М.Б.Гавриков, М.С.Михайлова. Установившееся течение двухкомпонентной квазинейтральной плазмы в плоском канале.

М.Б.Гавриков, М.С.Михайлова.
Установившееся течение двухкомпонентной квазинейтральной
плазмы в плоском канале.
Аннотация.
В работе найдено установившееся течение вязкой электропроводной
несжимаемой двухкомпонентной квазинейтральной гидродинамической
полностью ионизованной плазмы в плоском бесконечном канале,
обусловленное постоянным градиентом давления плазмы. В МГД-пределе
найденное решение переходит в известное течение Гартмана. Показано, что
двухкомпонентность плазмы ответственна за: (а) двухчастотный характер
установившегося течения, (б) своеобразный гидродинамический эффект
Холла, когда плазма течет не вдоль антиградиента давления, а под углом к
нему, (в) пространственный характер профиля скорости. Вычислены частоты
пространственных колебаний, рассмотрены случай электрон – позитронной
плазмы и предельные случаи больших и малых плотностей и поперечного
магнитного поля.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (код проекта 03-01-0063).
M.B.Gavrikov, M.S.Mikhailova.
The steady-state flow of two-component quasineutral plasma in
plane-parallel channel.
Abstract.
In this work steady-state flow of hydrodynamic plasma in plane-parallel channel
is obtained. The plasma in channel is taken to be viscous electrically conducting
noncompressible two-component and quasineutral. By MHD-limit, the stationary
flow presented converge to famous Hartmann's flow. The flow obtained , is
shown, is superposition of two modulated oscillations, which amplitudes and
frequencies are calculated. In channel, is shown also, the steady-state plasma flow
is directed of such angles to the pressure’s gradient ( it is a peculiar kind of Hall’s
effect) and velocity’s profile is not flat. At last, the cases of electron-positron
plasma, large and small density, large and small cross-magnetic field are
considered
3
Введение. В работе исследуется установившееся течение
гидродинамической плазмы в плоском бесконечном канале. Плазма
предполагается полностью ионизованной двухкомпонентной
электропроводной вязкой несжимаемой и квазинейтральной. Основная цель
работы – изучить влияние взаимодействия электронов и ионов на
установившееся течение плазмы. Хорошо изучены два относящиеся к этой
теме классических результата.
Пуазейль (1840г.) исследовал установившееся течение вязкой
несжимаемой жидкости в плоском канале и вывел параболический закон
распределения скорости жидкости.
Гартман (1937г.) исследовал влияние поперечного магнитного поля на
установившееся течение вязкой несжимаемой МГД-плазмы в плоском
канале. Им было показано, что поперечное магнитное поле приводит к
сплющиванию параболического профиля скорости, профиль становится
более пологим (или, как говорят, заполненным). Результаты этих
исследований кратко приведены в §1.
Что произойдет с установившимся течением, если еще учесть
взаимодействие электронов и ионов, предполагая плазму по-прежнему
квазинейтральной вязкой и несжимаемой? Как установлено в этой работе, вопервых, направление течения плазмы отклоняется от направления
антиградиента давления, которое изначально это течение и вызывает; иными
словами, плазма течет не туда, куда заставляет ее двигаться
гидродинамическое давление, а в сторону от этого направления
(своеобразный
гидродинамический
эффект
Холла
–
следствие
двухкомпонентности плазмы). Во-вторых, профиль скорости плазмы в
канале становится пространственным, а не плоским, как это было в течениях
Гартмана и Пуазейля. В-третьих, профиль скорости плазмы является суммой
двух гармонических колебаний с частотами ω  , ω  и с промодулированными
по некоторому закону амплитудами. Это указывает на плазму, как на
сложную колебательную систему. Заметим, что в условиях задачи об
установившемся течении никаких частот не содержится, и предоставленная
самой себе плазма (сдерживаемая только непериодическими граничными
условиями и постоянным градиентом давления) по собственной инициативе
начинает колебаться подобно двухчастотному маятнику. С другой стороны,
поскольку плазма предполагалась квазинейтральной, указанные колебания с
частотами ω  , ω  не могут вызываться разделением зарядов. Частоты ω  ,
ω  , разумеется, не имеют никакого отношения к известным характерным
частотам колебаний плазмы (циклотронным, плазменным и пр.) и могут быть
явно вычислены.
Полученное в работе решение в пределе    ( - плотность плазмы в
канале) переходит в течение Гартмана. На языке колебаний этот процесс
выглядит так. При    одна из частот, ω  , стремится к конечному
пределу  , а отвечающая ей амплитуда при этом стремится к 0, другая
4
частота, ω  , напротив, стремится к 0, а соответствующая ей амплитуда – к
конечному пределу, а именно, к профилю скоростей Гартмана. Практический
вывод из этого анализа для
МГД-теории следующий. Поскольку в
действительности реализуется некоторое возмущение течения Гартмана (ибо
плотность  всегда конечна), то это возмущение получается из течения
Гартмана некоторой его деформацией и наложением ряби с частотой  ω  ,
что, в частности, делает профиль Гартмана пространственным. Частоту
ряби ω  , однако, нельзя вычислить по МГД-теории, еë величина получена в
настоящей работе. Другой полезный результат, недоступный МГД-теории, подсчет силы трения электронов и ионов о стенки канала. Кроме того,
установлен факт постоянства продольного электрического поля в канале и
получено выражение этого поля через среднюю скорость потока плазмы в
канале. Полученное соотношение, отличающееся от аналогичного в МГДтеории существенными поправками, актуально для расчетов плазменных
расходометров и насосов кондукционного типа. Приведенные рассуждения
позволяют предположить, что, по -видимому, МГД-теория описывает
асимптотику (в МГД-пределе) амплитуд некоторых типов колебаний, из
которых складывается реальная динамика плазмы.
Стенки канала в работе считались изоляторами и ставились простейшие
(нулевые) граничные условия. Без особого труда все полученные результаты
переносятся на другие случаи: стенки-проводники с конечной
проводимостью (или одна из стенок – проводник, а другая – изолятор), одна
из стенок подвижная, вне стенок вакуумные магнитное поле и поперечное
электрическое поле – произвольные константы и т.д.
§1. Предыстория вопроса.
1.Течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. Рассмотрим
бесконечный плоский канал, стенки которого параллельны плоскости Oyz и
отстоят друг от друга на расстояние 2l. Пусть стенки канала задаются
уравнениями x = l ( правая стенка ), x= – l (левая стенка), и мы рассматриваем
установившееся (  /  t=0) течение вязкой несжимаемой жидкости в канале
под действием градиента давления. Условие несжимаемости дает для
скорости v и плотности  жидкости: div v = 0,  =const. Предположим,
vx=0, vy=0, vz=vz(x), p=p(x,z) (p-давление жидкости). На стенках канала
ставится условие “прилипания”: vz( ±l )=0. При этих предположениях
уравнения вязкой несжимаемой жидкости дают решение, известное как
течение Пуазейля (J.L.Poiseuille, 1840г.):
vz(x)=(2μ)-1.
p
.(x2–l2),
z
p
≡ const,
p=p(z),
z
p l 2
<vz> = –  ,
z 3
|x|≤l,
(1)
5
где μ – коэффициент вязкости, а
l
1
< f > =   f ( x)dx
2l l
среднее по сечению канала значение функции f. Итак, профиль скорости
vz(x) – параболический, а жидкость двигается, как и положено, в сторону
антиградиента давления: v(x), <v> || – grad p.
2. Течение вязкой несжимаемой электропроводной МГД-плазмы в
плоском канале. Рассмотрим установившееся (  /  t =0) течение вязкой
несжимаемой электропроводной МГД-плазмы в плоском канале. Теперь к
параметрам течения добавляется напряженность магнитного поля H.
Основной вопрос: как влияет поперечное магнитное поле на поток
заряженной жидкости? Дополним предположения п.1 соглашением
относительно магнитного поля H:  /  y = 0,  /  z = 0, Hy = 0. Тогда
Hx ≡ H0 = const – напряженность поперечного магнитного поля. Будем
считать стенки канала изоляторами и положим Hz(±l) = 0 (сохранив для
скорости vz(x) граничное условие “прилипания” vz(±l) = 0 ). При сделанных
допущениях уравнения вязкой несжимаемой МГД- плазмы дают решение,
известное как течение Гартмана (J.Hartmann, 1937г.) :
l 2 p
xHa
  [ch Ha  ch {
}]  Ha 1 (sh Ha}1
 z
l
2
4 1 / 2 p
l
x
xHa
Hz(х) = (
)  
 [ sh Ha  sh(
)],
 m
z Ha sh Ha l
l
vz(x) = –
p ( x, z )  z 
p H z2 ( x)

,
z
8
p
 const
z
(2)
,
|x| ≤ l
v z   
l 2 p cth Ha
1
 [

] ,
 z
Ha
Ha 2
где μ – коэффициент гидродинамической вязкости, μm= c2 (4πσ)-1 –
коэффициент магнитной вязкости (σ – проводимость плазмы),
Ha = lHo(4πμμm)-1/2 – безразмерный параметр (число Гартмана) .
Ответ на поставленный выше вопрос составляет содержание эффекта
Гартмана: с ростом напряженности поперечного магнитного поля Ho (или,
что эквивалентно, числа Гартмана Ha ) профиль vz(x) становится все более
приплюснутым, при Ha→ +∞ скорость vz(x) становится почти константой,
стремящейся к 0, - происходит “запирание” потока плазмы. Заметим, что при
Ha → 0 формула (2) переходит в формулу (1). Эффект Гартмана легко
объясним. На поток плазмы вдоль оси z действует, помимо градиента
давления, пондеромоторная сила:
Pz = (Div 
2
( )
2
H
dH
H
sh Ha
xHa
 ch(
)] ,
)z = 0  z  const  0  [
4 dx
sh Ha
Ha
l
|x| ≤ l,
6
где const не зависит от H0 (здесь  ( ) = H2(8π)-1E3 – H∙H∙(4π)-1 – тензор
пондероматорных напряжений). Легко видеть, что Pz обращается в нуль
только в двух точках x = ±x(H0), где
x(H0)=
l
sh Ha
sh Ha 2
 ((
) – 1)1⁄2] .
· ln [
Ha
Ha
Ha
Причем при |x| ≤ x(H0) имеем Pz > 0, и пондеромоторная сила действует
против потока плазмы, тормозя его, а при x(H0) ≤ |x| ≤ l имеем Pz< 0, и
пондеромоторная сила действует вдоль потока, ускоряя его. При H0 → +∞
имеем x(H0) →l и таким образом почти во всëм канале поток тормозится.
Итак, частицы плазмы с малыми скоростями (в пристенной области)
ускоряются, а с большими скоростями (в основной части канала) тормозятся
– в итоге происходит затупление профиля скорости.
§2. Уравнения гидродинамики несжимаемой
квазинейтральной плазмы.
Нас интересует влияние взаимодействия электронов и ионов на
установившееся течение вязкой электропроводной несжимаемой плазмы в
плоском канале. В МГД- теории взаимодействие электронов и ионов не
учитывается. Будем считать гидродинамическую плазму квазинейтральной
(e+n+ = e-n-), а каждую плазменную компоненту - несжимаемой жидкостью:
div v±= 0,    const . Для квазинейтральной плазмы условия несжимаемости
эквивалентны двум равенствам:
 = const ,
div U = 0,
где
ρ=ρ+ + ρ- , U = (ρ+v+ +ρ-v-) / ρ = (χ+v+ +χ-v-) ⁄ χ
χ± = m± ⁄ e± ,
χ = χ+ + χ- .
Это следует из очевидных соотношений:
v+ = U+(χ- / ρ)j, v-= U – (χ+ / ρ)j , ρ± = (χ± / χ)ρ, j = en (v+ –v-)
и условия div j = 0. Последнее вытекает из равенства:
j
c
E
rot H  (4 ) 1
4
t
и уравнения div E = 0, справедливого в силу условия квазинейтральности.
Теперь рассмотрим систему уравнений, получающуюся объединением трëх
систем: двух систем гидродинамических уравнений вязкой несжимаемой
жидкости, написанных отдельно для электронов и ионов, и системы
уравнений Максвелла. Переходя в полученной объединенной системе от
неизвестных v+, v- к неизвестной U получим систему:
div U  0 ,
U
E
  1 Div    1 Div   (4c ) 1[  H] ,
t
t
2
 E
    (4) 1 2  c 2     (4) 1 rotrot E  E =
t
(3)
7
=  1 j  c 1[U  H]   1 Div W  (      )( 4c )1[
с 1
H
 rot E  0 ,
t
E
 H] ,
t
div E  0,
где j выражается через H , E указанным выше способом,
(div H) |t  0  0 и   const . Выражения для тензоров  , P, W имеют вид:
 
( h)
  ( p)   ( H )
W  (      )( ( p )
P  ( H )  (U )
  ( H ) )  (   p     p  ) E3 
,
(4)
     ( j  U  U  j)   (U )   ( H )
Тензоры  ( h) ,  ( p ) ,  ( H ) вычисляются по формулам:
 (h)  U  U  p E3 ,  ( p)  H 2 (8 )1 E3  (4 )1 H  H,
π
(5)
   j  j / ,
где p  p  p - суммарное давление. А тензоры  (U ) ,  ( H ) ,  *(U) ,  *( H )
(H)
выражаются через тензоры деформаций def U, def j
 (U )  2  def U ,
*(U )  2* def U ,
по формулам:
(6)

(H )
 2  def j ,
*
1

(H )
*
 2*  def j ,
1
где
        ,  *           ,  *   2     2  
.
Система уравнений (3÷6) состоит из 11 скалярных уравнеий и позволяет в
принципе найти 11 скалярных неизвестных функций: компоненты полей U,
H, E и давления p+, p-. После этого гидродинамические скорости электронов
и ионов v+, v- вычисляются по указанным выше формулам.
Заметим, хотя это и не понадобиться ниже, что температуры Т± электронов и
ионов можно найти из системы:
 T


 t  div( T v  )   c p  div(   T )  2  tr ( D  D ) 


 (m / m ) j 2  b (T  T )
где mΣ= m+ + m- ,
D  def v  ,
 ,
,
b - коэффициенты переноса,
(7)
cp  T
S
T
теплопроводность при постоянном давлении (S – плотность энтропии). Для
идеального газа S =km-1(γ –1)-1 ln( p1 T  )  const (k - постоянная Больцмана,
γ – показатель адиабаты), откуда cp = T 
S
 k  m 1 (  1) 1  const .
T
Итак, система (3)÷(7) полностью описывает изменение скоростей,
давлений, температур, электрического и магнитного полей несжимаемой
квазинейтральной вязкой электропроводной плазмы. Она пригодна для
исследования высокочастотных процессов в плазме, равноправным образом
8
учитывающих динамику компонент, в частости их взаимодействие, и в то
же время является одножидкостной.
§ 3. Постановка задачи о течении плазмы в плоском канале.
Рассмотрим установившееся (  / t  0 ) течение вязкой электропроводной
квазинейтральной несжимаемой плазмы. Согласно (3), оно подчиняется
системе уравнений:
div U = 0
Div  = Div P
E + c2χ+χ-(4ρ)-1 rot rot E =  -1 j – c-1 [U  H ] +  -1 Div W
rot E = 0
(8)
div E = 0
div H = 0
j = c (4)-1rot H ,
где  = const. Пусть теперь плазма заполняет плоский канал (см.§1). Будем
считать, что все параметры плазмы, кроме давлений, зависят только от x, а
p±= p± (x,z). Кроме того, считаем Ux ≡ 0. Из div H = 0 следует Hx ≡ H0 = const
– постоянное поперечное магнитное поле. Из div E = 0 следует Ex ≡ E0 =
const. Итак, подлежат нахождению в области |x| ≤ l, y, z   (где  совокупность всех вещественных чисел) функции:
Hy(x), Hz(x), Uy(x), Uz(x), p±(x), Ey(x), Ez (x).
Первые четыре функции пишутся из системы:

Div   Div P

1
1
1

rot( j  c [U  H]   Div W )  0
(9)
Давление p± находится из системы:
(Div  ) x  (Div ) x
E0  ( 1 j  c 1[U  H]   1 Div W ) x .
Наконец, Ey ( x), Ez(x ) получаются из равенства:
(10)
E  j 1  c 1[U  H]   1 Div W .
Систему (9) дополним граничными условиями на стенке. Считая стенку
изолятором и предполагая в вакууме H y  0, H z  0, приходим к таким
граничным условиям:
U y (l )  0, U z (l )  0

j y (l )  0, j z (l )  0 
H y (l )  0, H z (l )  0
- условия ”прилипания“
Наконец, в нижеследующем решении предполагается μ± = const,
σ = const .
(11)
9
§ 4. Решение задачи о течении плазмы в плоском канале.
Подставляя функции Hy(x), Hz(x), Uy(x), Uz(x), p±(x) систему (9),
приходим к следующей линейной системе относительно Hy(x), Hz(x), Uy(x),
Uz(x):
Hy 
 
 H  p
L(D)  z    l 0 ,
U y  z
U 
 z
L(D) 
Lij ( D)
1 i, j  4
,
p
 const ,
z
(12)
где Lij(D) – многочлен от D = d/dx степени ≤4, l0 ≠ 0 – постоянный
вектор. Вот явный вид матрицы L(D) и вектора l0 :
 H0
D

 4
 c 3
 *D
 4
 
c * 2
c 

L(D)   D 2 
D 
2
  4
4 


 (   )H

0
 
D2
4



-
c* 3
D
4
H0
D
4
(   )H0 2
D
4
 c * 2
c 

D 
D 
2
4

4



2
 D2
0
0
 D2

H0
D
c

* 3
D

* 3
D


H0
D
c
















l 0  ( 0, 1, 0, 0 )T
,
где выражения для μΣ, μ* , μ*, χ± приведены в §2, H0 – магнитное поле, ρплотность плазмы в канале. При этом давления имеют вид:
p±(x,z) = A±z + φ±(x),
где константы A± должны задаваться, а функции φ± ищутся. Из системы
(12) вытекает важный эффект (своеобразный гидродинамический эффект
Холла ): в плоскости Oyz плазма течет не вдоль антиградиента давления,
направленного в сторону оси Oz, а под углом к нему. Формально это
выражается в том, что система (12) не имеет решений вида Hy = 0, Uy =0 и
объясняется наличием
y – компоненты пондеромоторной силы
(Div π
( p)
)y  
H 0 dH y

,
4 dx
которая и отклоняет движение частиц плазмы от
направления антиградиента давления. Этот эффект проявляется и в том, что,
как следует из вычислений ниже, средние скорости <U>, <v±> образуют
ненулевой угол с направлением антиградиента давления. В частности,
установившееся течение плазмы в плоском канале имеет пространственный
профиль скорости.
10
Нахождение полей Hy , Hz , Uy , Uz . Система (12) состоит из линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами. Она не приведена к каноническому виду, а ее интеграция
делается возможной использованием комплексификации. Ниже считается
H0 ≠0, μ+ ≠ μ- (невырожденный случай).
Рассмотрим элементы  2 как комплексные числа: a+ib = (a,b). Умножение
комплексных чисел и умножение матрицы на вектор связаны формулой:
 a  b   

    (a  ib ) (  i )
(13)
a   
b
С другой стороны 4  4 -матрица L(D) может быть разбита на четыре 2  2 -
блока, каждый из которых имеет такой же тип, что и матрица в (13).
Рассматривая поперечную плоскость OYZ как комплексную (мнимая ось
совпадает с осью OZ) и переходя к переменным w = D(Hy+iHz) ,
u= D(Uy+iUz) , сведем систему (12) к виду:


 D


H 0 i* 2 


D 
c
c

 p 
w
i

 
 z 
 

 ,
   

 
 0 
u 


 


c* (  )
p
 H0
w   u ( )  i
 w i
4
z
 4
 *
 c w( )  ( c  i (     ) H 0 )w (  )  H 0 u  i * u ( )  0
 4 2
4
4
c

.
c 2

H0

i
D
4
4


*
(  H
 c  D3  ( c  i   ) 0 ) D
 4 2
4
4

или:
Выражая u(1) из первого равенства и подставляя во второе, найдем
выражение u через w :
u
c 2      2 ( )
c2
ic (          ) (  )
w

(

)w
2
4   H 0
4H 0
4
(14)
Подставляя выражение (14) в первое уравнение системы, получим линейное
дифференциальное неоднородное уравнение 4-го порядка с постоянными
коэффициентами для нахожления w :
c     2
2
w ( IV )  [
c 


iH 0  (      )

]w ( II) 
H 02
4iH 0 p 
w
c
c
z
.
(15)
Частное решение неоднородного уравнения (15) имеет вид
wчаст ( x) 
4iH 0 p 
c
z
Поскольку характеристический многочлен для уравнения (15) –
биквадратный, то общее решение однородного уравнения (15) есть линейная
комбинация экспонент:
e  x ,
e x ,
e  x ,
e  x ,
11
где 2 , 2
- различные решения квадратного уравнения:
c   2
2
 2 [
c 


iH 0  (     )

] 
H 02
0
c
(это уравнение не имеет кратных корней). Поэтому, с учетом соотношения
(14), решение системы (12) имеет вид:
w( x)  C1e x  C2e  x  C3e x  C4e  x 
u ( x) 
4i p
,
H 0 z
  i2
  i2
(C2e   x  C1e x ) 
(C4e   x  C3e x ),
 
  




H y ( x)  iH z ( x)   w( x)dx  1 (C1e  x  C2e    x )  1 (C3e  x  C4e    x )  R1 ,
  i2
  i2
 x
 x
U y ( x)  iU z ( x)   u ( x)dx  
(C1e  C 2 e ) 
(C 3 e  x  C 4 e  x )  R2 ,
2
2
  
  

где



- произвольные комплексные константы,
  H 0 (4 ) ,   c * (4) . Шесть констант интегрирования ищутся из
шести граничных условий, являющихся комплексификацией граничных
условий (11):
C1 , C2 , C3 , C4 , R1 , R2
1
1
w(l )  0,
( H y  iH z )( l )  0,
(U yiU z )( l )  0.
Решая полученную систему шести линейных неоднородных уравнений с
шестью неизвестными, находим константы: Ci , 1  i  4 , R j , j  1,2 , а
вместе с тем и поля H , U . Эта программа доводится до конца, и мы
получаем следующие формулы:
H y ( x)  iH z ( x) 

8i p ( ,  )
( ,  )
4i( x  l ) p

{
(sh  x  sh l ) 
(sh  x  sh l )} 

,
H 00 z


H0
z
U y ( x)  iU z ( x) 

(16)
p   i2
8i
  i2
 {

(

,

)(ch

x

ch

l
)

( ,  )(ch  x  ch l )},




  H 0  0 z
2
2
x  l,
где
C1  C2  i
0 
8

p ( ,  )

,
z
 0
C3  C4  i
 (2  2 ) sh( 2  l ) sh( 2  l )[
th   l

p ( ,  )
,
z
 0

th   l

]
(17)
12
 (  ,   ) 
16l

(2  2 ) sh   l sh   l (
sh   l
 ch   l ).
 l
Нахождение давлений. Равенство (Div  ) x  (Div P) x дает:
H y2  H z2

( p 
)  0,
x
8
откуда:
  ( x)    ( x) 
Далее,
H y2  H z2
8
x-
 const .
(18)
компонента
E0  Ex  c 1(U y H z  U z H y)  (      )(8 )
1
равенства
(10)
дает:
d
d
( H y2  H z2 )  (   p    p ),
dx
dx
откуда:
    ( x)     ( x)  (      )(8 ) 1 ( H y2  H z2 )   [ E0  c 1 (U y H z  U z H y )]dx
(19)
Константа E 0 известна: она равна
x
- компоненте вакуумного
электрического поля. Поэтому линейная система (18), (19) позволяет
однозначно найти функции   ( x),   ( x) по уже вычисленным функциям
H y ( x), H z ( x), U y ( x), U z ( x),
Тем
самым
и
давления
p ( x, z)   z   ( x) определяются однозначно, с точностью до константы.
Вычисление функций E y ( x), E z ( x). Из формулы (10) следуют равенства:
E y ( x)   1 j y  c 1 H 0U z  (      )( 4) 1 H 0
H y
  *  2
2 jy
  *  1
 2U y
x
x 2
x 2
2
H z
 2 jz
1  U z
E z ( x)   1 j z  c 1 H 0U y  (      )( 4) 1 H 0
  *  2




*
x
x 2
x 2

  1 (   p     p  ).
t
В правых частях стоят уже вычисленные функции. В комплексном виде эти
формулы переписываются так:
E y  iE z  (
(    )H 0
ic
i * c ( )  * (  ) iH 0
i 
 
)w 
w  u 
(U y  iU z) 
(   p     p  ).
2
4
4

c
 t
4


Поскольку U y  i U z  u , то, как следует из второго равенства написанной
выше системы дифференциальных уравнений для u и w , D( E y  iE z )  0. .
Поэтому. E y  const , E z  const . Итак, электрическое поле в канале постоянно.
Отсюда следует, что среднее по сечению канала от E y  iE z совпадает с
E y  iE z , поэтому имеем:
i  c d 2 H 
 dU
(l )  
(l ) 
2
2
4 l dx
l dx
iH
i 
 0 U   
(   p    p ) ,
c
 z
где H   H y  iH z , U   U y  iU z . Используя формулы (16), (17), находим:
E y  iE z   E y  iE z   
13
p 
d 2 H
4li
(
l
)



A

,
H0
z
dx 2
dU 
4li p 
(l ) 

 (iA   ) ,
dx
  H 0 z
где величина A вычисляется по формуле:
2  (   1)  2  (   1)
,
A
   th  l / ( l ) .
   
Учитывая выражения для   H 0 (4 ) 1 ,   c (4)1 , получим:
E y  iE z  
p 
iH
c2   2
i 

A


 ( p     p    )  0 U   .
2
z
   z
c
  H 0
Эта формула отличается от аналогичной в МГД–теории двумя первыми
слагаемыми в правой части, которые при конечных плотностях дают
существенный вклад в электрическое поле в канале.
Тем самым получено решение задачи об установившемся течении
несжимаемой плазмы в плоском канале. Согласно этому решению (16),
U y ( x), U z ( x) являются суммами синусоидальных колебаний с
скорости
частотами
промодулированных линейными
   Im  ,    Im  ,
комбинациями экспонент exp[ (Re  ) x], exp[ (Re  ) x]. В невырожденном
случае заведомо    , Re   Re  .
Вычисление других характеристик течения. Вычислим плотность тока,
скорости компонент плазмы, средние по сечению канала скорости и силу
трения плазмы и ее компонент о стенки канала.
Имеем:
j y  ij z 
p
icw
c
c p

  [( ,  ) ch  x  ( ,  ) ch  x] 

,
4 2 0 z
4 z
vy  ivz  (U y  iU z )  (   /  )( j y  ij z ),
U y  iU   
p
32il  2
sh l
sh l
(  2 ) 2 sh l s h l  [
 ch l ]  [
 ch l ] 
2
 0
l
l
z
ic
 w  0,
4
 v y  iv z   U y  iU z .
 j y  ij z  
где были использованы соотношения (17) и очевидное равенство:
 ch x 
sh l
l
Силы трения электронов и ионов о правую и левую стенки равны:
F  (  e1 ) xl , F  (  e1 ) xl ,
Где e1  (1,0,0),   - тензоры вязких напряжений плазменных компонент:
   2  def v   2  (def U  (   /  ) def j).
Вычисления в координатах дают:
U y U z
j y j z
1
1
 (0,
,
), (def j)e1   (0,
,
) .
2
x x
2
x x
Отсюда следует, что x - компоненты всех сил течения равны нулю. В
комплексных обозначениях для y  и z  компонент получим:
(def U)e1 
14
.
.
.
F    [(u  i  c(4) w] x l , F     [(u  i  c(4) 1 w] x   l ,


1
где точка означает дифференцирование по  .
Подсчет с помощью формул (16), (17) приводит к выражениям:
F  F 
p
il   p c  


 
  z 4
z
p
il   p c  
F F 


 
  z 4
z


,


где
B  {(  1   1 ) th  l th  l  l th  l  l th  l}  [
th  l


th  l

]1
В частности, суммарная сила трения плазмы о стенки равна:
F  F  F  F  F  F  il 
p
z
.
§ 5. Вычисление величин λ+ , λ- .
Ключевую роль в основных формулах § 4, задававших установившееся
течение плазмы в плоском канале, играли величины λ+ , λ- . Они могут быть
вычислены в явном, хотя и громоздком виде. Обозначим:
  2
a
,
 2    
H (    ) 
b 0 
,
c   
d
H 02  2
(20)
c2  2 
Тогда (см. § 4) :
1
2
2  {a  ib  (a 2  b 2  4d  2abi )1 / 2 }
.
Используем формулу для извлечения квадратного корня:
( x 2  y 2 )1 / 2  x 1 / 2
( x 2  y 2 )1 / 2  x 1 / 2
]  i[
] } , y0
2
2
Из этой формулы для невырожденного случая H 0 (   )  0 следует:
( x  iy )1 / 2  {S g n y  [
2  X   iY
,
где
X 
1
{( a 2  b 2  4d ) 2  4a 2b 2 }1 / 2  a 2 b 2  4d 1 / 2
 {a  Sgn b[
] }
2
2
(21)
Y 
1
{( a 2  b 2  4d ) 2  4a 2b 2 }1 / 2 a 2 b 2  4d 1 / 2
 {b  [
] }
2
2
Отсюда, учитывая, что в невырожденном случае
S g n Y  1 , получаем окончательно:
Y  0
и, более того,
( X 2  Y2 )1 / 2  X  1 / 2
( X 2  Y2 )1 / 2  X  1 / 2
] , Re   [ 
]
(22)
2
2
Фомулы (20) ÷ (22) дают явное вычисление величин  ,  , в частности,
   Im   [
частот  ,  .
15
§ 6. МГД-предел.
Покажем, что полученные в § 4 формулы в МГД – пределе дают течение
Гартмана. МГД – предел получается при ρ→ +∞. Тогда ε = 1⁄ρ является
малым параметром, и мы разложим λ+(ε), λ–(ε)
в ряд по степеням  ,
ограничившись при этом первыми членами разложения. Из § 4 следует, что
2 ( ) является решением квадратного уравнения
 2 2   (a  ib )  d  0 ,
где
a

,
2
    
b
H 0 (     )
,
c   
d
H 02
c2  2 
.
Решая квадратное уравнение, получим :
2 ( ) 
a

2
i
b


d
db
 i 2   o ( ),
a
a
2 ( ) 
d idb

  o ( ).
a a2
Откуда:
 ( )   1 (a  ib  o( ) )1 / 2  a1 / 2 1 (1  ib / a  o( ) )1 / 2 
 a1 / 2 1 (1  ib (2a) 1  o( ) )  a1 / 2 1  ia -1/2b / 2  o(1)
 ( )  (d / a)1 / 2 (1  iba 1  o( ))1 / 2  (d / a)1 / 2 (1  iba 1 / 2  o( )) 
 (d / a)1 / 2  ibd 1 / 2 a 3 / 2 / 2  o( )
Отсюда следует, что:
b
bd 1 / 2

o
(
1
),

(

)


  o( )

2a1 / 2
2a 3 / 2
Re  ( )  a1 / 2 /   o(1),
Re  ( )  (d / a)1 / 2  o( )
В частности, при   0 имеем:
  ( )   * ,   ( )  0 ,   ( )  (d / a)1 / 2  ( H 0 / c) ( /   )1 / 2  Ha / l
  ( ) 
,
где Ha - число Гартмана из § 1, а предельная частота * равна:
* 
H (    )
b

 0 
(
)1 / 2
1/ 2
2c
  
2a
.
Отсюда следуют предельные при   0 соотношения:
th  ( )l
th Ha

,
 ( )l
Ha
ch  ( ) x
ch( xHa / l )

ch  ( )l
ch Ha
,
причем последняя сходимость равномерная по x  [l , l ] . Наконец, функции
ch  ( ) x
ch  ( )l
,
sh  ( ) x
ch  ( )l
локально ограничены в точке   0 равномерно по x  [l , l ] , а
th  ( )l  1 при   0 .
Обозначим a  (a y , a z ) для любого вектора a  (a x , a y , a z ) . Тогда из
формулы (16) следует:
16
p    i2 th   l
ch   x
U  ( x) 

{
[
 1]  [
 1] 2
 z
 l
ch   l

i
  i2 th   l
ch   x
th   l th   l 1
[
 1]  [
 1]}  [

] ,
2
 l
ch   l
 l
 l


H  ( x)  
th   l
sh   x  sh   l
i p 

 {1  (
 1) 

 z
 l
ch   l
 1 (
Из
th   l
sh   x  sh   l th   l th   l 1 i( x  l ) p 
 1) 
}[

] 

 l
ch   l
 l
 l

z
предельных
соотношений,
написанных
выше
   ( )  0,  ( )   при   0, следуют пределы:
с
учетом
p  l 2
ch( xHa / l )
th Ha 1
U  ( x) 


(
 1) /(
)  U  ,D ( x)
2
  z Ha
ch Ha
Ha
i
H  ( x) 
i p
l
x
xHa


 [ shHa  sh
]  H ,D ( x)
 z sh Ha l
l
Правые части совпадают с формулами (2) из § 1, а пределы равномерные по
x  [l , l ] . Итак, МГД – предел есть в точности течение Гартмана.
§ 7. Обзор других результатов
1. Электрон-позитронная плазма. Более широко, речь идет о случае, когда
χ+= m+ / e+ = χ–= m– / e– , μ+= μ– , но H0 ≠ 0. Тогда 2 удовлетворяет
уравнению относительно ξ :
с2 2 2
2
2 
2с


H 02
0 ,
c
где μ = μ+ = μ– , откуда:
2 
H 02  2 2 1 / 2
2
[
1

(
1

) ].
 2
 2c 2
Характер установившегося течения в плоском канале зависит от
напряженности поперечного магнитного поля H0 . При
|H0| < Hкр.= ρс(σχ)-1
все корни характеристического многочлена
вещественные и попарно различные, а установившееся течение является
линейной комбинацией экспонент, exp(  x) , exp(  x) , где
H 02  2 2 1 / 2 1 / 2

   1 / 2 1 / 2  {1  (1 
) }
.
 
 2c 2
При |H0| > Hкр корни характеристического многочлена комплексные и
попарно сопряженные, а установившееся течение имеет одночастотный
характер и является гармоническим колебанием с частотой
 (
H 0 
 1)1 / 2  1  1 / 2 1 / 2 2 1 / 2
c
,
17
промодулированным некоторой линейной комбинацией экспонент

exp[ (Re  ) x] , где      и
H 
H 

  1 / 2 1 / 2 1 / 2  {( 0
 1)1 / 2  i( 0
 1)1 / 2 } .
c
c
  2
В случае электрон - позитронной плазмы легко разделяются вещественные и
мнимые части в выражениях для U  , H  и в явном виде выписываются
компоненты полей H y , H z , U y , U z . Имеем H y  0 , U y  0
Hz  
1 p
th l
sh  x  sh l

 {1 (
 1) 

 t
l
ch l
 1 (
Uz 
th l
sh  x  sh l th l th l 1 x  l p
 1) 
}[

] 

 l
ch l
 l
l

z
,
1 p
th l
ch  x

 {[
 1]  [
 1] 
2 z
l
ch l
[
th l
ch  x
th l th l 1
 1]  [ [
 1]}  [

]
 l
ch l
l
l
Итак, в рассматриваемом случае, как и для течения Гартмана, поток плазмы
двигается в направлении антиградиента давления.
2. Предел H 0   , эффект “запирания” потока. Величины 2 являются
корнями уравнения относительно  :
 2 2  [a  ib]  d  0 ,
где   H 01 - малый при H 0   параметр,
a     2 (     2 ) 1 , b   (      )(c     ) 1 , d   2 (c 2      2 ) 1 .
Решая квадратное уравнение и извлекая из полученных выражений корни,
получим:
1 i
ia
 q   [1 
 o( )]
1/ 2
2
2
2(b  4d )1 / 2
1 i
ia
  ( )  1 / 2  q   [1 
 o( )] ,
2
2
2(b  4d )1 / 2
где q2  (b2  4d )1 / 2  b , а в квадратных скобках стоят аналитические по  в
окрестности   0 функции. Используя эти выражения, несложно установить
равномерные по x  [l , l ] сходимости при   0  : U ( x)  0 , H ( x)  0 .
  ( ) 
Таким образом, как и для течения Гартмана, с ростом поперечного
магнитного поля H 0 происходит “запирание” потока плазмы в плоском
канале: плазма в канале не течет поперек сильного магнитного поля.
Функции U  ( x,  ), H  ( x,  ) являются аналитическими по  1 / 2 в проколотой
окрестности нуля, а точка 0 – существенно особая точка этих функций.
Поэтому они не разлагаются в степенные ряды по  1 / 2 в окрестности нуля, и
стремление к нулю при   0  этих функций происходит достаточно
18
сложным образом: при   0 
амплитуды колебаний, из которых
складываются U  ( x,  ), H  ( x,  ) , равномерно по x  [l , l ] стремятся к 0, а
частоты  этих колебаний стремятся к бесконечности. Более того,  ( )
имеют в нуле полюс 1-го порядка по  1 / 2 :
  ( ) 
q
2
q
  ( )  1/ 2
2
1/ 2
aq 
  1 / 2  o( 1 / 2 )
1/ 2
4(b  4d )
aq 

  1 / 2  o( 1 / 2 )
2
1/ 2
4(b  4d )

2
Отсюда следует асимптотика  ( ) ~ (q / 2) 1 / 2 ,   0  . Разумеется, в
действительности до бесконечности частоты расти не могут, хотя бы из-за
того, что характерные масштабы, равные периодам пространственных
колебаний 2 ( )1 , не могут быть меньше, скажем, длин свободных
пробегов электронов и ионов ( в противном случае плазму нельзя считать
гидродинамической), хотя вполне могут быть меньше дебаевского радиуса.
Несложно выделить главный член при стремлении средней скорости
При
имеем
U   0 .
 0
th l  1 . Используя разложение
th y  y  y 3 / 3  (2 / 15) y 5  o( y 6 ) , легко установить:
th l th  l

  1/ 2l 1[( q1  q1 )  i (q1  q1 )]  o( 1/ 2 )
 l
 l
2  2  2i(q2  q2 )  o( )
С учетом этого и равенств q  (2  )1 / 2 (c   ) 1 / 2
U   
i


для средней скорости имеем:
p   2
th   l
th   l
th   l th   l 1
(   2 )[
 1]  [
 1]  [

] 
z
 l
l
 l
 l
p 
 [( q 1  q 1 )  i (q 1  q 1 )]  o( 1 / 2 ) 
z
p
 l 1  H 01 / 2  (c )1 / 2 (2  ) 1 / 2    [  1 / 2   1 / 2  i (  1 / 2   1 / 2 )]  o( H 01 / 2 )
z
 l 1 / 2  1 
Итак, U  убывает как H 01 / 2 при H 0   . Для больших H 0 средняя
скорость U  отклоняется от направления антиградиента (совпадающего с
 1 / 2   1 / 2
. Для электрон – ионной
 1 / 2   1 / 2
плазмы  >>  , и угол отклонения равен   / 4 .
3. Гидродинамические пределы. При H 0 0 величины
являются
2
направлением мнимой оси) на угол
arctg
корнями уравнения:
 2   [a  ibH 0 ]  dH 02  0 ,
где a     2 (     2 ) 1 ,
Откуда:
b  (      )  (c     ) 1 ,
ib
b 2  4d 2
H

H 0  o( H 02 )
0
1/ 2
3/ 2
2a
8a
 ( H 0 )  (d / a)1 / 2 H 0  o( H 0 )
 ( H 0 )  a1 / 2 
d   2 (c 2      2 ) 1 .
19
Тогда легко проверить, что при
x  [l , l ] сходимости:
U  ( x) 
i
2 

H0  0
имеют место равномерные по
 
 ( x 2  l 2 )  U  ,гидр. ( x)
z
()
H ( x )  0
Таким образом, в пределе H 0 0 получается течение Пуазейля (см.§1) вязкой
несжимаемой жидкости в плоском канале. Интересно, что течение Пуазейля
получатся и в пределе   0 . В этом случае:
 (  )   1 / 2
1 i
 o(  1 / 2 ) ,
q
 (  )   1 / 2
1 i
 o(  1 / 2 ) ,
q
Где q 2  2  c / H 0 , и, как нетрудно проверить, при   0 имеют место те
же равномерные по x  [l , l ] сходимости () .
4. Замечания о предельных переходах. Выше считалось, что  ,  не зависят
от  и H 0 . Для полностью ионизованной электрон – ионной плазмы это
действительно так. Независимость  от плотности
- важный
экспериментальный факт, подтверждаемый и кинетической теорией [1].
Можно показать [2], что:
  RTe3 / 2 , i  NTi 5 / 2 , e  MTe5 / 2 ,
где выражение для констант R, N , M см. в [2]. Как видно,  ,  зависят
только от температуры. Поэтому наше решение неявно предполагало
изотермичность плазмы. Безусловно, это не так, поскольку вязкие
напряжения и сила трения электронов об ионы будут постоянно нагревать
плазму. Формально, если учесть зависимость  ,  от температур T , то
система (3) ÷(7) не распадается и скорость, магнитное и электрическое поля и
давления нельзя найти, не вычислив температур. Предполагая
изотермичность плазмы, мы следовали традиции, отход от которой резко
усложняет задачу, и она теряет свой модельный характер.
5. Замечание о граничных условиях. Примеры постановки других граничных
условий см. в [3].
§ 8. Благодарности.
Авторы выражают благодарность К.В.Брушлинскому, А.Н.Козлову,
В.В.Савельеву, В.С.Рябенькому за участие в обсуждении различных
вопросов, относящихся к двухкомпонентной плазмодинамике.
Мы также признательны Российскому Фонду
фундаментальных
Исследований за финансовую поддержку этой работы.
20
Литература.
1. К.Черчиньяни. Теория и приложения уравнения Больцмана.
М.:”Мир“, 1978, с.214-224.
2. Брагинский С.И. В сб. “ Вопросы теории
плазмы“. Под ред.
М.А.Леонтовича. Вып.1. М.: Госатомиздат, 1963, с.183.
3. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические
течения в каналах. М.: Физматгиз,1970.