Численное исследование анизотропии волновых откликов от

СБОРНИК СТАТЕЙ
По итогам Всероссийской молодежной конференции
«Сеточные методы в решении краевых задач и приложения»
Оглавление
Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на
тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени....................................................3
Численное исследование анизотропии волновых откликов от трещиноватого пласта, сеточнохарактеристическим методом ...................................................................................................................14
2
Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции
высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным
шагом по времени
И.Б. Петров, А.В. Фаворская, А.В. Санников, И.Е. Квасов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Целью данной работы является разработка сеточно-характеристического метода
на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием неструктурированных тетраэдральных иерархических сеток, кратного шага по времени и интерполяции высоких порядков для моделирования сложных пространственных динамических процессов в гетерогенных средах. Данный метод отличается точной постановкой контактных условий и пригоден для наиболее физически корректного
решения задач сейсмологии и сейсморазведки в сложных гетерогенных средах. Использование иерархических сеток позволяет учитывать большое количество негомогенных включений (трещины, каверны и т.д.). Применение именно сеточнохарактеристического метода дает возможность использовать кратный шаг по времени и тем самым повысить производительность и значительно уменьшить время вычислений. Разработанные методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках позволяют решать задачи сейсмологии и сейсморазведки с аппроксимацией по пространству до пятой степени включительно.
Grid-characteristic Method Using High-order Interpolation on Tetrahedral Hierarchical Meshes with a Multiple Time Step
Petrov, Favorskaya, Sannikov, Kvasov
Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
The purpose of this article is to develop a grid-characteristic method for highperformance computing systems using unstructured tetrahedral hierarchical meshes, a multiple time step and the high-order interpolation for simulating complex spatial dynamic processes in heterogeneous environments. This method has the precise formulation of contact
conditions and is suitable for the physically correct solution of the seismology and seismic
prospecting problems in complex heterogeneous environments. The use of the hierarchical
meshes allows to take into account a large number of non-homogeneous inclusions (cracks,
cavities, etc.). The use of this grid-characteristic method makes it possible to use the multiple time step and thereby increase productivity and significantly reduce the computation
time. The methods developed for high-order interpolation on unstructured tetrahedral
meshes can solve the problems of seismology and seismic prospecting with the approximation in space to the fifth degree inclusive.
1. Введение
Современные задачи по моделированию пространственных динамических процессов
в сложных гетерогенных средах требуют вводить все более усложняющиеся механикоматематические модели. К данному классу задач относятся и численные эксперименты в
областях сейсморазведки и сейсмологии.
Сегодня сейсморазведка является одним из наиболее распространенных способов исследования пород перед глубоким бурением. Проведение численных экспериментов дает
возможность значительно уточнить результаты интерпретации данных сейсморазведки и
оптимизировать процесс добычи нефти. Для того, чтобы проводить такие численные эксперименты, требуется высокоточное моделирование в геологических средах с большим
количеством неоднородностей: полостей, трещин, - расположенных без строгих закономерностей и имеющих различную форму.
Актуальными также являются и задачи моделирования землетрясений. Полученная
волновая картина, как в толще земли, так и на ее поверхности и в расположенных на ней
объектах, позволяет определять области возможных разрушений жилищных и промышленных сооружений, что даст возможность повысить сейсмостойкость зданий.
При данной постановке пространственных задач необходимо использование неструктурированных тетраэдральных сеток.
Так как система уравнений математической модели состояния сплошной линейноупругой среды [1] является гиперболической и требуется высокоточный расчет волновых
процессов, оптимальным является применение именно сеточно-характеристического метода [2] с использованием интерполяции [3] высоких порядков [4]. Примеры использования
сеточно-характеристического метода с квадратичной интерполяцией с ограничителем на
неструктурированных треугольных сетках для решения задач сейсморазведки можно
найти в [5,6]. А примеры использования сеточно-характеристического метода с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных сетках можно найти в [7, 8].
При переходе от двумерных к пространственным задачам увеличиваются и объемы
данных. Поэтому требуется применение высокопроизводительных вычислительных систем. Разработанный алгоритм был распараллелен на вычислительный кластер с оптимальным использованием системных ресурсов.
Аккуратное детальное описание всех волновых процессов вблизи всех имеющихся в
поставленной задаче неоднородностей требует использования достаточно подробной сетки. Чем меньшие неоднородные включения нужно исследовать, тем больше придется сделать шагов по времени, а также операций на каждом временном слое. Однако, в большинстве случаев неоднородности локализованы в небольшом объеме внутри области интегрирования. При данной постановке задач оптимальным является применение иерархических
сеток, сгущающихся в местах расположения неоднородностей.
Но для сеточно-характеристических методов размер шага интегрирования по времени напрямую зависит от размера минимального шага по пространству. Поэтому использование обычных иерархических сеток не сократит количество шагов по времени, уменьшится только число операций на каждом временном слое.
Как показали проведенные теоретические и численные исследования, применение
именно сеточно-характеристических методов позволяет использовать специальные иерархические сетки с кратным шагом. Можно делать кратный шаг не только по пространству,
но и по времени, и, таким образом, сокращать не только число операций, необходимых для
интегрирования задач на каждом временном слое, но и число выполняемых шагов по времени в той части области интегрирования, где нет неоднородностей и используется более
крупная сетка.
2. Постановка задачи
Согласно [1] состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды
подчиняется следующим уравнениям:
 t v    σ  ,
т

(1)

t σ     v  I     v     v  .
т
(2)
Уравнение (1) является локальным уравнением движения. В нем  – плотность материала, v – скорость движения, σ – тензор напряжений Коши, являющийся симметричным в силу закона парности касательных напряжений [1]. Уравнение (2) выводится из закона Гука путем дифференцирования по времени. В нем  ,  – параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала.
В (1), (2) и в дальнейшем используются следующие математические обозначения:
t a 
a
– частная производная поля a по t ;
t
4

a  b – тензорное произведение векторов a и b , a  b

ij
 aib j ;
I – единичный тензор второго ранга.
3. Численный метод
Для численного решения системы (1), (2) используется сеточно-характеристический
метод на тетраэдральных сетках, позволяющий строить корректные численные алгоритмы
для расчета граничных точек и точек, лежащих на поверхностях раздела двух сред с разными параметрами Ляме и (или) плотностями.
На каждом шаге интегрирования по времени выбираются три произвольных направления, образующие базис, что обеспечивает изотропность метода, и вводится новая система координат 1 , 2 , 3  . В ней систему (1), (2) можно представить в следующем виде
 t q  A11 q  A 22 q  A 33 q  0 .
(3)
В (3) под вектором q понимается вектор, составленный из трех компонент скорости
и шести компонент симметричного тензора напряжений
q  v1 , v2 , v3 , t11 , t22 , t33 , t23 , t13 , t12  .
T
Для каждой из трех систем вида
 t q  A11 q  0
(4)
справедливо следующее точное выражение
I
q 1 ,  2 , 3 , t      Xi q 1  ci ,  2 , 3 , t  ,
(5)
i 1
где Xi – некие матрицы, выражающиеся через компоненты матрицы A1 , ci – собственные числа матрицы A1 ,  – шаг интегрирования по времени.
Собственные значения всех трех матриц выражаются через плотность и коэффициенты Ляме следующим образом:
ci 
   2   
12

,      2    ,     ,      ,     ,      , 0, 0, 0 .
12
12
12
12
12
(6)
Используя в (5) интерполяцию высокого порядка и последовательно применяя для
каждого из направлений 1 , 2 , 3 формулы, аналогичные (5) и соответствующие системе,
аналогичной (4), получаем способ нахождения решения на следующем временном слое. В
программном комплексе предусмотрено использование интерполяции от первого порядка
до пятого включительно, что позволяет получать высокую точность численного интегрирования решения по пространству. Также, применение матриц Xi реализовано с помощью
двух операторов, что позволяет сократить количество интерполяций для каждой точки и
каждого направления с девяти до шести.
4. Граничные и контактные корректоры
Используемый метод позволяет применять наиболее корректные вычислительные алгоритмы на границах и контактных границах области интегрирования.
Пусть в матричном виде граничное условие записывается следующим образом:
Dq 1 , 2 , 3 , t     d ,
(7)
где q 1 , 2 , 3 , t    – значения компонент скорости и тензора напряжений на следующем шаге интегрирования в граничной точке.
Рис. 1.
Согласно (6) для каждой матрицы A j имеется три нулевых собственных значения,
три положительных и три отрицательных. Пусть для определенности вдоль направления
1 характеристики, соответствующие отрицательным собственным значениям матрицы
A1 , выходят за пределы области интегрирования.
Тогда на этапе расчета внутренних точек в соответствии с (5) будет вычислено
q in 1 , 2 , 3 , t      Xi q 1  ci , 2 , 3 , t  .
ci 0
Матрица Ω*,out составляется из собственных векторов, соответствующих отрицательным собственным значениям.
Действие корректора в граничной точке совершается по следующей формуле
q 1 , 2 , 3 , t     Fq in 1 , 2 , 3 , t     Φd ,
(8)
при этом условие (7) выполняется с таким же порядком, как и порядок интерполяции.
В формуле (8) матрица  DΩ*,out  находится так, чтобы
1
 DΩ 
*,out 1
DΩ*,out  I ,
а матрицы Φ и F вычисляются по следующим формулам
Φ  Ω*,out  DΩ*,out  ,
1
F  I  ΦD .
Для решения различных задач используются граничные условия заданной внешней
силы, заданной скорости границы, смешанные граничные условия и неотражающие граничные условия, основанные на равенстве нулю выходящих характеристик. Для неотражающих граничных условий (7) примет следующий вид
,l / r
Ωout
q  t   , rгр   0 .
k
С использованием корректора заданной скорости реализовано контактное условие
полного слипания. А контактное условие свободного скольжения вычисляется с помощью
корректора смешанных граничных условий. При этом вектор скорости и нормальная компонента скорости соответственно вычисляется на основании значений q in 1 , 2 , 3 , t   
для двух контактирующих тел. Пример сетки с параболическим слоем, ограниченным контактными поверхностями, приведен на рис. 1.
6
5. Интерполяция в тетраэдре
Для определения полиномиального поля степени N , зависящего от x , y , и z , требуется знать значения в
( N  1)( N  2)( N  3)
6
опорных точках.
Предлагается следующий способ расстановки опорных точек. В тетраэдре ABCD
проводятся плоскости, параллельные его граням и делящие каждое из его ребер на N равных частей. Опорные точки нумеруются, как показано на рис. 2 на примере N  3 для тетраэдра.
Рис. 2.
Плоскости разбивают тетраэдр на подобные ему малые тетраэдры, а также на восьмигранники. В случае N  2 получается четыре малых тетраэдра и один восьмигранник,
изображенный на рис. 3.
Рис. 3.
Число Куранта [2] вычисляется на основании минимальной, взятой высоты по всем
малым тетраэдрам.
Обозначим векторы вершин тетраэдра за rA , rB , rC , rD . Для каждого заданного N по
соответствующим формулам вычисляются веса опорных точек wabcd  r  . Значение полинома в искомой точке r определяется по формулам
v r  

a ,b , c , d
wabcd  r  vabcd .
(9)
В формуле (9) за vabcd  v  rabcd  обозначено значение интерполируемой функции в
опорной точке rabcd .
Приведем алгоритм построения интерполянта с ограничителем на тетраэдральных
сетках на основе интерполяции полиномом порядка N .
1) Определяем значение пробной функции заданной точке r с помощью полиномиальной интерполяции порядка N , пусть оно равно vN  r  .
2) Определяем, в какой малый тетраэдр или восьмигранник попадает точка r . Если
точка попадает в восьмигранник, то в данном восьмиграннике одним из трех возможных
способов проводится ось, разбивающая его на четыре тетраэдра, имеющих объемы, равные
объемам других малых тетраэдров, но не являющихся подобными им. Далее определяется,
в какой из этих четырех тетраэдров попадает точка.
3) Сравниваем vN  r  с минимумом m и максимумом M значений в вершинах этого
тетраэдра.
3.1) Если m  vN  r   M , то значение интерполянта в точке r : vN  r  .
3.2) Если vN  r   m , то значение интерполянта в точке r : m .
3.3) Если vN  r   M , то значение интерполянта в точке r : M .
Использование интерполяции с ограничителем позволяет устранять нефизичные осцилляции полиномов, возникающие при наличии разрывов в интерполируемых полиномиальных функциях.
6. Иерархические сетки с кратным шагом по времени
Поясним принципы использования иерархических сеток с кратным шагом на примере следующей системы уравнений, состоящей из двух уравнений переноса
ut  ux  0 ,
(10)
vt  vx  0
(11)
и кратности, равной двум.
Данная система уравнений (10), (11) является гиперболической. Поэтому для ее решения справедливы следующие выражения:
u (t   , xгр )  u (t , xгр   ) ,
(12)
v(t   , xгр )  v(t , xгр   ) ,
(13)
u (t  2 , xгр )  u (t   , xгр   ) ,
(14)
v(t  2 , xгр )  v(t , xгр  2 ) .
(15)
В (12) - (15) за xгр обозначена та координата, слева от которой сетка мелкая, а справа
- крупная (см. рис 4), t - текущее время,  - шаг интегрирования по времени в области с
мелкой сеткой. В области с крупной сеткой он, соответственно, будет равен 2 .
8
Рис. 4.
При решении системы уравнений состояния линейно-упругой среды можно рассмотреть два варианта расчета граничных точек с координатой xгр по данному принципу: вычислять и складывать значения по характеристикам в различных точках, зависящих от шага по времени и того, в область с какой сеткой падает характеристика, или использовать на
границе корректор, основанный на контактном корректоре полного слипания. В ходе математических и численных исследований выяснилось, что второй подход лучше обобщается на угловые точки, и при его использовании не возникает нефизичных осцилляций в этих
точках.
Рис. 5.
На рис. 5 изображен пример иерархической тетраэдральной сетки с кратностью 2. А
на рис. 6 приведен результат численного моделирования прохождения сейсмической волны через такую сетку, расчет выполнен с кратным шагом по времени. Использовалась полиномиальная интерполяция второго порядка на опорных точках для четвертого порядка
без ограничителя. густоте визуализированной среды соответствует модуль скорости. Густоте визуализированной среды соответствует модуль скорости. Можно видеть, что нефизичных осцилляций даже при использовании такого «плохого» интерполятора не появляется.
Рис. 6.
6. Результаты
Рассматривается шесть задач:
1)
численное моделирование торцевого удара в стенку куба,
2)
численное моделирование сферического взрыва в центре куба,
3)
численное моделирование приповерхностного сейсмического сферического
взрыва в линейно-упругой среде,
4)
численное моделирование землетрясения в земной коре,
5)
численное моделирование прохождения сейсмической волны через границу
раздела двух сред, имеющую параболическую форму,
6)
численное моделирование прохождения сейсмической волны через слой с
другими упругими параметрами с границами параболической формы.
Во всех шести случаях область интегрирования представляет собою куб, в котором
сгенерирована необходимая для каждой конкретной задачи неструктурированная тетраэдральная сетка. На всех сторонах куба задано условие свободной границы. На всех рисунках густоте визуализированной среды соответствует модуль скорости.
В первых четырех задачах использовалась интерполяция с ограничителем на основе
кубической. В пятой задаче использовалась интерполяция второго порядка с ограничителем, а в шестой – интерполяция второго порядка на точках для четвертого порядка без
ограничителя.
На рис. 7 изображен результат численного моделирования торцевого удара в центр
стенки куба, а на рис. 8 – сферического взрыва в центре куба. В обеих задачах сетка состоит из приблизительно 200 тысяч тетраэдров, не разбитых на вспомогательные, было проведено около 100 шагов по времени.
На рис. 9 представлен результат моделирования приповерхностного сейсмического
взрыва, а на рис. 10 – результат моделирования землетрясения. В данных двух задачах состоит из приблизительно 500 тысяч неразбитых тетраэдров. При моделировании приповерхностного взрыва было сделано 1200 шагов по времени, а при моделировании землетрясения – 700.
В первых четырех задачах видна картина возникающих волн: объемных сейсмических продольных и поперечных, а также поверхностных сейсмических волн Релея. Белыми
векторами показано направление скорости.
На рис. 11 изображен результат численного моделирования прохождения сейсмической волны через границу раздела двух сред параболической формы. Ребро сейсмического
куба 200 м. В данной задаче сетка состоит из 64 тысяч узлов. Было проведено около 400
шагов по времени, что соответствует 1,5 секундам. Параметры среды выше границы раздела: скорость продольных сейсмических волн сP  4230м с , скорость поперечных сейсмических волн сS  3000м с и плотность среды   2400кг м3 . А ниже границы раздела:
сP  2115м с , сS  1500м с и   2400кг м3 . На рис. 11 видна отраженная от слоя параболической формы сейсмическая волна, а также выше нее можно видеть искаженный после прохождения данной границы раздела двух сред параболической формы импульс Берлаге.
На рис. 12 изображен результат численного моделирования прохождения сейсмической волны через слой с другими упругими параметрами и с границами параболической
формы. Сетка, изображенная на рис. 1 состоит из приблизительно 70 тысяч узлов. На рис.
12 видны две отраженные волны – первая (на рисунке верхняя) отразилась от верхней границы раздела двух сред, вторая – от нижней границы. Также можно видеть искажение
формы прошедшей через слой волны (на рисунке самая нижняя из трех).
10
Рис. 7.
Рис. 8.
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. 11.
Рис. 12.
12
Список литературы
Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханики конденсированной среды. –
М.: МФТИ, 2002 г., 336 с.
Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. – М.:
Наука, 1988, 288 с.
Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, 2006 г., 523 c.
Петров И. Б., Фаворская А. В. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. // Журнал Информационные
технологии. - 2011 г. - №9. - C. 30 – 32.
Квасов И.Е., Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях //Математическое моделирование. Т. 21, №5, 2009 г.,
C. 3-9.
Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное моделирование сейсмических
откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом
//Математическое моделирование. Т. 22, №9, 2010 г., C. 13-21.
Квасов И. Е., Петров И. Б., Санников А. В., Фаворская А. В. Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом
на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Журнал Информационные технологии.
2011 г., №9., C. 28 – 30
Квасов И. Е., Петров И. Б., Санников А. В., Фаворская А. В. Сеточнохарактеристический метод высокой точности на тетраэдральных иерархических сетках с
кратным шагом по времени // Компьютерные исследования и моделирование. – 2012 г, Т.
3., № 1., C. 161 - 171.
Численное исследование анизотропии волновых откликов от трещиноватого пласта, сеточно-характеристическим методом
И.Е. Квасов, И.Б. Петров
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Целью данной работы является исследование задачи распространения приповерхностного возмущения в массивной породе, содержащей различные неоднородности – пустые или заполненные трещины. Получены численные решения задач о распространении волн в таких существенно неоднородных средах. Исследуется зависимость параметров отклика от трещиноватого пласта в зависимости от параметров
задачи: плотности расположения трещин, протяженности трещиноватого пласта, количества трещин, положения начального возмущения, наклона трещин, частоты импульса. Вводится понятие анизотропии отклика, исследуется зависимость анизотропии от вышеперечисленных параметров.
В работе используется сеточно-характеристический метод на треугольных расчетных сетках с постановкой граничных условий на поверхности раздела между породой и трещиной, а также на свободных поверхностях в явном виде. Предлагаемый
численный метод пригоден для исследования процессов взаимодействия сейсмических волн с неоднородными включениями, поскольку позволяет наиболее корректно
конструировать вычислительные алгоритмы на границах области интегрирования и
раздела сред.
1. Введение
Современные задачи механики сплошных сред требуют вводить все более усложняющиеся механико-математические модели. Как правило, это многомерные линейные и
нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, с многочисленными
контактными границами, с разрывами в исходных данных, зонами больших градиентов
внутри областей интегрирования.
Численное моделирование физических процессов, происходящих в недрах Земли,
представляющее интерес для разведочной сейсмологии (один из основных разделов геологии), является весьма специфической и сложной областью науки, объединяющей разделы
уравнений математической физики, механики сплошных сред, численных методов и информатики. Одними из наиболее широко используемых вычислительных методов для решения динамических систем уравнений в частных производных гиперболического типа в
механике сплошных сред при описании процессов с ярко выраженным волновым характером являются сеточно-характеристические методы, подробное описание и обзор которых
можно найти в [1].
В данной работе также используется этот подход. Для математического моделирования сейсмических откликов от трещиноватых углеводородсодержащих геологических
пород в сейсмологии традиционно используют осредненные модели или модели с эффективными коэффициентами среды [2-7], что влечет за собой необходимость введения некоторых эмпирических коэффициентов (например, коэффициенты податливости породы [36]), дополнительных гипотез (например, гипотеза линейного проскальзывания [3]). В данной работе исследуется возможность полного численного моделирования волновых полей
в породах с трещинами на основании системы уравнений механики деформируемого твердого тела без введения каких-либо эмпирических параметров.
2. Постановка задачи
Общий
вид исследуемой области показан на рис. 1. Параметры среды:
  2000 кг / м , c p  2000 м / с , cs  1400 м / с . На поверхности земли на протяжении
3
14
L  4 км расположены приемники. На глубине H  2 км находится трещиноватый пласт
высотой h  40 м и протяженностью l  300 м . На поверхности области на расстоянии
S  0,5 км по горизонтали от центра кластера трещин на участке протяженностью s  5 м
задается начальное возмущение – импульс Риккера:
V  t   V0 1  2 t  e
2
 2 t 
2
, T 2  t  T 2 ,
где V0  5 102 м / с ,   30 Гц , T   1 . Общий вид импульса Риккера представлен на
рис. 2.
Анализируется поток энергии j  σ  υ через верхнюю половину окружности радиуса
R  1,5 км , описанной около центра кластера трещин.
Кроме того, рассматривается плотность энергии отраженных от кластера трещин
волн в каждой точке верхней половины окружности:
t
dE 2
 j(t ,  )  R  dt ,
d  t1
где t1 – момент начала взаимодействия прямой волны с кластером трещин, t2 – момент окончания прохождения отраженных от кластера трещин волн через рассматриваемую окружность, угол   2     2 определяет точку на окружности, R – радиус-вектор
точки окружности.
Также для всех моментов времени строятся поля скоростей, изолинии модуля скорости, компоненты скорости и тензора напряжений на всей области интегрирования, в том
числе и на земной поверхности.
Задача решается для флюидо- и газонасыщенных трещиноватых пластов. Упругие
параметры флюида:   1000 кг / м3 , c p  1500 м / с . Проводится исследование характера отраженных волн в зависимости от смещения положения начального положения относительно центра кластера трещин по горизонтали: S  0 км , S  0,5 км , S  1 км . Также исследуется характер отраженных волн в зависимости от расстояния между трещинами в пласте
трещин.
Рис. 1.
Рис. 2.
3. Математическая модель
3.1. Определяющие уравнения
Сформулируем здесь уравнения, которым подчиняется состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды [8, 9]. Во-первых, это локальное уравнение
движения:
 υ   T .
Здесь  – плотность материала, υ – скорость движения среды в данной точке,  –
градиент по пространственным координатам, T – тензор напряжений Коши.
16
Введем симметричный тензор малых деформаций
e  12 ( u  u ) ,
где u – поле перемещений ( x  X  u , где x – положение некоторой точки тела в текущий момент времени, а X – ее положение в начальный момент времени),  – оператор
тензорного произведения: (a  b)ij  ai b j . В произведении (u  ) дифференцированию
также подвергается u , а не последующие сомножители:
(  u  u  )ij  i u j   j ui .
Линейная упругость материала подразумевает следующую связь напряжений с деформациями:
T   ( e : I )  2 e ,
где λ, μ – параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала (существуют
взаимно однозначные формулы связи параметров Ляме с одной стороны и модуля Юнга и
коэффициента Пуассона с другой), I – единичный тензор, : – двойная свертка:
a : b   aij bij
i, j
Чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений относительно
скоростей и напряжений, остается только продифференцировать связь напряжений с деформациями:
  υ    T,

T   (  υ)I   (  υ  υ  ).
В рассматриваемой модели параметры материала  , λ, μ считаются не зависящими
от скоростей и напряжений.
3.2. Каноническая запись дифференциальных уравнений
Для реализации сеточно-характеристического метода динамическая система уравнений механики деформируемого твердого тела приводится к каноническому виду:
u  A j
j
u
0,
 j
где u является вектором искомых функций:
u  1 ,2 ,3 ,11 ,12 ,13 , 22 , 23 , 33 .
T
В запись разностных схем входит как сама матрица A j , так и различные функции
от нее. Чтобы иметь возможность строить сеточно-характеристические разностные схемы,
исключая процедуры обращения матриц и приближенного вычисления ее собственных
значений и векторов, будем использовать явную запись матриц A j и их спектрального
разложения, полученную в работе [12].
4. Численный метод
Для численного решения задачи используется сеточно-характеристический метод
[1], разработанный для численного решения задач динамики деформируемых сред в [11,
12], учитывающий указанные физические особенности задачи, т.е. распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей, и позволяющий строить корректные численные алгоритмы для расчета параметров в граничных точках и точках, лежащих на поверхностях раздела сред (контактных границах).
Для перехода от решения многомерной системы уравнений в частных производных
к последовательному решению несколько одномерных систем уравнений на каждом шаге
интегрирования применяется метод расщепления по пространственным координатам, описанный в [1].
5. Анизотропия отклика
Для характеристики несимметричности отклика необходимо ввести некую величину,
которая была бы тем больше, чем больше различие между левыми и правыми частями отклика (относительно вертикальной прямой, проходящей через центр пласта трещин). При
этом в случае полной симметрии отраженных волн эта величина должна принимать нулевое значение. Можно предложить следующее определение анизотропии отклика, удовлетворяющее сформулированным выше критериям:

EL  ER
,
EL  ER
где  – анизотропия отклика, E L – энергия левой части отклика, E R – энергия правой части отклика.
Понятие анизотропии отклика будет широко использоваться в дальнейшем изложении. В частности, будет исследоваться зависимость анизотропии от различных параметров
поверхностного взрыва и пласта трещин.
6. Результаты численного решения
6.1. Зависимость отклика от расстояния между трещинами
Рассмотрим задачу отражения плоского импульса Риккера, направление распространения которого составляет 14 градусов с вертикалью (это соответствует смещению точки
взрыва вдоль поверхности на 0,5 км), от пласта 5 вертикальных заполненных трещин. Будем исследовать картину отраженных волн при различных расстояниях между трещинами.
Обозначим отношение расстояния между трещинами к длине одной трещины через q. Величина q будет изменяться от 0,5 до 4,0. На рис. 4-6 показаны соответствующие поля скоростей. На рис. 7 показана зависимость анизотропии отклика от величины q.
Рис. 4. q = 0,5 (слева), q = 1,0 (справа).
18
Рис. 5. q = 1,5 (слева), q = 2,0 (справа).
Рис. 6. q = 3,0 (слева), q = 4,0 (справа).
Рис. 7.
Как видим, начиная с некоторой плотности расположения трещин, величина отраженной энергии перестает меняться, а анизотропия отклика выходит на устойчивый уровень.
6.2. Зависимость отклика от плотности расположения трещин
Проведем исследование зависимости отклика от плоности расположения трещин для
случая вертикальных заполненных трещин и импульса Риккера, направление
распространения которого составляет 14 градусов с вертикалью. Будем сохранять
протяженность пласта трещин неизменной, но будем изменять количество трещин. На рис.
8-10 показаны поля скоростей для различной плостности расположения трещин в пласте
(N = 3, 4, 5, 7, 9, 13, 21). На рис. 11 показана анизотропия отклика в зависимости от
количества трещин.
Рис. 8. N = 3 (слева), N = 4 (справа).
Рис. 9. N = 5 (слева), N = 7 (справа).
Рис. 10. N = 13 (слева), N = 21 (справа).
20
Рис. 11.
Как видим, наблюдается возрастание энергии отклика при увеличении плотности
расположения трещин. В первую очередь это связано с тем, что из-за небольшого угла
между направлением распространения импульса и ориентацией трещин пласт трещин фактически прозрачен для падающей волны: трещины не перекрывают весь пласт полностью.
Поэтому мы получаем, что с увеличением плотности расположения трещин возрастает
степень «непрозрачности» пласта, что приводит к большему отражению сигнала. График
зависимости анизотропии от плотности расположения трещин демонстрирует интересную
особенность: анизотропия достигает максимума при количестве трещин, равно 9. Можно
предположить, что начальный рост анизотропии связан с увеличением энергии отклика
(падающая волна сама по себе анизотропна, так как распространяется под некоторым углом к вертикали), а дальнейший незначительный спад анизотропии связан с тем, что пласт
трещин по своим свойствам все больше приближается к некоторой осредненной модели
среды.
6.3. Зависимость отклика от частоты импульса
Исследуем, как зависит анизотропия отклика от падающего импульса, в частности, от
его частоты. Будем сохранять все параметры задачи неизменными, за исключеним частоты
падающего импульса. На рис. 12-13 показаны поля скоростей для различной частоты
иипульса (v = 30, 60, 90, 150 Гц). На рис. 14 показана анизотропия отклика в зависимости
от частоты импульса.
Рис. 12. v = 30 Гц (слева), v = 60 Гц (справа).
Рис. 13. v = 90 Гц (слева), N = 150 Гц (справа).
Рис. 14.
Как видим, анизотропия отклика практически не зависит от частоты импульса. Это
объясняется тем, что определяющим фактором анизотропии отклика является геометрия
задачи. Частота импульса влияет только на величину энергии отраженной волны – с увеличением частоты импульса энергия отклика уменьшается.
Список литературы
Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. – М.:
Наука, 1988, 288 с.
Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. J. Apple
Physics. 1962y., vol. 33, №4, pp. 1482-1498.
Hsu C.J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium. Geophysics.
1993y., vol. 58. №7. pp. 964-977.
Молотков Л.А., Бакулин А.В. Эффективная модель слоистой упруго-пористой среды.
ДАН, 2000г., т.372, №1, с. 108-112.
Kozlov Е.А. Pressure-dependent seismic response of fractured rock. Geophysics, 1969y.,
pp. 885-897.
Thomsen L. Weak elastic anisotropy. Geophysics, 1986y., 51, pp. 1954-1966.
Hudson J.A. Wave speeds and attention of elastic waves in matirials containing cracs: Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 1981y., 64, pp. 133-150.
Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. – М.:
МФТИ, 2002, 336 с.
22
Новацкий В.К. Теория упругости. – М.: Мир, 1975, 872 с.
Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. – М.: ГЕРС, 2006, 480 с.
Иванов В.Д., Кондауров В.Н., Петров И.Б., Холодов А.С. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами // Матем. моделирование, 2003, т. 15, № 10, с. 11 – 29.
Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач
механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т. 24, № 5, с. 722 – 739.
Квасов И.Е., Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 5,
с. 3 – 9.
Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное моделирование сейсмических
откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. //
Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 9, с. 13 – 22.
Левянт В.Б., Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Кластерная природа сейсмической энергии,
рассеянной от зоны диффузной каверзности и трещиноватости в массивных породах //
Геофизика, 2005, № 6, с. 5 – 19.