метод конечных объемов для решения трехмерной задачи

PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ
ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
Пацюк В.И., Рыбакова Г. А., Берзан В.П.
Институт Энергетики АНМ
Аннотация. В статье рассматривается новый подход применения метода конечных
объемов для расчета электрического поля пространственно-однородной трехмерной
среде. Сформулирована задача Дирихле с построением расчетной сетки на основе
разбиения пространства, известного как триангуляция Делоне с применением в
расчетной
схеме
ячеек
Вороного.
Предлагается численный
алгоритм для расчета потенциала
и напряженности
электрического
поля в
пространстве, образованном цилиндром расположенного на воздухе. Разработан
алгоритм и программа численного счета, которые протестированы для случая, когда на
внутренней поверхности цилиндра задан ненулевой потенциал, а на его основании и на
внешней его поверхности потенциал принят равным нулю. Приведены результаты
расчета распределения в пространстве потенциала и напряженности электрического
поля.
Ключевые слова: электрическое поле, неоднородная среда, потенциал, напряженность
электрического поля, численный метод.
METODA VOLUMELOR FINITE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR DE REPARTIŢIE
TRIDIMENSIONALĂ A CÂMPULUI ELECTRIC
Patsiuk V., Ribacova G., Berzan V.
Institutul de Energetică al AŞM
Rezumat. În lucrare se examinează o nouă abordare a utilizării metodei volumelor finite pentru a calcula câmpul
electric în mediul tridimensional neomogen spaţial. S-a formulat problema Dirihle cu construirea plasei de
divizare denumită trianghiularea Delone şi celulele Voronoi. S-a propus algoritmul de calcul numeric a
potenţialului şi intensităţii câmpului electric în spaţiul format de către un cilindru amplasat în aer. Softul s-a
testat reieşind din faptul că suprafeţei interioare a cilindrului i s-a atribuit potenţialul ne egală cu zero, iar
suprafeţei de sprijin şi exterioare i s-a atribuit potenţialele egale cu zero. Sunt prezentate rezultatele calculelor
repartiţiei potenţialului şi a intensităţii câmpului electric în spaţiu.
Cuvinte-cheie: câmp electric, mediu neomogen,potenţial, intensitatea câmpului electric, metodă numerică.
FINITE VOLUME METHOD FOR SOLVING THREE-DIMENSIONAL ELECTRIC
FIELD DISTRIBUTION
Patsiuk V., Ribacova G., Berzan V.
Institute of Power Engineering of the Academy of Sciences of Moldova
Abstract The paper examines a new approach to finite volume method which is used to calculate the electric
field spatially homogeneous three-dimensional environment. It is formulated the problem Dirihle with building
of the computational grid on base of space partition, which is known as Delone triangulation with the use of
Voronoi cells. It is proposed numerical algorithm for calculating the potential and electric field strength in the
space formed by a cylinder placed in the air. It is developed algorithm and software which were for the case,
when the potential on the inner surface of the cylinder has been assigned and on the outer surface and the bottom
of cylinder it was assigned zero potential. There are presented results of calculations of distribution in the
potential space and electric field strength.
Keyword: electric field, unhomogeneous medium, potential, numerical method.
Введение
Многие явления и процессы окружающего нас мира могут быть описаны в виде
начально-краевых задач для уравнений в частных производных. Разработанные
математические модели должны адекватно соответствовать объекту и соответствовать
требованиям решаемых инженерных задач. Электротехника и электроэнергетика
31
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
являются относительно новыми научными дисциплинами, которые ассимилируют
знания и из других областей науки с более длительной историей развития, например, из
механики сплошной среды [1-3]. Математическое моделирование широко используется
при изучении процессов в физике плазмы, синергетике и других разделах современного
естествознания, где численное интегрирование многомерных эволюционных уравнений
с учетом различного рода нелинейностей [4-6] является широко используемым
подходом.
Все элементы электроэнергетической системы характеризуются конструктивной
неоднородностью, что в итоге влияет на значения первичных и вторичных параметров
объектов, а также и на точность аналитических и численных решений задач
макроскопической электродинамики.
Учет физической неоднородности объектов электроэнергетики является сложной
научной и технической задачей, особенно когда имеются большие отличия в
размерности зон и участков с различными электрическими и электрофизическими
параметрами. Теоретической основой решения этих задач являются в общем случае
уравнения Максвелла представленных в дифференциальной и интегральной форме.
Использование уравнений Максвелла для изучения явлений электромагнитного
взаимодействия в задачах электродинамики является достаточно сложной
математической
задачей
из-за
необходимости
учесть
взаимодействие
электромагнитного поля с веществом в неоднородной среде. Сложность проблемы
заключается в том, что вещество состоит из громадного количества частиц, движение
которой в отдельности невозможно описать. Для того, чтобы обойти эту трудность
используются некоторые модели среды. Отметим, что разработка и обоснование таких
моделей не является тривиальной задачей, особенно для неоднородных сред.
При решении задач электродинамики для неоднородной среды, учитывается, что
все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти
поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и
следствием этого, могут изменяться скачком и электромагнитные поля, создаваемые
этими телами.
В настоящей работе излагается достаточно универсальный подход к проблеме
построения численных моделей электромагнитных полей в неоднородных структурах,
основанный на поблочной дискретизации и идеях метода конечных объемов[7,8].
Постановка краевой задачи
Рассмотрим задачу определения трехмерного распределения потенциала u ( x, y, z )
электростатического поля в многосвязной области  , в которой абсолютная
диэлектрическая проницаемость  a ( x, y ) принимает кусочно-постоянное значение.
Функция u ( x, y, z ) внутри области  удовлетворяет уравнению Пуассона
div ( a grad u)  ( x, y, z ) ,
(1)
где ( x, y , z ) – плотность распределения свободных зарядов. Если в области 
таковые отсутствуют, то уравнение (1) превращается в уравнение Лапласа
div ( a grad u)  0 . На границе    области  значения u ( x, y, z ) считаются
известными
u( x, y, z)   ( x, y, z) .
(2)
32
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011

Вектор напряженности поля E определяется через потенциал u по формуле



E  grad u , а вектор электрического смещения D   a E . На границах раздела
 
разнородных сред выполняются условие непрерывности: [u ]  0 и [( D, n )]  0 , где
квадратными скобками обозначена разность предельных значений слева и справа от

границы раздела, а n – вектор нормали к ней.
Построение дискретной модели
Для численного решения сформулированной задачи Дирихле объемная область
     разбивается на конечное множество малых объемных элементов, имеющих
форму тетраэдров (пирамидок). Вершины пирамидок называются узлами разностной
сетки. На рис. 1 представлен пример такого разбиения объемного тела в форме полого
цилиндра. При фиксированном положении узлов разностной сетки может быть
построено большое количество различных разбиений трехмерной области на
пирамидки. Наилучшим считается разбиение, которое называется триангуляцией
Делоне. Это такое разбиение, при котором в сферу, описанную вокруг конкретной
пирамиды, не попадают другие узлы разностной сетки.
Рис. 1. Полый цилиндр, разбитый на 1980 тетраэдров на сетке с 528 узлами.
33
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
Множество пирамидок обозначим как Th , где h – максимальная длина всех сторон
пирамидок. Введем также дуальную сетку Th* , которая состоит из так называемых
ячеек Вороного. Каждая ячейка Вороного окружает один из внутренних узлов
разностной сетки. На рис. 2 изображен пример трехмерной ячейки Вороного для
базового узла с номером 74. Видно, что базовый узел связан с узлами с номерами 2, 73,
75, 80, 176, 182, 188 и 332, которые называются соседними узлами, а ячейка Вороного
представляет собой многогранник с зелеными гранями. Каждая грань ячейки
ортогональна отрезку, соединяющему базовый узел с соседним узлом, а точка
пересечения грани и отрезка расположена посередине отрезка.
Обозначим базовый узел через P0 , а ячейку Вороного через K P*0 . Вершины ячейки
Вороного K P*0 обозначим буквами Qi, которые являются центрами сфер, описанных
около тетраэдров, имеющих в качестве вершины точку P0 .
Рис. 2. Ячейка Вороного для базового узла с номером 74, имеющая форму
многогранника
В качестве приближенного решения задачи (1), (2) будем рассматривать кусочнолинейную функцию u h ( x, y, z ) , которая должна быть непрерывной в области  и
линейной на каждом тетраэдре K  Th . На множестве тетраэдров Th функцию
u h ( x, y, z ) можно задать следующим образом.
34
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
Рис 3. Тетраэдр K  P1 P2 P3 P4
Пусть тетраэдр K  P1 P2 P3 P4 (рис. 3) является некоторым элементом множества Th
и P( x, y, z ) – произвольная точка этого элемента. В этом треугольнике для каждой
вершины вводятся функции формы N i ( x, y), i  1,4 , которые удовлетворяют условиям:
функции являются линейными и в вершинах тетраэдра принимают значения 1 или 0:
1, i  k
N i ( Pk )  
. Функции формы можно представить и в явном виде через
0, i  k
координаты вершин треугольника:
N i ( x, y, z )  w1,i x  w2,i y  w3,i z  w4,i .
(3)
Здесь w1,i , w 2 ,i , w3,i и w 4 ,i являются компонентами векторов wi , i  1,4 .
Для
определения векторов wi нужно решить 4 системы уравнений Awi  f i , i  1,4 .
Коэффициенты матрицы A формируются из координат вершин Pi  Pi ( xi , yi , zi ), i  1,4
тетраэдра
 x1

x
A 2
x
 3
x
 4
y1
y2
y3
y4
z1 1

z 2 1
1, i  k
f

(
f
,
f
,
f
,
f
),
f

и
.

i
1
,
i
2
,
i
3
,
i
4
,
i
k
,
i
0, i  k
z 3 1


z 4 1
Используя функции формы, для каждого узла (внутреннего и граничного) сетки
введем базисную функцию i ( x, y, z ) , i = 1, 2, …, n, n+1, …, n1, где через n и n1
обозначены соответственно число внутренних и всех узлов сетки. Функция i ( x, y, z )
является кусочно-линейной, т.е. непрерывной и линейной на каждом треугольнике со
значением, равным единице в узле Pi и равным нулю во всех остальных узлах. Тогда
приближенное решение u h ( x, y, z ) может быть представлено в виде линейной
комбинации базисных функций
35
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
n1
u h ( x, y, z )   ui i ( x, y, z ) .
(4)
i 1
Нетрудно проверить, что коэффициенты ui в (4) равны искомым значениям
потенциала в узле Pi ( xi , yi , z i ) : u h ( xi , yi , z i )  ui .
Здесь следует отметить, что при решении задачи (1), (2) методом конечных
элементов применяется метод Галеркина, который состоит в следующем. Подставим
(4) в уравнение (1) и запишем условие ортогональности полученного выражения к
базисным функциям  k ( x, y, z ) для внутренних узлов сетки
 div ( grad u
a
h

) k dV   k dV , k  1, n ;
n1
n1
~
div
(

grad
u

)

dV

 i i k
  ki ui  k ;
a

i 1

(5)

(6)
i 1
~
k   k dV ;  ki   div ( a grad i ) k dV    a grad i grad  k dV .



Так как в граничных узлах значения решения известны, система (6) принимает вид
n1
n
~
 kiui  k , k  k 
i 1
  kii ,
k  1, n .
(7)
i n 1
В отличие от метода конечных элементов в методе конечных объемов применяется
обобщенный подход Галеркина, который заключается в том, что в условиях
ортогональности (5) используются базисные функции  k ( x, y, z ) пространства
W20 ()  L2 () , определяемого следующим образом. Введем новые базисные функции
 k ( x, y, z ) для дуальной сетки Th* по правилу: функция  k ( x, y, z ) принимает
постоянные значения равные единице в ячейке Вороного для внутреннего узла Pk и
равна нулю в остальной области. Тогда условие ортогональности (5) с функциями
 k ( x, y, z ) принимает вид
 div ( grad u
a
h

) k dV    k dV , k  1, n
(8)

или в силу того, что функция  k ( x, y, z ) отлична от нуля только в ячейке Вороного K P*k
 div ( grad u )dV     dV ,
a
K P*k
h
(9)
K P*k
где K P*k – ячейка Вороного для узла Pk .
Поэтому для получения системы линейных алгебраических уравнений для
неизвестных значений функции u h в узлах сетки по методу конечных объемов можно
поступить так. Рассмотрим в трехмерном пространстве с декартовыми координатами
36
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
Oxyz уравнение Пуассона div ( a grad u)  ( x, y, z ) и проинтегрируем это уравнение по
объему ячейки K P*k .
Тогда получим формулу, совпадающую с (9)
 div ( grad u)dV    ( x, y, z) dV .
(10)
a
K P*k
K P*k
К левой части (10) применим теорему о дивергенции
 div ( grad u)dV    grad u dS    (grad u, n ) dS  
a
a
K P*k
K P*k
где K P*k
a
a
K P*k
K P*k
u
dS ,
n
– полная поверхность многогранника K P*k ; n
(11)
– внешняя нормаль к
поверхности K P*k , а u / n – производная от функции u по этой нормали. В этом
случае уравнение (10) принимает вид

a
K P*k
u
dS    ( x, y, z )dV .
n
K*
(12)
Pk
Таким образом, решение задачи (1), (2) по методу конечных объемов сводится к
аппроксимации соотношения (12) для ячеек Вороного внутренних узлов разностной
сетки. Аналогичная процедура присуща и методу конечных разностей для сетки с
прямоугольными ячейками, поэтому метод конечных объемов может рассматриваться
как обобщение метода конечных разностей для поблочной дискретизации с ячейками
произвольной формы. По этой причине метод конечных объемов сохраняет все
преимущества метода конечных разностей, а по сравнению с методом конечных
элементов более простым оказывается сам алгоритм построения конечно-разностных
соотношений и отпадает необходимость в построении локальной и глобальной матриц
жесткости для формирования разрешающей системы уравнений типа (7).
Пусть в ячейке Вороного K P*0 (см. рис. 2) для базового узла P0 буквами Pi , i  0,8
обозначены узлы сетки; S i , i  1,8 – площади граней, ортогональных отрезкам P0 Pi ;
M i , i  1,8 – точки пересечения отрезка P0 Pi
с гранью S i . Тогда интеграл по
поверхности K P*0 из формулы (12) аппроксимируем следующим образом:

K P*0
a
8
8
u ( Pi )  u ( P0 )
u
u
dS     a
dS    a ( M i )
Si ,
n
n
P0 Pi
i 1 S m
i 1
где P0 Pi – длина отрезка P0 Pi .
Интеграл в правой части (12) аппроксимируем по формуле
 ( x, y)dV  ( P )V
0
K P*0
37
0
,
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
где V0 – объем ячейки Вороного K P*0 . Тогда аппроксимацию уравнения (12) можно
представить в виде
8

i 1
a
(M i )
u ( Pi )  u ( P0 )
P0 Pi
S i  ( P0 )V0 .
В окончательном виде уравнение для узла P0 выглядит так
8
 0 u ( P0 )    i u ( Pi )  ( P0 )V0 ;
(13)
i 1
 i   a (M i )
Si
P0 Pi
8
, i  1,8;  0    i .
i 1
Для каждого внутреннего узла сетки запишем уравнение вида (13), а для граничных
узлов используется условие (2). В результате получаем систему линейных
алгебраических уравнений с симметричной матрицей. Следует отметить, что при
решении прикладных задач число уравнений системы исчисляется тысячами или
десятками тысяч. Однако поскольку каждое уравнение типа (13) содержит всего
несколько ненулевых элементов (обычно от 9 до 25), то итоговая матрица получается
достаточно разряженной. В реализованном алгоритме в памяти компьютера хранятся
только ненулевые значения элементов матрицы. Для решения построенной системы
используется итерационный метод сопряженных градиентов, который для задач
рассматриваемого типа сходится очень быстро.
Полученное в области  решение u h ( x, y, z ) позволяет построить поле потока


вектора напряженности E  ( E x , E y , E z )  grad u . Обозначим через v поток вектора E ,

проходящий через площадку единичной площади, ортогональной вектору E . Тогда
изолинии u ( x, y, z )  const и v( x, y, z )  const образуют взаимно ортогональные
семейства. Функция v( x, y, z ) может быть получена путем вычисления следующего
контурного интеграла
 E dx  E
( x, y, z )
v ( x, y ) 
x
y
dy  E z dz ,
(14)
( x0 , y 0 , z 0 )
где x0 , y0 , z 0 – координаты произвольной фиксированной точки из области , а путь
интегрирования расположен внутри нее. В случае многосвязной области путь
интегрирования также не должен пересекать разрезы области, сводящей ее к
односвязной структуре.
Емкость C между двумя проводящими телами вычисляется по формуле
C
q
,
u1  u 2
(15)
38
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
где (u1  u 2 ) – разность потенциалов этих тел. Заряд q тела, расположенного внутри
некоторой трехмерной области V, вычисляется в соответствии с теоремой Гаусса как

интеграл по поверхности S  V от вектора напряженности E
 

q    E  dS    grad u  dS 
S
S

u
   (grad u  n )dS    dS .
n
S
S
(16)

Здесь S – произвольная поверхность, содержащая в себе заряженное тело; n – вектор
внешней нормали к ней;  – диэлектрическая проницаемость.
Практическая реализация. Описанный выше алгоритм был реализован в виде
комплекса программ в среде приложения Matlab. Комплекс программ был
протестирован на задаче для полого цилиндра (рис. 1). На внутренней поверхности
цилиндра был задан ненулевой потенциал, а на внешней поверхности и основаниях
цилиндра потенциал равнялся нулю.
По разработанным алгоритму и программе была решена задача о трехмерном
распределении потенциала u (r , , z ) в полом цилиндре с размерами: внутренний радиус
Ra = 0.2 м; внешний радиус Rb = 0.5 м; высота цилиндра H = 0.5 м. На внешней боковой
поверхности цилиндра потенциал полагался равным нулю: u ( Rb , , z )  0 ; на верхнем
основании
цилиндра
потенциал
задавался
по
формуле:
R r
, P = 10 в; на нижнем основании цилиндра
u(r , , H )  P(0.25 cos   0.75) b
Rb  Ra
R r
P
потенциал задавался по формуле: u (r , ,0)  (0.25 cos   0.75) b
и на
2
Rb  Ra
P
z 

внутренней боковой поверхности: u ( Ra , , z )  (0.25 cos   0.75)1   .
2
H

Для построения пространственной разностной сетки в объеме цилиндра была
выбрана сетка с шагами: по вертикальной оси z – 10 шагов, по радиусу – 6 шагов и по
окружности – 25, 32, 38, 44, 50, 56, 62 шагов. В этом случае шаги равнялись 0,05 м, а
общее количество узлов сетки равнялось 3377. Далее объем цилиндра был разбит на
15810 тетраэдров.
Решение задачи представлено на рисунках 4 и 5. На рисунке 4 изображены линии
равного потенциала (сплошные линии) и потока вектора напряженности (штриховые
линии) для сечения цилиндра горизонтальной плоскостью, параллельной основаниям
цилиндра, на высоте z = 0.25 м, т.е. посередине высоты цилиндра. На рисунке 5
представлены линии уровня в сечении цилиндра вертикальной полуплоскостью y = 0,
x  0.
39
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
Рис. 4. Линии равного потенциала
(сплошные линии) и потока вектора
напряженности (штриховые линии)
для z = 0.25 м
Рис. 5. Линии равного
потенциала
(сплошные
линии) и потока вектора
напряженности (штриховые
линии) для y = 0, x  0
Выводы
1. Решена задача расчета численным методом трехмерного распределения
потенциала u ( x, y, z ) и напряженности электростатического поля в
многосвязной области  , в которой абсолютная диэлектрическая
проницаемость  a ( x, y ) принимает кусочно-постоянное значение.
2. Предложен алгоритм решения задачи на основе метода конечных объемов. С
целью уменьшения объема запоминаемой информации в реализованном
алгоритме в памяти компьютера хранятся только ненулевые значения элементов
матрицы.
3. Метод конечных объемов сохраняет все преимущества метода конечных
разностей, а по сравнению с методом конечных элементов более простым
оказывается сам алгоритм построения конечно-разностных соотношений. При
этом отпадает необходимость в построении локальной и глобальной матриц
жесткости для формирования разрешающей системы уравнений для емкостных
коэффициентов.
4. Для решения построенной системы используется итерационный метод
сопряженных градиентов, который для задач рассматриваемого типа сходится
очень быстро.
Литература
1.
Пацюк В.И., Римский В.К. Волновые явления в неоднородных средах. Т.1. Теория
распространения упругих и неупругих волн. – Кишинев: Издательско-полиграфический
центр МолдГУ, 2005. – 254 с.
40
PROBLEMELE ENERGETICII REGIONALE 1(15) 2011
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Пацюк В.И., Римский В.К. Волновые явления в неоднородных средах. Т.2.
Нестационарное деформирование многосвязных тел. – Кишинев: Издательско-полиграфический центр МолдГУ, 2005. – 239 с.
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: идеи, методы,
примеры. – М.: Наука, 1997. – 320 с.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. –
736 с.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М: Наука,
1978. – 592 с.
Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. – М.: Наука, 1975. –
352 с.
Li R., Chen Z. and Wu W. Generalized difference methods for differential equations.
Numerical analysis of finite volume methods. New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 2000. –
459 p.
Римский В.К., Берзан В.П., Пацюк В.И. и др. Волновые явления в неоднородных
структурах. Т.5. Теория и методы расчета электрических цепей, электромагнитных полей
и защитных оболочек АЭС. – Кишинев: Типография АНМ, 2008. – 664 с.
Пацюк В. Доктор физ.-мат.наук, доцент Государственного Университета Молдовы, ведущий научный
сотрудник Института Энергетики АН Молдовы. Области научных интересов: математическая физика,
численный анализ, теоретическая механика и теоретическая электротехника. Автор более 90 научных
публикаций, в том числе 10 монографий, одного изобретения.
Рыбакова Галина. Доктор физ.-мат.наук, доцент Государственного Университета Молдовы, ведущий
научный сотрудник Института Энергетики АН Молдовы. Области научных интересов: математическая
физика, численный анализ, механика деформируемого тела. Автор более 40 научных публикации.
Берзан В. Доктор хабилитат технических наук, доцент, директор Института Энергетики АН Молдовы.
Области научных интересов: энергетика и возобновляемые источники энергии, переходные процессы,
методы математического моделирования и диагностика энергетического оборудования. Автор более 200
научных публикаций, в том числе 10 монографий, 20 изобретений.
41