) одну из простейших вариантов теоремы типа Боля– Перрона потребуем ограниченность функции и условие ограниченности нормы оператора Коши в специальном весовом пространстве . Следовательно, для 2 сингулярного уравнения x(t ) q( s) G0 (t , s) ds sup s t(0,1] t на полуоси: sup C (t , s ) p ( s ) ds . t a a Тогда для уравнения (1) справедливы оценки (2) [2, с. 135]. Отсюда получаем аналог этого утверждения для сингулярного уравнения. Теорема 4. Пусть функция ограниче1 q( s) G (t , s) ds . Тогда для уравна и sup s t(0,1] t нения (3) справедливы оценки (4). Следствие. Пусть t g (t ) kt , где k 1 . Решение уравнения (3) имеет степенную оценку x(t ) Nt , N , 0 тогда и только тогда, когда для каждой измеримой и ограниченной в существенном на промежутке [0,1] функции tv(t ) любое решение уравнения (3) ограничено. Легко понять, что все приведенные выше рассуждения тривиальным образом обобщаются на более общую ситуацию. Рассмот- p( s ) ds 1 , где C0 (t , s ) – функция Коши уравнения (5). Аналогично: пусть решение полуоднородной "модельной" задачи 7 С. А. Гусаренко рим, например, сингулярное уравнения с распределенным опережающим аргументом t x(t ) x(t ) d s r ( w1 (t ), w1 ( s)) f (t ), t 0 . (7) 0 Действительно, функция Коши уравнения (7) связана с функцией G уравнения (6) соотношением G(t , s) C (w(t ), w(s)) , а функция Y имеет вид Y (t ) U (w(t )) . b 1 x(t ) x( s )d s r (t , s ) v(t ), t [a, b], (t ) t (6) x( ) 0, [a, b], где функция :[a, b] R непрерывна и по- Список литературы b ds ; ложительна при t a , (a) 0 , и (s) a функция r :[a, b] [a, b] R суммируема по первому аргументу и имеет ограниченную вариацию по второму. b ds Положим w(t ) . (s) t Тогда поведение решения уравнения (5) в окрестности точки a определяется асимптотическими свойствами дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием [2, с. 69] 1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с. 2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд. Перм. ун-та, 2001. 230 с. 3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с. On the solvability of a singular linear differential equations with advanced argument S. A. Gusarenko Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 sagusarenko@mail.ru; 89026393256 Stability theory of differential equations with retarded argument devel indicates now largely independently of the general theory of singular-tion of functional differential equations. Meanwhile, the natural is the consideration of differential equations on a half as a singular equations with a singularity at infinity. The purpose of this work - to show that the behavior of the solution of-a class of singular functional differential equations in the vicinity of the singular point is determined by the asymptotic properties of some-differential equation with a retarded argument on the half. Key words: singular functional differential equations; the stability of differential equations with retarded argument; the function of the Cauchy-Green's function on. 8