Дисциплина «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Волосникова Л.М./
__________ _____________ 201__г.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 Математика по профилю
подготовки: «Вычислительная математика» Форма обучения: очная.
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы _____________________________/Самакалев С.С./
«______»___________201__г.
Рассмотрено на заседании кафедры математики и информатики «28» апреля 2011 г №7
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем _________стр.
Зав. кафедрой ______________________________/Мальцева Т.В./
«______»___________ 201__ г.
Рассмотрено на заседании УМК ИМЕНИТ «13» мая 2011г. № 2
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Глухих И.Н./
«______»_____________201__ г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/Фёдорова С.А./
«______»_____________201__ г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математики и информатики
Самакалев С.С.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 Математика по профилю подготовки:
«Вычислительная математика» Форма обучения: очная.
Тюменский государственный университет
2011
Самакалев С.С. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
направления
010100.62
Математика
по
профилю
подготовки:
«Вычислительная математика» Форма обучения: очная. Тюмень, 2011, ___
стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ: Методы решения некорректных задач [электронный ресурс] / Режим
доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математики и информатики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой математики и
информатики Мальцева Т.В., д. ф.-м. н.
© Тюменский государственный университет, 2010.
© Самакалев С.С., 2011.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целью дисциплины является усвоение студентами методов решения задач,
решения которых неустойчивы к малым возмущениям исходных данных. Впервые
систематическое изучение таких задач проводилось Ж. Адамаром, который ввел понятие
корректной постановки задач математической физики, пытаясь выяснить какие типы
краевых условий наиболее естественны для различных дифференциальных уравнений. В
течение длительного времени многие ученые считали некорректно поставленные задачи
неинтересными и не имеющими практического значения. Необходимость рассмотрения
некорректно поставленных задач и правильная их постановка впервые была указана А.Н.
Тихоновым. При систематическом исследовании таких задач центральную роль играют
условия единственности и устойчивости. В связи с этим был введен ряд новых понятий,
таких как корректность по Тихонову, квазирешения, регуляризация. Одновременно были
разработаны алгоритмы численного решения. Однако здесь по сравнению с классически
корректными задачами возникают дополнительные трудности.
Основные задачи курса:

научить грамотно классифицировать прикладные задачи;

научить находить метод решения задачи;

научить выбирать оптимальный регуляризующий алгоритм;

научить аппроксимации задачи и подготовки ее к решению на ЭВМ;
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина
«МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНЫХ
ЗАДАЧ»
является
дисциплиной по выбору и входит в раздел «Б.3. Профессиональный цикл» ФГОС ВПО по
направлению 010100.62 Математика.
Рабочая программа дисциплины составлена с учетом требований федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
(ФГОС ВПО) по направлению 010100.62 Математика (квалификация (степень)
"Бакалавр"), утвержденного Приказом Министерства образования и науки Российской
Федерации (от 16 апреля 2010 г. № 374).
Дисциплине предшествует изучение следующих дисциплин и блоков дисциплин
вариативного компонента ФГОС ВПО: Математический анализ, Линейная алгебра и
геометрия, Дискретная математика, Дифференциальные уравнения, Уравнения в частных
производных, Функциональный анализ, Методы вычислений, а также курсов по выбору
студентов
раскрывающих
практико-ориентированные
аспекты
перечисленных
профильных дисциплин, предусматривающих лекционные, семинарские и практические
занятия.
Изучение
дисциплины
является
необходимой
основой
для
прохождения
производственной практики, подготовки выпускной квалификационной работы.
1.3.
Компетенции
выпускника
ООП
бакалавриата,
формируемые
в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
общекультурными и профессиональными компетенциями:

способностью применять знания на практике (ОК-6);

способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять
свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);

способностью понимать сущность и значение информации в развитии
современного общества, соблюдать основные требования информационной безопасности,
в том числе защиты государственных интересов и приоритетов (ОК-9);

фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и
компьютерных
наук,
готовностью
к
использованию
полученных
знаний
в
профессиональной деятельности (ОК-11);

значительными
навыками
самостоятельной
работы
с
компьютером,
программирования, использования методов обработки информации и численных методов
решения базовых задач (ОК-12);

базовыми
знаниями
в
областях
информатики
и
современных
информационных технологий, навыками использования программных средств и навыками
работы в компьютерных сетях, умением создавать базы данных и использовать ресурсы
Интернета (ОК-13);

способностью к анализу и синтезу (ОК-14);

умением понять поставленную задачу (ПК-2);

умением формулировать результат (ПК-3);

умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

пониманием
того,
что
фундаментальное
знание
является
основой
компьютерных наук (ПК-12);

умением
извлекать
полезную
научно-техническую
информацию
электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет (ПК-17);
из

возможностью
преподавания
физико-математических
дисциплин
и
информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях
среднего профессионального образования (ПК-29).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 математический язык и применяемый математический аппарат как средство
описания и решения некорректно поставленных задач;

возможности математики в области решения некорректно поставленных
задач на современном уровне развития математики;

основные методы решения некорректно поставленных задач.
Уметь:
 производить математические расчеты;

находить метод решения некорректной задачи и доводить его до
практически приемлемого результата;

применять полученные знания в различных предметных областях.
Владеть:
 классификацией прикладных задач;

навыками выбора метода решения задачи;

навыками выбора оптимального алгоритма решения;

навыками подготовки некорректно поставленной задачи к решению на ЭВМ
и реализацией этого решения.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Дисциплина изучается в 6 семестре. Форма итоговой аттестации зачет. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы в объеме 108 часов в т.ч.
лекций – 36, лабораторных работ – 18, самостоятельная работа - 54.
3. Тематический план.
Таблица 1.
3
4
5
6
Самостоятельн
ая работа*
2
Лабораторные
занятия*
1
Семинарские
(практические)
занятия*
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
Лекции*
№
недели семестра
Тематический план
7
Итого
часов
по
теме
8
В том
числе в
интеракт
ивной
форме
Итого
количество
баллов
9
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
Модуль 1
Примеры
некорректно
поставленных задач.
Метод подбора решений
некорректных задач.
Всего
Модуль 2
Метод регуляризации.
Вырожденные
и
плохо
обусловленные
системы
линейных
уравнений
(СЛАУ).
Всего
Модуль 3
Устойчивые
методы
суммирования рядов Фурье.
Метод квазиобращения для
некорректно поставленных
задач.
Ветвление решений краевых
задач.
Всего
Итого (часов, баллов):
В том числе в
интерактивной форме
Курсовая работа
Самостоятельн
ая работа*
Лабораторные
занятия*
Семинарские
(практические)
занятия*
Лекции*
Итого
часов
по
теме
В том
числе в
интеракт
ивной
форме
Итого
количество
баллов
1-2
4
2
6
12
3-4
4
2
6
12
2
0-10
8
4
12
24
2
0-20
12
4
6
2
18
6
36
12
2
0-30
0-10
16
8
24
48
2
0-40
13
2
1
3
6
14-15
4
2
6
12
16-18
6
3
9
18
0-20
12
36
6
18
6
18
54
36
108
0-40
0-100
5-10
11-12
0-10
0-10
2
0-10
6
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Письменные работы
№ темы
1.1
1.2
Всего
2.1
2.2
Всего
3.1
3.2
3.3
Всего
Итого
0-10
0-10
0-20
0-30
0-5
0-40
0-10
0-10
0-20
0-40
контрольная
работа
1.2
Тема
лабораторная
работа
1.1
недели семестра
№
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
0-5
Итого количество баллов
0-10
0-10
0-20
0-30
0-10
0-40
0-10
0-10
0-20
0-40
0-100
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Модуль 1
1.1
Примеры
некорректно
поставленных задач.
1.2
Метод
подбора
решений
некорректных задач.
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
Индивидуальные
задания
1-2
6
0-10
Индивидуальные
задания
3-4
6
0-10
12
0-20
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Метод регуляризации.
2.2
Вырожденные
и
плохо
обусловленные
системы
линейных уравнений (СЛАУ).
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Индивидуальные
задания
5-10
18
0-30
Индивидуальные
задания
11-12
6
0-10
24
0-40
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Устойчивые
методы
суммирования рядов Фурье.
3.2
Метод квазиобращения для
некорректно
поставленных
задач.
3.3
Ветвление решений краевых
задач.
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Выполнение
задания согласно
варианта лаб.
работ
Индивидуальные
задания
13
3
0-10
Индивидуальные
задания
14-15
6
0-10
Индивидуальные
задания
16-18
9
0-20
18
54
0-40
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
4. Разделы
дисциплины
и
междисциплинарные
связи
с
обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Изучение дисциплины необходимо для прохождения производственной практики и
выполнения выпускной квалификационной работы.
5. Содержание дисциплины
Тема 1.1 «Примеры некорректно поставленных задач»
Обобщенное решение. Определение корректно поставленной и некорректно
поставленной задач. Некоторые определения (компактные множества, замыкание,
выпуклый функционал, линейные нормированные пространства).
Тема 1.2 «Метод подбора решений некорректных задач»
Определения. Корректная по Тихонову задача. Метод подбора. Уравнение
Фредгольма 1-го рода. Определение квазирешения. Разложение квазирешения в ряд.
Приближенное
нахождение
квазирешений.
Замена
уравнения
близким
к
нему.
Определение близкого решения.
Тема 2.1 «Метод регуляризации»
Существенно
некорректные
задачи.
Постановка
задачи.
Определения
1-2
регуляризирующего оператора. Регуляризированное решение. Параметр регуляризации.
Пример 1 – вычисление производной. Пример 2 – восстановление функции по
приближенным значениям коэффициентов Фурье. Вариационный принцип отбора
решений. Постановка задачи. Стабилизирующий функционал. Принцип отбора. Теоремы
1-2. Метод Лагранжа построения регуляризирующего функционала. Квазимонотонный
функционал. Лемма. Теорема. Замечания 1-2. Определение параметра регуляризации по
невязке. Постановка задачи. Леммы 1-2. Теорема. Схема определения параметра по
невязке.
Пример
нелинейного
уравнения.
Квазимонотонное
значение
параметра
регуляризации. Определения. Вырожденная система линейных уравнений. Нормальное
решение. Глобальная форма выбора квазимонотонного значения. Метод итераций. Случаи
1-2. Случай приближенного задания оператора и правой части. Постановка задачи.
Определения. Теоремы 1-2.
Тема 2.2 «Вырожденные и плохо обусловленные системы линейных
уравнений (СЛАУ)»
Постановка
задачи.
Определения.
Псевдорешение.
Нормальное
решение.
Замечания 1-2. Метод регуляризации. Постановка задачи. Теоремы 1-2. Приближенное
нахождение нормального решения по неточно известным правой части и матрице.
Постановка задачи. Теоремы 3-4.
Тема 3.1 «Устойчивые методы суммирования рядов Фурье»
Определения. Операторное уравнение. Постановка задачи. Метод решения.
Стабилизирующий функционал. Расчет коэффициентов Фурье. Стабилизирующие
множители.
Тема 3.2 «Метод квазиобращения для некорректно поставленных задач»
Уравнения параболического типа. Описание метода. Сведения об эволюционных
операторах. Задача минимизации функционала. Переход к задаче с малым параметром.
Теорема единственности. Теоремы о сходимости. Замечания. Примеры. Численная
реализация метода.
Тема 3.3 «Ветвление решений краевых задач»
Примеры. Потеря устойчивости упругого стержня. Определения и свойства
бифуркаций. Характеристические и собственные значения оператора. Точки бифуркации.
Теоремы 1-3 (формулировки). Устойчивость решений системы Навье-Стокса. Течение
Куэтта. Вывод уравнения разветвления.
6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
В результате выполнения
лабораторных работ по окончанию курса студент должен
приобрести необходимые навыки формулирования некорректно поставленных задач
определения оптимального метода решения задачи и доведения ее до численного
результата.
ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Лабораторная работа 1. Метод регуляризации решения линейных интегральных
уравнений.
Лабораторная работа 2. Приближенные решения интегральных уравнений 1-го
рода типа свертки.
Лабораторная работа 3. Устойчивые методы минимизации функционалов и
решение задач оптимального управления.
Лабораторная работа 4. Устойчивые методы решения задач оптимального
планирования.
Лабораторная
работа
5.
Квазиобращение
и
продолжение
решений
параболических уравнений.
Лабораторная работа 6. Метод квазиобращения гиперболических эволюционных
уравнений.
Лабораторная работа 7. Метод квазиобращения уравнений эллиптического типа.
Лабораторная работа 8. Метод ВКБ решения задач с большим параметром.
Лабораторная работа 9. Метод пограничного слоя для решения сингулярновозмущенных задач.
7. Учебно
Оценочные
-
методическое
средства
для
обеспечение
текущего
самостоятельной
контроля
работы
успеваемости,
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
студентов.
промежуточной
Самостоятельная работа студентов для дисциплины составляет 54 часа. В ходе
самостоятельной работы студенты анализируют специальную методическую литературу,
изучая методы решения некорректно поставленных задач.
ПЕРЕЧЕНЬ
ПРИМЕРНЫХ
ВОПРОСОВ
И
ЗАДАНИЙ
ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.
Понятие некорректности по Адамару. Основные примеры линейных и
нелинейных некорректно поставленных задач. Краткий исторический экскурс в теорию
некорректно поставленных задач.
2.
Место теории некорректно поставленных задач в современной прикладной
математике и ее взаимосвязь с основными разделами математики.
3.
Понятие некорректности по А. Н. Тихонову и правильная постановка
условно-корректных задач.
4.
Общее понятие регуляризации некорректно поставленных задач и ее
свойства. Основные примеры регуляризующих семейств операторов.
5.
Общее понятие равномерной регуляризации и ее свойства. Строение классов
равномерной регуляризации. Оценки погрешности приближенных решений на классах
равномерной регуляризации. Понятие оптимального значения параметра регуляризации и
оптимального метода.
6.
Основные методы решения некорректно поставленных задач и их
обновления.
7.
Конечномерная аппроксимация регуляризованных решений и условия ее
сходимости.
8.
Постановка нелинейных некорректно поставленных задач и основные
трудности, возникающие при их решении.
9.
Обоснование метода регуляризации при решении нелинейных некорректно
поставленных задач со слабо замкнутым оператором.
10.
Обоснование
сходимости
конечномерных
аппроксимаций
в
случае
самозамкнутых операторов и основные примеры.
11.
Распространение
метода
регуляризации
на
более
широкий
класс
нелинейных некорректно поставленных задач. Вывод необходимых и достаточных
условий, обеспечивающих сходимость регуляризованнах решений.
12.
Приложение метода регуляризации и изложенных для него результатов к
решению задач математической физики и геофизики.
ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Методом регуляризации найти нормальное решение плохо обусловленной СЛАУ:
(
−19/20
−1
−1/100
1/5
3/5
𝑥
1
1/20
1/2 ) × (𝑦) = (1).
𝑧
0
1/200
1
Решение регуляризованной задачи провести с точностью 𝛿 = 0,001, считая правую часть
системы заданной неточно.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
1.
Примеры некорректно поставленных задач и причины их некорректности.
Уравнение Фредгольма 1-го рода. Дифференцирование функций, заданных
приближенно.
2.
Суммирование рядов Фурье с коэффициентами, заданными приближенно в
l2 . Пример Адамара (задача Коши для уравнения Лапласа).
3.
Метод подбора для решения некорректных задач. Корректность по
Тихонову. Корректность решения уравнения Фредгольма 1-го рода в L2.
Квазирешения.
4.
Разложение квазирешения в ряд. (теорема). Приближенное нахождение
квазирешений (свойство и его доказательство). Замена уравнения, близким к
нему.
5.
Метод регуляризации. Определение регуляризирующего оператора и
регуляризированного решения. Суммирование рядов Фурье методом
регуляризации.
6.
Вариационный принцип отбора решений. Принцип отбора – теоремы 1 и 2.
Метод Лагранжа построения регуляризирующего функционала.
7.
Квазимонотонный функционал. Лемма. Теорема.
8.
Определение параметра регуляризации по невязке. Леммы 1-2. Теорема.
9.
Квазимонотонное значение параметра регуляризации. Вырожденная система
линейных уравнений.
10.
Глобальная форма выбора квазимонотонного значения. Метод итераций.
11.
Случай приближенного задания оператора и правой части.
12.
Метод регуляризации для систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Теоремы 1 и 2.
13.
Приближенное нахождение нормального решения СЛАУ по неточно
заданным правой части и матрице.
14.
Устойчивый метод суммирования рядов Фурье. Постановка задачи и метод
ее решения.
15.
Метод квазиобращения для некорректно поставленных задач для уравнений
параболического типа. Описание метода.
16.
Переход к задаче с малым параметром. Теоремы единственности и
сходимости.
17.
Численная реализация метода квазиобращения.
18.
Определение и свойства бифуркаций. Потеря устойчивости упругого
стержня. Собственные значения оператора.
19.
Точки бифуркации. Теоремы.
20.
Устойчивость
решений
системы
Навье-Стокса.
Вывод
уравнения
разветвления.
21.
Асимптотика вторичных режимов.
8. Образовательные технологии.
При проведении лекций, лабораторных занятий, при самостоятельной работе
студентов применяются интерактивные формы проведения занятий с целью глубокого
понимания и наиболее эффективного усвоения материала. Интерактивные формы
проведения занятий предполагают обучение в обсуждении, диалоге, сотрудничестве. Все
участники образовательного процесса (преподаватель и студенты) взаимодействуют друг
с другом, обмениваются информацией, совместно решают проблемы, моделируют
ситуации.
В учебном процессе используются интерактивные формы занятий:
1.
Творческое задание. Выполнение творческих заданий требуют от студента
воспроизведение полученной ранее информации в форме, определяемой преподавателем,
и
требующей
творческого
подхода:
например,
формулирование
некорректно
поставленной задачи и определение оптимального метода ее решения.
2.
направлено
Групповое обсуждение. Групповое обсуждение какого-либо вопроса
на
достижение
лучшего
взаимопонимания.
Групповые
обсуждения
способствуют лучшему усвоению изучаемого материала. При такой форме проведения
занятия перед студентами ставится задача и выделяется определенное время, в течение
которого студенты должны подготовить аргументированный развернутый ответ.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
9.1. Основная литература:
1.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986, - 223 с.
2.
Батищев В.А. Асимптотические методы. Ветвление решений обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Методические
указания
для
студентов
механико-математического факультета. УПЛ РГУ, - 2000 г.
3.
Р.Латтес, Ж.-Л. Лионс. Метод квазиобращения и его приложения.М.: Мир, 1970.
4.
Андреев В.К. Вопросы прикладного функционального анализа. М.: Наука, 1998.
5.
Дж. Келлер, С. Антман. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные
значения. М.: Мир, - 1974.
9.2. Дополнительная литература:
1.
Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач
и ее приложения. М.: Наука, - 1978, - 210 с.
2.
Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, - 1981, - 160
с.
3.
Tanana V. P. Methods for solutions for nonlinear operator equations. 1997. 241 p.
4.
Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, - 1980, - 286 с.
5.
Тихонов А. Н., Леонов А. С. Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.:
Наука, - 1995, - 308 с.
6.
Танана В. П., Рекант М. А., Янченко С. И. Оптимизация методов решения
операторских уравнений. Свердловск: УрГУ, - 1987, - 200 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
Для усвоения теоретического материала и приобретения практических навыков
необходимо программное обеспечение:

Borland Delphi 7

MATLAB concurrent AcademicEdition

Maple 11: Universities or Equivalent Degree.
Для самостоятельной работы рекомендуются интернет ресурсы:

http://biblus.ru/

http://twirpx.com/
10.

http://window.edu.ru/

http://exponenta.ru/
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Для организации учебного процесса необходимы аудитории с необходимым
материальным оснащением – компьютерный класс, интерактивная доска.