СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
«ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА»
(ИМ СО РАН)
УДК 512
№ госрегистрации 01201067695
Инв.№ 02201151976
УТВЕРЖДАЮ
и.о. Директора ИМ СО РАН
д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
______________ С. С. Гончаров
«___»_________ 2011 г.
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
по Государственному контракту от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11.0346
Шифр заявки «2010-1.1-111-128-010»
по теме:
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Наименование этапа: «Проведение исследований»
(промежуточный, этап № 3)
Руководитель НИР, д.ф.-м.н.
_________________
подпись, дата
Новосибирск 2011
Е. П. Вдовин
СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель темы
д.ф.-м.н.
______________
Вдовин Е.П. (раздел 1.5)
Исполнители темы
Советник РАН,
д.ф.-м.н., академик РАН
зав. отделом алгебры ИМ СО
РАН, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
Зав. лаб. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
______________
2
Ершов Ю.Л.(раздел 1.1)
Мазуров В.Д. (раздел 1.3)
Васильев А.В. (раздел 1.3)
Желябин В.Н. (раздел 1.1,
раздел 1.4)
Романовский Н.С. (раздел 1.4)
Бардаков В.Г. (раздел 1.4)
Заварницин А. В. (раздел 1.4)
Колесников П.С. (раздел 1.1)
Ревин Д.О. (раздел 1.2, раздел
1.5)
Гречкосеева М.А. (раздел 1.2)
Пожидаев А.П. (раздел 1.1)
Чуркин В.А. (раздел 1.4)
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
______________
______________
Бутурлакин А.А. (раздел 1.2)
Мамонтов А.С. (введение,
реферат, подготовка, раздел
1.3)
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
______________
______________
к.ф.-м.н.
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
Преподаватель СУНЦ НГУ,
к.ф.-м.н.
Студент НГУ
Студент НГУ
______________
______________
______________
______________
Студент НГУ
______________
Студент НГУ
______________
Студент НГУ
______________
Студент НГУ
______________
Нормоконтролер
______________
3
Гончаров М.Е. (раздел 1.1,
раздел 1.4)
Кайгородов И.Б. (подготовка,
раздел 1.1)
Дудкин Ф.А. (раздел 1.3)
Гальт А.А. (подготовка)
Губарев В.Ю. (раздел 1.1)
Воронин В.Ю. (раздел 1.1)
Руденко А.С. (раздел 1.1)
Захаров А.С. (раздел 1.1)
Лыткин Д.В. (раздел 1.2)
Курмазов Р.К. (раздел 1.3)
Волков Ю.С.
РЕФЕРАТ
Отчет, 67с., 2 прил.
КЛЮЧЕВЫЕ
СЛОВА:
КОНЕЧНАЯ
ГРУППА;
ЙОРДОНОВА
СУПЕРАЛГЕБРА; СТРУКТУРИЗУЕМАЯ СУПЕРАЛГЕБРА; КОНФОРМНАЯ
АЛГЕБРА; КОАЛГЕБРА; ДИАЛГЕБРА; БИАЛГЕБРА; ЖЕСТКАЯ ГРУППА.
Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих
направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр, теория
конечных групп и алгебраическая геометрия.
Выполнение НИР в целом направлено на проведение фундаментальных
исследований в области современной алгебры, с целью получения научных
результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и
образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование
эффективных и жизнеспособных научных коллективов.
Частными целями проведения работ являются:
Выявление более глубоких взаимосвязей между современными аспектами
алгебры и
изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение
студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит:
воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и
эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление;
познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной
жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации
результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать
навыки доведения решения до практически приемлемого результата – числа,
графика, точного качественного вывода с применением для этого современных
компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со
специальной математической литературой, получать и осознанно применять
полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для
успешного использования компьютерных и информационных технологий при
исследовании прикладных задач.
В ходе выполнения 3 этапа получены следующие результаты:
4
Описаны простые ассоциативные Z-конформных
алгебры, построены
свободные ассоциативных Z-конформных алгебры;
Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры РотаБакстера произвольного веса λ для любой дендриформных диалгебры и
триалгебры;
Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с
графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса;
Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно
однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера;
Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах;
Описаны δ-дифференцирования простых алгебр Филиппова и алгебр
Филиппова малых размерностей;
Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр;
Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп БаумслагаСолитера.
В результате исследований получены новые фундаментальные результаты
мирового уровня, которые вошли в дипломные и курсовые работы
исполнителей, доложены на различных научных форумах, опубликованы в
статьях и внедряются в учебный процесс Института математики им. С. Л.
Соболева СО РАН и Новосибирского государственного университета.
5
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
7
ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
1.1
ИЗУЧЕНИЕ БИАЛГЕБР
9
1.2
ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ЛИЕВЫХ ГРУППАХ
15
1.3
ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ НЕЛИЕВЫХ ГРУППАХ
31
1.4
ИССЛЕДОВАНИЯ КВАНТОВАНИЙ АЛГЕБР
37
1.5
АДАПТАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ОБЛАСТИ
СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ К ИСПОЛЬЗОВАНИЯМ В
ДАЛЬНЕЙШИХ РАЗРАБОТКАХ
ПОКАЗАТЕЛИ
44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
48
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
49
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СПИСОК СДЕЛАННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЯМИ ДОКЛАДОВ
59
2
6
47
63
ВВЕДЕНИЕ
Выполнение
НИР
направлено
на
проведение
фундаментальных
исследований в области современной алгебры, с целью получения научных
результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и
образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование
эффективных и жизнеспособных научных коллективов.
В состав разрабатываемой научной продукции входят математические
модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации
результатов
исследований
в
отечественных
и
зарубежных
изданиях;
диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений
исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание
полученных результатов.
Как
уже
отмечено
выше,
результаты
исследований
носят
фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах
научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в
области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории
диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии
и в других областях.
Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы
исполнителей, были востребованы в процессе подготовки научных публикаций
и при подготовке докладов на международных конференциях.
Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении
математических курсов для студентов старших курсов и аспирантов; при
проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и
научных сотрудников ИМ СО РАН, а также, при проведении специальных
семинаров
по
современным
разделам
математики
в
Новосибирском
Государственном университете и Институте математики им. С. Л. Соболева СО
РАН.
Результаты
подтверждены
публикациями
7
в
высокорейтинговых
реферируемых научных журналах по математике, а также выступлениями на
российских и международных конференциях по тематике НИР.
Хотя
исследования
3
этапа
являются
заделом
для
всей
НИР,
исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые
фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые
алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи,
защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение
результатов в учебный процесс.
8
1.1. ИЗУЧЕНИЕ БИАЛГЕБР
Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры.
Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на
которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с
коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. В ассоциативном
случае, например, коумножение — это гомоморфизм соответствующих алгебр.
Примерами ассоциативных биалгебр служат алгебры Хопфа. Возросший
интерес к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи,
методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем. Алгебры
Хопфа тесно связаны с такими объектами как биалгебры Ли. Последние были
введены Дринфельдом [1] в 1983 году для изучения решений классического
уравнения Янга-Бакстера. Основополагающий вклад в развитие этой теории был
внесен Л. Фаддевым
и его школой. Здесь следует отметить работы А.А.
Белавина, В.Г. Дринфельда [2], в которых были построены решения
классических уравнений Янга-Бакстера для простых алгебр Ли, а также работы
Гельфанда И.М., Чередника И.В, Дорфмана И.Я., Семенова-Тян-Шанского М.А.
Среди биалгебр Ли особую роль играют треугольные и квазитреугольные
биалгебры
Ли.
Именно
эти
биалгебры
связаны
с
классическим
и
модифицированным уравнениями Янга-Бакстера. В работах Алексеевского Д. и
Столина А. [3] были описаны полупростые алгебры Ли, на которых задана
нетривиальная структура биалгебры Ли. Коалгебры Ли были введены
Михаэлисом в [4].
В работах Желябина [5], [6] дано определение биалгебры по Дринфельду
(Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности,
были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен
ассоциативный аналог уравнения Янга-Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры,
связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные
алгебры,
допускающие
нетривиальную
структуру
Д-биалгебры
с
кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных
Д-биалгебр является то, что коумножение – это дифференцирование исходной
9
алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной
алгеброй. Такие биалгебры были введены Джони и Рота в [7]. Их
систематическое изучение было проведено Агуиро в [8]. В последней работе
были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения
Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название
ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения ЯнгаБакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [9]. Желябиным
В.Н. была установлена связь между йордановыми коалгебрами и коалгебрами
Ли. Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом
уравнения Янга-Бакстера, был определен в [10], где было доказано, что всякая
конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра,
принадлежит этому классу. В работе [11] изучались альтернативные Дбиалгебры и их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера. В
частности, были получены необходимые и достаточные условия в терминах
коумножения для того, чтобы пара (A,∆) была альтернативной Д-биалгеброй.
Вместе с этим, в той же работе вводится класс биалгебр, связанных с
уравнением Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Показано, что
биалгебры этого класса являются альтернативными Д-биалгебрами. Также в
работе были описаны структура альтернативной Д-биалгебры, заданные на
матричной алгебре Кэли-Диксона. В работе [5] была установлена связь
йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что
если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из
йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых
естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Дбиалгебры. Там же
было
доказано, что
если (A(+),
∆(+)) является
присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры
(A,∆), то на алгебре L(A(+)) можно задать структуру биалгебры Ли, связанную,
в некотором смысле, с биалгеброй (A(+),∆(+)). В
[12] доказывается аналог
данного утверждения в случае, когда A – матричная алгебра Кэли – Диксона, а
пара (A,∆) – альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим в той же работе
строится пример альтернативной Д-биалгебры (A,∆), для которой структуру
10
присоединенной йордановой Д-биалгебры (A(+),∆(+)) нельзя продлить до
структуры биалгебры Ли на алгебре L(A(+)).
Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные
алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением
алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером
нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с
нулевым
следом
алгебры
Кэли-Диксона
относительно
операции
коммутирования в качестве умножения. В [13] изучались некоторые свойства
биалгебр Мальцева, в частности здесь были условия на коуножения при
которых
данная
биалгебра
является
биалгеброй
Мальцева.
В
работе
рассматривался аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре
Мальцева. В частности было показано, что любое решение этого уравнения
индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева. Описываются
структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре
Мальцева над алгебраически замкнутым полем.
Хорошо известна конструкция, сопоставляющая произвольной алгебре ее
дуальную коалгебру. Для алгебр Хопфа известно, что дуальная коалгебра H°
алгебры Хопфа H является алгеброй Хопфа [14]. В работе [4] для любой
алгебры Ли была построена конструкция ее дуальной коалгебры. В [15] было
доказано, что дуальная коалгебра исходной биалгебры Ли является биалгеброй
Ли. Дуальные коалгебры для йордановых биалгебр изучались В.Н. Желябиным.
В работе [16] аналог теоремы Михаэлиса был доказан для почти нётеровых
йордановых алгебр. Вместе с этим в той же статье строится пример йордановой
Д-биалгебры, дуальная коалгебра которой не является подалгеброй в дуальной
алгебре. В данной работе доказывается аналог теоремы Михаэлиса для
альтернативных и ассоциативных Д-биалгебр.
Определение. Пара (A,∆), где A – линейное пространство над F, а ∆: A→ A⊗A –
линейное отображение, называется коалгеброй. При этом отображение ∆
называется коумножением.
Для элемента a∈ A будем использовать обозначение
∆(a)=∑a(1)⊗a(2).
11
На пространстве A* всех линейных функционалов, заданных на пространстве A
определим умножение, полагая
fg(a)=∑f(a(1))g(a(2))
где f,g∈ A*,a∈ A и ∆(a)=∑a(1)⊗a(2). Полученная алгебра называется дуальной
алгеброй коалгебры (A,∆).
Дуальная алгебра A* коалгебры (A,∆) задаёт бимодульное действие  на A,
которое определяется следующим образом:
fa=∑f(a(2))a(1) и af=∑f(a(1))a(2),
где f∈ A* и ∆(a)=∑a(1)⊗a(2).
В работе [17] дано следующее определение коалгебры, связанное с
некоторым многообразием алгебр.
Определение. Пусть M – произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (A,∆)
называется
M-коалгеброй,
если
дуальная
алгебра
A*
принадлежит
многообразию M.
Пусть теперь A – произвольная алгебра, на которой задано коумножение ∆ и A*
- дуальная алгебра коалгебры (A,∆). Алгебра A задаёт бимодульное действие •
на пространстве A*, определенное формулой
f•a(b)= f(ab) и b•f(a)=f(ab).
Рассмотрим пространство D(A)=AA* и зададим на нём умножение, полагая
(a+f)*(b+g)=(ab+fb+ag)+(fg+f•b+a•g).
Тогда D(A) является обычной алгеброй над полем F, а A и A* - подалгебры в
D(A). Алгебру D(A) будем называть дублем Дринфельда.
В работе [5] дано следующее определение биалгебры по Дринфельду (Дбиалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр.
Определение. Пусть M - произвольное многообразие F-алгебр и A – алгебра из
M, на которой дополнительно задано коумножение ∆. Тогда пару (A,∆) будем
называть M-биалгеброй по Дринфельду, если алгебра D(A) принадлежит
многообразию M.
Алгебра A называется альтернативной, если для любых x,y∈ A в ней
выполняются следующие тождества: (x,x,y)=0 и (y,x,x)=0, где (x,y,z)=(xy)z-x(yz)
– ассоциатор элементов x,y,z. Пусть A – алгебра над полем F с умножением m:
12
A⊗A→A, т.е. m(a⊗b)=ab для любых a,b∈ A. Тогда имеем сопряженное к m
линейное отображение m*: A*→(A⊗A)*. Подпространство V из A* называется
хорошим, если m*(V)V*⊗V*). На пространстве V зададим коумножение ∆ V:
V→V⊗V,
полагая
∆(v)=∑v(1)⊗v(2),
если
m*(v)=∑v(1)⊗v(2).
Поскольку
вложение пространства V*⊗V* в (V⊗V)* инъективно, то коумножение ∆
определено корректно. Пусть теперь A° - сумма всех хороших подпространств
из A*. Тогда A° - наибольшее хорошее подпространство и поэтому A° коалгебра с коумножением ∆° (см. [4, 17]). Коалгебра (A°,∆°) называется
дуальной коалгеброй для алгебры A. Для любых a,b∈ A и любого f∈ A° имеет
место f(m(a⊗b))=∑f(1)(a)f(2)(b), где ∆°(f)=∑f(1)⊗f_(2).
Утверждение 1 ([17]). Пусть A – алгебра над полем F и S – подпространство из
A*. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Подпространство S - хорошее.
(ii) Подпространство S – A-подбимодуль A-бимодуля A* такой, что для
любого f∈ S подпространства f•A и A•f являются конечномерными.
В рамках НИР доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть пара (A,∆) – альтернативная Д-биалгебра над полем
характеристики не равной 2, A* - дуальная алгебра коалгебры (A,∆) и (A°,∆°) дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° - подалгебра алгебры A*, а пара (A°,∆°)
– альтернативная Д-биалгебра.
Теорема 2. Пусть пара (A,∆) – ассоциативная Д-биалгебра, A* - дуальная
алгебра коалгебры (A,∆) и (A°,∆°) - дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° подалгебра алгебры A*, а пара (A°,∆°) – альтернативная Д-биалгебра.
Отметим, что теоремы 1 и 2 являются аналогами ассоциативными и
альтернативными аналогами известных результатов из [16].
Понятие
конформной
алгебры,
предложенное
в
книге
[18],
является
инструментом исследования алгебр вертексных операторов (вертексных
алгебр).
Последние
возникли
как
формальный
язык
для
описания
алгебраических свойств операторного разложения произведений (operator
product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля, начало которой
положено в работе [19]. Строгое математическое изложение соответствующей
13
теории было впервые предложено в [20] и впоследствии развито в работах
различных авторов (см., например, [21, 22]). В настоящее время теория алгебр
вертексных операторов является одной из наиболее активно развивающихся
областей теории представлений и математической физики.
Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-конформной алгебры Ли)
впервые возникло в работе [23] для аксиоматического описания OPE киральных
полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что тоже самое, как qдеформация классического OPE, используемого в определении конформных
алгебр.
В работе [24] было введено общее понятие конформной алгебры над
линейной алгебраической группой G, включающий в себя класс обычных алгебр
над полем (при G={e}), конформные алгебры (при G @ <k,+>, где k ― поле
характеристики 0). Класс же рассматриваемых в данной работе Z-конформных
алгебр соответствует случаю G=<k*,·>. С другой стороны, понятие конформной
алгебры над G эквивалентно понятию псевдоалгебры [25] над H, где H=k[G] ―
алгебра Хопфа регулярных функций на G.
В данной работе показывается эквивалентность подходов Каца и
Колесникова к определению понятия Z-конформных алгебр. Вводятся основные
понятия для Z-конформных алгебр, такие, как идеал, (полу)простота,
конечномерность (или конечный тип), функция локальности. Показывается, что
категория Z-конформных алгебр эквивалентна категории обычных алгебр с так
называемым локальным автоморфизмом. Соответственно можно рассматривать
Z-конформные алгебры произвольного многообразия Var.
Для произвольного многообразия Var Z-конформных алгебр было
показано, что вопрос о поиске свободных объектов сводится к описанию
некоторых
свободных
произвольной
мономиальных
Z-конформной
алгебры
алгебр
была
многообразия
установлена
её
Var.
Для
локальная
конечномерность над H.
В
многообразиях
ассоциативных,
альтернативных
и
лиевых
Z-
конформных алгебр доказывается аналог классической леммы Донга для
вертексных алгебр.
14
Приводится пример однопорождённой альтернативной Z-конформной
алгебры, не являющейся ассоциативной, что доказывает, что аналог теоремы
Артина для Z-конформных алгебр не выполнен.
Было показано, что любая лиева Z-конформная алгебра ранга 1 над H
является абелевой. Тем самым аналог простой одномерной как модуль
конформной алгебры Вирасоро в классе лиевых Z-конформных алгебр
отсутствует.
Для
ассоциативных
Z-конформных
алгебр
был
получен
важный
структурный результат: были описаны все простые объекты конечного типа, это
в точности получаются алгебры петель от матричных алгебр. В классе
ассоциативных Z-конформных алгебр были построены свободные объекты.
1.2. ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ЛИЕВЫХ ГРУППАХ
Понятие группы, возникшее на стыке XVIII-XIX веков из работ Лагранжа,
Руффини, Абеля и Галуа, явилось
обобщением фундаментальных свойств
симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось
чрезвычайно плодотворным благодаря с одной стороны формальной простоте, а
с другой - универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным
или мыслимым объектом можно связать группу его «симметрий», т.е.
некоторых
обратимых
преобразований,
оставляющих
данный
объект
инвариантным или, по крайней мере, сохраняющих какие-либо его свойства.
Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в
качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили
благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа,
теория Вессио-Пикара, классификация Федорова и т. д.). Одной из
фундаментальных задач теории групп является изучение подгруппового
строения данной группы. Важным является случай, когда группа конечна, т. е.
содержит конечное число элементов. Это число, называемое порядком группы,
15
является ее естественной арифметической характеристикой
и
определяет
многие ее свойства. Область теории групп, изучающая группы конечного
порядка, является старейшей и продолжает бурно развиваться. В этой области
исторически, пожалуй, самым первым значимым результатом стала теорема
Лагранжа, утверждающая, что порядок |G| конечной группы G делится на
порядок любой подгруппы. Это несложное утверждение имеет исключительное
значение и во многом
Теорема
Лагранжа
определяет проблематику теории конечных групп.
демонстрирует,
насколько
сильно
порядок
группы
определяет ее подгрупповое строение. Например, оказывается, что группа
простого
порядка
циклическая
и
не
содержит
никаких
собственных
нетривиальных подгрупп. Обращение теоремы Лагранжа неверно: в общем
случае не для всякого делителя m числа |G| в группе G найдется подгруппа
порядка m. Скажем, A4, знакопеременная группа степени 4, имеющая порядок
12, не имеет подгрупп порядка 6. Тем более удивительной является следующая
теорема, доказанная в 1872 году норвежским математиком Л.Силовом [26]:
Теорема. Пусть порядок конечной группы G равен pam, где число p простое,
а m не делится на p. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) Группа G содержит по крайней мере одну
подгруппу порядка p a (т. н.
силовскую p-подгруппу).
(2) Любые две силовские p-подгруппы сопряжены.
(3) Всякая p-подгруппа группы G (т.е. подгруппа, у которой порядок
является степенью числа p) содержится в некоторой силовской p-подгруппе.
Таким образом, оказывается, что для некоторых делителей порядка
группы обращение теоремы Лагранжа, все же, имеет место. Более того,
оказывается, что строение и свойства любой p-подгруппы во многом
определяются строением и свойствами одной-единственной силовской pподгруппы. Значение теоремы Силова трудно переоценить. По мнению
специалистов [27-29] она является краеугольным камнем теории конечных
групп. Уже в первом издании (Имеется ввиду издание 1897 года. В списке
литературы приведена ссылка на второе издание 1911 года этой книги)
классической книги У.Бернсайда [30] теореме Силова и ее многочисленным
16
приложениям посвящена целая глава. Эта теорема неоднократно обобщалась
различными авторами, в том числе и на бесконечные группы. В теории
конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое
самостоятельное направление, берущее свое начало в работах знаменитого
английского
математика
Ф.Холла
и
нашего
выдающегося
соотечественникаС.А.Чунихина [31-33]. Как ни странно, теорема Холла, первое
из таких обобщений, появилась лишь 1928 году [32], т.е. спустя более, чем 50
лет после работы Л.Силова. Это была первая опубликованная работа по теории
групп молодого Ф.Холла. До этого он занимался математической статистикой
под руководством К.Пирсона. В 1927 году Ф.Холл, еще в студенческие годы
увлекавшийся группами и изучавший их по книге У.Бернсайда [30], написал
Бернсайду письмо с просьбой изложить наиболее важные открытые вопросы
теории групп. Тот ответил, прислав список проблем, и вскоре после этого умер.
Несмотря на то, что они никогда не встречались, Холл считал Бернсайда своим
учителем и всю жизнь испытывал его влияние. Работа [32], видимо, была
посвящена решению
проблемы из списка Бернсайда (см. [33,34]). Идея
Ф.Холла состояла в том, чтобы вместо силовских p-подгрупп рассматривать
более общий объект - Sп-подгруппы или, как их впоследствии стали называть,
холловы п-подгруппы. Напомним определение. Пусть п - некоторое множество
простых чисел. Символом п' будем обозначать множество тех простых чисел,
которые не принадлежат п. Для натурального числа n через п(n) обозначим
множество его простых делителей, а для конечной группы G через п(G) множество п(|G|). Натуральное число n, для которого п(n) содержится в п,
называется п-числом, а группа G, для которой п(G) содержится в п, называется
п-группой. Подгруппа H конечной группы G называется холловой пподгруппой, если п(H) — подмножество в п и п(|G:H|) — подмножество в п'.
Таким образом, если п состоит из одного простого числа p, то холлова пподгруппа - это, в точности, силовская п-подгруппа. Холлова подгруппа - это
холлова п-подгруппа для некоторого множества п. Ф.Холл [32] доказал
следующую теорему.
Теорема. Пусть конечная группа G разрешима. Тогда для любого множества
17
п простых чисел справедливы следующие утверждения.
(1) Группа G содержит по крайней мере одну холлову п-подгруппу.
(2) Любые две холловы п-подгруппы сопряжены.
(3) Всякая п-подгруппа группы G содержится в некоторой холловой пподгруппе.
Легко видеть, что эта теорема представляет собой полный аналог теоремы
Силова для п-подгрупп разрешимых конечных групп. Она и найденные с ее
помощью сведения о конечных разрешимых группах на многие годы
предопределили развитие теории разрешимых групп (см. [35]). Вместе с тем,
для неразрешимых групп теорема Холла, вообще говоря, неверна. Так для
многих п существуют примеры групп, не обладающих холловыми пподгруппами. Скажем, группа A5 не содержит холловых {3,5}-подгрупп. Есть
примеры групп с несопряжёнными холловыми п-подгруппами, а также групп, в
которых имеются п-подгруппы, не лежащие в холловых п-подгруппах. Так,
группа GL(3,2) содержит ровно два класса сопряженных холловых {2,3}подгрупп. В группе A5 все холловы {2,3}-подгруппы сопряжены и изоморфны
A4, но есть также подгруппа подгруппа порядка 6, изоморфная S3, а в A4 нет
подгрупп порядка 6. Более того, в 30-е годы Ф.Холл [33] и независимо
С.А.Чунихин [31], используя теорему У.Бернсайда о разрешимости групп
порядка paqb для простых чисел p и q, доказали, что если конечная группа G
содержит холлову p'-подгруппу для любого простого числа p, то группа G
разрешима. Любопытно, что исследование возможных аналогов теоремы
Силова
для
п-подгрупп
в
неразрешимых
группах
первоначально
воспринималось скептически. Л.А.Шеметков [36] пишет: «В то далекое время
многим казалось, что изучение холловых подгрупп в неразрешимых конечных
группах не имеет перспективы. В этом как-будто бы убеждал и тот факт, что
конечная группа оказывается разрешимой, если она обладает холловыми
подгруппами любого возможного порядка ... Но С.А.Чунихин думал иначе. Его
основная идея состояла в том, что надо искать связь между подгрупповой
структурой конечной группы
и подгрупповой структурой ее главных и
композиционных факторов. Работая в нелегкие сороковые-пятидесятые годы
18
XX века в сибирском городе Томске, он выполнил серию работ, посвященных
п-свойствам и, в частности, силовскими свойствам конечных групп.» Поясним
идею С.А.Чунихина. Предположим, что множество п фиксировано. Тогда, как
видно из рассмотренных выше примеров, ни существование, ни сопряженность
холловых п-подгрупп, вообще говоря,
не означают, что группа разрешима.
Более того, даже полный аналог теоремы Силова для п-подгрупп не влечет
разрешимость группы, поскольку он выполнен, скажем, для любой п- или п'группы. Поэтому весьма нетривиальной представляется следующая проблема,
восходящая к С.А.Чунихину (в дальнейшем мы уточним ее формулировку).
Проблема 1*. Пусть заданы множество простых чисел п и конечная группа
G. Имеет ли место аналог теоремы Силова для п-подгрупп группы G?
Легко показать, что если H - холлова п-подгруппа конечной группы G, то
пересечение подгрупп H и A и
факторгруппа HA/A будут п-холловыми
подгруппами групп A и G/A соответственно для любой нормальной подгруппы
A группы G. Следовательно, если конечная группа обладает холловой пподгруппой, то такими подгруппами обладают и все факторы любого ее
(суб)нормального ряда. Можно предположить существование обратной связи,
которая позволит по п-свойствам факторов некоторого субнормального ряда
получать для конечной группы аналоги теоремы Силова. Это предположение
оказывается исключительно плодотворным. С его помощью С.А.Чунихин
открыл многие аналоги теоремы Силова для п-подгрупп. Он рассматривал для
этого группы, у которых такие аналоги справедливы для секций некоторого
субнормального ряда, и мы будем называть в дальнейшем такой способ
получения аналогов теоремы Силова методом Чунихина.
Двигаясь в этом направлении, он доказал, в частности, один из самых
элегантных и полезных результатов о холловых подгруппах - теорему о
замкнутости относительно расширений
класса конечных групп, в которых
холловы п-подгруппы существуют и сопряжены. С.А.Чунихину принадлежит
также, в числе многих других результатов о холловых подгруппах [28,31],
обобщение теоремы Холла на случаи т.н. п-разрешимых и п-отделимых групп,
именно им впервые введенных в рассмотрение. Отметим, что понятие п19
разрешимой группы оказалось чрезвычайно плодотворным. Во многом
благодаря знакомству Холла с работами С.А.Чунихина стало возможным
появление классической статьи Ф.Холла и Г.~Хигмэна [37], в которой
посредством изучения p-разрешимых групп ослабленная проблема Бернсайда
сводилась к случаю групп примарной экспоненты и которая сыграла важную
роль в решении этой знаменитой проблемы [38-40]. Введенные С.А.Чунихиным
понятия и полученные им результаты неоднократно обобщались и на некоторые
классы бесконечных группы (отметим в связи с этим работы П.А.Гольберга [41]
и М.И.Каргаполова [42]). В 50-е годы результаты и идеи Чунихина получили
распространение и признание как у нас в стране, так и во всем мире, что
привело к невиданному росту интереса к данной тематике (см., например, [29,
35, 36, 41-89]). Изучением проблемы 1* в том или ином аспекте занимались,
помимо Ф.Холла и С.А.Чунихина, такие ученые, как Л.С.Казарин [45,46],
В.Д.Мазуров [47,90], Л.А.Шеметков
[35,36,55-60], Р.Бэр [65], Ф.Гросс [67-
71,74], Б.Хартли [80,29], Н.Ито [82], Дж.Томпсон [85], Х.Виландт [86-88],
Г.Цаппа [89] и многие другие. Эта проблематика вызывает живой интерес и
сегодня. Упомянем в этой связи доклад китайского математика Го Вэньбиня на
недавней конференции
в Красноярске [78]. К сожалению, мы не имеем
возможности здесь должным образом осветить все полученные результаты и
отсылаем
заинтересованного
читателя
к
обзорам
А.И.Кострикина,
С.А.Чунихина и Л.А.Шеметкова [91,54,35]. Подробное изложение некоторых
результатов и сведения исторического характера можно найти в монографиях
С.А.Чунихина, Л.А.Шеметкова и М.Судзуки [28,61,83]. Более современные
обзоры имеются у Б.Хартли [29] и в монографии К.Дёрка и Т.Хоукса.
Ограничимся лишь освещением некоторых результатов.
Важным этапом в формировании данного направления исследований
стали работы выдающегося немецкого математика Х.Виландта [86] и Ф. Холла
[81]. Виландт, по сравнению с С.А.Чунихиным, подошел к изучению проблемы
1* с несколько иных позиций, ничего не предполагая о факторах группы, а
наложив ограничение на строение холловой п-подгруппы. Известно, что pгруппа всегда нильпотентна. Но нильпотентность всех п-подгрупп данной
20
группы еще не гарантирует справедливость для них аналога теоремы Силова.
Это показывает пример группы A5, в которой нет холловых {3,5}-подгрупп,
хотя все {3,5}-подгруппы нильпотентны. Результат Х.Виландта состоит в том,
что из существования нильпотентной холловой п-подгруппы вытекает
сопряженность всех холловых п-подгрупп и вложимость произвольной пподгруппы в холлову. Ф.Холл опубликовал в 1956 году ставшую классической
статью [81] Эта работа стала последней работой Холла, посвященной конечным
группам. Вместе с вышедшей месяцем ранее статьей Ф.Холла и Г.Хигмэна [37]
она оказала глубокое влияние на выдающиеся успехи теории конечных групп в
60-х годах и, в частности, на
подробности в [33]).
научное творчество Дж.Томпсона (см.
В ней, помимо обзора результатов С.А.Чунихина и
Х.Виландта, Холл получил ряд новых важных теорем (о некоторых из них мы
скажем чуть ниже), а также ввел удобные обозначения Eп, Cп и Dп, которые
стали общепринятыми и которыми мы будем пользоваться.
Будем говорить, что группа G обладает свойством Eп, если в G имеется
холлова п-подгруппа. Если при этом любые две холловы п-подгруппы
сопряжены, то будем говорить, что группа G обладает свойством C п. Если, к
тому же, любая п-подгруппа группы G содержится в некоторой холловой пподгруппе, то будем говорить, что G обладает свойством Dп. Группу со
свойством Eп, Cп и Dп будем называть также Eп, Cп и Dп- группой.Таким
образом, наличие свойства Dп означает справедливость полного аналога
теоремы Силова для п-подгрупп, а свойства Eп и Cп обобщают на п-подгруппы
пункты (1) и (2) заключения этой теоремы. Сама теорема Силова в этих
обозначениях звучит так.Для любого простого числа p всякая конечная группа
обладает свойством
Dп. Первые результаты Холла и Чунихина можно
объединить в следующее утверждение.
Утверждение. Для любой конечной группы G эквивалентны утверждения:
(1) группа G разрешима;
(2) группа G обладает свойством Dп для любого множества простых чисел п;
(3) группа G обладает свойством Ep' для любого простого числа p.
Упомянутая выше теорема Чунихина формулируется так (отметим, что в
21
такой формулировке теорема Чунихина использует теорему Фейта-Томпсона о
разрешимости конечных групп нечетного порядка). Расширение Cп-группы с
помощью Cп-группы является Cп-группой. Особое значение имеет изучение Dпгрупп, поскольку в таких группах строение произвольной п-подгруппы
определяется
проблему
строением одной-единственной холловой
1*
в
дальнейшем
мы
будем
п-подгруппы. И
рассматривать
в
следующей
интерпретации.
Проблема 1. Пусть заданы множество простых чисел п и конечная группа G.
Обладает ли группа G свойством Dп?
Комбинируя результат Виландта и метод Чунихина, в качестве основного
результата упомянутой работы [81] Ф.Холл доказал теорему, которую можно
сформулировать в следующем виде (теорема Холла D5)
Расширение Dп-группы A, обладающей нильпотентной холловой пподгруппой, с помощью Dп-группы B, обладающей разрешимой холловой пподгруппой, является п-группой.
Сразу же возник вопрос, нельзя ли в этой теореме отказаться от
ограничений на строение холловых подгрупп, дав, тем самым, методу Чунихина
построения
новых
Dп-групп
из
уже
известных
общее
теоретическое
обоснование. Возникла, таким образом,
Проблема 2. Всегда ли расширение Dп-группы A с помощью Dп-группы B
будет Dп-группой?
Хотя эта проблема восходит к теореме D5 Холла [81] и является прямым
обобщением последней, ее можно рассматривать также и как аналог теоремы
Чунихина для Dп-групп.
Впервые проблема 2 была озвучена Х.Виландтом в часовом обзорном
докладе на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958
году [44]. На протяжении пятидесяти лет она привлекала внимание многих
ученых. Она отмечена в обзорах [54,35], монографиях Л.А.Шеметкова
[проблема 22, 61] и М.Судзуки [83] и записана Л.А.Шеметковым в Коуровскую
тетрадь (вопрос 3.62 из [92]). Сам Л.А.Шеметков внес в изучение этого вопроса
фундаментальный вклад. Он решил [58] проблему 2 в случае, когда силовские
22
p-подгруппы группы A являются циклическими для всех p из п и получил [5557,59,60] ряд других важных результатов, которые нашли свое отражение в его
известной монографии [61]. Более позднее обсуждение результатов, связанных
с этой проблемой, имеется в [36]. Не будет преувеличением сказать, что
Л.А.Шеметков «выжал» из проблемы 2 все, что можно было сделать без
использования классификации конечных простых групп (см. лемму 18.3 и теор.
18.14 из [61]). В 1971 году Б.Хартли [80] показал, что условие разрешимости
холловой п-подгруппы группы B в теореме Холла D5 можно опустить, если
предполагать, что для всех композиционных факторов группы A выполнена
гипотеза Шрайера о разрешимости группы внешних автоморфизмов. Как
отмечает сам Хартли [29], ранее этот результат без доказательства был отмечен
Х.Виландтом, а впоследствии Хартли его переоткрыл. Таким образом, задолго
до объявления о классификации, Виландт и Хартли применяли к изучению
проблемы 2 теорию простых групп. Впервые результаты классификации
конечных простых групп для исследования этого вопроса использовал в 1981
году Л.С.Казарин [45], существенно усилив результаты Л.А.Шеметкова о т.н. пклассах Виландта. В.Д.Мазуров и Д.О.Ревин показали [90], что проблема 2
имеет
положительное
решение,
если
силовские
2-подгруппы
всех
композиционных факторов группы A абелевы. Среди недавних результатов о
проблеме 2 отметим работы В.Н.Тютянова [51,52]. Несмотря на интенсивное
изучение и большой накопленный опыт, проблему 2 долгое время удавалось
решить только в частных случаях. В 1997 году с появлением статьи
В.Д.Мазурова и Д.О.Ревина [90],
вошедшей в кандидатскую диссертацию
последнего, появилась надежда полностью ответить на этот вопрос с помощью
классификации конечных простых групп. В [90] проблема 2 была сведена к
случаю, когда A - простая группа, а B - группа ее внешних автоморфизмов. Уже
в процессе написания статьи [90] при использовании индуктивных рассуждений
стало ясно, что проблема 2 тесно связана с другим вопросом.
Проблема 3. Всегда ли нормальная подгруппа Dп-группы будет Dп-группой
Тогда же выяснилось, что проблема 3 отмечена в работе Ф.Гросса 1986 года
[68], и В.Д.Мазуров записал ее в Коуровскую тетрадь как вопрос Ф.Гросса
23
(вопрос 13.33 из [92]).Несложно показать, что факторгруппа Dп-группы всегда
является Dп-группой. Поэтому проблемы 2 и 3 являются в определенном
смысле двойственными. Сравнительно меньший интерес, который математики
проявляли по отношению к проблеме 3, объясняется тем, что, в силу причин
исторического характера, их внимание было сконцентрировано на получении
достаточных условий для выполнения свойства Dп. В то же время, если ставить
вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий, то эта проблема
является столь же важной и естественной, как и проблема 2. Положительное
решение обеих проблем немедленно влечет, что конечная группа обладает
свойством Dп тогда и только тогда каждый ее композиционный фактор обладает
этим свойством. Итак, если предположить (как мы увидим, небезосновательно),
что проблемы 2 и 3 имеют положительное решение, то проблема 1 равносильна
следующей.
Проблема 4. Пусть задано множество простых чисел п. Какие конечные
простые группы обладают свойством Dп?
В кандидатской диссертации Д.О.Ревина изучение проблемы 3, также как и
проблемы 2, было сведено к проверке некоторых условий в группах
автоморфизмов простых неабелевых групп (см. также [93]). Тем не менее,
проверка этих условий оказалась непростой задачей. В той же кандидатской
диссертации
ее
удалось
осуществить
только
для
спорадических,
знакопеременных групп и тех групп лиева типа, у которых характеристика
принадлежит множеству п [93], а самый сложный случай - случай групп лиева
типа над полем характеристики, не принадлежащей п, остался неразобранным.
Трудность такой проверки связана с тем, что она требует знания всех холловых
подгрупп данной простой группы.
Линейное действие конечных простых и близких к ним групп на
неприводимых
модулях
является
важным
и
популярным
предметом
исследований, как в теории представлений, так и её приложениях. Например, к
поиску нетривиальных неподвижных точек элементов и подгрупп простых и
близких к простым групп в их линейных представлениях сводятся многие
проблемы теории распознаваемости групп по порядкам элементов или графу
24
простых чисел. Напомним, что графом простых чисел
(иногда также
называемым графом Грюнберга-Кегеля) конечной группы G называется граф,
множество вершин которого совпадает с множеством простых делителей
порядка группы G, в котором два различных простых числа p и q соединены
ребром в том и только в том случае, когда G содержит элемент порядка pq. В
дальнейшем будем обозначать граф простых чисел группы G через Γ(G).
Конечная группа G называется распознаваемой по графу, если для любой
конечной группы H равенство графов (с отмеченными вершинами) Γ(H)= Γ(G)
влечёт изоморфизм H≈G. Несложно показать (см., например, [106]), что если
конечная группа обладает нетривиальной нормальной абелевой подгруппой, то
она не может быть распознаваема по графу. Поэтому вопрос о распознаваемости
по графу интересен для (неабалевых) простых и близких к ним групп.
Известно, что распознаваемыми по графу являются следующие простые группы:
спорадические группы J1, M22, M23, M24, Co2, J4, исклочительная группа G2(7), а
также бесконечная серия
2
G2(q), где q > 3 (доказательства этих фактов
содержатся в работах [107] и [108].
Очевидно, что распознаваемая по графу группа G должна, в частности,
удовлетворять следующему неравенству Γ(G)≠ Γ(H), где H – собственное
накрытие G, т.е. такая группа, собственным эпиморфным образом которой
является G. Благодаря следующему результату распознаваемость группы G по
графу среди своих накрытий можно свести к рассмотрению действий G на
неприводимых модулях. Доказана
Теорема. Если H – собственное накрытие конечной группы G такое, что Γ(G) =
Γ(H), то существует конечномерное векторное пространство W над полем
положительной
характеристики,
на
котором
G
действует
абсолютно
неприводимо и такое, что имеет место равенство графов просых чисел
Γ(G)=Γ(WG).
Особый интерес вызывает случай, когда G – простая линейная или унитарная
проективная специальная группа, а W – некоторый эквихарактеристический FGмодуль (напомним, что модуль для группы лиева типа, определённой над полем
характеристики p, называется эквихарактеристическим, если характеристика
25
основного поля также равна p). В этом случае задача сводится к рассмотрению
действия (и, в частности, доказательству существования нетривиальных
неподвижных точек) на пространстве W полупростых элементов группы G,
порядок которых достаточно большой. Здесь под «большим» порядком мы
понимаем такой порядок элемента из G, при умножении на p которого
получается число, не являющееся порядком никакого элемента из G. Основным
доказанным результатом является следующая
Теорема. Пусть p – простое число и G – простая проективная специальная
линейная или унитарная группа размерности n, определённая над полем из p
элементов и действующая абсолютно неприводимо на векторном пространстве
W над полем характеристики p. Тогда имеет место неравенство графов простых
чисел Γ(G)≠Γ(WG) в каждом из следующих случаев либо n, либо p нечётно
(кроме случаев, когда G изоморфна одной из групп PSL7(2), PSL3(3), PSU3(3)),
p=2 и n=4,6,10,16 (кроме случаев, когда G изоморфна PSL6(2) или PSU4(2)).
Отметим, что для исключённых случаев заключение теоремы не верно. В самом
деле, можно показать, что справедлива следующая
Теорема. Пусть G=PSLn(p), где числа n и p-1 взаимно просты, либо G=PSUn(p),
где n и p+1 взаимно просты. Тогда для естественного FG-модуля V (где F – поле
из p элементов) справедливы следующие равенства.

Γ(VG)=Γ(G), при G=PSL7(2), PSU3(3), PSU4(2),

Γ((Λ2V)G)=Γ(G), при G=PSL6(2),

Γ((Λ3V)G)=Γ(G), при G=PSL8(2), PSU8(2).
В формулировке теоремы через ΛiV мы обозначили i-ю внешнюю степень
модуля V.
Также отметим, что если G изоморфна группе PSL4(q), где q не простое, то
существует пример эквихарактеристического абсолютно неприводимого модуля
V над G такого, что у групп VG и G одинаковый набор порядков элементов
(такой модуль построен в [109]), а значит, эти группы также имеют
совпадающие графы простых чисел. Общая ситуация эквихарактеристических
модулей над полем непростого порядка и чётной размерности является пока не
исследованной областью, в которой, однако, могут быть применены идеи и
26
методы, разработанные выше. Доказательство предыдущей теоремы является
концептуальным обобщением рассуждений, использованных автором для
доказательства результата, установленного в [110], который утверждает, что
если G – конечная группа, граф простых чисел которой совпадает с таким же
графом простой группы L16(2), то G изоморфна L16(2).
Спектром ω(G) конечной группы G называется множество порядков ее
элементов. Группы называются спектральными, если у них одинаковые
спектры. Конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если любая
конечная группа H такая, что ω(H)=ω(G), является изоморфной группе G. Выбор
спектра в качестве набора параметров характеризации обусловлен тем, что, с
одной стороны, многие конечные простые группы распознаются по спектру (см.
обзор результатов в [47]), а с другой стороны, при абстрактном представлении
конечной группы как black-box group (см. [111]), наиболее популярном сейчас
среди специалистов по вычислениям в теории конечных групп, спектр – самый
естественный и достижимый из числовых параметров группы. Если обозначить
через h(G) число попарно неизоморфных конечных групп с тем же спектром,
что и группа G, то распознаваемость группы G эквивалентна равенству h(G)=1.
Считается, что для конечной группы G решена проблема распознаваемости по
спектру, если известно точное значение h(G). Также говорят, что группа G
почти распознаваема по спектру, если h(G) конечно.
Исследования проблемы распознаваемости по спектру с все возрастающей
интенсивностью ведутся специалистами по теории групп, как отечественными,
так и зарубежными, с середины 80-х годов прошлого века, и в первую очередь
внимание исследователей направлено на конечные простые группы. Это
обусловлено тем, что для конечной группы с нетривиальной нормальной
разрешимой
подгруппой
можно
построить
бесконечно
много
попарно
неизоморфных конечных групп с таким же спектром, т.е. для такой группы G
число h(G) равно бесконечности [112]. Согласно классификации конечных
простых групп, каждая конечная простая неабелева группа принадлежит ко
одному из следующих трех семейств: знакопеременные группы подстановок,
спорадические группы и группы лиева типа, причем последние делятся на
27
классические
и
исключительные.
К
настоящему
моменту
проблема
распознаваемости решена для всех спорадических групп, для знакопеременных
групп степеней p, p+1 и p+2, где p -- простое число, для групп Ри и Сузуки,
групп E_8(q), для целого ряда классических групп малых размерностей: PSL(2,
q), PSL(3, q), PSU(3, q), PSp(4,q), а также для всех простых линейных групп
PSL(n, q), где q четно (см. [47, 113, 114]). Полученные результаты, с одной
стороны, показали, что не все неабелевы простые группы распознаваемы по
спектру. С другой стороны, они позволили выдвинуть гипотезу о том, что все
знакопеременные группы достаточно большой степени и все классические
группы достаточно большой размерности являются почти распознаваемыми по
спектру.
Исследования в рамках проекта направлены на подтверждение той части
гипотезы, которая касается простых классических групп. Пусть L - конечная
простая классическая группа, т.е. одна из линейных групп PSL(n,q), унитарных
групп PSU(n,q), симплектических групп PSp(2n,q) и ортогональных групп
Ω(2n+1,q), PΩ(2n,q,+), PΩ(2n,q,-). Предположим, что G - конечная группа,
изоспектральная группе L. Зафиксируем обозначения L и G. Изучение строения
группы G естественно начать с ее композиционного ряда, а более точно, с ее
неабелевых композиционных факторов.
Одним из наиболее часто используемых на этом этапе результатов является
теорема Грюнберга-Кегеля о группах с несвязным графом простых чисел (см.
[115]). Граф простых чисел конечной группы H, обычно обозначаемый как
GK(H), - это помеченный граф, множеством вершин которого являются простые
делители порядка группы H и два простых числа соединены ребром тогда и
только тогда, когда они различны и их произведение лежит в спектре группы H.
Теорема Грюнберга-Кегеля утверждает, что конечная группа H с несвязным
графом простых чисел либо разрешима и ее граф имеет ровно две компоненты,
либо имеет ровно один неабелев композиционный фактор S и число компонент
связности графа GK(S) не меньше числа компонент связности графа GK(H).
Таким образом, если L имеет несвязный граф простых чисел, то G тоже имеет
несвязный граф простых чисел и, значит, G имеет не более одного неабелева
28
композиционного фактора. Более того, если при этом
L отлична от групп
PSL(3,3), PSU(3,3) и PSp(4,3), то G имеет в точности один неабелев
композиционный фактор S [116].
К сожалениию, несвязный граф простых чисел простой классической
группы - это скорее исключение, чем правило. Так, например, среди групп
PSL(n,q) несвязным графом могут обладать только группы, для которых одно из
чисел n и n-1 является простым. Для того, чтобы получить аналог теоремы
Грюнберга-Кегеля для групп со связным графом простых чисел, Васильевым
было введено понятия неплотности и 2-неплотности графа простых чисел.
Неплотностью t(H) графа простых чисел группы H называется наибольший
размер независимого множества вершин. Аналогично, 2-неплотность t(2,H) - это
наибольший размер независимого множества вершин, содержащего вершину 2.
Теорема Васильева [117] утверждает, что конечная группа H такая, что t(H)>2 и
t(2,H)>1, имеет ровно один неабелев композиционный фактор S, причем
t(S)≥t(H)-1. Как показано в [118], условию на неплотности из теоремы
Васильева
удовлетворяют все простые классические группы, кроме групп
PSL(3,3), PSU(3,3) и PSp(4,3).
Таким образом, к настоящему моменту установлено, что группа G,
изоспектральная простой классической группе L (отличной от
PSL(3,3),
PSU(3,3) и PSp(4,3)), имеет имеет ровно один неабелев композиционный фактор
S. Другими словами, с точностью до изоморфизма имеют место включения
S≤G/K≤Aut(S), где K - разрешимый радикал группы G, т.е. наибольшая
нормальная разрешимая подгруппа. Следующим естественным шагом является
доказательство того, что S изоморфна L. В связи с этим Кондратьевым было
введено понятие квазираспознаваемой простой группы. Неабелева простая
группа H называется квазираспознаваемой по спектру, если любая конечная
группа, изоспектральная H, имеет единственный неабелев композиционный
фактор и этот фактор изоморфен H. К концу 2010 года было известно, что все
простые классические группы с несвязным графом простых чисел и нерешенной
проблемой распознаваемости квазираспознаваемы, за исключением групп
PSL(n,q) и PSU(n,q), где одно из чисел n и n-1 является простым (см. [119]).
29
Допустим, что
уже доказано, что L квазираспознаваема. Тогда
группа G
удовлетворяет условию L≤G/K≤Aut(L), поэтому теперь необходимо изучение
разрешимого радикала группы G. Если
показать, что K=1, то
G будет
удовлетворяет условию L≤G≤Aut(L) и, в частности, для G будет только
конечное число вариантов, т.е. h(L) будет конечно. Если же найти группу G
такую, что K>1, то из упомянутого результата [112] будет следовать, что h(L)
бесконечно. Ясно, что для доказательства тривиальности группы K достаточно
показать, что спектр любого собственного накрытия группы L строго содержит
спектр самой группы L (под накрытием группы L здесь подразумевается
конечная группа, гомоморфно отображающаяся на L), или, другими словами,
что L распознаваема по спектру среди накрытий. Как замечено Заварнициным,
нет нужды рассматривать все накрытия, а можно ограничится полупрямыми
произведениями вида K:L, где K - элементарная абелева группа. Известно, что
группы PSL(n,q), где n>4, распознаваемы среди накрытий и что группы
PSU(n,q), где n>4 и q- степень простого числа p, распознаваемы среди накрытий
вида K:L, где K - элементарная абелева p-группа [120]. Таким образом, особый
интерес представляет вопрос о распознаваемости групп PSU(n,q) среди
накрытий вида K:L, где K - элементарная абелева p'-группа.
В рамках выполнения проекта получены следующие результаты.
Предложение 1 (Гречкосеева, Лыткин). Пусть L=PSL(n,q), где n>3 и n - простое
число. Тогда L квазираспознаваема по спектру.
Из этого предложения и вышеупомянутого результата о накрытиях линейных
групп [120] следует
Теорема 1 (Гречкосеева, Заварницин, Лыткин). Пусть L=PSL(n,q), где n>3 и n простое число, и G - конечная группа, изоспектральная L. Тогда L≤G≤Aut(L). В
частности, L почти распознаваема по спектру.
Теорема 2. Пусть L - одна из простых групп PSU(n,q), где n>3. Предположим,
что L действует на элементарной абелевой r-группе, где r и q взаимно просты.
Тогда либо ω(L)≠ω(K:L), либо L=PSU(5,2) и r=3.
30
Теорема 3. Пусть L - одна из простых групп PSp(2n,q) и Ω(2n+1,q), где n>2,
PΩ(2n,q,+) и PΩ (2n,q,-), где n>3. Предположим, что L действует на
элементарной абелевой r-группе, где r и q взаимно просты. Тогда ω(L)≠ω(K:L).
1.3. ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ НЕЛИЕВЫХ ГРУППАХ
Для периодической группы G множество порядков ее элементов называется
спектром. Широко исследуются вопросы распознавания конечных групп по
спектру. С другой стороны естественным является стремление отказаться от
условия конечности. Так для периодических групп можно поставить вопрос о
том,
какие
спектры
способны
гарантировать
локальную
конечность
соответствующих групп? Вместе с ответом на этот вопрос хорошо иметь также
полное описание групп с заданным спектром.
Еще Бернсайд задавался вопросами о том, что делает группу конечной, и
предложил обратить внимание на период группы. Тем самым появилась
известная проблема Бернсайда. Из результатов П.С. Новикова, С.И.Адяна и И.Г.
Лысенка [121,122] следует, что для любого n>8000 существует не локально
конечная группа периода n. С другой стороны, существуют примеры спектров,
способных обеспечить локальную конечность соответствующей группы. Так,
группы периода 2, очевидно, являются локально конечными. Из результатов
Леви, ван дер Вардена и Санова [123-125] следует локальная конечность групп
периода 3 и 4. Д.В.Лыткина [126] позднее описала строение групп, порядок
каждого элемента которой не превосходит числа 4. М.Холл [81] доказал
локальную конечность групп периода 6, 2-длина и 3-длина таких групп равна 1,
и в частности, они разрешимы длины не больше 4.
Вопросы о локальной
конечности групп периодов 5 и 12 являются открытыми и вызывающими.
Резюмируя целый ряд работ, принадлежащих ряду авторов, среди которых
М.Ф.Ньюмен, В.Д.Мазуров, А.Х.Журтов, Н.Д.Гупта, Э.Джабара, [127, 128, 129,
130, 131] можно заключить, что если спектр группы является подмножеством
множества {1, 2, 3, 4, 5}, отличным от {1,5}, то соответствующая группа
31
локально конечна. В.Д.Мазуров и А.С.Мамонтов [132] доказали локальную
конечность группы со спектром {1, 2, 3, 5, 6} и описали ее строение.
Д.В.Лыткина и А.А.Кузнецов [133] доказали распознаваемость группы
L2(7) по спектру, тем самым дав исчерпывающий ответ на вопрос о локальной
конечности групп со спектром {1, 2, 3, 4, 7}. В.Д.Мазуров [134] доказал
локальную конечность группы со спектром {1,2,3,4,8} и описал ее строение.
Следующими
естественными
шагами
в
этом
направлении
является
исследование периодических групп со спектрами {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,8,16},
{1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12}. Конечные группы со спектром {1,2,3,4,5,6} описаны
В.Ши и Р.Брандлем [135]. Конечные группы со спектром {1,2,3,4,8,16} описаны
В.Д.Мазуровым
[134].
Исчерпывающего
описания
конечных
групп
со
спектрами {1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12} пока не известно. Естественной является
попытка использовать при исследовании конечных групп со спектрами
{1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12} результаты Холла и Хигмена [37]. Например, из
результатов Брюхановой [136] известно, что 2-длина группы периода 12 равна
2. На этом пути исследований возникнет ситуация когда 2,3-группа действует
на векторном пространстве над полем из трех элементов так, что любой элемент
порядка 3 действует квадратично. Данная ситуация отражена в понятии
квадратичной пары, которую ввел Д. Томпсон. Однако он описал квадратичные
пары только для простых чисел, начиная с 5. Квадратичные пары для простого
числа 3 начал исследовать Ч.И.Хо [137], им получен ряд результатов, где
описаны квадратичные пары для 3 в ряде частных случаев. Из результата
А.Чермака [138] 2002 года следует описание групп, порожденных классом
сопряженных элементов порядка 3, которые действуют точно и неприводимо на
векторном пространстве так, что любой элемент порядка 3 действуют
квадратично, и не имеющих компонент (условие, которое выполнено для групп
периода 12). В последующей работе 2004 [139] А.Чермак закончил описание
групп, порожденных элементами порядка 3, которые действуют точно и
неприводимо на векторном пространстве так, что любой элемент порядка 3 и в
случае, когда группы имеют компоненты, тем самым полностью разобрав
случай неприводимого действия.
32
В рамках данного проекта исследовались группы периода 12, порожденные
двумя элементами порядка 3, действующие на векторном пространстве из трех
элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Доказано,
что такие группы являются конечными и получено их описание. Кроме того,
получено
представление
таких
групп
в
виде
слов
и
определяющих
соотношений, которое удобно при исследовании абстрактных групп периода 12.
Стоит отметить, что возникающие группы порядка 3 не всегда порождаются
сопряженными элементами порядка 3, поэтому даже в конечном случае эти
результаты, в каком-то смысле продолжают работу Чермака. Кроме того,
конечно
же,
важным
фактом
является
доказательство
конечности
соответствующих групп. Аналогичная работа проделана для групп периода 12,
порожденных инволюцией и элементом порядка 3, которые действуют на
векторном пространстве из трех элементов так, что любой элемент порядка 3
действует
квадратично.
Представление
таких
групп
в
виде
слов
и
определяющих соотношений позволило в каком то смысле отказаться от
требования действия группы на векторном пространстве. А именно, была
доказана конечность, и получено описание для группы периода 12 без
элементов порядка 12, порожденной инволюцией и элементом порядка 3. Эти
результаты
позволили
дальше
исследовать
подгруппы,
порожденные
небольшим числом элементов малых порядков, в группах периода 12.
За отчетный период Р.К. Курмазовым следующая проблема внесённая в
2002 году Е.П.Вдовиным в «Коуровскую тетрадь» [92, проблема 15.40]:
Проблема 1. Пусть N --- нильпотентная подгруппа конечной простой группы G.
Верно ли, что существует подгруппа N1, сопряжённая с N, для которой
N∩N1={e}?
Данная проблема связана с проблемой 17.40, внесённой Е.П.Вдовиным в
«Коуровскую тетрадь» [92] в 2010 году.
Проблема 2. Пусть N - нильпотентная подгруппа конечной группы G. Всегда ли
существуют такие x,y∈ G, что N∩Nx∩Ny=„ F(G)?
В 1966 году Д.С. Пассман доказал (см. [140]), что в p-разрешимой группе G
всегда найдутся силовские p-подгруппы P1,P2,P3 такие, что P1∩P2∩P3=Op(G).
33
Позднее В.И. Зенков (см. [141]) используя классификацию конечных простых
групп показал, что в любой конечной группе G существуют силовские pподгруппы P1,P2,P3 такие, что P1∩P2∩P3=Op(G).
Введём следующие обозначения. Символами Symn и Altn будем
обозначить
симметрическую
и
знакопеременную
группу
степени
n
соответственно, а символом Sym(Ω) будем обозначать симметрическую группу
множества Ω.
Определение Пусть G - подгруппа группы Sym(Ω). Асимметрическим
разбиением A группы G называется разбиение множества Ω такое, что только
единица группы G стабилизирует A. Другими словами разбиение Ω=A1⊔…⊔Ak
называется асимметрическим, если из того что Ai⋅ g=Ai для любого i следует,
что g=e.
Курмазовым Р. К. доказаны следующие теоремы:
Теорема 1 Пусть N --- произвольная нильпотетная подгруппа группы
Symn и n≥5. Кроме того, в случае n=8 потребуем, чтобы N не являлась 2группой. Тогда существует элемент x∈ Symn такой, что N∩Nx={e}.
Теорема 2 Пусть N --- произвольная нильпотетная подгруппа группы
Altn и n≥5. Тогда существует элемент x∈ Altn такой, что N∩Nx={e}.
При
исследовании
проблемы
[92,
проблема
17.40]
возникает
необходимость рассматривать подстановочное сплетение G≀ N, где N нильпотентная подгруппа группы Symn. При этом важную роль играет
следующий результат, полученный Р. К. Курмазовым.
Теорема 3 Пусть N - нильпотентная подгруппа группы Symn. Тогда существует
асимметрическое разбиение A1⊔A2⊔A3=1,…,n.
С каждой конечной группой G можно связать граф, множество вершин
которого совпадает с множеством простых делителей порядка группы G, и две
различные вершины графа (т. е. два простых числа) p,q соединены ребром в том
и только в том случае, когда в группе есть элемент порядка pq . Этот граф
называется графом простых чисел или графом Грюнберга-Кегеля группы.
Особый интерес представляют группы, для которых этот граф несвязен.
Как показали Грюнберг и Кегель, группы с несвязным графом простых
34
чисел распадаются на три класса, два из которых – группы Фробениуса и так
называемые удвоенные группы Фробениуса играют исключительную роль в
проблеме распознавания конечных простых групп лиева типа по набору
порядков их элементов. За отчётный период В.Д. Мазуров в сотрудничестве с
М.Р. Зиновьевой получил исчерпывающие результаты о строении графов
простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса и описал все
простые группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых
чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса. А именно:
Получено полное описание удвоенных групп Фробениуса.
Доказано, что граф простых чисел любой удвоенной группы Фробениуса, а
также любой разрешимой группы Фробениуса состоит из двух компонент
связности, каждая из которых является полным графом.
Доказано, что граф простых чисел неразрешимой группы Фробениуса состоит
из двух компонент связности, одна из которых является полным графом, а
вторая содержит числа 2, 3 и 5 и получается из полного графа удалением ребра
(3,5).
Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел
тогда и только тогда являются компонентами связности графа простых чисел
удвоенной группы Фробениуса, когда одно из этих множеств содержит простое
число p, делящее q-1 для любого простого числа q из второго множества.
Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел
всегда составляют компоненты связности графа простых чисел для некоторой
разрешимой группы Фробениуса.
Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел
тогда и только тогда являются компонентами связности графа простых чисел
некоторой неразрешимой группы Фробениуса, когда одно из этих множеств
содержит числа 2, 3 и 5.
Получен исчерпывающий список конечных простых групп, графы простых
чисел которых совпадают с графами простых чисел подходящих групп
Фробениуса или удвоенных групп Фробениуса. В этом списке содержатся
несколько
бесконечных
серий
конечных
35
простых
групп
лиева
типа,
знакопеременные группы степеней 9 и 12, а также спорадические группы Матьё
и Янко.
Пусть G — конечная группа, π(G)— множество всех простых делителей ее
порядка и ω(G) — спектр группы G, т.е. множество порядков всех ее элементов.
Граф GK(G)=(V(GK(G)),E(GK(G))), где V(GK(G)) — множество вершин и
E(GK(G)) — множество ребер, называется
графом Грюнберга-Кегеля (или
графом простых чисел) группы G, если V(GK(G))= π(G) и ребро (r, s) лежит в
E(GK(G)) тогда и только тогда, когда rs
Є
ω(G) и r≠s. Простые числа r,s Є π(G)
называются смежными, если они смежны как вершины графа GK(G), т.е. (r, s)
Є
E(GK(G)). В противном случае, r и s называются несмежными.
Свойства графа простых чисел GK(G) дают богатую информацию о структуре
группы G (см. [115], [113], [47], [117]).
Через t(G) обозначено максимальное количество простых делителей порядка
группы G, попарно несмежных в GK(G). Другими словами, t(G) — это
максимальное число вершин в кокликах графа GK(G) (множество вершин в
графе называется кокликой (или независимым), если его элементы попарно
несмежны). В теории графов это число называется числом вершинной
независимости или неплотностью графа. По аналогии обозначим через t(r, G)
максимальное число вершин в кокликах графа GK(G), содержащих простое
число r. Назовем это число — r-неплотностью.
В [142], для каждой неабелевой простой группы G был дан арифметический
критерий смежности вершин в графе простых чисел GK(G). С помощью этого
критерия были найдены значения t(G), t(2, G), и в случае, когда G является
группой лиева типа над полем характеристики p, значение t(p, G). Обозначим
через ρ(G) и ρ(r, G) некоторую коклику максимального размера в GK(G) и
коклику максимального размера, содержащую r, в GK(G) соответственно.
Нетрудно убедиться, что в общем случае ρ(G) и ρ(r, G) определены
неединственным образом. В [142] были описаны все коклики ρ(2, G), а также
все коклики ρ(p, G) для групп лиева типа над полем характеристики p. Более
того, в этой же работе для каждой простой группы G была найдена по крайней
мере одна коклика ρ(G), что позволило вычислить t(G), но проблема
36
нахождения всех таких коклик не рассматривалась. В рамках настоящего
госконтракта опубликована статья, в которой решена задача: найти все коклики
максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы G. Для
достижения поставленной цели введены два множества Θ(G) и Θ'(G), состоящие
из подмножеств множества π(G). При этом любую коклику ρ(G) максимального
размера можно получить как θ(G)Uθ'(G), где θ(G) Є Θ(G) и θ'(G) Є Θ'(G).
Теорема. Пусть G - конечная неабелева простая группа. Тогда любая коклика
максимального размера графа GK(G) является объединением подмножеств θ(G)
Є
Θ(G) и θ'(G)
Є
Θ'(G).. Множества Θ(G), Θ'(G) и максимальный размер t(G)
коклик в GK(G) приведены в предложении 1 для знакопеременных групп, в
таблице 1 для спорадических групп, и в таблицах 2, 3, 4 для групп лиева типа.
Обозначим через τ(n) множество простых чисел r, для которых n/2≤r≤n, и через
sn— минимальный элемент из τ(n). Определим множество τ'(n) следующим
образом. Нечетное простое число r лежит в τ'(n) в том и только в том случае,
если r<n/2 и r+sn>n, а 2 лежит в τ'(n) в том и только в том случае, если 4+sn>n.
Предложение 1. Пусть G=Altn — знакопеременная группа степени n, и n≥5. Если
τ'(n)≤1, то θ(G)=τ(n)Uτ'(n) — единственная коклика максимального размера в
GK(G), и Θ'(G)=Ø. Если τ'(n≥2, то θ(G)= τ(n), Θ'(G)={r| r Є τ'(n)}, и любая коклика
максимального размера в GK(G) имеет вид τ(n)U{r}, где r
Є
τ'(n). В любом
случае, множество Θ(G)= θ(G) одноэлементно, а все элементы θ'(G) множества
Θ'(G) являются одноэлементными подмножествами в π(G).
1.4. ИССЛЕДОВАНИЯ КВАНТОВАНИЙ АЛГЕБР
Новый математический объект под названием «квантовая группа»,
появившийся в начале 80-х годов в работах П. П. Кулиша, Н. Ю. Решетихина, Е.
К. Склянина, и Л. Д. Фаддеева, Л. А. Тахтаджяна, посвященных квантовому
методу обратной задачи (КМОЗ), - откуда и происходит его название уже
завоевал широкую популярность среди специалистов в разных областях физики
и математики. Область применений квантовых групп довольно широка. Она
простирается от конкретных вычислительных приложений в некоторых моделях
37
статфизики и квантовой механики до крайне абстрактных, претендуя на некую
общую идеологию, связующую теорию алгебраических групп, комбинаторику и
геометрию над полями простой характеристики. Между этими крайностями
находятся по краинеи мере две точки зрения на предмет, позволяющих ближе
познакомиться с ним.
Первая состоит в том, что квантовая группа является результатом
квантования группы Ли, так превращенной в пуассоново многообразие, что
скобка Пуассона согласована с групповым умножением. Задача квантования
такого объекта естественно вытекает из анализа математической стороны КМОЗ
и детально рассмотрена В. Г. Дринфельдом в основополагающем цикле работ
(см., к примеру, [1]). Еще одним результатом этого подхода является получение
обширного запаса так называемыхквантовых R-матриц, т. е. матриц размером n²
х n², удовлетворяющих квантовому уравнению Янга-Бакстера
R¹²R²³R¹² = R²³R¹²R²³,
где R¹² = R 1 и R²³ = 1R. Физический смысл таких матриц состоит в том, что
они задают коммутационные соотношения между элементами квантовой
трансфер-матрицы Т квантовой статистической модели:
RTT=TTR.
Вторая точка зрения основывается на эвристическомпринципе, согласно
которому
каждый
математический
объект
должен
иметь
своего
«некоммутативного»двойника (искушенныйчитатель конечно же заметит здесь
аналогию с движением «суперизации» математики); в частности, таковыми
должны обладать алгебраическиегруппы или группы Ли. Результаты обоих
подходов удобно формулировать в терминах алгебр Хопфа - объекта,
придуманного в начале 50-х годов топологами.
По определению наряду с умножением m: Н Н  Н в алгебре Хопфа Н
задано коумножение Н  Н  Н, надлежащим образом согласованное с m.
Было хорошо известно, что наряду с содержательными (топологическими)
примерами алгебр Хопфа имеются еще и «бессодержательные», а именно, с
каждой аффинной алгебраической группой или группой Ли G естественно
ассоциируются две алгебры Хопфа: алгебра О( С) регулярных функций на G и
38
универсальная обертывающая алгебра Ug алгебры Ли этой группы. В первом
случае коумножениеполучается из обращения стрелок в отображении
группового умножения G х G G, а во втором для каждого х из Ug полагают
х х х 
и продолжают на всю алгебру U(g) по мультипликативности. С точки зрения
алгебраической геометрии многообразие G и алгебра функций на нем
взаимозаменяемы, а поскольку привычнее иметь дело с многообразием, то
рассмотрение О(С) не принесет ничего нового. Однако взаимозаменяемость G и
О( С), а равно и произвольного многообразия и алгебры функций на нем
остается в силе лишь до тех пор, пока эта алгебра является коммутативной.
Некоммутативной
алгебре
отвечает
«некоммутативное
многообразие»,
удовлетворительно описать которое с топологическои точки зрения пока не
представляется возможным. Теория квантовых групп как раз и дает примеры
некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа, являющихся в
известном смысле
деформациями коммутативных алгебр функций на группах и, соответственно,
кокоммутативных универсальных обертывающих алгебр Ли этих групп. Грубо
говоря, квантовая группа - это некоторая алгебра Хопфа.
Уравнения
Янга-Бакстера
являются
объединяющим
началом
при
изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода
обратной задачи, при нахождении решений некоторых моделей статистической
механики и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн .
В работе Белавина
и Дринфельда [2] исследовались функциональные
решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над
полем комплексных чисел. Каждое такое решение индуцирует на алгебре Ли
структуру биалгебры Ли. В работе Столина [3], используя идеи работы
Белавина и Дринфельда [2], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на
простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.
Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера
находятся в соответствии, с так называемыми, симплектическими алгебрами Ли,
то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая
39
билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. Баджо,
Бенаяди и Медина изучали алгебры Ли, допускающие одновременно структуру
квадратичной (то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической
ассоциативной билинейной формой) и симплектической алгебры Ли.
Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры.
Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на
которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с
коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в
алгебрах Хопфа коумножение - это гомоморфизм соответствующих алгебр.
Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были
введены Дринфельдом [1] для изучения решений классического уравнения
Янга-Бакстера. Биалгебры Ли – это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли,
коумножение которых является 1-коциклом. Коалгебры Ли были введены
Михаэлисом в [4].
В работах Желябина [5,6] дано определение биалгебры по Дринфельду
(Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. Алгебры
Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных
аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория
достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева
является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры КэлиДиксона относительно операции коммутирования в качестве умножения.
В.В. Вершининым [13] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева.
В частности, были получены условия на коумножение, при которых данная
биалгебра является биалгеброй Мальцева. М.Е. Гончаровым были описаны
структуры биалгебр Мальцева на простой нелиевой алгебре Мальцева M(7).
В 2004 И.П. Шестаков и J.M. Perez-Izquierdo доказали, что любая алгебра
Мальцева
является
подалгеброй
коммутаторной
алгебры
обобщенного
альтернативного центра некоторой неассоциативной алгебры. Среди этих
неассоциативных обертывающих алгебр Мальцева, как и в случае алгебр Ли,
существует универсальная обертывающая алгебра. Во многом свойства этих
универсальных алгебр близки к свойствам универсальных обертывающих
40
алгебр Ли. В частности, универсальные обертывающие алгебр Мальцева
являются коассоциативными кокоммутативными H-биалгебрами.
Между тем до сих пор не известны примеры некокоммутативных Hбиалгебр. В случае алгебр Хопфа, важные примеры некокоммутативных алгебр
Хопфа возникают при квантовании структур биалгебр Ли. Такие квантовые
универсальные обертывающие играют большую роль в таких разделах
математики и физики как квантовый метод обратной задачи, теория
алгебраических групп, комбинаторика, геометрия над полями конечной
характеристики и др.
Пусть (A, S) – алгебра Хопфа над полем F, где u – единица,  умножение,  - коединица,  - коумножение и S – антипод. Через F[[h]]
обозначим кольцо формальных степенных рядов от переменной h над полем F.
Определение. Деформацией алгебры Хопфа  над полем F
является топологическая алгебра Хопфа  над кольцом
F[[h]] формальных степенных рядов от переменной h над F такое, что
Ah изоморфна A[[h]] как F[[h]] модуль.


Выражение A[[h]] обозначает алгебру формальных степенных рядов с
коэффициентами из A:

Поскольку h и h являются гомоморфизмами F[[h]] – модулей, то они
полностью
определяются своими действиями на элементах, для которых a1=a2=…=0.
Условия (ii) и (iii) означают, что


для некоторых F[[h]] линейных отображений  и .
Пусть g – алгебра Ли над полем F, U(g) – универсальная обертывающая
алгебра алгебры g. Известно, что алгебра U(g) обладает структурой
41
коассоциативной кокоммутативной алгебры Хопфа (U( для
которой элементы алгебры g являются примитивными.
Определение. Деформация алгебр Хопфа универсальной обертывающей
алгебры U(g) алгебры Ли g называется квантовой универсальной обертывающей
алгеброй.
Нас будут интересовать некокоммутативные деформации.
Определение. Ассоциативная коммутативная алгебра A, на которой задана
антисимметричная билинейная форма {,} называется алгеброй Пуассона-Ли,
если выполняются следующие условия:
1. {a,{b,c}}+{b,{c,a}}+{c,{a,b}}=0 – тождество Якоби.
2. {ab,c}=a{b,c}+{a,c}b – тождество Лейбница.
В этом случае форма {,} называется скобкой Пуассона.
Определение. Алгебра Пуассона-Ли (A, {,}), являющаяся одновременно
алгеброй Хопфа  называется алгеброй Пуассона-Хопфа, если
структуры алгебры Пуассона-Ли и алгебры Хопфа согласованны с помощью
тождества:

Понятие ко-алгебры Пуассона-Ли дуально понятию алгебры Пуассона-Ли.
Определение. Коассоциативная кокоммутативная коалгебра, на которой задано
-алгеброй ПуассонаЛи, если дуальная алгебра вместе с дуальной антисимметричной билинейной
формой является алгеброй Пуассонаназывается коскобкой Пуассона-Ли.
Определение. Ко-алгебра Пуассона-Ли, являющаяся одновременно алгеброй
Хопфа
(
называется
ко-алгеброй
Пуассона-Хопфа,
если
структуры ко-алгебры Пуассона-Ли и алгебры Хопфа согласованны с помощью
тождества:

Определение. Пусть g – алгебра Ли. Пара  называется биалгеброй Ли тогда
и только тогда, когда (–
42
коциклом(см. [1]), т.е. удовлетворяют равенству

где

Для алгебр Ли известно, что если универсальная обертывающая алгебра U(g)
обладает структурой ко-алгебры Пуассона-Ли, то (g) gg и (g,) –
биалгебра Ли. Верно и обратно – если (g,) –
естественно продолжается до коскобки Пуассона-Ли на универсальную
обертывающую алгебру U(g).
Определение. Пусть A – кокоммутативная ко-алгебра Пуассона-Хопфа с
коскобкой Пуассона . Квантизация A – это Хопфова дифформация Ah алгебры
Хопфа A такая, что
(x) (h(a)- h(a))/h (mod h),
где xA и a – произвольный элемент из A такой, что a  x (mod h),
h(a)=((a)) (где (ab)=ba – морфизм перестановки).
Определение. Квантование биалгебры Ли (g,) – это квантование U h(g)
универсальной обертывающей алгебры U(g) вместе с коскобкой Пуассона-Ли,
индуцированной коумножением . В этом случае биалгебра (g,) называется
квазиклассическим примером квантовой универсальной обертывающей алгебры
Uh(g).
Возникает
естественный
вопрос
о
существовании
квантизаций
для
произвольных биалгебр Ли. Положительный ответ на этот вопрост получил
Решетихин, который доказал, что любая конечномерная биалгебра Ли допускает
квантизацию.
Определение. Антикоммутативная алгебра M с умножением [,] называется
алгеброй Мальцева, если для любых x,y,zM выполнено
J(x,y,[x,z])=[J(x,y,z),x],
где J(x,y,z)=[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y] – якобиан элементов x,y,z.
По аналогии с определениями алгебр и ко-алгебр Пуассона-Ли можно ввести
определение ко-алгебр Пуассона-Мальцева. Отличие будет заключатся в том,
что вместо тождества Якоби (ко-тождества Якоби) скобка Пуассона-Мальцева
43
(коскобка Пуассона-Мальцева) удовлетворяет тождеству алгебры Мальцева
(тождеству коалгебры Мальцева).
За отчетный период была проведена попытка перенести имеющуюся технику,
используемую для получения квантовых универсальных обертывающих для
биалгебр Ли для квантования биалгебр Мальцева (M(7), ), где M(7) –
единственная простая нелиева алгебра Мальцева. В этом случае, как показано в
[143],
коумножение
задается
решением
rM(7)M(7)
классического
уравнения Янга-Бакстера на M(7):
где r
Классическое уравнение Янга-Бакстера на M(7) – это следующее уравнение на
элемент r:
[
В работе [143] так же были описаны все такие решения.
Пусть теперь (M(7),) – биалгебра Мальцева. Определим на универсальной
обертывающей алгебре U(M(7)) коскобку r по правилу
r(a) = [(a),r], где - коассоциативное умножение на U(M(7)).
Нами доказано, что коскобка r является кососимметричным отображением,
удовлетворяющее ко-тождеству Лейбница. Однако вместе с этим оказалось, что
в отличии от случая алгебр Ли, где такая же коскобка задавала структуру коалгебры Пуассона-Ли, в случае алгебр Мальцева данная коскобка не
удовлетворяет ко-тождеству Мальцева. Более того было показано, что
биалгебра Мальцева не может быть квазиклассическим пределом квантовой
универсальной обертывающей Uh(M(7)).
1.5. АДАПТАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ОБЛАСТИ
СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ К ИСПОЛЬЗОВАНИЯМ В
ДАЛЬНЕЙШИХ РАЗРАБОТКАХ
Полученные результаты исполнителей НИР нашли дальнейшее применение
к решению известной задачи теории групп:
Проблема 5. Описать холловы подгруппы в конечных простых группах.
44
Эта проблема приковывала внимание многих математиков на протяжении
длительного периода времени [46,62-64,67-71,74,79,66,81,85,94]. Ее значимость
объясняется
тем,
что
холловы
подгруппы
в
определенном
смысле
«наследуются» нормальными подгруппами и факторгруппами (см. выше). В
частности, необходимым условием существования холловой п-подгруппы
является существование таких подгрупп у всех композиционных факторов
группы. Важность
проблемы описания холловых подгрупп в простых и
близких к ним группах была понятна еще Ф.Холлу. В его работе 1956 года [81]
и последующей работе Дж.Томпсона 1966 года [85] (которая была специально
посвящена этому вопросу) описаны холловы подгруппы симметрических групп.
Для групп лиева типа проблема 4 сформулирована в известном обзоре
А.С.Кондратьева [94]). Л.С.Казарин [46] описал холловы r'-подгруппы в
простых группах для всех простых чисел r. Ф.Гросс, доказывая в работах
[69,70] с помощью классификации конечных простых групп сопряженность
холловых п-подгрупп в случае, когда 2 не лежит в п (ослабленная гипотеза
Ф.Холла), описал для этого случая холловы п-подгруппы спорадических групп,
классических групп, а также исключительных групп лиева типа над полем
характеристики p, принадлежащей п. Ревиным случай, когда p принадлежит п,
для групп лиева [95] и случай спорадических групп [93] были исследованы
полностью. Таким образом, незавершенным осталось описание холловых пподгрупп в группах лиева типа в характеристике p, не лежащей в п (за
исключением классических групп при условии, что п не содержит 2) и, как ни
странно, в знакопеременных группах. Случай, когда 2 содержится в п, а 3 и p
нет, разобран в [74] для линейных и симплектических групп и в [96] для всех
оставшихся групп лиева типа. Более того, в той же работе [96] авторами
утверждалось, что последний оставшийся случай, когда 2,3 лежат в п, а
характеристика p не лежит в п, также полностью разобран и, тем самым,
классификация п-холловых подгрупп во всех конечных простых группах
завершена. Но, к сожалению, этот результат базировался на неверной лемме
3.14 из [96]. Вследствие этой ошибки в списке п-холловых подгрупп в группах
лиева типа были пропущены несколько серий в группах сравнительно
45
небольших рангов. Эти ошибки исправлены в работе [97]. Важно отметить,
что если G - Eп-группа лиева типа и H- п-холлова подгруппа, принадлежащая
одному из пропущенных классов, то, как показано в [97], с необходимостью G
не оладает свойством Dп. Это означает, что все результаты [96,98-101],
касающиеся свойства Dп верны. Подытоживая результаты упомянутых работ,
можно сформулировать следующее условное утверждение.Классификация
холловых подгрупп в известных конечных простых группах завершена.
Используя этот результат, Е.П.Вдовину и Д.О.Ревину удалось полностью
решить все упомянутые выше проблемы, а также получить в терминах
композиционного строения группы критерии, когда конечная группа обладает
свойствами Eп, Cп и Dп [99-105,97]. Хотя разработанная Dп-теория носит вполне
завершенный характер, было бы абсолютно неверно говорить о закрытии
исследований в данном направлении. Скорее наоборот, эта теория дает в руки
исследователя новый инструмент, с помощью которого можно получать
мощные обобщения известных классических теорем. Например, в качестве
приложения этой теории, показано, что если для п-подгрупп конечной группы
выполнен полный аналог теоремы Силова, то для нее справедлив и п-аналог
другой классической теоремы — теоремы Бэра-Судзуки. Сама теорема БэраСудзуки представляет собой, таким образом, частный случай этого результата.
Вообще,
Dп-теория
открывает
широкие
исследований.
46
горизонты
для
дальнейших
2 ПОКАЗАТЕЛИ
За время выполнения НИР в 2011 году поступили в магистратуру ММФ 3
студента – исполнителя НИР.
Количество подготовленных и опубликованных научных трудов за 2011 г.:
Опубликовано 15 научных статей (см. Приложение А),
Сдано в печать 14 научных статей (см. Приложение А).
Количество сделанных научных докладов за 2011 г.:
Сделано 6 докладов на отечественных и 30 докладов на международных
научных форумах и конференциях (см. Приложение Б).
47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исполнения 3 этапа «Проведение исследований» получены
следующие результаты:
Описаны
простые
ассоциативные
Z-конформных
алгебры,
построены
свободные ассоциативных Z-конформных алгебры;
Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры РотаБакстера произвольного веса λ для любой дендриформных диалгебры и
триалгебры;
Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с
графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса;
Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно
однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера;
Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах;
Описаны
δ-дифференцирования
простых
алгебр
Филиппова
и
алгебр
Филиппова малых размерностей;
Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр;
Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп БаумслагаСолитера.
Выполненные
на
3
этапе
работы
соответствуют
требованиям
технического задания, календарного плана и нормативной документации.
Приведены списки опубликованных работ, выступлений на научных
форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного
проекта.
Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители
представляют передовой фронт науки в указанных областях.
По
результатам
НИР
напрашивается
продолжения работ.
48
вывод
о
целесообразности
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Дринфельд В.Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли
и геометрический смысл классических уравнений Янга-Бакстера, ДАН СССР,
268, N 2, 1983, 285--287.
2 Белавин А.А., Дринфельд В.Г., О решениях классического уравнения
Янга–Бакстера для простых алгебр Ли // Функц. анализ и его прил., 16, 3
(1982), 1–29.
3 Some remarks on Lie bialgebra structures on simple complex Lie algebras //
Comm. in Algebra, 27, 9 (1999) 4289-4302.
4 Michaelis W., Lie coalgebras // Adv. Math., 38 (1980), 1–54.
5 Желябин В. Н., Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли //
Алгебра и логика 1, 36 (1997), 3-25.
6 Желябин В. Н., Йордановы биалгебры симметрических элементов и
биалгебры Ли // Сибирский математический журнал, 39, 2 (1998), 299-308.
7 Joni, S.A. and Rota G.C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics // Studies
in Applied Mathematics, 61 (1979), 93-139.
8 Aguiar M., On the associative analog of Lie bialgebras // Journal of algebra,
244 (2001), 492--532.
9 Polishchuk A., Clasic Yang-Baxter Equation and the A-constraint // Advances
in Mathematics, 168, 1 (2002), 56-96.
10 Желябин В.Н., Об одном классе йордановых Д-биалгебр // Алгебра и
анализ 11, 4 (1999), 64-94.
11
Гончаров
альтернативных
М.Е.,
алгебрах.
Классическое
Структура
уравнение
Янга-Бакстера
на
Д-биалгебры
на
альтернативной
матричной алгебре Кэли – Диксона // Сиб. мат. журн., 48, 5 (2007) 1009-1025.
12 Гончаров М.Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и
йордановых биалгебр // Сиб. мат. журн., 51, 2 (2010), 268-284.
13 V.V. Vershinin, On Poisson-Malcev Structures // Acta Applicandae
Mathematicae, 75(2003) 281-292
14 Sweedler M. E. Hopf algebras, New York: W.A. Benjamin Inc., 1969.
49
15 Michaelis W. The dual Lie bialgebra of a Lie bialgebra, AMS/IP Stud. Adv.
Math., Editor S.-T. Yau., 4 (1997), 81-94.
16 Желябин В.Н. Дуальные коалгебры йордановых биалгебр и супералгебр,
Сибирский математический журнал, 46, 6 (2005) 1302-1315.
17 Anquela J.A., Cortes T., Montaner F., Nonassociative Coalgebras,
Communications in Algebra, 22:12 (1994) 4693—4716.
18 Kac V.G. Vertex algebras for beginners. Providence, RI: Amer. Math. Soc.,
1998.
19 Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformal
symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. 1984. V. 241. P.
333−380.
20 Borcherds R.E. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster /
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1986. V. 83. P. 3068−3071.
21 Dong C., Lepowski J. Generalized vertex algebras and relative vertex
operators. Boston: Birkhauser, 1993. (Progress in Math., V. 112).
22 Frenkel I. B., Lepowsky J., Meurman A. Vertex operator algebras and the
Monster. New York: Academic Press, 1998. (Pure and Applied Math., vol. 134).
23 M.I.Golenishcheva-Kutuzova, V.G.Kac, Г-conformal algebras, J. Math. Phys.
39 (1998) no.4, 2290−2305.
24
Колесников
эндоморфизмов
над
П.С.
О
неприводимых
алгебрах
конформных
линейной
алгебраической
группой//
Современная
математика и ее приложения. 2008. Т. 60. С. 42−56.
25 B.Bakalov, A.D'Andrea, V.G.Kac, Theory of finite pseudoalgebras, Adv.
Math. 162 (2001) no.1, 1−140.
26 Sylow M. L.Th'eor`emes sur les groupes de substitutions,Math. Ann., 5
(1872), N4, 584--594.
27 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 4-е изд. М.
Наука. Физматлит. 1996.
28 Чунихин С. А.Подгруппы конечных групп. Минск. Наука и техника.
1964.
29
Hartley
B.Helmut
Wielandt
50
on
the
pi-structure
of
finite
groups,Mathematische Werke = Mathematical Works /Helmut Wielandt, ed. by
B.~Huppert and H.~Sneider,vol. 1, Walter de Gruyter, Berlin, 1994, 511--516.
30 Burnside W.Theory of groups of finite order,2nd ed.,Camb. 1911.
31 Чунихин С. А.О разрешимых группах,Изв. НИИММ Том. Унив., 2
(1938), 220—223.
32 Hall P.A note on soluble groups,J. London Math. Soc., 3 (1928), 98--105.
33 Green J. A., Rosenblade J. E., Thompson J. G.Philip Hall, Bull. London
Math. Soc., 16 (1984), N6,603—626.
34 MacTutor History of Mathematics. Philip Hall.
(texttthttp://www-
history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hall.linebreak html)
35 Шеметков
Л. А.Два направления в развитии теории непростых
конечных групп,Успехи матем. н., 30 (1975), N2(182), 179–-198
36 Шеметков Л. А.Обобщения теоремы Силова,Cиб. матем. ж., 44 (2003),
N6, 1425–-1431.
37 Hall P., Higman G.On the p-lenght of p-soluble groups and reduction theorem
for Burnside's problem,Proc. London Math. Soc., Ser. III, 6 (1956), N21, 286--304.
38 Кострикин А. И. О проблеме Бернсайда, Изв.АН СССР, сер. матем., 23
(1959), N1, 3--34.
39 Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп
нечетного показателя, Изв. АН СССР, сер. матем., 54 (1990), N1, 42--59.
40 Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп,
Матем. сб., 182 (1991), N4, 568--592.
41 Гольберг П. А. Cиловские базы pi-отделимых групп, ДАН СССР,
64
(1949), N6, 615--618.
42 Каргаполов М. И. О факторизации pi-отделимых групп, ДАН СССР, 114
(1957), N6, 1155--1157.
43 Ведерников В. А. Подпрямые произведения групп с холловыми piподгруппами, Матем. заметки, 59 (1996), N2, 311--313.
44
Виланд
Г.
Пути
развития
структурной
теории
конечных
групп,Междунар. матем конгресс в Эдинбурге, 1958 г. Обзорные доклады. М.,
Физматгиз. 1962. 263--276.
51
45 Казарин Л. С. Теоремы силовского типа для конечных групп, в сб.
Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик, Кабардино-балкарск.
унив., 1981, 42--52.
46 Казарин Л. С. О произведении конечных групп, ДАН СССР, 269 (1983),
N3, 528--531.
47 Мазуров В. Д. Об одном вопросе Л. А. Шеметкова, Алгебра и логика,
31 (1992), N6, 624--636.
48 Русаков С. А.Аналоги теоремы Силова вложении подгрупп, ДАН СССР,
5 (1961), 139--141.
49 Русаков С.А.Аналоги теоремы Силова о существовании и вложении
подгрупп, Сиб. матем. ж., 4 (1963), N5, 325--342.
50 Русаков С. А. C-теоремы для n-групп,Вест. АН БССР, 1972, N3, 5--9.
51
Тютянов
В.
Н.D_pi-теорема
для
конечных
групп,
имеющих
композиционные факторы такие, что 2-длина любой разрешимой подгруппы не
превосходит единицы, Вести Нац. акад. наук Беларуси, сер физ.-мат. наук, 2000
N1, 12--14.
52
Тютянов В. Н.О теоремах силовского типа для конечных групп,Укр.
матем. ж., 52 (2000), N10, 1426--1430.
53 Тютянов В. Н.О гипотезе Холла, Укр. матем. ж., 54 (2002), N7, 1181-1191.
54 Чунихин С. А., Шеметков Л. А. Конечные группы, в сб.
Алгебра.
Топология. Геометрия, 1969 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР), М., 1971.
55 Шеметков Л. А.К теореме Холла,ДАН СССР, 147 (1962), N2, 321--322.
56 Шеметков Л. А.Новая D-теорема в теории конечных групп,ДАН СССР,
160 (1965), N2, 290--293.
57 Шеметков Л. А.Силовские свойства конечных групп,Матем. сб.,
76
(1968), N2, 271—287.
58 Шеметков Л. А.О силовских свойствах конечных групп,ДАН БССР, 16
(1972), N10, 881--883.
59 Шеметков Л. А.D-строение конечных групп,Матем. сб., 67 (1965), N3,
384--497.
52
60 Шеметков Л. А.О сопряженности и вложении подгрупп, в сб.последнем
пятом Конечные группы, Минск, 1966, 881--883.
61 Шеметков Л. А.Формации конечных групп.М., Наука, 1978.
62 Arad Z., Ward M. B.New criteria for the solvability of finite groups,J.
Algebra, 77 (1982), N1, 234--246.
63 Arad Z., Chilag D.A criterion for the existence of normal pi-complements in
finite groups, J. Algebra, 87 (1984), N2, 472--482.
64 Arad Z., Fisman E.On finite factorizable groups,J. Algebra, 86 (1984), N2,
522--548.
65 Baer R.Verstreute Untergruppen endlicher Gruppen,Arch. Math. 9 (1958),
N1--2, 7–17
66 Spitznagel E. L.Hall subgroups of certain families of finite groups,Math. Z.,
97 (1967), N4, 259--290.
67 Gross F.Odd order Hall subgrous of GL(n,q) and Sp(2n,q),Math. Z.,
187
(1984), N2, 185--194.
68 Gross F.On the existence of Hall Subgroups,J. Algebra, 98 (1986), N1, 1--13.
69 Gross F.On a conjecture of Philip Hall, Proc.London Math. Soc., Ser.~III, 52
(1986), N3, 464--494.
70 Gross F.Odd order Hallsubgroups of the classical linear groups, Math. Z., 220
(1995),N3, 317--336.
71 Gross F.Conjugacy of odd order Hallsubgroups, Bull. London Math. Soc., 19
(1987), N4,311—319.
72 Wielandt H.Der Normalisator einer subnormalen Untergruppe,Acta Sci. Math.
Szeged, 21 (1960) 324--336.
73 Wielandt H.Sylowt"urme in subnormalen Untergruppen,Math. Z., 73 (1960),
N4. 386--392.
74 Gross F.Hall subgroups of order not divisible by 3,Rocky Mt. J. Math., 23
(1993), N2, 569--591.
75 Guo W., Li B. On the Shemetkov problem for Fitting classes, Beitr"age
Algebra Geom. 48 (2007), N1, 281--289.
76 Guo, W. Formations determined by Hall subgroups,J. Appl. Algebra Discrete
53
Struct. 4 (2006), N3, 139--147.
77 Guo, W. Some problems and results for the research on Sylow objects of
finite groups. (Chinese)J. Xuzhou Norm. Univ. Nat. Sci. Ed. 23 (2005), N3, 1--6,
40.
78 Guo, W. Some problems in group theory, Международная конференция
<<Алгебра и ее приложения>>, посв. 75-летию В.П.Шункова, Красноярск, 12-18 августа 2007 г., тезисы докладов, 162--163.
79 Ferguson P. A., Kelley P.Hall pi-subgroups which are direct product of
nonabelian simple groups, J. Algebra 120 N1 (1989), 40--46.
80 Hartley B.A theorem of Sylow type for a finite groups,Math. Z., 122 (1971),
N4, 223--226.
81 Hall P.Theorems like Sylow`s,Proc. London Math. Soc., Ser. III, 6 (1956),
N22, 286—304.
82 Ito N.On pi-structures of finite groups,Tohoku Math. Journ., 4 (1952) N1,
172--177.
83 Suzuki M.Group theory II, NY, Berlin, Heidelberg, Tokyo, Springer-Verl.
1986.
84 Tibiletti M. C.Sui prodotti ordinati di gruppi finiti,Boll. Un. Mat. Ital. (3), 13
(1958), 46–-57.
85 Thompson J. G.Hall subgroups of the symmetric groups,J. Comb. Th., 1
(1966) N2, 271--279.
86 Wielandt H.Zum Satz von Sylow,Math. Z., 60 (1954), N4. 407--408.
87 Wielandt H.Sylowgruppen und Kompositoin-Struktur,Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 22 (1958), 215--228.
88 Wielandt H.Zum Satz von Sylow. II,Math. Z., 71 (1959), N4. 461--462.
89 Zappa G.Sopra un’estensione di Wielandt del teorema di Sylow,Boll. Un.
Mat. Ital. (3) 9, (1954), N4, 349–-353.
90 Мазуров В. Д., Ревин Д. О.О холловом D_pi-свойстве для конечных
групп,Сибирский матем. ж., 38 (1997), N1, 106—113.
91 Кострикин А. И. Конечные группы, в сб.
Алгебра. Топология.
Геометрия, 1964 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР) М., 1966.
54
92 Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп.15-е изд.
Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН. 2002.
93 Ревин Д. О.Свойство D_pi в одном классе конечных групп,Алгебра и
логика, 41 (2002) N3, 335--370.
94 Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи матем.
н., 41, N1 (1986), 57--96.
95
Ревин
Д.
О.Холловы
pi-подгруппы
конечных
групп
Шевалле,характеристика которых принадлежит pi,Матем. труды, 2 (1999), N1,
157--205.
96 Revin D. O., Vdovin E. P.Hall subgroups of finite groups,Contemporary
Mathematics, 402 (2006), 229--265.
97 D.O.Revin and E.P.Vdovin,On the number of classes of conjugate Hall
subgroups in finite simple groups, J.Algebra 324 (2010), N12, 3614--3652.
98 Вдовин Е. П., Ревин Д. О.Холловы подгруппы нечетного порядка
конечных групп, Алгебра и логика, 41 (2002) N1, 15--56.
99 Ревин Д. О.Свойство D_pi в линейных и унитарных группах,Сиб. матем.
ж., 49 (2008), N2, 437--448.
100 Ревин Д. О.Характеризация конечных D_pi-групп,ДАН, 417 (2007), N5,
601--604.
101 Revin D. О.The D_pi-property in finite simple groups,Algebra and Logic,
47 (2008), N3, 210--227.
102 Ревин
Д. О.Свойство D_pi конечных групп в случае, когда
2notinpi,Труды ИММ УрО РАН, 13 (2006) N1, 166--182.
103 Е.П.Вдовин, Д.О.Ревин, Критерий сопряженности холловых подгрупп
в конечных группах, Сибирский математический журнал, 51 (2010), N3, 506—
516.
104
Д.О.Ревин,Вокруг
гипотезы
Ф.Холла,
Сибирские
электронные
математические известия, 6 (2009), 366—380.
105 D.O.Revin and E.P.Vdovin,Existence criterion for Hall subgroups of finite
groups, J. Group Theory 14 (2011), N1, 93—101.
55
106 В. Д. Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков
их элементов // Алгебра и логика 1998, Т. 37, № 6, С. 651-666
107 M. Hagie, The prime graph of a sporadic simple group // Commun. Algebra,
31, N9 (2003), 4405-4424
108 А. В. Заварницин, О распознавании конечных групп по графу простых
чисел // Алгебра и логика 2006, Т. 45, № 4, 390-408
109 A. V. Zavarnitsine, Exceptional action of the simple groups L4(q) in the
defining characteristic// Siberian Electronic Math. Reports, 2008. V. 5, 68-74
110 A. V. Zavarnitsine, Uniqueness of the prime graph of L16(2) //
Siberian Electronic Math. Reports. 2010, V. 7, 119-122.
111 L. Babai and R. Beals. A polynomial-time theory of black-box groups I // In
Groups St Andrews 1997 in Bath, I (eds. C. M. Campbell, E. F. Robertson, N.
Ruskuc, and G. C. Smith), LMS Lecture Note Series 260 (Cambridge U. Press 1999).
P. 30–64.
112 W. Shi. The characterization of the sporadic simple groups by their element
orders // Algebra Colloq. 1994. V. 1, no. 2. P. 159-166.
113 А.С. Кондратьев. Распознаваемость E_8(q) по спектру // Труды Инст.
мат. мех. 2010. Т. 16, № 3. С. 146–149
114 А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева. Распознавание по спектру конечных
простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2 //
Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 5. С. 558–570.
115 J.S. Williams. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981.
V. 69. P. 487-513.
116 М.Р. Алеева. О конечных простых группах с множеством порядков
элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Матем.
заметки. 2003. Т. 73. С. 323–339.
117 А.В. Васильев. О связи между строением группы и свойствами ее
графа простых чисел // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46, № 3. С. 411-422.
118 А.В. Васильев, Е.П. Вдовин. Критерий смежности в графе простых
чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682–
725.
56
119 А.С. Кондратьев. О распознаваемости по спектру конечных простых
ортогональных групп, II // Владикавказский матем. ж. 2009. Т. 11, № 4. С. 32-43.
120 А.В. Заварницин. Свойства порядков элементов в накрытиях групп
L_n(q) и U_n(q) //Сиб. матем. ж. 2008. Т. 49, № 2. С. 308-321.
121 С.И.Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Москва, Наука,
1975
122 И. Г. Лысëнок, Бесконечные бернсайдовы группы четного периода,
Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3–224
123 F. Levi, B. L. van der Waerden, Über eine besondere Klasse von Gruppen,
Abh. Math. Semin. Hamb. Univ., 9:2 (1932), 154–158
124 F. W. Levi, Groups in which the commutator operation satisfies certain
algebraic conditions, J. Indian Math. Soc. New Ser., 6 (1942), 87–97
125 И. Н. Санов, Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Учен. зап.
Ленингр. гос. ун-та. Сер. матем., 10 (1940), 166–170
126 Д. В. Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не
превосходят числа 4, Сиб. матем. ж., 48:2 (2007), 353–358
127 M. F. Newman, Groups of exponent dividing seventy, Math. Sci., 4 (1979),
149—157
128 A. X. Журтов, В. Д. Мазуров, Распознавание простых групп £2(2m) в
классе всех групп, Сиб. матем. ж., 40, N 1 (1999), 75—78
129 N.D.Gupta, V.D.Mazurovy On groups with small orders of elements, Bull,
Aust. Math. Зое, 60, N 5 (1999), 197-205
130 В. Д. Мазуров, О группах периода 60 с заданными порядками
элементов, Алгебра и логика, 2000, Т.39, N3, стр. 329–346
131 E. Jabara Fixed point free actions of groups of exponent 5. J. Austral.Math.
Soc. 77 (2004), no. 3, 297–304
132
В. Д. Мазуров,
А. С. Мамонтов,
О
периодических
группах
с элементами малых порядков, Сиб. матем. журн., 50:2 (2009), 397–404
133 D. V. Lytkina, A. A. Kuznetsov, Recognizability by spectrum of the group
L2(7), Сиб. электрон. матем. изв., 4 (2007), 136–140
134 В. Д. Мазуров, О группах периода 24, Алгебра и логика, 49:6 (2010),
57
766–781
135 R. Brandl, W.J. Shi, Finite groups whose element order are consecutive
integers, J. Algebra 143(2)(1991), 388-400
136 Е. Г. Брюханова, Связь между 2-длиной и производной длиной
силовской 2-подгруппы конечной разрешимой группы, Матем. заметки, 29:2
(1981), 161–170
137 Chat-Yin Ho, On the quadratic pairs whose root group has order 3, Bull.
Inst. Math. Acad.Sinica, Republic of China 1 (1973), 155-180
138 А. Chermak, Quadratic pairs without components. J. Algebra 258 (2002),
no. 2, 442–476
139 А. Chermak, Quadratic pairs, Journal of Algebra, 2004, 277 (1): 36–72
140 D.S. Passman, Groups with normal solvable Hall p'-subgroups,
Trans.Amer.Math.Soc., 123:1(1966), 99-111.
141 В.И.Зенков, Пересечение нильпотентных подгрупп в конечных
группах, Фундаментальная и прикладная математика, т. 2 (1996), No1 (1996),
1—92
142 А.В.Васильев, Е.П.Вдовин, Критерий смежности в графе простых чисел
конечной простой группы group, Алгебра и логика, 44, N 6 (2005), 682-725
143 Goncharov M.E., Structures of Malcev Bialgebras on a simple non-Lie
Malcev algebra // Communications in algebra, to appear.
58
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Список публикаций исполнителей за 2011 г.
Опубликованные статьи за 2011 г.:
1.
Gubarev V. Yu, Kolesnikov P.S, The Tits-Kantor-Koecher Construction for
Jordan Dialgebras // Communications in Algebra. V. 39, № 2. P. 497— 520.
Импакт-Фактор :0.44
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
2.
Васильев А.В., Гречкосеева М.А., Старолетов А.М. О конечных группах,
изоспектральных простым линейным и унитарным группам // Сиб. мат.
журн. Т. 52, № 1. С. 39-53.
Импакт-Фактор :0.475
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
3.
Ревин Д. О., О π-теоремах Бэра-Судзуки // Сиб. матем. Журн., 52:2 (2011),
430–439
Импакт-Фактор :0.475
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
4.
Revin D.O., Vdovin E.P., An existence criterion for Hall subgroups of finite
groups, J. Group Theory 14:1 (2011), 93-101
Импакт-Фактор :0.471
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
5.
Kolesnikov P.S., On finite representations of conformal algebras // J. Algebra,
331 (2011), 169-193.
Импакт-Фактор :0.632
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
6.
Beites P.D., Nicolas A.P., Pozhidaev A.P., Saraiva P., On a ternary quaternion
algebra, Comm. in Alg. 39, (2011) 830—842.
Импакт-Фактор :0.44
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
59
7.
Bardakov V.G., Bellingeri P., On representations of Artin-Tits and surface
braid groups, J. Group Theory, 14 (2011), 1, 143-163.
Импакт-Фактор :0.471
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
8.
Романовский Н.С., Копроизведения жестких групп // Алгебра и логика, 49,
N 6 (2010), 803-818.
Импакт-Фактор :0.479.
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
9.
Ершов Ю. Л., Об одной статье Р. Брауна // Сиб. матем. Журн., 52, N:2
(2011), 292–296
Импакт-Фактор :0.475
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/files/Impact-factor2009.zip )
10. Дудкин Ф. А., Об абстрактном соизмерителе групп Баумслага—Солитера,
Алгебра и логика, сообщение, 50, 2(2011), 268—269.
Импакт-Фактор :0.479.
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
10.
Желябин В. Н., Кайгородов И. Б., О δ-супердифференцированиях простых
супералгебр йордановых скобок // Алгебра и анализ, 23, N 4 (2011), 40-58.
11.
Гончаров М. Е. Дуальные коалгебры альтернативных и ассоциативных
биалгебр // Сибирские электронные мат. известия, 8 (2011), 213-218.
12.
Васильев А.В., Вдовин Е.П., Коклики максимального размера в графе
простых чисел конечной простой группы, Алгебра и логика, т. 50 (2011), No.
4, 425-470.
Импакт-Фактор:0,479.
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
13.
Revin D.O., Vdovin E.P., Generalization of the Sylow theorem, London
Mathematical Society Lecture notes series, No 388, vol 2, Groups St Andrews
2009 in Bath, 488-520.
14.
Grechkoseeva M.A. On element orders in covers of finite simple classical
groups // J. Algebra. 2011. V. 339. P. 304-319.
Импакт-Фактор :0.632
60
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
15.
Гречкосеева М.А. О спектрах накрытий конечных простых классических
групп // Доклады АН. 2011. Т. 439, № 2. С. 156-158
Импакт-Фактор : 0.162
(см. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/General/if-2009rus.html )
61
Статьи, сданные в печать за 2011 г.:
1.
E.P.Vdovin, On the base size of a transitive group with solvable point
stabilizer // Journal of Algebra and Application
2.
Е.П.Вдовин, Д.О.Ревин, Теоремы силовского типа // Успехи мат.наук
3.
Е.П.Вдовин, Д.О.Ревин, Л.А.Шеметков, Формации конечных (C-pi)-групп
// Алгебра и анализ.
Е.П.Вдовин, Д.О.Ревин, Н.Ч.Манзаева, О наследуемости свойства (D-pi)-
4.
подгруппами // Труды ИММ
Е.П.Вдовин, Д.О.Ревин, Пронормальность холловых подгрупп в конечных
5.
простых группах, Сибирский математический журнал.
Е.П.Вдовин,
6.
Д.О.Ревин,
О
пронормальности
холловых
подгрупп,
Сибирский математический журнал.
7.
И. Б. Кайгородов, Об обобщенных δ-дифференцированиях // Сиб. Мат. ж.
8.
И. Б. Кайгородов, О δ-супердифференцированиях полупростых
конечномерных йордановых супералгебр // Математические заметки.
И. Б. Кайгородов, О δ-дифференцированиях n-арных алгебр // Известия
9.
РАН. Серия Математическая
10.
V. Voronin, Special and exceptional Jordan dialgebras // Journal of Algebra and
its Applications.
11.
M. E. Goncharov, Structures of Malcev Bialgebras on a simple non-Lie Malcev
algebra. // Communications in Algebra.
В. Н. Желябин, Новые примеры простых йордановых супералгебр над
12.
произвольным полем характеристики ноль // Алгебра и анализ.
В. Н. Желябин, Йордановы супералгебры векторного типа // Сиб. матем.
13.
ж.
14.
Гречкосеева М.А., Лыткин Д.В. Почти распознаваемость по спектру
конечных простых линейных групп простой размерности // Сибирский мат.
журнал
62
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Список сделанных исполнителями докладов
На всероссийских конференциях и семинарах в течении 2011 г.:
1.
Кайгородов И.Б. Об обобщенном дубле Кантора // 42-я Всероссийской
молодежной школы-конференции "Современные проблемы математики",
Екатеринбург, 30 января-6 февраля 2011 г. (секционный доклад).
2.
Мазуров В. Д. Нерешенные задачи теории групп // 42-я Всероссийской
молодежной школы-конференции "Современные проблемы математики",
Екатеринбург, 30 января-6 февраля 2011 г. (пленарный доклад).
3.
Воронин
В.
Ю.
Специальные
тождества
для
диалгебр
//
42-я
Всероссийской молодежной школы-конференции "Современные проблемы
математики", Екатеринбург, 30 января-6 февраля 2011 г. (секционный
доклад).
4.
Губарев В.Ю., Симметрическая степень многообразия Грассмана // Вторая
школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория
инвариантов» Москва, 2011г. 31 января-5 февраля 2011.
5.
Лыткин
Д.В.,
О
максимальных
порядках
элементов
простых
симплектических и ортогональных групп в характеристике 2 // 42-я
Всероссийской молодежной школы-конференции "Современные проблемы
математики", Екатеринбург, 30 января-6 февраля 2011 г. (секционный
доклад).
6.
Гречкосеева М. А., Порядки элементов в накрытиях исключительных
групп лиева типа // 42-я Всероссийской молодежной школы-конференции
"Современные проблемы математики", Екатеринбург, 30 января-6 февраля
2011 г. (секционный доклад).
63
На международных конференциях и семинарах в течении 2011 г.:

Ревин Д. О. An Analogue of theBaer–Suzuki Theorem for the π–Radical of
Finite Groups (пленарный доклад) // Международный семинар Finite Groups
and Their Automorphisms, Стамбул (Турция), 7-11 июня 2011 год

Васильев А. В. On finite groups with the given set of element orders //
Международный семинар Finite Groups and Their Automorphisms, Стамбул
(Турция), 7-11 июня 2011 год

Воронин В. Ю. Теорема Макдональда для диалгебр // Международная
научная
конференция
"Студент
и
научно-технический
прогресс",
Новосибирск, 16-20 апреля 2011

Вдовин Е.П. On the base size of a transitive group with point stabilizer //
Международная конференция "Groups, combinatorics, computing", 11--16
апреля, г. Гэлуэй, Ирландия.

Мазуров В. Д. Нерешенные задачи теории групп // Международная
конференция “The first biennial international group theory conference 2011”,
Малайзия, 14-18 февраля 2011 г.

Чуркин В. А. Полярное разложение линейных операторов в пространствах
Минковского // 9-я Международная школа «Пограничные вопросы теории
моделей и универсальной алгебры» Эрлагол-2011, Россия, Новосибирск, 2227 июня 2011 г.

Кайгородов И. Б. δ-дифференцирования алгебр // 9-я Международная
летняя школа «Пограничные вопросы
теории моделей и универсальной
алгебры» Эрлагол-2011, Россия, Новосибирск, 22-27 июня 2011 г.

Губарев
В.
Ю.,
Простые
ассоциативные
Z-конформные
алгебры
конечного типа // Международная научная конференция "Студент и научнотехнический прогресс", Новосибирск, 16-20 апреля 2011

Руденко
А.
С.,
Редуцированно
лиевы
тернарные
алгебры
//
Международная научная конференция "Студент и научно-технический
прогресс", Новосибирск, 16-20 апреля 2011
64

Лыткин Д.В. О группах, изоспектральных конечным простым линейным
группам простой размерности // Международная научная конференция
"Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 16-20 апреля 2011

Чуркин В. А. Полярное разложение линейных операторов в пространствах
Минковского // 22—27 июня 2011 г.,
Новосибирск—Эрлагол, летняя
школа «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры» ,
пленарный доклад

Чуркин В. А. Полярное разложение линейных операторов в пространствах
Минковского // 11—14 октября 2011 г., Новосибирск, международная
конференция «Мальцевские чтения», секцион-ный доклад.

Кайгородов И. Б. Обобщенные дифференцирования алгебраических
структур// Международная конференция по теории колец, посвященная 90летию А. И. Ширшова (1921-1981) 14-18 июля 2011 г., г. Новосибирск,
Россия (секционный доклад).

Кайгородов И. Б., Об обобщенных дифференцированиях алгебр //
Международная конференция «Алгебра и логика» (Казань, 25-30 сентября
2011 г.). Секционный доклад.

Желябин
В.
Н.
Неассоциативные
биалгебры
//
Международная
конференция по теории колец, посвященная 90-летию А. И. Ширшова (19211981) 14-18 июля 2011 г., г. Новосибирск, Россия (пленарный доклад).

Желябин В. Н. New Examples of Simple Jordan Superalgebras over an
Arbitrary Field of Characteristic
Zero // Международная конференция по
теории колец, посвященная 90-летию А. И. Ширшова (1921-1981) 14-18
июля 2011 г., г. Новосибирск, Россия (секционный доклад).

Пожидаев
А.П.,
Некоммутативные
йордановы
супералгебры.
//.
Международная конференция по теории колец, посвящённая 90-летию
А.И.Ширшова (1921-1981). Новосибирск, 14-18 июля 2011г. Пленарный
доклад.

Пожидаев А.П., On Rota-Baxter algebras of weight 0 // международная
конференция «Алгебра и логика» (Казань, 25-30 сентября 2011 г.).
65
Секционный доклад.

Васильев А.В. Распознавание по спектру конечных простых классических
групп, пленарный доклад, Международная конференция по алгебре и
геометрии, Екатеринбург, 22-27 августа 2011.

Воронин В. Ю. Special and exceptional Jordan dialgebras // Международная
конференция по теории колец, посвящённая 90-летию со дня рождения А. И.
Ширшова, Новосибирск, 14-18 июля 2011

Ревин Д.О. On the pronormality of Hall subgroups // The International
conference on Ring Theory dedicated to the 90th anniversary of Anatolii
Illarionovich Shirshov, July 14-18, 2011, Секционный доклад. 2011

Ревин Д. О. A characterization of the π-radical of finite groups by generations
of conjugate elements
// Международная конференция «Алгебра и
математическая логика», посвященная 100-летию со дня рождения В.В.
Морозова, г. Казань, 25–30 сентября 2011 г., секционный доклад .

Ревин Д. О. Конечные группы с холловыми максимальными подгруппами
и их порождаемость парой сопряженных элементов // Международная
конференция «Мальцевские чтения», посвященная 60-летию чл.-корр. РАН
С.С.Гончарова, Новосибирск, 11-14 октября 2011 г.

Романовский Н. С., Жесткие разрешимые группы и алгебраическая
геометрия над ними // Международная конференция по теории колец,
посвященная 90-летию А. И. Ширшова (1921-1981), 18 июля 2011,
пленарный доклад.

Мазуров В. Д., Распознавание периодических групп по спектру //
международная конференция «Алгебра и логика» (Казань, 25-30 сентября
2011 г.). Пленарный доклад.

Губарев В. Ю., Simple associative Z-conformal algebras of finite type //
Международная конференция по теории колец, посвящённая 90-летию
А.И.Ширшова (1921-1981). Новосибирск, 14-18 июля 2011г. Секционный
доклад.

Губарев В. Ю., On embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter
66
algebras,
Международная
конференция
``Мальцевские
чтения''.
Новосибирск, 11-14 октября 2011. Секционный доклад

Губарев В. Ю., On embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter
algebras, VI International Conference on non associative algebra and its
applications. A conference in Honor of the 60th birthday of Santos González
Zaragoza, November 1-5, 2011. Секционный доклад.

Гречкосеева М.А. On recognition of finite simple exceptional groups of Lie
type by spectrum // Международная конференция по алгебре и геометрии,
Екатеринбург, 22-27 августа 2011, секционный доклад,

Лыткин В.Д. Почти распознаваемость по спектру конечных простых
линейных групп простой размерности // Международная конференция по
алгебре и геометрии, Екатеринбург, 22-27 августа 2011, секционный доклад.
67