АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РАНГОВ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РАНГОВ ГРУПП
ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ
КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП
А.В.Каргаполов
Целью данной работы является нахождение приближенных формул для
рангов групп U Z ZAn  центральных единиц целочисленных групповых
колец знакопеременных групп.
Для достижения описанной цели воспользуемся результатом Ферраза.
Лемма 1. [Теорема 4. 5 [1]] Ранг группы U Z ZAn  равен количеству
разбиений) a  a1 ,..., ak  натурального числа n, удовлетворяющих следующим свойствам:
1 . ai нечетно, 1  i  k ;
2. ai  a j , где i  j ;
3. n  k mod 4 ;
k
4.
a
i 1
i
не является полным квадратом.
Заметим, что ранг группы U Z ZAn  соответствует количеству классов
сопряженности группы S n , которые разбиваются на два класса сопряженности в An и дают нецелые значения характеров[2].
Определение. Разбиением натурального числа n называется последовательность a1 ,..., ak натуральных чисел такая, что a1  ...  ak и
a1  ...  ak  n .
Таким образом, нужно подсчитать количество разбиений степени знакопеременной группы An на различные нечетные положительные слагаемые, причем их произведение не должно являться полным квадратом, и
количество элементов должно быть сравнимо с n по модулю 4.
Ранее автором был разработан и реализован параллельный алгоритм
для нахождения рангов, получены точные значения для n≤800 [3], их будем использовать в качестве эталонных значений.
Для вывода необходимых формул будем учитывать все условия или
только некоторые из них. Будем обозначать согласно [4], все разбиения
Pn  , разбиения на различные числа Q n  , разбиения на различные нечетные числа Rn  . Также обозначим разбиения на различные нечетные числа
с количеством элементов сравнимым с n по модулю 4 как Rmod 4 n  . Ранг
группы U Z ZAn  − Rankn  .
В [6] приведена производящая функции для Pn  :

1
2
2
4



(1)

1

x

x

...
1

x

x
...

Pn x n

m
m 1 1  x
n 0
Попытаемся получить аналогичную формулу и для Rn  . Производящая функция будет выглядеть так:

F x   
FR  x  
 1  x 2m 1 

(2)
m0
Для Pn  , Q n  и Rn  существуют асимптотические формулы. Например, для Pn  при n   имеет место следующая формула[6]:
1  2n / 3
Pn  
e
(3)
4 3n
Также в [5] приводится формула для Q n  :
33 / 4  n / 3
(4)
Qn  
e
12n3 / 4
При выводе формулы для Rn  с помощью метода, изложенного в книге Постникова [7], аналогичная асимптотика для Q n  была получена автором самостоятельно.
Проведем аналогичные рассуждения, как и для Pn  . Детали и строгое
доказательство опустим. Заменим в (3) x  e u , где u  v  iw , и обозначим
FR e u  f u  . Получаем формулу:
 
 1  x  ( 2m 1)u 

f u  
(5)
m0

Далее получим, что при выполнении условия ln  f v   n  0 :
e ln  f v  nv
Rn  
(6)

2 ln  f v 
Вычислим значение логарифма f v  :
ln f v  
 1
n 1
 ln 1  e

  2 m 1v
m0
     1


n 1
m  0n 1
e  2 m 1nv

n
 1n 1
e  nv

 2 nv
n
n
1

e
n 1
n 1
  1n 1 e nv  1  1
  1n 1
1 
 1


 2 nv  
 nv
2 nv
n
e  1 n 1 n  e  1 e  1 
n 1
n 1
  1n 1
1
1    1
2
1 1

 

.
  
n  nv 2 2nv 2  n 1 2n 2v
24v
n 1


e
 nv
e
 3nv
e
 5 nv


 ...  
Получаем все необходимые значения: ln f v  
(ln f v ) 
2
, v

2
24v
, (ln f v )  
2
24v 2
,
.
2 6n
12v
Подставив их в (6) получаем искомую формулу:
e n / 6
(7)
Rn  
3
4
2 24n
Учет условия 3 из 1 подразумевает разделение всех разбиений из Rn 
на два класса: если n четно, то k также четно, по модулю 4 дает 0 или 2, если n нечетно, то k также нечетно, по модулю 4 дает 1 или 3.
Практика показывает, что разница между разбиением на k элементов и
на k+2 невелика, асимптотическую зависимость найти пока не удалось, хотя, например, для Pn, k  (количество разбиений положительного n на k
слагаемых) можно записать следующее соотношение:
3
Pn, k  
k
 Pn  k , m
m 1
Гипотеза 1. При n   имеет место формула
Rmod 4 n   Rn  / 2 .
(8)
Основываясь на практических результатах, можно полагать, что достаточно редко произведение элементов разбиения дает полный квадрат.
Гипотеза 2. При n   имеет место формула
e n / 6
.
(9)
Rankn   Rmod 4 n  
44 24n3
Получаем, что до 800 известны точные значения рангов, примерно до
10 4 можно вычислить Rmod 4 n  на обычном персональном компьютере[3],
далее можно пользоваться асимптотической формулой.
Посмотрим на точность получаемых значений:
Rank(n)
n
Rmod 4 n 
Rank(n) (9)
100
1006
1008
1.327  10 3
200
171988
172441
1.601  10 5
300
6521918
6524506
6.961  10 6
400
172468858
172512720
1.744  108
500
3044489334
3044709903
3.045  10 9
600
40127403414
40129477067
4.102  1010
700
445632142623
445640707015
4.529  1011
800
4235625351844
4235682008733
4.266  1012
Результаты вычислений.
Видно, что с ростом n асимптотическая формула и точные значения
Rmod 4 n  дают неплохое приближение к рангу U Z ZAn  .
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings. /
R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004. Vol. 279, no. 1. P. 192-203.
Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. /
Г. Фробениус. Харьков: гос. науч.-техн. изд Украины, 1937.
Каргаполов А.В. Параллельный алгоритм для нахождения рангов
групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. / А.В. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.
Стр. 395-401.
Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers. /
R. Ayoub. American mathematical society, 1963.
Flajolet P., Sedgewick R. Analytic Combinatorics. / P Flajolet,
R Sedgewick. Cambridge University Press, 2009.
Эндрюс Г. Теория разбиений. / Г. Эндрюс. М.:Наука, 1982.
Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. /
А.Г. Постников. М.: Наука, 1971.