Решение краевых задач с помощью S

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
S-СПЛАЙНА
Силаев Д.А., Коротаев Д.О.
(Россия, Москва)
Данная работа посвящена применению теории Sсплайнов для решения уравнений в частных производных на
примере уравнения Пуассона. S-сплайн – кусочнополиномиальная функция, коэффициенты полиномов
которой определяются из двух условий: первая часть
коэффициентов определяется условиями гладкой склейки,
остальные определяются методом наименьших квадратов.
В зависимости от порядка рассматриваемых полиномов и
соотношения между количеством условий первого и
второго типа мы получаем S-сплайны с разными
свойствами. На настоящий момент изучены сплайны 3-й
степени класса C 1 и сплайны 5-й степени класса C 2 (т.е. на
них накладывались условия гладкой склейки вплоть до
первой и второй производной соответственно). Мы
рассмотрим, каким образом могут быть применены
сплайны 3-й степени класса C 1 при решении уравнения
Пуассона на круге и в других областях. Для начала нам
потребуется определение одномерного и двумерного Sсплайна. Также мы приведем формулировки теорем о
единственности и сходимости S-сплайнов.
SOLVING OF BOUNDARY TASKS BY USING S SPLINE
Silaev D.A., Korotaev D.O.
This article is dedicated to use of S-spline theory for
solving equations in partial derivatives. For example, we
consider solving of Puasson equation. S-spline – is a piecewisepolynomial. Its koefficients are defined by two states. Its first
part of koefficients are defined by smoothness of spline. The least
koefficients are determined by least-squares method. According
to order of considered polynomial and number of conditions of
first and second type we get S-splines with different properties.
At this moment we have investigated order 3 S-splines of class
C 1 and order 5 S-splines of class C 2 (they meets conditions of
smoothness of order 1 and 2 accordinally). We will consider how
the order 3 S-splines of class C 1 can be applied for solving
equation of Puasson on circle and on other areas.
1. Одномерный S-сплайн
1.1. Определение одномерного S-сплайна
{x }
Рассмотрим на отрезке [a b] равномерную сетку
, xk  a  kh , h — шаг сетки. Рассмотрим на [a b]
еще
одну
k K
k k 0
H  mh m  Z 
Обозначим
равномерную
Пусть


n 




{l }ll  0L ,
сетку
l  a  lH ,
y  ( y0  y1 … yK )  R K 1 и y0  R .
n
P u  u ( x)  a0  a1 x   a j x
j 2


j




множество полиномов степени n с фиксированными
коэффициентами
Рассмотрим
функционал:
a0  a1 .
M
 (u )   (u (l  kh)  yml  k ) 2
l
k 0
В классе P ищется такой полином, который минимизирует
l и удовлетворяет следующим начальным условиям
a00  y0  a10  y0
(1.1)
и условиям гладкой склейки двух последовательных
полиномов
a0l  gl 1 (l  l 1 )  gl 1 ( H ) a1l  g l 1( H )
(1.2)
n
Определение 1. S-сплайном назовем функцию Smn  M ( x) ,
которая
совпадает с полиномом gl ( x) на отрезке
l  x  l 1 .
Определение 2. Периодическим S-сплайном называется Sсплайн, являющийся периодической функцией на отрезке
[ a b ] .
Предположение периодичности означает замену начальных
условий (1.1) на следующие условия периодичности:
a00  g L 1 ( H ) a10  g  L 1( H )
(1.3)
Здесь L – число полиномов, составляющих сплайн.
1.2. Построение системы линейных уравнений
Условия минимизации функционала  l (u ) дадут нам
следующие уравнения:







S2 a0l  S3a1l h  S4 a2l h 2  S5a3l h3  P1l
S3a0l S4a1l hS5a2l h2 S6a3l h3 P2l
(1.4)
где
M
M
k 0
k 0
S j   k j  Pjl   yml  k k j 1 
(1.5)
Произведем замену переменных a i  ai hi  i  01 2 3 При
этом уравнения (1.2) и (1.4) преобразуются в следующие:
a l01  ma1l 1  m2 a l21  m3 a 3l 1  a l0
(1.6)

2 l 1
l 1
l 1
l
 a1  2ma 2  3m a 3  a1





S 2 a l0  S3 a1l  S 4 a l2  S5 a l3  P1l
S3 a l0 S4 a1l  S5 a l2 S6 a l3 P2l
(1.7)
Обозначим матрицы:
S S3
S S5
1 m
m2 m3
A1  2
 A2  4
 B1 
 B2 

S3 S4
S5 S6
0 1
2m 3m2
Кроме того, пусть
 l 
 l
 l 
a 
P 
a 
Pl   1  и X 2l   0   X 2l 1   2   где l  01… L  1
 Pl 
 al 
 al 
 2
 1
 3
Тогда систему уравнений для определения коэффициентов
периодического сплайна можно записать в виде:



















E
A1
B1
0
0
0
A2
B2
0
0
0
0
E
A1
B1
0
0
0
A2
B2
… B1
… 0
… 0
… 0
… 0
B2  

0  

0  

0  

0  
0
0
0
0
… A1
A




 
2  

















2 L 1 


X0
X1
X2
X3
X4
X




































L 1 


0
P0
0
 P1
0
P
(1.8)
Размерность этой системы - 4L x 4L . Здесь E, как обычно
1 0
единичная матрица: E 
. Для непериодического
0 1
сплайна первые две строки заменяются на стартовые
условия (1.1).
Введем обозначение 1:
1
1
1
1
1  m2T35  m3T34 m m2T45  m3T34
A
A
A
A
(1.9)
U

2
m
m
m
m2
2 T35 3 T34
12 T45 3 T44
A
A
A
A
где
S S5
(1.10)
A  det( A2 )  det 4
 S4 S6  S52  0
S5 S6
Tij  Si S j  Si 1S j 1
1
(1.11)
Матрицу U назовем матрицей устойчивости, поскольку как мы увидим
далее, она определяет устойчивость сплайна
Если сделать некоторые преобразования, то система (1.8)
распадается на систему размерности 2L x 2L :
0
U   X 0    B2 A21 P L 1 
 E 0




 

1P0 
2 
U

E
0
0

B
A
X




2
2









1
1
4
 0 U E

(1.12)
0  X     B2 A2 P 









 






1 L  2 
 0

2 L2

 B A P

0
0
 E   X

2 2



из которой находятся первый и второй коэффициенты
полиномов. Остальные два коэффициента определяются из
метода наименьших квадратов (1.4). Заметим, что матрица
U, определенная нами выше может быть также записана в
виде U  B1  B2 A2 1 A1 .
1.3. Существование и единственность S-сплайнов
Теорема 1. При любых начальных условиях и для любых
констант
и
M
существует
и
единственен
m
непериодический сплайн Sm M [ y ]( x) .
Теорема 2. Пусть числа m и M таковы, что собственные
числа матpицы U не равны корню степени L из единицы.
Тогда существует и единственен периодический сплайн
Sm M [ y ]( x) .
1.4. Сходимость S-сплайнов
Теорема 3. Пусть f ( x)  C4 [a b] - периодическая функция и
пусть выполнены предположения:
 f ( xk )  f k  Ch 4 
(1.13)
где константа C не зависит от h . Пусть, кроме того,
собственные числа матрицы U (1.9) по модулю меньше
единицы. Тогда периодический сплайн S m M ( x ) с узлами на
равномерной сетке l  a  lH
имеет дефект два (т.е.
S ( x)  C [a b] ), и для x  [a b] справедливы следующие
оценки:
f ( p ) ( x)  S m( p M) ( x)  C p h 4 p  p  01 2 3
(1.14)
3
m M
1
Теорема 4. Пусть f ( x)  C4 [a b] и пусть выполнены
предположения:
 f ( xk )  f k  Ch 4   f (0)  f 0  Ch3 
(1.15)
где константа C не зависит от h . Пусть, кроме того,
собственные числа матрицы U (1.9) по модулю меньше
единицы. Тогда непериодический сплайн S m M ( x ) c узлами
на равномерной сетке l  a  lH имеет дефект два (т.е.
Sm3 M ( x)  C1[a b] ) и для x  [a b] справедливы следующие
оценки:
f ( p ) ( x)  S m( p M) ( x)  C p h 4 p  p  01 2 3
(1.16)
Замечание. Как показано в работе [1], выполнение условия
m  M *, где  *  0.93, обеспечивает устойчивость,
собственные числа матрицы U оказываются по модулю
меньше единицы.
1.5. Фундаментальный S-сплайн
B j ( x)
Фундаментальный
S-сплайн
это
периодический
или
непериодический
S-сплайн,
K 1
построенный по данным y  ( y0  y1 … yK )  R и y0  R
вида: { y i   ij, i  0,..., K }. Легко видеть, что линейная
комбинация
K
 y B ( x)  S ( x)
j 0
j
j
является
S-сплайном,
приближающим начальные данные  yi  i  0… K .
Приведем графики фундаментальных S-сплайнов для
периодического случая:
Фундаментальные сплайны одной переменной
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
Рис.1
2. S -сплайн на круге
2.1. Построение   r - сплайна
Будем рассматривать на единичном круге полярные
сетки :
{i  ih1 i  01… K1}{ k  kH1 k  0… L1}
H1  m1h1 K1  m1L1 K1h1  2
{rj  jh2  j  01… K 2 } {Rl  lH 2  l  0… L2 }
H 2  m2 h2  K2  m2 L2  K 2 h2  1
Будем строить аппроксимацию функции f (  r ) на круге
при условии, что функция f имеет 4 производных по
переменным r и  , то есть:
(2.1)
f  C 4 [01]  [0 2 ]
{ yij  f (i  rj )
i  0… K1
j  0… K 2 }
Пусть
значения в узлах сетки, по которым будет проводиться
аппроксимация. При каждом
построим
j  1… K2
периодический S-сплайн S j ( ) на отрезке [0 2 ] по
начальным данным { yij 
i  0… K1} . Каждый из этих
сплайнов аппроксимирует функцию f (  rj ) на окружности
с радиусом r j , причем в силу теоремы о сходимости
S
( p)
j
( ) 
 p f (  rj )
 p
 Ch14 p 
  [0 2 ]
p  01 2 3
Далее, фиксируем произвольное   [0 2 ] . Рассмотрим
набор {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 } . Также обозначим z0 значение, получаемое по некоторому алгоритму по набору
{ z j } , которое приближает f r (r  ) r 0 с порядком не ниже
третьего. Например,
1
3
1

(2.2)
z0  3( z1  z0 )  ( z2  z0 )  ( z3  z0 ) 
h2 
2
3

- приближение производной с третьим порядком
аппроксимации.
По набору {z j } и z 0 строим S ( r ) - непериодический S[01] .
сплайн
на
отрезке
Будем
считать,
что
Это
гарантирует,
что
m2  M 2  (здесь    093096) .
собственные значения матрицы U по модулю не будут
превосходить единицы. Тогда, построенный для  сплайн
S ( r ) будет аппроксимировать функцию f (  r ) при
r  [01] .
Определение 3. Назовем   r сплайном функцию S (  r ) ,
значение которой при любом r и  определяется по
следующему
алгоритму:
по
набору
{z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 } , z0 строим S ( r ) , затем
полагаем S (  r )  S (r ) .
По другому S (  r )  S (r )  {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 } .
Очевидно, что этот сплайн можно дифференцировать по r 3
раза в любой точке, не принадлежащей сетке, то есть при
r  R j . При r  R j определим производную следующим
образом:
p
p
S
(


r
)

S (  r  0)
p  01 2 3
r p
r p
Определение 4. Назовем p-й производной по  от   r сплайна ( p  1 2 3 ) функцию
которая
p
 p
S ( r ) на единичном круге,
равна   r - сплайну, построенному по набору


dp
z

S j ( )
j  1… K 2  z0  0 
p  1 2 3
 j
p
d


Как и в случае с производной по r , под производной по  в
точках    k понимается значение в точке    k  0 .
2.2. Получение S-сплайна на круге как явной
функции двух переменных
Будем обозначать фундаментальные сплайны по 
как Ci ( ) , а фундаментальные сплайны по аргументу r как
D j (r ) .
S (  r )  S (r )  {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 }  S (r ) 
K2
K2
K1 1
K1 1 K 2
j 0
j 0
i 0
i 0 j 0
  z j D j (r )   D j (r )  yij Ci ( )    yij Ci ( ) D j (r )
(2.4)
Предпоследнее равенство следует из определения набора
{z j  S j ( )} и разложения по фундаментальным сплайнам
K1 1
S j ( )   yij Ci ( ) .
График
фундаментального
i 0
представлен на рис.2
Фундаментальный сплайн на квадрате
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
сплайна
Теперь
рассмотрим
укрупненную
сетку
круга
{k  kH1 k  0… L1} где H1  m1h1 и {Rl  lH 2  l  0… L2 }
где H 2  m2 h2 . Рассмотрим вид S-сплайна в некотором
произвольным секторе этой сетки:
(2.5)
  kH1    r  lH 2  r  где    H1 и  r  H 2
В этом секторе фундаментальные BS-сплайны согласно
определению S-сплайна представляются в виде полиномов
третьей степени:
3
3
p 0
q 0
Ci ( )   cipk  p D j (r )   cqlj r q
Подставляя эти выражения в формулу для S (  r ) и меняя
порядок суммирования, получим:
K1 1 K 2
3
3
i 0 j 0
p 0
q 0
S (  r )    yij  cipk  p  d qlj r q 
3
3
 K1 1 K2
p q


 i 0 j 0

   r
p 0 q 0
y c d
i
ij pk

j 

ql 


3
3
   a klpq  p r q
(2.6)
p 0 q 0
Представление сплайна на круге в виде разложения по
одномерным фундаментальным сплайнам (2.4) позволяет
определить
понятие
смешанной
производной
для
двумерного сплайна :
Определение 4. Под смешанной производной двумерного
 pq
сплайна
понимается
S (r ,  )
0 pq 3
 p r q
K1 1 K 2
dp
dq
следующая конечная сумма   yij
C
(

)
D j (r ) ,
i
d p
dr q
i 0 j 0
состоящая
из
формальных
производных
от
соответствующих фундаментальных сплайнов по r и  .
2.3. Сходимость двумерного сплайна
Обозначим h  max(h1  h2 ) .
Теорема 5. Пусть m1  M1  , m2  M 2  и выполнены
условия:
(2.7)
f  C 4 [01]  [0 2 ]
Тогда для сплайна S (  r ) справедливы оценки :
 pq
 pq
S (  r )  p q f (  r )  C pq h 4 p q  где 0  p  q  3.
p
q
 r
 r
Доказательство следует из построения двумерного сплайна,
представления его в виде линейной комбинации
фундаментальных одномерных сплайнов, а также из
сходимости одномерных сплайнов.
2.4. Решение краевых задач с помощью сплайнов
Рассмотрим уравнение
граничными условиями:
Пуассона
c
некоторыми
 1   u  1  2u
  p(r ,  ), (r ,  )  D

r  2
2
,
 r r  r  r 

u (r ,  ) D  f (r ,  )

(2.8)
Пусть D – некоторая область лежащая внутри единичного
круга.
Предлагаемый метод решения состоит в следующих шагах:
1) Представление предполагаемого решения уравнения
в виде линейной комбинации фундаментальных
сплайнов.
2) Применение метода Галеркина к уравнению в
пространстве фундаментальных сплайнов
3) Подстановка граничных условий
Рассмотрим последовательно эти шаги. Представим
решение уравнения в виде
K1 1 K 2
S (  r )   uij Ci ( ) D j (r ) ,
i 0
(2.9)
j 1
где Ci ( ) и D j (r ) - соответствующие фундаментальные
одномерные сплайны.
Домножим исходное уравнение на r . Теперь будем
домножать уравнение скалярно на Cl ( ) Dk (r ) , где пары
l , k пробегают
индексов
все
значения
l  0, , K1  1, k  1, , K2 , но такие, что (h2 k , h1l )  D (т.е.
только для внутренних узлов области D). В нашем случае в
качестве скалярного произведения возьмём интеграл по
области D. Получим уравнение:
  2u u 1  2u 
D r r 2  r  r  2 Cl ( ) Dk (r )rdrd 
  p(r ,  )Cl ( ) Dk (r )r 2 drd
(2.10)
D
Заметим, что под интегралом вошел также якобиан r от
преобразования в полярные координаты. Рассмотрим
процесс интегрирования на примере круга. В случае других
областей можно действовать подобным образом. Область
интегрирования
разбиваем
на
сектора
вида
r  [ Rq , Rq 1 ],   [ p ,  p 1 ], где
Rq  qH 2 , q  0,..., L2 ,  p  pH1 , p  0,..., L1 . После этого мы
можем разбить двойной интеграл на одномерные.
Преобразуем левую часть следующим образом:
  2u u 1  2u 
D r r 2  r  r  2 Cl ( ) Dk (r )rdrd 
Rq1  p1


 2u u 1  2u


    r 2  
C
(

)
D
(
r
)
rdrd


k
2 l
r
r r 
p  0 q  0  Rq  p



Теперь подставим разложение (2.9) и проинтегрируем по
частям:
Rq1
 p1


2
uij   r Dj (r ) Dk (r )  rDj (r ) Dk (r )dr  Ci ( )Cl ( )d 

i , j p ,q
p

 Rq
Rq1
 p1


  D j (r ) Dk (r )dr  Ci( )Cl ( )d  
Rq
p


Rq1

Rq1

  uij r 2 D j (r ) Dk (r )   rDj (r ) Dk (r ) 
Rq
i , j p ,q
Rq


L1 1 L2 1
2rD j (r ) Dk  (r )dr
 p1

p
Ci ( )Cl ( )d 
Rq1


Rq
 p1

 
 p1

D j (r ) Dk (r )dr  Ci ( )Cl ( )
  Ci ( )Cl ( )d   


p
p


2

  uij   Cl ( )Ci ( )d Dk (1) D j (1) 
i, j
0
1

  rDk (r ) D j (r )  2rDk  (r ) D j (r )dr  
0


2
1

  Cl ( )Ci ( )d  Dk (r ) D j (r )dr    p(r ,  )Cl ( ) Dk (r )r 2drd.
0
0
D

(2.11)
Последнее уравнение в виду произвольности выбора l и k
представляет
собой
систему
для
определения
коэффициентов u ij . Чтобы сделать её полной,
нам
необходимо учесть граничные условия, которые дадут нам
недостающее число уравнений
 u C ( ) D (r )
ij
i, j
i
 f ( , r ) .
j
D
Для круга радиуса единица они будут иметь вид:
 uijC i (l ) D j (1)  f ( ), l  0, , K1  1
(2.12)
i, j
В общем же случае нам необходимо поставить граничные
условия в точках пересечения сетки с границей области D ,
но столько, сколько нам недостает уравнений (с учетом того
количества уравнений, которое получилось для полностью
внутренних точек области). Встает закономерный вопрос о
том, каким образом выбирать пары индексов (i, j ) , которые
определяют фундаментальные сплайны, участвующие в
разложении предполагаемого решения для произвольной
области внутри единичного круга. Во-первых, мы берем
индексы соответствующие всем внутренним узлам сетки,
как мы это делали при домножении уравнения на
фундаментальные сплайны. Во-вторых, мы берем все точки
лежащие на границе или ближайшие к ним узлы, если
двигаться по лучам сетки по направлению от границы.
Из системы уравнений (2.11) и (2.12) мы получаем
u ij
коэффициенты
в
разложении
решения
по
фундаментальным сплайнам, т.е. искомое приближенное
решение.
Теорема 6. Пусть u ( r ,  ) - точное решение уравнения
(2.8), а S (r ,  ) - приближен ное решение, полученное в
результате вышеописанного метода. Пусть, кроме
того, собственные значения матрицы U, построенной
для сплайнов по r и по  по модулю меньше единицы.
Тогда верна оценка:
u(r ,  )  S (r ,  )  Ch4 , где h  max(h1 , h2 )
Доказательство.
сплайном
Аппроксимируем точное решение u
K1 1 K 2
S (r ,  )    vij Ci ( ) D j (r ) .
Пусть
u C4 .
i  0 j 1
Обозначим y  u  S . Тогда применив теорему 5, получим,
y ( n ) (r ,  )  C1h 4 n , где n  0,1, 2,3 . Т.к. u – точное
что
решение уравнения (2.8), то будет выполнено интегральное
тождество:
2
2
 uCl ( ) Dk (r )r drd  p(r, )Cl ( ) Dk (r )r drd
D
D
Разобьем область интегрирования на сектора, как мы это
делали в методе Галеркина. Тогда мы сможем почленно
дифференцировать u  y  S два раза:
Rq1  p1


  2

 1 2 




( y  S ) Cl ( ) Dk (r )r 2 drd  
    2


2 
r r  
p  0 q  0  Rq  p   r




L1 1 L2 1
  r 2 p(r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd
D
Теперь перенесем члены с y в правую часть, а оставшиеся
проинтегрируем по частям, как мы это делали в методе
Галеркина:
1
 2



vij   Cl ( )Ci ( )d  Dk (1) D j (1)   rDk (r ) D j (r )  2rDk  (r ) D j (r )dr  

i, j
0


 0
2
1

  Cl (r )Ci ( )d  Dk (r ) D j (r )dr  
0
0

   p(r ,  )Cl ( ) Dk (r )r drd  
Rq1  p1
2
 
p , q Rq
D
y(r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd.
p
Как мы видим, полученная система уравнений совпадает с
системой (2.11) с точностью до членов с y . Матрицу этой
систему
обозначим
A  alkij  .
Введем
z  S (r ,  )  S (r ,  )   (uij  vij )Ci ( ) D j (r ) .
обозначение
Вычтем
из
i, j
полученной системы систему (2.11), тогда получим систему:
a
ij
lk
i, j
(uij  vij )  ylk , или Az  y ,


Здесь z  zij zij  uij  vij , а
Rq1  p 1


y   ylk ylk     y (r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd  .
p , q Rq  p


Rq1  p1
 
p , q Rq

y (r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd 
p
Rq1  p1
 
p ,q
y(r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd 
p
Rq
Rq1  p1
 sup y
 
p , q Rq
Обозначим c p,l 
sup
[  p , p1 ]
Cl ( ) Dk (r )r 2 drd
p
Cl ( ) , dq,k  sup
r[ Rq , Rq1 ]
Dk (r )r 2 .
Тогда в силу теоремы 5, примененной к y и её
производным, получим:
Rq1  p1
sup y
 
p , q Rq
p
Cl ( ) Dk (r )r 2 drd  Ch 2  c p ,l d q ,k H1H 2 
p ,q



 Cm1m2 h4  c p ,l d q ,k  Cm1m2 h 4   c p ,l   d q ,k 
p ,q
 p
 q

Теперь покажем, что получившиеся суммы ограничены
суммой сходящейся геометрической прогрессии. Для этого
нам потребуется леммы 3 (для периодического и
непериодического
случая),
доказательство
которых
приведено в [1] и [2]. Из этих лемм в частности следует, что
отклонение приближения фундаментальными сплайнами от
начальных
данных
удовлетворяет
соотношению
n t
 l ,m1n - символы
zn  Cl (nH1 )   l ,m1n   zt , где
Кронекера,   max( 1 , 2 ), 1 , 2 - собственные значения
матрицы U (1.9). Аналогичные соотношения имеют место и
для фундаментальных сплайнов по r . Тогда элементы сумм,
стоящих в скобках ограничены по модулю членами
сходящейся геометрической прогрессии, следовательно их
сумма ограничена
суммой бесконечной сходящейся
прогрессии, причем эта сумма не зависит от шагов h1 и h2 ,
что и требовалось доказать.
В силу единственности S-сплайнов фундаментальные
сплайны будут линейно независимыми, а следовательно
матрица системы A является обратимой, значит:
z  A1 y и z  A1 y 
zij  A1 max ylk  C2 h 4
l ,k


S (r ,  )  S (r ,  )  C2 h 4 (следует из теоремы 5).
u (r ,  )  S (r ,  )  u (r ,  )  S (r ,  )  S (r ,  )  S (r ,  )  C1h 4  C2 h 4  Ch 4
Теорема доказана.
u (r ,  )  S (r ,  )  u (r ,  )  S (r ,  )  S (r ,  )  S (r ,  )  C1h 4  C2 h 4  Ch 4
Теорема доказана.
2.5. Результаты численных расчетов
Методом описанным выше, решалась задача:
 1   u  1  2u
 2, r  (0,1),   (0, 2 )

r  2
2
 r r  r  r 

u (r ,  ) r 1  sin 2 ( )

Ниже представлена таблица точности, полученной при
разном количестве точек на отрезке, путем сравнения с
точным аналитическим решением. В соответствии с
теоремой, коэффициент увеличения точности при
уменьшении шага в 1,5 раза должен составлять
1,54  5, 0625 .
Таблица 1
Кол-во
Точность
Коэффициент
полиномов
увеличения
по r или
точности
по 
2
1,99746 102
4
8,608 103
2,32
6
1, 791103
4,804
9
5, 46 104
3,28
14
1, 01104
5,45
21
5
4,66
2,14 10
Решение уравнения Пуассона на круге
1
0,9
0,8
0,7
0,6
u(r,phi) 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Р19
22
16
10
19
r
13
4
7
1
Р10
phi
Р1
Рис. 3
Литература
1. Силаев Д.А., Якушина Г.И. Приближение S-сплайнами
гладких функций. В кн.: Труды семинара имени И. Г.
Петровского. Вып.10. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.197.
2.
Амилющенко А.В., Лукьянов А.И., Силаев Д.А.
Применение
сплайна
для
приближения
гладких
периодических
функций.
Вестник
московского
университета. N6, 1996 г. Материалы международной
конференции и Чебышевских чтений, посвященные 175
летию Чебышева. Т.1, с.22-25.